SIMULADO_1°_PROVA_ECONOMETRIA_II

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Universidade Federal de Juiz de Fora 
Faculdade de Economia 
 
Simulado_1ª. Prova de ECONOMERIA II -GABARITO 
– Prof. Ricardo Freguglia – 
 
1. Marque V ou F e justifique: Considere o modelo de regressão linear simples 
iii
XY  
10
 , 
No qual 
 
N
iii
XY
1
,

 é uma amostra aleatória, 
0),( 
ii
XCov 
, 
0][ 
i
XVar
 , 
][
4
i
XE
, 
 ][0
4
i
uE
. Temos um vetor de variáveis aleatórias Zi com dimensão rx1, com r≥1, tal que 
0),( 
ii
ZCov 
. Além 
disso, 
  2 
ii
ZVar
. 
Baseando-se nas informações acima, julgue as seguintes afirmativas: 
Ⓞ O estimador de Mínimos Quadrados Ordinários para 
1

 será consistente, mas ineficiente; 
FALSO. Como esta escrito no enunciado que a 𝑪𝒐𝒗(𝒖, 𝒙) ≠0 então o estimado será inconsistente 
e enviesado, logo os estimadores estimados por MQO serão estimadores ineficientes. 
① Se r=1, podemos identificar o parâmetro populacional 
1

 como: 
)(
),(
1
i
ii
XVar
YZCov

; 
FALSO. O cálculo para o estimador de 𝜷𝟏 não é dividido pela 𝑽𝒂𝒓(𝑿𝒊 ),mas é dividido pela 
𝑪𝒐𝒗(𝒛, 𝒙). 
 
𝜷𝟏 = 𝑪𝒐𝒗(𝒛, 𝒚)
𝑪𝒐𝒗(𝒛, 𝒙)
 
Se a 𝑪𝒐𝒗(𝒛, 𝒙) ≠0 podemos identificar 𝜷𝟏, contudo se a 𝑪𝒐𝒗(𝒛, 𝒙) =0 não há possibilidades de 
encontrar 𝜷𝟏. 
 
② Se r≥1, o estimador de Mínimos Quadrados em dois estágios será um estimador consistente; 
VERDADEIRO. Para que MQ2E consistente é necessário atender 4 hipóteses para ser consistente: 
Tendo linearidade nos parâmetros(válida) 
iii
XY  
10
 
(Nessa equação há linearidade nos parâmetros) 
 
 Apresentar uma amostra aleatória(válida) 
 
No enunciado foi dito que era uma amostra aleatória 
 
 Não há relação perfeita entre as variáveis instrumentais. (Válida) 
 
Universidade Federal de Juiz de Fora 
Faculdade de Economia 
 
 
O enunciado diz: variáveis aleatórias Zi com dimensão rx1, então não há relação 
entre as VI. 
 
 E(u)=0 (Esperança do termo de erro igual a zero) (Esta foi provada pelo enunciado) 
 
 
③ Se r≥1, o estimador de Mínimos Quadrados em dois estágios será um estimador não-viesado e 
eficiente; 
FALSO. Para que o MQ2E seja um estimador consistente e asimptoticamente eficiente e não 
enviesado é necessário atender 5 hipóteses: 
 Tendo linearidade nos parâmetros(válida) 
iii
XY  
10
 , 
 
 Apresentar uma amostra aleatória: (válida) 
No enunciado foi dito que era uma amostra aleatória 
 
 Não há relação perfeita entre as variáveis instrumentais: (válida) 
O enunciado diz: variáveis aleatórias Zi com dimensão rx1, então não há relação entre as VI. 
 
 
 E(u)=0(o termo de erro u tem média zero) 
 
 As variâncias do vetor das variáveis instrumentais aleatórias z é constante, é 
homocedastica. (Essa hipótese não é válida) 
No enunciado está escrito: 
  2 
ii
ZVar
. Essa expressão é heterocestastica. Pois era necessário 
acrescentar a função das variáveis explicativas que determina a heterocestacidade h(xi). Para ser 
homocedastica era necessário: 
  2 
ii
ZVar
h(Xi) 
 
④ Se r=1, o estimador de variável instrumental para 
1VI

será 
))((
1
))((
1
ˆ
1
1
1
XXZZ
N
YYZZ
N
i
N
i
i
i
N
i
i
VI






 . 
VERDADEIRO. Quando temos uma variável instrumental z que atende os seguintes critérios: 
 
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 𝑪𝒐𝒗(𝒙, 𝒛) ≠0 
 𝑪𝒐𝒗(𝒛, 𝒖) =0 
Podemos calcular o estimador que é dado por: 
𝜷 = (
𝟏
𝑵)
∑(𝒁 − 𝒁)̅̅ ̅
̂
(𝒀 − 𝒀)̅̅ ̅
(
𝟏
𝑵)
∑(𝒁 − 𝒁)̅̅ ̅ (𝑿 − 𝑿)̅̅̅̅
 
Assim cancelando (1/N): 
 
