A convergência da Série Harmônica

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Cálculo II 
 
 
 
 
A convergência da Série Harmônica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Séries Harmônicas ................................................................................................................ 2 
1.1. Análise de divergência das Séries Harmônicas ........................................................... 2 
1.2. Convergência das séries harmônicas .......................................................................... 4 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 5 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 5 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na última aula “A convergência da Série Geométrica”, foi estudado sobre séries 
geométricas e o caso especial de convergência. 
A série harmônica apresenta termos que decrescem e tendem a zero. A 
primeira coisa que se pensa, após estes estudos anteriores é que ela então apresenta 
uma soma finita. Engana-se quem pensa assim! 
É importante lembrar da importância da busca por outros meios de análise de 
convergência das séries, pois, este é um caso em que à primeira vista engana e no faz 
obter um resultado errôneo. Então, não tenha preguiça, sempre faça um teste, caso 
desconfie da veracidade de análise inicial. Pois bem, a série harmônica apresenta 
soma infinita. 
Nesta apostila serão discutidos e apresentados as séries harmônicas e o caso 
particular de sua convergência. 
Objetivos 
• Compreender os conceitos e as definições das séries harmônicas; 
• Compreender os conceitos e as definições das p-séries; 
• Entender e aplicar o critério de convergência das séries harmônicas. 
 
1. Séries Harmônicas 
1.1. Análise de divergência das Séries Harmônicas 
A séria harmônica pode ser descrita da seguinte maneira. 
1
1 1 1 1
1
2 3n n n

=
= + + + + + 
Mas qual o motivo do nome desta série? 
O nome se deve “ quando a , b e c forem três termos consecutivos da série, 
então b será a média entre a e c ”. 
Existe uma relação matemática para isso, que pode ser dada por: 
2ac
b
a c
 
=  
+  
 
3 
 
Com relação a natureza da série, inicialmente, pode-se dizer que a série 
harmônica é divergente. E para demonstrar isto utiliza-se a técnica de comparação 
entre séries, ou seja, uma outra série já conhecida anteriormente. 
 
EXEMPLO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja a série: 
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 6 7 8 9 16n n

=
= + + + + + + + + + + 
Vamos apenas reescreve-la de forma a agrupar seus termos. 
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 6 7 8 9 16n n

=
     
= + + + + + + + + + +     
     

` 
Neste caso temos que no primeiro separamos em dois termos, 
no segundo quatro termos, no terceiro grupo ficaram 8 termos 
e assim por diante. Importante! 
Para este exercício os últimos denominadores de cada grupo 
de termos é uma potência de 2. 
Agora, vamos encontrar o menor termo, em cada grupo, e 
substituir todos os outros termos. Desse jeito aqui: 
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 4 4 8 8 8 8 16 16n n

=
     
= + + + + + + + + + +     
     
 
Faremos a soma de cada grupo individualmente e 
substituiremos o grupo pelo valor encontrado. 
1
1 1 1 1 1
1
2 2 2 2n n

=
= + + + + + 
Observe a série, o que você enxerga? 
Que a partir do segundo termo, cresce ilimitadamente, 
portanto 1
1
n n

=
 é divergente. 
 
 
4 
 
Com relação a P-série, ela é um tipo específico de série recebeu este nome 
devido a forma com que se apresenta, conforme a seguir. 
 
1
1
p
n n

=

 
Observe que o índice 
p
 é que dá esse nome a tal série. Então, entenda que 
para ser p-série, ela precisa ter este formato em que no denominador sempre tem o 
n
 
elevado a alguém. 
A série harmônica é um tipo especial de p-série, ou seja, a p-série é conhecida 
também como série harmônica, que é um tipo de série muito utilizada para realizar o 
teste da comparação. 
Sabe-se que as séries harmônicas divergem, no entanto, existe um caso 
específico que ela pode convergir, o que vai depender do valor de 
p
, da seguinte 
maneira: 
1p 
, a série converge. 
1p 
, a série diverge. 
 
