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1) Os pneus de um automóvel que se move a 80 km/h têm 75,0 cm de diâmetro. (a) Qual e a 
velocidade angular dos pneus em relação aos respectivos eixos? (b) Se o carro e 
freado com aceleração constante e as rodas descrevem 30 voltas completas (sem deslizamento), qual 
e o modulo da aceleração angular das rodas? (c) Que distancia o carro 
percorre durante a frenagem? Resp.: a) 59,3 rad/s; b) 9,31 rad/s2; c) 70,0 m. 
a) 𝑉 = 𝑤𝑟 →→ 𝑤 =
ቀఴబయ,లቁ
బ,ళఱ
మ
= 59.26rad/s 
 
b) 1 voltas --- 2π 
30 voltas -- θ c) S = θr 
 S = 60π * (0.75/2) 
θ = 60π S = 70.68m 
 
w² = w0² + 2*a(ang) * Δθ 
0 = 59.26² + 2*a(ang) * (60π - 0) 
-59.26²/120π = a(ang) 
a(ang) = -9.31 -> módulo = 9.31rad/s² 
 
 
2) Um aro de 140 kg rola em um piso horizontal de tal forma que o centro de massa tem uma 
velocidade de 0,150 m/s. Qual e o trabalho necessário para fazê-lo parar? (Dado: 
I = MR2). Resp.: - 3,15 J. 
 𝐾 = ½𝑚𝑅ଶ ቀ௏
మ
ோమ
ቁ + ଵ
ଶ௠௩మ
= 𝑚 ∗ 𝑣ଶ 
𝐾 = − ൤(140𝑘𝑔) ∗ ቀ0,15
𝑚
𝑠
ቁ
ଶ
൨ 
𝐾 = −3,15𝐽 
 
 
 3) Uma esfera maciça, homogênea, rola para baixo em uma rampa. (a) Qual deve ser o angulo de 
inclinação da rampa para que a aceleração linear do centro da esfera tenha um 
modulo de 0,10g? (b) Se um bloco sem atrito deslizasse para baixo na mesma rampa, o modulo da 
aceleração seria maior, menor ou igual a 0,10g? Por que? (Dado: I = 2/5 MR2) 
Resp.: a) 8º; b) maior. 
-0,10g= -− ௚ ௦௘௡ ஘
ଵା൬మఱ ௫ 
ಾೃమ
ಾೃమ
൰
= − ௚ ௦௘௡஘
ଵ,ସ
 -0,14 = - gsenθ θ = sinିଵ(0,14) = 8,0° 
 
4) Um carro de 1000 kg tem quatro rodas de 10 kg. Quando o carro está em movimento, que fração 
da energia cinética total se deve a rotação das rodas em torno dos respectivos 
eixos? Suponha que as rodas tenham o mesmo momento de inercia que discos homogêneos de 
mesma massa e tamanho. Por que não e preciso conhecer o raio das rodas? (Dado: I = 
1/2 MR2) Resp.: 0,02. 
4𝐼𝑤ଶ = 4 ൬
1
2𝑚𝑅ଶ
൰ ቀ
𝑣
𝑅
ቁ
ଶ
= 2𝑚𝑣ଶ 
2𝑚𝑣ଶ
𝑀𝑣ଶ + 2𝑚𝑣ଶ
=
2𝑚ଶ
𝑀 + 2𝑚
=
2 ∗ 10
1000
=
20
1000
= 0,020 
6) Na Figura, um cilindro maciço com 10 cm de raio e massa de 12 kg parte do repouso e rola para baixo uma 
distância L = 6,0 m, sem deslizar, em um telhado com uma inclinação θ = 30°. (a) Qual e a velocidade angular do 
cilindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado? (b) A borda do telhado está a uma altura H = 5,0 m. A 
que distancia horizontal da borda do telhado o cilindro atinge o chão? (Dado: I = 1/2 MR2) 
a) 
 
 
 
