conjuntos 2

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1º Unidade
Capítulo I
Conjuntos_______________________________________________________________________3
Capítulo II
Função_________________________________________________________________________13
Capítulo III
Função Afim e Sistema_____________________________________________________________23
Capítulo IV
Função Quadrática________________________________________________________________33
Capítulo V
Função Exponencial_______________________________________________________________38
Questões do ENEM e Vestibulares__________________________________________________43
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Organização: Apoio:
Durante todo o seu estudo de Matemática, ao longo desse curso, você terá a 
oportunidade de perceber que a Matemática exige uma forma bem específica de se expressar. 
É a chamada linguagem Matemática, que causa tantos apuros a alguns alunos mais 
desavisados. Essa linguagem Matemática nada mais é que a tradução da língua portuguesa 
escrita em “matematiquês”, novo idioma que aprenderemos a partir dessa unidade. Você terá a 
oportunidade de perceber que esse novo idioma é mais fácil do que se imagina pois apenas 
utilizaremos letras e símbolos para denotar palavras ou expressões que seriam explicitadas 
literalmente se não fosse a Matemática. Portanto, bons estudos e não deixe de fazer as 
questões do ENEM e vestibulares a fim de fixar tudo o que você aprendeu.
Conjuntos
Iniciaremos nosso estudo com algumas noções da Teoria dos Conjuntos aprendendo 
alguns símbolos que nos ajudarão a nos expressar na linguagem Matemática.
Primeiramente devemos ter a real noção de conjunto. Pode-se dizer que um conjunto 
pode ser considerado como qualquer coleção de objetos, apresentados ou caracterizados pela 
enumeração ou por uma propriedade que apresentem. Cada um desses objetos é chamado 
elemento do conjunto e é bem determinado, distinto dos outros, e satisfaz às condições do 
conjunto.
Por exemplo, podemos enumerar o conjunto dos países da América do Norte, o 
conjunto dos móveis em uma sala de estar, ou o conjunto das vogais. Para isso 
representaremos um conjunto por uma letra maiúscula qualquer, que será o seu nome (da 
mesma forma como nossos pais fazem quando nascemos: nos dão um nome) sendo seus 
elementos com letras minúsculas separados por vírgulas e colocados entre chaves.
3
Capítulo I
Assim:
P = {Estados Unidos, Canadá}, lê-se: conjunto P cujos elementos são os países da 
América do Norte;
M = {sofá, mesa, cadeira, televisão, aparelho de som, aparelho de DVD}, lê-se: 
conjunto M cujos elementos são os objetos em uma sala de estar;
V = {a, e, i, o, u}, lê-se: conjunto das vogais cujos elementos são as vogais do 
alfabeto português.
Podemos dizer que esses elementos que fazem parte desses conjuntos, pertencem ao 
conjunto que determinam. Daí podemos dizer que televisão pertence ao conjunto dos objetos 
em uma sala de estar, cama não pertence a esse conjunto.
Quando queremos indicar que um elemento k pertence a um conjunto P, 
escrevemos:
k ∈ P (lê-se: k pertence a P)
Se k não for elemento de P, escrevemos:
k ∉ P (lê-se: k não pertence a P)
Podemos também representar um conjunto por uma figura geométrica e os elementos 
do conjunto por pontos no interior da figura. Essa representação é conhecida como diagrama 
de Venn. 
Por exemplo, o conjunto V das vogais é formado por:
Por exemplo, no conjunto formado pelas letras da 
palavra Banana:
B = {b, a, n} e não B = {b, a, n, a, n,a}.
O conjunto das letras da palavra amapá:
A = {a, m, p}
4
a .
u .
e .
i 
.
o .
V
Na representação do 
conjunto de letras de uma 
determinada palavra, não se 
escreve uma mesma letra 
duas vezes, ou seja, não se 
repetem letras. E esse 
conceito ainda pode ser 
estendido a qualquer tipo de 
conjunto em que não 
repetimos nenhum elemento 
ao representar esse conjunto.
Capítulo I
Determinação
Um conjunto pode ser determinado de três modos: por enumeração, por extensão ou 
por compreensão.
Enumeração - É quando mencionamos todos os elementos de um conjunto. Por 
exemplo:
O conjunto das notas musicais
M = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}
Extensão - É quando não enumeramos todos os elementos de um conjunto, mas 
apenas citamos alguns, recorrendo às reticências para representar os outros e citamos, 
ou não, o último elemento. Por exemplo:
O conjunto das letras do alfabeto português:
P = {a, b, c, d, e, ....., z}
O conjunto dos números ímpares positivos:
I = {1, 3, 5, 7, 9, …}
Compreensão - é quando enunciamos ou citamos uma propriedade característica 
que todos os elementos possuem, e somente eles. Esse tipo de determinação tem uma 
notação própria.
Se o conjunto A dos elementos x tem uma propriedade P, vamos indicá-lo pela notação:
A = {x / x é P}, lê-se: conjunto A constituído dos elementos “x” tal que “x” satisfaz à 
propriedade “P”.
Assim, se quisermos denotar o conjunto dos números pares representamos por P = {x / 
x é par}.
Vimos que os conjuntos podem ser definidos por três maneiras: enumeração, 
extensão ou compreensão. Façamos agora, a representação de um mesmo conjunto dessas 
três formas.
Por exemplo, seja o conjunto das consoantes. Vamos defini-lo por enumeração, 
extensão e compreensão.
5
O conjunto das letras do alfabeto é um conjunto finito, ou 
seja, tem um fim, diferentemente do conjunto dos ímpares 
positivos que é um conjunto infinito.
Capítulo I
C = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} por enumeração.
C = {b, c, d, f, ..., z} definido por extensão.
C = {x / x é consoante} por compreensão.
Igualdade
Dois conjuntos são iguais quando tem os mesmo elementos. Assim, se A = {x / x é letra 
da palavra banana}, ou seja, se A = {b, a, n, a, n, a} e B = {b, a, n}, temos: A = B.
Se A não for igual a B, escrevemos: A ≠ B (lê-se: A é diferente de B).
Relações e Operações
Relações
Para que consigamos entender as relações entre os conjuntos é importante que 
saibamos reconhecer todos os tipos de conjuntos existentes a fim de que possamos trabalhar 
perfeitamente com essas relações.
O universo que conhecemos hoje pode ser designado como a totalidade de planetas, 
estrelas, buracos negros e quaisquer outros corpos cósmicos encontrados no espaço sideral. 
Essa noção também pode ser aplicada a um conjunto, que recebe o nome de conjunto 
universo quando é formado pela totalidade dos elementos que estão sendo considerados, 
comumente representado pela letra U. Da mesma forma, quando um conjunto é constituído por 
apenas um elemento, ele é chamado conjunto unitário e quando ele não tem elemento 
algum, é chamado conjunto vazio, que pode ser denotado por duas formas: { } ou ∅ .
Por exemplo:
O conjunto formado pelos insetos providos de nove patas é um conjunto vazio.
O conjunto formado pelos satélites naturais da Terra é um conjunto unitário.
Subconjuntos
Um subconjunto é um conjunto que está contido em outro conjunto. Assim como o 
conjunto A = {e, i, o} que é um subconjunto do conjunto das vogais. Sendo assim, poderemos 
6
Capítulo I
formar muitos outros subconjuntos a partir dele. Se um subconjunto está contido em um 
conjunto qualquer, podemos então dizer que esse conjunto contém aquele subconjunto. 
Analogamente, podemos pensar num copo com água, em que a água está contida no copo e o 
copo contém água. Para denotar essas relações utilizamos os símbolos  para representar a 
expressão “está contido” e  para representar a expressão “contém”, assim, se um conjunto A 
está contido ou é subconjunto de B dizemos que A  B ou que B  A, agora, se A não está 
contido em B dizemos que A ⊄ B ou que B ⊅ A (lê-se: B não contém A).
Vejamosum exemplo gráfico em que A é subconjunto de B:
A  U
B  U
A  B
Observemos aqui que qualquer conjunto está contido em si 
mesmo, ou seja, A  A, qualquer que seja A. Na comunidade 
Matemática é admitido que o conjunto vazio esteja contido em 
qualquer conjunto, portanto ∅  A, qualquer que seja A.
