4 Treliças

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Tópico:
Treliças planas isostáticas
Prof. Roberto E. Oshiro
Conteúdo:
1 – Treliças
2 – Exemplos
3 – Exercícios para prática
Referências:
‒ Hibbeler, Mecânica para engenharia : Cap. 6
‒ Beer & Johnston, Mecânica vetorial para engenheiros: Cap. 6
1 – Treliças
1 – Treliças
Treliças são combinações de barras retas conectadas pelas extremidades 
formando triângulos. Elas tem como característica principal a alta capacidade de 
carga aliada a um baixo peso e custo de construção 
Pelo fato de ser uma estrutura muito eficiente, treliças são arranjos estruturais 
largamente utilizados na engenharia.
Exemplos: pontes, torres de transmissão elétrica, suporte de telhados, etc. 
Características:
- Todas as cargas são aplicadas nos nós;
- O peso próprio é frequentemente desprezado pois a carga suportada é bem 
maior que o peso do elemento;
- Os elementos são ligados entre si por superfícies lisas.
Atendidas as hipóteses acima, a barra de uma treliça só aceita forças na direção 
axial, ou seja, compressão ou tração. No exemplo acima, perceba que só existem 
forças de tração (barras AB e AC) e compressão (barra BC). Além disso, a barra não 
transmite nenhuma força cortante ou momento fletor e todos os esforços 
aplicados na treliça atuam nos nós.
Composição:
- As treliças são 
compostas de 
barras e nós:
1 – Treliças
Observação:
Devido à lei de Newton de ação e reação, se uma barra é tracionada, 
ela também traciona os nós ligados a ela com uma força de mesma 
magnitude. 
1 – Treliças
- A barra AC está sujeita à tração e 
traciona os nós A e C.
- A barra BC está sujeita à compressão 
e comprime os nós B e C.
1 – Treliças
As junções das treliças simples são feitas através de pinos, isto é, são 
articuladas. Devido esta forma de conexão, apenas os esforços axiais são 
transmitidos através das barras, conforme já mencionado.
Entretanto, se as junções forem soldadas ou parafusadas através de 
placas, como ilustra a figura abaixo, e os eixos longitudinais das barras se 
interceptarem num mesmo ponto no interior da junta, é razoável 
considerar somente os carregamentos axiais. Do contrário, demais tipos 
de carregamentos transmitidos entre as barras não devem ser 
desprezados. 
1 – Treliças
Para esta disciplina, serão consideradas apenas Treliças planas 
isostáticas:
- Uma treliça plana (ou bidimensional) é uma estrutura onde todos os 
membros e os nós se encontram no mesmo plano, enquanto uma 
treliça espacial/tridimensional tem membros e nós em três dimensões;
- Treliças isostáticas são aquelas em que o número de incógnitas é igual 
ao número de equações.
Treliça bidimensional
Treliça tridimensional
Existem diversos métodos para a solução de treliças como o método 
dos nós, método de Maxwell-Cremona, método das seções, método 
matricial, etc. O método estudado aqui será o método dos nós.
Método dos nós
Consiste no desmembramento da treliça em seus vários componentes 
(nós e barras). Através da aplicação do DCL em cada um dos nós, é 
possível calcular os esforços desconhecidos fazendo o equilíbrio de 
forças nas direções x e y:
1 – Treliças
0xF = 0yF =
1 – Treliças
Importante: convenção de sinais
- A convenção de sinais para os esforços externos atuando na treliça 
(forças externas aplicadas e reações dos apoios) segue o sistema de 
eixos coordenados global.
- A convenção de sinais para os esforços internos (forças atuando nas 
barras) é independente do sistema de coordenadas global. A força é 
positiva quando a barra é tracionada e negativa quando a barra é 
comprimida.
Método dos nós
Etapas:
1 – Calcule as forças de reação nos apoios.
2 – Escolha um nó e faça o DCL. Faça o equilíbrio de forças do nó 
usando o equilíbrio de forças nas direções x e y.
3 – Repita a etapa 2 para cada nó da estrutura até que todas as 
forças sejam identificadas.
2 – Exemplos
Exemplo 1 Etapa 1: Calcular as reações nos apoios;
Cy = 500 N Ax = 500 N Ay = -500 N
Etapa 2: Selecionar um nó que tenha no máximo 2 
barras com esforços desconhecidos. Por exemplo, o nó 
B. Faça o diagrama de corpo livre do nó B.
Dica: desenhe a força desconhecida sempre apontando para fora do nó 
(tracionando o nó/barra). No caso da força calculada der negativa, então sabe-se 
que o nó/barra está em compressão e deve-se inverter o sentido do vetor.
Ax (N) Ay (N) Cy (N)
-500 -500 500
FBA (N) FBC (N) FCA (N)
É útil construir uma tabela resumindo os valores 
calculados, principalmente para treliças constituídas 
de muitas barras e nós:
Nó B
Exemplo 1
Ax (N) Ay (N) Cy (N)
500 -500 500
FBA (N) FBC (N) FCA (N)
+500 -707
Usando as equações de equilíbrio de forças nas direções x e y, determine FBA e FBC:
o0 500 sen(45 ) 0x BCF F= → +  = → o0 cos(45 ) 0y AB BCF F F= → − −  = →(comprimindo a barra BC)
(tracionando a 
barra AB)
707 NBCF = −500 NABF =
Importante: para desenhar os vetores força atuando em um nó, lembrar que 
forças positivas nas barras atuam tracionando o nó (saindo), enquanto forças 
negativas nas barras comprimem o nó (entrando). Porém, as reação dos apoios 
e forças aplicadas são esforços externos e seguem a notação de sinais do 
sistema de coordenadas global.
