CRM - Círculo de Mohr

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Prof.ª Bruna Bassoli
2019 
 Representação gráfica da variação das tensões.
 Determinação das tensões principais (máxima e mínima).
 Determinação do ângulo de rotação para as tensões principais.
 Determinação das tensões que atuam e um ângulo qualquer de θ .
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Para os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 estão representados a seguir: os sentidos das tensões
atuantes σx (σy ൎ0 ) nos planos x e y; Os sentidos das tensões principais σ1 e σ2; Os círculos
de Mohr que correspondem aos estados de tensão atuantes.
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Trajetória das tensões principais de tração σ1 e de compressão σଶ
As fissuras surgem perpendiculares as direções das tensões principais de tração.
O efeito das tensões tangenciais provocada pela força cortante é o de inclinar as tensões 
principais em relação ao eixo da peça.
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1º. Calcular o valor do centro:
C =
σx+σy
2 ; 0
2º. Calcular o valor do raio:
R =
σx−σy
2
2
+ xy²
X
#DICA-1: O círculo é desenhado em um 
“plano cartesiano”. O centro sempre está em 
cima da abscissa.
Y
P
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3º. Desenhar o plano Cartesiano:
*Abscissa: σ (kN/cm²)
*Ordenada: 𝝉xy (kN/cm²)
σ
𝝉xy
4º. Marcar o Centro no plano
cartesiano;
5º. Com o compasso, abrir
equivalente ao valor do raio.
Posicionar a ponta seca em
cima do centro e traçar o
círculo.
σ
𝝉xy
C
P
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O primeiro ponto que o círculo cruzar o eixo de
referência é o valor de σ2.
O último ponto que o círculo cruzar
o eixo de referência é o valor de σ1.
σ1σ2
P
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6º. Como nem sempre é possível se obter uma boa
precisão ao desenhar o círculo em escala, podemos
calcular os valores de σ2 (menor tensão) e σ1
(maior tensão) através das equações abaixo:
σ1= σmax = Centro + Raio
σ2 = σmin = Centro - Raio
7º. Sabendo-se os valores de máximo e mínimo
da seção, é necessário saber qual o ângulo em
que ocorrem esses valores. Para isso, é
necessário indicar o ponto A. no círculo através
das suas coordenadas: A: (σx; 𝜏xy)
σx
𝜏
x
y
σ2
σ1
P
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A: θ ൌ 0°, 𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑥!
A menor distância em
ângulo do ponto A, ao
ponto de σ1= 2θp1
2θp1
2θp2
A menor distância em
ângulo do ponto A, ao
ponto de σ2 = 2θp2
σ2 σ1
P
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O ponto A pode estar em qualquer ponto em cima do círculo, depende exclusivamente do 
valor de sua coordenada. A: (σx; 𝜏xy). 
A menor distância
em ângulo do ponto A,
ao ponto de σ1 = 2θp1
2θp1
A menor distância
em ângulo do ponto A,
ao ponto de σ2 = 2θp2
2θp2
P
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O ponto A pode estar em qualquer ponto em cima do círculo, depende exclusivamente do 
valor de sua coordenada. A: (σx; 𝜏xy). 
O ponto A pode estar em qualquer ponto em cima do círculo, depende 
exclusivamente do valor de sua coordenada. A: (σx; 𝜏xy). 
A menor distância em ângulo
do ponto A, ao ponto de σ1 = 2θp1
2θp1
A menor distância em ângulo
do ponto A, ao ponto de σ2 = 2θp2
2θp2
P
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A menor distância em ângulo do
ponto A, ao ponto de σ1 = 2θp1
2αp1
A menor distância em ângulo
do ponto A, ao ponto de σ2 = 2θp2
2θp2
P
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O ponto A pode estar em qualquer ponto em cima do círculo, depende 
exclusivamente do valor de sua coordenada. A: (σx; 𝜏xy). 
𝜏
x
y
𝜏
x
y
𝜏
x
y
𝜏
x
y
SEN 2θp2= 
Jxy
Raio
A
A
A
A
SEN 2θp2= 
Jxy
Raio
SEN 2θp1= 
Jxy
Raio
SEN 2θp1= 
Jxy
Raio
Ponto A ao σ1 : Sentido
horário um ângulo de 2𝜃p1.
Ponto A ao σ1: Sentido anti-
horário um ângulo de 2𝜃p1.
Ponto A ao σ2 : Sentido
horário um ângulo de 2θp2.
Ponto A ao σ2: Sentido anti-
horário um ângulo de 2θp2.
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#DICA-2: A distância entre σmax e σmindentro do círculo é de 180º, e na 
seção transversal é de 90º.
(dividir o ângulo por 2 na seção transversal).
2θp1
2θp2
θp1
θp2
#DICA-3: Manter mesmo sentido do círculo de Mohr na representação da 
seção transversal.
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#DICA: “Os obstáculos só são 
difíceis até serem superados”!
Muito obrigada pela sua participação!
Até a próxima aula e bons estudos!!!
 BOTELHO, M. H. C., MARCHETTI, O. Concreto Armado Eu Te Amo, vol 1. 8 ed. Revista. São Paulo:
Blucher, mar. 2015.
 BOTELHO, M. H. C. Resistência dos Materiais para Entender e gostar. 4 ed. Revista e ampliada. São Paulo:
Blucher, 2017.
 GHISI, E., Resistência dos sólidos para estudantes de arquitetura, Departamento de Engenharia Civil,
Universidade Federal de Santa Catarina, 2005.