Matrizes e Determinantes

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Matrizes e Determinantes: 
 
 
1º) Matrizes: 
 
Uma matriz A = [aij]mxn é uma tabela de números em que o número de linhas é 
dado por m e o número de colunas é dado por n. Cada elemento aij estará 
localizado na linha i e na coluna j. 
De um modo geral, temos: 
 
Exemplos: 
 
 
 
 Essa matriz possui 3 linhas (m) e 4 colunas (n). Logo, é uma matriz 3x4. 
 O elemento A2,3 (lê-se “a dois três”) está localizado na segunda linha e 
terceira coluna, sendo igual a -2, logo A2,3 = -2. 
 
 
 
 Essa matriz possui 3 linhas e 3 colunas. Logo, é uma matriz 3 x 3; 
 É portanto, uma matriz quadrada, pois o número de linhas é igual ao 
número de colunas; 
 
 
 O elemento A3,3 (lê-se “a três três”) está localizado na terceira linha e 
terceira coluna, sendo igual a 2, logo A3,3 = 2. 
 Os elementos 4,6 e 2 fazem parte da diagonal principal dessa matriz 
quadrada. Já os elementos 3,6 e 7 formam a diagonal secundária. 
 
 
 
 Essa é uma matriz linha 1x4, pois possui apenas 1 linha. 
 
 
 
 Essa é uma matriz coluna 5x1, pois possui apenas 1 coluna. Seus 
elementos são: 6,1,0,-1 e 3. 
 
 Igualdade entre Matrizes: 
 
Sejam A e B duas matrizes iguais: 
 
 
Ou seja, duas matrizes são iguais se e somente se, possuem o mesmo número 
de linhas e de colunas, e os elementos dessas matrizes são idênticos para cada 
linha e cada coluna. 
 
 Matriz Oposta: 
 
 
 
É uma matriz obtida a partir da troca dos sinais dos elementos da matriz dada. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 Matriz Identidade ou Unidade: 
Uma Matriz Identidade (In) é uma matriz quadrada de ordem n em que os 
elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são iguais a 
zero. 
 
Exemplos: 
 
 
 Matriz Diagonal: 
 
Denomina-se matriz diagonal a matriz quadrada cujos elementos são zeros, 
com exceção daqueles pertencentes à diagonal principal. 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 Matriz Escalar: 
 
Denomina-se matriz escalar a matriz diagonal que têm todos os elementos 
da diagonal principal iguais. 
 
Exemplos: 
 A = 
 
 
 Matriz Transposta: 
 
Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será representada 
por At de ordem “invertida” n x m. 
 
Essa ordem invertida significa que para transformarmos uma matriz em matriz 
transposta, basta trocar os elementos das linhas pelo das colunas e vice-
versa. 
 
 
Veja o exemplo: 
 
 
 
Dada a matriz A = 3 x 2, a matriz transposta representada por At, será: 
At = 2 x 3. 
 
 
 Matriz Simétrica: 
 
É quando a matriz transposta é igual à matriz (A = At). Ou seja, os elementos 
da diagonal principal de A e At são iguais. 
 
 
Dada a matriz A = 2 x 2, a sua transposta é At = . 
 
 Matriz Antissimétrica ou Assimétrica: 
 
Uma matriz antissimétrica é aquela cuja matriz transposta coincide com 
sua matriz oposta, isto é, 1 
Equivalentemente, os termos satisfazem: 
 
 
Disso decorre que os termos da diagonal principal são nulos (exceto no caso 
de matrizes sobre um anel com característica dois). 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Operações com Matrizes: 
 
Para adicionarmos ou subtraímos duas matrizes A e B, basta que elas sejam 
da mesma ordem Ai,j = Bi,j. isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o 
mesmo número de colunas. 
 
 Adição: 
 
Para obtermos a adição de matrizes da mesma ordem, adicionamos os 
elementos que ocupam as mesmas posições nas matrizes dadas. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 Subtração: 
 
A subtração de uma matriz é realizada subtraindo a primeira matriz da segunda, 
devendo as mesmas terem o mesmo número de linhas e de colunas. 
 
Exemplo: 
 
 
 Multiplicação de uma Matriz por outra Matriz: 
 
Dada uma matriz A = [Aij]mxn e uma matriz B = [Bij]nxp, o produto da matriz A pela 
matriz B é a matriz AB = [Cij]mxp tal que o elemento Cij é calculado multiplicando-
se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da 
coluna j, da matriz B e somando-se os produtos obtidos. 
 
