MA13 Resumos 2014

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MA13 - Unidade 1
Pol´ıgonos
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
18 de junho de 2013
Definic¸a˜o
Considere os pontos A1,A2,A3, . . . ,An e suponha que entre
os segmentos A1A2,A2A3, . . . ,An−1An,AnA1 dois
consecutivos na˜o sejam colineares. A unia˜o desses segmentos
e´ um pol´ıgono de geˆnero n.
b
A1
b
A2
b
A3
b
A4
b
A5
Cada um dos pontos A1,A2,A3, . . . ,An e´ um ve´rtice do
pol´ıgono.
Cada um dos segmentos A1A2,A2A3, . . . ,An−1An,AnA1 e´ um
lado do pol´ıgono.
O geˆnero n e´ o nu´mero de ve´rtices e tambe´m o nu´mero de
lados.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 2/8
Definic¸a˜o
Considere os pontos A1,A2,A3, . . . ,An e suponha que entre
os segmentos A1A2,A2A3, . . . ,An−1An,AnA1 dois
consecutivos na˜o sejam colineares. A unia˜o desses segmentos
e´ um pol´ıgono de geˆnero n.
b
A1
b
A2
b
A3
b
A4
b
A5
Cada um dos pontos A1,A2,A3, . . . ,An e´ um ve´rtice do
pol´ıgono.
Cada um dos segmentos A1A2,A2A3, . . . ,An−1An,AnA1 e´ um
lado do pol´ıgono.
O geˆnero n e´ o nu´mero de ve´rtices e tambe´m o nu´mero de
lados.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 2/8
Definic¸a˜o
Considere os pontos A1,A2,A3, . . . ,An e suponha que entre
os segmentos A1A2,A2A3, . . . ,An−1An,AnA1 dois
consecutivos na˜o sejam colineares. A unia˜o desses segmentos
e´ um pol´ıgono de geˆnero n.
b
A1
b
A2
b
A3
b
A4
b
A5
Cada um dos pontos A1,A2,A3, . . . ,An e´ um ve´rtice do
pol´ıgono.
Cada um dos segmentos A1A2,A2A3, . . . ,An−1An,AnA1 e´ um
lado do pol´ıgono.
O geˆnero n e´ o nu´mero de ve´rtices e tambe´m o nu´mero de
lados.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 2/8
Definic¸a˜o
Considere os pontos A1,A2,A3, . . . ,An e suponha que entre
os segmentos A1A2,A2A3, . . . ,An−1An,AnA1 dois
consecutivos na˜o sejam colineares. A unia˜o desses segmentos
e´ um pol´ıgono de geˆnero n.
b
A1
b
A2
b
A3
b
A4
b
A5
Cada um dos pontos A1,A2,A3, . . . ,An e´ um ve´rtice do
pol´ıgono.
Cada um dos segmentos A1A2,A2A3, . . . ,An−1An,AnA1 e´ um
lado do pol´ıgono.
O geˆnero n e´ o nu´mero de ve´rtices e tambe´m o nu´mero de
lados.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 2/8
Frequentemente usamos a sequeˆncia das letras do alfabeto
para nomear os ve´rtices de um pol´ıgono.
A figura abaixo mostra um hexa´gono ABCDEF .
b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
b
F
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 3/8
Pol´ıgono convexo
Um pol´ıgono e´ convexo quando qualquer reta que passe sobre
um dos lados deixa o pol´ıgono inteiramente contido em um
dos semiplanos.
A figura a seguir mostra um penta´gono convexo.
b
A
b
B b
C
b D
b
E
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 4/8
Pol´ıgono convexo
Um pol´ıgono e´ convexo quando qualquer reta que passe sobre
um dos lados deixa o pol´ıgono inteiramente contido em um
dos semiplanos.
A figura a seguir mostra um penta´gono convexo.
b
A
b
B b
C
b D
b
E
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 4/8
Pol´ıgonos na˜o convexos
As duas figuras seguintes mostram penta´gonos na˜o convexos.
b
A
b
B
b C
b
D
b
E
b
A
b
B
b C
b
D
b
E
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 5/8
Pol´ıgonos na˜o convexos
As duas figuras seguintes mostram penta´gonos na˜o convexos.
b
A
b
B
b C
b
D
b
E
b
A
b
B
b C
b
D
b
E
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 5/8
Diagonais
Diagonal de um pol´ıgono e´ qualquer segmento que une dois
ve´rtices na˜o consecutivos.
Se X e Y sa˜o dois ve´rtices de um pol´ıgono e se XY na˜o e´ um
lado do pol´ıgono enta˜o e´ uma diagonal.
b
b
X
b
b
b
b Y
b
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 6/8
Diagonais
Diagonal de um pol´ıgono e´ qualquer segmento que une dois
ve´rtices na˜o consecutivos.
Se X e Y sa˜o dois ve´rtices de um pol´ıgono e se XY na˜o e´ um
lado do pol´ıgono enta˜o e´ uma diagonal.
b
b
X
b
b
b
b Y
b
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 6/8
O conceito de diagonal na˜o tem relac¸a˜o com o fato do
pol´ıgono ser convexo ou na˜o.
As diagonais de qualquer penta´gono ABCDE sa˜o AC , AD,
BD, BE e CE .
b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 7/8
O conceito de diagonal na˜o tem relac¸a˜o com o fato do
pol´ıgono ser convexo ou na˜o.
As diagonais de qualquer penta´gono ABCDE sa˜o AC , AD,
BD, BE e CE .
b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 7/8
Nu´mero de diagonais de um pol´ıgono
O nu´mero de diagonais de um pol´ıgono de geˆnero n e´
d =
n(n − 3)
2
.
Siga o racioc´ınio abaixo para justificar a fo´rmula acima.
Em um pol´ıgono de geˆnero n:
Por cada ve´rtice podemos trac¸ar . . . . . . . . . . . . diagonais.
Pelos n ve´rtices podemos trac¸ar . . . . . . . . . . . . diagonais.
Pore´m cada diagonal . . . . . . . . . . . .
Logo, . . . . . . . . . . . .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 8/8
Nu´mero de diagonais de um pol´ıgono
O nu´mero de diagonais de um pol´ıgono de geˆnero n e´
d =
n(n − 3)
2
.
Siga o racioc´ınio abaixo para justificar a fo´rmula acima.
Em um pol´ıgono de geˆnero n:
Por cada ve´rtice podemos trac¸ar . . . . . . . . . . . . diagonais.
Pelos n ve´rtices podemos trac¸ar . . . . . . . . . . . . diagonais.
Pore´m cada diagonal . . . . . . . . . . . .
Logo, . . . . . . . . . . . .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 8/8
MA13 - Unidade 1
Pol´ıgonos - II
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
8 de maio de 2013
Aˆngulos internos
Considere conhecido o fato que a soma dos aˆngulos internos
de qualquer triaˆngulo e´ igual a 180o .
Em um pol´ıgono convexo cada aˆngulo formado por dois lados
consecutivos e´ um aˆngulo interno.
b
b
b
b
b
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 2/7
Aˆngulos internos
Considere conhecido o fato que a soma dos aˆngulos internos
de qualquer triaˆngulo e´ igual a 180o .
Em um pol´ıgono convexo cada aˆngulo formado por dois lados
consecutivos e´ um aˆngulo interno.
b
b
b
b
b
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 2/7
Soma dos aˆngulos internos de um pol´ıgono convexo
Em qualquer pol´ıgono convexo de geˆnero n as diagonais
trac¸adas por um ve´rtice dividem o pol´ıgono em n − 2
triaˆngulos.
b
b
b b
b
b
b
A soma dos aˆngulos internos do pol´ıgono e´ igual a soma dos
aˆngulos internos de todos os triaˆngulos.
A soma dos aˆngulos internos de um pol´ıgono convexo de geˆnero
n e´
S = 180o(n − 2) .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 3/7
Soma dos aˆngulos internos de um pol´ıgono convexo
Em qualquer pol´ıgono convexo de geˆnero n as diagonais
trac¸adas por um ve´rtice dividem o pol´ıgono em n − 2
triaˆngulos.
b
b
b b
b
b
b
A soma dos aˆngulos internos do pol´ıgono e´ igual a soma dos
aˆngulos internos de todos os triaˆngulos.
A soma dos aˆngulos internos de um pol´ıgono convexo de geˆnero
n e´
S = 180o(n − 2) .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 3/7
Aˆngulos externos
Em um pol´ıgono convexo o aˆngulo formado pelo
prolongamento de um lado e o lado seguinte e´ um aˆngulo
externo.
b
b
b
b
b
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 4/7
Soma dos aˆngulos externos
A soma dos aˆngulos externos de qualquer pol´ıgono convexo e´
360o .
Para justificar, observe a figura a seguir.
b
A
b
B
b
C
b
Db
E
a
b
c
d
e
b
a′
b′
c ′
d ′
e′
A figura mostra um pol´ıgono convexo, os aˆngulos externos e,
por um ponto exterior a` direita dela foram trac¸adas paralelas
aos lados do pol´ıgono.
Os aˆngulos externos aparecem com um ve´rtice comum e o
resultado fica evidente.PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 5/7
Soma dos aˆngulos externos
A soma dos aˆngulos externos de qualquer pol´ıgono convexo e´
360o .
Para justificar, observe a figura a seguir.
b
A
b
B
b
C
b
Db
E
a
b
c
d
e
b
a′
b′
c ′
d ′
e′
A figura mostra um pol´ıgono convexo, os aˆngulos externos e,
por um ponto exterior a` direita dela foram trac¸adas paralelas
aos lados do pol´ıgono.
Os aˆngulos externos aparecem com um ve´rtice comum e o
resultado fica evidente.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 5/7
Pol´ıgonos simples
Um pol´ıgono e´ chamado de simples quando dois lados
quaisquer na˜o se cruzam.
Um pol´ıgono simples pode na˜o ser convexo como o da figura
a seguir.
b
b
b
b
b
b
Os aˆngulos formados por dois lados consecutivos, medidos no
interior do pol´ıgono, sa˜o os aˆngulos internos.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 6/7
Pol´ıgonos simples
Um pol´ıgono e´ chamado de simples quando dois lados
quaisquer na˜o se cruzam.
Um pol´ıgono simples pode na˜o ser convexo como o da figura
a seguir.
b
b
b
b
b
b
Os aˆngulos formados por dois lados consecutivos, medidos no
interior do pol´ıgono, sa˜o os aˆngulos internos.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 6/7
Pol´ıgonos simples
Um pol´ıgono e´ chamado de simples quando dois lados
quaisquer na˜o se cruzam.
Um pol´ıgono simples pode na˜o ser convexo como o da figura
a seguir.
b
b
b
b
b
b
Os aˆngulos formados por dois lados consecutivos, medidos no
interior do pol´ıgono, sa˜o os aˆngulos internos.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 6/7
Soma dos aˆngulos internos de um pol´ıgono simples
Todo pol´ıgono simples pode ser dividido em n − 2 triaˆngulos.
11 lados
9 triaˆngulos
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Por isso,
A soma dos aˆngulos internos de qualquer pol´ıgono simples e´
S = 180o(n − 2) .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 7/7
Soma dos aˆngulos internos de um pol´ıgono simples
Todo pol´ıgono simples pode ser dividido em n − 2 triaˆngulos.
