Diapositivas - Sesión 4

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FACULTAD DE HUMANIDADES
2024-2
Docente: Walter J. Meléndez Florián
14-9-2024
VICERRECTORADO ACADÉMICO
ÁLGEBRA LINEAL 2
Sesión 4
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE TRUJILLO
FACULTAD DE HUMANIDADES
VICERRECTORADO ACADÉMICO
Oración
Jesús, ayúdanos a reflejar tus estaciones 
de la creación mientras trabajamos 
cuidadosamente la arcilla de nuestras 
vidas. Somos tierra frágil y limitada; 
somos tierra fértil, dadora de vida; tierra 
amada y llamada a ser una en ti. Amén.
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE TRUJILLO
FACULTAD DE HUMANIDADES
VICERRECTORADO ACADÉMICO
Las 17 ecuaciones que cambiaron
la historia
El tercer puesto de las 17 ecuaciones que han
cambiado nuestro mundo lo ocupa la base del
cálculo, la “fórmula de la definición de la derivada
en cálculo”. Descrita por Isaac Newton en 1668,
esta ecuación ayudó a comprender el cambio de las
funciones cuando sus variables cambiaban.
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FACULTAD DE HUMANIDADES
VICERRECTORADO ACADÉMICO
LOGROS DE APRENDIZAJE
Unidad 1
EVIDENCIA DEL 
APRENDIZAJE
• Participación en el foro de 
metacognición.
• Solución del Cuestionario.
TEMÁTICA.
• Transf. lineales singulares y no singulares, isomorfismos.
• Operaciones con transf. Lineales.
 
COMPETENCIA
Usa los 
procedimientos de las 
transformaciones 
lineales, autovalores y 
autovectores con 
criterio analítico en la 
solución de problemas 
que puedan surgir en 
los diferentes sectores 
de su especialidad para 
construir y afirmar su 
identidad y 
responsabilidad 
profesional.
CAPACIDAD
Representa las 
transformaciones 
lineales por medio de 
matrices aplicando los 
métodos y técnicas que 
proporciona el álgebra 
lineal para hacer 
operaciones con ellas y 
deduce propiedades 
relevantes de estas.
Transformaciones lineales singulares y no singulares
Definición
Teorema 4.3
Ejemplo 4.1
Sea 𝐹 ∶ 𝑉 → 𝑈 una transformación lineal.
a) 𝐹 es singular si existe 𝑣 ≠ 0 en 𝑉 tal que 𝐹 𝑣 = 0, es decir, si 𝐾𝑒𝑟 𝐹 ≠ 0 .
b) 𝐹 ∶ 𝑉 → 𝑈 es no-singular si el vector nulo 0 es el único vector cuya imagen 
mediante 𝐹 es 0, es decir, si 𝐾𝑒𝑟 𝐹 = 0 . 
Solución
Sea 𝐹 ∶ ℝ3 → ℝ3 la proyección del vector 𝑣 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 en el plano 𝑋𝑌, esto es, 
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥, 𝑦, 0 . Como vimos en el ejemplo 3.4, 𝐾𝑒𝑟 𝐹 = 𝑒𝑗𝑒 𝑍 ≠ 0 . Por 
tanto, 𝐹 es singular. 
• El siguiente teorema nos dice que las transformaciones lineales no-singulares 
pueden ser caracterizadas como aquellas transformaciones que llevan 
conjuntos linealmente independientes de vectores en conjuntos linealmente 
independientes de vectores.
Sea 𝐹 ∶ 𝑉 → 𝑈 una transformación lineal no-singular. Entonces, la imagen de 
cualquier conjunto de vectores linealmente independientes mediante 𝐹 es 
linealmente independiente.
Ejemplo 4.2
Determine si cada una de las siguientes transformaciones lineales es singular o no. 
Si es singular halle un vector 𝑣 cuya imagen es 0.
a) 𝐹 ∶ ℝ2 → ℝ2 definida por 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 2𝑦 .
b) 𝐺: ℝ2 → ℝ2 definida por 𝐺 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 4𝑦, 3𝑥 − 6𝑦 .
Isomorfismos
• Muchos de los espacios vectoriales que hemos discutido son, desde una 
perspectiva algebraica, iguales. En esta sesión mostramos cómo un 
isomorfismo, que es un tipo especial de transformación lineal, puede utilizarse 
para establecer una correspondencia entre dos espacios vectoriales. Para esto, 
son esenciales los conceptos de aplicaciones inyectivas y sobreyectivas.
Definición
• Para chequear que una aplicación es sobreyectiva, se debe mostrar que, si 𝑤 es 
cualquier elemento de 𝑊, entonces existe 𝑣 en 𝑉 tal que 𝑇 𝑣 = 𝑤.
Ejemplo 4.4
Solución
• El siguiente teorema nos da una manera útil de determinar si una 
transformación lineal es inyectiva.
Teorema 4.5
Una transformación lineal 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 es inyectiva si y sólo si 𝑇 es no-singular; esto 
es, si y sólo si 𝐾𝑒𝑟 𝑇 = 0 .
Ejemplo 4.6
Solución
Teorema 4.7
Note que, la matriz 𝐴 =
 1 1
−1 0
 es invertible, desde que det 𝐴 = 1 ≠ 0 . 
Entonces, la solución de la ecuación matricial 
es:
𝑣1
𝑣2
=
 1 1
−1 0
−1 𝑎
𝑏
=
0 −1
1 1
𝑎
𝑏
=
−𝑏
𝑎 + 𝑏
 
