hidrostatica-2022-12-04

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Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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Pinheiro & Corradi - Fundamentos de Mecânica dos Fluidos e Termodinâmica 04/12/2022 
 
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1 HIDROSTÁTICA 
Carlos Basílio Pinheiro - Universidade federal de Minas Gerais 
Wagner Corradi Barbosa - Universidade federal de Minas Gerais 
 
APÓS O ESTUDO DESTE TÓPICO VOCÊ DEVE SER CAPAZ DE: 
• Definir pressão, densidade e empuxo em um fluido. 
• Resolver problemas sobre a distribuição de pressão em fluidos. 
• Estudar a lei de Stevin e suas aplicações. 
• Estudar as características da pressão atmosférica. 
• Conhecer os princípios de medida de pressão. 
• Estudar o princípio de Pascal e suas aplicações. 
• Estudar o princípio de Arquimedes e suas aplicações 
 
 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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2 
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id
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a 
LOCALIZAÇÃO DO ITEM NOS CAPÍTULOS E LIVROS 
LIVRO AUTORES ED. SEÇÕES 
Física II 
Addison-Wesley 
Sears, Zemansky, Young 
Freedman; 
12ª 
Física 2LTC Sears, Zemansky, Young 2ª 
Física 2 
Livros Técnicos e Científicos S.A 
Resnick, Halliday, Krane 4ª 
Física 2 
Livros Técnicos e Científicos S.A 
Resnick, Halliday, Krane 5ª 
The Feynman Lectures on Physics; Vol. 
I 
Feynman, Leighton, Sands 
Fundamentos de Física, vol.2 
Livros Técnicos e Científicos S.A 
Halliday, Resnick 3ª 
Física 2 
Editora Makron Books do Brasil 
Keller, Gettys, Skove 1ª 
Curso de Física, vol.2 
Ed. Edgard Blücher 
Moysés Nussenzveig 3ª 
Física, vol.1b 
Ed. Guanabara 
Tipler 2ª 
Física, vol.2 
Ed. Guanabara 
Tipler 3ª 
Física, vol.2 
Ed. Guanabara 
Tipler 5ª 
Física, vol.2 
Livros Técnicos e Científicos S.A 
Alaor S. Chaves 1ª 
Física, Fundamentos e Aplicações, vol.2 
Editora McGraw Hill 
Eisberg e Lerner 1ª 
Física 2 
Livros Técnicos e Científicos S.A 
R. A. Serway 3ª 
 
 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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1.1 Características Gerais dos Fluidos 
Qualquer substância que possa fluir, ou seja, escoar é considerada um fluido. O termo “fluido” é usado tanto para 
um gás quanto para um líquido. Um sólido possui forma e volume bem definidos; os líquidos possuem volume 
definido e adquirem a forma de seus recipientes; já os gases, não têm forma definida e tendem a ocupar todo o 
recipiente que os contém. 
As forças intermoleculares estão na base do comportamento característico da matéria. Elas são muito intensas nos 
sólidos porque as distâncias intermoleculares são muito curtas. Nos líquidos, essas distâncias são maiores e, assim, 
as forças intermoleculares são menores. Já nos gases, as distâncias são maiores ainda e, em condições normais de 
temperatura e pressão, as forças só atuam quando as moléculas estão praticamente em contato umas com as 
outras. 
Líquidos, assim como os sólidos, são praticamente incompressíveis, podendo assim suportar e transmitir 
compressões. Os gases, por outro lado podem ser comprimidos. Outra diferença entre os sólidos e os fluidos é que 
os sólidos suportam tensões de cisalhamento e se deformam até que as forças intermoleculares nele se igualem à 
tensão aplicada. Quando esta tensão cessa, as forças internas tendem a restaurar a forma original do sólido. Já os 
fluidos não suportam essas tensões de cisalhamento. Quando elas atuam, os fluidos escoam e se movimentam 
enquanto as tensões forem aplicadas. 
É preciso notar uma característica fundamental dos fluidos: por menor que seja uma força atuando sobre eles, ela 
pode produzir uma grande deformação, desde que o intervalo de tempo de atuação da força seja suficientemente 
grande. A razão disso é que a resistência aos esforços de deformação depende da taxa de variação espacial da 
velocidade de escoamento de uma camada do fluido em relação à outra, isto é, a resistência depende de como 
varia essa taxa de um ponto a outro do fluido. No sólido, normalmente, a resistência depende da deformação. 
Define-se então que um fluido é um material que não suporta forças de cisalhamento. Entretanto, alguns sólidos 
podem se comportar como fluidos, como, por exemplo, a areia que escoa assumindo a forma do recipiente que a 
contém. Diversos materiais sólidos também podem escoar dependendo do valor da força de cisalhamento aplicada, 
como, por exemplo, o movimento das placas tectônicas, as avalanches de neve ou os desmoronamentos de lama e 
terra observadas nas regiões montanhosas. Apesar das forças envolvidas serem hercúleas, o comportamento 
destes materiais pode ser considerado como o de um fluido e todos os modelos utilizados para o cálculo do 
movimento dos mesmos são baseados na mecânica dos fluidos. 
1.2 Densidade 
A densidade de um material qualquer é definida como a razão entre sua massa e o volume ocupado por ela. Essa 
quantidade também recebe o nome de massa específica. Para denotar a densidade, usaremos a letra grega ρ. A 
densidade para um material homogêneo de massa m, que possui um volume V, é: 
 𝜌 = 𝑚 𝑉⁄ . (1.1) 
No entanto, existem materiais que tem suas densidades variando de um ponto a outro, como a atmosfera terrestre, 
cuja densidade diminui à medida que a altitude cresce, e os oceanos, que, ao contrário, são mais densos em suas 
regiões mais profundas. Nesses casos, a equação 1.1 descreve apenas a densidade média em todo seu volume. Para 
descrever corretamente a densidade nos casos em que ela varia ao longo do material, usamos a relação: 
 𝜌 = 𝑑𝑚 𝑑𝑉⁄ , (1.2) 
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Na qual dm é o elemento de massa contido no elemento de volume dV do corpo. No sistema internacional (SI), a 
densidade tem como unidade o quilograma por metro cúbico (kg/m3) e é uma grandeza escalar. Outras unidades 
muito empregadas são o grama por centímetro cúbico (g/cm3) e o quilograma por litro (kg/l). Para obter a densidade 
em gramas por centímetro cúbico, basta simplesmente dividir os valores em kg/m3 por 103. Define-se, também, a 
densidade relativa de um material como a razão entre a densidade do material e a densidade da água a 4,0°C. 
Tabela 1.1 apresenta algumas densidades de substâncias típicas. Observe a grande variedade das ordens de 
grandeza. 
Tabela 1.1 Densidades de materiais típicos 
MATERIAL DENSIDADE (kg/m3) MATERIAL DENSIDADE(kg/m3) 
Ar (1 atm, 20ºC) 1,20 Alumínio 2,70 x103 
Álcool etílico 0,81 x 103 Ferro, aço 7,80 x103 
Benzeno 0,90 x 103 Latão 8,60 x103 
Gelo 0,92 x 103 Cobre 8,90 x103 
Água 1,00 x 103 Prata 10,5 x103 
Água do mar 1,03 x 103 Chumbo 11,3 x103 
Sangue 1,06 x 103 Mercúrio 13,6 x103 
Glicerina 1,26 x 103 Ouro 19,3 x103 
Concreto 2,00 x 103 Platina 21,4 x103 
Espuma de poliestireno 1,00 x 102 Vácuo em laboratório 1,00 x 10-17 
Terra (média) 5,50 x103 Sol (média) 1,40 x103 
Estrela de nêutrons 1,00 x1018 Meio interestelar 1,00 x 10-20 
Anã branca 1,00 x 1010 Buraco negro 1,00 x 1019 
 
Exemplo 1: Uma joia de prata pura, homogênea e maciça tem massa de 210 g e ocupa um volume de 20cm3. 
Determine a densidade da joia. 
Como se trata de um objeto homogêneo e maciço de prata, sua densidade ou o valor da massa específica da 
substância que o constitui é: 
𝜌 =
𝑚
𝑉
= 210 20⁄ = 10,5 𝑔 𝑐𝑚3⁄ = 10,5 × 103 𝑘𝑔 𝑚3⁄ 
 
Exemplo 2: Sabendo que o raio médio do Sol é de 6,96 x 108 m, determine sua massa média. 
Utilizando os dados da Tabela 1.1, a massa média do Sol é 
𝑚 = 𝜌𝑉 = 𝜌
4
3
𝜋𝑅3 = (1,4 × 103 𝑘𝑔 𝑚3⁄ )
4
3
𝜋(6,96 × 108𝑚)3 
𝑚 = 1,98 × 1030𝑘𝑔 
 
Exemplo 3: Suponha uma mistura homogênea de densidade 0,8 g/cm3, composta por 200 g de uma substância 
e 600 g de outra. Calcule o volume da mistura. 
𝜌 =
𝑚
𝑉
=
(𝑚1 + 𝑚2)
𝑉
∴ 𝑉 =
(𝑚1 + 𝑚2)
𝜌
=
(0,2𝑘𝑔 + 0,6𝑘𝑔)
(0,8 × 103 𝑘𝑔 𝑚3⁄ )
= 1 × 10−3𝑚3 
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1.3 Pressão 
Um fluido em equilíbrio hidrostático exerce uma força perpendicular sobre as superfícies que estão em contato 
com ele. A razão entre o módulo dessa força e a área da superfície é denominada pressão do fluido sobre a 
superfície. Ela é uma grandeza escalar porque é a razão do módulo de uma força pela área. 
Para definir quantitativamente a pressão, imagine um volume contendo um fluido em equilíbrio, como mostra a 
Figura 1.1. Como ele está em equilíbrio dentro do volume, podemos dizer que a força que o fluido exerce sobre a 
superfície que limita o volume, e que está dirigida de dentro para fora do volume, é igual à força que a vizinhança 
(constituída pelas partes externas ao volume) exerce sobre este volume. Esta força está dirigida para dentro da 
superfície. 
 