11 lados
9 triaˆngulos
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Por isso,
A soma dos aˆngulos internos de qualquer pol´ıgono simples e´
S = 180o(n − 2) .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 1 slide 7/7
MA13 - Unidade 2
Congrueˆncia de triaˆngulos
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
10 de maio de 2013
Simetria em relac¸a˜o a uma reta
Dizemos que os pontos P e P ′ sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a` reta r
quando a reta r e´ perpendicular ao segmento PP ′ e passa pelo seu
ponto me´dio.
b
P
b
P′r
b
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 2/11
Figuras congruentes
Em palavras simples:
Duas figuras sa˜o congruentes quando podem ser levadas a
coincidir mediante um deslocamento r´ıgido de uma delas.
Os deslocamentos r´ıgidos sa˜o a translac¸a˜o, a rotac¸a˜o e a simetria
em relac¸a˜o a uma reta que podem ser observados nas figuras
seguintes.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 3/11
Figuras congruentes
Em palavras simples:
Duas figuras sa˜o congruentes quando podem ser levadas a
coincidir mediante um deslocamento r´ıgido de uma delas.
Os deslocamentos r´ıgidos sa˜o a translac¸a˜o, a rotac¸a˜o e a simetria
em relac¸a˜o a uma reta que podem ser observados nas figuras
seguintes.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 3/11
Translac¸a˜o
Translac¸a˜o
b
A
b
B
b
C
b
A1
b
B1
b
C1
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 4/11
Rotac¸a˜o
Rotac¸a˜o em torno de O
b
A
b
B
b
C
b
O
b
A′
b B′
bC ′
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 5/11
Simetria em relac¸a˜o a r
Simetria em relac¸a˜o a r
b
A
b
B
b
C
r
b
A′
b
B′
bC ′
A simetria em relac¸a˜o a uma reta e´ um movimento curioso porque
implica retirar a figura do plano e vira´-la ao contra´rio.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 6/11
Simetria em relac¸a˜o a r
Simetria em relac¸a˜o a r
b
A
b
B
b
C
r
b
A′
b
B′
bC ′
A simetria em relac¸a˜o a uma reta e´ um movimento curioso porque
implica retirar a figura do plano e vira´-la ao contra´rio.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 6/11
Caso LAL
Dois triaˆngulos sa˜o congruentes se tiverem dois lados
respectivamente congruentes e os aˆngulos entre eles congruentes.
b
A
b
B
b
C
b
A′
b
B′
b
C ′
AB = A′B ′, BC = B ′C ′, ∠B = ∠B ′ ⇒ 4ABC ≡ 4A′B ′C ′
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 7/11
Caso ALA
Dois triaˆngulos sa˜o congruentes se um lado de um for congruente a
um lado do outro e os aˆngulos com ve´rtices nas extremidades desse
lado forem congruentes.
b
A
b
B
b
C
b
A′
b
B′
b
C ′
BC = B ′C ′, ∠B = ∠B ′, ∠C = ∠C ′ ⇒ 4ABC ≡ 4A′B ′C ′
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 8/11
Caso LLL
Dois triaˆngulos sa˜o congruentes se tiverem os treˆs lados
respectivamente congruentes.
b
A
b
B
b
C
b
A′
b
B′
b
C ′
AB = A′B ′, BC = B ′C ′, CA = C ′A′ ⇒ 4ABC ≡ 4A′B ′C ′
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 9/11
Problema
E´ dado o segmento AB. Os pontos P e Q sa˜o tais que PA = PB e
QA = QB. Mostre que PQ e´ perpendicular a AB.
b
A
b
B
b
P
b
Q
b
M
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 10/11
Soluc¸a˜o:
Seja M o ponto de intersec¸a˜o de AB e PQ.
4PAQ ≡ 4PBQ (LLL) ⇒ ∠APQ = ∠BPQ.
4APM ≡ 4BPM (LAL) ⇒ ∠PMA = ∠PMB.
Como a soma desses aˆngulos e´ 180o , cada um deles mede 90o .
b
A
b
B
b
P
b
Q
b
M
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 11/11
Soluc¸a˜o:
Seja M o ponto de intersec¸a˜o de AB e PQ.
4PAQ ≡ 4PBQ (LLL) ⇒ ∠APQ = ∠BPQ.
4APM ≡ 4BPM (LAL) ⇒ ∠PMA = ∠PMB.
Como a soma desses aˆngulos e´ 180o , cada um deles mede 90o .
b
A
b
B
b
P
b
Q
b
M
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 11/11
Soluc¸a˜o:
Seja M o ponto de intersec¸a˜o de AB e PQ.
4PAQ ≡ 4PBQ (LLL) ⇒ ∠APQ = ∠BPQ.
4APM ≡ 4BPM (LAL) ⇒ ∠PMA = ∠PMB.
Como a soma desses aˆngulos e´ 180o , cada um deles mede 90o .
b
A
b
B
b
P
b
Q
b
M
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 11/11
Soluc¸a˜o:
Seja M o ponto de intersec¸a˜o de AB e PQ.
4PAQ ≡ 4PBQ (LLL) ⇒ ∠APQ = ∠BPQ.
4APM ≡ 4BPM (LAL) ⇒ ∠PMA = ∠PMB.
Como a soma desses aˆngulos e´ 180o , cada um deles mede 90o .
b
A
b
B
b
P
b
Q
b
M
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 11/11
MA13 - Unidade 2
Congrueˆncia de triaˆngulos- II
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
1 de julho de 2013
Triaˆngulo iso´sceles
Os aˆngulos da base de um triaˆngulo iso´sceles sa˜o congruentes.
b
B
b
C
b
A
Seja ABC um triaˆngulo com AB = AC . Considere o ponto
M, me´dio de BC e mostre que os triaˆngulos AMB e AMC sa˜o
congruentes.
Consequeˆncia
Em um triaˆngulo iso´sceles, a mediana relativa ao lado desigual
e´ tambe´m altura e bissetriz.
Rec´ıproca
A rec´ıproca e´ verdadeira. Se, no triaˆngulo ABC tivermos
∠B = ∠C enta˜o AB = AC .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 2/1
Triaˆngulo iso´sceles
Os aˆngulos da base de um triaˆngulo iso´sceles sa˜o congruentes.
b
B
b
C
b
A
Seja ABC um triaˆngulo com AB = AC . Considere o ponto
M, me´dio de BC e mostre que os triaˆngulos AMB e AMC sa˜o
congruentes.
Consequeˆncia
Em um triaˆngulo iso´sceles, a mediana relativa ao lado desigual
e´ tambe´m altura e bissetriz.
Rec´ıproca
A rec´ıproca e´ verdadeira. Se, no triaˆngulo ABC tivermos
∠B = ∠C enta˜o AB = AC .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 2/1
Triaˆngulo iso´sceles
Os aˆngulos da base de um triaˆngulo iso´sceles sa˜o congruentes.
b
B
b
C
b
A
Seja ABC um triaˆngulo com AB= AC . Considere o ponto
M, me´dio de BC e mostre que os triaˆngulos AMB e AMC sa˜o
congruentes.
Consequeˆncia
Em um triaˆngulo iso´sceles, a mediana relativa ao lado desigual
e´ tambe´m altura e bissetriz.
Rec´ıproca
A rec´ıproca e´ verdadeira. Se, no triaˆngulo ABC tivermos
∠B = ∠C enta˜o AB = AC .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 2/1
Triaˆngulo iso´sceles
Os aˆngulos da base de um triaˆngulo iso´sceles sa˜o congruentes.
b
B
b
C
b
A
Seja ABC um triaˆngulo com AB = AC . Considere o ponto
M, me´dio de BC e mostre que os triaˆngulos AMB e AMC sa˜o
congruentes.
Consequeˆncia
Em um triaˆngulo iso´sceles, a mediana relativa ao lado desigual
e´ tambe´m altura e bissetriz.
Rec´ıproca
A rec´ıproca e´ verdadeira. Se, no triaˆngulo ABC tivermos
∠B = ∠C enta˜o AB = AC .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 2/1
Mediatriz de um segmento
A mediatriz de um segmento e´ a reta perpendicular a esse
segmento que passa pelo seu ponto me´dio.
Todo ponto da mediatriz de um segmento equidista dos
extremos desse segmento.
b
A
b
B
r
b
P
b
M
Seja M o ponto me´dio do segmento AB. Seja r a mediatriz
do segmento AB e seja P um ponto qualquer de r .
Os triaˆngulos PMA e PMB sa˜o congruentes.
Logo, PA = PB.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 3/1
Mediatriz de um segmento
A mediatriz de um segmento e´ a reta perpendicular a esse
segmento que passa pelo seu ponto me´dio.
Todo ponto da mediatriz de um segmento equidista dos
extremos desse segmento.
b
A
b
B
r
b
P
b
M
Seja M o ponto me´dio do segmento AB. Seja r a mediatriz
do segmento AB e seja P um ponto qualquer de r .
Os triaˆngulos PMA e PMB sa˜o congruentes.
Logo, PA = PB.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 3/1
Mediatriz de um segmento
A mediatriz de um segmento e´ a reta perpendicular a esse
segmento que passa pelo seu ponto me´dio.
Todo ponto da mediatriz de um segmento equidista dos
extremos desse segmento.
b
A
b
B
r
b
P
b
M
Seja M o ponto me´dio do segmento AB. Seja r a mediatriz
do segmento AB e seja P um ponto qualquer de r .
Os triaˆngulos PMA e PMB sa˜o congruentes.
Logo, PA = PB.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 3/1
Bissetriz de um aˆngulo
A bissetriz de um aˆngulo e´ a semirreta que divide um aˆngulo
em dois outros congruentes.
Todo ponto da bissetriz de um aˆngulo equidista dos lados
desse aˆngulo.
b
O
b
P
b
D
b
C
bc M
bc
B
bc
A
A distaˆncia de um ponto a uma reta e´ o comprimento da
perpendicular baixada do ponto a` reta.
OM e´ bissetriz do aˆngulo AOB. Seja P um ponto de OM.
MC e MD sa˜o perpendiculares aos lados OA e OB,
respectivamente.
Continue...
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 4/1
Bissetriz de um aˆngulo
A bissetriz de um aˆngulo e´ a semirreta que divide um aˆngulo
em dois outros congruentes.
Todo ponto da bissetriz de um aˆngulo equidista dos lados
desse aˆngulo.
b
O
b
P
b
D
b
C
bc M
bc
B
bc
A
A distaˆncia de um ponto a uma reta e´ o comprimento da
perpendicular baixada do ponto a` reta.
OM e´ bissetriz do aˆngulo AOB. Seja P um ponto de OM.
MC e MD sa˜o perpendiculares aos lados OA e OB,
respectivamente.
Continue...
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 4/1
Bissetriz de um aˆngulo
A bissetriz de um aˆngulo e´ a semirreta que divide um aˆngulo
em dois outros congruentes.
Todo ponto da bissetriz de um aˆngulo equidista dos lados
desse aˆngulo.
b
O
b
P
b
D
b
C
bc M
bc
B
bc
A
A distaˆncia de um ponto a uma reta e´ o comprimento da
perpendicular baixada do ponto a` reta.
OM e´ bissetriz do aˆngulo AOB. Seja P um ponto de OM.
MC e MD sa˜o perpendiculares aos lados OA e OB,
respectivamente.
Continue...
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 4/1
Bissetriz de um aˆngulo
A bissetriz de um aˆngulo e´ a semirreta que divide um aˆngulo
em dois outros congruentes.
Todo ponto da bissetriz de um aˆngulo equidista dos lados
desse aˆngulo.
b
O
b
P
b
D
b
C
bc M
bc
B
bc
A
A distaˆncia de um ponto a uma reta e´ o comprimento da
perpendicular baixada do ponto a` reta.
