transformações lineares no plano

Prévia do material em texto

45. Observe o triângulo Q no plano cartesiano ao lado e escreva no caderno:
a) os pares ordenados que descrevem seus vértices; (4, 2), (8, 1), (8, 4)
b) os pares ordenados formando uma matriz 2 3 3. 
46. Escreva no caderno a matriz correspondente aos vértices de cada figura a seguir.
a) R 
b) S 
c) T 
d) U 
e) V 
47. Coloque os pares ordenados de cada matriz a seguir em um plano cartesiano construído no caderno. Ligue os 
pontos (em ordem) para formar uma figura. Veja a resolução deste exercício no Manual do Professor.
a) 
2
1
1
3
2
6
3
3



 b) 
0
0
1
2
5
2
4
0



 c) 
3
2
1
3
0
0! !



 d) 
0 5
2
5
4
0
40 !




Q
0
1
1 x
y
2
3
4
2 3 4 5 6 7 8



42
8
1
8
4
0
1 x
y
2
3
4
!4
!3
!2
!1
!1!2!3!4!5!6!7!8 1 2 3 4 5 6 7 8
R
S T U V
a) ! ! ! !



31
3
2
1
2
4
4
b) !
!
!
!
! !



83
6
3
6
2
8
2
c) !
!
!
!
!
!



52
4
4
1
1
d) , ,
! ! ! !




1 5
3
2
1
5
1
4 5
3
e) 
! ! ! !



53
6
3
8
1
7
1
Exercícios
12 Aplicações de matrizes
Geometria e coordenadas
Observe a região triangular P no plano cartesiano a seguir.
P
0
1
1
x
y
2
3
4
2 3 4
Os vértices desse triângulo são descritos pelos pares ordenados: (1, 4); (4, 4) e (2, 1). Podemos escrever 
esses pares ordenados em colunas, formando uma matriz. Veja: 
1
4
4
4
2
1




Il
u
st
ra
çõ
e
s 
té
cn
ic
a
s 
d
e
st
a
 p
á
g
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a
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B
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 i
m
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g
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A
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d
it
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ra
Matrizes e determinantes 85
Transformações geométricas
As imagens em uma tela de computador ou televisão de tecnologia mais moderna são na verdade 
formadas por pequenos pontos (pixels), elementos de uma matriz. 
Por exemplo, uma imagem de resolução 800 3 600 tem 800 ? 600 5 480 000 pixels distribuídos em 
800 colunas e 600 linhas.
Quando um programa gráfico altera a posição, reflete, rotaciona ou muda a escala da imagem, na ver-
dade está mudando a posição dos pixels que a formam. Em computação gráfica isso tudo é feito por opera-
ções de matrizes; é o que se chama de transformações geométricas.
Basicamente, as transformações geométricas no plano são quatro: rotação, reflexão, escala e translação.
Observe nas figuras abaixo um nABC sujeito a cada uma dessas transformações:
• Rotação do nABC, de 30º no sentido anti-horário, em torno da origem.
O
30°
A!
B!
C!
A
B
C
x
y
• Reflexão do nABC em relação ao eixo y.
x
y
C!
A! A
B
C
B!
• Mudança de escala do nABC em 50%. Essa mudança de escala chama-se homotetia.
O
A!
B!
C!
A
B
C
x
y
• Translação do nABC com 2 unidades para a esquerda e 2 unidades para cima.
O
A
B
C
x
y
A!
B!
C!
Il
u
st
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çõ
e
s 
té
cn
ic
a
s 
d
e
st
a
 p
á
g
in
a
: 
B
a
n
co
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 i
m
a
g
e
n
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A
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a
 e
d
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ra
86 Capítulo 4
Translação 
Observe as figuras abaixo.
A
0
1
1 x
y
2
3
4
5
6
7
8
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Vértices da região triangular A: (0, 2); (3, 6) e (4, 2).
A
A
0
1
1 x
y
2
3
4
5
6
7
8
2 3 4 5 6 7 8
8
2
9 10 11 12 13
Vértices da região triangular A9: (8, 0); (11, 4) e (12, 0).
As matrizes relacionadas às figuras acima são:
A
0 3
6
4
2
8 11
4
12
0
! " !
2 0







e A
A região triangular A sofreu uma translação dando origem à região triangular A9. Podemos descrever 
essa translação usando uma matriz coluna:
y
x
movemos unidades para baixo ao longo do eixo .
movemos 8 unidades à direita ao longo do eixo , e depois8
2 2−