Operações Entre Conjuntos
Nessa parte do nosso estudo de conjuntos 
aprenderemos que eles também podem operar entre si. As 
operações básicas entre os conjuntos são: União, 
Interseção, Diferença e Complementação.
União - Dados dois conjuntos A e B, chamamos 
conjunto união, ou reunião de A e B, ao conjunto C dos 
elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto 
B.
Simbolizamos a união de A com B assim: C = A  B. 
Por exemplo:
7
Importante - Inicialmente, em nossos estudos da Teoria 
dos Conjuntos, vimos a relação entre elemento e conjunto em 
que usamos os símbolos ∈ e ∉, e essas relações recebem o 
nome de relação de pertinência. A partir daí, vimos a relação 
entre os conjuntos, que são as relações de inclusão (⊂, ⊃), 
exclusão (⊄, ⊅) e igualdade (≠, =).
U
6
.7
.
1
.
15.
6
.
8.
2
. 4
.
10.
Capítulo I
Se A = {1, 5, 6, 7, 8, 15} e B = {2, 4, 6, 7, 10}
Então A  B = C = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15}
Graficamente, a representação desse conjunto união fica assim, em que C é a área em 
verde:
Interseção - Dados dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto interseção é o 
conjunto formado pelos elementos comuns de A e B, ou seja, é o conjunto C cujos 
elementos pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.
Simbolizamos a interseção de A com B 
assim:
 C = A ∩ B.
Se A = {1, 5, 6, 7, 8, 15} e B = {2, 4, 6, 7, 10}
Então A ∩ B = C = {6, 7}
Graficamente, a representação desse conjunto interseção fica assim, em que C é a 
área roxa:
Diferença - Dados dois conjuntos A e B, chamamos conjunto diferença A – B ao 
conjunto C dos elementos de A que não pertencem a B e da mesma forma é chamado 
conjunto diferença de B – A ao conjunto D dos elementos de B que não pertencem a A.
Analogamente, podemos entender a diferença entre 
dois conjuntos da mesma forma que a diferença entre dois 
números. Por exemplo, 5 – 3 = 2 pode ser compreendido da 
seguinte forma: de cinco unidades retira-se três unidades e 
restam duas unidades. Em conjuntos, no exemplo A - B, de um 
conjunto A retira-se os elementos que também são de B e resta 
os elementos que pertencem apenas a A.
Por exemplo:
Seja A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}
A – B = {1, 3, 5} (de A foi retirado os elementos que 
também pertenciam a B)
B – A = {6, 8} (de B foi retirado os elementos que 
também pertenciam a A)
Na figura ao lado verificamos essas diferenças graficamente, em que a diferença é 
representada pela parte em azul:
8
6.
7.1.
15.
8.
5.
2.
4.
10.
Capítulo I
Complementação - Dados dois conjuntos A e B, com A  B, chamamos conjunto 
complementar de A em relação a B à diferença B – A.
Em outras palavras, podemos definir o conjunto complementar de A em relação a B 
assim:
Definição 2 - Se um conjunto A está contido em 
um conjunto B sabemos que todo elemento de A 
também é elemento de B, mas podem existir 
elementos em B que não estão em A. O conjunto 
formado por estes elementos é chamando 
complementar de A em relação a B e sua 
representação é C BA .
Em diagrama temos, em que a área mais escura 
refere-se a C BA :
Conjuntos Numéricos
O homem durante sua evolução foi cada vez mais se aprimorando a fim de perpetuar 
sua existência, ele logo criou utensílios para caça, inventou a roda, descobriu o fogo e com o 
passar do tempo ainda inventou símbolos para representar os números. Mas e os números, 
como nasceram? Já se passou pela sua cabeça como se deu isso? Bom, esse nascimento 
deu-se de forma natural, como não poderia ser diferente. Aquele que tenha um certo 
conhecimento de história já deve ter percebido que desde o início da civilização a principal 
ocupação do homem era cuidar de seu rebanho para seu sustento. Mas como esse pastor iria 
saber se alguma ovelha tinha fugido ou sido raptada se não havia números para que ele 
contasse quantas ovelhas tinha? Como iria comparar com a quantidade de ovelhas do dia 
anterior? O homem criou uma forma curiosa de contar suas ovelhas: para cada ovelha em seu 
rebanho, uma pedra ele adicionava em um saco, tendo certeza de que a quantidade de pedras 
no saco era a mesma de ovelhas em seu rebanho, podendo ainda conferir essa quantidade no 
dia seguinte, pois se sobrassem pedras no seu saco após a conferência, ele saberia que teria 
prejuízo.
Foi dessa forma que se iniciou o processo de contagem, da necessidade de se contar 
algo, e após essa necessidade, paulatinamente, foram nascendo outros tipos de números que 
9
Dois conjuntos que tem interseção 
vazia são chamados de conjuntos 
disjuntos.
Capítulo I
não fossem inteiros positivos, como o zero (0) e os números negativos: -1, -2, -3, ...
Conjunto dos Números Naturais ( ℕ )
O conjunto dos números naturais é formado 
pelos primeiros números que nasceram naturalmente 
conforme dito no texto anterior, como o próprio nome 
sugere. Ele é composto por todos os números inteiros e 
positivos e é representado pelo símbolo ℕ dessa 
forma:
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Como podemos perceber este conjunto é 
ordenado, ou seja, tem uma ordem definida e é infinito.
Conjunto dos Números Inteiros ( ℤ )
O conjunto dos números inteiros contém o conjunto ℕ , dos números naturais e ainda o 
oposto desses números naturais mais o número zero. Eis o conjunto ℤ :
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Repare que ℕ⊂ℤ . No conjunto ℤ distinguimos dois subconjuntos:
• Conjunto dos números inteiros não negativos ( ℤ+ )
ℤ+ = {0, 1, 2, 3, ...}
• Conjunto dos números inteiros não positivos ( ℤ- )
ℤ- = {..., -3, -2, -1, 0}
Repare que o zero é elemento neutro, ou seja, não tem sinal, portanto não pode ser 
considerado nem positivo e nem negativo, por isso consta em ambos os subconjuntos do 
conjunto dos números inteiros. Em geral convencionamos ainda o seguinte: um asterístico (*) 
acrescido à letra que designa o conjunto, significa que o zero foi excluído do mesmo. Assim:
ℤ* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
ℤ+
* = {1, 2, 3, 4, …}
Conjunto dos Números Racionais ( ℚ )
Pense um pouco, o que te lembra a palavra racional? Se você pensou na palavra 
10
Muitos livros didáticos 
incluem o zero no conjunto dos 
números naturais, outros não. 
Esta apostila opta por incluir o 
número zero apenas a partir do 
próximo conjunto que veremos 
a seguir.
Capítulo I
“razão” acertou, pois um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma 
razão. Mas o que seria razão? Será que podemos associar essa razão àquela frase filosófica 
de Shakespeare em Hamlet: Ser ou não ser, eis a questão?
Em Matemática, razão tem um sentido um pouco diferente daquela em filosofia, não 
tem nada a ver com o racional humano, mas com a razão entre dois números. E para 
representarmos uma razão entre dois números utilizamos a fração, que, por sua vez, além de 
representar parte de um todo, também representa uma divisão. Então, podemos dizer que um 
número racional, que é um número que pode ser escrito como uma razão, é qualquer número 
que pode ser representado através de uma fração. Portanto, se escolhermos qualquer número 
natural, esse número também será um racional? A resposta é sim, pois o que nos impediria de 
escrever 
6
3 ao invés de 2 senão a facilidade em escrever mais rápida e sucintamente? 