OM e´ bissetriz do aˆngulo AOB. Seja P um ponto de OM.
MC e MD sa˜o perpendiculares aos lados OA e OB,
respectivamente.
Continue...
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 4/1
Teorema do aˆngulo externo de um triaˆngulo
Em um triaˆngulo, um aˆngulo externo e´ maior que qualquer um
dos dois aˆngulos internos na˜o adjacentes.
b
B
b
X
b
A
b
C
θ
α
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 5/1
Teorema do aˆngulo externo de um triaˆngulo - II
No triaˆngulo ABC seja ∠ACX = θ o aˆngulo externo em C e
seja ∠BAC = α o aˆngulo interno em A.
Seja M o ponto me´dio de AC .
Prolongue BM de um comprimento MD igual a BM.
b
B
b
X
b
A
b
C
θ
α
b
M
b
D
α′
MA = MC ,MB = MD,∠AMB = ∠DMC ⇒ 4MAB ≡ 4BCD
⇒ ∠MCD = θ .
Como ∠ACD = α esta´ contido em ∠ACX = θ conclu´ımos
que θ > α.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 6/1
Teorema do aˆngulo externo de um triaˆngulo - II
No triaˆngulo ABC seja ∠ACX = θ o aˆngulo externo em C e
seja ∠BAC = α o aˆngulo interno em A.
Seja M o ponto me´dio de AC .
Prolongue BM de um comprimento MD igual a BM.
b
B
b
X
b
A
b
C
θ
α
b
M
b
D
α′
MA = MC ,MB = MD,∠AMB = ∠DMC ⇒ 4MAB ≡ 4BCD
⇒ ∠MCD = θ .
Como ∠ACD = α esta´ contido em ∠ACX = θ conclu´ımos
que θ > α.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 6/1
Construc¸a˜o de triaˆngulos
Construir um triaˆngulo significa explicitar os procedimentos de
utilizac¸a˜o da re´gua e do compasso para desenhar um triaˆngulo
quando treˆs dos seus elementos sa˜o dados.
Exemplo Construir o triaˆngulo ABC dados os segmentos
BC = a, AC = b e AB = c
b b
a
b b
b
b b
c
b
C
b
B
b
A
Soluc¸a˜o
Desenhe o segmento BC = a.
Desenhe uma circunfereˆncia de centro B e raio c.
Desenhe uma circunfereˆncia de centro C e raio b.
Seja A um dos pontos de intersec¸a˜o dessas circunfereˆncias,
O triaˆngulo ABC esta´ constru´ıdo.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 7/1
Construc¸a˜o de triaˆngulos
Construir um triaˆngulo significa explicitar os procedimentos de
utilizac¸a˜o da re´gua e do compasso para desenhar um triaˆngulo
quando treˆs dos seus elementos sa˜o dados.
Exemplo Construir o triaˆngulo ABC dados os segmentos
BC = a, AC = b e AB = c
b b
a
b b
b
b b
c
b
C
b
B
b
A
Soluc¸a˜o
Desenhe o segmento BC = a.
Desenhe uma circunfereˆncia de centro B e raio c.
Desenhe uma circunfereˆncia de centro C e raio b.
Seja A um dos pontos de intersec¸a˜o dessas circunfereˆncias,
O triaˆngulo ABC esta´ constru´ıdo.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 7/1
Construc¸a˜o de triaˆngulos
Construir um triaˆngulo significa explicitar os procedimentos de
utilizac¸a˜o da re´gua e do compasso para desenhar um triaˆngulo
quando treˆs dos seus elementos sa˜o dados.
Exemplo Construir o triaˆngulo ABC dados os segmentos
BC = a, AC = b e AB = c
b b
a
b b
b
b b
c
b
C
b
B
b
A
Soluc¸a˜o
Desenhe o segmento BC = a.
Desenhe uma circunfereˆncia de centro B e raio c.
Desenhe uma circunfereˆncia de centro C e raio b.
Seja A um dos pontos de intersec¸a˜o dessas circunfereˆncias,
O triaˆngulo ABC esta´ constru´ıdo.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 7/1
Caso ALL
Considere o problema de construir o triaˆngulo ABC dados o
aˆngulo B o lado BC e o lado CA.
Se B < 90o o problema pode ter duas soluc¸o˜es como mostra a
figura a seguir.
b
B
b
C
b
A
b
A′
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 8/1
Caso ALL
Considere o problema de construir o triaˆngulo ABC dados o
aˆngulo B o lado BC eo lado CA.
Se B < 90o o problema pode ter duas soluc¸o˜es como mostra a
figura a seguir.
b
B
b
C
b
A
b
A′
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 8/1
Pore´m, se B ≥ 90o o problema, se tiver soluc¸a˜o, tera´ apenas uma.
b
B
b
C
b
A
Assim, o caso de congrueˆncia ALL vale se o aˆngulo for maior que
ou igual a 90o .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 2 slide 9/1
MA13 - Unidade 3
Paralelismo
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
3 de julho de 2013
Nomes tradicionais
A reta t corta as retas r e s. Dizemos que a reta t e´ uma
transversal de r e s.
r
s
t
b
b
a
b
c
d
Os aˆngulos a e b chamam-se alternos internos.
Os aˆngulos a e c chamam-se correspondentes.
Os aˆngulos a e d chamam-se colaterais internos.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 2/7
Teorema das paralelas
Recordac¸a˜o (teorema do aˆngulo externo)
Em um triaˆngulo, um aˆngulo externo e´ maior que qualquer um dos
aˆngulos internos na˜o adjacentes.
Teorema
Se a transversal t determina nas retas r e s aˆngulos alternos
internos iguais (congruentes) enta˜o r e s sa˜o paralelas.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 3/7
Demonstrac¸a˜o
Sejam A e B os pontos de intersec¸a˜o de t com r e s,
respectivamente.
Se as retas r e s na˜o fossem paralelas enta˜o teriam um ponto
comum. Seja C esse ponto. O triaˆngulo ABC possui um
aˆngulo externo igual a um aˆngulo interno na˜o adjacente, o
que na˜o pode acontecer pelo teorema do aˆngulo externo.
r
b
Cs
t
b
A
b
B
Logo, o triaˆngulo ABC na˜o existe e as retas r e s sa˜o
paralelas.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 4/7
Outros teoremas
a) Se duas retas paralelas sa˜o cortadas por uma transversal, dois
aˆngulos alternos internos sa˜o iguais.
b) Se em duas retas cortadas por uma transversal dois aˆngulos
correspondentes sa˜o iguais, essas retas sa˜o paralelas.
c) Se duas retas paralelas sa˜o cortadas por uma transversal, dois
aˆngulos correspondentes sa˜o iguais.
d) Se duas retas paralelas sa˜o cortadas por uma transversal, dois
aˆngulos colaterais internos sa˜o suplementares (somam 180o).
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 5/7
Teorema de Tales
A soma dos aˆngulos internos de um triaˆngulo e´ igual a 180o .
b
A
b
B
b
C
b
Y
b
X
α
β
θ
α′
β′
Considere o triaˆngulo ABC , o prolongamento CX de BC e trace
por C uma paralela CY a AB.
∠A + ∠B + ∠C = 180o
Consequeˆncia:
Um aˆngulo externo de um triaˆngulo e´ a soma dos aˆngulos internos
na˜o adjacentes. Na figura: ∠ACX = ∠A + ∠B.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 6/7
Problema
No quadrila´tero convexo OABC os segmentos OA, OB e OC
possuem mesmo comprimento. Mostre que o aˆngulo AOB e´ o
dobro do aˆngulo ACB.
b
O
b
A
b
B
b C
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 7/7
MA13 - Unidade 3
Triaˆngulos
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
10 de julho de 2013
Teorema
Em um triaˆngulo, se dois lados sa˜o desiguais, os aˆngulos opos-
tos sa˜o desiguais e o maior lado esta´ oposto ao maior aˆngulo.
Demonstrac¸a˜o:
Considere o triaˆngulo ABC com AC > AB. Vamos provar que
∠B > ∠C .
b
A
b
B
b
C
b
D
Seja D um ponto do lado AC tal que AD = AB.
O triaˆngulo ABD e´ iso´sceles e, portanto, ∠ABD = ∠ADB.
Enta˜o, ∠B = ∠ABC > ∠ABD = ∠ADB > ∠ACB = ∠C .
Observac¸a˜o:
A rec´ıproca desse teorema e´ verdadeira.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 2/8
Problema 1
Na figura a seguir, colocar os cinco segmentos em ordem crescente.
b b
a
70
◦
50
◦
b
55
◦
b
b
c
d
e
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 3/8
Problema 2 - Problemas de construc¸a˜o
Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o lado AB = c , o lado
BC = a e o segmento h, que e´ a altura relativa ao ve´rtice A.
b b
a
b b
c
b b
h
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 4/8
Soluc¸a˜o:
Siga os passos na ordem apresentada. Veja depois a figura para
conferir.
1. Desenha uma reta r .
2. Assinale um ponto B sobre r .
3. Com o compasso desenhe um arco de circunfereˆncia de centro
B e raio a. Esse arco corta a reta r no ponto C .
4. Assinale um ponto P qualquer sobre r .
5. Trace a reta s passando por P e perpendicular a r .
6. Com o compasso trace um arco de circunfereˆncia de centro P
e raio h. Esse arco corta a reta s no ponto Q.
7. Trace por Q uma reta t paralela a r .
8. Trace a circunfereˆncia de centro B e raio c . Como h < c essa
circunfereˆncia cortou a reta t nos pontos A e A′.
Os triaˆngulos ABC e A′BC sa˜o as soluc¸o˜es do problema
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 5/8
b b
a
b b
c
b
b
h
b
B
b
P
b
C
b
Q
b
A
b
A′
r
s
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 6/8
Problema 3
Construir o triaˆngulo ABC conhecendo os aˆngulos B e C e o
per´ımetro.
Dados:
Per´ımetro = 12cm
∠B = 70◦
∠C = 40◦
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 7/8
Soluc¸a˜o:
Siga os passos na ordem apresentada. Veja depois a figura para
conferir.
1. Desenhe um segmento PQ igual ao per´ımetro dado.
2. Desenhe “acima”da reta PQ o aˆngulo QPX =
B
2
.
3. Desenhe “acima”da reta PQ o aˆngulo PQY =
C
2
.
4. A intersec¸a˜o das semirretas PX e QY e´ o ponto A.
5. A intersec¸a˜o da mediatriz de AP com o segmento PQ e´ o
ponto B.
6. A intersec¸a˜o da mediatriz de AQ com o segmento PQ e´ o
ponto C . O triaˆngulo foi constru´ıdo.
b
P
b
Q
35
◦
20
◦
b
A
b
B
b
C
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 3 slide 8/8
MA13 - Unidade 4
Desigualdade triangular - I
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
6 de julho de 2013
Treˆs pontos colineares
Se A, B e C esta˜o nessa ordem sobre uma reta temos, por
definic¸a˜o, AB + BC = AC .
b
A
b
B
b
C
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 2/1
Desigualdade triangular
Sejam A, B e C treˆs pontos na˜o colineares. Consideremos AB = c ,
AC = b e BC = a.
Prolongue BA de um comprimento AD igual a AC . Assim,
AD = b + c .
b
B
b
Ca
b
A
b
D
bc
b′
No triaˆngulo iso´sceles ACD, temos AC = AD = b e
∠ACD = ∠ADC . Temos enta˜o ∠BCD > ∠ACD = ∠ADC .
No triaˆngulo DBC isso significa que BD > BC , ou seja, b + c > a.