Figura 1.1: fluido em equilíbrio: diagrama de forças. 
Consideremos agora um elemento de área da superfície ∆A e associemos a ele um vetor ∆𝐴 cujo módulo é 
numericamente igual à área elementar ∆A, direção coincidente com o da normal a ∆A e sentido de dentro para fora 
da superfície. Seja ∆�⃗� a força exercida pelo fluido sobre ∆A. Se os vetores que representam a força e a área forem 
paralelos, como mostra a 
Figura 1.1, podemos definir a pressão do fluido sobre a superfície na forma escalar: 
 𝑃 = ∆𝐹 ∆𝐴⁄ (1.3) 
No sistema internacional (SI), a unidade da pressão é a unidade de força dividida pela unidade de área, ou seja, 
N/m2. Esta unidade recebe o nome de pascal (abreviação Pa; 1 Pa = 1 N/m2). Outras unidades são também muito 
utilizadas na prática: o bar (1 bar = 1,0 x 105 N/m2), a atmosfera (1 atm = 1,013 x 105 N/m2 ) e o milímetro de 
mercúrio (1 mmHg = 1,316 x 10 -3 atm). 
A pressão atmosférica é a pressão exercida pela atmosfera terrestre sobre uma área unitária da superfície da Terra. 
Ela é a pressão exercida por todo o ar que nos envolve. Ela varia com as condições do tempo (temperatura e 
umidade) e com a altitude. O valor médio da pressão atmosférica ao nível do mar em 0 oC (273,15 K) é: 
 𝑃𝑜 = 1𝑎𝑡𝑚 = 1,013 × 10
5𝑃𝑎 = 101,345𝑘𝑃𝑎, (1.4) 
1.3.1 Pressão Atmosférica 
A pressão do ar (força exercida pela coluna de ar atmosférico sobre uma dada superfície) se reduz à medida que 
nos deslocamos para grandes altitudes na atmosfera. A relação entre a variação da pressão (𝑑𝑃) e a altura da coluna 
de um ar (𝑑𝑦) não compressível de densidade constante () é: 
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 𝑑𝑃 = − ∆𝐹 ∆𝐴⁄ = −𝜌𝑔𝑑𝑦 (1.5) 
onde g é a aceleração da gravidade. Aqui deve ser lembrado que 𝐹=Peso=𝑚𝑔. Porém a densidade do ar varia à 
medida que nos deslocamos na atmosfera, logo =(y). Usando a equação dos gases ideais, a densidade pode ser 
obtida a partir da medida de pressão e temperatura: 
 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 ∴ 𝜌 =
𝑚
𝑉
= 𝑃𝑀 𝑅𝑇⁄ (1.6) 
onde m é massa do gás, M é a massa molecular do gás, n é o número de moles do gás, R é constante dos gases 
(8,314 J.K/mol) e T é a temperatura absoluta do gás. Podemos reescrever a equação diferencial (1.5) da seguinte 
forma: 
 𝑑𝑃 =
−𝑃𝑀
𝑅𝑇
𝑔𝑑𝑦 (1.7) 
Considerando massa molecular M do gás constante (equivalente a supor que fique inalterada a razão dos gases que 
compõem a atmosfera com altitude) e desprezadas a variações da aceleração da gravidade e da temperatura com 
a altitude, temos: 
 ∫
𝑑𝑃
𝑃
𝑃2
𝑃1
=
−𝑀
𝑅𝑇
𝑔 ∫ 𝑑𝑦
𝑦2
𝑦1
→ 𝑙𝑛 (
𝑃2
𝑃1
) =
−𝑀
𝑅𝑇
𝑔(𝑦2 − 𝑦1) (1.8) 
Chamando a pressão ao nível do mar (y1=0 m) de Po,, a pressão em qualquer altitude (P2) poderá então ser calculada 
por: 
 𝑃 = 𝑃0𝑒𝑥𝑝
−( 
𝑀𝑔
𝑅𝑇 )𝑦 (1.9) 
 
Exemplo 4: Uma mulher calçada com sapatos de salto fino entra em uma casa em que recentemente se passou 
sinteco. Por que o proprietário da casa deve estar preocupado? 
Porque, em sapatos de salto fino, a área de contato entre a sola do sapato e o chão é pequena, o que ocasiona 
uma pressão muito grande sobre o chão, podendo assim danificar o piso em que recentemente se passou sinteco. 
 
Exemplo 5: Um cardiologista mediu a pressão arterial de uma pessoa e disse que o resultado era 12 por 8. O que 
significa isso? 
Significa uma medida de pressão calibrada em centímetros de mercúrio (cmHg). O primeiro número, ou o de 
maior valor, é chamado de sistólico, e corresponde à pressão da artéria no momento em que o sangue foi 
bombeado pelo coração. O segundo número, ou o de menor valor é chamado de diastólico, e corresponde à 
pressão na mesma artéria, no momento em que o coração está relaxado, após uma contração. Não existe uma 
combinação precisa de medidas para se dizer qual é a pressão normal, mas em termos gerais, diz-se que o valor 
de 12/8cmHg é o valor considerado próximo ao ideal. 
 
1. ATIVIDADES PARA AUTO AVALIAÇÃO - FLUIDOS E PRESSÃO 
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1.4 LEI DE STEVIN 
Considere um pequeno elemento de volume em equilíbrio e submerso no interior de um fluido. Suponha que este 
elemento tenha a forma de um disco fino de espessura dy e está a uma distância y acima do nível de referência 
inferior, como mostra a Figura 1.2. O disco tem espessura dy e a sua face superior e face inferior têm área A. Ele 
tem então a massa dm = ρdV = ρAdy, sendo o seu peso igual a (dm)g = g(ρAdy). Na Figura 1.2 podemos ver que as 
forças que atuam sobre o elemento pelo fluido circundante são perpendiculares à sua superfície em cada ponto. 
 
Figura 1.2: Objeto em equilíbrio no interior de um fluido 
As forças que atuam na horizontal são devidas apenas à pressão do fluido e, como o disco está em equilíbrio, a 
pressão deve ser a mesma em todos os pontos situados à mesma altura do fundo. Podemos então afirmar que a 
pressão é função somente da coordenada y. 
Já as forças verticais atuantes são as devidas à pressão do fluido circundante sobre as faces do disco e ao peso dele. 
Chamamos de p(y) a pressão sobre a face inferior e de p(y+Δy) a pressão sobre a face superior. A força resultante 
aplicada na parte de baixo do disco será p(y)A, dirigida para cima; a força resultante aplicada na face superior do 
1.1 Determine a pressão que uma mulher de 60kg faz sobre uma superfície, se ela estiver calçada com: (a) Um par 
de tênis cuja área total das solas em contato com o chão é de aproximadamente 520cm2. (b) Um par de sapatos 
de salto cuja área total das solas em contato com o chão é de aproximadamente 80cm2. 
1.2 Explique como é possível se deitar em uma cama de pregos sem sentir dor. Como o número de pregos influencia 
no “conforto” dessa cama? 
1.3 Estime a força exercida pela atmosfera sobre seu livro. Explique como é possível então levantar facilmente esse 
livro? 
1.4 Pegue uma ventosa, por exemplo, de um cabide para toalhas feito de uma superfície de borracha com um 
mecanismo que quando é puxado fixa a ventosa na parede (se você não tiver uma pode tentar com um 
desentupidor de pia). Molhe a superfície de borracha, encoste a ventosa em uma parede lisa e puxe o 
mecanismo. Agora tente soltar a ventosa da parede. Explique o que está prendendo a ventosa na parede. 
1.5 Em 1654 o prefeito de Magdeburgo (Alemanha) realizou a seguinte experiência: juntou duas campânulas de 
metal e, com uma bomba, retirou boa parte do ar contido nelas. Amarrou-se uma dupla de cavalos em cada um 
dos lados e chicoteou-os, na tentativa de separar as campânulas. Seja P a diferença de pressão entre a 
atmosfera externa e a pressão interna e d o diâmetro das campânulas. (a) Calcule a força que teria de ser 
exercida por cada parelha de cavalos para separar os hemisférios. (b) Supondo que o diâmetro das campânulas 
d=37cm e a pressão interna residual entre as campânulas iguala 0,1 atm, qual seria a força necessária nesse 
caso? (c) Se um cavalo exerce uma força de 800 N, qual teria sido o número mínimo de cavalos em cada parelha 
para separar as campânulas? 
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disco será a soma do peso do líquido acima do disco p(y+Δy)A e o peso do disco (dm)g = 𝜌gAdy, ambas dirigidas para 
baixo. Um diagrama de forças é mostrado na Figura 1.2. Desse modo, só teremos equilíbrio vertical com a seguinte 
condição: 
 
 
𝑃(𝑦+∆𝑦)𝐴 + 𝜌𝑔∆𝑦𝐴 = 𝑃(𝑦)𝐴 
𝑃(𝑦+∆𝑦)𝐴 − 𝑃(𝑦)𝐴 = −𝜌𝑔∆𝑦𝐴 
𝑃(𝑦+∆𝑦) − 𝑃(𝑦) = −𝜌𝑔∆𝑦 
𝑃(𝑦+∆𝑦) − 𝑃(𝑦)
∆𝑦
= −𝜌𝑔 
(1.10) 
Agora, no limite em que Δy→0, temos: 
 𝑙𝑖𝑚
∆𝑦→0
𝑃(𝑦+∆𝑦) − 𝑃(𝑦)
∆𝑦
= −𝜌𝑔 (1.11) 
E da equação (1.11) obtemos: 
 
𝑑𝑃
𝑑𝑦
= −𝜌𝑔 (1.12) 
A equação (1.12) mostra como a pressão varia com a altura em relação a um nível de referência em um fluido em 
equilíbrio hidrostático. O sinal negativo indica que a pressão diminui com o aumento da altura. Se 𝑝2 é a pressão 
na altura 𝑦2 e 𝑝1 a pressão na altura 𝑦1, temos: 
 ∫ 𝑑𝑃 = − ∫ 𝜌𝑔𝑑𝑦
𝑦2
𝑦1
𝑃2
𝑃1
 (1.13) 
Para líquidos, a densidade é praticamente constante porque eles são quase incompressíveis e as diferenças em 
nível são normalmente pequenas para considerarmos que a aceleração da gravidade varie dentro deles. Assim, 
tomando ρ e g constantes, a equação (1.13) pode ser integrada, resultando em: 
 𝑃2−𝑃1 = 𝜌𝑔(𝑦2 − 𝑦1) (1.14) 
O recipiente da Figura 1.3 possui um líquido com uma superfície livre, isto é, em contato com a atmosfera: 
 
Figura 1.3: Objeto em equilíbrio no interior de um fluido sujeito à pressão atmosférica. 
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Quando isso ocorre, o nível a partir do qual devem ser feitas as medidas das distâncias é normalmente escolhido 
nessa superfície. Fazendo 𝑝0 a pressão na superfície de contato com o ar (suposta à altura 𝑦2 do fundo) e p a pressão 
em um ponto à altura 𝑦1, temos que: 
 𝑃𝑜 − 𝑃 = −𝜌𝑔(𝑦2 − 𝑦1) (1.15) 
A diferença 𝛥ℎ = 𝑦2 − 𝑦1 é medida desde a superfície do líquido até a posição em que a pressão é igual a p. Com 
ela, a equação acima fica: 
 𝑃 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝑔∆ℎ (1.16) 
A (1.16) mostra que a pressão num líquido aumenta com a profundidade, mas é a mesma em todos os pontos 
situados a uma mesma profundidade. Esse enunciado é conhecido como Lei de Stevin. Ela é válida para líquidos, 
onde a densidade é aproximadamente constante em todo o volume. 
A densidade dos gases é muito pequena, de modo que a diferença de pressão entre dois de seus pontos é muito 
pequena também. Portanto, para um o gás contido em um recipiente, a pressão pode ser considerada constante 
em todos os seus pontos. Entretanto, quando a diferença de altura é muito grande, a diferença de pressão passa a 
ser importante. Por exemplo, a atmosfera terrestre tem uma altura da ordem de 100 km; para ela, a sua densidade 
varia com a altura acima da superfície da Terra. 
Exemplo 6: Determine a pressão da água no fundo de uma piscina de 3m de profundidade. 
Da lei de Stevin, 𝑃 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝑔∆ℎ. Fazendo 𝑃𝑜 = 1,01 × 10
5 𝑁 𝑚2⁄ , 𝜌 = 1,0 × 103 𝑘𝑔 𝑚3⁄ e 𝑔 = 9,80 𝑚 𝑠2⁄ 
𝑃 = 1,01 × 105 𝑁 𝑚2⁄ + (1,0 × 103 𝑘𝑔 𝑚3⁄ × 9,80 𝑚 𝑠2⁄ × 3𝑚) 
𝑃 = 1,30 × 105 𝑁 𝑚2⁄ 
 
