Teoria de Controle

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Teoria de Controle
Helio Voltolini
Conteúdo programático
• Introdução aos sistemas de controle;
• Modelagem matemática de sistemas dinâmicos;
• Resposta transitória de sistemas de controle;
• Estabilidade dos sistemas de controle;
• Método do lugar das raízes;• Método do lugar das raízes;
• Resposta em frequência;
• Análise e projeto por Nyquist;
• Controladores P, PI e PID;
• Análise de sistemas mediante variáveis de estado.
Introdução aos sistemas de controle
• O primeiro trabalho significativo em controle automático foi o de James
Watt (1736-1819, nasceu na cidade Greenok na Escócia) que construiu, no
século XVIII, um controlador centrífugo para o controle de velocidade de
uma máquina a vapor.
Definições básicas
• Planta: Qualquer objeto físico a ser controlado (como um componente
mecânico, um forno, um reator químico, etc)
• Processo: Toda operação a ser controlada. Ex: processos químicos,
econômicos e biológicos.
• Sistema: É a combinação de componentes que agem em conjunto para
atingir um determinado objetivo. Ex: sistemas físicos, biológicos, etc.
• Controle com Retroação (Realimentação): Se refere a uma operação que,
na presença de distúrbios, tende a reduzir a diferença entre o sinal de
saída e o sinal de referência, e que opera com base nesta diferença.
Definições Básicas
• Variável controlada ou variável de processo (PV) - É a variável que se 
deseja controlar, ou seja, é a saída do processo.
• Variável de controle ou variável manipulada (MV) – é a variável que atua 
na entrada do processo, ou seja, é própria entrada do processo.
• SP – (Setpoint) – É o valor de referência definido na entrada do Sistema de 
Controle. Esse valor é usado para comparar com o valor medido e resulta 
no erro.
• Erro – É a diferença entre o valor de referência, ou setpoint, e a Variável 
Controlada (Erro = SP – PV). Esse valor é enviado ao elemento de controle.
Exemplo de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
• Máquina elétrica
• Usina Termoelétrica
• Circuito RC
Exemplo de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
• Sistema de aquecimento
Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
• Sistema de controle de velocidade de um motor de combustão interna 
baseado no regulador de Watt
Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
• Sistema de controle de robôs
Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
• Sistema de controle de Temperatura
Exemplos de Sistemas de Controle (identifique as
variáveis controladas e manipuladas de cada sistema)
• Sistema de controle de Nível
Sistema em malha aberta.
• Sem realimentação;
• A entrada não é modificada de forma a seguir as alterações
nas condições de operações.
• Se houver mudança nas condições ambientais (um distúrbio)
não tem como compensar a saída (uma porta ou janela que senão tem como compensar a saída (uma porta ou janela que se
abre em um ambiente com temperatura controlada, por
exemplo).
Controle em Malha Fechada 
• Possui realimentação;
• Um sinal da saída é utilizado para modificar o sinal do erro, de
tal modo que a saída siga o valor de referência, mesmo com
modificações de operação;
• O sistema tem a precisão aumentada, com rejeição a• O sistema tem a precisão aumentada, com rejeição a
perturbações externas e é estável.
Comparação entre um sistema em malha e em
malha fechada
• Considere um motor cc representado apenas por um ganho. Isto significa
que toda a dinâmica do sistema é desprezada.
• O conjunto motor + carga é representado por um ganho Kmotor= 10 rpm/Volt
