Força de pressão, profundidade e torque sobre uma barragem

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Física II 
 
 
 
FORÇA DE PRESSÃO, PROFUNDIDADE E TORQUE 
SOBRE UMA BARRAGEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Pressão de um fluido sobre um ponto ..................................................................................... 2 
 
2. Pressão sobre uma barragem .................................................................................................. 3 
 
3. Torque sobre uma barragem ................................................................................................... 4 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 6 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Nesta apostila iremos ver os conceitos físicos de forças e torque aplicados 
sobre uma barragem. Aqui iremos nos prender apenas na conceituação dos 
fenômenos, deixando a parte matemática para a próxima apostila. 
Vamos rever conceitos como pressão e volume de um fluido aplicado a um 
recipiente que o contenha. Essa teoria servirá de base para desenvolvermos o 
pensamento necessário para o restante da teoria. 
Objetivos 
• Apresentar a força exercida pela pressão da água sobre uma barragem. 
• Apresentar o torque exercido pela força de pressão da água sobre a 
barragem. 
 
1. Pressão de um fluido sobre um ponto 
Antes de iniciarmos o estudo é necessário fazer uma breve revisão sobre 
pressão exercida por fluídos. Para facilitar a compreensão utilizaremos como 
exemplo gases ideais. Podemos definir pressão como a força aplicada pelo fluido 
perpendicularmente à superfície em todas as direções ao longo de todo o recipiente 
que contém o fluido, conforme a figura seguinte: 
01 
Recipiente contendo um fluido ideal 
 
Definimos a pressão como sendo a força aplicada em determinada área, 
matematicamente será igual a: 
(1) 𝑃 =
𝐹
𝐴
 
Sabendo que essa força aplicada é fruto de colisões das moléculas do fluido 
dentro do recipiente, vamos considerar o fluido homogêneo, de maneira que, na 
média, as colisões serão todas iguais entre si se consideramos a mesma altura em 
relação ao topo do recipiente, pois as colisões dependem basicamente da massa da 
molécula e da velocidade (que no caso do fluido homogêneo ambas podem ser 
consideradas iguais para todas as moléculas, uma vez que estamos considerando a 
média). 
 
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Em nosso exemplo quanto mais profundo vamos no recipiente maior será o 
peso, pois teremos mais moléculas acima do ponto considerado, e dessa maneira 
maior será a pressão, e assim podemos dizer que a pressão de determinado fluido 
depende da profundidade que se está analisando. 
No nosso exemplo, o recipiente é um cilindro (apenas para facilitar os 
cálculos, mas se você quiser pode ser feito com qualquer outra superfície, inclusive 
nas laterais vai dar certo do mesmo jeito), podemos então dizer que a força aplicada 
será igual ao peso do fluido dentro do recipiente, e que a pressão será igual a: 
(2) 𝑃 =
𝑃𝑓
𝐴
 
 
Como o peso do fluido é (3) 𝑃𝑓 = 𝜌 ∙ 𝑉 ∙ 𝑔, onde: 
• Massa específica (que é a densidade dos fluidos), dada em kg/m³ 
• Volume, dado em m³ 
• Gravidade no local, dada em m/s² 
Substituindo a equação (3) na equação (2), temos: 
𝑃 =
𝜌∙𝑉∙𝑔
𝐴
, como 𝑉 = 𝐴 ∙ ℎ 
𝑃 =
𝜌 ∙ 𝐴 ∙ ℎ ∙ 𝑔
𝐴
 
 (4) 𝑃 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 
 
2. Pressão sobre uma barragem 
No caso de uma barragem temos que considerar infinitos pontos que estão à 
mesma profundidade em relação à superfície. Tomando como exemplo a barragem 
na figura seguir, teremos: 
02 
Esquema de uma barragem. 
 