Exemplo 7: Calcule a variação da pressão atmosférica com a altitude usando a Lei de Stevin, supondo que sua 
densidade seja proporcional à pressão, isto é, que sua temperatura seja aproximadamente a mesma em todas 
as altitudes. 
Da lei de Stevin em sua forma diferencial temos, 
𝑑𝑃
𝑑𝑦
= −𝜌𝑔. 
Como ρ é proporcional a p, temos, também: 
𝜌
𝜌0
=
𝑃
𝑃0
 
em que 𝑝0 e 𝜌0 são a pressão e a densidade do ar ao nível do mar. Eliminando ρ dessas duas equações, temos: 
𝑑𝑃
𝑑𝑦
= −𝑔𝜌0
𝑃
𝑃0
. 
Reescrevendo de outra forma: 
𝑑𝑃
𝑝
= −𝑔
𝜌0
𝑃0
𝑑𝑦. 
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Integrando esta equação da superfície do mar (y0 = 0) até o ponto situado à altura y, obtemos: 
𝑙𝑛
𝑃
𝑃0
= −𝑔
𝜌0
𝑝0
𝑦. 
Ou seja 
𝑃 = 𝑃0𝑒𝑥𝑝 (−𝑔
𝜌0
𝑝0
𝑦) 
Com os valores padrões da densidade do ar a 20oC (1,20kg/𝑚3), da gravidade (g = 9,80 m/𝑠2) e da pressão 
atmosférica 𝑃0 = 1,01 × 10
5 N/𝑚2 , obtemos: 
𝑝 = 𝑝0𝑒𝑥𝑝
−𝛼𝑦 
onde 𝛼 = 𝑔
𝜌0
𝑝0
= 1,16𝑥10−4𝑚−1 = 0,116𝑘𝑚−1.A pressão atmosférica decai exponencialmente com a altitude 
y. Esse resultado é o mesmo resultado encontrado na seção 1.3.1 
 
A lei de Stevin nos diz que a forma do recipiente não influencia nos valores da pressão. Para fluidos homogêneos, a 
diferença de pressão entre dois pontos depende apenas da diferença de altura (ou profundidade) desses pontos. 
Entretanto, isso não acontece quando o fluido não é homogêneo. Consideremos um tubo em U (figura 2.5) 
contendo dois líquidos imiscíveis, com densidades 𝜌1 do lado direito e 𝜌2 do lado esquerdo (𝜌1 > 𝜌2.) A coluna 
líquida é maior do lado esquerdo do tubo. Então, a pressão em A é maior que em B. No ponto C, a pressão é a 
mesma em ambos os ramos do tubo. A pressão varia mais lentamente de C para A que de C a B porque a coluna C-
A pesa menos que a C-B. 
 
Figura 1.4: Tubo em U com líquidos imiscíveis. 
Exemplo 8: Um tubo em U estreito possui uma barreira central que o divide pela metade como mostrado na 
figura do problema. No lado A é colocado mercúrio de densidade ρM = 13,5 x 103kg/m3 e no lado B é colocado 
água de densidade ρA = 1,0 x 103kg/m3, de maneira que ambos os lados tenham altura h = 25,0cm, medido a 
partir do fundo do tubo com mostrado. Depois a barreira é removida se constata que os líquidos não se 
misturaram, porém, modificaram as alturas relativas. Calcule a nova altura da coluna A. 
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Após remover a barreira o topo da coluna de mercúrio move-se para baixo de uma altura x e, portanto, o topo 
da coluna de água move-se para cima de uma altura x. Após esse ajuste nas alturas a pressão no fundo do tubo 
deve ser igual. A pressão no fundo do tubo do labo A vale: 
𝑃𝐴 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝑀𝑔(ℎ − 𝑥) 
onde 𝑃𝑜é a pressão atmosférica. Analogamente, a pressão no fundo do tubo do labo B vale: 
𝑃𝐵 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝐴𝑔ℎ + 𝜌𝑀𝑔𝑥. 
Igualando as pressões no fundo do tubo, temos: 
𝑃𝑜 + 𝜌𝑀𝑔(ℎ − 𝑥) = 𝑃𝑜 + 𝜌𝐴𝑔ℎ + 𝜌𝑀𝑔𝑥 
E portanto, 
𝑥 =
ℎ(𝜌𝑀 − 𝜌𝐴)
2𝜌𝑀
 
𝑥 =
0,25𝑚(13,5 × 103 𝑘𝑔 𝑚3⁄ − 1,0 × 103 𝑘𝑔 𝑚3⁄ )
2(13,5 × 103 𝑘𝑔 𝑚3⁄ )
= 0,115 𝑚 
Logo, a altura que a coluna de mercúrio baixou, em relação à sua altura original foi de 0,115 𝑚. Portanto a nova 
altura da coluna A, que contem apenas mercúrio, será: 13,5cm. A altura da coluna B, com água e mercúrio, será 
de 35,5cm. 
 
Exemplo 9: Um tubo em U estreito aberto contendo mercúrio, de densidade ρM = 13,5 x 103kg/m3, adiciona-se 
água de densidade ρA = 1,0 x 103kg/m3 de maneira mostrada na Figura 1.4. A altura inicial da coluna de mercúrio 
de cada lado do tubo hM = 5,0cm. Se a coluna adicionada de água medir hA =20cm, qual será a altura final do lado 
contendo apenas mercúrio? 
A coluna de mercúrio do lado onde adicionamos água move-se para baixo de uma altura x e portanto o topo da 
coluna de mercúrio do outro lado, move-se para cima de uma altura x. Após esse ajuste nas alturas a pressão no 
fundo do tubo deve ser igual. A pressão no fundo do tubo do labo contendo água e mercúrio vale: 
𝑃𝐴+𝑀 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝑀𝑔(ℎ𝑀 − 𝑥) + 𝜌𝐴𝑔ℎ𝐴 
onde 𝑃𝑜é a pressão atmosférica. Analogamente, a pressão no fundo do tubo do labo contendo apenas mercúrio 
vale: 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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12 
𝑃𝑀 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝑀𝑔(ℎ𝑀 + 𝑥). 
Igualando as pressões no fundo do tubo, temos: 
𝑃𝑜 + 𝜌𝑀𝑔(ℎ𝑀 − 𝑥) + 𝜌𝐴𝑔ℎ𝐴 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝑀𝑔(ℎ𝑀 + 𝑥) 
E portanto, 
𝑥 =
𝜌𝐴ℎ𝐴
2𝜌𝑀
 
𝑥 =
1,0 × 103 𝑘𝑔 𝑚3⁄ × 0,20𝑚
2 × (13,5 × 103 𝑘𝑔 𝑚3⁄ )
= 0,74𝑐𝑚 
Logo, a altura que a coluna de mercúrio baixou, em relação à sua altura original foi de 3,24cm. Portanto a nova 
altura da coluna A será: 5,74cm. 
1.4.1 A Medida da Pressão Atmosférica 
A primeira medida da pressão atmosférica foi feita por Evangelista Torricelli (1608 – 1647) com o aparelho que 
inventou: o barômetro de mercúrio. Ele consiste em um tubo comprido de vidro cheio de mercúrio e colocado 
invertido dentro de um reservatório com mercúrio como mostrado na Figura 1.5. 
 
Figura 1.5: Barômetro de Torriceli. 
O espaço dentro do tubo, acima da coluna, contém vapor de mercúrio cuja pressão é muito pequena e pode ser 
desprezada. De acordo com a lei de Stevin, a pressão atmosférica é dada por: 
 𝑃𝑜 = 𝜌𝑔ℎ (1.17) 
A pressão atmosférica em valor é numericamente igual ao peso de uma coluna de mercúrio de área de seção 
transversal unitária. Ao nível do mar, a coluna de mercúrio em um barômetro tem uma altura de cerca de 76cm, 
mas ela pode variar com a temperatura, com a umidade do ar e cm a velocidade do ar. O barômetro mede a pressão 
absoluta. 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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A pressão equivalente à exercida exatamente por uma coluna de mercúrio de 0,7600 m de altura, cuja densidade é 
M=35950kg/m3, e num local onde a aceleração da gravidade vale g=9,8067 m/s2 (gravidade padrão) é, por 
definição, uma atmosfera (1 atm). Então: 
 
1𝐴𝑡𝑚 = 𝜌𝑀𝑔ℎ = 35950
𝑘𝑔
𝑚3
× 9,8067
𝑚
𝑠2
× 0,7600𝑚 
1𝐴𝑡𝑚 = 1,013 × 105 𝑁 𝑚2⁄ 
(1.18) 
É comum expressar a pressão em termos da altura de uma coluna de mercúrio a 0 oC e com gravidade padrão. Daí 
a expressão “centímetros de mercúrio” ou “milímetros de mercúrio”. 
A pressão atmosférica é usada como referência em vários aparelhos de medida de pressão, como o 
esfigmomanômetro, que mede a pressão arterial (Figura 1.6). 
 
Figura 1.6: Esfigmomanômetro para medição de pressão arterial 
Esses aparelhos medem a pressão manométrica (PM), que é diferença entre a pressão a ser medida e a pressão 
atmosférica. 
 𝑃𝑀𝑃 − 𝑃𝑜 = 𝜌𝑔ℎ (1.19) 
O manômetro de tubo também usa esse fato (Figura 1.7). Ele consiste em um tubo em U contendo um líquido (em 
geral mercúrio); uma das suas extremidades está em contato com o ar, enquanto a outra fica ligada ao sistema cuja 
pressão deseja-se medir. Da lei de Stevin (equação (1.16), a pressão relativa P - 𝑃0 é medida pela altura da coluna 
do líquido no tubo em U. 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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14 
 
Figura 1.7: Manômetro de Tubo. 
Exemplo 10: Calcule a pressão atmosférica num dia quando a altura da coluna barométrica de um barômetro de 
mercúrio é 75,0cm e, neste local, g=9,78m/s2. 
A altura da coluna de mercúrio depende da pressão atmosférica, da altura da coluna de mercúrio (pois a pressão 
no topo do tubo é igual a zero – ver Figura 1.5) e da aceleração da gravidade local. Da lei de Stevin, temos que: 
𝑃𝑜 = 𝜌𝑔ℎ = (13,5 × 10
3
𝑘𝑔
𝑚3
) × 9,78
𝑚
𝑠2
× 0,75𝑚 = 9,90 × 103
𝑁
𝑚2
 
 
 