Seguindo esse raciocínio, qualquer número inteiro, quer sejapositivo ou negativo, pode ser 
escrito como uma fração, incluindo o zero. Daí se segue que ℤ⊂ℚ . Mas esse conjunto dos 
racionais tem outros representantes além de ℤ , pois se estamos contando com os números 
inteiros em forma de fração para compor ℚ , devemos também incluir qualquer número 
fracionário, positivo ou negativo, incluindo as dízimas periódicas (que também podem ser 
escritas em forma de fração). Por fim, os números decimais com um número finito de casas 
decimais também devem constar em ℚ , pois estes também podem ser representados em 
forma de fração. Assim, o conjunto dos números racionais representa-se dessa forma:
ℚ = {números decimais finitos, frações, ℤ , dízimas periódicas}
Formalmente, devemos dizer que ℚ é todo aquele que pode ser representado na 
forma fracionária 
p
q com numerador e denominador inteiros e o denominador diferente de 
zero. Em linguagem Matemática:
ℚ = {x / x = 
p
q com p , q∈ℤ , q ≠ 0}.
Conjunto dos números irracionais (Π ou I)
Ao contrário dos números racionais, os irracionais são aqueles números que não 
podem ser representados como uma razão, ou seja, não tem como colocá-los em forma de 
fração. E a esse grupo de números chamamos de números irracionais. Você deve estar 
tentando imaginar algum número que você conheça que seja irracional, mas eles são mais 
comuns que se imagina. Tente com uma calculadora encontrar os seguintes resultados e 
procure algo em comum entre esses resultados: 2 ,3 ,5 , 37 , 510 . Você deve ter percebido 
que o resultado desses números foi um número com vírgula e infinitas casas decimas, apesar 
de você ter apenas conseguido enxergar algumas casas em sua calculadora. Você deve ter 
percebido também que não existe nenhum padrão entre os algarismos decimais, ao contrário 
das dízimas periódicas, que recebem esse sobrenome “periódica” justamente pela existência 
desse padrão ou período. E é justamente este padrão que possibilita essa dízima a ser escrita 
como uma fração, portanto se esses números citados acima tem como resultado um número 
com infinitas ordens decimais sem padrão algum, ou seja, não periódicos, eles não podem ser 
representados por uma fração, então são irracionais.
11
Capítulo I
Por incrível que pareça, existem infinitos números irracionais, e essa qualidade é 
atribuída à, por exemplo, raiz quadrada de qualquer número que não seja um quadrado perfeito 
(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ....). Outros números irracionais, como são frequentemente usados na 
Matemática, recebem representações como π = 3,1415926535..., e = 2,718...(usado em bases 
logarítmicas) etc.
Conjunto dos Números Reais ( ℝ )
Podemos perceber que um número não pode ser racional e irracional ao mesmo 
tempo, ou seja, ou é um ou é outro, e se unirmos ℚ e Π em um único conjunto formaremos o 
conjunto dos números reais. Formalmente dizemos que ℝ=ℚ∪Π
Unindo todos os conjuntos em um só diagrama e ainda lembrando que ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ 
temos:
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Capítulo I
Produto Cartesiano, Relação e Função
Antes de entrarmos no estudo de Produto Cartesiano é necessário alguns 
conhecimentos de par ordenado.
Par Ordenado
Denominamos par ordenado a um par de 
elementos (a,b) em uma ordem pré-fixada, sendo a o 
primeiro elemento e b o segundo elemento.
Ex.: Vamos distribuir três bolas idênticas 
dispostas em duas caixas numeradas (caixa I e caixa 
II).
Os resultados possíveis dessa distribuição são 
representadas por (0,3), (1,2), (2,1) e (3,0), em que 
particularmente (0,3) indica nenhuma bola na caixa I e três 
bolas na caixa II; (3,0) indica três bolas na caixa I e 
nenhuma na caixa II.
Repare que não foram usadas as tradicionais 
chaves, mas sim parênteses.
Denominamos par todo conjunto formado com 
dois elementos. Eis alguns exemplos: {0,3}, {1,2}, {a,b}.
De acordo com a noção de igualdade de conjuntos, se invertermos a ordem dos 
elementos, o par continuará o mesmo.
13
Caixa I Caixa II
(0,3)
Caixa I Caixa II
(1,2)
Caixa I Caixa II
(2,1)
Caixa I Caixa II
(3,0)
Capítulo II
{0,3} = {0,3}, {1,2} = {2,1}, {a,b} = {b,a}.
Em muitos problemas, como no exemplo acima, temos a necessidade de distinguir dois 
pares pela ordem dos elementos. Nesses casos, em que a ordem é importante, usamos 
pares ordenados. Assim, com o par {0,3} podemos formar dois pares ordenados: (0,3) e (3,0).
Um par ordenado (x,y) é igual ao par (a,b) se, e somente se, x = a e y = b, isto é,
Isso quer dizer que dois pares ordenados são iguais se, e somente se, os elementos 
correspondentes também o forem.
Ex.: (a,b) = (3,2) a = 3 e b = 2.
Produto Cartesiano
Dados os conjuntos A = {1,2} e B = {1,2,3}, vamos obter os pares ordenados (x,y) tais 
que x∈A e y∈B :
Observe que, de cada elemento de A, saem 3 setas. Isto porque cada elemento do 1º 
conjunto se corresponde com todos os três elementos do 2º conjunto.
Quando relacionamos cada um dos elementos de um conjunto com todos os elementos 
de outro conjunto, encontramos o produto cartesiano entre esses dois conjuntos. Isto é, o 
conjunto {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}, formado por todos os pares com primeiro 
elemento em A e segundo em B, é denominado produto cartesiano de A por B e indicado A x B 
(lê-se: A cartesiano B).
O nome “Produto Cartesiano” se deve ao fato de que para se descobrir o número de 
elementos de A x B, ou seja, o número de pares ordenados no conjunto A x B, deve-se 
14
1
2
  1
  2
  3
A B
Em geral, temos: A x B = {(x,y)/ x∈A e y∈B }
x , y =a , b ⇔x=a e y=b
Capítulo II
multiplicar o número de elementos de A pelo número de elementos de B. No exemplo acima, A 
tem 2 elementos e B tem 3, então o produto cartesiano tem 6 elementos, isto é, n(A x B) = 2 x 3 
= 6
Obs.: Não, necessariamente, A x B será igual a B x A. Ainda no exemplo inicial, 
B x A = {(1,1), (1,2), (2,1),(2,2), (3,1), (3,2)} é diferente de A x B.
Exemplo
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. Determine os produtos cartesianos A 
x B e B x A, verifique se são iguais e determine o número de elementos desses produtos 
cartesianos.
A x B = {(1,5), (1,6), (1,7), (2,5), (2,6), (2,7), (3,5), (3,6), (3,7), (4,5), (4,6), (4,7)}
B x A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (7,1), (7,2), (7,3), (7,4)}
A x B≠B x A
n(A x B) = n(B x A) = 3 x 4 = 4 x 3 = 12 elementos
Representação gráfica do produto cartesiano
O produto cartesiano pode ser representado por meio de flechas (Diagrama de Venn) 
ou pelo plano cartesiano.
A representação por meio de flechas está representada no exemplo anterior.
Representação no meio cartesiano:
Podemos representar os pares ordenados de um produto cartesiano em um gráfico 
denominado plano cartesiano, que é assim construído:
15
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Capítulo II
• da reta horizontal (x), também chamada eixo das abscissas, saem as linhas 
perpendiculares referentes aos valores de A;
• da reta vertical (y), ou eixo das ordenadas, saem as linhas perpendiculares 
referentes aos valores de B.
Os pares ordenados são representados pela interseção das paralelas aos eixos, 
traçadas a partir dos pontos que representam os elementos de A e de B. Por exemplo: Sejam A 
= {1,3,5} e B = {2,4,6}
A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)}
O gráfico que representa o produto cartesiano de A x B é assim representado:
Os pares ordenados, localizados no plano cartesiano, são chamados de coordenadas 
cartesianas.
Relação
Consideremos os conjuntos: A = {1,2} e B = {3,4,5} e determinemos oproduto 
cartesiano A x B.
A x B = {(1,3) (1,4) (1,5) (2,3) (2,4) (2,5)}
Vamos escolher alguns subconjuntos de A x B.
• R1 = {(2,5)}  Repare que R1⊂AxB , porque R1 é uma relação do par ordenado 
16
-2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
(x,y) = (1,2) (x,y) = (3,2) (x,y) = (5,2)
(x,y) = (1,4) (x,y) = (3,4) (x,y) = (5,4)
(x,y) = (1,6) (x,y) = (3,6) (x,y) = (5,6)
Capítulo II
(2,5) que está contido no produto cartesiano A por B.