Importante: 
 
 
O produto de duas matrizes só é possível quando o número de colunas da 
primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. 
A matriz produto terá o número de linhas igual ao número de linhas da 
primeira matriz e o número de colunas igual ao número de colunas da 
segunda matriz. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
Observe que a multiplicação só foi possível porque O NÚMERO DE 
COLUNAS DA PRIMEIRA MATRIZ FOI IGUAL AO NÚMERO DE LINHAS DA 
SEGUNDA MATRIZ. Veja, ainda, que a matriz produto tem o mesmo número de 
linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz. 
 
 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz: 
 
Dado um número real k e uma matriz A, podemos obter a matriz kA, 
multiplicando por k todos os elementos da matriz A. 
 
 
 
Exemplo: 
Dado uma matriz A, o produto de 3 multiplicado pela matriz A é o seguinte: 
 
 
 
2º) Determinantes: 
 
Qual a importância do Determinante? 
O cálculo do determinante de uma matriz é importante principalmente por dois 
aspectos: 
 Para a resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; 
 Para o cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, 
quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices. 
 
O determinante (Δ) de uma matriz é representado pela diferença de sua 
diagonal principal subtraída de sua diagonal secundária. 
Na matriz 2x2, a aplicação é imediata: 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 Determinante da Matriz de Ordem 1: 
 
Para a matriz quadrada de ordem 1, o valor do determinante Δ é tão somente o 
mesmo valor do único elemento existente. 
 
Exemplos: 
Det M [10] = 10. 
Det A [-5] = -5. 
 
Para uma matriz de outra ordem, vários métodos devem ser utilizados para obtê-
lo: 
 
 Regra de Sarrus: Determinante da matriz de ordem 3. 
 
Para obtermos o determinante de uma matriz de ordem 3, repete-se as duas 
primeiras colunas à direita da matriz original e multiplica-se os elementos, veja 
alguns exemplos. 
 
Exemplo: 
Veja agora o cálculo do determinante da seguinte matriz B de ordem 3x3: 
 
 
 
Cálculo do determinante da matriz B através da Regra de Sarrus 
Através da regra de Sarrus, o cálculo do determinante da matriz B será feito da 
seguinte forma: 
 
Aplicando a regra de Sarrus para encontrar o determinante da Matriz B 
det B = b11.b22.b33 + b12.b23.b31 + b13.b21.b32 – b13.b22.b31 – b11.b23.b33 – b12.b21.b33 
det B = 1.3.2 + 5.0.4 + (–2).8.(–1) – (–2).3.4 – 1.0.(–1) – 5.8.2 
det B = 6 + 0 + 16 – (–24) – 0 – 80 
det B = 22 – 56 
det B = – 34 
Portanto, pela Regra de Sarrus, o determinante da matriz B é – 34. 
 
Como calcular o determinante de matrizes de ordem ˃ 3? 
Vimos que a Regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma 
matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar 
o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois 
aplicar a Regra de Sarrus. 
 
Outra possibilidade, é a utilização de outro teorema, o Teorema de Chió. Segue 
mais abaixo explicações sobre esses teoremas, e como fazer para se chegar à 
matriz de ordem 3 e assim, calcular o determinante pela Regra de Sarrus. 
 
 
 
 Regra de Laplace: 
 
1º) Passo: Aprender o que é Menor Complementar (MC): 
 
Seja a matriz A = 
 
Exemplos: 
 Temos que A1,1 = 1. Se quisermos saber qual é o menor complementar 
de A1,1, basta fazermos1 traço na linha e na coluna de A1,1 e teremos: 
 1 2 3 -1 
A = -1 1 0 2 
 2 -1 3 2 
 
Assim, o Menor Complementar (MC) de A1,1 é a matriz: 
 
MC1,1 = 1 0 2 
 -1 3 2 
 
Outro exemplo com a mesma matriz: 
 
 Temos que A3,2 = - 1. Se quisermos saber qual é o menor complementar 
de A3,2, basta fazermos 1 traço na linha e na coluna de A3,2 e teremos: 
 
 1 2 3 -1 
A = -1 1 0 2 
 2 -1 3 2 
 
Assim, o Menor Complementar (MC) de A3,2 é a matriz: 
 
 
 
MC3,2 = 1 3 -1 
 -1 0 2 
 
Para que saber o que é Menor Complementar? 
Para poder calcular o cofator de determinada matriz. 
 