1.5 LEI DE PASCAL 
Em 1652, Blaise Pascal (1623 – 1662) enunciou um princípio que levou o seu nome e que diz: 
A variação de pressão produzida num ponto de um fluido em equilíbrio hidrostático incompressível 
transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido e às paredes do recipiente que o contém. 
O princípio de Pascal pode ser compreendido com a aplicação da lei de Stevin a um fluido em equilíbrio hidrostático. 
A Figura 1.8 mostra um líquido incompressível em um cilindro que é dotado de um pistão. Uma força externa 
qualquer é aplicada sobre o pistão. A ação da força externa gera uma pressão externa pext no líquido situado 
imediatamente abaixo do pistão. 
2. ATIVIDADES PARA AUTO AVALIAÇÃO: LEI DE STEVIN E PRESSÃO ATMOSFÉRICA 
2.1 No exercício do Exemplo 8:, se a água for substituída por um óleo (altura da coluna igual a 20cm) observa-se 
um deslocamento igual a 0,66cm do mercúrio em relação à sua posição inicial. Calcule a densidade do óleo. 
2.2 Para o valor de pressão calculado no Exemplo 10:, determine a altura da coluna do barômetro, se o mercúrio 
for substituído por água com densidade igual a 1,0x103kg/m3 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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Figura 1.8: Líquido incompressível em um cilindro que é dotado de um pistão. 
 𝑃 = 𝑃𝑒𝑥𝑡 + 𝜌𝑔ℎ (1.20) 
Fazendo com que a pressão externa sofra um acréscimo igual a ∆𝑃𝑒𝑥𝑡 , a variação da pressão no fluido, pode ser 
determinada por: 
 ∆𝑃 = ∆𝑃𝑒𝑥𝑡 + ∆(𝜌𝑔ℎ) (1.21) 
Como o líquido foi suposto incompressível (densidade constante), o segundo termo à direita na 2.9 é igual a zero. 
Assim, temos: 
 ∆𝑃 = ∆𝑃𝑒𝑥𝑡 (1.22) 
A variação da pressão em qualquer ponto do fluido é simplesmente igual à variação da pressão aplicada 
externamente. 
A Lei de Pascal serve de aplicação para a operação de mecanismos hidráulicos onde há transmissão de força. Este 
princípio permite amplificar uma força relativamente pequena de modo a poder levantar um peso muito maior. 
Como aplicação, consideremos o caso do elevador hidráulico. Ele é constituído por dois recipientes ligados entre si 
formando um grande tubo em U e contendo um fluido – geralmente óleo (Figura 1.9). Os tubos possuem áreas de 
seção transversal diferentes e estão fechados por pistões. Sobre o pistão do tubo de área menor Ae (à esquerda na 
Figura 1.9), aplica-se uma força externa Fe. Esta força exerce uma pressão 𝑝𝑒 = 𝐹𝑒 𝐴𝑒⁄ , sobre o fluido que, de acordo 
com a lei de Pascal, transmite-se igualmente para todos os pontos dele. Assim, sobre o outro pistão, localizado no 
tubo de maior área As (à direita na Figura 1.9), a pressão passa a ser 𝑝𝑒 = 𝑝𝑠 = 𝐹𝑠 𝐴𝑠⁄ . Se colocarmos nesse tubo 
um objeto de massa m, ele exercerá uma força de P = mg sobre o pistão maior. Em equilíbrio, o módulo da força Fs, 
aplicada pelo fluido sobre o pistão maior e apontando para cima, deve ser igual à força P exercida pelo peso do 
objeto e apontando para baixo. 
 
Figura 1.9: Elevador hidráulico. 
De acordo com o princípio de Pascal, a pressão do lado direito do tubo deve ser igual à pressão do outro lado e, 
portanto: 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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𝐹𝑒
𝐴𝑒
=
𝐹𝑠
𝐴𝑠
 
𝐹𝑒 = 𝐹𝑠
𝐴𝑒
𝐴𝑠
= 𝑚𝑔
𝐴𝑒
𝐴𝑠
 
(1.23) 
Se a razão Ae/As for muito menor do que 1, a força Fe aplicada pode, então, ser muito menor do que o peso do 
objeto e este será levantado. 
O pistão menor se movendo para baixo de uma distância de desloca um volume de fluido 𝑉 = 𝑑𝑒𝐴𝑒. Esse volume 
deve ser igual ao volume deslocado pelo movimento do pistão maior, pois o fluido é incompressível, então: 
 
𝑉 = 𝑑𝑒𝐴𝑒 = 𝑑𝑠𝐴𝑠 
𝑑𝑠 = 𝑑𝑒
𝐴𝑒
𝐴𝑠
 
(1.24) 
Devemos notar que se a razão Ae/As for pequena, a distância percorrida pelo pistão maior é muito menor do que a 
distância percorrida pelo pistão menor: o “preço” por levantar uma grande carga é “pago” pela perda da capacidade 
de fazer o pistão percorrer uma grande distância. 
Ao combinar as equações (1.23)Error! Reference source not found. e (1.24) resulta em 𝐹𝑒𝑑𝑒 . = 𝐹𝑠𝑑𝑠 = 𝑊, 
mostrando que o trabalho realizado pela força externa sobre o pistão menor é igual ao trabalho executado pelo 
fluido sobre o pistão maior. 
Exemplo 11: Um elevador hidráulico é utilizado para levantarautomóveis em oficinas. Utiliza-se um óleo de 
densidade igual a 812kg/m3 como fluido de transmissão de força. Uma bomba manual de diâmetro igual a 2,0cm 
é utilizada para levantar um carro de massa igual a 2000kg numa plataforma em cima de um pistão maior de 
diâmetro de 16,0cm. 
a) Qual é o valor da força necessária para suspender o automóvel? 
b) Qual é o deslocamento do carro quando o êmbolo do macaco hidráulico onde fica a bomba manual é 
deslocado de 1,0m? 
Considerando o óleo incompressível, podemos dizer que a pressão transmitida é a mesma em todas as partes do 
fluido. Podemos então utilizar as equações 2.11 e 2.12. 
a) 
𝑃𝑒 =
𝐹𝑒
𝐴𝑒
= 𝑃𝑠 =
𝐹𝑠
𝐴𝑠
 
𝐹𝑒
𝐴𝑒
=
𝐹𝑠
𝐴𝑠
 
𝐹𝑒 = 𝐹𝑠
𝐴𝑒
𝐴𝑠
= 𝑀𝑔
𝐴𝑒
𝐴𝑠
= (2000𝑘𝑔) (9,8
𝑚
𝑠2
)
𝜋(1,0𝑐𝑚)2
𝜋(8,0𝑐𝑚)2
 
𝐹𝑒 = 306𝑁 
A força mínima necessária para levantar o carro é de 306 N. 
b) 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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𝑑𝑠 = 𝑑𝑒
𝐴𝑒
𝐴𝑠
= (1,0𝑚)
𝜋(1,0𝑐𝑚)2
𝜋(8,0𝑐𝑚)2
= 1,6𝑐𝑚 
Onde o deslocamento que o carro sofre é de 1,6cm quando se desloca o êmbolo da bomba de 1,0 m. 
1.6 Empuxo e o Princípio de Arquimedes 
Qualquer corpo imerso em um fluido aparenta ter um peso menor do que realmente possui. Quando um objeto é 
colocado em um fluido, ele desloca uma quantidade de fluido com volume igual ao seu volume. E o corpo ficará em 
equilíbrio se sua densidade for igual à do fluido. Se sua densidade for menor que a do fluido, ele tenderá a subir. Se 
o corpo possuir densidade maior que a do fluido, ele afundará. Esse comportamento é observado a todo momento 
na natureza, por exemplo, uma bola flutua quando colocada dentro de um tanque com água, ou um balão cheio de 
hélio ou de ar quente flutua no ar. 
Foi o filósofo e matemático grego Arquimedes quem descobriu como calcular a força de sustentação que atua em 
corpos imersos em fluidos. O princípio de Arquimedes diz que: 
Um corpo total ou parcialmente imerso num fluido recebe do fluido uma força igual e contrária ao peso do volume 
de fluido deslocado. 
Essa força é conhecida como Empuxo. Chamando de Pf o peso do volume de fluido deslocado, o empuxo sobre o 
corpo é dado por: 
 𝐸 = 𝑃𝑓 = 𝑚𝑓𝑔 (1.25) 
onde g é a aceleração da gravidade. Sabendo que a massa do fluido é igual ao produto da densidade pelo volume, 
𝑚𝑓 = 𝜌𝑓𝑉𝑓, temos: 
 𝐸 = 𝑃𝑓 = 𝜌𝑓𝑉𝑓𝑔 (1.26) 
 
Exemplo 12: Um balde com água é suspenso por um dinamômetro. A leitura indicada pela balança varia quando 
um pedaço de ferro suspenso por um fio é imerso na água? E quando um pedaço de cortiça é colocado na água? 
Sim, pois nesse caso a balança irá registrar também a massa do ferro, independente de ele afundar ou não, assim 
como a cortiça. De acordo com a terceira lei de Newton, a balança irá registrar a reação que o fundo do balde 
faz na água ou diretamente sobre o corpo colocado na água caso ele afunde. 
Suponhamos uma porção arbitrária de um fluido em repouso dentro de um saco plástico (Figura 1.10a). Essa porção 
de fluido é delimitada por uma superfície S irregular que está em contato com o fluido que o circunda. As setas 
representam as forças exercidas pelo fluido vizinho sobre a superfície de contorno. Observe que as setas indicando 
as forças sobre a superfície S são maiores na parte inferior – já que as pressões são maiores na parte inferior. Isso 
é explicado pela Lei de Stevin. 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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18 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 1.10: Esquema de forças (E empuxo) atuando em sistema em equilíbrio dentro de um fluido 
Uma vez que o fluido está em equilíbrio, a soma de todas as forças e a soma de todos os torques atuando sobre o 
sistema devem ser nulos. A força resultante na horizontal se anula – já que as suas componentes de cada lado da 
superfície têm módulos iguais e sentidos opostos - as pressões são idênticas à uma mesma altura - e a resultante 
das forças na vertical sobre a superfície será uma força de baixo para cima com módulo igual ao peso mg do fluido 
no interior da superfície. Se substituirmos o elemento de fluido por um corpo com o formato exatamente igual ao 
do elemento de fluido considerado anteriormente, verificamos que a pressão em cada ponto dele é exatamente a 
mesma que no caso anterior: a força de baixo para cima exercida pelo fluido sobre o corpo também é igual ao peso 
mg do corpo. 
Se a densidade do corpo for igual à do fluido que o circunda, a força de baixo para cima exercida pelo fluido sobre 
o corpo – EMPUXO – será igual a força PESO exercida pelo corpo sobre o fluido e, o corpo ficará em equilíbrio 
(Figura 1.10a). Se a densidade do corpo for maior que a do fluido (Figura 1.10b), a força peso é maior que o empuxo 
e, assim, o corpo afundará, exercendo ainda uma força no fundo do recipiente. Se a densidade do corpo for menor 
que a do fluido (Figura 1.10c), a força peso é menor que o empuxo e o corpo subirá e flutuará com volume submerso 
correspondente àquele necessário para anular peso e empuxo. 
 
Exemplo 13: A figura do problema mostra um objeto cúbico (aresta L) suspenso por uma 
corda e submerso em um líquido (densidade ρ). A face inferior da caixa está a uma 
profundidade h. 
a) Calcule a força exercida pelo líquido sobre a face superior da caixa. 
b) Repita os cálculos para a face inferior. 
c) Determine a força resultante exercida pelo líquido sobre a caixa. 
a) Lembrando que a força é o produto da pressão exercida pela área da superfície de 
aplicação da força e considerando que na face superior desse cubo atuam a pressão 
atmosférica além da pressão do líquido acima desta face, temos: 
𝐹𝑠 = 𝑃𝐴 = [𝑃𝑜 + 𝜌𝑔(ℎ − 𝐿)]𝐴 
𝐹𝑠 = 𝑃𝐴 = [𝑃𝑜 + 𝜌𝑔(ℎ − 𝐿)]𝐿
2 
A força 𝐹𝑠atua na vertical apontada para baixo. 
 