• Seja também uma perturbação de carga. O aumento de 1 N.m de carga • Seja também uma perturbação de carga. O aumento de 1 N.m de carga 
provoque uma diminuição de 2 rpm.
Comparação entre um sistema em malha e em
malha fechada
• O diagrama representando os dados apresentados está mostrado abaixo.
• Considere o sistema em malha aberta como apresentado a seguir. Este
diagrama apresenta também um controlador com ganho 1/10 para que a
saída (sem perturbação) tenha o mesmo valor que a entrada.
Comparação entre um sistema em malha e em
malha fechada
• Para d=0
• Para uma velocidade de referência de, por exemplo, 1000 rpm, tem-se 
exatamente o mesmo valor de saída. 
• Considera-se agora o caso de um aumento de carga tal que d = 100 Nm. 
1 10
10 ref ref
ω ω ω ω= × → =
• Considera-se agora o caso de um aumento de carga tal que d = 100 Nm. 
Um simples cálculo mostra que o valor final da velocidade é 800 rpm
Comparação entre um sistema em malha e em
malha fechada
• Considera-se agora o sistema em malha fechada, como mostrado abaixo.
• Inicialmente com d = 0 
• Para ωref = 1000 rpm, tem-se que ω = 999,5002 rpm
( )200 10 refω ω ω= × −
2000
2001 ref
ω ω=
Comparação entre um sistema em malha e em
malha fechada
• Considera-se agora o caso com a perturbação.
• O valor da saída é: 
ou
• Para ωref = 1000 rpm e d = 100 Nm:
• Para o caso da malha aberta o valor de saída era de 800 rpm
( )200 10 2ref dω ω ω= × − −
2000 1
2001 2001ref
dω ω= −
999,45 rpmω =
Comparação entre um sistema em malha e em
malha fechada
• Vamos considerar agora uma variação paramétrica, ou seja, vamos supor
que um parâmetro, no caso o ganho do processo com valor de 10, tem
uma variação de -20%, passando para 8. Esta variação pode ser devida a
um desgaste de componentes com o tempo, a variação com temperatura,
ou simplesmente devido ao fato de que o parâmetro não foi precisamente
determinado.determinado.
• Para d = 0 e para d = 100 Nm, calcule o valor da saída se ωref = 1000 rpm .
Modelagem matemática de sistemas dinâmicos
• Sistema linear – Um sistema é linear se a ele se aplica o principio da
superposição, isto é, a resposta produzida pela aplicação simultânea de
duas entradas diferentes é igual a resposta produzida pela soma das
resposta de cada entrada individual.
• Sistema Linear Invariante no Tempo – são sistemas descritos por• Sistema Linear Invariante no Tempo – são sistemas descritos por
equações diferenciais com coeficientes constantes ou funções apenas da
variável independente:
Modelagem matemática de sistemas dinâmicos
• Sistema não Linear – Em um sistema não linear não se aplica o principio
da superposição. Assim, a resposta a duas entradas não pode ser
calculada tratando-se uma entrada de cada vez e adicionando-se os
resultados.
Função de Transferência (FT)
• Relaciona entradas-saídas de componentes ou sistemas que
podem ser descritos por equações diferenciais lineares
invariantes no tempo
• É definida como a relação entre a transformada de Laplace do
sinal de saída e a transformada de Laplace do sinal desinal de saída e a transformada de Laplace do sinal de
entrada, na hipótese de que todas as condições iniciais são
nulas.
Função de Transferência (FT)
• Seja um sistema linear invariante no tempo definido pela
seguinte equação diferencial.
.
( )( ) ( 1) ( ) ( 1). .0 1 1 0 1 1... ... 
− −
− −
+ + + + = + + + + ≥
n n m m
n n m ma y a y a y a y b x b x b x b x n m
onde y é o sinal de saída e x é o sinal de entrada.
Na hipótese de todas as condições iniciais nulas:
[ ]
[ ]
com condições iniciais nulas
de ( )= = Laplace saídaFunção transferência G s
Laplace entrada
 
