Números Figurados - Artigo

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NÚMEROS FIGURADOS – UMA APROXIMAÇÃO ELEMENTAR À TEORIA ANALÍTICA DOS NÚMEROS
Rubens Vilhena Fonseca - rubens@uepa.br
Resumo
Este artigo tem como objetivo apresentar aos alunos de licenciatura em matemática as ideias iniciais que levam ao desenvolvimento da teoria analítica dos número. Tomamos como referência para a construção do artigo o livro Jeffrey Stoplle, A Primer of Analytic Numer Theory – From Pytagoras to Riemann . Questões antigas sobre números poligonais, números perfeitos, números amigos e de como os números primos são distribuídos entre todos os números inteiros é central na teoria analítica dos números. A partir das ideias do Cálculo tradicional aplicadas ao Cálculo finito e os conceitos elementares da teoria dos números vai se contruindo uma nova teoria. Uma apresentação elementar desse assunto permite um nível de pesquisa adequado para estudantes de graduação. 
 Palavras-chave: Teoria analítica dos números; números figurados; números primos.
INTRODUÇÃO
Este trabalho tem por finalidade descrever um trabalho de conclusão de curso, ligado ao Grupo de Estudos em Aritmética (GEA), que é uma das linhas do Grupo de Pesquisa em Didática da Matemática e que procura investigar o trabalho didático em aritmética entre licenciandos em Matemática através de pesquisas e estudos de problemas. Neste relato, são trazidas as descrições matermáticas, que servirão à elaboração do trabalho com os sujeitos da pesquisa. A justificativa desse trabalho repousa, essencialmente, na relevância do tema no âmbito da aprendizagem dos números naturais.
 Números Poligonais
A palavra grega gnomon significa o ponto em um relógio de sol, e também uma regra de carpinteiro, ou barra em forma de L. Os Pitagóricos, os quais inventaram o assunto dos números poligonais, também usavam a palavra para referirem-se aos inteiros ímpares consecutivos: 1, 3, 5, 7.... A definição de gnomon do Dicionário de Inglês Oxford oferece a seguinte frase, do livro História da Filosofia de Thomas Stanley em 1687 (Stanley, 1978):
Chamaram números ímpares de Gnomons, porque quando adicionados a quadrados, eles mantêm a mesma figura; Tal qual Gnomons o fazem na Geometria.
Em termos mais matemáticos, observaram que n² é a soma do primeiro n dos ímpares:
A figura 1.1 mostra uma prova geométrica deste fato; observe que cada quadrado é formado a partir da adição de um número ímpar (os pontos pretos) ao quadrado antecessor. Estes são os gnomons no qual a frase se refere.
Figura 1.1 Uma prova geométrica do Teorema Gnomon.
Mas antes de chegarmos aos quadrados, precisamos considerar os triângulos. Os Números Triangulares, , são os números de círculos (ou pontos, ou o que quer que seja) em uma ordem triangular com colunas (ver Figura 1.2).
Já que cada fila tem um a mais que a fila abaixo, vemos que
Uma maneira mais consistente de escrever isso, sem a elipse, é utilizando a notação “Sigma”,
A letra grega denota soma, os termos na soma são ordenados por inteiros entre 1 e , genericamente denotado . E o que está sendo somado é o inteiro em si (oposto a algumas funções mais complicadas do ).
Claro, temos o mesmo número de círculos (ou pontos) independente de como os organizamos. Especificamente, podemos fazer triângulos retos. Isso leva para uma inteligente prova de uma expressão de “forma fechada” para , isto é, uma que não exige fazer a soma. Tendo duas cópias do triângulo representado por , um com círculos e um com pontos. Eles se encaixam para formar um retângulo, como na Figura 1.3. Observe que o retângulo para duas cópias de na Figura 1.3 tem filas e colunas, então , ou:
Isto é um fato tão ótimo, que iremos prová-lo mais duas vezes. A próxima prova é mais algébrica e tem uma história. A história é que Gauss, enquanto jovem estudante, foi dado a tarefa de adicionar os cem primeiros inteiros pelo seu professor, com a esperança de mantê-lo ocupado e quieto por um tempo. Gauss imediatamente voltou com a resposta , porque ele viu o seguinte
Figura 1.2: Os números triangulares são t1 = 1, t2 = 3, t3 = 6, t4 = 10,....
truque, que funciona com qualquer n. Escrevendo a soma definindo duas vezes, uma vez de frente pra trás e outra de trás pra frente:
Agora, adicionando verticalmente; cada par de termos se resume a , e há termos, portanto ou .