 
E
mg
Água
E
mg
Pedra
E
mg
Madeira
h
L
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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b) Usando novamente a equação 3.1, temos: 
𝐹𝑖 = 𝑃𝐴 = [𝑃𝑜 + 𝜌𝑔ℎ]𝐿
2 
A força 𝐹𝑖atua na vertical, assim como a força que atua na face superior, porém, apontada para cima. 
c) Vamos aplicar a segunda lei de Newton, lembrando que há também o peso do bloco e a tensão no fio. 
∑ �⃗� = 0 ∴ �⃗�𝑠 + �⃗⃗� − �⃗�𝑖 − �⃗⃗� = 0 
𝑃 − 𝑇 = −[𝜌𝑔(ℎ − 𝐿)]𝐿2 + [𝜌𝑔ℎ]𝐿2 
𝑃 − 𝑇 = 𝜌𝑔𝐿3 = 𝜌𝑔𝑉 = 𝐸 
Note que a resultante das forças exercidas pelo líquido é igual ao peso do líquido deslocado. Essa força é chamada 
de empuxo (E). Logo, 
𝐸 = 𝜌𝑔𝑉 
 
Exemplo 14: Estime a força de sustentação exercida pela atmosfera sobre você. E se você estiver dentro d'água, 
esse empuxo é muito maior? Quanto? 
Para facilitar, vamos fazer uma aproximação bastante grosseira do formato do nosso corpo, considerando-o 
como um bloco retangular de 0,2m x 0,4m x 1,80m. O volume do corpo será V = 0,144m3. Usando para a 
densidade do ar ρ = 1,21kg/m3 e para água ρ = 998kg/m3, teremos: 
𝐸𝑎𝑟 = 1,21
𝑘𝑔
𝑚3
× 9,78
𝑚
𝑠2
× 0,144𝑚3 = 1,704𝑁 
Na água o empuxo seria maior 
𝐸á𝑔𝑢𝑎 = 998
𝑘𝑔
𝑚3
× 9,78
𝑚
𝑠2
× 0,144𝑚3 = 1405,5𝑁 
1.6.1 Equilíbrio de corpos flutuantes 
Um corpo que flutua em um fluido tem a força de empuxo E atuando no centro de gravidade do fluido deslocado. 
Esse ponto é denominado centro de flutuação (C). Uma vez que o corpo está em equilíbrio, o empuxo deve ser igual 
à força peso do corpo. Essa força atua no centro de gravidade do corpo (G). Se o corpo está parcialmente submerso, 
esses dois pontos não coincidem um com o outro (Figura 1.11a). Se os dois pontos estiverem sobre a mesma linha 
vertical, o corpo flutuará em equilíbrio, pois tanto a força resultante do peso e do empuxo quanto o torque 
resultante sobre o corpo são nulos. 
Hidrostática: Densidade, Pressãoe Empuxo 
 
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(a) (b) (c) 
Figura 1.11: Descrição de equilíbrio em corpos flutuantes 
Quando o corpo flutuante sofre um pequeno deslocamento dessa posição de equilíbrio, o volume do fluido 
deslocado se modifica e o centro de flutuação desloca sua posição em relação à vertical que passa pelo centro de 
gravidade do corpo (Figura 1.11b). A vertical que passa pelo novo centro de flutuação corta a linha C-G antiga em 
um ponto denominado metacentro. Se o metacentro está acima do centro de gravidade do corpo, o torque gerado 
pelo novo empuxo 𝐸1 e pelo peso do corpo tende a restabelecer a posição de equilíbrio. Se o metacentro ficar 
abaixo do centro de gravidade do corpo (Figura 1.11c), o torque tende a aumentar o desvio e o equilíbrio do corpo 
fica instável; ele pode, então, virar. 
A distribuição correta do peso, bem como a fixação da carga e bagagem para que as mesmas não se movam em 
uma embarcação marítima ou aérea é fundamental para evitar acidentes sérios. O excesso de peso nestas 
embarcações quase sempre leva a acidentes graves. 
Exemplos de torque restaurados são os veleiros oceânicos ou transoceânicos onde a quilha do mesmo é profunda 
(em torno de 1,0m ou mais) e em geral possui chumbo na parte inferior. O veleiro se inclina em função de ventos 
e tormentas e quase sempre retorna à posição de equilíbrio. No caso de navios cargueiros, os mesmos têm um 
sistema de compartimentos vazios no casco para receber água salgada à medida que carga é empilhada no seu 
convés. Dessa forma, o centro de flutuação do navio fica sempre abaixo da linha d’água, isto é, abaixo da superfície 
do mar ou rio. Por outro lado, barcos com cascos chatos podem ser extremamente perigosos em dias de ventania, 
pois o centro de flutuação deles é bastante próximo à superfície ou acima da superfície, tornando este tipo de 
embarcação muito instável. 
3. ATIVIDADES PARA AUTO AVALIAÇÃO - - LEI DE PASCAL, EMPUXO 
3.1 Os diâmetros dos êmbolos de uma prensa hidráulica estão na proporção 3:1. Se o êmbolo de diâmetro maior é 
deslocado de uma altura H, qual o deslocamento do êmbolo de menor diâmetro? 
3.2 Pegue um objeto mais denso que a água e amarre-o a um barbante. Suspenda-o pela extremidade do barbante 
e coloque-o em uma vasilha com água. Bem devagar puxe o barbante, suspendendo o objeto até ele sair 
completamente da água. Descreva o que ocorreu com a tensão no barbante à medida que você foi tirando o 
objeto da água, ela aumentou, diminuiu ou permaneceu constante? 
3.3 Refaça os itens do Exemplo 13: para a situação mostrada na figura abaixo. A caixa não está totalmente imersa, 
parte da caixa está fora do líquido. 
 
hL
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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1.7 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1.7.1. Como resultado da passagem de um vendaval, a pressão externa cai para 0,95 atm, porém, no interior de 
um escritório, a pressão é mantida a 1,00 atm. Estime o valor da força resultante que empurra uma janela de 2,50m2 
do escritório para fora. 
1.7.2. Calcule a diferença de pressão hidrostática no sangue entre o cérebro e os pés de uma pessoa com 1,83m 
de altura. Admita que a densidade do sangue seja igual a 𝜌𝑠 = 1,06𝑥10
3 𝑘𝑔 𝑚3⁄ . 
1.7.3. Uma piscina possui as dimensões de 15m x 10m x 1,5m. 
a) Quando ela está cheia de água, qual é a força (devida apenas à água) atuante no fundo? 
b) E sobre as superfícies em suas laterais? (Atenção: nesse caso, a pressão não é a mesma em todos os 
pontos da superfície!) 
c) Caso você esteja preocupado com o fato de as paredes de concreto poderem ou não se romper, seria 
conveniente levar em conta o efeito da pressão atmosférica? 
1.7.4. A Figura 1.12 mostra o medidor de pressão mais simples, um tubo aberto em uma das extremidades e com 
a outra extremidade conectada ao recipiente que contém o gás que se quer medir a pressão. Dentro desse tubo se 
coloca um líquido de densidade 𝜌. Determine a pressão do gás em função da diferença de alturas ℎ. 
 
Figura 1.12: Medidor de pressão 
1.7.5. A Figura 1.13 mostra um barômetro usado para medir a pressão atmosférica. A extremidade direita do 
tubo em U é fechada de modo que a pressão nesse ponto pode ser considerada nula. A outra extremidade é aberta 
para a atmosfera. 
3.4 Dois baldes idênticos são preenchidos com água até a mesma altura, porém, um dos baldes possui um bloco de 
madeira flutuando na água. Existe diferença de peso entre os baldes? Se existe, qual é o mais pesado? 
3.5 Pegue um pequeno frasco de vidro que tenha tampa e coloque-o, cheio de ar, em uma vasilha com água. Dessa 
forma, ele boia. Caso você encha o frasco com água, ele afunda. Tente colocar uma quantidade de água no 
frasco de forma que ele fique parcialmente dentro d’água, na profundidade em que você escolher. Qual é a 
densidade média do frasco com essa quantidade de água dentro? 
3.6 Explique, agora, como um submarino emerge, submerge e mantém-se a uma profundidade fixa. Pode-se 
afirmar que a força de sustentação atuante em um submarino submerso é a mesma em todas as profundidades? 
Observação: O teste do frasco parcialmente preenchido com água foi bastante conclusivo, à medida que as 
tentativas para igualar sua densidade à da água foram sendo feitas pode-se observar que quando muito cheio o 
frasco afundava e quando muito vazio o frasco flutuava, de modo que os submarinos devem possuir 
compartimentos que se enchem com água para que se possa submergi-los e esvaziados para que voltem à 
superfície 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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22 
 
Figura 1.13: Barômetro 
Determine ℎ, a diferença entre as alturas das duas colunas, se o líquido dentro do barômetro for: 
a) mercúrio (𝜌𝐻𝑔 = 13,595 𝑔 𝑐𝑚
3⁄ ). 
b) água. 
1.7.6. Uma sobrepressão de apenas 20Pa corresponde ao limiar da dor para a intensidade sonora. Entretanto, 
um mergulhador a 2 metros abaixo da superfície da água fica sujeito à ação de pressões bem superiores a esta e 
não sente dor. 
a) Calcule a pressão da água a essa profundidade? 
b) Por que o mergulhador consegue ficar a essa profundidade sem sentir dor no ouvido? 
c) Os mergulhadores são alertados para não prender a respiração quando estiverem nadando para cima. 
Por quê? 
d) Os pulmões humanos podem operar contra um diferencial de pressão de menos de 0,050 atm. A que 
profundidade abaixo do nível da água um mergulhador pode nadar, respirando através de um snorkel 
(tubo longo do qual ele coloca uma extremidade na boca e a outra fica aberta para a atmosfera)? 
1.7.7. Paradoxo Hidrostático - Coloca-se água a um mesmo nível em todos os recipientes mostrados na Figura 
1.14. As áreas das bases são idênticas para todos os recipientes. Se a pressão nas partes inferiores de todos os 
recipientes é idêntica, a força suportada pela base de cada recipiente é a mesma. Por que, então, os três recipientes 
possuem diferentes pesos quando colocados sobre uma balança? 
 
Figura 1.14: Diferentes recipientes com líquido 
1.7.8. Um tubo em U, em que ambos os ramos estão abertos para a atmosfera, está parcialmente cheio de água. 
Derrama-se óleo, que não se mistura com a água, em um dos ramos até que ele atinja uma distância ℎ acima do 
nível da água no outro ramo do tubo. Esboce o gráfico da pressão em função da altura 𝑦 para os dois ramos do 
tubo, considerando 𝑦 = 0 na base. 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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Figura 1.15: Tubo em U com líquidos de diferente densidade 
1.7.9. Figura 1.16 mostra o esquema de um macaco hidráulico utilizado na elevação de um automóvel. Uma força 
𝐹𝑎 é aplicada na extremidade de uma alavanca que transmiteuma força 𝐹𝑒 para o pistão menor. Esse pistão está 
conectado a um pistão maior que sustenta o automóvel. 
 