 
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Agora, se olharmos a barragem perpendicularmente ao talude de montante, 
apenas na parte circulada, na mesma direção que a força �⃗� está atuando, teremos o 
seguinte esquema, considerando apenas a força de pressão atuando no sistema: 
 
03 
Vista frontal e perpendicular do Talude de Montante. 
 
Assim é possível perceber que a força é sempre perpendicular e se quisermos 
analisar ao longo de todas as possíveis linhas paralelas a L chegaremos à conclusão 
de que a pressão depende apenas de 𝜌 (característica do fluido), 𝑔 (característica do 
local da barragem) e ℎ (característica da barragem, ou do local analisado). 
O valor da força de pressão aplicada à barragem é o valor mínimo que a 
barragem deve aguentar para não se romper quando estiver em sua capacidade 
máxima, claro que considerando um sistema estático e homogêneo. 
 
3. Torque sobre uma barragem 
Antes de falarmos do torque exercido pela força de pressão sobre uma 
barragem precisamos relembrar o que é torque: é a grandeza associada ao 
movimento de rotação, causado por uma força que não passe pelo ponto de 
rotação, aplicada a um corpo rígido. 
 
DICA 
 
 
 
 
No caso da barragem, a tendência do movimento será em relação ao ponto 
do talude de montante que toca o solo. Ou seja, a força que é aplicada na barreira 
fará com que a barreira tenda a girar, no caso do nosso exemplo, no sentido horário. 
Caso a barreira não consiga aguentar a pressão da água, ela irá se romper 
rotacionando no sentido horário. 
L 
h 
H 
Simplificando o conceito, temos que torque é uma 
força que tende a provocar uma torção em um corpo 
rígido, ou seja, tende a fazer o corpo entrar em 
movimento circular em relação a um ponto de apoio. 
 
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Por esse motivo é que as barragens são construídas com uma inclinação no 
talude de montante, pois como ela deve suportar um torque muito grande, se ela for 
inclinada o torque efetivo sobre a barragem diminui, uma vez que o módulo do 
torque é igual a 𝜏 = 𝑟 ∙ 𝐹 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃, a parte da força que influencia no torque sendo 
apenas a componente horizontal (𝐹 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃) conforme podemos ver no destaque da 
figura seguinte: 
04 
Esquema de barragem vertical. 
Exercícios 
1) (Autor, 2019) Julgue os itens abaixo assinalando “C” para correto e “E” para 
errado: 
a) A pressão ao longo de todo o reservatório depende apenas de 
propriedades do fluido; 
b) A pressão é dependente diretamente da temperatura do fluido, quanto 
maior a temperatura, maior a agitação das moléculas e, por 
consequência, maior a pressão; 
c) A componente da força que influencia no torque em barragens inclinadas 
é igual a 𝐹 ∙ 𝑠𝑒𝑐𝜃; 
d) É possível dizer que a pressão sobre a barragem pode vir a rompê-la, caso 
não sejam consideradas todas as possíveis influências sobre ela. 
 
2) (Autor, 2019) Dado um corpo cuja massa seja igual a 15 g e que tenha 
dimensões retangulares de 3cm por 7cm, calcule a pressão exercida sobre a 
base quando o corpo está apoiado: 
a) Pelas paredes maiores 
b) Pelas paredes menores 
θ 
θ 
. �⃗� 
�⃗�ℎ 
�⃗�𝑣 
 