 →
→
Observe que:
• 
0
2
8
2
8
0











# $ ! • 
3
6
8
2
11
4











# $ ! • 
4
2
8
2
12
0











# $ !
De modo geral, para transladar um ponto P(x, y) de a unidades para a direita e b unidades para cima, 
efetuamos a adição de matrizes:
x
y
a
b
x a
y b



















# !








#
48. Escreva no caderno o que significa cada uma das 
translações dadas pelas matrizes: 
a) 
2
3



 b) 
3
1$



 c) 
$
$
2
1



 d) 
$2
4




49. Copie o diagrama abaixo em uma malha quadricula-
da. Translade o triângulo A de acordo com cada ma-
triz coluna dada e desenhe o triângulo transladado.
A
0
x
y
a) 
2
3



 , dando origem ao triângulo B. 
b) 
$
$
3
4



 , dando origem ao triângulo C. 
c) 
2
5$



 , dando origem ao triângulo D. 
d) 
$
$
3
2



 , dando origem ao triângulo E. 
e) Em cada caso, escreva a adição de matrizes cor-
respondentes. 
Veja a resolução dos exercícios 48 e 49 no Manual do Professor.
; ;











35
8
5
3
9
; ;$
$ $
$











22
3
2
2
2
; ;
$ $











33
8
3
3
1
; ;$ $











20
3
0
2
4
Exercícios
Il
u
st
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e
s 
té
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ic
a
s 
d
e
st
a
 p
á
g
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B
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g
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A
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Matrizes e determinantes 87
Reflexão
Observe o diagrama abaixo. A figura A sofreu uma reflexão em relação ao eixo y dando origem à figura A9.
0
1 x
y
2
3
4
5
6
7
8
9
10
!3
!2
!1
!1!2!3!4!5!6!7!8!9
Vértices da figura A: (!3, 2), (!4, 4), (!2, 7), (!8, 4) Vértices da figura A": (3, 2), (4, 4), (2, 7), (8, 4)
!10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A"A
Veja a matriz associada a cada figura:
A
3
2 4
2
7
8
4
3
2
4
4
2
7
8
#
! ! ! !
"#
4


 e A 44




A reflexão que leva A em A9 é indicada por:
A → A9, ou seja, 
! ! ! !3
2 4
2
7
8
4
3
2
4
4
2
7
8
4
4


 →




Observe que neste caso a reflexão é em relação ao eixo y.
Podemos obter a matriz de A9 multiplicando a matriz de A pela matriz 
!1
0
0
1
,



 ou seja: 
!
$
! ! ! !
#
1
0
0
1 2
4
4
2
7
8
4
3
2
4







3
44
2
7
8
4




Agora, considere uma reflexão da figura A em relação ao eixo x, dando origem à figura B. Veja:
0
1 x
y
2
3
4
5
6
7
8
9
10
!4
!3
!2
!1
!8
!7
!10
!9
!6
!5
!1!2!3!4!5!6!7!8!9!10 1 2 3
Vértices da figura A: (!3, 2), (!4, 4), (!2, 7), (!8, 4)
Matriz associada: !3 !4 !2 !8
 2 4 7 4
Vértices da figura B: (!3, !2), (!4, !4), (!2, !7), (!8, !4)
Matriz associada:
!3 !4 !2 !8
!2 !4 ! 7 !4
A
B
B
a
n
co
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s/
A
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B
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m
a
g
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88 Capítulo 4
Veja a matriz associada a essas figuras:
A B
3
2
4
4
2
7
8
4
3
2
4
4
2
7
8
4
e!
" " " "
!
"
"
"
"
"
"
"
"








