A Equação de Torricelli

Prévia do material em texto

Física 
 
 
 
 
A EQUAÇÃO DE TORRICELLI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
 
1. A Equação de Torricelli ......................................................................................................... 2 
1.1. Conceito da Equação de Torricelli ............................................................................... 2 
1.2. Gráfico da Equação de Torricelli .................................................................................. 5 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Nesta apostila veremos uma nova análise do movimento uniformemente 
variado, que até agora foi observado apenas em função do tempo. 
A equação de Torricelli nos dá um novo olhar sobre o MUV, onde vamos 
observar o movimento relacionando a velocidade e a posição. 
Desse modo teremos o estudo a fundo dessas equações que são usadas com 
tanta frequência no tratamento do movimento uniformemente variado. 
Objetivo 
• Conhecer o conceito da Equação de Torricelli. 
• Analisar a velocidade em função da posição. 
 
1. A Equação de Torricelli 
1.1. Conceito da Equação de Torricelli 
Utilizada para calcular problemas da cinemática, a equação de Torricelli foi 
criada por Evangelista Torricelli. Nela podemos calcular a velocidade final de uma 
partícula em um movimento retilíneo uniformemente variado (sob aceleração 
constante). A equação de Torricelli, como poderemos ver, foi deduzida por meio das 
funções horárias do movimento uniformemente variado, já estudadas. Veja a seguir. 
Sendo a função horária da velocidade: 
0v v at= + 
E a função horária da posição: 
2
0 0( )
2
at
s t s v t= + +
 
Isolando o tempo na função horária da velocidade temos: 
0v vt
a
−
=
 
 
 
 
3 
 
Substituímos essa equação na função horária da posição: 
2
0 0
0 0
2
v v a v v
s s v
a a
− −   
= + +   
   
 
2 2
0 0 0
0 2
. ( )
2
v v v a v v
s s
a a a
−
= + − +
 
2 2
20 0 0
0 0
. 1 ( ) 2
2
v v v vv v
s s v
a a
+
− = − +
 
2 2
0 0 0 0. ( ) 2
2
v v v v vv v
s
a a a
− +
 = − +
 
2 2
0 0 0 02 2 2 2a s vv v v vv v = − + − +
 
2 2 2
0 0 02 2 2a s v v vv v = − + − +
 
2 2
02a s v v = −
 
Isolando a velocidade final temos a Equação de Torricelli: 
2
0 2v v a s= + 
 
Onde: 
 
v→
 velocidade final 
0v →
 velocidade inicial 
a→
 aceleração 
s →
 variação da posição 
 
Esta função foi deduzida a partir das funções horárias do MUV, dessa forma 
podemos usá-la em sua análise. 
Essa observação da partícula será diferente, pois não faremos mais em 
função do tempo, e sim analisaremos a velocidade em função da posição. 
A equação de Torricelli nos permite observar o comportamento da velocidade 
em diferentes posições. Podemos fazer essa análise ponto a ponto do movimento, 
pois a cada posição teremos uma velocidade correspondente. 
 
4 
 
1 
Uma partícula em MUV, relacionando a posição e a velocidade. 
 
Vamos fazer uma análise do movimento utilizando a equação de Torricelli. 
Para uma partícula que inicia seu movimento com velocidade igual a 5 m/s e 
com aceleração constante de
22 /m s
 , temos a seguinte equação que a descreve: 
2 2
2
5 2.2
25 4
v s
v s
= + 
= + 
 
Como fizemos nos estudos anteriores vamos definir nossos critérios de 
análise. Neste caso, vamos analisar em intervalos de posição ∆s = 1m. 
Vamos também manter 7 pontos de observação, começando em s0 = 0m. 
Vamos lá! 
Para 
2
0 0 (0) 25 4(0 0) (0) 5 /s m v v m s= → = + − → =
 
Para 
2
1 1 (1) 25 4(1 0) (1) 5,4 /s m v v m s= → = + − → =
 
Para 
2
2 2 (2) 25 4(2 0) (2) 5,7 /s m v v m s= → = + − → =
 
Para
2
3 3 (3) 25 4(3 0) (3) 6,1 /s m v v m s= → = + − → =
 
Para 
2
4 4 (4) 25 4(4 0) (4) 6,4 /s m v v m s= → = + − → =
 
Para 
2
5 5 (5) 25 4(5 0) (5) 6,7 /s m v v m s= → = + − → =
 
Para 
2
6 6 (6) 25 4(6 0) (6) 7,0 /s m v v m s= → = + − → =
 
Vemos nesta análise que para cada posição temos uma velocidade 
correspondente. Como por exemplo para a posição s = 2 m a velocidade está em 5,7 
m/s. 
São estes valores que utilizamos na construção de um gráfico de velocidade 
versus posição. A posição é nossa variável independente, por isso é representada no 
eixo das abcissas. E a velocidade é a variável dependente, logo fica no eixo da 
ordenadas em um plano cartesiano. 
 
5 
 
1.2. Gráfico da Equação de Torricelli 
A representação gráfica é a forma mais didática de compreendermos o 
comportamento de uma grandeza. E assim como fizemos para as funções horárias 
do MUV, também faremos para a equação de Torricelli. 
Os gráficos seguintes mostram o comportamento da velocidade em função 
da posição de acordo com a equação de Torricelli: 
2
0 2v v a s= + 
 
 
2 
Gráfico velocidade versus posição, para a > 0. 
 
O gráfico acima representa o comportamento da velocidade em função da 
posição para um movimento acelerado. 
 