Por tanto, 𝑇 es sobreyectiva.
• En el Teorema 4.7, si 𝑇 es sobreyectiva, entonces 𝑇 𝑣1 , 𝑇 𝑣2 , ⋯ , 𝑇 𝑣𝑛 
también es una base de 𝑊.
Definición
• La siguiente proposición da una caracterización útil de las transformaciones 
lineales definidas por una matriz para que sean isomorfismos.
Proposición 4.8
• El siguiente teorema es de importancia fundamental en el estudio de los 
espacios vectoriales de dimensión finita.
Teorema 4.9
Si 𝑉 es un espacio vectorial de dimensión finita 𝑛, entonces 𝑉 ≈ ℝ𝑛.
Ejemplo 4.10
El espacio vectorial 𝑆2×2 de las matrices simétricas 2 × 2 tiene dimensión 3. 
Entonces, por el teorema anterior, 𝑆2×2 ≈ ℝ3.
• De hecho, el Teorema 4.9 puede ser generalizado al hecho de que dos espacios 
vectoriales de la misma dimensión finita son isomorfos.
• Para demostrar esto se requiere la noción de inversa de una transformación 
lineal.
Definición
• La siguiente proposición nos dice que la inversa de una transformación lineal 
inyectiva es una transformación lineal.
Proposición 4.11
Ejemplo 4.12
Solución
De 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑎, 𝑏 obtenemos:
Note que para hallar la fórmula de 𝐹−1 debemos hallar 𝑥 e 𝑦 en términos de 𝑎 
y 𝑏. Para hacer esto, despejamos 𝑥 e 𝑦 del último sistema lineal obteniendo 
𝑥 = 2𝑎 − 𝑏 e 𝑦 = 𝑎 − 𝑏. Por tanto, 
• La siguiente proposición nos dice que la transformación inversa de un 
isomorfismo definido por la multiplicación con una matriz puede ser escrito 
usando la inversa de la matriz.
Proposición 4.13
Ejemplo 4.14
Solución
Sean 𝑣 =
𝑥
𝑦 y 𝑤 =
𝑎
𝑏
 tal que 𝑇
𝑥
𝑦 =
𝑎
𝑏
. Entonces, 𝑇−1 𝑎
𝑏
=
𝑥
𝑦 .
De 𝑇
𝑥
𝑦 =
𝑎
𝑏
 obtenemos:
 1 1
−1 0
𝑥
𝑦 =
𝑎
𝑏
 ⟹ 
𝑥 + 𝑦
−𝑥
=
𝑎
𝑏
 ⟹ ቊ
𝑥 + 𝑦 = 𝑎
−𝑥 = 𝑏
 
Note que para hallar la fórmula de 𝑇−1 debemos hallar 𝑥 e 𝑦 en términos de 
𝑎 y 𝑏 . Para hacer esto, despejamos 𝑥 e 𝑦 del último sistema lineal 
obteniendo 𝑥 = −𝑏 e 𝑦 = 𝑎 + 𝑏. Por tanto, 
𝑇−1 𝑤 = 𝑇−1 𝑎
𝑏
=
−𝑏
𝑎 + 𝑏
=
0 −1
1 1
𝑎
𝑏
= 𝐴−1𝑤
Ejemplo 4.4
Teorema 4.15
Si 𝑉 y 𝑊 son espacios vectoriales de igual dimensión finita, entonces 𝑉 ≈ 𝑊.
Operaciones con transformaciones lineales
Las transformaciones lineales pueden ser combinadas mediante una adición 
natural y una multiplicación escalar para producir nuevas transformaciones 
lineales.
Adición
Sean 𝑉 y 𝑊 son espacios vectoriales y sean 𝑆, 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 transformaciones lineales. 
La aplicación 𝑆 + 𝑇, denominada la adición de 𝑆 y 𝑇, definida por
𝑆 + 𝑇 𝑣 = 𝑆 𝑣 + 𝑇 𝑣 ,
es una transformación lineal de 𝑉 en 𝑊. 
Ejemplo 4.16
Multiplicación escalar
Sean 𝑉 y 𝑊 son espacios vectoriales y sea 𝑆 ∶ 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Si 
𝑐 es cualquier escalar, La aplicación 𝑐𝑆, denominada la multiplicación escalar de 
𝑆 por 𝑐, definida por
𝑐𝑆 𝑣 = 𝑐𝑆 𝑣 ,
es una transformación lineal de 𝑉 en 𝑊. 
Ejemplo 4.17
Teorema 4.18
Si dim 𝑉 = 𝑚 y dim 𝑈 = 𝑛, entonces dim 𝐻𝑜𝑚 𝑉, 𝑈 = 𝑚𝑛.
Teorema 4.19
Composición
Ejemplo 4.21
Solución
Ejemplo 4.20
• La dimensión de 𝐻𝑜𝑚 ℝ2, ℝ3 es 𝑑 = 2 3 = 6.
• La dimensión de 𝐻𝑜𝑚 𝑀3×2, ℝ4 es 𝑑 = 6 4 = 24.
(b) La aplicación 𝐹 ∘ 𝐺 no está definida pues 𝐹 ∘ 𝐺 𝑥, 𝑦 = 𝐹 𝐺 𝑥, 𝑦 = 𝐹 𝑦, 𝑥 no 
se puede calcular con la fórmula de 𝐹. 
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