• R2 = {(1,3), (1,4)}  Aqui, também, R2⊂AxB , porque R2 é uma relação dos pares 
ordenados (1,3), (1,4) que estão contidos no produto cartesiano A por B.
• R3 = {(2,3), (2,5)}  R3⊂AxB , porque R3 é uma relação dos pares ordenados 
(2,3), (2,5) que estão contidos no produto cartesiano A por B.
Qualquer desses subconjuntos é uma relação de A x B. Em outras palavras:
Simbolicamente: R é relação de A em B⇔ R⊂AxB
Para que haja relação, é necessário que  x , y ∈AxB , ou seja, que o 1º elemento (x) do 
par ordenado pertença ao conjunto A e o 2º elemento (y), ao conjunto B. Assim:
x , y ∈AxB⇔ x∈Ae y∈B
Há, ainda, outras condições a que as relações devem obedecer.
Exemplo: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5,6}, R = {  x , y ∈AxB / y = 2x}.(Lê-se: R é a 
relação constituída pelos pares ordenados (x,y), pertencentes ao produto cartesiano de A 
por B, tal que o 2º elemento do par (y) seja o dobro do 1º elemento (x), ou seja, y = 2x)
O produto cartesiano é: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), 
(2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}
Mas os pares ordenados que satisfazem à relação de y = 2x são (1,2), (2,4), (3,6), pois 
nenhum dos outros pares ordenados tem o segundo elemento como o dobro do primeiro.
Domínio e Imagem de uma relação
Domínio de uma relação é o conjunto formado pelo primeiro elemento de cada par 
ordenado (x) que satisfaz a essa relação. O domínio está contido no conjunto A. 
Simbolicamente, escrevemos: D  R⊂A .
Imagem de uma relação é o conjunto constituído pelo segundo elemento de cada par 
ordenado (y) que satisfaz à relação. A imagem está contida em B. Simbolicamente, 
escrevemos: Im(R) ⊂ B.
Exemplo:A = {0,2,4,6,8,10} e B = {1,3,5,7,9,11}
R = {  x , y ∈AxB /x-1 = y}
Apesar do produto cartesiano A x B conter 36 elementos, R = {(2,1), (4,3), (6,5), (8,7), 
17
Dados dois conjuntos A e B, dizemos que um 
conjunto R é a relação de A em B, se R for um 
subconjunto de A x B.
Capítulo II
(10,9)} pois satisfaz à condição x-1 = y.
Então, D(R) = {2,4,6,8,10} e Im(R) = {1,3,5,7,9}
Em diagrama:
Veja que a imagem da relação é o conjunto {1,3,5,7,9} que está contido no 
contradomínio.
Função
Podemos dizer que toda função é uma relação. Mais ainda, é um caso particular de 
relação.
Podemos ainda afirmar que uma relação R de A em B é uma função ou aplicação 
quando para cada elemento de A corresponder um único elemento de B. Vejamos um 
exemplo:
Observe que para cada elemento do conjunto A 
corresponde um único elemento do conjunto B.
18
0
4
8
6
2
D(R)
1
10
Im(R)
9
7
3
5
A
B
11
A B
∇
∇
∇ ❒
❒
❒
O conjunto D(R)  A é chamado domínio ou conjunto 
de partida; o conjunto B é chamado contradomínio ou 
conjunto de chegada. No exemplo dado, o domínio tem os 
seguintes elementos: {2,4,6,8,10}; o contradomínio consta dos 
seguintes elementos: {1,3,5,7,9,11}
Capítulo II
Levando em consideração este critério, analisaremos as seguintes relações:
• Esta relação não é uma função,pois existe 
um elemento em A que não tem correspondente 
em B.
• Esta relação é função, pois a cada 
elemento de A corresponde um único elemento de 
B.
• Esta relação também é função, pois a cada 
elemento de A corresponde um único elemento de 
B.
• Esta relação também é uma função, pelo 
mesmo motivo que as anteriores.
• Esta relação não é função, pois existe um 
elemento em A que tem dois correspondentes em 
B.
• Esta relação também é função.
19
A B
∇
∇
∇ ❒
❒
A B
∇
∇
∇ ❒
❒
A B
∇
∇ ❒
❒
❒
A B
∇
∇
∇
❒
A B
∇
∇
∇ ❒
❒
❒ ❒
A B
∇
∇
∇ ❒
❒
❒
∇ ❒
Capítulo II
Podemos concluir que:
Para representarmos uma função f de A em B utilizamos as seguintes notações:
f : AB ou 
f
AB f: f : x y ou f(x) = y
Então podemos concluir que:
Dados dois conjuntos A e B e uma relação f de A em B, 
dizemos que f é uma função de A em B se todo elemento x de 
A estiver associado a um único elemento y de B, tal que (x,y) ∈ f.
Domínio e conjunto-imagem de uma função
Consideremos os conjuntos A = {1,2,3} e B = {0,2,4,6,8}.
Associemos os elementos de A aos de B de acordo com a seguinte relação R = {
x , y ∈AxB /y = 2x}.
Então, Para x = 1, temos y = 1 . 2 = 2
Para x = 2, temos y = 2 . 2 = 4
Para x = 3, temos y = 3 . 2 = 6
Utilizando diagramas com flechas, temos:
D(f) = A = {1,2,3}
20
A B
1
2
3
0
4
2
6
8
ou
y é imagem de x pela relação ff de A em B
Para que uma relação seja função é necessário 
partir uma flecha de todo elemento de A.
Capítulo II
Observamos que esta relação é uma função f de A em B e 
podemos representá-la assim: f : x y , definida por f(x) = 2x. A 
função é f(x) = {(1,2), (2,4), (3,6)}.
O conjunto B (de chegada) é o campo de variação da 
função, assim representado C(f), e lemos contradomínio da 
função.
No exemplo dado, temos:
C(f) = B = {0,2,4,6,8}
A imagem B é constituída pelo segundo elemento de cada 
par ordenado que satisfaz a função.
Em diagrama:
Representação gráfica de uma função
Daremos apenas alguns exemplos de representação gráfica de função, porque já 
fizemos a representação gráfica de relação e, como você já sabem, função é um caso 
particular de relação. Portanto, as representações são as mesmas.
Exemplos
Dados, A = {1,2,3} e B = {0,1,2,3,4,5,6,7}, vamos construir os gráficos da função f: 
AB, definida por f(x) = 3x-2.
•Plano cartesiano
x f(x) = 
3x-2
y
1 3 . 1 - 2 1
2 3 . 2 - 2 4
3 3 . 3 - 2 7
Vejam que D(f) = {1,2,3} = A e Im(f) = {1,4,7}
21
1
2
3
A
D(f)
2
4
6
8
Im(f)
0 B = C(f)
No domínio:
● não sobra 
elemento
● não parte mais 
de uma flecha de 
cada elemento
1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Capítulo II
• Representação sagital ou em flechas (Diagrama de Venn)
Se fosse uma função f de ℜ em ℜ , o gráfico cartesiano seria diferente. Veja:
O gráfico de uma função real, que tem por imagem qualquer número real, é formado 
por todos os pares (x,y), onde x∈ℝ e f(x) = 3x-2. É por isso que traçamos a reta.
22
1
2
3
A B4
5
1
6
3
20
7
-2 -1 1 2 3
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
0
Capítulo II
Função Afim
José Roberto toma um táxi comum que cobra R$ 2,60 pela bandeirada e R$ 0,65 por 
quilômetros rodados. Ele quer ia à casa de um amigo que fica a 10 km dali. Quanto José 
Roberto vai gastar de táxi?
Ele terá de pagar os 10 x R$ 0,65 pela distância percorrida e mais R$ 2,60 pela 
bandeirada, ou seja, R$ 6,50 + R$ 2,60 = R$ 9,10.
Se a casa do seu amigo ficasse a 15 km de distância, o preço da corrida (em reais) 
seria: 0,65.15 + 2,60 = 9,75 + 2,60 = 12,35.
Enfim, para cada distância x percorrida pelo táxi há certo preço c(x) para a corrida. O 
valor c(x) é uma função de x.