6 
 
 
3) (Autor, 2019) Um determinado reservatório cilíndrico aberto contém 1.000 m³ 
de água. Sabendo que, pelo surgimento de uma fissura a 4m do fundo, a 
resistência do material a essa altura é de 320.000 N/m², o dono do 
reservatório contratou um engenheiro para determinar se havia possibilidade 
de que essa quantidade de água causasseruptura. Além disso, como ele não 
disponha de recursos imediatos e não estava na estação chuvosa, ele quer 
saber se é necessário que se faça algum reparo no reservatório. Dados: altura 
do reservatório - 20 m; diâmetro da base - 6 m; gravidade local - 9,7m/s²; π = 
3,1415; densidade da água - 1,00 g/cm³. 
Gabarito 
1. 
a) E – Depende da altura em relação ao topo do reservatório 
b) C 
c) E - 𝐹 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃 
d) C 
2. 
a) 𝑃 = 30𝑁/𝑚² 
Primeiramente vamos calcular o peso do corpo: 
𝑃 = 𝑚 ∙ 𝑔 
𝑃 = 0,015𝑘𝑔 ∙ 9,8𝑚/𝑠² 
𝑃 = 0,147𝑁 
𝑃 =
𝐹
𝐴
 
𝑃 =
0,147𝑁
(0,07𝑚)²
 
𝑃 = 30𝑁/𝑚² 
b) 𝑃 = 163,33𝑁/𝑚² 
𝑃 =
0,147𝑁
(0,03𝑚)²
 
𝑃 = 163,33𝑁/𝑚² 
 
 
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3. 
Para sabermos a pressão no ponto precisamos calcular a altura da coluna de 
água, mas para isso, precisamos primeiro calcular a área da base do 
reservatório: 
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟² 
𝐴 = 3,1415 ∙ 32 = 28,27𝑚² 
Agora, vamos calcular qual a altura da coluna de água, sabendo que o volume 
do cilindro é igual a 𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ 
𝑉 = 1000 𝑚³ = 𝐴𝑏 ∙ ℎ = 28,27𝑚² ∙ ℎ 
ℎ =
1000
28,27
= 35,37𝑚 
De posse dessa informação, sabemos que a altura da coluna de água será 
igual à 35,37 𝑚 − 4 𝑚, o que dará igual a 31,37 m de coluna de água, assim, 
para calcular a pressão, temos: 
𝑃 = 𝜇 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = 1.000 ∙ 9,7 ∙ 31,37 =304.289 N/m² 
Como a pressão exercida pela água no ponto da fissura é menor que a de 
resistência, o reservatório irá aguentar, porém, antes de entrar na estação 
chuvosa é necessário providenciar reparos no reservatório, pois com o 
aumento da coluna de água também aumentará a pressão sobre a fissura, 
podendo causar o rompimento do reservatório. 
Resumo 
Nessa apostila, vimos que a pressão é igual em todos os pontos à mesma 
altura e que quanto maior for a profundidade no fluido, maior será o peso das 
moléculas acima, assim terá mais colisões nas paredes, o que resulta em uma maior 
pressão exercida. 
Assim, concluímos que a pressão é dependente da profundidade do fluido 
que se analisa. 
A força de pressão é sempre perpendicular ao talude, assim quando formos 
analisar matematicamente precisamos levar em consideração a inclinação do 
talude, além disso, essa é a força mínima que a barragem deve aguentar, isso 
considerando que a água fica em repouso em relação ao talude de montante. 
 
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A pressão de um líquido depende apenas de ρ (característica do líquido), g 
(característica do local da barragem) e h (característica da barragem ou do local 
analisado), além disso, vimos que o torque é a grandeza associada ao movimento de 
rotação, ou tendência de rotação, causado por uma força que não passe pelo ponto 
de rotação, aplicada a um corpo rígido. 
No caso de uma barragem, esse ponto de apoio será a base do talude de 
montante que toca o solo, por esse motivo é que as barragens são construídas com 
uma inclinação, pois assim ela consegue suportar um torque muito grande sem 
romper facilmente. A componente da força aplicada que influencia no torque é 
a𝐹ℎ = 𝐹 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜃. 
 
 
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Referências bibliográficas 
HALLIDAY, D., RESNICK, R., KRANE, K.S., Física. v. 2, Rio de Janeiro: LTC Ltda, 1992 
TIPLER, P.A. Física. Ed. 4, v. 1, Rio de Janeiro: LTC, 2000.