1.2. Convergência das séries harmônicas 
Sabe-se que a série harmônica é divergente, mas será que ela nunca irá 
convergir? 
Observe essa série!! 
( )
1
11 1 1 1
1
2 3 4 5
n
n
+
−
− + − + − +
 
Ela é considerada uma série harmônica, que converge. 
Isso mesmo, pois ela está dentro das séries alternadas, ou seja, é chamada de 
série harmônica alternada. 
Observe os critérios para provar a convergência dela. 
A série 
( )
1
1 2 3
1
1
n
n
n
u u u u

+
=
− = − + −
 convergirá, caso satisfeita todas as 
condições que seguem: 
i. Todos os 
nu
 forem positivos. 
ii. 
1n nu u +
 para todo 
n N
, quando N inteiro. 
iii. 
0nu →
. 
 
 
5 
 
EXEMPLO 2 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. (Autora, 2019) Determine se as duas séries abaixo convergem ou não. 
3
1
1
I
n
S
n

=
=
 e 
3
1
1
II
n
S
n

=
=
 
2. (USP- 2010) Verifique se a série converge ou diverge. 
2 2 3 3
1 1 1 1 1 1
1
3 2 3 2 3 2
− + − + − +
 
Gabarito 
1. 
1 1
p
dx dx
x x
 
=  , para 
1p =
. 
Então temos que: 
1
1 1
lim limln limln
b
b
p b b b
dx dx
x b
x x

→ → →
= = = =  
, divergente. 
1 1
p
dx dx
x x
 
=  , para 
1p =
 
Então teremos que: 
Se observarmos esta série harmônica:
( )
1
11 1 1 1
1
2 3 4 5
n
n
+
−
− + − + − +
, percebemos que ela 
satisfaz todas as condições: 
i. Todos os 
nu
 forem positivos. 
ii. 
1n nu u +
 para todo 
n N
, quando N 
inteiro. 
iii. 
0nu →
. 
Portanto esta série é convergente. 
 
6 
 
1 1
1 1 1
1
lim lim lim
1 1
bb p p
p
p b b b
dx x b
x dx
x p p
 − + − +
−
→ → →
 −
= = =  
− + − + 
 
= 

, se 
1p 
 e; 
1
1p −
, se 
1p 
. 
 
2. Encontra-se um padrão e faz a análise. 
Primeiramente, observe as duas séries, percebeu que as duas são p-série? Se 
prestarmos atenção, podemos ver que o termo geral das duas, se parece com 
o termo geral da p-série. Olhe bem! 
1
n p
a
n
=
 
Agora, que conseguimos decifrá-las, vamos aplicar o teste de convergência da p-
série. Esse aqui: 
3p =
, a série converge. 
1p 
, a série diverge. 
Como já provamos anteriormente, podemos fazer direto, sem perder tempo! 
Para
3
1
1
I
n
S
n

=
=
: 
Primeiro achamos o termo geral, que é: 
3
1
nan
=
 
Então, o 
3p =
, sendo maior que 1, correto? 
Então 
IS
converge. 
Para 
3
1
1
II
n
S
n

=
=
teremos: 
Vamos achar o termo geral: 
1,5
1
na
n
=
 
Aqui, 
1,5p =
, sendo maior que 1, portanto a série converge. 
 
 
 
7 
 
Resumo 
Nesta aula foi estudado sobre a série harmônica, que apresenta termos que 
decrescem e tendem a zero, e por isso muito acreditam, inicialmente que ela seja 
convergente. No entanto ela é divergente, pois ao realizar alguns ajustes na 
organização dos termos da série, ela tende ao infinito, a partir do segundo termo. 
Existe um caso em que ela é convergente, quando a série harmônica é 
alternada, no entanto ela deve apresentar três condições específicas para isto, 
conforme: A série 
( )
1
1 2 3
1
1
n
n
n
u u u u

+
=
− = − + −
 convergirá, quando: todos os 
nu
 forem 
positivos, 
1n nu u +
 para todo 
n N
 e 
0nu →
. 
Com relação a P-série, sabe-se que ela é do tipo 
1
1
p
n n

=

, neste caso os critérios 
de convergência são: quando 
1p 
, a série converge, e 
1p 
, a série diverge. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Referências bibliográficas 
GOUVÊA, Fernando Q. Séries Infinitas, Apostila, Escola Politécnica da USP e Instituto de Matemática da USP, 
1983. 
 
FONSECA, Daila Silva Seabra de Moura. Convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: um trabalho 
visando à corporificação dos conceitos. (Dissertação) Ouro Preto: Universidade Federal de Ouro Preto, 2012. 
 
STEWART, James.Cálculo. 7.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.