De a < b + c conclui-se que b < a + c e c < a + b. Portanto:
Em um triaˆngulo qualquer lado e´ menor que a soma dos outros dois.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 3/1
Problema 1
Se P e´ um ponto interior ao triaˆngulo ABC enta˜o
PB + PC < AB + AC .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 4/1
Soluc¸a˜o
b
A
b
B
b
C
b
P
b
Q
Seja Q o ponto de intersec¸a˜o da reta BP com o lado AC .
No triaˆngulo BAQ temos BP + PQ < AB + AQ.
No triaˆngulo PQC temos PC < PQ + QC .
Somando membro a membro e cancelando o termo PQ temos
PB + PC < AB + AQ + QC = AB + AC
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 5/1
Problema 2
No triaˆngulo ABC tem-se AB = 9, AC = x e BC = 15− 2x .
Quais sa˜o os valores poss´ıveis de x?
Soluc¸a˜o:
Vamos aplicar a desigualdade triangular para cada lado do
triaˆngulo.
AB < AC + BC ⇒ 9 < x + 15− 2x ⇒ x < 6
AC < AB + BC ⇒ x < 9 + 15− 2x ⇒ x < 8
BC < AB + AC ⇒ 15− 2x < 9 + x ⇒ x > 2
Para que as treˆs desigualdades sejam verdadeiras devemos ter
2 < x < 6.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 6/1
Pergunta
No Problema 2 o triaˆngulo pode ser iso´sceles?
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 7/1
MA13 - Unidade 4
Desigualdade triangular - II
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
6 de julho de 2013
Problema 1
No triaˆngulo ABC o ponto M e´ me´dio de BC . O segmento AM e´
a mediana relativa ao ve´rtice A (tambe´m se diz que AM e´ a
mediana relativa ao lado BC ).
Sa˜o dados AB = c , AC = b e AM = m.
a) Mostre que m <
b + c2
.
b) Construa o triaˆngulo ABC com os elementos dados.
Procure resolver sem ver logo a soluc¸a˜o que vem a seguir.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 2/1
Soluc¸a˜o
a) Prolongue o segmento AM de um comprimento MD igual a
AM.
b
A
b
B
b
C
c b
b
M
b
D
c ′
m
Os triaˆngulos MAB e MCD sa˜o congruentes pelo caso LAL.
Logo, CD = AB = c . Assim, no triaˆngulo ACD temos
AD < AC + CD, ou seja, 2m < b + c , como quer´ıamos
demonstrar.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 3/1
b) Aproveitando o item anterior a construc¸a˜o pode ser feita da
seguinte forma.
Desenhe o segmento AM e a semirreta AM. Desenhe a
circunfereˆncia de centro M que passa por A. Sobre a reta AM fica
determinado o ponto D tal que AM = MD.
b
A
b
M
b
D
m
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 4/1
c) Trace a circunfereˆncia de centro A e raio b e a circunfereˆncia de
centro D e raio c .
b
A
b C
b
b
M
b
D
c
m
Seja C um dos pontos de intersec¸a˜o dessas circunfereˆncias.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 5/1
d) Trace a reta CM e a circunfereˆncia de centro M passando por C .
Essa circunfereˆncia determina na reta CM o ponto B e o triaˆngulo
esta´ constru´ıdo.
b
A
b
B
b
C
c b
b
M
b
D
m
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 6/1
O caminho m´ınimo
Considere dois pontos A e B de um mesmo lado da reta r .
Um problema famoso e´ o de determinar a posic¸a˜o do ponto P
sobre a reta r de forma que a soma das distaˆncias de P aos pontos
A e B seja m´ınima. ( PA + PB deve ser m´ınima)
b
A
b
B
b
P
r
Para resolver, desenhe o sime´trico de um dos pontos dados em
relac¸a˜o a` reta r .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 7/1
Na figura a seguir, o ponto C e´ o sime´trico de B em relac¸a˜o a r .
b
A
b
B
r
b
C
b
Q
Como a reta r e´ a mediatriz do segmento BC temos que, para
qualquer ponto Q de r , QB = QC . Assim, AQ + QB e´ sempre
igual a AQ + QC .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 8/1
Seja P o ponto de intersec¸a˜o do segmento AC com a reta r .
Pela desigualdade triangular, AP + PC < AQ + QC para todo
ponto Q diferente de P.
b
A
b
B
r
b
C
b
Q
b
P
O ponto P esta´ determinado.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 9/1
Importante
Observe que, quando PA + PB e´ m´ınima, os segmentos PA e PB
fazem aˆngulos iguais com a reta r .
b
A
b
B
r
b
C
b
P
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 4 slide 10/1
MA13 - Unidade 5
Quadrila´teros nota´veis
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
6 de julho de 2013
Paralelogramo
Paralelogramo e´ o quadrila´tero que possui dois pares de lados
paralelos.
b
A
b
B
b
D
b
C
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 2/11
Propriedades do paralelogramo
P1 – Os lados opostos sa˜o iguais (congruentes).
AB = DC e AD = BC
b
A
b
B
b
D
b
C
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 3/11
P2 – Os aˆngulos internos opostos sa˜o iguais.
Aˆ = Cˆ e Bˆ = Dˆ
b
A
b
B
b
D
b
C
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 4/11
P3 – Dois aˆngulos internos vizinhos quaisquer sa˜o suplementares.
Aˆ + Bˆ = 180◦
b
A
b
B
b
D
b
C
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 5/11
P4 – As diagonais cortam-se ao meio.
MA = MC e MB = MD
b
A
b
B
b
D
b
C
b
M
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 6/11
Teoremas
T1) Se um quadrila´tero convexo possui dois pares de lados opostos
iguais ele e´ um paralelogramo.
T2) Se um quadrila´tero possui os aˆngulos internos opostos iguais
ele e´ um paralelogramo.
T3) Se em um quadrila´tero dois aˆngulos internos quaisquer
suplementares, ele e´ um paralelogramo.
T4) Se as diagonais de um quadrila´tero se cortam nos respectivos
pontos me´dios ele e´ um paralelogramo.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 7/11
Retaˆngulo
Retaˆngulo e´ o quadrila´tero que possui todos os aˆngulos iguais.
b
A
b
B
b
C
b
D
O retaˆngulo e´ um paralelogramo. Logo, possui as propriedades P1
a P4 anteriores.
Propriedade exclusiva do retaˆngulo:
P5 – As diagonais sa˜o iguais.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 8/11
Losango
Losango e´ o quadrila´tero que possui todos os lados iguais.
b
A
b
C
b
M
b
B
b
D
O losango e´ um paralelogramo. Logo, possui as propriedades P1 a
P4 anteriores.
Propriedade exclusiva do retaˆngulo:
P6 – As diagonais sa˜o perpendiculares.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 9/11
Quadrado
b
A
b
B
b
C
b
D
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 10/11
Teorema
Se um quadrila´tero possui dois lados iguais e paralelos ele e´ um
paralelogramo.
b
A
b
B
b
D
b
C
b
M
Perguntando ao leitor
Se, na figura acima, as retas AB e CD sa˜o paralelas e, os
segmentos AB e CD teˆm mesmo comprimento, por que ABCD e´
um paralelogramo?
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 11/11
MA13 - Unidade 5
Quadrila´teros nota´veis
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
6 de julho de 2013
Base me´dia do triaˆngulo
Teoremas:
a) Em um triaˆngulo ABC o ponto M e´ me´dio do lado AB. A
paralela trac¸ada por M ao lado BC intersecta esse lado no seu
ponto me´dio.
b
A
b
B
b
C
bM b
N
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 2/9
b) No triaˆngulo ABC o ponto M e´ me´dio do lado AB e N e´ o
ponto me´dio do lado AC . Enta˜o, a reta MN e´ paralela a` reta BC e
o segmento MN e´ a metade do segmento BC .
a
2a
b
A
b
B
b
C
bM b
N
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 3/9
Trape´zio
Trape´zio e´ o quadrila´tero convexo que possui apenas um par de
lados paralelos.
b
A
b
B
b
C
b
D
Base me´dia do trape´zio e´ o segmento que une os pontos me´dios
dos lados opostos na˜o paralelos de um trape´zio e´ paralelo a`s bases
e tem comprimento igual a` semissoma das bases.
b
A
b
B
b
C
b
D
bM b N
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 4/9
Teoremas
Considere o trape´zio ABCD de bases AB e CD.
a) A paralela a`s bases trac¸ada pelo ponto me´dio do lado AD
encontra o lado BC no seu ponto me´dio.
b) O segmento que une os pontos me´dios dos lados AD e BC do
trape´zio e´ paralelo a`s bases.
c) A base me´dia do trape´zio e´ igual a semissoma das bases.
b
A
b
B
b
C
b
D
bM b
N
b
P
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 5/9
Baricentro de um triaˆngulo
Definic¸a˜o
Baricentro de um triaˆngulo e´ o ponto de intersec¸a˜o das medianas.
Ha´ um problema nessa tradicional definic¸a˜o. Qual e´?
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 6/9
Teorema
O ponto de intersec¸a˜o de duas medianas de um triaˆngulo divide
cada uma delas na raza˜o 2:1.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 7/9
Demonstrac¸a˜o:
No triaˆngulo ABC seja G o ponto de in-
tersec¸a˜o das medianas BM e CN.
Seja P o ponto me´dio de BG e seja Q o
ponto me´dio de CG .
Considere MN = a.
O segmento MN e´ base me´dia no triaˆngulo
ABC . Logo, MN//BC e BC = 2a.
O segmento PQ e´ base me´dia no triaˆngulo
GBC . Logo, PQ//BC e PQ = a.
b
A
b
B
b
C
bM b N
b
G
b
P
b
Q
O quadrila´tero MNPQ tem dois lados opostos iguais e paralelos.
Logo e´ um paralelogramo. Assim, PG = GM (diagonais cortam-se
ao meio).
Como ja´ t´ınhamos BP = PG (P e´ me´dio de BG ), enta˜o
BP = PG = GM e, consequentemente,
BG
2
=
GM
1
.
Analogamente,
CG
2
=
GN
1
.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 8/9
Teorema
As treˆs medianas de um triaˆngulo cortam-se em um u´nico ponto.
Como voceˆ faria essa demonstrac¸a˜o?
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 5 slide 9/9
MA13 - Unidade 6
Lugaresgeome´tricos ba´sicos
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
7 de julho de 2013
Definic¸a˜o
Lugar Geome´trico da propriedade P e´ o conjunto de todos os pontos
que possuem essa propriedade.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 2/10
A circunfereˆncia
Dados o ponto O e o segmento r , a circunfereˆncia de centro O e
raio r e´ o lugar geome´trico dos pontos que distam r de O.
b
O
b
A
r
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 3/10
A mediatriz
A mediatriz do segmento AB e´ a reta perpendicular a esse
segmento que passa pelo seu ponto me´dio.
A mediatriz de um segmento e´ o lugar geome´trico dos pontos que
equidistam das extremidades do segmento.
b
A
b
B
b
P
b
M
Demonstrac¸a˜o
a) Todo ponto da mediatriz do segmento AB equidista de A e B.
Seja r a mediatriz de AB, M o ponto me´dio de AB e seja P um
ponto de r .
Os triaˆngulos PMA e PMB sa˜o congruentes (LAL). Logo,
PA = PB.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 4/10
b) Todo ponto fora da mediatriz na˜o equidista de A e B.
b
A
b
B
b
M
b
P
b
Q
Seja P um ponto que na˜o pertence a` mediatriz r do segmento AB.
Imagine que P esta´ no semiplano de r que conte´m B.