 
3 
Gráfico velocidade versus posição, para a < 0. 
 
 
6 
 
O gráfico acima representa o comportamento da velocidade em função da 
posição para um movimento retardado. 
Com isso, vemos uma nova possibilidade de análise para o MUV. 
A equação de Torricelli é amplamente usada na resolução de problemas 
deste tipo de movimento. Devemos sempre ter atenção com as informações 
disponíveis sobre o fenômeno observado. 
Se não tivermos informações sobre o intervalo de tempo observado podemos 
usar a equação de Torricelli para estudar o movimento uniformemente variado com 
tranquilidade. 
A grande questão na resolução de problemas é ter atenção nos critérios 
definidos previamente. Dessa forma, com atenção nesses pontos, escolheremos as 
equações corretas para a solução do problema. 
 
DICA 
 
 
 
Exercícios 
1) (Uneb, 2017) Uma partícula, inicialmente a 2 m/s, é acelerada uniformemente 
e, após percorrer 8 m, alcança a velocidade de 6 m/s. Nessas condições, sua 
aceleração, em metros por segundo ao quadrado, é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Na resolução dos exercícios, sempre faça uma lista com 
todas as informações fornecidas pelo enunciado. 
Ela te ajudará a escolher a equação que se encaixa 
corretamente no problema dado. 
 
7 
 
2) (UEPI, 2017) Um corpo é abandonado de uma altura de 20 m num local 
onde a aceleração da gravidade da Terra é dada por g = 10 m/
2s
. Desprezando o 
atrito, o corpo toca o solo com velocidade: 
a) igual a 20 m/s 
b) nula 
c) igual a 10 m/s 
d) igual a 20 km/h 
e) igual a 15 m/s 
 
3) (FPS, 2016) Um automóvel percorre uma rodovia com velocidade 
inicialmente constante igual a 80 km/h. O motoristado veículo avista um radar e 
reduz sua velocidade para 60 km/h, percorrendo nesse trajeto uma distância igual a 
20 m. O módulo da desaceleração sofrida pelo automóvel nesse percurso foi de 
aproximadamente: 
a) 5,4 m/
2s
 
b) 7,5 m/
2s
 
c) 2,5 m/ 2s 
d) 11 m/ 2s 
e) 15 m/
2s
 
Como o tempo necessário para a desaceleração do motorista não foi 
fornecido, a determinação do valor da desaceleração pode ser feita pela equação de 
Torricelli. 
Gabarito 
1 - Dados: 
v0 = 2 m/s 
v = 6 m/s 
Δs = 8m 
Através da equação de Torricelli, temos: 
2 2 2 2
0 2 6 2 2. .8
36 4 16
32 16
v v a s a
a
a
= +  → = +
= +
=
 
 
8 
 
a = 2 m/ 2s A alternativa correta é a B. 
 
2 - Dados: 
h = 20 m 
g = 10 m/
2s
 
0 0v =
 (corpo abandonado do repouso) 
Através da equação de Torricelli, temos: 
2 2 2 2
0 2 0 2.10.20 400 20 /v v gh v v m s= + → = + = → =
 
A alternativa correta é a A. 
 
3 - Dados: 
V0 = 80 km/h ≈ 22,2 m/s (velocidade inicial); 
V = 60 km/h ≈ 16,7 m/s (velocidade final); 
Δs = 20 (espaço de frenagem). 
2 2 2
0
2
2 (16,7) 278.9 492.8
40 213.9 5,4 /
v v s
a a m s
= +  →  −
 − →  −
 
 
O sinal negativo para a aceleração deve-se ao fato de o valor absoluto da 
velocidade diminuir em função do tempo, o que classifica o movimento como 
retardado, em que a aceleração é negativa. 
Dessa maneira, o valor absoluto da desaceleração sofrida pelo carro é de 5.4 
m/s², alternativa A. 
Resumo 
Nesta unidade, conhecemos uma nova análise do MUV. A equação de 
Torricelli nos possibilita observar o comportamento da velocidade em função da 
posição. 
Vimos a que a origem dessa equação são as funções horárias da velocidade e 
posição no MUV. 
Além disso vimos a velocidade ponta a ponto em um movimento e 
observamos seu comportamento gráfico. 
 
9 
 
Desta maneira, estudamos a fundo essa equação que é extensamente usada 
na análise do MUV. 
 
 
10 
 
Referências bibliográficas 
Universidade Federal do Pernambuco: https://www.portal.ufpe.br/ - Acessado em: 18/02/2019 às 17h30 
Universidade Pernambucana de Saúde: https://www.fps.edu.br/ - Acessado em: 18/02/2019 às 17h30 
Universidade Estadual do Piauí: https://www.fps.edu.br/ - Acessado em: 18/02/2019 às 17h30 
Física, volume 1 (Ensino médio). Ricardo Helou Doca, Gualter José Biscuola, Newton Villas Bôas. 1.ed. São Paulo: 
Saraiva, 2010. 
Referências imagéticas 
www.thenounproject.com 
www.pexels.com