Podemos encontrar facilmente a lei que expressa c(x) em função de x: c(x) = 0,65 . x + 
2,60, que é um caso particular de função polinomial do 1º grau, ou função afim.
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função fde ℝ em ℝ 
dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a≠0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x ou coeficiente 
angular e o número b é chamado termo constante ou coeficiente linear.
Exemplo:
Na função f(x) = 2x – 3, o coeficiente angular é o 2 e o linear é o -3.
Na função f(x) = -3x + 4, o coeficiente angular é o -3 e o coeficiente linear é o 4.
Vamos obter o gráfico da função afim f(x) = 2x + 1
23
Capítulo III
x f(x) = 2x + 1 y
-2 2 . (-2) + 1 -3
-1 2 . (-1) + 1 -1
0 2 . 0 + 1 1
1 2 . 1 + 1 3
2 2 . 2 + 1 5
Zero da função afim: y = ax + b
O zero (ou raiz) da função afim, assim como de qualquer outra função, é o valor para o 
qual a função f(x) = ax + b se anula. Determinar esse valor nada mais é do que resolver a 
24
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
y = 2x+1
Você dever ter observado que o ponto (0,1) é o ponto em que a reta 
corta o eixo y. O valor da ordenada nesse ponto é 1.
Também deve ter percebido que 1 é o coeficiente linear (valor de b) da 
equação. Coincidência?
Encontre os gráficos das equações: y = 3x – 2, Y = -2x + 1 e y = x - 1 e 
tire suas próprias conclusões.
Capítulo III
equação ax + b = 0.
Portanto, o zero da função f(x) = 2x – 8 vale 4, pois fazendo 2x – 8 = 0 obtemos x = 4.
Desafio: Encontre as raízes das funções y = 2x + 4, y = -x + 1 e y = x - 2 e compare, 
graficamente, esses resultados com o ponto em que a reta intercepta o eixo das abcissas 
(eixo x).
Sistema de Equações
Vimos no início do capítulo que o valor y, do preço da corrida, depende do valor x, da 
quantidade de quilômetros rodados.
Analisando essa função (y = 0,65x + 2,60) chegamos a conclusão que só é possível 
resolvê-la se conhecermos uma das duas incógnitas, ou seja, não temos informações 
suficientes para saber os valores corretos de x e y caso ambas tenham um valor fixo 
desconhecido.
Então precisaremos de outra equação envolvendo essas incógnitas afim de que 
consigamos encontrar esses valores. Daí, com duas equações envolvendo as mesmas 
incógnitas, teremos um sistema de duas equações.
Exemplo
Os alunos do 2° ano de uma escola do interior organizaram uma festa junina no pátio 
da escola. Havia várias opções de divertimento: quadrilha, bingo, gincanas, etc. Três 
barracas, B1, B2 e B3, distribuídas no pátio, ofereciam exatamente as mesmas opções de 
alimentação: churrasco, quentão e pastel; cada uma dessas três opções tinha o mesmo 
preço nas três barracas. Ao final da noite, encerrada a festa, fez-se um balanço sobre o 
consumo nas barracas e verificou-se que:
• na barraca B1, foram consumidos 28 churrascos, 42 quentões e 48 pastéis, 
arrecadando um total de R$ 102,00;
• na barraca B2, foram consumidos 23 churrascos, 50 quentões e 45 pastéis, 
arrecadando um total de R$ 95,00;
• na barraca B3, foram consumidos 30 churrascos, 45 quentões e 60 pastéis, 
arrecadando um total de R$ 117,00
Qual é o preço de um churrasco? E de um quentão? E de um pastel?
Vamos usar a seguinte denominação:
a) x é o preço unitário do churrascos;
b) y é o preço unitário do quentão;
25
Capítulo III
c) z é o preço unitário do pastel;
Com essa notação, vemos que:
a) O total arrecadado em B1 é dado por:
28 . x + 42 . y + 48 . z
Assim, 28x + 42y + 48z = 102,00 (I)
b) O total arrecadado em B2 é dado por:
23 . x + 50 . y + 45 . z
Assim, 23x + 50y + 45z = 95 (II)
c) Analogamente, em B3 segue que:
30x + 45y + 60z = 117 (III)
Considerando, simultaneamente, (I), (II) e (III), obtemos o 
sistema que é um sistema linear, objeto de nosso estudo nesse 
capítulo.
Resolvendo um Sistema
Como já pudemos verificar no exemplo anterior, um sistema pode aparecer em 
qualquer situação do nosso cotidiano. Vejamos mais um exemplo:
Pedro e Paulo conversam despreocupadamente quando chega José, um amigo 
comum, que está para se aposentar. José fala sobre as idades das pessoas que se aposentam 
e percebe que os dois amigos ainda estão longe da aposentadoria. Então, ele pergunta:
- Que idade vocês tem?
Pedro, o mais velho, percebendo um pequeno erro na pergunta, responde:
- Nós temos 72 anos.
26
28x + 42y + 48z = 102
23x + 50y + 45z = 95 , 
30x + 45y + 60z = 117
Observe que o sistema acima tem 3 incógnitas (x, y e z) e 3 equações. 
Você acha que seríamos capazes de resolver esse sistema se tivéssemos 
apenas 2 equações e ainda mantendo as 3 incógnitas?
Capítulo III
A conversa, então, segue assim:
José: - Como? Você está brincando comigo. Esse aí não passa de um garoto e 
você certamente não chegou aos 50.
Pedro: - Da maneira que você perguntou, eu respondi. Nós, eu e Paulo, temos 
juntos 72 anos.
José: - Está bem, eu errei. Eu devia ter perguntado que idades vocês tem. Mas, 
pela sua resposta, eu não consigo saber as idades de cada um.
Pedro: - É claro que não. Você tem duas coisas desconhecidas e apenas uma 
informação sobre elas. É preciso que eu lhe diga mais alguma coisa e, aí sim, você 
determina nossas idades.
José: - Diga.
Pedro: - Vou lhe dizer o seguinte. A minha idade é o dobro da de Paulo. Agora, 
José, você tem duas coisas desconhecidas, mas tem também duas informações sobre 
elas. Com a ajuda da matemática, você poderá saber nossas idades.
Vamos pensar um pouco na situação apresentada. José tem duas coisas a descobrir: a 
idade de Pedro e a idade de Paulo. Essas são suas incógnitas. Podemos então dar nomes a 
essas incógnitas:
idade de Pedro = x
idade de Paulo = y
A primeira informação que temos é que os dois juntos possuem 72 anos. Então, nossa 
primeira equação é:
x + y = 72
A outra informação que temos é que a idade de Pedro é o dobro da idade de Paulo. 
Com isso, podemos escrever a nossa segunda equação:
x = 2y
Essas equações formam o sistema
Esse sistema, pela sua simplicidade, pode ser resolvido sem necessidade de nenhuma 
técnica especial. Se a segunda equação nos diz que x é igual a 2y, então substituiremos a 
letra x da primeira equação por 2y. Veja:
x + y = 72
2y + y = 72
3y = 72
27
x + y = 72
x = 2y
Capítulo III
y = 723 ⇒ y = 24
E como x = 2y, então x = 2 . 24 ⇒ y = 48. Dessa forma, concluímos que Pedro tem 48 
anos e Paulo 24 anos.
Mas, nem sempre os sistemas são tão simples assim. Nesta parte deste capítulo, 
vamos aprender dois métodos que você pode usar na solução dos sistemas:
Método da Substituição
O sistema do problema anterior foi resolvido pelo método da substituição. Vamos nos 
deter um pouco mais no estudo desse método prestando atenção na técnica de resolução.
Agora, vamos apresentar um sistema já pronto, sem a preocupação de saber de onde 
ele veio. Vamos, então, resolver o sistema:
Para começar, devemos isolar uma das letras em qualquer uma das equações. 
Observando o sistema, vemos que o mais fácil é isolar a incógnita y na segunda equação; 
assim:
4x – y = 11 ⇒ 4x – 11 = y ou y = 4x – 11
Isso mostra que o valor de y é igual a 4x – 11. Assim, podemos trocar um pelo outro, 
pois são iguais. Vamos então substituir y por 4x – 11 na primeira equação.
