04 AULA - ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

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UNICID - UNIVERSIDADE CIDADE DE SÃO PAULO
AULA – 4
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Prof. José Félix Drigo
2ºSem - 2019
Estruturas Hiperestáticas ou estruturas estaticamente 
indeterminadas são aquelas com maior número de reações 
de apoio que o necessário para a estabilidade estática.
Portanto, somente as equações de equilíbrio não são 
suficientes para determinar as reações e forças internas 
dessas estruturas. Dessa forma, precisam de equações 
adicionais que são formadas com base na geometria das 
deformações das estruturas.
• Observa-se:
4 Reações de Apoio: Va, Vb, Ha e Hb.
3 Equações de Equilíbrio: ∑Fh= 0, ∑Fv= 0 e ∑M = 0
As relações adicionais, chamadas de “condições de
compatibilidade”, garantem a continuidade dos
deslocamentos por toda a estrutura e que toda as partes da
estrutura se encaixem, portanto, em um nó rígido, as flechas
e rotações de todos os elementos que estão vinculados a ele
devem ser as mesmas.
Assim, a análise de uma estrutura hiperestática envolve
dimensões e disposições dos elementos da estrutura, as
propriedades dos materiais e a seção transversal (área da
seção, momentos de inércia, módulos de elasticidade etc.).
O processo de análise é conduzido de maneira iterativa,
iniciando pela presunção do tamanho dos elementos
estruturais e, obtendo as forças internas, elas são
utilizadas para revisar o tamanho dos elementos.
Verificando-se que os tamanhos não estão próximo dos
valores iniciais, a estrutura é analisada novamente. A
iteração continua até que os tamanhos dos elementos,
com base no resultado da análise, cheguem próximos
dos valores adotados.
GRAU DE HIPERESTATIDADE
O grau de hiperestaticidade ou de determinação estática de uma
estrutura é a diferença entre o nº. de esforços incógnitos e o nº. de
equações de equilíbrio da Estática aplicáveis, isto é, o nº. de
equações complementares necessárias ao cálculo de todos os
esforços.
Ele é igual ao nº. de reações que podem ser suprimidas,
de forma que a estrutura se torne isostática.
Daí se deduz que uma estrutura isostática terá um grau
de hiperestaticidade igual à zero.
De um modo geral, pode ser calculado pela diferença 
entre o número de esforços incógnitos (o número de 
reações de apoio somado ao número de esforços internos 
em todos os elementos da estrutura) e o número de 
equações de equilíbrio da Estática, escritas com base 
na aplicação do Método das Seções, isolando cada um 
dos seus nós.
G = r + ∑ im − ∑en − nr 
r + ∑ im = Nº. de incógnitas
∑ en − nr = Nº. de equações
Onde:
r - número de reações de apoio;
i - número de esforços internos na seção do elemento;
m -número de membros ou de elementos da estrutura;
e - número de equações de equilíbrio aplicáveis a cada nó da 
estrutura;
n - número de nós da estrutura;
nr -número de equações de equilíbrio adicionais, devido às seções 
rotuladas.
GRAU DE HIPERESTATICIDADE (G)
MÉTODO DE CÁLCULO
No séc. XIX muitos métodos para analisar estruturas
hiperestáticas foram desenvolvidos, os quais foram classificados
em dois grupos: Métodos das Forças (dos esforços, direto ou
flexibilidade) e Métodos dos Deslocamentos (indireto ou da
rigidez), que dependem do tipo de incógnita envolvida na solução
das equações de controle.
A análise das estruturas envolvem três relações fundamentais:
- as equações de equilíbrio,
- as condições de compatibilidade e
- as relações entre força-deformação do elemento.
Os Método dos Deslocamentos são mais sistemáticos, podem ser
facilmente implantados nos computadores e, portanto, os
preferidos para análise de estruturas grandes e altamente
hiperestáticas.
Os Métodos das Forças, em geral, são convenientes para calcular
pequenas estruturas com alguns hiperestáticos, poucos elementos
ou reações excedentes necessários para a estabilidade estática.
Também são usados para obter as relações força-deformação do
elemento, necessárias para se desenvolver os métodos dos
deslocamentos.
Nas estruturas hiperestáticas as equações de equilíbrio devem ser
suplementadas pelas condições de compatibilidade com base na
geometria da deformação da estrutura.
ESTUDO DE VIGAS CONTÍNUAS
SOLUÇÃO: Criar relações entre o carregamento e a deformação:
-Método das Forças
-Método das Deformações
nº Reações > nº Equações 
G = Redundância Excesso de reações
Hipótese Preliminar:
Quando as cargas são todas transversais e não há deformações 
axiais, as reações das vigas contínuas são todas cortantes.
Eliminação do Apoio Central
Viga hiperestática: 
Nº incógnitas > Nº Eq. Estática 
A 3ª equação é montada a partir do seguinte modelo:
-Supõe-se a eliminação do apoio central; 
-Calcula-se a deformação que a viga, 
agora isostática (estrutura primária: 
eliminação das redundantes), teria 
no ponto em que o apoio existia; 
-Supõe-se a aplicação de uma força de 
baixo para cima que anulasse a 
deformação no ponto em que ocorre o 
apoio na viga real; 
-Determinada a força, define-se a reação 
que ocorre no apoio inicialmente 
eliminado, restando apenas duas outras 
reações, que podem ser determinadas pelas 
equações da estática.
Portanto: 
-Supõe-se a aplicação de uma força de 
baixo para cima que anulasse a 
deformação no ponto em que ocorre o 
apoio na viga real; 
-Determinada a força, define-se a reação 
que ocorre no apoio inicialmente 
eliminado, restando apenas duas outras 
reações, que podem ser determinadas pelas 
equações da estática.
Portanto: 
Quanto maior o número de 
incógnitas, mais complexas 
se tornam essas equações →
solução do sistema exige o 
uso de cálculo matricial.
Estruturas hiperestáticas:
V
M1 M21 M23 M3
SP – Método Direto:
SP – Método Indireto:
MÉTODOS DE CÁLCULO