geométrica analítica

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GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
E 
ÁLGEBRA 
LINEAR 
 
 
Professora Roberta Mastrochirico 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
 
1– MATRIZES_____________________________________________________1 
� Definição______________________________________________________1 
�
 Matriz Quadrada _______________________________________________ 1 
� Matriz Linha __________________________________________________ 2 
�
 Matriz Coluna __________________________________________________2 
� Matriz Triangular________________________________________________3 
�
 Matriz Diagonal_________________________________________________3 
� Matriz Identidade ______________________________________________ 3 
�
 Matriz Nula ____________________________________________________4 
� Matrizes Iguais _________________________________________________4 
Exercícios ________________________________________________________4 
 
2 –OPERAÇÕES COM MATRIZES____________________________________ 5 
�
 Adição de Matrizes _____________________________________________ 5 
� Propriedades da Adição de Matrizes________________________________ 5 
�
 Subtração de Matrizes __________________________________________ 5 
� Multiplicação de uma matriz por um escalar__________________________ 6 
�
 Multiplicação de Matrizes ________________________________________ 7 
� Propriedades da Multiplicação de Matrizes___________________________ 8 
Exercícios_______________________________________________________ 8 
 
3 – DETERMINANTES_____________________________________________11 
�
 Determinante de matriz quadrada de ordem 1________________________11 
� Determinante de matriz quadrada de ordem 2________________________11 
�
 Determinante de matriz quadrada de ordem 3: (Regra de Sarrus) ________12 
Exercícios _______________________________________________________13 
 
4 – RESOLUÇÃO E DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES ______________15 
� Sistemas Lineares ____________________________________________ 15 
�
 Sistemas Homogêneos _________________________________________15 
� Tipos de Sistemas_____________________________________________ 15 
�
 Sistemas Equivalentes _________________________________________ 15 
� Resolução de um Sistema Linear pelo Método da Adição______________ 16 
�
 Resolução de um sistema linear pela Regra de Cramer _______________ 18 
� Resolução de um sistema linear por Escalonamento __________________20 
Exercícios _______________________________________________________23 
 
5 – VETORES ___________________________________________________ 25 
�
 Definição_____________________________________________________25 
� Caracterização ________________________________________________25 
�
 Notação ____________________________________________________ 25 
� Coordenadas de um vetor: (Expressão Analítica)_____________________ 25 
�
 Módulo _____________________________________________________ 26 
� Vetor Nulo____________________________________________________26 
�
 Vetor Oposto _________________________________________________27 
� Vetores Paralelos _____________________________________________ 27 
�
 Vetores Coplanares ___________________________________________ 27 
� Vetor Unitário ________________________________________________ 28 
�
 Versor_______________________________________________________28 
� Expressão Cartesiana de um Vetor ________________________________29 
�
 Ponto Médio de um segmento ____________________________________30 
Exercícios _______________________________________________________31 
 
6 – OPERAÇÕES COM VETORES___________________________________ 34 
� Adição e Subtração de Vetores___________________________________ 34 
�
 Propriedades da Adição de Vetores _______________________________ 36 
� Multiplicação de um Vetor por um Escalar___________________________36 
�
 Propriedades da Multiplicação de um Vetor por um Escalar_____________ 37 
Exercícios _______________________________________________________38 
 
7 – COMBINAÇÃO LINEAR, DEPENDÊNCIA LINEAR E BASES 
CANÔNICAS_____________________________________________________40 
COMBINAÇÃO LINEAR ____________________________________________40 
DEPENDÊNCIA LINEAR __________________________________________42 
� 1 vetor_______________________________________________________42 
�
 2 vetores ____________________________________________________ 42 
� 3 vetores ____________________________________________________ 42 
�
 4 vetores ou mais _____________________________________________43 
� BASES CANÔNICAS___________________________________________43 
Exercícios _______________________________________________________44 
 
8 – PRODUTO ENTRE VETORES____________________________________45 
PRODUTO ESCALAR_____________________________________________ 45 
� Definição_____________________________________________________45 
�
 Propriedades e Relações do Produto Escalar________________________ 45 
� Aplicações Geométrica do Produto Escalar _________________________ 47 
PRODUTO VETORIAL ____________________________________________ 49 
� Definição_____________________________________________________49 
�
 Propriedades e Relações do Produto Vetorial________________________ 50 
� Aplicações Geométrica do Produto Vetorial _________________________51 
PRODUTO MISTO _______________________________________________ 53 
� Definição_____________________________________________________53 
�
 Aplicações Geométrica do Produto Misto ___________________________ 54 
Exercícios _______________________________________________________56 
 