 
 
b) x=(-b±√x)/2.a 
 x=b² - 4.a.c 
 usar bhaskara 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Na Figura, uma bola maciça rola suavemente a partir do repouso (começando na altura H = 6,0 m) até deixar 
a parte horizontal no fim da pista, a uma altura h = 2,0 m. A que distância horizontal do ponto A a bola toca o 
chão? Resp.: 4,8 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Uma esfera oca, com 0,15 m de raio e momento de inércia I = 0,040 kg·m2 em relação a uma reta 
que passa pelo centro de massa, rola sem deslizar, subindo uma 
superfície com uma inclinação de 30° em relação à horizontal. Em determinada posição inicial, a 
energia cinética total da esfera é 20 J. (a) Quanto desta energia 
cinética inicial se deve à rotação? (b) Qual é a velocidade do centro de massa da esfera na posição 
inicial? Após a esfera ter se deslocado 1,0 m ao longo da superfície inclinada a partir da posição 
inicial, qual é (c) a energia cinética total e 
 (d) qual é a velocidade do centro de massa? Resp.: a) 8,0 J; b) 3,0 m/s; c) 6,9 J; d) 1,8 m/s. 
 a) 
 
 b) 
 
 
 
 ௞௥௢௧
௄௖௠ା௄௥௢௧
=
భ
య௫ଶ,଻௫଴,ଵହ
మ௫ ୡ୭ୱమ ଷ଴
భ
య௫ଶ,଻௫଴,ଵହ
మ௫௖௢ మଷ଴ ା భ య௫ଶ,଻௫଴,ଵହ
మ௫௖௢௦మଷ଴
 c) 
 20𝑗 = 𝐾𝑓 + 2,7𝑥9,8𝑥𝑑𝑠𝑒𝑛𝜃 
 ௞௥௢௧
௄
= 0,4 𝐾𝑓 = −2,7𝑥9,8𝑥(1𝑥 sin 30) + 20 = 6,9j 
 d) 
 
 
 
 
9) Na Figura, uma força horizontal constante F de módulo 10 N é aplicada a uma roda de massa 10 
kg e raio 0,30 m. A roda rola suavemente na superfície horizontal, e o módulo da aceleração do centro 
de massa é 0,60 m/s2. 
(a) Na notação dos vetores unitários, qual é a força de atrito que age sobre a 
roda? (b) Qual é o momento de inércia da roda em relação 
ao eixo de rotação, que passa pelo centro de massa? 
a) 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Na Figura, uma bola maciça, de latão, de massa 0,280 g, rola suavemente ao longo do trilho 
quando é liberada a partir do repouso no trecho retilíneo. A parte circular do trilho tem um raio R = 
14,0 cm e a bola tem um raio r ≪ R. (a) Quanto 
vale h se a bola está na iminência de perder contato com o trilho quando chega ao ponto mais alto da parte 
curva do trilho? Se a bola é liberada a uma altura h = 6,00R, qual é (b) o módulo e (c) qual é a orientação da 
componente horizontal da força que age sobre a bola no ponto Q? 
 
C) 
 
 
 
 
 
 11) Na notação dos vetores unitários, qual é o torque resultante em relação à origem a que está submetida 
uma pulga localizada nas coordenadas (0; −4,0 m; 5,0 m) quando as forças F1 = (3,0 N)k e F2 = (–2,0 N)j agem 
sobre a pulga? Resp.: (- 2,0 N.m)i. 
 
 
(−4𝑥3 − 5𝑥[−2]) + (5𝑥0 − 0𝑥3) + (0𝑥(−2) − (−4)𝑥0) = (−2 N. m)Î 
 
12) Uma ameixa está localizada nas coordenadas (−2,0 m; 0; 4,0 m). Na notação dos vetores unitários, qual é o 
torque em relação à origem a que está submetida a ameixa se esse torque se deve a uma força cuja única 
componente é (a) Fx = 6,0 N, (b) Fx = − 6,0 N, (c) Fz = 6,0 N, (d) Fz = − 6,0 N? 
 
 
 
A) (−0𝑥0 − 4𝑥0) + (4𝑥6 − (−2)𝑥0) + (−2𝑥0 − (0)𝑥6) = (24 N. m)J 
𝑂 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 é 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 
 
 
 
13) Na notação dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetida uma partícula 
localizada nas coordenadas (0; −4,0 m; 3,0 m) se esse torque se deve (a) a uma força F1 de componentes F1x = 
2,0 N, F1y = F1z = 0, e (b) a uma força F2 de componentes F2x = 0, F2y = 2,0 N, F2z = 4,0 N? 
 a) 
 
 
 e 
 
 b) fazer a mesma coisa 
 
14) Uma partícula se move em um sistema de coordenadas xyz sob a ação de uma força. Quando o vetor 
posição da partícula é r = (2,00 m)i – (3,00 m)j + (2,00 m)k a força é F = Fxi + (7,00 N)j – (6,00 N)k e o torque 
correspondente em relação à origem é τ = (4,00 N·m)i + (2,00 N·m)j – (1,00 N·m)k. Determine Fx. 
 