Trace PA e PB. O segmento PA corta r em Q.
Trace QB. Como Q pertence a r enta˜o QA = QB pelo item
anterior.
No triaˆngulo PQB a desigualdade triangular da´ PQ + QB > PB.
Isto quer dizer que PQ + QA > PB, ou seja, PA > PB.
Um enunciado equivalente e´: Um ponto equidista de dois pontos A
e B se, e somente se, pertence a` mediatriz do segmento AB.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 5/10
A bissetriz
A bissetriz de um aˆngulo e´ o lugar geome´trico dos pontos que
equidistam dos lados desse aˆngulo.
b
O
b
P
b
A
b
B
A demonstrac¸a˜o fica para o leitor.
Atenc¸a˜o:
Um enunciado equivalente e´: Um ponto equidista dos lados de um
aˆngulo se, e somente se, pertence a` bissetriz desse aˆngulo.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 6/10
Problema
Sa˜o dados dois pontos fixos A e B. Determine o lugar geome´trico
do ponto P sabendo que o aˆngulo APB e´ reto.
b
A
b
B
b
M
b
P
b
C
Resposta
O LG e´ a circunfereˆncia de diaˆmetro AB, exceto os pontos A e B.
Sugesta˜o para demonstrac¸a˜o
Assinale o ponto M, me´dio de AB.
Prolongue PM de um segmento MC igual a PM.
Analise o quadrila´tero PACB.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 7/10
Mediana relativa a` hipotenusa
No triaˆngulo retaˆngulo, a mediana relativa a` hipotenusa vale
metade da hipotenusa.
b
A
b
B
b
M
b
P
A demonstrac¸a˜o decorre do problema anterior.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 8/10
Problema
Se em um triaˆngulo ABC a mediana relativa ao ve´rtice A e´ igual a`
metade do lado BC enta˜o esse triaˆngulo e´ retaˆngulo em A.
Soluc¸a˜o:
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 9/10
MA13 - Unidade 6
Lugares geome´tricos ba´sicos
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
12 de julho de 2013
Arcos de uma circunfereˆncia
A medida de um arco e´, por definic¸a˜o, a medida do seu aˆngulo
central.
arc AB = θ
b
A
b
O
b
B
θ
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 2/6
Aˆngulo inscrito
A medida do aˆngulo inscrito e´ a metade da medida do arco que ele
subtende na circunfereˆncia.
∠AVB = θ = arc AB
2
b
A
b
B
b
V
θ
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 3/6
Arco capaz
Sa˜o dados um segmento AB e um aˆngulo θ.
Definic¸a˜o:
O lugar geome´trico do ponto P situado em um mesmo semiplano
determinado pela reta AB e tal que ∠APB = θ chama-se arco
capaz do aˆngulo θ sobre o segmento AB.
∠APB = θ = θ′ = ∠AP ′B.
b
A
b
B
b
P
b
P′
θ
θ′
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 4/6
Construc¸a˜o do arco capaz
Sa˜o dados um segmento AB e um aˆngulo θ.
Siga os passos:
1. Desenhe o segmento AB (horizontal).
2. Desenhe a reta r , mediatriz de AB.
3. Desenhe, abaixo da reta AB a semirreta
AX tal que ∠BAX = θ.
4. Trace por A a reta AY perpendicular a
AX .
5. A intersec¸a˜o de AY com r e´ o ponto O.
b
A
b
B
b
O
b
Y
b
θ
r
6. Desenhe acima da reta AB o arco de centro O com
extremidades A e B.
7. Esse arco e´ o arco capaz do aˆngulo θ constru´ıdo sobre AB.
Obs: Uma semicircunfereˆncia de diaˆmetro AB e´
chamada de lugar geome´trico de 90◦ sobre AB.
b
A
b
B
b
P
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 5/6
Problema
Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o lado BC = a, o aˆngulo
∠BAC = θ e a altura relativa ao ve´rtice A igual a h.
Soluc¸a˜o: Siga os passos e observe o desenho a seguir
1. Desenhe uma reta r .
2. Sobre r assinale pontos B e C tais que BC = a.
3. Construa o arco capaz do aˆngulo θ sobre BC .
4. Construa a reta s paralela a r , de forma que a distaˆncia entre
r e s seja h.
5. Um dos pontos de intersec¸a˜o de s com o arco capaz e´ o ponto
A. O triaˆngulo esta´ constru´ıdo.
b
B
b
Ca
b
b
h
b
A
s
r
θ
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 6 slide 6/6
MA13 - Unidade 7
Triaˆngulos e circunfereˆncias
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
7 de julho de 2013
Triaˆngulos e circunfereˆncias
Duas secantes a uma circunfereˆncia cortam-se em um ponto P
interior a ela.
A medida de um aˆngulo de ve´rtice P e´ igual a semissoma das
medidas dos arcos interiores ao aˆngulo.
Na figura a seguir, α =
arc AB + arc CD
2
.
b
A
b
B
b
C
b
D
b
α
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 2/7
Duas secantes a uma circunfereˆncia cortam-se em um ponto P
exterior a ela.
A medida de um aˆngulo de ve´rtice P e´ igual ao mo´dulo da
semidiferenc¸a das medidas dos arcos interiores ao aˆngulo.
Na figura a seguir, α =
arc AB − arc CD
2
.
b
A
b
B
b
C
b
D
b
α
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 3/7
Aˆngulo de segmento
Uma corda de uma circunfereˆncia e a tangente em uma das
extremidades determinam um aˆngulo de segmento.
A medida do aˆngulo de segmento e´ a metade da medida do arco
interior ao aˆngulo.
Na figura a seguir, α =
arc AB
2
.
b
A
b
B
t
α
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 4/7
A circunfereˆncia circunscrita ao triaˆngulo
Teorema
As mediatrizes dos lados de um triaˆngulo cortam-se em um
u´nico ponto.
Demonstrac¸a˜o
Considere o triaˆngulo ABC , a reta r , mediatriz de AB e a reta s,
mediatriz de BC .
b
O
b
B
b
A
b
C
r
s
Seja O o ponto de intersec¸a˜o de r e s.
O ∈ r ⇒ OA = OB e O ∈ s ⇒ OB = OC
Logo, OA = OC e, portanto, O pertence a` mediatriz de AC .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 5/7
Circuncentro
O ponto O chama-se circuncentro do triaˆngulo ABC e e´ o centro
da sua circunfereˆncia circunscrita.
b
O
b
B
b
A
b
C
r
s
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 6/7
A circunfereˆncia inscrita no triaˆngulo
Teorema
As bissetrizes dos aˆngulos internos de um triaˆngulo cortam-se
em um u´nico ponto.
Demonstrac¸a˜o
Fica para o leitor seguindo os passos da demonstrac¸a˜o anterior.
b
I
b
b
b
b
A
b
B
b
C
O ponto I , comum a`s treˆs bissetrizes internas chama-se incentro
do triaˆngulo ABC e e´ o centro da sua circunfereˆncia inscrita.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 7/7
MA13 - Unidade 7
Triaˆngulos e circunfereˆncias
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
7 de julho de 2013
As circunfereˆncias exinscritas no triaˆngulo
Uma circunfereˆncia exinscrita e´ tangente a um lado e aos
prolongamentos dos outros dois.
A figura a seguir mostra, no triaˆngulo ABC, a circunfereˆncia
exinscrita relativa ao ve´rtice A (ou ao lado a, se preferirem).
b
A
b
B
b
C
b
I ′
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 2/8
O centro I ′ dessa circunfereˆncia e´ o ponto de intersec¸a˜oda
bissetriz interna em A e das bissetrizes externas em B e C .
b
A
b
B
b
C
b
I ′
b
b
bb
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 3/8
Treˆs circunfereˆncias exinscritas de um triaˆngulo
b
A
b
B
b
C
b
b
b
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 4/8
Tangentes a uma circunfereˆncia
P1) A reta perpendicular a um raio de uma circunfereˆncia
trac¸ada pela sua extremidade e´ tangente a` circunfereˆncia.
Na figura abaixo a reta t passa por A e e´ perpendicular ao raio OA.
A reta t e´ tangente a` circunfereˆncia.
b
A
b
O
t
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 5/8
P2) Os segmentos das tangentes trac¸adas por um ponto exterior a
uma circunfereˆncia sa˜o iguais.
Na figura abaixo, PA = PB.
b
P
b
O
b
B
b
A
Para justificar, observe a congrueˆncia dos triaˆngulos POA e POB.
P3) Se PA e PB sa˜o tangentes a uma circunfereˆncia, enta˜o a bissetriz
do aˆngulo APB passa pelo centro da circunfereˆncia.
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 6/8
Problema
Os lados de um triaˆngulo sa˜o conhecidos. Os pontos de tangeˆncia
da circunfereˆncia inscrita com os lados dividem cada lado em dois
pedac¸os. Quanto medem todos esses seis segmentos?
Soluc¸a˜o:
b
N
b
P
bM
b
A
b
B
b
C
Sejam AB = c, BC = a e CA = b. Seja a + b + c = 2p.
Pela propriedade P2 desta aula fac¸amos AM = AP = x ,
BM = BN = y e CN = CP = z .
Temos enta˜o o sistema x + y = c, y + z = a, z + x = b.
Somando as equac¸o˜es obtemos x + y + z = p e como y + z = a
obtemos x = p − a.
Analogamente obtemos y = p − b e z = p − c .
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 7/8
Problema
No triaˆngulo ABC de per´ımetro 2p a circunfereˆncia exinscrita
relativa ao ve´rtice A tangencia a reta AB no ponto T . Mostre que
AT = p.
Sugesta˜o:
Use a propriedade P2 desta aula.
b
A
b
B
b
C
b
T
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 7 slide 8/8
MA13 - Unidade 8
Quadrila´teros inscrit´ıveis e circunscrit´ıveis
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
7 de julho de 2013
O quadrila´tero circunscrit´ıvel
Um quadrila´tero e´ circunscrit´ıvel quando os quatro lados sa˜o
tangentes a uma mesma circunfereˆncia.
Nesse caso, dizemos que a circunfereˆncia esta´ inscrita no
quadrila´tero.
b
A
b
B
b
C
b
D
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 2/7
Teorema de Pitot
Em todo quadrila´tero circunscrit´ıvel as somas dos lados opostos
sa˜o iguais.
b
b
M
b N
b
P
bQ
b
A
b
B
b
C
b
D
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 3/7
Demonstrac¸a˜o do Teorema de Pitot
b
b
M
b N
b
P
bQ
b
A
b
B
b
C
b
D
A figura acima mostra o quadrila´tero circunscrit´ıvel ABCD e os
pontos de tangeˆncia de cada lado com a circunfereˆncia. Temos
enta˜o:
AM = AQ BM = BN CP = CN DP = DQ
Somando membro a membro obtemos
AM + BM + CP + DP = AQ + DQ + BN + CN
ou seja,
AB + CD = AD + BC
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 4/7
A rec´ıproca do Teorema de Pitot
E´ verdadeira a rec´ıproca do Teorema de Pitot.
Se em um quadrila´tero os lados opostos teˆm mesma soma enta˜o
existe uma circunfereˆncia tangente aos quatro lados.
AB+CD = AD+BC ⇒
b
A
b
B
b
C
b
D
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 5/7
Problema
E´ dado o triaˆngulo ABC . Os pontos M e N dos lados AB e AC ,
respectivamente sa˜o tais que o segmento MN e´ tangente a`
circunfereˆncia inscrita em ABC . Mostre que o per´ımetro do
triaˆngulo AMN e´ constante.
b
A
b
B
b
C
b
M
b N
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 6/7
Soluc¸a˜o do problema
Para simplificar a notac¸a˜o sejam: AB = c ,
BC = a, CA = b, AM = x , MN = y e
NA = z .