Figura 1.16: Macaco hidráulico 
Suponha que a massa combinada do carro a ser suspenso e da plataforma do macaco hidráulico é M=2000kg , que 
o pistão maior possui um diâmetro de 20cm e o menor de 2,0cm. 
a) Calcule o valor da força 𝐹𝑒 necessária para fazer subir o automóvel. 
b) Sabendo que a alavanca tem 40cm e que a distância 𝑥 do mancal (ponto O) ao pistão é de 16cm, qual 
é o valor da força aplicada 𝐹𝑎 necessária para suspender o automóvel? 
c) Para cada descida da alavanca da bomba, onde seu punho se move de uma distância vertical de 30cm, 
qual é a elevação do automóvel? 
1.7.10. Um bloco de madeira flutua na água com 0,65 de seu volume submerso. Quando colocado em óleo, o bloco 
tem 0,92 de seu volume submerso. Determine a densidade da madeira e do óleo. 
1.7.11. Determine a fração do volume total de um iceberg que fica acima do nível da água. Dados: ρágua = 1,0 g/cm3 
e ρgelo = 0,92 g/cm3. 
1.7.12. Uma lata fabricada com folha-de-flandres possui um volume de 1,0L e uma massa de 100g. Quantos 
gramas de chumbinhos ela poderia conter em seu interior sem afundar na água? A densidade do chumbo é de 11,4 
g/cm3. 
1.7.13. Três crianças constroem uma jangada unindo toras de madeira. Assumindo valores razoáveis para as 
variáveis envolvidas, estime o número de toras necessárias para a jangada flutuar levando as três crianças. 
1.7.14. Uma bola flutua na superfície da água contida em um recipiente aberto para a atmosfera. A bola 
permanecerá com a mesma parte (inicial) submersa, afundará um pouco mais ou terá uma parte submersa menor 
se: 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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a) o recipiente for coberto e o ar em seu interior for removido? 
b) o recipiente for coberto e o ar em seu interior for comprimido? 
1.7.15. Explique por que, uma vez que começa a subir, um balão inflado sobe apenas até uma altura definida, 
enquanto um submarino, ao começar a afundar, sempre afunda até a parte mais profunda do oceano, caso 
nenhuma alteração seja realizada. 
1.7.16. Por que um balão possui o mesmo peso quando vazio ou quando cheio com ar à pressão atmosférica? Seria 
o peso ainda idêntico caso a medida fosse feita no vácuo? 
1.7.17. Uma rolha flutua na água com 1/4 de seu volume submerso quando se coloca um pouco de óleo sobre a 
água. A parte submersa da rolha aumenta, diminui ou permanece a mesma? Justifique a sua resposta. 
1.7.18. Um bloco de madeira flutua em um balde de água, dentro de um elevador. Quando o elevador acelera para 
cima, a parte do bloco que está submersa aumenta ou diminui? Justifique. 
1.7.19. Por que toras de madeira jogadas verticalmente em um lago não permanecem na vertical, mas flutuam 
"deitadas" na água? Por que um navio que está afundando, geralmente, tomba à medida que submerge na água? 
1.8 PROBLEMAS 
1.8.1 A pressão do ar varia à medida que nos deslocamos para grandes altitudes na atmosfera conforme a 
equação (1.9). Considerando a temperatura da atmosfera constante e igual a 20oC. 
a) calcule a pressão no alto do Monte Everest (8800m). 
b) Calcule a pressão na altitude de um voo comercial (11000m). 
c) A pressão no alto do Monte Everest (8800 m) é de, aproximadamente, 0,3 atm e na altitude normal de um 
voo comercial (11000 m) é de 0,25 atm. Compare esses dados com os previstos pela equação (1.9 para os 
itens (a) e (b) e explique a diferença. 
1.8.2 A figura mostra uma barragem de largura L que está represando água até a altura D. 
 
Figura 1.17: Barragem de contenção 
(a) Determine a força horizontal resultante exercida sobre a barragem pela pressão manométrica da água. 
(b) Determine o momento resultante devido à pressão manométrica exercida pela água, em relação a uma linha 
paralela à largura da barragem e que passa pelo ponto O. 
(c) Onde se situa a linha de ação da força resultante equivalente? 
1.8.3 Um barril cilíndrico possui um tubo esbelto fixado em sua superfície superior, conforme mostrado na Figura 
1.18 abaixo. O recipiente é cheio com água até o topo do tubo. Calcule a relação entre a força hidrostática exercida 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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sobre o fundo do barril e o peso da água nele contido. Por que esta relação não é igual a um? (Despreze a ação da 
atmosfera). 
 
Figura 1.18: Barril com água 
1.8.4 Considere um recipiente com fluido dentro de um elevador sujeito a uma aceleração a vertical para cima. 
a) Desenhe um diagrama de forças sobre um elemento de fluido e mostre que a variação da pressão com a 
profundidade no fluido é expressa por: 𝑝 = 𝜌ℎ(𝑔 + 𝑎),onde h é a profundidade e ρ é a massa específica. 
b) Desenhe e mostre também que, se o fluido como um todo sofre uma aceleração vertical a para baixo, a 
pressão a uma profundidade h é expressa por: 𝑝 = 𝜌ℎ(𝑔 − 𝑎) 
c) O que ocorre no caso de queda livre? 
1.8.5 Um fluido gira com velocidade angular constante ω em relação ao eixo vertical central de um reservatório 
cilíndrico. 
 
Figura 1.19: Água em cilindro giratório 
a) Mostre que a variação da pressão na direção radial, restrita à região onde há líquido, é expressa por: 
dp/dr = ρω2r 
b) Faça p = pc no eixo de rotação (r = 0) e mostre que a pressão p em um ponto qualquer a uma distância 
r vale: p = pc + ½ ρω2r2 
c) Mostre que a variação da pressão com a altura y, restrita à região onde há líquido, é: p = pc + gy 
d) Mostre que a superfície do líquido possui a forma de um parabolóide de revolução, isto é, uma seção 
transversal vertical pode ser representada pela curva: y = ω²r² / 2g 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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1.8.6 Um tubo com uma extremidade fechada e outra aberta, de comprimento 
L= 25,0 m, contém ar sob pressão atmosférica. Ele é introduzido verticalmente 
em um lago de água doce até que a água no seu interior atinja a metade da sua 
altura, como indica a figura. Qual é a profundidade h da extremidade inferior do 
tubo? Suponha que a temperatura seja a mesma em todo o sistema e que não 
varie 
 
1.8.7 Quando se fazem pesagens precisas usando uma balança analítica sensível – precisão de um miligrama 
(0,001g) –, deve-se corrigir o empuxo do ar, no caso de a densidade do corpo que está sendo "pesado" ser muito 
diferente da dos "pesos" padrões, geralmente, feitos de latão. Suponha, por exemplo, que um pedaço de madeira 
de densidade 0,4g/cm3 seja equilibrado numa balança de braços iguais por "pesos" de latão de 20g, cuja densidade 
é 8,0g/cm3. Determine a massa verdadeira desse pedaço de madeira. 
1.8.8 Um objeto, flutuando em mercúrio, possui ¼ de seu volume submerso. Se uma quantidade suficiente de 
água for adicionada de forma a cobrir o objeto, qual será a fração de seu volume que permanecerá imerso no 
mercúrio? 
1.8.9 Um bloco de ferro, de densidade ρFe está suspenso em um dinamômetro. Um béquer, contendo um líquido 
de densidade ρL, está em repouso sobre uma balança. Nessa situação, a leitura do dinamômetro é D e a da balança 
é B. Em seguida, o bloco de ferro, ainda suspenso no dinamômetro, é completamente submerso no líquido, como 
mostrado na Figura 1.20. Determine as leituras da balança e do dinamômetro nessa nova situação. 
Figura 1.20: Béquer com barra de ferro 
1.8.10 O peso de um recipiente com água é igual ao peso do suporte e da bola de ferro maciço mostrados na 
Figura 1.21a. Quando a bola suspensa é abaixada e mergulhada na água, a balança se inclina, como mostrado na 
Figura 1.21b. O volume da bola é V e a densidade da água é ρ. Determine a massa adicional que deve ser colocada 
no lado direito da balança a fim de equilibrá-la novamente, coma bola ainda suspensa e imersa na água. 
 
(a) (b) 
Figura 1.21: Equilíbrio em balança com esfera 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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1.8.11 Um bloco maciço homogêneo em forma de cubo é colocado na água. Supondo que o cubo tem aresta 
igual a 2 metros e massa 800kg, qual a altura da parte inferior do bloco à superfície do líquido? 
1.8.12 Uma estatueta de ouro de massa m=15kg foi encontrada no fundo do mar (densidade do ouro = 
19300kg/m3). Para retirá-la, usa-se uma corda inextensível e de massa muito menor que a da estatueta. 
a) Uma vez que a estatueta não está mais em contato com o fundo, qual a tensão na corda de sustentação 
quando a estatueta ainda está debaixo d’água? 
b) Essa tensão varia com a profundidade? 
c) Qual a tensão na corda de sustentação quando a estatueta está completamente fora d’água? 
1.8.13 Uma barra de ferro fundido apresenta algumas cavidades e pesa 6130N no ar e 3970N na água. Determine 
o volume total das cavidades. Considere a densidade do ferro ρ = 7870kg/m3. 
1.8.14 Uma esfera oca de raio r=55cm é presa no fundo de um lago através de uma corda de massa desprezível. 
A tensão na corda é de T=900N. 
a) Calcule o empuxo sobre a esfera. 
b) Calcule a massa da esfera. 
1.8.15 Um balão de borracha esférico com raio igual a 5m está cheio de hidrogênio. Suponha a densidade do 
hidrogênio ρH = 0,0899kg/m3 e a densidade do ar ρar = 1,29kg/m3. Desprezando a massa da superfície do balão, 
calcule a força resultante sobre o balão. 
1.8.16 Qual fração de um iceberg fica aparente (acima do nível da água)? Considere as densidades de água doce 
igual a 917kg/m3 e de água do mar igual a 1.024kg/m3. 
RESPOSTAS: ATIVIDADES DE AUTO AVALIAÇÃO 
1. ATIVIDADES PARA AUTO AVALIAÇÃO - FLUIDOS E PRESSÃO 
1.1 Determine a pressão que uma mulher de 60kg faz sobre uma superfície, se ela estiver calçada com: 
(a) Um par de tênis cuja área total das solas em contato com o chão é de aproximadamente 520cm2. 
 (b) Um par de sapatos de salto cuja área total das solas em contato com o chão é de aproximadamente 80cm2. 
O cálculo da pressão que a pessoa faz sobre a superfície é simplesmente a força exercida por ela através de seu peso 
dividida pela área de contato perpendicular a esta superfície. Considerando que a força está igualmente distribuída 
por toda a área da sola de cada sapato e usando: 𝑃 = 𝑑𝐹 𝑑𝐴⁄ : 
Como a força será a mesma nas duas situações podemos calculá-la primeiro: 
𝐹𝑃 = 𝑚 × 𝑔 = 60 × 9,8 = 588𝑁 
(a) 𝐴 = 520𝑐𝑚2 = 520 × 10−4𝑚2 
𝑃 = 𝑑𝐹 𝑑𝐴⁄ = 588 520 × 10−4⁄ = 1,13 × 104 𝑁 𝑚2⁄ 
(b) 𝐴 = 80𝑐𝑚2 = 80 × 10−4𝑚2 
𝑃 = 𝑑𝐹 𝑑𝐴⁄ = 588 80 × 10−4⁄ = 7,35 × 104 𝑁 𝑚2⁄ 
1.2 Explique como é possível se deitar em uma cama de pregos sem sentir dor. Como o número de pregos influencia 
no “conforto” dessa cama? 
Apesar das forças sobre os pregos (peso do corpo) serem grandes, a área ou superfície de contato entre o corpo e os 
pregos também será significativa, ocasionando uma pressão pequena (𝑃 = 𝐹 𝐴⁄ ), o que possibilita se deitar em uma 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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cama de pregos sem sentir dor. Quanto maior o número de pregos na cama maior será a área de contato, 
aumentando assim o “conforto” dessa cama. 
1.3 Estime a força exercida pela atmosfera sobre seu livro. Explique como é possível então levantar facilmente esse 
livro? 
Supondo que as dimensões do livro sejam de 20cm x 25cm, a sua área será 𝐴 ≈ 0,05𝑚2. Supondo também que a 
pressão atmosférica tenha um valor de 𝑝 ≈ 1𝑎𝑡𝑚 = 1,013 × 105 𝑁 𝑚2⁄ , a força exercida pela atmosfera sobre o 
livro será: 
𝐹 = 𝑃 × 𝐴 = (1,013 × 105)(0,05) = 5,07 × 103𝑁 
Apesar do valor elevado encontrado para a força, é possível levantar facilmente o livro, pois a força exercida pela 
atmosfera sobre o livro atua em toda a sua superfície, tanto nas superfícies superior e inferior, quanto nas laterais, e 
mesmo entre as folhas (espaço que está ocupado por ar) apresentando o mesmo valor para todos os pontos. A 
resultante das forças exercidas pela atmosfera será nula, e a força que temos que fazer para levantar o livro é igual 
ao seu peso. 
1.4 Pegue uma ventosa, por exemplo, de um cabide para toalhas feito de uma superfície de borracha com um 
mecanismo que quando é puxado fixa a ventosa na parede (se você não tiver uma pode tentar com um desentupidor 
de pia). Molhe a superfície de borracha, encoste a ventosa em uma parede lisa e puxe o mecanismo. Agora tente 
soltar a ventosa da parede. Explique o que está prendendo a ventosa na parede. 
Vamos estimar o valor da força que segura uma ventosa 
 