 
 
 
 
15) A força F = (2,0 N)i – (3,0 N)k age sobre uma pedra cujo vetor posição é r = (0,50 m)j – (2,0 m)k em relação à 
origem. Em termos dos vetores unitários,qual é o torque resultante a que a pedra está submetida (a) em 
relação à origem e (b) em relação ao ponto (2,0 m; 0; − 3,0 m)? 
a) 
 
b) 
 
16) Na notação dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetido um vidro de 
pimenta localizado nas coordenadas (3,0 m; −2,0 m; 4,0 m) (a) devido à força F1 = (3,0 N)i – (4,0 N)j + (5,0 N)k, 
(b) devido à força F2 = (3,0 N)i – (4,0 N)j – (5,0 N)k e (c) devido à soma vetorial de F1 e F2? (d) Repita o item (c) 
para o torque em relação ao ponto de coordenadas (3,0 m; 2,0 m; 4,0 m). 
a) 
 
b)mesma coisa da letra “a” 
c) 
 
d) 
 
 
17) A força F = (–8,0 N)i + (6,0 N)j age sobre uma partícula cujo vetor posição é r = (3,0 m)i + (4,0 m)j. (a) Qual é 
o torque em relação à origem a que está submetida a partícula, em termos dos vetores unitários? (b) Qual é o 
ângulo entre r e F? 
a) 
 
b) ∅ = sinିଵ ቀ ்
௥ி
ቁ 
 
 
18) Uma bola homogenea, de massa M = 6,00 kg e raio R, rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma 
rampa inclinada de angulo θ = 30,0o (Figura). (a) A bola desce uma distancia vertical h = 1,20 m para chegar a 
base da rampa. Qual e a velocidade da bola ao chegar a base da rampa? (b) Quais sao o modulo e a orientacao 
da forca de atrito que age sobre a bola quando a bola desce a rampa rolando suavemente? 
Resp.: a) 4,10 m/s; b) 8,4 N. 
a) 𝐹𝑚𝑓 = 𝐹𝑚𝑖 
1
2
𝐼𝑒𝑚𝑤ଶ +
1
2
𝑚𝑣ଶ𝑒𝑚 + 𝑚𝑔ℎ =
1
2
𝐼𝑒𝑚𝑤ଶ +
1
2
𝑚𝑣ଶ𝑒𝑚 + 𝑚𝑔ℎ 
1
2
𝐼𝑒𝑚𝑤ଶ +
1
2
𝑚𝑣𝑒𝑚ଶ + 0 = 0 + 0 + 𝑚𝑔ℎ 
1
2 ቆ
2
5
𝑀𝑅ଶ
𝑣𝑒𝑚ଶ
𝑅ଶ ቇ
+
1
2
𝑚𝑣𝑒𝑚ଶ = 𝑚𝑔ℎ 
1
2
𝑣𝑒𝑚ଶ +
1
2
𝑣𝑒𝑚ଶ = 𝑔ℎ 
2 + 5
10
𝑣𝑒𝑚ଶ =
10𝑔ℎ
10
 
7𝑣𝑒𝑚ଶ = 10𝑔ℎ −→ 𝑣𝑒𝑚 = ටଵ଴
଻
𝑥9,8𝑥1,2 =4,10m/s 
 
b) 𝑎𝑒𝑚 = (− ௚ ୱ୧୬ ∅)
ଵାቀ ಺೐೘
ಾೃమ
ቁ
= − ଽ,଼ ୱ୧୬ ଷ଴
ଵାቆ
మ
ఱಾೃ
మ
ಾೃమ ቇ
= − ସ,ଽ
ଵାమఱ
= − ସ,ଽఱశమ
ఱ
= − ସ,ଽళ
ఱ
= − ସ,ଽ
ଵ,ସ
= −3,5m/s² 
𝐹𝑠 = −𝐼𝑒𝑚 𝑥 ௔௘௠
ோమ
= −
మ
ఱெோ
మ௫(ିଷ,ହ)
ோమ
= − ଶ
ହ
𝑥6𝑥(−3,5) = 8,4𝑁 
 
 
19) Na Figura a, tres forcas, todas de modulo 2,0 N, agem sobre uma particula. A particula esta no plano xy, em 
um ponto A, dado por um vetor posicao tal que r = 3,0 m e θ = 30o. Qual e o torque, em relacao a origem O, 
produzido por cada uma das tres forcas? 
 