1
0 1 1
1
0 1 1
...( )
...
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
m m
m m
n n
n nb s b s b s bG s
a s a s a s a
Função de Transferência (FT)
• Exemplo: Determine a Função de Transferência em s do 
sistema abaixo:
• Solução:
1
 
1
 ou 
i
o
o
e Ri i dt
C
de
e i dt i C
C dt

= +


= =

∫
∫
o
i o
de
e RC e
dt

= +

o
o i
deRC e e
dt

+ =

 ( ) ( ) ( )
o o iRC sE s E s E s+ =
Aplicando Laplace:
Solução:
 ( )( 1) ( )
( ) 1
( ) s+1
o i
o
i
E s RC s E s
ou
E s
E s RC

 + =



 =
 ( ) s+1iE s RC
 Fazendo RC τ=
( ) 1
( ) s+1
o
i
E s
E s τ
= Função de transferência em s do circuito RC
Propriedades da Função de Transferência (FT)
• Uma função matemática que expressa a equação diferencial
que relaciona a variável de saída à variável de entrada;
• É uma propriedade do sistema, independe da entrada;
• Relaciona o sinal de entrada ao de saída, no entanto, não
fornece qualquer informação concernente à estrutura físicafornece qualquer informação concernente à estrutura física
do sistema;
• Se a FT de um sistema é conhecida, a saída ou resposta do
sistema pode ser estudada para varias formas de entradas;
• Se a FT de um sistema é desconhecida, ela pode ser
estabelecida experimentalmente introduzindo-se sinais de
entradas conhecidos e estudando-se o sinal de saída.
DIAGRAMA DE BLOCOS
• O diagrama de bloco é uma representação das funções desempenhadas 
por cada um dos componentes e do fluxo de sinais de um sistema.
• PONTO DE SOMA é um circulo indicando uma operação de soma.
• PONTO DE DERIVAÇAO é um ponto a partir do qual o sinal proveniente de 
um bloco vai simultaneamente para outros blocos ou ponto de soma.
DIAGRAMA DE BLOCOS
• Diagrama de Blocos de um sistema a malha fechada:
• Função de Transferência a malha aberta: é a relação entre o sinal de
retroação B(s) e o sinal de erro E(s) atuante:
( ) ( ) ( )( ) 
B sFT a malha aberta G s H s
E s
= =
DIAGRAMA DE BLOCOS
• FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE AÇÃO DIRETA: é a relação entre o sinal de
saída C(s) e o sinal de erro E(s) atuante:
( ) ( )( )
C sFT de ação direta G s
E s
= =
• FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A MALHA FECHADA – é a relação entre o
sinal de saída C(s) e o sinal de entrada R(s).
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
C s G s E s
e
E s R s B s
E s R s H s C s
=
= −
= −
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )
C s G s R s H s C s
C s G s R s G s H s C s
C s G s H s G s R s
= −
= −
+ =
( ) ( )
( ) 1 ( ) ( )
C s G s
R s G s H s
=
+
DIAGRAMA DE BLOCOS
• SISTEMA A MALHA FECHADA SUJEITO A UMA PERTURBAÇAO:
• Se o sistema é linear, a saída C(s) pode ser calculada devido a cada entrada
individualmente e adicionando-as no final.
DIAGRAMA DE BLOCOS
• Cálculo da FT devido a entrada R(s) com D(s) = 0
1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) ( )
RC s G s G s
R s G s G s H s
=
+
1 2( ) ( )( ) ( )R
G s G sC s R s=
+
• Cálculo da FT devido a entrada D(s) com R(s) = 0
• Cálculo da FT devido a aplica simultânea dos sinais R(s) e D(s)
2
1 2
( )( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )D
G sC s D s
G s G s H s
=
+
1 2
( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )RC s R sG s G s H s= +
( ) ( ) ( )R DC s C s C s= + [ ]2 1
1 2
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )
G sC s G s R s D s
G s G s H s
= +
+
DIAGRAMA DE BLOCOS
• Procedimentos para a construção de diagramas de blocos – Descrevem-se
as equações do comportamento dinâmico da cada componente. Obtém-
se, em seguida, a transformada de Laplace destas equações, supondo
condições iniciais nulas. Finalmente, reúnem-se os elementos em um
diagrama de bloco completo