Na figura do problema está mostrado um semicírculo, que representa a ventosa, e as forças provocadas pela pressão 
em vários pontos. As forças internas são menores que as externas já que há uma diferença de pressão. Essas forças 
têm componentes horizontais e verticais. As componentes verticais se anulam, sobrando apenas a resultante das 
componentes horizontais. Então, para calcular a força (pressão x área) só temos que levar em conta a área 
perpendicular a essa força horizontal. 
Quando acionamos o mecanismo de fixação da ventosa, ele expulsa quase todo o ar contido entre a ventosa e a 
parede. A situação da ventosa pode então ser simplificada como uma semiesfera encostada na parede, com pouco 
ar em seu interior. Dessa forma, a pressão interna fica menor do que a pressão externa e é essa diferença de pressão 
que segura a ventosa na parede. 
A superfície na qual fixamos a ventosa pode conter ranhuras que permitirão o retorno do ar para dentro da cavidade 
(de baixa pressão) sob a ventosa o que gradualmente elevará a pressão, “descolando” a ventosa. Se molharmos a 
ventosa antes de sua instalação, a água ocupa os espaços das ranhuras, tornando a superfície mais regular impedindo 
o retorno do ar ao interior da ventosa. 
Ao pressioná-la contra a parede, expulsamos grande parte do ar entre o cone e a superfície. Assim, a pressão do ar 
do lado de fora da ventosa se torna maior do que na área interna. Essa pressão age perpendicularmente à superfície, 
de fora para dentro. Resultado: ela é fixada na parede. 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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2. ATIVIDADES PARA AUTO AVALIAÇÃO: LEI DE STEVIN E PRESSÃO ATMOSFÉRICA 
2.1 No exercício do Exemplo 8:, se a água for substituída por um óleo (altura da coluna igual a 20cm) observa-se 
um deslocamento igual a 0,66cm do mercúrio em relação à sua posição inicial. Calcule a densidade do óleo 
Da mesma forma como no Exemplo 8:, originalmente ambos os lados continham mercúrio e estavam a uma certa 
altura h. Ao colocar óleo do lado esquerdo, o peso da coluna de óleo faz com que o outro ramo suba de um valor x 
e o mercúrio deste ramo esquerdo desça da mesma quantidade x. A pressão é exatamente a mesma no fundo do 
tubo. Considerando que a pressão no topo de ambos os lados é pressão atmosférica (po), temos para o lado 
esquerdo que contém óleo em cima do mercúrio: 
 
𝜌Ó𝑙𝑒𝑜 =
2𝜌𝑀𝑥
ℎÓ𝑙𝑒𝑜
= 0,9 × 103 𝑘𝑔 𝑚3⁄ 
 
2.2 Para o valor de pressão calculado no Exemplo 10:, determine a altura da coluna do barômetro, se o mercúrio 
for substituído por água com densidade igual a 1,0x103kg/m 
Neste caso, usamos novamente a lei de Stevin, considerando que a pressão atmosférica local é 
po = 9,9x104N/m2, g = 9,78m/s2 e a densidade da água é igual a 1,0x103kg/m3: 
ℎ =
𝑝0
𝜌𝑔
=
9,9𝑥104 𝑁 𝑚2⁄
(1,0𝑥103 𝑘𝑔 𝑚3⁄ )9,78 𝑚 𝑠2⁄
= 10,1𝑚 
Consequentemente, a coluna equivalente de um barômetro de água teria da ordem de 10 metros. 
 
3. ATIVIDADES PARA AUTO AVALIAÇÃO - - LEI DE PASCAL, EMPUXO 
3.1 Os diâmetros dos êmbolos de uma prensa hidráulica estão na proporção3:1. Se o êmbolo de diâmetro maior é 
deslocado de uma altura H, qual o deslocamento do êmbolo de menor diâmetro? 
 
1.5 Em 1654 o prefeito de Magdeburgo (Alemanha) realizou a seguinte experiência: juntou duas campânulas de 
metal e, com uma bomba, retirou boa parte do ar contido nelas. Amarrou-se uma dupla de cavalos em cada um dos 
lados e chicoteou-os, na tentativa de separar as campânulas. Seja a diferença de pressão entre a atmosfera externa 
e a pressão interna e d o diâmetro das campânulas. Calcule a força que teria de ser exercida por cada parelha de 
cavalos para separar os hemisférios. Supondo que o diâmetro das campânulas d=37cm e a pressão interna residual 
entre as campânulas igual a 0,1 atm, qual seria a força necessária nesse caso? Se um cavalo exerce uma força de 800 
N, qual teria sido o número mínimo de cavalos em cada parelha para separar as campânulas? 
A fazer os cálculos: Estimar o raio da ventosa, calcular a área coberta pela ventosa (𝐴 = 𝜋𝑟2), usar o valor da pressão 
atmosférica (𝑝 ≈ 1𝑎𝑡𝑚 = 1,013 × 105
𝑁
𝑚2
), estimar o valor da pressão interna, e calcular a força: (𝐹 = 𝐴∆𝑝). 
(a) 𝐹 = 𝐴∆𝑝 =
1
4
𝜋𝑑2(𝑝0 − 𝑝) 
(b) 𝐹 =
1
4
𝜋(37 × 10−2𝑚)2(1 − 0,1𝑎𝑡𝑚) =
1
4
𝜋(37 × 10−2𝑚)2(9,12 × 104𝑃𝑎) = 9,8 × 103𝑁 
(c) Se um cavalo exerce 800N de força, para separar as campânulas, precisaremos de: 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑑𝑒𝑐𝑎𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 =
𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝐹𝑢𝑚𝑐𝑎𝑣𝑎𝑙𝑜
=
9,8 × 103
800
= 12,25 
isto é, seriam necessários pelo menos 13 cavalos 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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Utilizando a relação entre os deslocamentos dos êmbolos de uma prensa hidráulica: 
𝑑1 = 𝑑2
𝐴2
𝐴1
= 𝐻
𝜋 (
𝐷
2)
2
𝜋 [
1
3
(
𝐷
2
)]
2 = 9𝐻 
Desta forma, o deslocamento do êmbolo menor deve ser 9 vezes maior que o deslocamento do êmbolo maior. 
3.2 Pegue um objeto mais denso que a água e amarre-o a um barbante. Suspenda-o pela extremidade do barbante 
e coloque-o em uma vasilha com água. Bem devagar puxe o barbante, suspendendo o objeto até ele sair 
completamente da água. Descreva o que ocorreu com a tensão no barbante à medida que você foi tirando o objeto 
da água, ela aumentou, diminuiu ou permaneceu constante? 
A tensão no fio permanece a mesma até que o objeto chegue à superfície da água. A partir desse ponto, a tensão 
no fio aumenta gradativamente à medida que o objeto vai saindo porque o volume de água deslocada pelo objeto 
diminui e o empuxo, também. Após retirar completamente o objeto da água e tensão fica constante novamente, 
igual ao peso do objeto. 
3.3 : Refaça os itens do Exemplo 13: para a situação mostrada na figura abaixo. 
 
Nela, a caixa não está totalmente imersa, parte da caixa está fora do líquido. 
Considerando que parte do cubo não está submerso, o volume de fluido deslocado é igual a: 
𝑉 = 𝐿2ℎ 
Realizando o mesmo procedimento do Exemplo 13:, teremos: 
(a) A força exercida pelo ar sobre a face superior da caixa é: 𝐹1 = 𝑃𝐴 = 𝑃0L
2 
(b) A força exercida pelo líquido sobre a face inferior da caixa é: 𝐹2 = (𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ)𝐿
2 
(c) A força resultante exercida sobre a caixa é: 
𝐸 − 𝑃 + 𝑇 = 0 ∴ 𝐸 = 𝑃 − 𝑇 = 𝐹2 − 𝐹1 =>𝐸 = 𝜌𝑔ℎ𝐿
2 
 
3.4 Dois baldes idênticos são preenchidos com água até a mesma altura, porém, um dos baldes possui um bloco de 
madeira flutuando na água. Existe diferença de peso entre os baldes? Se existe, qual é o mais pesado? 
Analisemos o balde em que foi colocado o bloco de madeira. Sendo assim, quando se coloca água no balde estando 
o bloco no seu interior, para que o nível de água nesse balde seja igual ao nível do outro balde, uma quantidade de 
água, igual ao volume submerso do bloco, será colocado a menos. Supondo que o bloco que flutua no fluido esteja 
em equilíbrio, essa quantidade que foi colocada a menos será igual ao peso do bloco de madeira. Assim, o peso dos 
dois baldes é o mesmo. 
 
hL
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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RESPOSTAS: EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1.7.1. Como resultado da passagem de um vendaval, a pressão externa cai para 0,95 atm, porém, no interior de 
um escritório, a pressão é mantida a 1,00 atm. Estime o valor da força resultante que empurra a janela do escritório 
para fora. 
∆p = 0,05 atm = 5,065 x 103 N/m2, A = 2,50 m2 
F = ∆p x A 
F =(5,065 x 103 N/m2)(2,50 m2) 
F = 1,27 x 104 N 
1.7.2. Calcule a diferença de pressão hidrostática no sangue entre o cérebro e os pés de uma pessoa com 1,83 m 
de altura. Admita que a densidade do sangue seja igual a 𝜌𝑠 = 1,06 × 10
3 𝑘𝑔 𝑚3⁄ . 
∆p = sgh 
∆p = (1,06 x 103kg/m3)(9,81 m/s2)(1,83 m) 
∆p = 1,90 x 104 N/m2 
1.7.3. Uma piscina possui as dimensões de 15 m x 10 m x 1,5 m. 
a) Quando ela está cheia de água, qual é a força (devida apenas à água) atuante no fundo? 
b) E sobre as superfícies em suas laterais? (Atenção: nesse caso, a pressão não é a mesma em todos os pontos 
da superfície!) 
c) Caso você esteja preocupado com o fato de as paredes de concreto poderem ou não se romper, seria 
conveniente levar em conta o efeito da pressão atmosférica além daquele advindo apenas da água? 
(a) F = p x A = ghA = gV 
F = (103kg/m3)(9,81 m/s2)(15m)(10m)(1,5m) 
F = 2,21 x 106 N 
(b) Superfície 1: L = 15 m, H = 1,5 m 
 
𝑑𝐹 = 𝑝𝑑𝐴 
𝑑𝐹 = 𝑝(ℎ)𝑑𝐴 
𝑑𝐹 = 𝑝(ℎ)𝐿𝑑ℎ 
𝐹 = ∫ 𝑝(ℎ)𝐿𝑑ℎ
𝐻
𝑜
 
 
𝐹 = ∫ 𝜌𝑔ℎ𝐿𝑑ℎ
𝐻
𝑜
 
Hidrostática: Densidade, Pressão e Empuxo 
 
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32 
𝐹 = 𝜌𝑔𝐿 ∫ ℎ𝑑ℎ
𝐻
𝑜
 
𝐹 = 𝜌𝑔𝐿 𝐻2 2⁄ 
 
Superfície 1: L = 15m, H = 1,5m 
 
F = gLH2/2 
F = (103kg/m3)(9,81 m/s2)(15 m)(1,5 m)2 / 2 
F = 1,66 x 105 N 
 
Superfície 2: L = 10 m, H = 1,5 m 
F = gLH2/2 
F = (103kg/m3)(9,81 m/s2)(10m)(1,5m)2 / 2 
F = 1,10 x 105 N 
(c) Sim, pois a pressão atmosférica aumenta a pressão total exercida sobre o líquido (p = p0 + gh) e por sua vez 
sobre as paredes contribui para aumentar a força exercida sobre as paredes laterais. 
1.7.4. A Figura 1.12 mostra o medidor de pressão mais simples, um tubo aberto em uma das extremidades e com 
a outra extremidade conectada ao recipiente que contém o gás que se quer medir a pressão. Dentro desse tubo se 
coloca um líquido de densidade 𝜌. Determine a pressão do gás em função da diferença de alturas ℎ. 
 
