PA e PG

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Progressão Aritmética e 
Geométrica: 
 
 
1º) Progressão Aritmética: 
 
Uma Progressão Aritmética – P.A é uma sequência numérica em que cada 
termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma 
constante. Esse número é chamado como razão da Progressão Aritmética, 
representado pelo “r” de resto. 
 
Exemplos: 
Progressão Aritmética crescente: (0, 2, 4, 6, 8, 10....), onde r = 2 
Progressão Aritmética decrescente: (0, -3, -6, -9, -12...), onde r = -3 
Progressão Aritmética constante: (3, 3, 3, 3, 3, 3...), onde r = 0 
 
 Toda P.A constante sempre terá razão (r) = 0; 
 
 Uma P.A crescente é toda aquela em que cada termo, a partir do 
segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que, para isso, A 
RAZÃO r TEM QUE SER SEMPRE POSITIVA E DIFERENTE DE ZERO; 
 
 Uma P.A decrescente é toda aquela em que cada termo, a partir do 
segundo, é menor do que o termo que o antecede, sendo que, para isso, 
A RAZÃO r TEM QUE SER SEMPRE NEGATIVA E DIFERENTE DE 
ZERO. 
 
 
 Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética – P.A: 
 
 
Ou seja, o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado pela razão r. 
 
 Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética – P.A: 
 
An = A1 + (N – 1) x r 
 
 
A soma de todos os termos de uma PA, é calculada a partir da seguinte fórmula: 
 
 
 
Sn = é a soma dos termos da P.A 
n = Número de termos da P.A 
A1 = é o primeiro termo da P.A 
An = é o último termo da P.A 
 
 A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes 
deles. 
 
Exemplo: 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 98 + 99 + 100. 
A soma dos extremos vale sempre 101. 
1 + 100 = 101 
2 + 99 = 101 
3 + 98 = 101 
4 + 97 = 101. 
...... 
 
De 1 a 100 temos 50 pares, logo, a soma total vale 101 x 50 = 5.050. Na verdade, 
essa indução é a fórmula da soma da P.A de razão 1. 
 
Sn = n (A1 + An) 
2 
 Sn = 100 (1 + 100) = 5.050 
 2 
 
2º) Progressão Geométrica: 
 
Sn = n (A1 + An) 
2 
 
 
Uma Progressão Geométrica – P.G é uma sequência numérica em que cada 
termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma 
constante q. O número q é chamado de razão da Progressão Geométrica, e é 
representado pelo “q” de quociente. 
 
Exemplos: 
Progressão Geométrica constante: (5, 5, 5, 5....) ou (1/3, 1/3, 1/3...) ou (0,5; 
0,5; 0,5...) onde a razão q sempre será igual a 1 (q = 1). 
Progressão Geométrica crescente: (1, 3, 9, 27, 81... P.G de razão q = 3) ou 
(2, 4, 8, 16, 32... P.G de razão q = 2). Repare que na P.G crescente a razão “q” 
vai ser sempre MAIOR que 1 (q ˃1). 
 
Progressão Geométrica decrescente: (1, 1/3, 1/9, 1/27... P.G de razão q = ½). 
Em uma P.G crescente a razão vai estar ENTRE 0 e 1 (1 ˃ q ˃ 0). 
 
Progressão Geométrica alternante ou oscilante: (3, -9, 27, -81... P.G de razão 
q = -3). Em uma P.G constante oscilante a razão sempre será MENOR que 0 (q 
˂ 0). 
 
 
 Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Geométrica – P.G: 
 
 
An = é o último termo 
A1 = é o primeiro termo 
q = a razão da P.G 
n = é o número de termos da P.G 
 
 
 Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica – P.G finita: 
 
 
 
 
An = A1 x qn – 1 
Sn = A1 (qn – 1) 
 q – 1 
 
 
 
Sn = é a soma dos termos de uma P.G 
A1 = é o primeiro termo 
q = a razão da P.G 
n = é o número de termos da P.G 
 
 Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica – P.G INFINITA: 
 
Em uma P.G infinita, a razão da P.G deve estar entre 0 a 1, ou seja, 0 ˂ q ˂ 1. A 
fórmula para cálculo da soma dos termos de uma P.G infinita é dada por: 
 
 
 
Sn = é a soma dos termos de uma P.G infinita. 
A1 = é o primeiro termo. 
q = a razão da P.G 
 
Exemplo: 
Determine a soma da sequência: (1, ½, ¼, ...) 
 
 Sn = 1 = 2 
 1 – ½ 
 
 Produto dos Termos de uma Progressão Geométrica – P.G: 
 
 
Pn = é o produto dos termos de uma P.G 
A1 = é o primeiro termo da P.G 
q = é a razão da P.G 
n = é o número de termos da P.G 
Sn = A1 
 1 - q 
 
Pn = A1n x q n(n – 1)/2