3x + 2y = 22
3x + 2(4x – 11) = 22
Temos agora uma equação com uma só incógnita, basta resolvê-la. Desenvolvendo a 
equação temos:
3x + 2(4x – 11) = 22 ⇒ 3x + 8x – 22 = 22 ⇒ 11x = 44 ⇒ x = 4
Já temos o valor de x. Repare que logo no início da solução tínhamos concluído que y 
= 4x – 11. Então, para obter y, basta substituir x por 4.
y = 4x - 11 ⇒ y = 16 - 11 ⇒ y = 5
A solução do nosso sistema é, portanto, x = 4 e y = 5.
28
3x +2y = 22
4x – y = 11
Capítulo III
Método da Adição
Para compreender o método da adição, vamos recordar inicialmenteo que significa 
somar duas igualdades membro a membro. Se temos:
A = B e C = D
• podemos somar os dois primeiros termos e os dois segundos termos das duas 
equações, ou seja, os dois lados esquerdos e os dois lados direitos, para concluir:
A + C = B + D
Consideremos agora o seguinte problema:
“Encontrar 2 números, sabendo que sua soma é 27 e que sua diferença é 3.”
Para resolvê-lo, vamos chamar os números desconhecidos de x e y. De acordo com o 
enunciado, temos as equações:
Veja o que acontece quando somamos membro a membro as duas equações:
⇒ x = 15
Encontramos o valor de x. Para encontrar o valor de y vamos substituir x por 15 em 
qualquer uma das equações. Por exemplo, na segunda:
15 – y = 3
29
Ao resolver um sistema, é sempre 
aconselhável conferir a resposta 
encontrada para ver se não erramos na 
solução. Os valores de x e de y 
encontrados estarão certos se eles 
transformarem as duas equações em 
igualdades verdadeiras.
x + y = 27
x – y = 3
No método da 
substituição pode-se 
isolar qualquer uma 
das duas incógnitas em 
qualquer das equações 
e, depois substituir a 
expressão encontrada 
na outra equação.
 x + y = 27
 + x – y = 3 
x + x + y – y = 27 + 3
⇒ 2x = 30
Capítulo III
y = 15 – 3
y = 12
A solução do problema é, portanto, x = 15 e y = 12.
Desafio: Resolva o seguinte sistema pelo método da 
adição:
Dica: Em qualquer equação, podemos realizar a mesma operação aritmética nos 2 
membros. Por exemplo:
a + b = c – d ⇒ k.(a + b) = (c – d).k ⇒ ka + kb = kc – kd
ou
a + b = c – d ⇒
ab
n
=
c−d 
n
⇒ a
n
b
n
= c
n
− d
n
Interpretação Geométrica de um Sistema
Vejamos uma situação em que podemos aplicar sistemas para resolver problemas:
A Mercearia A, uma concorrente da Mercearia B, estava cobrando por certa mercadoria 
o dobro do preço que a outra pedia. Percebendo que isso impressionava mal a clientela, o 
dono da Mercearia A decidiu dar um desconto de R$ 10,00 no seu preço. Seu concorrente 
rebateu, então, dando o mesmo desconto de R$ 10,00 na mercadoria. Desse modo, o preço na 
Mercearia A ficou agora o triplo do preço na Mercearia B! Quanto cada mercearia estava 
pedindo pela mercadoria?
Podemos extrair duas informações desse problema:
I. A Mercearia A cobrava o dobro do preço de uma mercadoria que a Mercearia B 
cobrava.
II. Após os descontos de R$10,00 das duas mercearias, o preço na Mercearia A 
30
8x + 3y = 21
5x + 2y = 13
O método da adição consiste em somar membro a 
membro as duas equações, com o objetivo de eliminar uma 
das incógnitas. No sistema que resolvemos, a incógnita y foi 
eliminada quando somamos membro a membro as duas 
equações. Mas isso, frequentemente, não acontece dessa 
forma tão simples. Em geral, devemos ajeitar o sistema antes 
de somar.
Capítulo III
ficou o triplo do preço na Mercearia B.
Vamos chamar de x o valor cobrado antes do desconto na Mercearia B e de y o valor 
cobrado antes do desconto na Mercearia A.
Podemos resumir os valores da mercadoria antes e depois do desconto numa tabela:
Mercadoria Mercearia B Mercearia A
Preço antes do desconto x y
Preço depois do desconto x - 10 y - 10
Portanto, escrevendo em linguagem matemática, de I temos que y = 2x, e de II temos 
que y – 10 = 3(x – 10).
Podemos montar um sistema:
Antes de continuarmos, devemos arrumar a equação y - 10 = 3(x – 10). Então:
y – 10 = 3x – 30
y = 3x – 30 + 10
y = 3x - 20
Assim, o sistema fica:
Resolvendo por substituição temos:
2x = 3x – 20 ⇒ 20 = x ou x = 20 .
Daí, y = 2.20 = 40 ⇒ y = 40
Então, a Mercearia B estava cobrando R$ 20,00 pela mercadoria, enquanto que a 
Mercearia A cobrava R$ 40,00 (o dobro). Os preços caíram após os descontos para R$ 10,00 e 
R$ 30,00 (o triplo).
Visualizando o Problema
Aprendemos no capítulo 2 que o plano cartesiano é usado em problemas que 
envolvem no máximo duas grandezas.
Nele, essas grandezas podem ser interpretadas como duas variáveis, x e y, cada qual 
sendo representada em um dos eixos. O que fazemos, em cada problema, então, é representar 
graficamente as relações existentes entre x e y, para daí procurar no gráfico a solução que o 
problema pede.
31
y = 2x
y - 10 = 3(x - 10)
y = 2x
y = 3x - 20
Capítulo III
No problema que acabamos de resolver, encontramos essas relações entre x e y, 
expressas num sistema de duas equações:
O gráfico de y = 2x é uma reta. Nela estão contidos pontos (x, y) como os encontrados 
por esta tabela, e que estão assinalados no gráfico:
x y = 2x
0 0
5 10
10 20
14 28
Repare que no gráfico foram contemplados todos os 
infinitos pontos (x,y) de y = 2x e não apenas aqueles 
encontrados na tabela.
Mas, esse mesmo x e esse mesmo y que satisfazem à primeira equação, também 
devem satisfazer à segunda equação, afinal de contas eles representam a mesma coisa nas 
duas equações, os valores da mercadoria nas duas mercearias.
Portanto, podemos concluir que o ponto (x, y), que representa o valor das incógnitas x 
e y, deve também estar sobre y = 3x – 20.
Conclusão: o ponto (x, y) procurado deve estar sobre as duas retas. Logo, deve ser o 
ponto de interseção delas! Veja no gráfico:
32
y = 2x
y = 3x - 20
10 20
-10
10
20
30
40
x
y
(x,y) = (20,40)
y = 3x - 20
y = 2x
Solução: As retas do 
gráfico, nesse exemplo, 
na realidade, são 
semirretas, já que x e y 
representam preços, 
que não podem ser 
negativos. Portanto, 
temos mais uma 
restrição para x em y = 
3x – 20. Fazendo 3x – 
20 ≥ 0 obtemos x ≥ 
20/3.
Capítulo III
Um clube dispõe de um capo de futebol de 100 m de comprimento por 70 m de largura 
e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com 
3 m de largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?
A área da região cercada é: (100 + 2 . 3)(70 + 2 . 3) = 106 . 76 = 8056 m2.
Se a largura da pista fosse de 4 m, a área da região cercada seria: (100 + 2 . 4)(70 + 
2 . 4) = 108 . 78 = 8424 m².
Enfim, a cada largura x escolhida para a pista há uma área A(x) da região cercada. O 
valor de A(x) é uma função de x. Procuremos a lei que expressa A(x) em função de x:
A(x) = (100 + 2x)(70 + 2x) = 7000 + 200x + 140x + 4x² = 4x² + 340x + 7000
33
Campo de futebol
3 m
3 m
Campo de futebol
x
x
Capítulo IV
Este é um caso particular de função polinomial do 2º grau, ou função quadrática.
