AMII-Teoria de campo Slide

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Instituto Superior Politécnico de Songo
Analise Matemática II
Elementos da teoria de campo
Songo, Novembro de 2018
Sumario
Tópicos-chaves
• Noção de campo escalar e vectorial;
• Noção de Gradiente, divergência, fluxo, rotacional e circulação
de um campo vectorial.
• Teorema de Ostrogradski - Gauss;
• Teorema de Stokes;
• Campos solenoidal, conservativo e harmónico
Elementos da teoria campo
Campo
Definição 1.1 (Campo escalar). Seja S uma região no espaço
bidimensional ou tridimensional e seja f, uma função definida em
S. Então, a cada ponto P(x , y) ou P(x , y , z) ∈ S , f associa
uma grandeza escalar f (P). A região S, juntamente com os
valores de f em cada um dos seus pontos é denominada por
campo escalar.
Definição 1.2 (Campo vectorial)
Matematicamente um campo vectorial é uma construção que
associa um vector a todo ponto de uma variedade diferenciável.
Isso é, um campo de vectores é uma função vetorial que associa
um vector a cada ponto P(x , y , z) do espaço xyz , genericamente
dada por:
~F (x , y , z) = f (x , y , z)~i + g(x , y , z)~j + h(x , y , z)~k
Gradiente de uma função
No cálculo vectorial o gradiente (ou vector gradiente) é um
vector que indica o sentido e a direção na qual, por deslo-
camento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior
incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual
se define um campo escalar para o espaço em consideração.
Exemplo:
f(x , y , z ) = 2x + 5y 2 − cosz . Tem se a base cartesiana ~i ,~j , ~k .
grad f = ∂(2x + 5y
2 − cosz)
∂x
~i + ∂(2x + 5y
2 − cosz)
∂y
~j +
∂(2x + 5y 2 − cosz)
∂z
~k
~∇ = (2; 10y ; sin z) ou explicitamente ~∇ = (2)~i + (10y)~j +
(sin z)~k
Divergência de um campo vectorial
Se ~F = P~i + Q~j + R~k é um campo vectorial em R3 e existem
∂P
∂x ,
∂Q
∂y e
∂R
∂z então a divergência de F é a função e três
variáveis definida por:
divF = ∂P
∂x +
∂Q
∂y +
∂R
∂z
Observe que rot F é um campo vectorial, mas div F é um campo
escalar. Em termos do operador gradiente ∇ = ∂
∂x
~i + ∂
∂y
~j +
∂
∂z
~k a divergência de F pode ser escrita simbolicamente como
o produto escalar de ∇ e F:
div F = ∇.F
Divergência de um campo vectorial
Exemplo
Exemplo: Se F (x , y , z) = xz~i + xyz~j − y 2~k , então ache div F.
div F = ∇.F = ∂
∂x (xy) +
∂
∂y (xyz) +
∂
∂z (−y
2) = z + xz
Se F é um campo vectorial sobre R3, então rot F também é
um campo vectorial sobre R3. Como tal, podemos calcular sua
divergência.
Teorema
Teorema 1.0: Se ~F = P~i + Q~j + R~k é um campo vectorial
sobre R3 e P, Q e R tem derivadas parciais de segunda ordem
continuas, então:
div rot F = 0
Usando as definições de divergência rotacional temos:
div rot F = ∇.(∇xF)
Divergência de um campo vectorial
Continuação
Usando as definições de divergência rotacional temos:
div rot F = ∇.(∇xF)
div rotF = ∂
∂x
(
∂R
∂y −
∂Q
∂z
)
+
∂
∂y
(
∂P
∂x −
∂R
∂x
)
+
∂
∂z
(
∂Q
∂x −
∂P
∂y
)
div rotF = ∂
2R
∂x∂y −
∂2Q
∂x∂z +
∂2P
∂y∂z −
∂2R
∂y∂x +
∂2Q
∂z∂x −
∂2P
∂z∂y
div rotF = 0
Divergência de um campo vectorial
Continuação
A razão para o nome divergência pode ser entendida no
contexto da mecânica dos fluidos. Se F (x , y , z) é a velocidade
de um liquido, então div F (x , y , z) representa a taxa liquida da
variação (com relação ao tempo) da massa do liquido fluindo
no ponto (x , y , z) por unidade de volume. Em outras palavras,
div F (x , y , z) mede a tendência de o fluido diferir do ponto
(x , y , z). Se div F = 0, então F é dito incompressível.
