Questões de Matemática - Equações Diferenciais e Funções Homogêneas

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1. 
 
 
Uma função f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n 
quando f(tx,ty)=tnf(x,y). 
Verifique se a função f(x,y)=7x3+2xy2 é homogênea e, se for, qual 
é o grau e indique a resposta correta. 
 
 
É homogênea de grau 1. 
 
 
Não é homogênea. 
 
É homogênea de grau 3. 
 
 
É homogênea de grau 2. 
 
 
É homogênea de grau 4. 
 
 
 
Explicação: 
Aplica-se o teste descrito no texto da questão. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Uma função f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y). 
Verifique se a função f(x,y)=5x4+x2y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta 
correta. 
 
 
Não é função homogênea. 
 
 
É função homogênea de grau 3. 
 
É função homogênea de grau 4. 
 
É função homogênea de grau 2. 
 
 
É função homogênea de grau 5. 
 
 
 
Explicação: 
Calculando f(tx, ty), verifica-se, no exemplo pedido f(tx, ty) = t4f(x, y) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn}{f1,f2,...,fn} , 
considere o determinante de ordem n: 
W(f1,f2,...,fn)W(f1,f2,...,fn) = ⎡⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢⎣f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n−1f2n−1...fnn−1⎤⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥⎦[f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-
1f2n-1...fnn-1] 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira 
linha,pelas primeiras derivadas dessas funções na segunda 
linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das 
funções na n-ésima linha. Sejam as 
funções: f(x)f(x)= e2xe2x ; 
 g(x)g(x)=senxsenx e 
 h(x)h(x)= `x^2 + 3*x + 1 
Determine o Wronskiano W(f,g,h)W(f,g,h) em xx= 00. 
 
 
 2 
 
 7 
 
-2 
 
 
 -1 
 
 
 1 
 
 
 
Explicação: 
O wronskiano nos indica se as respostas de equações diferenciasi são LI ou 
LD. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Verifique se a função f(x,y)=x3+xy2eyx é homogênea e, se for, qual 
é o grau e indique a resposta correta. 
 
 
Homogênea de grau 2. 
 
 
Homogênea de grau 4. 
 
 
Homogênea de grau 1. 
 
 
Não é homogênea. 
 
Homogênea de grau 3. 
 
 
 
Explicação: 
Calcular f(tx, ty) e verificar que f(tx, ty) = t³f(x, y) 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto 
à ordem, primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou 
não linear. Marque a classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0: 
 
 
equação diferencial parcial, segunda ordem, não linear. 
 
equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear 
 
equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear 
 
 
equação diferencial ordinária, quarta ordem, linear 
 
 
equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear; 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é 
exata. 
 
 
 
É exata, 
pois (δMδx)=(δNδy)=0(δMδx)=(δNδy)=0 
 
É exata, 
pois (δMδx)=(δNδy)=7(δMδx)=(δNδy)=7 
 
 
É exata, 
pois (δMδx)=(δNδy)=4(δMδx)=(δNδy)=4 
 É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=0 
 
 
É exata, 
pois (δMδy)=(δNδx)=5x(δMδy)=(δNδx)=5x 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y´=f(x,y), obtemos respectivamente: 
 
 
 
2 e 1 
 
1 e 1 
 
 
1 e 2 
 
3 e 1 
 
 
2 e 2 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dada uma função de modo que f(5,6)=7 e seu grau é igual a 1, 
podemos afirmar que f(20,24) é: 
 
 
24 
 
20 
 
 
7 
 
28 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
28