p = p0 + gh 
onde p0 é a pressão atmosférica. 
1.7.5. A Figura 1.13 mostra um barômetro usado para medir a pressão atmosférica. A extremidade direita do 
tubo em U é fechada de modo que a pressão nesse ponto pode ser considerada nula. A outra extremidade é aberta 
para a atmosfera. 
Determine ℎ, a diferença entre as alturas das duas colunas, se o líquido dentro do barômetro for: (a) mercúrio 
(𝜌𝐻𝑔 = 13,595 𝑔 𝑐𝑚
3⁄ ) (b) Água 
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(a) p0 = Hggh 
h = p0/Hgg 
h = (1,013 x 105 N/m2)/(13,595 x 103kg/m3)(9,81 m/s2) 
h = 76cm 
 
(b) h = p0/ag 
h = (1,013 x 105 N/m2)/(103kg/m3)(9,81 m/s2) 
h = 10,3 m 
1.7.6. Uma sobrepressão de apenas 20 Pa corresponde ao limiar da dor para a intensidade sonora. Entretanto, 
um mergulhador a 2 metros abaixo da superfície da água fica sujeito à ação de pressões bem superiores a esta e 
não sente dor. 
a) Calcule a pressão da água a essa profundidade? 
b) Por que o mergulhador consegue ficar a essa profundidade sem sentir dor no ouvido? 
c) Os mergulhadores são alertados para não prender a respiração quando estiverem nadando para cima. Por 
quê? 
d) Os pulmões humanos podem operar contra um diferencial de pressão de menos de 0,050 atm. A que 
profundidade abaixo do nível da água um mergulhador pode nadar, respirando através de um snorkel (tubo 
longo do qual ele coloca uma extremidadena boca e a outra fica aberta para a atmosfera)? 
(a) p0 = 1 atm = 1,013 x 105 N/m2,  = 103kg/m3, g = 9,81 m/s2, h = 2 m 
p = p0 + gh 
p = (1,013 x 105 N/m2) + (103kg/m3)(9,81 m/s2)(2 m) 
p = 1,21 N/m2 
(b) Nesta situação temos dois casos possíveis, o mergulhador que mergulha com o reservatório de ar, e o 
mergulhador que mergulha prendendo a respiração. No caso do mergulhador com o reservatório, a pressão do 
ar no reservatório geralmente é maior que a pressão atmosférica, e como o mergulhador respira esse ar a uma 
pressão maior, seu corpo como um todo está a uma pressão maior, de maneira que nessa profundidade ele fica 
sujeito a uma menor diferença de pressão, não sentindo dor. No caso do mergulhador que prende a respiração, 
quando este inspira e prende o ar dentro dos pulmões, a pressão interna nos pulmões e nos ouvidos fica maior, 
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de maneira que nessa profundidade ele também fica sujeito a uma menor diferença de pressão, não sentindo 
dor. 
(c) Para que a pressão interna do corpo do mergulhador vá gradativamente se igualando à pressão externa à 
medida que o mergulhador passa de uma região de alta pressão até a superfície. 
 (d) p - p0 = 0,050 atm = 5,065 x 103 N/m2 
p - p0 = gh 
h = (p - p0)/g 
h = (5,065 x 103 N/m2) / (103kg/m3)(9,81 m/s2) 
h = 0,52 m 
1.7.7. Paradoxo Hidrostático - Coloca-se água a um mesmo nível em todos os recipientes mostrados na Figura 
1.14. As áreas das bases são idênticas para todos os recipientes. Se a pressão nas partes inferiores de todos os 
recipientes é idêntica, a força suportada pela base de cada recipiente é a mesma. Por que, então, os três recipientes 
possuem diferentes pesos quando colocados sobre uma balança? 
 
A força exercida pelo líquido na parte inferior do recipiente é a resultante de todas as forças exercidas pelo 
líquido sobre as paredes do frasco. Estas forças normais às paredes em cada ponto são iguais e contrárias às 
forças exercidas pelas paredes sobre o líquido. Mas a resultante das forças superficiais sobre o líquido é igual 
e contrária ao peso do líquido, segundo o princípio de Arquimedes. Logo, a resultante das pressões exercidas 
pelo líquido sobre as paredes, aplicadas à parte inferior do recipiente, é efetivamente igual ao peso do 
líquido. Assim, no caso do 2º recipiente mostrado na figura, a resultante das pressões sobre as superfícies 
laterais tem uma componente para baixo que é responsável pela diferença entre o peso do líquido e a força 
sobre a base; no caso do 3º recipiente, essa componente é para cima, e é somente no caso do 1º recipiente 
que a força sobre a base é igual ao peso do líquido. 
 
1.7.8. Um tubo em U, em que ambos os ramos estão abertos para a atmosfera, está parcialmente cheio de água. 
Derrama-se óleo, que não se mistura com a água, em um dos ramos até que ele atinja uma distância ℎ acima do 
nível da água no outro ramo do tubo. Esboce o gráfico da pressão em função da altura 𝑦 para os dois ramos do 
tubo, considerando 𝑦 = 0 na base. 
 
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1.7.9. A Figura 1.16 mostra o esquema de um macaco hidráulico utilizado na elevação de um automóvel. Uma 
força 𝐹𝑎 é aplicada na extremidade de uma alavanca que transmite uma força 𝐹𝑒 para o pistão menor. Esse pistão 
está conectado a um pistão maior que sustenta o automóvel. . 
 
 
Suponha que a massa combinada do carro a ser suspenso e da plataforma do macaco hidráulico é M = 2000kg, que 
o pistão maior possui um diâmetro de 20cm e o menor de 2,0cm. 
 (a) Calcule o valor da força 𝐹𝑒 necessária para fazer subir o automóvel. 
(b) Sabendo que a alavanca tem 40cm e que a distância 𝑥 do mancal (ponto O) ao pistão é de 16cm, qual é o 
valor da força aplicada 𝐹𝑎 necessária para suspender o automóvel? 
(c) Para cada descida da alavanca da bomba, onde seu punho se move de uma distância vertical de 30cm, qual 
é a elevação do automóvel? 
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(a) Fs = Mg 
Fs = (2000kg)(9,81 m/s2) 
Fs = 19620 N 
 
Segundo o Princípio de Pascal, a pressão no pistão menor pm é igual à pressão no pistão maior pM. Sendo assim 
a força Fe necessária a ser aplicada no pistão menor para suspender o automóvel será: 
 
pm = pM 
Fe/Am = Fs/AM 
Fe = Fs(d/D)2 
Fe = (19620 N)(2,0 x 10-2 m / 20 x 10-2 m)2 
Fe = 196,2 N 
 
(b) A força Fa aplicada à alavanca necessária para que seja aplicada a força Fe no pistão menor será: 
Fa = Fe 
LFa = xFe 
Fa = Fex /L 
Fa = (196,2 N)(16 x 10-2 m) / (40 x 10-2 m) 
Fa = 78,5 N 
 
(c) Quando a alavanca é descida, temos a seguinte configuração: 
 
Por semelhança de triângulos, temos: 
y/L = y’/x 
y’ = yx/L 
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y’ = (30cm)(16cm)/(40cm) 
y’ = 12cm 
O volume do fluido deslocado pelo pistão menor é o mesmo que o deslocado pelo pistão maior: 
Vm = VM 
y' d2/4 = zD2/4 
A elevação z do automóvel será então: 
z = y'd2/D2 
z = (12cm)(2,0cm)2/(20cm)2 
z = 0,12cm 
 
1.7.10. Um bloco de madeira flutua na água com 0,65 de seu volume submerso. Quando colocado em óleo, o bloco 
tem 0,92 de seu volume submerso. Determine a densidade da madeira e do óleo.. 
𝐸 = 𝑃 ⇒ 𝜌𝐻2𝑂0,65𝑉bloco𝑔 = 𝜌bloco𝑉bloco𝑔 
 
𝜌bloco = 0,65𝜌𝐻2𝑂 ⇒ 𝜌bloco = 648, 7 kg 𝑚
3⁄ 
𝐸 = 𝑃 ⇒ 𝜌óleo0,92𝑉bloco𝑔 = 𝜌bloco𝑉bloco𝑔 ⇒ 𝜌óleo = 705, 1kg/𝑚
3 
1.7.11. Determine a fração do volume total de um iceberg que fica acima do nível da água. Dados: ρágua = 1,0 g/cm3 
e ρgelo = 0,92 g/cm3. . 
𝐸 = 𝑃 ⇒ 𝜌𝐻2𝑂gV′ = 𝜌gelogV ⇒
𝑉′
𝑉
=
𝜌gelo
𝜌𝐻2𝑂
 
𝑉′
𝑉
= 0,92 
92% do volume do iceberg fica submerso e 8% fica acima da superfície do mar. 
1.7.12. Uma lata fabricada com folha-de-flandres possui um volume de 1,0L e uma massa de 100 g. Quantos 
gramas de chumbinhos ela poderia conter em seu interior sem afundar na água? A densidade do chumbo é de 11,4 
g/cm3. . 
Trabalhando com a unidade de densidade em kg/dm3, teremos que a densidade da lata é 0,1kg/dm3, a do chumbo 
é 11,4kg/dm3 e arredondando, a da água é 1,0kg/dm3. Sem necessidade de cálculo, notemos que a densidade da 
lata se igualará à da água se sua massa for acrescida de 900 gramas, dessa forma, suas densidades serão iguais e a 
lata ficará estável em qualquer posição em que for abandonada, inclusive na superfície da água. Assim, a massa de 
chumbo é 900 gramas. 
1.7.13. Três crianças constroem uma jangada unindo toras de madeira. Assumindo que a jangada meça 40,0 x 50,0 
x 2,00cm3, estime o número de toras necessárias para a jangada flutuar levando as três crianças. 
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Vamos imaginar que a massa de cada criança seja de 40kg e as dimensões das toras conforme a figura. Para facilitar 
os cálculos, vamos arredondar sua densidade com um valor próximo do encontrado no EF 3.1, podendo ser de 
650kg/m3. A situação crítica para o sistema permanecer em equilíbrio é aquela em que as toras estão com todo seu 
volume dentro d’água, porém ainda está na superfície. 
 
 
Sendo mc a massa de cada criança, V o volume de cada tora e n o número de toras, teremos: 
𝐸 = 𝑃 ⇒ 𝑛𝜌𝐻2𝑂Vg = (3𝑚𝑐 + 𝑛𝜌mad.𝑉)𝑔 ⇒ nV(𝜌𝐻2𝑂 − 𝜌mad.) = 3𝑚𝑐 
𝑛 =
3𝑚𝑐
𝑉(𝜌𝐻2𝑂 − 𝜌mad.)
⇒ 𝑛 =
120kg
14kg
⇒ 𝑛 = 8,57toras 
 
Se os meninos construírem a jangada com 8 toras, ela afunda. Por outro lado, se ela for construída com 9 toras, 
eles sequer molharão os pés. 
1.7.14. Uma bola flutua na superfície da