Chama-se função quadrática a toda função definida por f: ℝ → ou f(x) = ax² + bx + c,ℝ 
onde a, b e c  e a ℝ  0, pois se a = 0, temos uma função do 1º grau. O nome quadrática 
deve-se ao fato da variável de maior expoente aparecer elevada ao quadrado.
Gráfico da Função do 2º Grau
Do mesmo modo como construímos o gráfico das funções de 1º grau, construiremos 
também o gráfico da função do 2º grau.
O gráfico da função quadrática é uma curva aberta chamada parábola.
Exemplo
Vamos representar o gráfico da função f(x) = x² – 4x + 3
Atribuímos valores quaisquer a x e achamos y.
x f(x) = x² – 4x + 3 y
-1 (-1)² – 4(-1) + 3 8
0 0² – 4 . 0 + 3 3
1 1² – 4 . 1 + 3 0
2 2² – 4 . 2 + 3 -1
3 3² – 4 . 3 + 3 0
4 4² – 4 . 4 + 3 3
5 5² – 4 . 5 + 3 8
Zeros (Raízes) da Equação do 2º Grau
Assim como na equação do 1º grau, os zeros ou as raízes da função do 2º grau f(x) = 
ax² + bx + c, com a  0, são os números reais x tais que f(x) = 0. Mas se tentarmos resolver a 
equação do 2º grau de forma trivial, como estamos acostumados, não conseguiremos. Então, 
um indiano chamado Bháskara desenvolveu uma fórmula que determina as suas raízes, em 
que a, b, e c são os coeficientes do polinômio. A fórmula recebe seu nome e é assim 
representada:34
x=−b±b
2−4ac
2a
Capítulo IV
Exemplo 1
Vamos obter os zeros da função f(x) = x² – 5x + 6. Temos que a = 1, b = -5 e c = 6.
Então,
x=−b±b
2−4ac
2a
=5±25−24
2
=5±1
2
, e as 
raízes são 2 e 3.
Ex2: Vamos calcular as raízes da função f(x) = 4x² – 4x + 1:
Temos que a = 4, b = -4 e c = 1
Então,
x=−b±b
2−4ac
2a
= 4±16−16
8
=4
8
=1
2
 e as raízes são 
1
2 e 
1
2 .
Exemplo 2
Vamos calcular os zeros da função f(x) = 2x² + 3x + 4:
Temos que a = 2, b = 3 e c = 4. Então,
x=−b±b
2−4ac
2a
=−3±9−32
4
=−3±−23
4
 .∉ ℜ
35
x = 3
x = 2
ou
-1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Capítulo IV
Portanto, essa função não tem raízes reais.
Coordenadas do Vértice da Parábola
Quando a>0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; 
quando a<0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em 
qualquer caso, as coordenadas de V são xv , yv  ou −
b
2a
,−
4a
 .
Exemplo 1
Vamos calcular m em y = x² – 8x + (2m + 1) a fim de que o valor mínimo assumido por 
y seja -12.
Como a = 1>0, essa parábola tem ponto de mínimo. O valor de mínimo é a ordenada 
yv do vértice.
Devemos ter:
yv = -12 ⇒
−
4a = -12 ⇒
64−42m1
4
= 12 m =⇒
3
2
36
x
y
0
-b/2a
-(b²-4ac)/4a
a>0
V
x
y
0 -b/2a
-(b²-4ac)/4a
a<0
V
A quantidade de raízes de uma função quadrática depende do valor 
obtido para o radicando b²-4ac, chamado discriminante e representado 
pela letra grega delta ( ), a saber:
 Quando  >0, há duas raízes reais e distintas;
Quando =0, há só uma raiz real; 
Quando <0, não há raiz real. 
Capítulo IV
Exemplo 2
Uma bala é atirada de um canhão de brinquedo (como mostra a figura) e descreve 
uma parábola de equação y = -3x² + 60x (onde x e y são medidos em metros).
Vamos determinar:
a) a altura máxima atingida pela bala;
b) o alcance do disparo.
a) Como a = -3 <0, a 
parábola tem um ponto de máximo V cujas coordenadas são (xv; yv). Temos:
xv=
−b
2a
=−60
−6
=10 ; yv=
−
4a
=−3600
−12
=300 .
Assim, a altura máxima atingida pela bala é 300 m após ter percorrido 10 m.
b) A bala toca o solo quando y = 0, isto é: -3x² + 60x = 0 x = 0 ou x = 20. Mas x = 0⇒ 
não convém, pois representa o ponto inicial do disparo; então, o alcance do disparo é 20 m.
37
x
y
0
V
V
Capítulo IV
Otávio e Rose formam um casal muito diferente: em suas famílias as pessoas vivem 
bastante tempo. Vamos calcular quantos bisavôs e bisavós tem conjuntamente Otávio e Rose?
De início, contamos os ascendentes de Otávio e os de Rose e, em seguida, os 
somamos:
pais  2 + 2 = 4 = 2²
avôs/avós  4 + 4 = 8 = 2³
bisavôs/bisavós  8 + 8 = 16 = 24
Podemos observar que, a cada passo dado para uma geração anterior, o número de 
ascendentes dobra. Se calculássemos o número de ascendentes de quinta geração 
(trisavôs/trisavós) de Otávio e Rose, encontraríamos:
6 + 16 = 32 = 25
Enfim, para cada geração x que se escolha há um número f(x) de ascendentes. O valor 
de f(x), portanto, é uma função de x, e a lei que expressa f(x) em função de x é f(x) = 2x, que é 
um caso particular de função exponencial.
38
Chamamos função exponencial a qualquer função f de ℝ em dada porℝ 
uma lei da forma f(x) = ax, onde a é um número real dado, a>0 e a ≠ 1.
Para descobrir o significado da 
restrição a ≠ 1, faça a verificação na 
função exponencial para a = 1 e depois 
construa seu gráfico.
Capítulo V
Representação Gráfica
Vamos construir os gráficos de algumas funções exponenciais e observar algumas 
propriedades.
Exemplo
Vejamos como construir o gráfico da função y = 2x:
Atribuindo valores para x, obtemos valores para y = f(x) = 2x.
x y = 2x
-3
1
8
-2
1
4
-1
1
2
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 12 
x
-3 8
-2 4
-1 2
39
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
y = 2 x^
Capítulo V
0 1
1
1
2
2
1
4
3
1
8
Propriedades
• Na função exponencial y = ax, temos: x = 0 ⇒ y = a0 = 1, ou seja, o par ordenado 
(0,1) satisfaz a lei y = ax para todo a (a>0 e a ≠ 1).
Isso quer dizer que o gráfico de qualquer função exponencial corta o eixo dos y no 
ponto de ordenada 1.
• Se a>1, então a função f(x) = ax é crescente. Portanto, dados os reais x1 e x2, 
temos:
São crescentes, por exemplo, as funções exponenciais f(x) = 2x, f(x) = 3x, f(x) = 32 
x
, 
f(x) = (1,2)x.
40
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
y = (1/2)^x
se x1x2então a
x1a x2
Capítulo V
• Se 0<a<1, então a função f(x) = ax é decrescente. Portanto, dados os reais x1 e x2, 
temos:
São decrescentes, por exemplo, as funções exponenciais f(x) = 12 
x
, f(x) = 13 
x
, f(x) 
= 23 
x
, f(x) = (0,1)x.
• Para todo a>0 e a ≠ 1, temos:
• Para todo a>0 e todo x real, temos ax>0; portanto, o gráfico da função y = ax está 
sempre acima do eixo dos x.
Se a>1, então ax aproxima-se de zero quando x assume valores negativos cada 
vez menores.
Se 0<a<1, então ax aproxima-se de zero quando x assume valores positivos cada 
vez maiores. Tudo isso pode ser resumido dizendo-se que o conjunto-imagem da função 
exponencial y = ax é Im = {y ∈ | y>0ℝ } = ℝ+* .
Equação Exponencial
Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente de pelo 
menos uma potência.
Exemplo:
a) 2x = 16 b)  127 
x
= 81 c) 4x – 2x = 12 d) 53x-2 = 125
e) 12 
x
=  132  f) 2 x=64 g) 22x+1 . 43X+1 = 8x-1 h) 9x+1 – 4 . 3x – 69= 0
Um método usado para resolver equações exponenciais consiste em reduzir ambos os 
membros da equação a potências de mesma base a (0<a ≠ 1), e daí aplicar a propriedade 
a x1=a x2⇒ x1=x2 .