2º) Passo: Aprender o que é Cofator: 
 
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento Aij de 
uma matriz quadrada de ordem n, o número Aij tal que: 
Aij = (-1)i+j x MCij 
 
Onde MC é o menor complementar, achado da forma demonstrada mais acima. 
 
Exemplos: 
Utilizando a mesma matriz dos exemplos do passo 1, e os mesmos elementos 
A1,1 e A3,2, temos que o cofator de A1,1 e A3,2 são, respectivamente: 
 
 Para A1,1, temos: 
 
A1,1 = (-1)1+1 x MC1,1 
A1,1 = 1 x MC1,1 
 
 Para A3,2, temos: 
 
A3,2 = (-1)3+2 x MC3,2 
A1,1 = -1 x MC3,2 
 
Nota: 
Os valores de MC1,1 e MC3,2 serão achados se resolvermos as matrizes de MC1,1 
e MC3,2 escritas mais acima, pelo método de resolução das matrizes de ordem 
3, ou seja, pelo Regra de Sarrus. 
 
 
 
3º) Passo: Após aprender a calcular o Menor Complementar (MC) para depois 
achar o cofator de determinado elemento de uma matriz qualquer, entraremos 
de fato na regra de Laplace. 
 
E porque os 1º e 2º passos? 
Simples, porque a Regra de Laplace usa o cofator dos elementos da matriz, e 
para calcularmos o cofator, precisamos do Menor Complementar. A seguir então, 
veremos a Regra de Laplace. 
 
Teorema de Laplace: 
 
O determinante Δ de uma matriz quadrada M = [aij]mxn (m≥2) pode ser obtido 
pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou 
coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
Repare que a regra de Laplace permite que se ache o determinante de 
matrizes de diferentes linhas e colunas, no exemplo 1 tivemos B4,4 e no 
exemplo 2, tivemos A3,3. 
 
 
 Regra de Chió: 
 
A Regra de Chió nos ajuda a construir uma matriz com determinante igual a 
uma matriz dada, entretanto com a ordem menor. Em uma linguagem 
matemática, a regra de Chió nos permite calcular o determinante de uma matriz 
de ordem n através de uma matriz de ordem n-1 (uma ordem abaixo). 
 
Atenção: 
 
Existe uma condição importante para a aplicação do processo da regra de 
Chió, sendo que o primeiro elemento da matriz, o elemento A1,1 deve ser 
igual a 1. Tendo isso, é possível aplicar o processo da Regra de Chió de modo 
a obter uma matriz com ordem menor. 
 
 
A Regra de Chió é dada da seguinte forma/etapas: 
 
 Suprima a primeira linha e a primeira coluna da matriz. 
 
 Dos elementos que restaram na matriz, subtraia o produto dos dois 
elementos suprimidos (um da linha e o outro da coluna) correspondente 
a este elemento restante. Por exemplo, no elemento a23 você realizará o 
produto do elemento da segunda linha da coluna que foi suprimida pelo 
elemento da terceira coluna da linha que foi suprimida. 
 
 
 
 Com os resultados das subtrações realizadas no passo anterior, será 
obtida uma nova matriz, com ordem menor, entretanto com determinante 
igual à matriz original. 
 
Vale ressaltar novamente que para que o determinante continue o mesmo, o A1,1 
deve ser igual a 1. 
 
Para uma melhor compreensão destes passos, vejamos um exemplo utilizando 
o processo da Regra de Chió: 
 
 
 
 
Temos uma matriz quadrada de ordem 5. Sabemos que não é possível aplicar a 
regra de Sarrus para calcular este determinante, com isso buscaremos baixar a 
ordem desta matriz. Desse modo, a fim de encontrar seu valor, utilizaremos 
alguma propriedade de determinantes. 
 
 
Veja que o primeiro elemento da matriz equivale a 1 (A1,1 =1), logo, é possível 
aplicar a regra de Chió. Façamos o procedimento: 
 
 
 
 
 
 
Destacamos os elementos que serão suprimidos; agora iremos montar a nossa 
matriz de menor ordem seguindo o segundo passo da regra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De tal modo, obtemos o determinante da matriz inicial A5x5. Note que nenhuma 
das matrizes é igual, mas, pela regra de Chió, podemos afirmar que o 
determinante de todas elas é o mesmo. 
 