A terceira prova usa indução matemática. Esse é um método de prova que funciona quando há infinitamente vários teoremas a serem provados, por exemplo, um teorema para cada inteiro. O primeiro caso precisa ser provado e então tem que ser mostrado que cada caso segue a partir do anterior. Pense em uma linha de dominós enfileirados. O caso é análogo para derrubar o primeiro dominó. O passo indutivo, mostrando que o caso implica o caso , é análogo a cada dominó derrubando a próxima peça em fila. Daremos uma prova da fórmula por indução. O caso é fácil. A figura 1.2 mostra que, que é igual a Agora conseguimos supor que o teorema já está feito no caso de , isto é, podemos supor que
Portanto
Já havíamos mencionado os NÚMEROS QUADRADOS, . Esses são apenas o número de pontos em uma ordem quadrática com n filas e n colunas. Isso é fácil; a fórmula é . Ainda assim, os números quadrados, , são mais interessantes do que alguém possa pensar. Por exemplo, é fácil ver que a soma de dois números triangulares consecutivos é um número quadrado:
A figura 1.4 mostra uma prova geométrica.
Figura 1.4. Prova Geométrica da Eq. (1.2).
É também fácil dar uma prova algébrica deste mesmo fato: 
A figura 1.1 parece indicar que podemos dar uma prova indutiva da identidade
Para o caso temos apenas que observar que 1 = 12. E Temos que mostrar que o primeiro n-1 implica o caso do próximo n na ordem. Mas
Portanto, pela hipótese de indução, isso se simplifica a:
Exercício 1.1.1. Já que sabemos que e que , é certamente verdade que: 
Dê uma prova geométrica desta identidade. Isto é, encontre uma maneira de organizar os dois triângulos para tn - 1 e tn de tal modo que você veja uma ordem de pontos na qual todas as filas tenham um número impar de pontos. 
Exercício 1.1.2. Dê uma prova algébrica da identidade de Plutarch
usando as fórmulas para números triangulares e quadráticos. Agora, dê uma prova geométrica dessa mesma identidade organizando oito cópias do triângulo para tn, mas um ponto extra, dentro de um quadrado.
Exercício 1.1.3. Quais números triangulares também são quadrados? Isto é, quais condições em e garantirão que ? Para mostrar que isso acontece, então temos
uma solução para a equação de Pell, a qual estudaremos em mais detalhe no Capítulo 11.
A filosofia dos Pitagóricos teve uma enorme influência no desenvolvimento da teoria dos números, então um breve desvio histórico é necessário.
Pitágoras de Samos (560 A.C - 480 A.C). Pitágoras viajava descontroladamente no Egito e na Babilônia, familiarizando-se com seus matemáticos. Iamblichus de Chalcis no seu livro Vida de Pitágoras (Iamblichus, 1989) escreveu sobre a jornada de Pitágoras pelo Egito:
Lá, ele visitou todos os santuários, fazendo detalhadas investigações com o maior zelo. Os padres e profetas os quais ele encontrou responderam com admiração e afeto, e ele aprendeu deles mais cuidadosamente tudo o que eles tinham para ensinar. Ele não negligenciou nenhuma doutrina aprovada de sua época, nenhum homem era reconhecido pela compreensão, nenhum rito era venerado em nenhuma região, e em nenhum lugar ele espera encontrar maravilhas... Ele passou vinte e dois anos nos lugares sagrados do Egito estudando astronomia e geometria e sendo introduzido a todos os ritos dos deuses até ter sido capturado pela expedição de Cambisses e levado a Babilônia. Lá, ele passou um tempo com os Magi, para o mútuo regozijo de ambos, aprendendo o que era sagrado entre eles, adquirindo conhecimento perfeito sobre a adoração dos deuses e alcançando as alturas da matemática e música deles e outras disciplinas. Ele passou mais doze anos com eles e retornou a Samos, agora aproximadamentecom 56 anos de idade.
(Cambisses, incidentalmente, era um imperador persa que invadiu e conquistou o Egito em 525 A.C., pondo um fim na vigésima quinta dinastia. De acordo com Heródoto em As Histórias, Cambisses fez várias coisas abusivas contra a religião e os costumes egípcios e posteriormente enlouqueceu.)
A Filosofia Pitagórica era que a essência de todas as coisas são números. Aristóteles escreveu em Metafísica que
Eles pensavam que eles encontravam em números, mais do que no fogo, terra ou água. Então, já que todas as coisas pareciam em sua natureza completa serem igualadas a números, enquanto que números pareciam ser as primeiras coisas em toda a natureza, eles propuseram os elementos dos números como os elementos de todas as coisas, e o céu inteiro como uma escala musical e um número.
Harmonias musicais, os lados de triângulos retos, e as orbitas de diferentes planetas podiam todos ser descritos por razão. Isso levou a especulações místicas sobre as propriedades dos números especiais. Na Astronomia, os Pitagóricos tinham o conceito de “Ano Platônico”. Se a razão do período dos planetas
Figura1. 5. Os números tetraédricos T1 =1, T2=4, T3 = 10, T4 =20,...
são inteiros , então depois de um certo número de anos (de fato, o menos comum múltiplo de razões), os planetas retornarão a exata mesma posição novamente. E já que a astrologia diz que as posições dos planetas determina a ocorrência de eventos, segundo Eudemus,
...então eu devo sentar aqui com esta seta na minha mão e lhe contar umas coisas estranhas.