Como BCNM e´ circunscrit´ıvel temos, pelo
Teorema de Pitot, BC + NM = BM + CN
ou seja, a + y = c − x + b − y .
Isto significa que x + y + z = b + c − a.
O per´ımetro do triaˆngulo AMN e´ constante.
b
A
b
B
b
C
b
M
b
N
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 7/7
MA13 - Unidade 8
Quadrila´teros inscrit´ıveis e circunscrit´ıveis
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
17 de julho de 2013
O quadrila´tero inscrit´ıvel
Um quadrila´tero e´ inscrit´ıvel quando os quatro ve´rtices pertencem
a uma mesma circunfereˆncia.
b
A
b
B
b
C
b
D
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 2/8
Teorema
Em um quadrila´tero inscrit´ıvel os aˆngulos opostos sa˜o
suplementares.
Demonstrac¸a˜o:
b
A
b
B
b
C
b
D
Na figura acima, sendo Aˆ e Bˆ as medidas dos aˆngulos DAB e
BCD, respectivamente, temos
Aˆ + Cˆ =
arc BCD
2
+
arc DAB
2
=
360◦
2
= 180◦
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 3/8
Rec´ıproca
A rec´ıproca do teorema anterior e´ verdadeira.
Se um quadrila´tero possui dois aˆngulos opostos suplementares enta˜o
ele e´ inscrit´ıvel.
Sugesta˜o para demonstrac¸a˜o
Considere o quadrila´tero ABCD com Bˆ + Dˆ = 180◦. Considere,
em seguida a circunfereˆncia que passa por A, B e C . Imagine que
D na˜o pertenc¸a a essa circunfereˆncia ...
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 4/8
Reconhecimento do quadrila´tero inscrit´ıvel
1. Dois aˆngulos opostos suplementares.
Aˆ + Cˆ = 180◦ ⇔ ABCD e´ inscrit´ıvel
2. Um aˆngulo interno igual ao externo oposto.
α = α′ ⇔ ABCD e´ inscrit´ıvel
b
A
b
B
b
C
b
D
α
α′
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 5/8
3. No quadrila´tero ABCD, ∠ACB = ∠ADB.
α = ∠ACB = ∠ADB = α′ ⇔ ABCD e´ inscrit´ıvel
De fato, o arco capaz do aˆngulo ACB constru´ıdo sobre AB
passa por D.
b
A
b
B
b
C
b
D
α
α′
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 6/8
Problema
No triaˆngulo ABC os aˆngulos A e B medem 60◦ e 70◦,
respectivamente. Os segmentos BD e CE sa˜o alturas. Quanto
mede o aˆngulo AED?
b
B
b
A
70
◦
60
◦
b
C
bE
b D
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 7/8
Soluc¸a˜o
O aˆngulo ACB mede 50◦.
Como ∠BDC = ∠BEC = 90◦ o quadrila´tero BCDE e´ inscrit´ıvel.
Logo, ∠AED = ∠ACB = 50◦.
b
B
b
A
b
C
bE
b
D
θ
50
◦
PROFMAT - SBM MA13 - Unidade 8 slide 8/8
Teorema de Tales
MA13 - Unidade 9
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
Proporcionalidade
1. Dizemos que o segmento x e´ a quarta proporcional dos
segmentos a, b e c (nessa ordem) quando
a
b
=
c
x
.
2. Dizemos que o segmento x e´ a terceira proporcional dos
segmentos a e b (nessa ordem) quando
a
b
=
b
x
.
3. Dizemos que o segmento x e´ a me´dia proporcional ou me´dia
geome´trica dos segmentos a e b quando
a
x
=
x
b
.
PROFMAT - SBM Teorema de Tales slide 2/9
Teorema 1
Se um feixe de paralelas determina sobre uma transversal segmen-
tos iguais, determinara´ sobre qualquer outra transversal segmentos
iguais.
Considere as paralelas r1, r2, r3 e as transversais t1, t2.
t2
r1
r2
r3
b
A′
b
B′
b
C ′
t1
b
A
b
B
b
C
Na figura acima, se AB = BC enta˜o A′B ′ = B ′C ′.
Para demonstrar trace por A′ e por B ′ paralelas a t1 e observe a
congrueˆncia dos triaˆngulos formados.
PROFMAT - SBM Teorema de Tales slide 3/9
Teorema 2 (teorema de Tales)
Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais segmentos
respectivamente proporcionais.
A figura abaixo mostra treˆs retas paralelas cortadas por duas
transversais.
b
A′
b
B′
b
C ′
b
A
b
B
b
C
Com os elementos da figura acima o Teorema de Tales diz que
AB
A′B ′
=
BC
B ′C ′
.
PROFMAT - SBM Teorema de Tales slide 4/9
Demonstrac¸a˜o:
a) Suponha que AB e BC sa˜o comensura´veis, ou seja, existe um
segmento x que cabe um nu´mero inteiro de vezes em AB e um
nu´mero inteiro de vezes em BC . Destaforma, AB = mx e
BC = nx com m e n naturais. Da´ı,
AB
BC
=
m
n
.
Trac¸ando novas paralelas pelos pontos que dividem AB e BC em
partes iguais obtemos na segunda transversal A′B ′ = my ,
B ′C ′ = ny e, consequentemente,
A′B ′
B ′C ′
=
m
n
.
Temos enta˜o
AB
BC
=
A′B ′
B ′C ′
, ou seja,
AB
A′B ′
=
BC
B ′C ′
.
x
x
y
y
b
A′
b
B′
b
C ′
b
A
b
B
b
C
b b
b b
b b
b
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
b
PROFMAT - SBM Teorema de Tales slide 5/9
b) Se AB e BC na˜o sa˜o comensura´veis, escolha um segmento x
que cabe n vezes em BC (n natural, claro). Enta˜o BC = nx .
Suponha, por outro lado que esse segmento x esteja contido entre
m vezes e m + 1 vezes em AB. Enta˜o mx < AB < (m + 1)x e,
dividindo por BC = nx temos:
m
n
<
AB
BC
<
m + 1
n
.
Trac¸ando novas paralelas da mesma forma que no item anterior,
temos que
m
n
<
A′B ′
B ′C ′
<
m + 1
n
.
As duas razo˜es,
AB
BC
e
A′B ′
B ′C ′
esta˜o entre
m
n
e
m + 1
n
.
A diferenc¸a entre essas razo˜es e´
1
n
que
tende a zero quando n cresce indefinida-
mente.
x y
b
A′
b
B′
b
C ′
b
A
b
B
b
C
b b
b b
b b
b b
b b
Portanto, temos
AB
BC
=
A′B ′
B ′C ′
, ou seja,
AB
A′B ′
=
BC
B ′C ′
.
PROFMAT - SBM Teorema de Tales slide 6/9
Teorema 3
Toda paralela a um dos lados de um triaˆngulo determina sobre os
outros dois lados segmentos proporcionais.
b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
Na figura acima, se DE e´ paralelo a BC enta˜o
AD
AE
=
BD
EC
.
Obs: Observe que
AD
AE
=
BD
EC
=
AB
AC
.
PROFMAT - SBM Teorema de Tales slide 7/9
Teorema 4
Suponha que A, D e B sejam colineares (nesta ordem) e que A, E e
C sejam colineares (nesta ordem). Se
AD
AE
=
BD
EC
enta˜o as retas DE
e BC sa˜o paralelas.
b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
Atenc¸a˜o: Este teorema e´ o rec´ıproco do anterior. Para demonstrar,
imagine, por absurdo que DE e BC na˜o sejam paralelas...
PROFMAT - SBM Teorema de Tales slide 8/9
Problema
Duas semirretas teˆm origem A.
Sobre uma delas afastando-se de A assinale os pontos B e C tais
que AB = 64, 5 e BC = 32, 4.
Sobre a outra afastando-se de A assinale os pontos D e E tais que
AD = 42, 6 e DE = 21, 4.
As retas BD e CE sa˜o paralelas?
PROFMAT - SBM Teorema de Tales slide 9/9
Teorema das bissetrizes
MA13 - Unidade 9
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
Divisa˜o de um segmento em uma raza˜o
a) Seja M um ponto interior ao segmento AB. A raza˜o que M
divide AB e´
MA
MB
.
Exemplo:
6 15
b
A
b
B
b
M
M divide interiormente o segmento AB na raza˜o
MA
MB
=
6
15
=
2
5
.
PROFMAT - SBM Teorema das bissetrizes slide 2/8
b) Seja N um ponto exterior ao segmento AB. A raza˜o que N
“divide” AB e´
NA
NB
.
Exemplo:
6 10
b
A
b
B
b
N
N divide exteriormente o segmento AB na raza˜o
NA
NB
=
6
16
=
3
8
.
PROFMAT - SBM Teorema das bissetrizes slide 3/8
Divisa˜o harmoˆnica
Dado o segmento AB os pontos M e N (um interior e outro
exterior) dividem harmonicamente esse segmento na raza˜o k
(k > 0) quando
MA
MB
=
NA
NB
= k.
Exemplo:
639
b
A
b
B
b
N
b
M
MA
MB
=
3
6
=
1
2
NA
NB
=
9
18
=
1
2
Os pontos M e N dividem harmonicamente o segmento AB na
raza˜o
1
2
.
PROFMAT - SBM Teorema das bissetrizes slide 4/8
Teorema da bissetriz interna
Em um triaˆngulo, a bissetriz de um aˆngulo interno divide o lado
oposto em partes proporcionais aos lados adjacentes.
Na figura a seguir, AD e´ bissetriz do aˆngulo interno A. O teorema
diz que
DB
DC
=
AB
AC
.
b
A
b
B
b
C
b
D
PROFMAT - SBM Teorema das bissetrizes slide 5/8
Demonstrac¸a˜o
Dado o triaˆngulo ABC trace a bissetriz AD.
A paralela a AD trac¸ada por C encontra a
reta BA em P.
Com os elementos da figura acima temos:
α = β porque AD e´ bissetriz do aˆngulo
BAC .
α = α′ porque sa˜o correspondentes nas
paralelas AD e PC .
b
A
b
B
b
C
b
D
α β
b
P
α′
β′
β = β′ porque sa˜o alternos internos nas paralelas AD e PC .
Conclu´ımos que α′ = β′ o que implica AC = AP.
Pelo teorema de Tales temos
DB
DC
=
AB
AP
.
Como AC = AP temos que
DB
DC
=
AB
AC
, como quer´ıamos
demonstrar.
PROFMAT - SBM Teorema das bissetrizes slide 6/8
Teorema da bissetriz externa
Em um triaˆngulo, a bissetriz de um aˆngulo externo divide o lado
oposto em partes proporcionais aos lados adjacentes.
Na figura a seguir, AE e´ bissetriz do aˆngulo externo A. O teorema
diz que
EB
EC
=
AB
AC
.
b
A
b
B
b
C
b
E
Sugesta˜o para a demonstrac¸a˜o:
Trace por C a paralela a AE que encontra AB em Q. Mostre que
o triaˆngulo AQC e´ iso´sceles.
PROFMAT - SBM Teorema das bissetrizes slide 7/8
Consequeˆncia
Em um triaˆngulo, as bissetrizes interna e externa trac¸adas do
mesmo ve´rtice dividem harmonicamente o lado oposto.
b
A
b
B
b
C
b
E
b
D
PROFMAT - SBM Teorema das bissetrizes slide 8/8
Semelhanc¸a
MA13 - Unidade 10
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
O que sa˜o figuras semelhantes?