• Exemplo: Considere o circuito RC série:• Exemplo: Considere o circuito RC série:
( ) ( )i o i oe e E s E si I(s)=
R R
− −
= →
1 ( )
o
I s
e idt Eo(s)=
C Cs
= →∫
Exemplo – construção de diagramas de blocos 
(cont.)
( ) ( )i o i oe e E s E si I(s)=
R R
− −
= →
1 ( )I s
• Diagrama de blocos representando o circuito RC série
1 ( )
o o
I s
e idt E (s)=
C Cs
= →∫
Exercícios
1. A partir do diagrama de blocos abaixo, obter a FT do circuito RC série.
2. Obter a FT do sistema a malha fechada com realimentação positiva
mostrado a seguir:
Exercícios
3. Obter a FT do circuito RC série.
4. Obter o diagrama de blocos em malha fechada que representa o circuito
RC do exercício anterior
Redução de diagrama de blocos
Redução de diagrama de blocos
• Exemplo - Simplificar o diagrama blocos mostrado abaixo:
Exercícios
• Simplifique os seguintes diagramas de blocos: 
(a) (b)
(c)
Modelagem de sistemas mecânicos
• Seja um sistema massa-mola-amortecedor:
Somatório de forças aplicadas à massa F kx cv= − −
Onde:
-F é a força aplicada à massa;
-k é a constante elástica da mola;
-c é a constante do amortecedor;
• Pela 2ª Lei de Newton:
Portanto: Como:
»
-c é a constante do amortecedor;
-v é a velocidade do pistão do amortecedor;
-x é deslocamento da massa.
2
2
d xSomatório de forças aplicadas à massa ma m
dt
= =
2
2
d x
m F kx cv
dt
= − −
dx
v
dt
=
2
2
d x dx
m c kx F
dt dt
+ + = Descreve a relação entre a entrada F e a saída x.
Modelagem de sistemas mecânicos
• Pela 2ª Lei de Newton:
Portanto: Como:
2
2
d xSomatório de forças aplicadas à massa ma m
dt
= =
2d x
m F kx cv= − − dxv =Portanto: Como:2
d x
m F kx cv
dt
= − −
dx
v
dt
=
2
2
d x dx
m c kx F
dt dt
+ + = Descreve a relação entre a entrada F e a saída x.
Modelagem de sistemas mecânicos
• Equação diferencial que descreve o comportamento do sistema massa-
mola-amortecedor:
2
2
d x dx
m c kx F
dt dt
+ + =
2( ) ( )X s ms cs k F s + + =  2
( ) 1
( )
X s
F s ms cs k
=
+ +( )F s ms cs k+ +
2
1
ms cs k+ +
( )X s( )F s
Modelagem de sistemas mecânicos
• Na ausência de amortecimento, a massa m oscilará com um freqüência 
angular natural ωωωωn dada por:
• Para o movimento amortecido, uma razão de amortecimento ζζζζ (zeta) é 
usada para definir a extensão do amortecimento:
( )/n k m rad/sω =
usada para definir a extensão do amortecimento:
2
c
mk
ζ =
Modelagem de sistemas mecânicos
• A equação diferencial torna-se:
2
2 2
1 2
n n
d x dx F
x
dt dt k
ζ
ω ω
+ + =
2d x dx Fζω ω ω+ + =
• Em Laplace
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 22 nn n
F s
s X s sX s X s
k
ωζω ω+ + =
2
2 2
2 2 n n n
d x dx F
x
dt dt k
ζω ω ω+ + =
( )
( )
2
2 2
1
2
n
n n
X s
F s k s s
ω
ζω ω= + +
Modelagem de sistemas mecânicos
2
2 2
1
2
n
k s s
ω
ζω ω+ +
• O sistema massa-mola-amortecedor pode ser representado da seguinte 
forma:
( )X s( )F s
2 22 n nk s sζω ω+ +
Modelagem de sistemas elétricos
• Os blocos básicos de sistemas elétricos passivos são os resistores, 
indutores e capacitores considerando os princípios básicos.
• Para o resistor: 
v Ri= vi R=
2P Ri=
• Para o indutor:
• Para o capacitor:
v Ri= i R=
di
v L
dt
=
1i vdt
L
= ∫
1
v idt
C
= ∫
dvi C
dt
=
P Ri=
21
2
E Li=
21
2
E Cv=
Modelagem de sistemas elétricos
• As equações que descrevem cada componente devem ser combinadas 
utilizando as Leis de Kirchoff.
• Exemplo: Seja o circuito abaixo, onde ei é a entrada e eo é a saída do 
sistema.
• Em Laplace
Modelagem de sistemas elétricos
• Funções de Transferência de elementos em cascata com carregamento:
• Em Laplace
Modelagem de sistemas elétricos
• Sistema formado por elementos em cascata sem carregamento:
• Funções deTransferência de elementos em cascata sem carregamento