OS NÚMEROS TETRAÉDRICOS, , são análogos tridimensionais dos números triangulares, . Eles dão o número de objetos em uma pirâmide tetraédrica, isto é, uma pirâmide com base triangular, como a figura 1.5.
A camada th da pirâmide é um triângulo com objetos nele; então, por definição:
Aqui usamos a notação Sigma para indicar que o termo th na soma é um número triangular, .
Qual é o padrão na sequência dos poucos primeiros números tetraédricos: 1, 4, 10, 20, ...? Qual é a fórmula para para em geral? É possível dar uma prova tridimensional que . Usar cubos em vez de esferas ajuda. Primeiro, desloque os cubos de tal modo que eles se alinhem um sobre o outro, como fizemos em duas dimensões. Então, tente visualizar seis cópias dos cubos, as quais formam , preenchendo uma caixa com dimensões por por . Isso seria um análogo tridimensional da figura 1.3.
Se isso faz sua cabeça doer, lhe daremos uma outra prova que é mais longa, mas não tão tridimensional. Na verdade, você pode ver a seguinte explicação como um análogo bidimensional da prova unidimensional de Gauss que .
Viemos fazer isso no caso de n = 5 por concretude. Partindo da Eq (1.4) queremos somar todos os números no triângulo:
A fila th é o número triangular . Tiramos três cópias do triângulo, cada uma girada em 120º:
Os triângulos reorganizados ainda tem a mesma soma. Isso é o análogo de Gauss tirando uma segunda cópia da soma para escrito de trás para frente. Observe que se adicionarmos os triângulos da esquerda e do centro juntos, em cada fila, as somas são constantes.
Na fila k, todas as entradas são , assim como Gauss encontrou. No terceiro triângulo todas as entradas na fila são as mesmas; elas são iguais a , e mais é .
Temos um triângulo contendo números, dos quais cada é igual a . Portanto, 
Figura 1.6. Os números piramidais 
E portanto, 
Exercício 1.1.4. Use indução matemática para dar mais uma prova da Eq. (1.5), com definido pela Eq. (1.4).
Os NÚMEROS PIRAMIDAIS, , dão o número de objetos em uma pirâmide com uma base quadrada, como na Figura 1.6. A camada th da pirâmide é um quadrado com objetos nele; assim, por definição,
Desde que sabemos a relação entre os números quadrados e números triangulares, podemos ter uma fórmula para em função da fórmula de , do seguinte modo. A partir da Eq. (1.2) temos para todo . Isso funciona até mesmo para se definirmos , o que faz sentido. Portanto, 
De acordo com a Eq. (1.5) This is Just
As fórmulas 
são belas. Podemos generaliza-los? Existe uma fórmula para somas dos cubos? Na verdade existe, devido a Nicomachus de Gerasa. Nicomachus observou o padrão interessante na soma de números ímpares: 
Parece indicar que a soma dos cubos consecutivos vai ser a mesma que a soma dos números ímpares consecutivos.
Mas quantos números ímpares precisamos usar? Nota-se que 5 é o terceiro número ímpar, e . Similarmente, 11 é o sexto número ímpar, e . Nós supomos que o padrão é que a soma dos primeiros cubos é a soma dos primeiros números ímpares . Agora a Eq. (1.3) se aplica e esta soma é apenas . A partir da Eq. (1.1), isto é, . Assim, parece como se 
Mas o argumento anterior foi na sua maior parte inspirado por suposição, por isso uma prova cuidadosa por indução é uma boa ideia. O caso base é fácil, porque . Agora nós podemos assumir que o caso 
Tabela 1.1. Outra prova da identidade Nicomachus
é verdade e use-a para provar o caso seguinte. Porém
pela hipótese de indução. Agora, coloque os dois termos sobre o denominador comum e simplifique para obter .
Exercício 1.1.5. Aqui está mais uma prova de que 
com os detalhes a serem preenchidos. As entradas da tabela de multiplicação são apresentadas na Tabela 1.1. Cada um dos lados da equação pode ser interpretado como uma soma de todas as entradas da tabela. Para o lado esquerdo da Eq. (1.9), forma “gnomons” a partir do canto superior esquerdo. Por exemplo, a segunda é de 2, 4, 2. O terceiro é de 3, 6, 9, 6, 3, e assim por diante.
Qual parece ser o padrão quando você adicionar os termos do gnomon th? Para provar sua conjectura, considere as seguintes questões: 
Qual é o fator comum de todos os termos do gnomon th?
Caso você inclua isso, você pode escrever o que resta em termos de números triangulares?
Você pode escrever o que resta em termos de quadrados?
Combine essas ideias para provar a conjectura que você fez.
O lado direito da Eq. (1.9) é . Por que razão é que a soma do entradas no linhas e colunas é igual a ?