div(∇f ) = ∇.(∇f ) = ∂
2f
∂x2 +
∂2f
∂y 2 +
∂2f
∂z2 sub forma abreviada
ficamos com, ∇2f .
Divergência de um campo vectorial
Continuação
Operador esse que é chamado de operador de Laplace.
∇2f = ∂
2f
∂x2 +
∂2f
∂y 2 +
∂2f
∂z2
Logo aplica-se também o operador de Laplace a um vector
~F = P~i + Q~j + R~k em termos de seus componentes:
∇2~F = ∇2P~i +∇2Q~j +∇2R~k
Fluxo de um campo vectorial
Definição
O fluxo de um campo vectorial é análogo ao fluir de um fluido
incompressível (tal como a água).
Suponhamos que o campo vectorial F seja dado por F = ρV ,
onde ρ = ρ(x , y , z) e V = V (x , y , z) são, respectivamente, a
densidade de massa e a velocidade de um fluído em movimento,
confinado em um recipiente S; como ilustrado na Figura abaixo.
Fluxo de um campo n.
Fluxo de um campo vectorial
continuação
O fluxo, ou a quantidade de um fluido que atravessa a área
elementar dS, na unidade de tempo, na direcção da normal n,
é medido pelo cilindro de base dS e altura F .n, isto é, ρ =
ρ(V .n)dS, é a massa do fluido que atravessa dS, na direcção
da normal n. A massa de fluido que atravessa superfície S, na
direcção da normal, é portanto;∫∫
s
(F n)dS =
∫∫
s
ρ(V.n)dS
Exemplo: Seja S um corte cilíndrico y 2 + z2 = 1, 0 ≤ z ,
Pelos planos x = 0 e x = 1.
Fluxo de um campo vectorial
Exemplo
Determinar o fluxo do campo F = yz~j + z2~k através de S.
A equação da superfície S é f (x , y , z) = 0, com f (x , y , z) =
y 2 + z2 − 1, de modo
dS = |∇f | dxdy|∇f .k| =
√
y 2 + z2
z dxdy
e
n = ∇f|∇f | =
y~j + z~k√
y 2 + z2
Sobre a superfície S temos y 2 + z2 = 1, e consequentemente,
F .n = y 2z + z3 = z(y 2 + z2) = z , dS = dxdyz
Fluxo de um campo vectorial
Exemplo
Assim o fluxo do campo F é:
F =
∫∫
S
(F .n)dS =
∫∫
S
zdS =
∫∫
Dxy
dxdy =
∫ 1
0
∫ 1
−1
dydx = 2
A figura abaixo ilustra a superfície S e sua projecção Dxy no
plano xy.
Superfície S.
Rotacional de um campo vectorial
Definição
Seja ~f (x , y , z) = f1(x , y , z)~i + f2(x , y , z)~j + f3(x , y , z)~k um
campo vectorial definido em um domínio D com derivada de
primeira ordem continuas em D definimos o rotacional de ~f
denotado por ~f Como:
rot ~F=∇ x F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
f1 f2 f3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
(
∂F3
∂y −
∂F2
∂z
)
~i +
(
∂F1
∂z −
∂F3
∂x
)
~j +
(
∂F2
∂x −
∂F1
∂y
)
~k
Rotacional de um campo vectorial
Exemplo:
Determinar rot ~f sendo ~f = xzy 2~i + xyz~j + 3xy~k . Temos
rot~f = ∇ x ~f∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
xyz2 xyz 3xy
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (3x − xy)
~i + (xy 2−3y)~j + (yz −2xzy)~k
Rotacional de um campo vectorial
Propriedades
Sejam ~f (x , y , z) = (f1, f2, f3) e ~g(x , y , z) = (g1, g2, g3) Funções
vectoriais definidas em um domínio D com derivadas parciais
de primeira ordem continuas em D. então:
i) rot(~f + ~g) = rot~f + rot~g
ii) rot(h~f ) = h rot~f + grad h x~f ;
O teorema a seguir diz que o rotacional do gradiente de um
campo vectorial é 0.