Nó B
Exemplo 1
Ax (N) Ay (N) Cy (N)
500 500 500
FBA (N) FBC (N) FCA (N)
+500 -707 +500 N
Etapa 3: Seleciona-se o nó C e determina-se as forças FBA e FBC nas 
direções x e y através das equações de equilíbrio determine :
= → − +  = → o0 707 sen(45 ) 0x CAF F= → −  = → o0 707 cos(45 ) 0y yF C(tracionando a barra AC) = 500 NCAF = 500 NyC
Nó C
Este cálculo serve para 
checar o resultado anterior
Etapa 4: Todos os esforços já foram determinados, mas o último nó (A) pode ser 
usado para conferir os cálculos. As forças devem-se equilibrar nas duas direções 
x e y.
Nó A
= → + = → 0 0y y BAF A F
Coincide com o valor já calculado
= −500 NyA = −500 NxA = → + = → 0 0x x CAF A FCoincide com o valor já calculado
Exemplo 1
Exemplo 2 Etapa 1: Calcular as reações nos apoios;
Ay = 600 N Cx = -600 N Cy = -200 N 
Etapa 2:
Ay (N) Cx (N) Cy (N)
600 -600 -200
FAB (N) FBC (N) FCD (N) FAD (N) FBD (N)
-750 -600 -200 +450 +250
Nó A
= → + = →
3
0 0
5
x AD ABF F F
= →  + = →
4
0 600 0
5
y ABF F
(tracionando 
a barra AD)
(comprimindo 
a barra AB) = 450 NADF
= −750 NABF
Exemplo 2
Etapa 3:
Nó D
= → − − + = →
3
0 450 600 0
5
x BDF F= →  + = →
4
0 0
5
y BD CDF F F
(tracionando 
a barra BD)
(comprimindo 
a barra CD)
= 250 NBDF = −200 NCDF
Etapa 4:
Nó C
0 600 0x BCF F= → − − = → 0 200 200 0yF = → − =(comprimindo a barra BC) 600 NBCF = −
Este cálculo serve para 
checar o resultado anterior
Exemplo 2
Etapa 5:
3 3
0 600 750 250 0
5 5
xF = → − +  +  =
4 4
0 400 750 250 0
5 5
yF = → − +  −  =
Nó B: este cálculo serve para 
checar os resultados anteriores
Ay (N) Cx (N) Cy (N)
600 -200 -600
FAB (N) FBC (N) FCD (N) FAD (N) FBD (N)
-750 -600 -200 +450 +250
3 – Exercícios para prática
Exercício 1 - treliças Calcule as forças atuando em todos os nós das treliças 
(a resposta é dada somente para algumas barras).
(a)
(b)
FAC = +64 kN
FAB = 0
FEF = +30 kN
(c)
FAD = +15 kN
FBE = +5 kN
(d)
FAD = -20,6 kN
(e)
FBC = -5,02 kN
FCD = +4,10 kN
(f)
FAC = -283 N
FBC = +200 N
Exercício 1 - treliças
FAC = -156 kN
(g)
(h)
(i)
FCD = +800 N
FBE = +750 N
FAE = -1750 N
FAB = +7,5 kN
FDE = -4,5 kN
FBC = +18,5 kN
Exercício 1 - treliças
(j)
FAB = +1500 lb
FBD = +2500 lb
FCE = -8750 lb
(k)
FCD = +9,24 kN
FDE = +4,62 kN
FCB = +9,24 kN
(l)
FBD = -1,7 kN
FAB = -2,55 kN
FCF = +1,6 kN
Exercício 1 - treliças
(o)
(n)
FAB = -1500 lb
FBD = -1200 lb
FEF = -60lb
FGH = +1200 lb
(m)
FAD = -260 lb
FBE = -832 lb
FCE = +400 lb
FAB = -420 lb
FAB = +286 lb
FBC = +808 lb
Exercício 1 - treliças
(p)
(q)
FAB = -1500 lb
FCE = +1200 lb
FDF = -1000 lb
FAB = -47,2 kN
FCD = +17,5 kN
FDE = 0
Exercício 1 - treliças
Treliças planas isostáticas
Links para estudo:
Exercício: https://www.youtube.com/watch?v=PhbpqgE7tPw
Exercício: https://www.youtube.com/watch?v=JfIcLOjRSR8
Exercício (parte 1): https://www.youtube.com/watch?v=PfcI6dZwFWk
Exercício (parte 2): https://www.youtube.com/watch?v=k4Bc4sdW7_o
Exercício (parte 3): https://www.youtube.com/watch?v=E3JVJZ56wr8
Exercício: https://www.youtube.com/watch?v=lyXwVnQDBRA
Exercício: https://www.youtube.com/watch?v=HmTaRIzZHdM
Exercício: https://www.youtube.com/watch?v=Ir8nPPWYyFM
Próximo tópico
• Propriedades da seção transversal (centro de gravidade e momento de 
inércia)
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