𝜏₃ = 𝑟𝑥𝐹₃𝑥 sin 𝜃 = 3𝑥2𝑥 sin 90 = 6𝑁𝑚 
 
𝜏₁ = 𝑟𝑥𝐹₁𝑥 sin 𝜃 = 3𝑥2𝑥 sin 150 = 3𝑁𝑚 
 
𝜏₂ = 𝑟𝑥𝐹₂𝑥 sin 𝜃 = 3𝑥2𝑥 sin(90 + 30) = 5,2𝑁𝑚 
 
 
 
 
 
 
21) No instante da Figura, uma partícula P de 2,0 kg tem um vetor posição r de módulo 3,0 m e ângulo ?1 = 45° 
e uma velocidade v de módulo 4,0 m/s e ângulo ?2 = 30°. A força F, de módulo 2,0 N e ângulo ?3 = 30°, age 
sobre P. Os três vetores estão no plano xy. Determine, em relação à origem, (a) o módulo e (b) a orientação do 
momento angular de P e (c) o módulo e (d) a orientação do torque que age sobre P. 
 
a) 
 
b) Aponta para o eixo Z 
 
c) 
 
d) Aponta para o eixo Z 
 
 
22) Em certo instante, a força F = 4,0j N age sobre um objeto de 0,25 kg cujo vetor posição é r = (2,0i – 2,0k) e 
cujo vetor velocidade é v = (–5,0i + 5,0k) m/s. Em relação à origem e na notação dos vetores unitários, 
determine (a) o momento angular do objeto e (b) o torque que age sobre o objeto. Resp.: a) 0; b) (8,0 N.m)i + 
(8,0 N.m)k. 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
23) Um objeto de 2,0 kg, que se comporta como uma partícula, se move em um plano com componentes de 
velocidade vx = 30 m/s e vy = 60 m/s ao passar por um ponto de coordenadas (3,0; -4,0) m. Nesse instante, na 
notação dos vetores unitários, qual é o momento angular do objeto em relação (a) à origem e (b) ao ponto (-
2,0; -2,0) m? Resp.: a) (6,0 × 102 kg . m2/s)k; b) (7,2 × 102 kg . m2/s)k. 
 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
24) No instante da Figura, duas partículas se movem em um plano xy. A partícula P1 tem massa de 6,5 kg e 
velocidade v1 = 2,2 m/s e está a uma distância d1 = 1,5 m do ponto O. A partícula P2 tem massa de 3,1 kg e 
velocidade v2 = 3,6 m/s e está a uma distância d2 = 2,8 m do ponto O. (a) Qual é o módulo e (b) qual é a 
orientação do momento angular resultante das duas partículas em relação ao ponto O? 
 
a) 
 
 
 
b) Aponta para o eixo Z, positivo. 
 
 
 
25) Uma partícula sofre a ação de dois torques em relação à origem: t1 tem um módulo de 2,0 N·m e aponta no 
sentido positivo do eixo x; t2 tem um módulo de 4,0 N·m e aponta no sentido negativo do eixo y. Determine 
dl/dt, em que l é o momento angular da partícula em relação à origem, em termos dos vetores unitários, o seu 
módulo e sua direção. Resp.: a) (8,0 N.m)i + (8,0 N.m)j ; 4,5 N.m; - 63º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26) No instante t = 0, uma partícula de 3,0 kg com uma velocidade v = (5,0 m/s)i – (6,0 m/s)j está passando pelo 
ponto x = 3,0 m, y = 8,0 m. A partícula é puxada por uma força de 7,0 N no sentido negativo do eixo x. 
Determine, em relação à origem, (a) o momento angular da partícula, (b) o torque que age sobre a partícula e 
(c) a taxa com a qual o momento angular está variando. Resp.: a) (- 174 kg . m2/s)k; b) (56 kg . m2/s)k; c) eixo z 
+. 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 𝜏 = ቀడ௟
డ௧
ቁ = 56 kgm²/s²,