A reflexão que leva A em B é indicada por:
A → B, ou seja, A
3
2
4
4
2
7
8
4
3
2
4
4
2
7
!
" " " " "
"
"
"
"
"



 →
""
"
8
4




Observe que neste caso a reflexão é em relação ao eixo x. Podemos obter a matriz de B multiplicando a 
matriz de A pela matriz 
1
0
0
1
,
"



 ou seja:
1
0
0
1 2
4
4
2
7
8
4
3
2"
#
" " " "
!
"
"








3 4
4
2
7
8
4
"
"
"
"
"
"




Rotação
Observe a representação a seguir:
0
1
x
y
2
3
"3
"2
"1
"1"2"3"4"5
1 2 3 4 5
A
C
A figura A sofreu uma rotação de 180º no sentido anti-horário em torno da origem (0, 0), dando origem 
à figura C.
As matrizes associadas a cada uma dessas figuras são: 
1
1
4
3
4
2
5
1
1
1
4
3
4
2
5
1
A Ce! !
"
"
"
"
"
"
"
"








Indicamos a rotação que leva A em C por:
A → C, ou seja, 
1
1
4
3
4
2
5
1
1
1
4
3
4
2
5
1
"
"
"
"
"
"
"
"



 →




De modo geral, para se obter a reflexão em relação ao eixo y de uma figura cuja matriz associada é 
dada, por exemplo, por 
a
e
b
f
c
g
d
h
,







 basta efetuar a multiplicação:
"
#
1
0 1
0















a
e
b
f
c
g
d
h
E, para se obter a reflexão em relação ao eixo x de uma figura cuja matriz associada é dada por 
a
e
b
f
c
g
d
h
,







 basta efetuar a multiplicação:
1
0 1
0
#
















a
e
b
f
c
g
d
h
B
a
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co
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g
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A
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Matrizes e determinantes 89
Nesse caso, obtemos a matriz associada à figura C multiplicando a matriz associada à figura A pela 
matriz 
1 0
0 1
−



! , que é correspondente a 
cos
sen
sen
cos
180
180
180
180
,
"
"
! "
"



 ou seja:
1 0
0 1
1
1
4
3
4
2
5
1
1
1
4
3
4
2
5
1












!
!
# $
!
!
!
!
!
!
!
!
De modo geral, para se obter uma rotação de a graus no sentido anti-horário em torno da origem 
(0, 0) de uma figura cuja matriz associada é dada, por exemplo, por 
a
e
b
f
c
g
d
h
,







 basta efetuar a mul-
tiplicação:
a
e
b
f
c
g
d
h
cos
sen
sen
cos
%
%
! %sen
%
#
















Faça os exercícios a seguir no caderno ou em uma malha 
quadriculada.
50. Faça o que se pede para cada matriz a seguir:
M
0
3
1
5
3
1
$




 
N$
!
!
!
!
0
2
2
0
3
4




Z $
!
!
!
!
!
!
!
!
1
2
3
2
5
1
4
4




a) Marque os pares ordenados em um plano carte-
siano e ligue os pontos, em ordem, para formar 
uma figura.
b) Efetue uma reflexão das figuras em relação ao 
eixo x e escreva a matriz de cada figura refletida.
c) Constate que a matriz da figura refletida pode 
ser obtida multiplicando-se a matriz associada à 
figura pela matriz: !
!
1
0
0
1




51. Repita o exercício anterior, usando uma reflexão em 
relação ao eixo y.
52. Considere a figura A e uma rotação de 908 no sen-
tido anti-horário em torno da origem (0, 0), origi-
nando uma figura D.
a) Obtenha a matriz associada à figura D.
b) Desenhe em um mesmo plano cartesiano as fi-
guras A e D. 
c) Verifique que a matriz associada pode ser obtida 
pelo produto 
cos
sen
sen
cos
"
"
! "
! "
#
90
90
90
90
1
1
4
2
4
3
5
1