Duas figuras F e F ′ sa˜o semelhantes, com raza˜o de semelhanc¸a k ,
quando existe uma bijec¸a˜o s : F → F ′ entre os pontos de F e os
pontos de F ′ tais que:
Se X e Y sa˜o pontos quaisquer de F e se X ′ = s(X ) e Y ′ = s(Y )
sa˜o seus correspondentes em F ′ enta˜o XYX ′Y ′ = k .
Quando duas figuras F e F ′ e sa˜o semelhantes escrevemos F ∼ F ′.
Observac¸a˜o: Fazendo 1k = r a raza˜o
XY
X ′Y ′ = k permite escrever
que X ′Y ′ = rXY . O nu´mero r chama-se fator de ampliac¸a˜o (caso
r > 1) ou fator de reduc¸a˜o (caso 0 < r < 1).
PROFMAT - SBM Semelhanc¸a slide 2/11
Propriedades da semelhanc¸a
1. Dois segmentos quaisquer sa˜o sempre semelhantes.
2. Toda semelhanc¸a transforma pontos colineares em pontos
colineares.
3. Uma semelhanc¸a de raza˜o k transforma uma circunfereˆncia de
raio R em uma circunfereˆncia de raio R ′ tal que
R
R ′
= k.
PROFMAT - SBM Semelhanc¸a slide 3/11
Demonstrac¸a˜o de 1)
Considere dois segmentos AB e A′B ′ com comprimentos a e b,
respectivamente. Para cada ponto X ∈ AB associe o ponto
X ′ ∈ A′B ′ de forma que A′X ′ = baAX .
Fica definida uma bijec¸a˜o entre os dois segmentos.
b
A
b B
b
A′
b
B′
b
X
b
X ′
Assim, para quaisquer pontos X ,Y ∈ AB temos que suas imagens
X ′,Y ′ ∈ A′B ′ sa˜o tais que
X ′Y ′ = A′Y ′ − A′X ′ = b
a
AY − b
a
AX =
b
a
(AY − AX ) = b
a
XY
Assim, os dois segmentos AB e A′B ′ sa˜o semelhantes.
As demonstrac¸o˜es de 2 e 3 ficam para o leitor.
PROFMAT - SBM Semelhanc¸a slide 4/11
Semelhanc¸a de triaˆngulos
Dois triaˆngulos, ABC e A′B ′C ′ sa˜o semelhantes quando
AB
A′B ′
=
AC
A′C ′
=
BC
B ′C ′
O triaˆngulo ocupa posic¸a˜o destacada neste assunto porque
podemos concluir se dois deles sa˜o semelhantes ou na˜o observando
apenas seus aˆngulos.
PROFMAT - SBM Semelhanc¸a slide 5/11
Teorema 1
Dois triaˆngulos que possuem os mesmos aˆngulos internos sa˜o
semelhantes.
Demonstrac¸a˜o:
Na figura a seguir, os triaˆngulos ABC e A′B ′C ′ sa˜o tais que
Aˆ = Aˆ′ e Bˆ = Bˆ ′.
b
A
b
B
b
C
b
A′
b
B′
b
C ′
bD b E
Os pontos D e E do primeiro triaˆngulo sa˜o tais que AD = A′B ′ e
AE = A′C ′. Como Aˆ = Aˆ′ enta˜o os triaˆngulos ADE e A′B ′C ′ sa˜o
congruentes (caso LAL).
Como Bˆ ′ = Bˆ = Dˆ as retas DE e BC sa˜o paralelas.
Assim, pelo teorema de Tales, ADAB =
AE
AC (1).
PROFMAT -SBM Semelhanc¸a slide 6/11
b
A
b
B
b
C
b
A′
b
B′
b
C ′
b
D
b E
b
F
Trac¸amos agora EF paralela a AB. O quadrila´tero BFED e´ um
paralelogramo e, portanto, DE = BF .
Novamente, pelo teorema de Tales
AE
AC
=
BF
BC
=
DE
BC
(2).
Reunindo (1) e (2) temos que
AB
A′B ′
=
AC
A′C ′
=
BC
B ′C ′
.
Assim, os triaˆngulos, ABC e A′B ′C ′ sa˜o semelhantes.
PROFMAT - SBM Semelhanc¸a slide 7/11
Teorema 2
Dois triaˆngulos semelhantes possuem os mesmos aˆngulos internos.
Sugesta˜o para a demonstrac¸a˜o
Na figura a seguir, os triaˆngulos ABC e A′B ′C ′ sa˜o tais que
AB
A′B′ =
AC
A′C ′ =
BC
B′C ′ .
Voceˆ deve mostrar que esses triaˆngulos possuem os mesmos
aˆngulos internos.
b
A
b
B
b
C
b
A′
b
B′
b
C ′
Considere o ponto D do lado AB tal que AD = A′B ′ e trace o
segmento DE paralelo a BC .
Usando o teorema de Tales conclua que AE = A′C ′.
Usando a mesma construc¸a˜o feita no teorema anterior,
conclua que DE = B ′C ′.
Organize os argumentos para concluir a tese do teorema.
PROFMAT - SBM Semelhanc¸a slide 8/11
Semelhanc¸a de pol´ıgonos
Dois pol´ıgonos sa˜o semelhantes quando puderem ser divididos em
triaˆngulos respectivamente semelhantes.
b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
b
A′
b
B′
b
C ′
b
D′
b
E ′
Na figura acima sa˜o semelhantes os triaˆngulos ABC e A′B ′C ′,
ACD e A′C ′D ′, ADE e A′D ′E ′.
Desta forma, os penta´gonos ABCDE e A′B ′C ′D ′E ′ sa˜o
semelhantes.
PROFMAT - SBM Semelhanc¸a slide 9/11
Propriedades
a) Os dois pol´ıgonos possuem os mesmos aˆngulos internos.
b) A raza˜o entre dois segmentos correspondentes e´ sempre a
mesma (raza˜o de semelhanc¸a).
AB
A′B ′
=
BC
B ′C ′
=
CD
C ′D ′
=
DE
D ′E ′
=
EA
E ′A′
=
AC
A′C ′
=
AD
A′D ′
=
BE
B ′E ′
= · · ·
PROFMAT - SBM Semelhanc¸a slide 10/11
Como reconhecer pol´ıgonos semelhantes
Dois pol´ıgonos sa˜o semelhantes quanto tiverem os mesmos
aˆngulos, formados por lados respectivamente proporcionais.
Os pol´ıgonos ABCDEF · · · e A′B ′C ′D ′E ′F ′ · · · sa˜o semelhantes se
Aˆ = Aˆ′, Bˆ = Bˆ ′, · · · e AB
A′B ′
=
BC
B ′C ′
= · · · .
PROFMAT - SBM Semelhanc¸a slide 11/11
Triaˆngulo retaˆngulo
MA13 - Unidade 10
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
As relac¸o˜es me´tricas no triaˆngulo retaˆngulo
Considere o triaˆngulo ABC , retaˆngulo em A, a altura AH e os
segmentos indicados na figura abaixo.
a
b c
h
m n
b
C
b
B
b
A
b
H
+ +
HAC ∼ ABC ⇒ b
a
=
m
b
=
h
c
HBA ∼ ABC ⇒ c
a
=
h
b
=
n
c
HAC ∼ HBA ⇒ b
c
=
m
h
=
h
n
Aparecem as relac¸o˜es:
b2 = am
c2 = an
bc = ah
h2 = mn
Somando membro a membro as duas primeiras:
b2 + c2 = am + an = a(m + n) = a · a = a2 ⇒ a2 = b2 + c2
Teorema de
Pita´goras
����
PROFMAT - SBM Triaˆngulo retaˆngulo slide 2/6
Circunfereˆncia circunscrita
A mediana relativa a` hipotenusa e´ igual a metade da hipotenusa:
MA = MB = MC = R (raio da circunfereˆncia circunscrita).
R =
a
2
b
M
b
B
b
C
b
A
PROFMAT - SBM Triaˆngulo retaˆngulo slide 3/6
Circunfereˆncia inscrita
Seja I o incentro e sejam D, E e F os pontos de tangeˆncia.
b
A
b
B
b
C
b
I
b
D
b
E
bF
ADIF e´ um quadrado de lado AD = AF = r (raio da
circunfereˆncia inscrita).
Temos enta˜o:
a = BC = CE + BE = CF + BD = b − r + c − r
Assim, 2r = b + c − a e, portanto, r = b + c − a
2
.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo retaˆngulo slide 4/6
Me´dias
Dados dois nu´meros positivos a e b definimos:
Me´dia aritme´tica: M =
a + b
2
.
Me´dia geome´trica: G =
√
ab.
Me´dia harmoˆnica: H =
2ab
a + b
.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo retaˆngulo slide 5/6
Visualizac¸a˜o
Semicircunfereˆncia de centro O e diaˆmetro AB. AC = a e CB = b.
CP e´ perpendicular a AB.
CD e´ perpendicular a PO.
a
b
b
A
b
B
b
C
b
P
b
O
+ ++
b
D
Me´dia aritme´tica: M = PO.
Me´dia geome´trica: G = PC .
Me´dia harmoˆnica: H = PD.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo retaˆngulo slide 6/6
Triaˆngulo qualquer – I
MA13 - Unidade 11
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
Trigonometria para aˆngulos entre 0o e 180o
Para aˆngulos agudos, definimos seno, cosseno e tangente da forma
tradicional: dado um aˆngulo agudo XOY = α toma-se um ponto P
qualquer do lado OY e trac¸a-se a perpendicular PA ao lado OX .
b
O
+
X
+
Y
b
P
b
A
α
As razo˜es trigonome´tricas associadas ao aˆngulo α sa˜o:
Seno do aˆngulo XOY : senα =
AP
OP
.
Cosseno do aˆngulo XOY : cosα =
OA
OP
.
Tangente do aˆngulo XOY : tanα =
AP
OA
.
No caso do aˆngulo reto, definimos: sen 90o = 1 e cos 90o = 0.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – I slide 2/10
Seja agora β um aˆngulo obtuso. Para definir as razo˜es
trigonome´tricas de β vamos considerar seu suplemento
α = 180o − β.
Definimos: senβ = senα
cosβ = − cosα
tanβ = − tanα
As figuras a seguir permitem visualizar o seno e o cosseno de
aˆngulos agudos ou obtusos. Nelas tomamos OP = 1.
x
y
1
b
O
b
P
b
A
α
senα = y cosα = x
x
y
1
b
O
+
X
+
Y
α
b
P
b
A
senβ = y cosβ = −x
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – I slide 3/10
Relac¸o˜es
Decorrem das definic¸o˜es que, para qualquer aˆngulo θ entre 0o e
180o valem as relac¸o˜es:
sen2 θ + cos2 θ = 1 e tan θ =
sen θ
cos θ
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – I slide 4/10
A Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos e´ uma relac¸a˜o muito u´til que envolve os treˆs
lados do triaˆngulo e o cosseno de um dos aˆngulos. A demonstrac¸a˜o
e´ bastante simples.
Escolhemos inicialmente um dos aˆngulos do triaˆngulo ABC . Seja A
o aˆngulo escolhido.
b
ac
b
A
b
B
b
C
a2 = b2 + c2 − 2bc cosA
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – I slide 5/10
Demonstrac¸a˜o (para o caso A < 90o)
Seja D a projec¸a˜o do ve´rtice B sobre a reta
AC . Como A < 90o enta˜o D esta´ na semir-
reta AC . Seja AD = x . Assim DC = |b−x |.