Rotacional de um campo vectorial
Propriedades
Teorema 2.0
Se f é uma função de três variáveis que tem derivadas parciais
de segunda ordem continuas, então rot(∇f ) = 0.
Teorema
Teorema 3.0: se F é um campo vectorial definido sobre todo
R3 cujas funções componentes tem derivadas parciais de se-
gunda ordem continuas e rot F = 0. Então F é um campo
vectorial conservativo.
Circulação de um campo vectorial
Definição
Como ilustração, suponhamos que rot(F) = z~i e represente-
mos por γ o corte do paraboloide z = x2 + y 2 pelo plano
z = 1, com orientação positiva, e sejam S1 a superfície
do paraboloide z = x2 + y 2; 0 ≤ z ≤ 1, e S2 o disco
S2 = {(x , y , 1) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1}
Circulação de um campo vectorial
Continuação
Podemos olhar a curva γ como o bordo comum das superfícies
S1 e S2 e, por meio de cálculos directos, comprovaremos as
seguintes relações:∮
γ
(F.T )ds =
∫∫
s1
[rot(F).n1]dS =
∫∫
s2
[rot(F).n2]dS
Onde n1 e n2 são, respectivamente, as normais unitárias exte-
riores às superfícies S1 e S2:
Circulação de um campo vectorial
Cálculo da integral de linha e de superfície
Cálculo da integral de linha
Parametrizando o bordoγ pelas equações x = cost; y = sent
e z = 1; 0 ≤ t ≤ 2pi, obtemos:∮
γ
(F.T)dS =
∮
γ
xdx+ydy+yzdz =
∫ 2pi
0
[cos t(− sin t)+sin t(cos t)]dt = 0
Cálculo das integrais de superfícies
A partir das descrições das superfícies S1 e S2, obtemos:
dS1 =
√
1 + 4x2 + 4y 2dxdy , n1 =
2x~i + 2y~j − ~k√
1 + 4x2 + 4y 2
dS2 = dxdy n2 = k e um cálculo directo nos dá rot(F ) = z~i .
Portanto,
Circulação de um campo vectorial
Cálculo da integral de linha e de superfície
dS2 = dxdy n2 = k e um cálculo directo nos dá rot(F ) = z~i .
Portanto,∫∫
s1
[rot(F).n1]dS =
∫∫
Dxy
2xzdxdy = 2
∫ 2pi
0
∫ 1
0
r 4cosθdrdθ = 0
e ∫∫
s2
[rot(F).n2]dS =
∫∫
s2
0ds
como queríamos. A integral de linha
∮
γ
(F.T)dS recebe o nome
de circulação do campo F ao redor da curva γ, enquanto a inte-
gral de superfície
∫∫
s
(rot(F ).n1]dS é o fluxo de rot(F ) através
da superfície S, na direção da normal n.
Circulação de um campo vectorial
Cálculo da integral de linha e de superfície
A Fórmula de Stokes estabelece que: "a circulação do campo
F ao redor de γ é igual ao fluxo do rotacional de F através da
superfície S, da qual é o bordo". Em símbolos, temos :∮
γ
(F.T)ds =
∫∫
s
[rot(F).n]dS
que coincide com a Fórmula de Green , no caso em que N = 0
e n = k e S = D.
Circulação de um campo vectorial
Exemplo
Seja γ uma curva fechada e regular contida no plano pi : 2x +
2y+z = 2 mostre que a circulação do campo ~F = 2y~i+3z~j−x~k
depende apenas do valor da área da região plana S delimitada
por γ. Temos que rot(F ) = 3~i + ~j + 2~k e considerando o
vector unitário n = 23
~i + 23
~j + 13
~k normal ao plano pi, então∮
γ
(F.T)dS =
∫∫
s
[rotF.n]dS = −
∫∫
s
2dS = −2A(S)
Assim, a circulação do campo F ao redor da curva γ, é −2A(S).