 .
53. Faça o que se pede para cada matriz a seguir.
A
1 1
3
$
1
3
3




 
B
2 1
4
$
2
5
4
4
2




C
1 1
3
$
1
4
3
4
1




a) Coloque os pares ordenados de cada matriz no 
plano cartesiano e ligue os pontos em ordem 
para formar uma figura.
b) Na matriz A aplique uma rotação de 90º, em B 
uma rotação de 180º e em C uma rotação de 
270º, no sentido anti-horário, em torno da ori-
gem (0, 0).
c) Em todos os casos escreva a matriz associada à 
figura final e desenhe-as em um mesmo plano 
cartesiano.
d) Verifique que a matriz associada pode ser obtida 
multiplicando-se a matriz associada à figura ini-
cial por 
cos
sen
sen
cos
%
%
! %
! %



 . 
Veja a resolução dos exercícios 50 a 53 no Manual do Professor.
Veja a resposta do item b do exercício 50, 
do exercício 51 e do item c do exercício 53 
na seção Respostas.
Exercícios
a) 1
1
3
4
2
4
1
5
 ! ! ! !
0
1
x
y
2
3
1 2 3 4 5
A
B
a
n
co
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s/
A
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u
iv
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 d
a
 e
d
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o
ra
90 Capítulo 4
Escala
Nem todas as transformações geométricas preservam distâncias e forma como as estudadas até aqui. 
Acompanhe o caso a seguir.
Consideremos uma mudança de escala de um ponto P(x, y) em relação à origem, usando um fator mul-
tiplicativo Sx para a coordenada x e um fator multiplicativo Sy para a coordenada y. Assim, sendo a matriz 
E
S
S
x
y
!
0
0


 e a matriz P
x
,!
y



 devemos ter P9 5 E 3 P.
Por exemplo, observe a região triangular A a seguir:
x
y
A
Podemos aplicar a transformação escala a todos os pontos P(x, y) dessa figura em 100%. Aumentar em 
100% nas direções dos eixos Ox e Oy é multiplicar por 2. Assim, Sx 5 2 e Sy 5 2. Logo:
A"! # !
2
0
0
2








2
2
2
6
6
2
4
4
44
12
12
4




Verificando geometricamente, temos:
x
y
A
A"
Matrizes associadas às figuras A e A9: 
A A! "!
2
2
2
6
6
2
4
4
4
12
12
4





e


B
a
n
co
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s/
A
rq
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B
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o
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Matrizes e determinantes 91
Criptografia
Como dito anteriormente, podemos criptografar mensagens com o auxílio de matrizes. Uma técnica 
bastante simples utiliza como chave codificadora/decodificadora um par de matrizes quadradas (A e B) 
de elementos inteiros e inversas uma da outra e faz correspondência entre letras do alfabeto, símbolos 
e números.
Por exemplo, dadas as matrizes A
 3 12 35 e 




1 1
2 1
B e a tabela:
A B C D E F G H I J K L M N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
O P Q R S T U V W X Y Z . #
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
54. Considere o triângulo A a seguir. Aplique nele uma transformação escala segundo os fatores 3 e 1 nas direções 
dos eixos Oxe Oy, respectivamente. Faça a verificação geométrica.
x
y
A
55. Transformem a figura a seguir usando a matriz de transformação escala: 
A A
3
0
0
1
2
0
0
1
1 2







! !
"
0
x
y
1
2
3
"1"2"3 1 2 3
A
a) Qual é a área da figura A? 5 unidades de área
b) Qual é a área de cada figura transformada? 15 unidades de área; 10 unidades de área
c) Qual é a relação entre a área da figura inicial A e a área de cada figura transformada? O que ocorreu com a 
figura A após sofrer cada transformação? 
56. Explorem, investiguem e respondam.
a) O que ocorre com uma figura quando aplicamos uma transformação escala do tipo 
k
0
0
1
,



 para um núme-
ro real k qualquer?
b) Qual é a relação entre a área da figura inicial e a área da figura transformada pela transformação escala do 
tipo 
k
0
0
1
,



 para um número real k qualquer? 
# $ # $Área de : área de e área de : área de .A A A A3 2
1 2
Veja as respostas deste exercício na seção Respostas.
Exercícios
Veja a resolução dos exercícios 54 a 56 no Manual do Professor.
Il
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st
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e
s:
 B
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92 Capítulo 4