No triaˆngulo BDC o teorema de Pita´goras
fornece
a2 = h2 + |b − x |2 = h2 + b2 + x2 − 2bx
b
ac
h
x
b
A
b
B
b
C
b
D
+ +
No triaˆngulo BDA temos, pelo mesmo teorema, h2 = c2 − x2.
Substituindo ficamos com
a2 = c2 − x2 + b2 + x2 − 2bx ⇒ a2 = b2 + c2 − 2bx
Entretanto, em qualquer uma das figuras tem-se xc = cos A, ou
seja, x = c cos A. Substituindo esse valor de x na u´ltima relac¸a˜o
encontramos
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
Os casos A = 90o e A > 90o ficam para o leitor.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – I slide 6/10
Exemplo 1
Determine o maior aˆngulo do triaˆngulo cujos lados medem 5, 6 e 7.
Soluc¸a˜o:
O maior aˆngulo do triaˆngulo e´ oposto ao maior lado.
O aˆngulo θ que queremos calcular e´ oposto ao lado que mede 7.
Aplicando a Lei dos Cossenos para o aˆngulo θ temos:
72 = 52 + 62 − 2 · 5 · 6 cos θ
As contas fornecem cos θ = 15 e uma calculadora da´ θ
∼= 78, 5o .
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – I slide 7/10
A Lei dos Senos
A Lei dos Senos resolvera´, principalmente, o caso de obter outros
elementos de um triaˆngulo onde os aˆngulos sa˜o conhecidos e
apenas um lado e´ conhecido. A Lei dos Senos possui tambe´m forte
relacionamento com a circunfereˆncia circunscrita ao triaˆngulo,
como veremos a seguir.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – I slide 8/10
A figura abaixo mostra o triaˆngulo ABC , com lados a, b e c ,
inscrito em uma circunfereˆncia de raio R.
a
R
R
b
O
b
B
b
C
b
A
b
D
O aˆngulo BAC do triaˆngulo sera´ representado simplesmente por A.
Trac¸amos o diaˆmetro BD. Assim, o aˆngulo BCD e´ reto e os
aˆngulosBAC e BDC sa˜o iguais, pois subtendem o mesmo arco BC .
O seno do aˆngulo BDC e´ igual a BCBD =
a
2R . Enta˜o, sen A =
a
2R , ou
seja, asenA = 2R.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – I slide 9/10
A relac¸a˜o mostra que a raza˜o entre um lado do triaˆngulo e o seno
do aˆngulo oposto e´ igual ao diaˆmetro da circunfereˆncia circunscrita
e, naturalmente, essa relac¸a˜o vale qualquer que seja o lado
escolhido.
A Lei dos Senos no triaˆngulo ABC e´ escrita assim:
a
sen A
=
b
sen B
=
c
sen C
= 2R
onde R e´ o raio da circunfereˆncia circunscrita ao triaˆngulo ABC .
A Lei dos Senos fornece um caminho simples para determinar o
raio da circunfereˆncia circunscrita a um triaˆngulo.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – I slide 10/10
Triaˆngulo qualquer – II
MA13 - Unidade 11
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
Introduc¸a˜o
Os teoremas de Menelaus, Ceva e Stewart sa˜o interessantes e u´teis
na resoluc¸a˜o de diversos problemas.
O primeiro mostra uma relac¸a˜o entre as razo˜es produzidas sobre os
lados de um triaˆngulo produzidas por uma reta transversal.
O segundo mostra a condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que
cevianas de um triaˆngulo sejam concorrentes.o
O terceiro mostra como calcular a distaˆncia de um ve´rtice de um
triaˆngulo a qualquer ponto da reta que conte´m o lado oposto.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – II slide 2/11
O teorema de Menalaus
Dado um triaˆngulo ABC uma reta transversal corta as retas AB,
BC e CA nos pontos L, M e N, respectivamente. Enta˜o
LA
LB
MB
MC
NC
NA
= 1
b
A
b
B
b
C
b
L
b
N
b
M
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – II slide 3/11
Demonstrac¸a˜o
b
A
b
B
b
C
b
L
b
N
b
M
b
P
Trace CP paralela a AB. Usando as semelhanc¸as de triaˆngulos que
aparecem na figura acima temos:
NC
NA
=
CP
LA
e
MB
MC
=
LB
CP
Multiplicando membro a membro e simplificando o termo CP
temos
MB
MC
NC
NA
=
LB
LA
⇒ LA
LB
MB
MC
NC
NA
= 1
Esta e´ a versa˜o simples do teorema, em que na˜o vale a rec´ıproca.
A rec´ıproca e´ verdadeira se considerarmos segmentos orientados.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – II slide 4/11
Problema
A figura abaixo mostra o triaˆngulo ABC com AC dividido em 3
partes iguais e BC dividido em 4 partes iguais.
Qual e´ o valor da raza˜o
PA
PD
?
b
A
b
B
b
C
b
b
D
b
b
E
b
b
P
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – II slide 5/11
Soluc¸a˜o
Considere o triaˆngulo ADC e a transversal BPE como na figura a
seguir.
b
A
b
B
b
C
b
b
D
b
b
E
b
b
P
O teorema de Menelaus diz que
PA
PD
· BD
BC
· EC
EA
= 1.
Da´ı,
PA
PD
· 1
4
· 2
1
= 1, ou seja,
PA
PD
= 2.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – II slide 6/11
O teorema de Ceva
Dado um triaˆngulo ABC , os pontos L, M, N, dos lados AB, BC ,
CA, respectivamente, sa˜o tais que as cevianas AM, BN, CL,
cortam-se em um u´nico ponto. Enta˜o
LA
LB
· MB
MC
· NC
NA
= 1
b
A
b
B
b
C
b
M
b
L
b
O
b
N
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – II slide 7/11
Sugesta˜o para a demonstrac¸a˜o
Considere o triaˆngulo ABM, a transversal LO1C e calcule a
raza˜o
O1A
O1M
.
Considere o triaˆngulo ACM, a transversal BO2N e calcule a
raza˜o
O2A
O2M
.
Mostre que O1 e O2 coincidem.
Obs: A rec´ıproca do teorema de Ceva e´ verdadeira.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – II slide 8/11
A relac¸a˜o de Stewart
No triaˆngulo ABC seja D um ponto do lado BC . Enta˜o,
AB2 · DC + AC 2 · BD = AD2 · BC + BD · DC · BC
b
A
b
B
b
C
b
D
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – II slide 9/11
Sugesta˜o para a demonstrac¸a˜o
Seja ÂDB = θ. Assim, ÂDC = pi − θ.
Escreva as leis dos cossenos nos triaˆngulos ADB e ADC relativas
ao ve´rtice D, observe que cos(pi − θ) e obtenha uma nova relac¸a˜o
eliminando o termo que possui o cosseno em ambas.
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – II slide 10/11
Exerc´ıcio
Em um triaˆngulo ABC calcule a mediana relativa ao ve´rtice A.
b
A
b
B
b
C
b
M
PROFMAT - SBM Triaˆngulo qualquer – II slide 11/11
A´reas de pol´ıgonos
MA13 - Unidade 12
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
A´rea de um quadrado
Unidade de a´rea
A unidade de a´rea e´ o quadrado de lado 1.
1
A´rea de um quadrado qualquer
O livro texto, To´picos de Matema´tica Elementar, nas pa´ginas 234
a 236 mostra que:
A a´rea de um quadrado de lado a e´ igual a a2.
PROFMAT - SBM A´reas de pol´ıgonos slide 2/10
A´rea de um retaˆngulo
Seja a a´rea de um retaˆngulo de base x e altura y.
x
y
i) A a´rea do retaˆngulo e´ proporcional a x . De fato, quando a
base dobra, a a´rea dobra, quando a base triplica, a a´rea
triplica, e assim por diante.
x
y
x x
PROFMAT - SBM A´reas de pol´ıgonos slide 3/10
ii) A a´rea do retaˆngulo tambe´m e´ proporcional a y . De fato,
quando a altura dobra, a a´rea dobra, quando a altura triplica,
a a´rea triplica, e assim por diante.
x
y
y
y
Vamos usar agora o Teorema Fundamental da Proporcionalidade
que diz o seguinte:
Seja y = f (x) uma func¸a˜o crescente tal que f (nx) = nf (x) para
todo n natural. Enta˜o f (cx) = cf (x) para todo c real positivo.
PROFMAT - SBM A´reas de pol´ıgonos slide 4/10
No nosso caso, a a´rea do retaˆngulo e´ proporcional tanto a` base
quanto a` altura. Enta˜o,
A(x , y) = A(x · 1, y) = xA(1, y) = xA(1, y · 1) = xyA(1, 1) = xy
Assim a a´rea de um retaˆngulo e´ o produto da base pela altura
quaisquer que sejam as medidas dos seus lados.
Naturalmente que, para todo nu´mero a real positivo, a´rea do um
quadrado de lado a e´ igual a a2.
PROFMAT - SBM A´reas de pol´ıgonos slide 5/10
A´rea do paralelogramo
A a´rea do paralelogramo e´ o produto da base pela altura.
Veja um paralelogramo de base a e altura h. Foi constru´ıdo um
retaˆngulo circunscrito de base a + x e altura h.
a x
h
ax
A a´rea S do paralelogramo e´ igual a` a´rea do retaˆngulo subtra´ıda
das a´reas dos dois triaˆngulos vazios. Os dois triaˆngulos vazios
formam um retaˆngulo de base x e altura h. Enta˜o,
S = (a + x)h − xh = ah + xh − xh = ah
Assim,
S = ah
PROFMAT - SBM A´reas de pol´ıgonos slide 6/10
A´rea do triaˆngulo
A a´rea do triaˆngulo e´ a metade produto da base pela altura.
h
a
b
b
O triaˆngulo e´ a metade do paralelogramo de mesma base e mesma
altura. A a´rea do triaˆngulo de base a e altura h e´
s =
ah
2
PROFMAT - SBM A´reas de pol´ıgonos slide 7/10
A´rea do trape´zio
x b
y
h
a
O trape´zio tem bases a e b, e altura h.
Considere o retaˆngulo circunscrito ao trape´zio como mostra a
figura. Sua a´rea e´:
S = ah − xh
2
− yh
2
=
2ah − xh − yh
2
=
(a + a− x − y)h
2
=
(a + b)h
2
S =
(a + b)h
2
PROFMAT - SBM A´reas de pol´ıgonos slide 8/10
A´rea do triaˆngulo - 2
Uma outra forma de calcular a a´rea do triaˆngulo ABC e´
S =
1
2
bc senA.
b
A
b
B
b
C
c
b
b
D
h
Trac¸ando a altura CD temos que CD = h = b senA. Portanto, a
a´rea do triaˆngulo e´:
S =
AB · CD
2
=
1
2
· c · b · senA = 1
2
bc senA
PROFMAT - SBM A´reas de pol´ıgonos slide 9/10
A´rea do pol´ıgono regular convexo
Imagine um pol´ıgono regular convexo com n lados inscrito em uma
circunfereˆncia de raio R.
Divida o pol´ıgono em triaˆngulos a partir do centro:
b b
b
b
b
b
b
b
b
bO
Cada aˆngulo central mede
2pi
n
. A a´rea do pol´ıgono e´ a soma dos n
triaˆngulos. Logo,
S = n · 1
2
· R · R · sen 2pi
n
S =
R2
2
n sen
2pi
n
PROFMAT - SBM A´reas de pol´ıgonos slide 10/10