Teorema de divergência (Ostrogradski - Gauss)
Definição
Reescrevendo o teorema de Green na versão vectorial teremos:∫
c
F.n dS =
∫∫
D
div F(x , y)dA
Onde C é a curva fronteira da região do plano D, orientada po-
sitivamente. Se quisermos estender esse teorema para campos
vectoriais em R3, podemos constatar que:∫∫
s
F.n dS =
∫∫∫
E
div F(x , y , z)dV
Teorema de divergência (Ostrogradski - Gauss)
Definição
Onde S é a superfície fronteira da região sólida. E a equação
acima apenas é verdadeira sob hipóteses apropriadas, e é cha-
mada Teorema da Divergência. Nota se sua semelhança com
os teoremas de Green e de Stokes no facto que ele relaciona a
integral da derivada de uma função ( div F, nesse caso) sobre
uma região com a integral da função original F sobre a fronteira
da região.
Teorema de divergência (Ostrogradski - Gauss)
Teorema
Teorema
Teorema 4.0 (Teorema da Divergência) Seja E uma região
sólida simples e seja S a superfície fronteira de E, orientada
positivamente (para fora). Seja F um campo vectorial cujas
funções componentes têm derivadas parciais contínuas em uma
região aberta que contenha E. Então:∫∫
s
F.dS =
∫∫∫
E
div F dV
Teorema de divergência (Ostrogradski - Gauss)
Exemplo
Calcule o integral abaixo onde F (x , y , z) = xy~i + (y 2 + exz2)~j +
sin xy~k ∫∫
s
F.dS
S é a superfície de região E, limitado pelo cilindro parabólico
z = 1− x2 e pelos planos z = 0, y = 0 e z + y = 2.
divF = ∂
∂x (xy) +
∂
∂y (y
2 + exz2) + ∂
∂z (sin xy) = y + 2y = 3y
Usando o teorema de divergência para transformar o integral
de superfície para integral tripla, em que o modo mais fácil de
calcular o integral triplo é escrever E como uma região do tipo
3.
Teorema de divergência (Ostrogradski - Gauss)
Exemplo
divF = ∂
∂x (xy) +
∂
∂y (y
2 + exz2) + ∂
∂z (sin xy) = y + 2y = 3y
Usando o teorema de divergência para transformar o integral de
superfície para integral tripla, o modo mais fácil de calcular o
integral triplo é escrever E como uma região do tipo 3.
−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1− x2, 0 ≤ y ≤ 2− z∫∫
s
F.dS =
∫∫∫
E
divF.dV =
∫∫∫
E
3ydV
= 3
∫ 1
−1
∫ 1−x2
0
∫ 2−z
0
ydydzdx
=
184
35
Teorema de Stokes
Definição
Enquanto o Teorema de Green relaciona uma integral dupla
sobre uma região plana D com uma integral de linha ao redor
de sua curva fronteira plana, o teorema de Stokes relaciona uma
integral de superfície sobre uma superfície S com uma integral
ao redor da curva fronteira S (que é uma curva no espaço).
Teorema de Stokes
Teorema 5.0 (Teorema de Stokes): seja S uma superfície
orientada, lisa por trechos, cuja fronteira é formada por uma
curva C simples, fechada, lisa por trechos, com orientação po-
sitiva. Seja F um campo vectorial cujos componentes tem de-
rivadas parciais continuas na região aberta de R3 que contem
S. ∫
c
F.dr =
∫∫
s
rotF.dS
Teorema de Stokes
Exemplo
Usemos o teorema de Stokes para calcular o seguinte integral∫∫
s
rot F.dS onde F (x , y , z) = yz~i+xz~j+xy~k e S é a parte da
esfera x2 + y 2 + z2 = 4 que esta dentro do cilindro x2 + y 2 = 1
em cima do plano xy.