9 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES DE 
�
�
 EM 
�
�
_____________________ 58 
Exercícios _______________________________________________________59 
 
10 – ESTUDO DA RETA____________________________________________61 
�
 Equação Vetorial de uma Reta ___________________________________ 61 
� Equações Paramétricas de uma Reta______________________________ 61 
�
 Equação Simétrica de uma Reta__________________________________ 61 
Exercícios _______________________________________________________63 
 
11 – POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS ____________________ 64 
� Retas Paralelas Coincidentes_____________________________________64 
�
 Retas Paralelas Distintas ________________________________________64 
� Retas Concorrentes ___________________________________________ 64 
�
 Retas Concorrentes e Perpendiculares_____________________________ 64 
� Retas Reversas ______________________________________________ 66 
Exercícios _______________________________________________________67 
 
12 – ESTUDO DO PLANO__________________________________________ 68 
�
 Equação Vetorial de um Plano ___________________________________ 68 
� Equações Paramétricas de um Plano______________________________ 68 
�
 Equação Geral de uma Plano_____________________________________68 
Exercícios _______________________________________________________70 
 
13 – CÔNICAS – CIRCUNFERÊNCIA_________________________________ 71 
Exercícios _______________________________________________________73 
 
14 – CÔNICAS – PARÁBOLA_______________________________________ 74 
Exercícios _______________________________________________________76 
 
15 – CÔNICAS – ELIPSE __________________________________________ 77 
Exercícios _______________________________________________________80 
 
16 – CÔNICAS – HIPÉRBOLE ______________________________________81 
Exercícios _______________________________________________________84 
 
17 - RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS_________________________________85 
� 1 – MATRIZES________________________________________________ 85 
�
 2 – OPERAÇÕES COM MATRIZES_______________________________ 85 
� 3 – DETERMINANTES ________________________________________ 87 
�4 – RESOLUÇÃO E DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES __________88 
� 5 – VETORES _______________________________________________ 94 
�
 6 – OPERAÇÕES COM VETORES_______________________________98 
� 7 – COMBINAÇÃO LINEAR, DEPENDÊNCIA LINEAR E BASES 
CANÔNICAS ________________________________________________100 
� 8 – PRODUTO ENTRE VETORES_______________________________ 102 
�
 9 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES DE �� EM �	_________________107 
�
 10 – ESTUDO DA RETA_______________________________________ 111 
� 11 – POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS ________________ 113 
�
 12 – ESTUDO DO PLANO______________________________________115 
� 13 – CÔNICAS – CIRCUNFERÊNCIA_____________________________118 
 14 – CÔNICAS – PARÁBOLA ___________________________________119 
 15 – CÔNICAS – ELIPSE ______________________________________ 120 
 16 – CÔNICAS – HIPÉRBOLE __________________________________122 
 
 
 
 
 
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�
MATRIZES 
 
� Definição: Uma matriz 
���
 (� por �) é uma tabela de � � números dispostos em � 
linhas e 
�
 colunas. 
 � �
�
��
�
��
�
��
� �
��
�
��
�
��
�
��
� �
��
ff ff ff ff ff
�
��
�
��
�
��
� �
��
fi
 
 
Usamos também a notação 
 � fl�
ffi�
 
���
. 
Dizemos que �
ffi�
 é o elemento ou a entrada de posição !, " da matriz 
. 
 
Exemplo: 
� # �
�
$
% & '
( ) *
&
+ 
 
A matriz 
 é & por 
(
, ou seja, tem 2 linhas e 3 colunas. 
 
 
Observações: 
 
�
��
,
 É o elemento da matriz 
 que está localizado na primeira linha e na primeira 
coluna. Neste exemplo, temos: �
��
�
%. 
 
�
��
,
 É o elemento da matriz 
 que está localizado na segunda linha e na terceira 
coluna. Neste exemplo, temos: �
��
� *
&. 
 
��
,
 É uma matriz que possui duas linhas e três colunas. 
 