 
 
 
 
Para finalizar, veja que aplicamos duas vezes a regra de Chió, mas isso foi 
porque o primeiro elemento era igual a 1. Em casos em que o elemento não seja 
igual a 1, podemos aplicar algumas propriedades de determinantes de forma 
a encontrar uma matriz em que o primeiro elemento seja igual a 1. 
 
 
Propriedades dos Determinantes: 
 
1º) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o 
determinante da matriz é nulo ou zero. 
 
Exemplos: 
 3 2 1 -1 2 4 0 
0 0 0 0 1 2 0 
1 5 2 1 -3 1 0 
 
2º) Se duas filas de uma matriz são iguais, então o seu determinante é nulo ou 
zero. 
 
Exemplo: 
 
 
1 2 3 
0 4 7 
1 2 3 
2 2 3 
 
3º) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu 
determinante é nulo. 
 
Exemplos: 
2 4 1 
3 6 0 
1 2 3 
Repare que os elementos da coluna 2 (4,6 e 2) são o dobro dos elementos da 
coluna 1 (2,3 e 1), respectivamente. Repare também que as colunas são 
paralelas, porém, não necessitam obrigatoriamente vir em sequência. Veja outro 
exemplo: 
1 2 4 2 
0 3 1 3 
2 4 8 4 
 
Agora, são os elementos da linha 3 (2,4,8 e 4) que são proporcionais aos 
elementos da linha 1 (1,2,4 e 2). 
É importante observar que essa proporcionalidade não é obrigatoriamente o 
dobro, podendo ser o triplo, quádruplo e assim sucessivamente, e que pode ser 
diferente dentro de uma mesma matriz. 
Em todos esses casos, o determinante é zero. 
 
4º) Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz forem 
combinações lineares dos elementos de outras filas da matriz, o determinante 
é nulo. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 0 5 5 
 1 2 3 
 2 2 4 
 
Repare que os elementos da coluna 3 são as somas dos elementos das colunas 
1 e 2. 
 
 3 4 1 
 1 2 3 
 7 10 5 
Acima, veja que 2 x L1 + L2 = L3 
 
O exemplo acima mostra que você deve ficar atento as linhas, colunas e 
possíveis operações matemáticas entre elas, inclusive multiplicando ou dividindo 
por números que sequer estão na matriz, como no exemplo o número 2. 
 
5º) O determinante de uma matriz e de sua matriz transposta são iguais. 
 
Exemplo: 
 1 2 3 1 2 2 
 Det A = 2 1 2 = 9 Det At = 2 1 4 = 9 
 2 4 3 3 2 3 
 
6º) Quando trocamos as posições de duas filas (linhas ou colunas) paralelas de 
uma matriz, o determinante dessa matriz muda de sinal. 
 
7º) O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos 
elementos da diagonal principal. 
Exemplo: 
 1 0 0 
 Det A = 2 1 0 = 3 
 2 4 3 
 
 
8º) Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha oude uma coluna pelo 
mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes 
de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: 
det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi. 
 
Esse teorema diminui os valores dos elementos de uma matriz quadrada, 
facilitando os cálculos. Vejamos seu conceito: 
 
“Seja A uma matriz quadrada, se multiplicarmos todos os elementos de uma fila 
(linha ou coluna) por um mesmo número, e somarmos os resultados dos 
elementos aos seus correspondentes de outra fila (linha ou coluna), obteremos 
outra matriz B. Entretanto, podemos afirmar que o det A = det B”. 
 
Exemplo: 
Aplique o Teorema de Jacobi na matriz A. 
 
Vamos aplicar o teorema de Jacobi na matriz A, multiplicando a primeira linha 
por (-2) e somando os resultados à 2ª linha. Com isso, obteremos outra matriz: 
 
Veja que os elementos da segunda linha ficaram com valores menores, ou seja, 
em determinadas situações em que se tem uma matriz com uma linha que possui 
elementos com valores muito altos, pode-se utilizar o teorema de Jacobi, até 
mesmo para eliminar certos elementos (deixar os elementos com valor nulo, ou 
seja, iguais a zero). 
 
9º) Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, 
temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet. 
 
10º) Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária de uma 
matriz forem nulos, o determinante dessa matriz será o produto dos elementos 
da diagonal secundária multiplicado por (-1). 
Exemplo: 
 
 
 
 
 1 4 2 
 Det A = 2 1 0 = (-2 x 1 x 2 ) x (-1) = 4. 
 -2 0 0