Teorema de Stokes
Exemplo
Em primeiro vamos intersectar x2 + y 2 + z2 = 4 e x2 + y 2 = 1
z2 = 3
z =
√
3, visto que z > 0, então C é a circunferência dada
pelas equações x2 + y 2 = 1, z =
√
3 a equação vectorial de
C é ~r(t) = cos(t)~i + sin(t)~j +
√
3~k , 0 ≤ t ≤ 2pi ,derivando a
expressão teremos:
r ′(t) = − sin t~i + cos t~j e também F (r(t)) = √3 sin t~i +√
3 cos t~j + cos t sin t~k . Portanto pelo teorema de Stokes,∫∫
D
rotFdS =
∫∫
C
F.dr =
∫ 2pi
0
F (r(t)).r ′(t)dt
=
∫ 2pi
0
(−
√
3 cos t sin t +
√
3 cos t sin t)dt =
√
3
∫ 2pi
0
0 dt = 0
Campos
Campo solenoidal
Definição. Campo solenoidal um campo vectorial derivado
~a(~r) chama-se solenoidal, se em cada ponto do campo div
~a = 0, neste caso o fluxo do vector através de qualquer
superfície fechada será igual a zero. E se for o caso do campo
ser em simultâneo potencial e solenoidal, então div(gradU) = 0
e a função potencial U é harmónica, isto é, satisfaz a equação
de Laplace.
Exemplo:
Dada a função F (x , y , z) = −yz + xz2 + x2y verifique se é
solenoidal div [F (x , y , z)] = ∂
∂x (−yz)+
∂
∂y (xz
3)+
∂
∂z (x
2y) = 0
Então a função é um campo solenoidal .
Campos
Campos conservativos
Definição. Seja ~f um campo vectorial em um domínio U.
Se u = u(x, y, z) é uma função diferenciável em U tal que
~f = grad u, dizemos que ~f é um campo conservativo ou um
campo gradiente em U. A função u é chamada função potencial
de ~f em U.
Teorema
Teorema 6.0. Seja ~f = (f1, f2, f3) um campo vectorial continuo
em um domínio U, com derivadas parciais de primeira ordem
continuas em U. Se ~f admite uma função potencial U, então:
rot~f = ~0, ∀(x , y , z) ∈ U
Campo conservativo
Exemplo
Exemplo: Usando o teorema acima citado, o que podemos
afirmar no que diz respeito no seguinte campo vectorial ~f em
D.
~f = (4xy + z)~i + 2x2~j + x~k em D = R3. O campo dado é
continuo com derivadas parciais da primeira ordem continuas.
Além disso,
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
4xy + z 2x2 x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0− 0)
~i + (1− 1)~j + (4x − 4x)~k
Portanto ~f é um campo conservativo em R3
Campo Harmónico
Definição
Campo Harmónico (equação de Laplace). A procura de
um campo escalar U para o qual ∆U = 0 (div gradU = 0),
leva a equação de Laplace, assim se chama a equação diferen-
cial em derivadas parciais ∂
2U
∂x2 +
∂2U
∂y 2 +
∂2U
∂z2 = 0 ou mesmo no
plano ∂
2U
∂x2 +
∂2U
∂y 2 = 0. As funções que satisfazem esta equa-
ção (continuas e com derivadas parciais continuas de primeira e
segunda ordem) chamam-se funções de Laplace ou funções
harmónica.
Campo Harmónico
Exemplo
Exemplo: Seja f (x , y) = ex+y . Calcule o laplaciano e
descubra se é harmónica ou não.
∇f =
(
∂f
∂x ,
∂f
∂y
)
∂f
∂x =
∂(ex+y)
∂x = e
x+y ∂f
∂y =
∂(ex+y)
∂y =
ex+y
∇2f= div(∇f ) = ex+y + ex+y = 2ex+y já que ∇2f 6= 0
Então tira se a conclusão de que a função f (x , y) = ex+y não
é harmónica.
Fim