Aula13_EquacaoBernoulli (1)

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Aplicada somente para escoamento incompressível não-viscoso, é originada da equação geral da continuidade e deduzida pela integração da equação de Euler para escoamento permanente ao longo de uma linha de corrente.
Partindo-se da equação de Euler do movimento:
e considerando o eixo z com o sentido positivo orientado para cima, em oposição a g, esta equação torna-se:
onde a força da gravidade é expressa por .
	Sendo a velocidade uma função da linha de corrente e do tempo (), ou seja:
	Pode-se usar esta equação na anterior, modificando-a em termos das coordenadas das linhas de corrente:
Observando do cálculo vetorial que a projeção do gradiente em qualquer direção é a derivada direcional na direção considerada, esta equação pode ser transformada em uma equação aplicável ao longo de uma linha de corrente, tomando-se o produto escalar de cada termo pelo vetor deslocamento ds. 
Consequentemente:
	Como g é constante, pode-se integrar entre um ponto de referência O e qualquer outro ponto ao longo de uma linha de corrente, obtendo-se:
Onde B(t) é a função de Bernoulli, e é uma função arbitrária no tempo. Em qualquer instante, a função de Bernoulli é igual em todos os pontos sobre a mesma linha de corrente, embora ela possa variar de uma linha de corrente para outra. 
	Fazendo–se a integração entre dois pontos quaisquer da mesma linha de corrente, tem-se:
Esta é a Equação de Bernoulli para escoamento permanente ou não permanente de um fluido ideal ao longo de uma linha de corrente.
Escoamento permanente incompressível
No caso particular de escoamento permanente incompressível, esta equação se reduz a 
H é denominado carga total, e os termos individuais são denominados respectivamente de carga de pressão, carga de altura e carga cinética. 
Equação da Energia
	A quantidade de energia que um sistema recebe ou fornece, através de fronteiras com o ambiente, é igual a variação da energia do sistema durante qualquer transformação. Ou seja: 
O termo do calor (Q) e do trabalho de eixo (W) no membro esquerdo da equação representam a energia em trânsito. O termo da energia no membro direito da equação é proporcional à massa do sistema (E=me). 
Tratando o sistema como um volume de controle não deformável e fazendo analogia entre a equação de energia e a segunda lei de Newton, pode-se escrever a equação da energia diretamente com a forma integral da equação do movimento linear. Fazendo as devidas simplificações, a equação final resulta em (válida para escoamentos ideais ou nos casos em que o fluido entra e sai perpendicular à superfície de controle):
Lembrando que 
A equação da energia pode ser escrita como:
Considerando escoamento estacionário em uma dimensão, com somente uma entrada e saída, e usando a equação da continuidade, tem-se (por unidade de massa):
 com e