𝜷 = ∑(𝒁 − 𝒁)̅̅ ̅̂ (𝒀 − 𝒀)̅̅ ̅
∑(𝒁 − 𝒁)̅̅ ̅ (𝑿 − 𝑿)̅̅̅̅
 
2. Relacione e explique os itens abaixo (use fórmulas se necessário): 
a. Inferência robusta em relação à heterocedasticidade após a estimação de MQO; 
Resposta: Olhar página 244 e 245 no livro Wooldridge, 4°Edição. 
 
b. Mínimos quadrados ponderados e Mínimos quadrados generalizados; 
Resposta: Olhar página 260 e 261 no livro Wooldridge, 4°Edição. 
 
c. MQG factível. 
Resposta: Olhar página 265 e 266 no livro Wooldridge, 4°Edição. 
. 
3. Considere o modelo a seguir que busca encontrar os impactos da lei anti-crime sobre a taxa de 
criminalidade em 46 cidades. A variável dependente é, portanto, o logaritmo da taxa de 
criminalidade em 1987 (log(txcrim87)). A taxa de criminalidade também está disponível para o 
ano de 1982 e pode ser usada como variável independente adicional na tentativa de controlar 
as variáveis não observáveis das cidades que afetem o crime e possam estar correlacionadas 
com os dispêndios atuais com a imposição de uma lei anti-crime (log(lei87)). Desemp87 indica 
a taxa de desemprego em 1987. A tabela a seguir contém os resultados: 
 
 
Variável Dependente: txcrim87 
Variáveis independentes (1) (2) 
Desemp87 -0,029 (0,032) 0,009 (0,020) 
Log(lei87) 0,203 (0,173) -0,140 (0,109) 
Log(txcrim82) - 1,194 (0,132) 
Intercepto 3,34 (1,25) 0,076 (0,821) 
Observações 
R2 
46 
0,057 
46 
0,680 
Nota: Desvio-padrão entre parênteses. 
 Significância das variáveis sem a variável taxa de criminalidade defasada: 
Tcrítico Desemprego87= 0,906 
Tcrítico Log(lei)= 1,173 
Tcrítico Intercepto= 2,67 
 
 
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 Significância das variáveis após acrescentar a variável taxa de criminalidade defasada: 
Tcrítico Desemprego87= 0,45 
Tcrítico Log(lei)= 1,1284 
Tcrítico Intercepto= 0,092 
Ao nível de significância de 5%, com Tcalcule 1,96, o modelo sem acrescentar a taxa de 
criminalidade defasada de 1982 nenhuma variável foi significativa, exceto intercepto. 
 
Pergunta-se: 
(i) Qual a interpretação dos coeficientes estimados? A lei tem efeito sobre a taxa de 
criminalidade? E o desemprego? 
Resposta: As variáveis taxa de Desemprego87 e Log(lei) não são significativas ao nível de 5%. 
Quando não acrescentamos a taxa de criminalidade defasada de 1982 as variáveis não 
apresentam sinais esperados sobre a taxa de criminalidade do período de 1987. Pela teoria 
econômica, cidades com maior taxa de desemprego tendem a aumentar a taxa de criminalidade 
do período, e quanto maior o dispêndio coma imposição da lei menor seria a taxa de 
criminalidade. Então sem acrescentar a variável dependente defasada de 1982, o efeito da taxa 
de desemprego na taxa de criminalidade de 1987 será negativo, significando que cada aumento 
de 1% na taxa desemprego a taxa de criminalidade de 1987 reduzirá para 0,029%. Por sua vez, 
o efeito do dispêndio com a imposição da lei apresenta um efeito positivo na taxa de criminalidade 
de 1987, significando que a cada aumento de 1% de aumento no gasto com imposição da lei a 
taxa de criminalidade irá aumentar 0,203%. 
 
(ii) Interprete o coeficiente de Log(lei87) na coluna 2. Idem para Desemp87. 
Resposta: Após a acrescentar o log da taxa de criminalidade defasada de 1982, as variáveis taxa 
de Desemprego87 e Log(lei) continuaram não significativas ao nível de 5%, contudo seus efeitos 
sobre a taxa de criminalidade de 1987 têm sinais esperados. A cada aumento de 1% na taxa de 
desemprego de 1987 a taxa de criminalidade de 1987 aumenta 0,009%, e a cada aumento de 1% 
no gasto com a imposição da lei a taxa de criminalidade de 1987 diminui em 0, 14%. 
Acrescentando então a taxa de criminalidade defasada de 1982 tanto a taxa de desemprego de 
1987 como o log dos gastos com imposição da lei apresentaram um desvio-padrão menor. 
 
(iii) Qual a razão para se incluir log(txcrim82)? 
 
Resposta: Acrescentandoa taxa de criminalidade defasa de 1982 podemos perceber que ela é 
significativa ao nível de 5%, tendo como interpretação que cada aumento de 1% na taxa de 
criminalidade de 1982 aumentou 1,19% a taxa de criminalidade de 1987. Adicionando a variável 
dependente defasada podemos controlar fatores não observáveis, quando analisamos o efeito ceteris 
paribus da taxa de desemprego de 1987 e gastos com a imposição da lei sobre a taxa de criminalidade 
de 1987.