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Resistência e Capacitância de sistemas de Nível de Liquido:
• A resistencia R ao fluxo de liquido na válvula de carga é:
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• A relação entre vazão e a diferença de nível difere no escoamento laminar
e no escoamento turbulento.
• Fluxo laminar Número de Reynolds menor que 2000
• Sistemas que apresentam fluxo laminar podem ser representados por
equações diferencias lineares.equações diferencias lineares.
• Fluxo Turbulento Número de Reynolds maior que 3000-4000
• Sistemas que apresentam fluxo Turbulento devem ser representados por 
equações diferenciais não lineares.
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Para escoamento Laminar:
Onde:
• A resistência no escoamento laminar é :
• A resistência no escoamento laminar é constante e é análoga à resistência 
elétrica.
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Para escoamento Turbulento:
Onde:
• A resistência no escoamento Turbulento é:
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• A relação entre Q e H pode ser dada por:
• A resistência pode ser determinada pela inclinação da curva no ponto de 
operação
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Capacitância:
A capacitância C de um reservatório é definida sendo a variação da
quantidade de liquido armazenado necessária par causar a variação
unitária no potencial (altura do nível do liquido).
• Deve-se notar que a capacidade (m3) e capacitância (m2) são grandezas
diferentes. A capacitância de um reservatório é igual à área de sua seção
reta. Se esta for constante, a capacitância é constante para qualquer altura
de liquido.
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Seja o sistema abaixo. As variáveis dão definidas com se segue:
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Uma vez que a vazão de entrada menos a vazão de saída, durante um 
pequeno intervalo de tempo dt, é igual à quantidade adicional 
armazenada no reservatório:
• Sendo:• Sendo:
• Seja :
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Seja o sistema de nível de liquido com iteração mostrado abaixo:
• Sendo:
• Seja :
Modelagem de sistemas de Nível de Líquido
• Admitindo a vazão q como grandeza de entrada e q2 como variável de
saída, a função de transferência do sistema é:
• Seja :
Exemplo:
No sistema de nível da figura abaixo, admita-se que a vazão Q m3/s através
da válvula de saída se relaciona com o valor da coluna H por intermédio da
expressão:
Admita-se, também que para uma vazão de entrada Qi constante e igual a
0,015 m3/s o valor da coluna H se mantenha constante. No instante t = 0 a
válvula da entrada é fechada de modo que a vazão de entrada seja nula
0,01Q K H H= =
válvula da entrada é fechada de modo que a vazão de entrada seja nula
para t ≥ 0. Determinar o tempo necessário para esvaziar o reservatório ate
que o valor da coluna seja metade do valor inicial. A capacitância C do
reservatório é de 2 m2.
Modelagem de sistemas térmicos
• Seja o sistema térmico:
• Para transferência de calor por condução ou convecção:
• Onde:
Modelagem de sistemas térmicos
• Resistência Térmica para transferência de calor entre duas substancias:
• A resistência Térmica para transferência de calor por condução ou 
convecção:convecção:
Modelagem de sistemas térmicos
• A Capacitancia Térmica: é uma medida do armazenamento da energia 
interna do sistema, é definida por:
• Ou:• Ou:
• Onde: m é a massa da substancia considerada, kg;
• C é o calor especifico da substancia, kcal/kg oC
Modelagem de sistemas térmicos
Modelagem de sistemas térmicos
Modelagem de sistemas térmicos
Modelagem de sistemas térmicos
Diagrama de blocos de um sistema térmico