Quando isso é possível, a equação exponencial é facilmente resolvida.
41
se x1x2então a
x1a x2
se a x1=a x2 então x1=x2
Capítulo V
Vamos desenvolver as equações do exemplo anterior:
1. 2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4 ⇒ S = {4}
2.  127 
x
= 81 ⇒  133 
x
= 34 ⇒ (3-3)x = 34 ⇒ 3-3x = 34 ⇒ -3x = 4 ⇒ x =
−4
3 ⇒ S = {−43 }
3. 4x – 2x = 12 ⇒ 22x - 2x = 12 ⇒ 2 x 2 - 2x -12 = 0, fazendo 2x = y temos y² – y – 12 = 0 ⇒ 
y = 4 ou y = -3.
Daí se segue que 2x = 4 ou 2x = -3.
Para 2x = 4 temos 2x = 2² ⇒ x = 2.
Para 2x = -3 temos que não existe x ∈ ℝ que satisfaça a equação ⇒ S = {2}
4. 53x-2 = 125 ⇒ 53x-2 = 53 ⇒ 3x – 2 = 3 ⇒ x =
5
3 ⇒ S = {53}
5. 12 
x
=  132  ⇒  12 x  =  125 x = 5⇒ ⇒ S = {5}
6. 2 x=64 ⇒ 212 
x
=26⇒
x
2
=6 x = 12⇒ ⇒ S = {12}
7. 22x+1. 43X+1 = 8x-1 2⇒ 2x+1. 223x1 = 23x−1 2⇒ 2x+1. 26X+2 = 23x-3 2⇒ 8x+3 = 23x-3 8x + 3 =⇒ 
3x – 3 ⇒ x=−
6
5 ⇒ S = {−65 }
8. 9x+1 – 4 . 3x – 69 = 0 9 . 9x – 4 . 3x – 69 = 0⇒
Chamando 3x de y, vem:
9y² – 4y – 69 = 0 ⇒ y = 3 ou y=−
23
9
Como y = 3x, vem:
3x = 3 3⇒ x =3¹ ⇒ x = 1
ou
3x =−
23
9 não existe x ⇒ ∈ ℝ que satisfaça a equação ⇒ S = {1}
42
Capítulo V
(ENEM 2007) Uma equipe de paleontólogos descobriu 
um rastro de dinossauro carnívoro e nadador, no norte da 
Espanha.
O rastro completo tem comprimento igual a 15 metros e 
consiste de vários pares simétricos de duas marcas de três 
arranhões cada uma, conservadas em arenito.
O espaço entre duas marcas consecutivas mostra uma pernada de 
2,5 metros. O rastro difere do de um dinossauro não-nadador: “são 
as unhas que penetram no barro — e não a pisada —, o que 
demonstra que o animal estava nadando sobre a água: só tocava o 
solo com as unhas, não pisava”, afirmam os paleontólogos.
Qual dos seguintes fragmentos do texto, considerado isoladamente, é variável relevantepara se estimar 
o tamanho do dinossauro nadador mencionado?
A) “O rastro completo tem 15 metros de comprimento”
B) “O espaço entre duas marcas consecutivas mostra uma pernada de 2,5 metros”
C) “O rastro difere do de um dinossauro não-nadador”
D) “são as unhas que penetram no barro — e não a pisada”
E) “o animal estava nadando sobre a água: só tocava o solo com as unhas”
(ENEM 2007) A diversidade de formas geométricas espaciais criadas pelo homem, ao mesmo 
tempo em que traz benefícios, causa dificuldades em algumas situações. Suponha, por 
exemplo, que um cozinheiro precise utilizar exatamente 100 ml de azeite de uma lata que 
contenha 1.200 ml e queira guardar o restante do azeite em duas garrafas, com capacidade 
para 500 ml e 800 ml cada, deixando cheia a garrafa maior. Considere que ele não disponha de 
instrumento de medida e decida resolver o problema utilizando apenas a lata e as duas garrafas. As 
etapas do procedimento utilizado por ele estão ilustradas nas figuras a seguir, tendo sido omitida a 5ª 
etapa:
43
Questões
Qual das situações ilustradas a seguir corresponde à 5.a etapa do procedimento?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
(ENEM 2008) A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, 
referente ao mês de junho de 2008.
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então:
A) M(x) = 500 + 0,4x
B) M(x) = 500 + 10x
C) M(x) = 510 + 0,4x
D) M(x) = 510 + 40x
E) M(x) = 500 + 10,4x
(ENEM 2009) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro 
idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na 
figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do 
número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado:
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em 
função do número de bolas (x)?
44
Questões
A) y = 30x
B) y = 25x + 20,2
C) y = 1,27x
D) y = 0,7x
E) y = 0,07x + 6
(ENEM 2009) Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem 
por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a 
diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria 
aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 
20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para 
a promoção idealizada é apresentado no gráfico ao lado, no qual o valor da diária é função do tempo 
medido em número de dias.
De acordo com os dados e com o modelo, 
comparando o preço que um casal pagaria pela 
hospedagem por sete dias fora da promoção, um 
casal que adquirir o pacote promocional por oito 
dias fará uma economia de:
A) R$ 90,00
B) R$ 110,00
C) R$ 130,00
D) R$ 150,00
E) R$ 170,00
(ENEM 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, 
que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas 
as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No 
acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. 
Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial 
deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 
55 pessoas?
A) R$ 14,00
B) R$ 17,00
C) R$ 22,00
D) R$ 32,00
E) R$ 57,00
(ENEM 2005) O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasolina ou álcool nos veículos 
automotores. Nas grandes cidades, essa possibilidade tem sido explorada, principalmente, 
pelos táxis, que recuperam em um tempo relativamente curto o investimento feito com a 
conversão por meio da economia proporcionada pelo uso do gás natural. Atualmente, a 
conversão para gás natural do motor de um automóvel que utiliza a gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro 
de gasolina permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,20, enquanto um metro cúbico de GNV 
permite percorrer cerca de 12 km e custa R$ 1,10. Desse modo, um taxista que percorra 6.000 km por 
mês recupera o investimento da conversão em aproximadamente:
A) 2 meses
45
Questões
B) 4 meses
C) 6 meses
D) 8 meses
E) 10 meses
(ENEM 2000) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada 
cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros 
roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y 
juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados.
O número esperado de carros roubados da marca Y é:
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
(ENEM 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada 
litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, 
eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 
1,48, foram vendidos 10.200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, 
arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é 
A) V = 10.000 + 50x – x²
B) V = 10.000 + 50x + x²
C) V = 15.000 – 50x – x²
D) V = 15.000 + 50x – x²
E) V = 15.000 – 50x + x²
(ENEM 2009) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade 
diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados 
obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da 
quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da 
direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 
anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países 
desenvolvidos.
46
Questões
Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 
corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no 
ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em 
desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população 
com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:
A) 490 e 510 milhões
B) 550 e 620 milhões
C) 780 e 800 milhões
D) 810 e 860 milhões
E) 870 e 910 milhões
(ENEM 2007) A duração do efeito de alguns 
fármacos está relacionada à sua meia-vida, tempo 
necessário para que a quantidade original do 
fármaco no organismo se reduza à metade. A cada 
intervalo de tempo correspondente a uma meia-vida, a 
quantidade de fármaco existente no organismo no final do 
intervalo é igual a 50% da quantidade no início desse 
intervalo.
O gráfico ao lado representa, de forma genérica, o que 
acontece com a quantidade de fármaco no organismo 
humano ao longo do tempo.
A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se 
uma dose desse antibiótico for injetada às 12 h em um 
paciente, o percentual dessa dose que restará em seu 
organismo às 13 h 30 min. será aproximadamente de:
A) 10%
B) 15%
C) 25%
D) 35%
E) 50%
47
Questões
	1º Unidade
	Capítulo I
	ConjuntosRelações e Operações
	Conjuntos Numéricos
	Produto Cartesiano, Relação e Função
	Função Afim