 
�
 Matriz Quadrada: Se 
� � �
, dizemos que 
 é uma matriz quadrada de ordem 
�
. 
Os elementos �
��
, �
��
, �
��
-
 ... , �
��
 formam a diagonal principal de 
. E os 
elementos �
�
�
, �
�
.
�/
�
0
, �
�
.
�/
�
0
- ... , �
.
�/
�
0
�
- 
�
�
�
 formam a diagonal secundária de 
. 
 
 
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1
Exemplos: 
1) 2
3 4 3
5 6
7 8
9 :
;
 
A matriz 
2
 é 
8 < 8
, ou seja é quadrada de ordem 
8
. Os elementos =
>>
5 7
 e =
33
5 :
 
formam a diagonal principal de 
2
. Os elementos =
>3
5 8
 e =
3>
5 9
 formam a diagonal 
secundária de 
2. 
 
2) ?
@
5 A
7 B 8
C D8 7
DE F 9
G 
A matriz ? é 9 < 9, ou seja é quadrada de ordem 9. Os elementos =
>>
5 7
, =
33
5 D8 
e =
@@
5 9
 formam a diagonal principal de ?. Os elementos =
>@
5 8
, =
33
5 D8 e =
@>
5 DE
, 
formam a diagonal secundária de ?. 
 
 
H Matriz Linha: Uma matriz que só possui uma linha é chamada matriz linha. 
 
Exemplo: 
2
>
4
@
5
I
7
9 D
8
J
 
 
A matriz 
2
 é 
7
 por 9, ou seja, tem 1 linha e 3 colunas. Desta forma, a matriz 
2
 é uma 
matriz linha. 
 
 
H
 Matriz Coluna: Uma matriz que só possui uma coluna é chamada matriz coluna. 
 
Exemplo: 
2
@
4
>
5
K
7
:
D9
L 
 
A matriz 2 é 9 por 7, ou seja, tem 3 linhas e 1 coluna. Desta forma, a matriz 2 é uma 
matriz coluna. 
 
 
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M
N Matriz Triangular: Uma matriz quadrada é uma matriz triangular se os elementos acima 
ou abaixo da diagonal principal são todos nulos. 
 
Exemplos: 
O P Q
R S S
T U S
V W XY
Z e [ P \
] Y V XW
S U T S
S S U X]
S S S ^
_ 
 
As matrizes O e [ são matrizes triangulares. 
 
 
N Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada é uma matriz diagonal se todos os elementos 
acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero. 
 
Exemplos: 
O P Q
R S S
S
U
S
S S XY
Z e [ P \
]
S S S
S
U
S S
S S
U
S
S S S ^
_ 
 
As matrizes O e [ são matrizes diagonais. 
 
 
N
 Matriz Identidade: Uma matriz quadrada é uma matriz identidade se todos os elementos 
da diagonal principal são iguais a um e os outros elementos da matriz são iguais a zero. 
O símbolo para esta matriz é 
`
a
, onde 
b
 é a ordem da matriz. 
Exemplos: 
`
c
P
d
]
S
S
]
e
 , 
`
f
P Q
]
S S
S
]
S
S S
]
Z e 
`
g
P \
]
S S S
S
]
S S
S S
]
S
S S S
]
_ 
 
Em uma matriz identidade, temos h
i
jk
P ]l mini o P p
i
jk
P
S
l mini o
q
p
. 
 
 
 
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r
s Matriz Nula: Uma matriz é uma matriz nula se tem todos os elementos iguais à zero. 
O símbolo para uma matriz nula de t linhas e u colunas é v
wxy
, e se a matriz for 
quadrada de ordem u o símbolo é v
y
. 
 
Exemplos: 
v
z
{ |
} }
} }
~ , v

{ €
} } }
} } }
} } }
 e v
zx
{ |
} } }
} } }
~ 
 
 
s Matrizes Iguais: Dizemos que duas matrizes são iguais se elas têm o mesmo tamanho e 
os elementos correspondentes são iguais, ou seja, ‚ { ƒ„
…†
‡
wxy
e ˆ { ƒ‰
…†
‡
Łx‹
são iguais se 
t { Œ
, 
u { 
 e „
…†
 = ‰
…†
 para Ž {  ‘ ‘ ‘  t e ’ {  ‘ ‘ ‘  u. 
 
Exemplo: 
‚
{ €

} “
“ ”• –
”

• ”
—
 e ˆ { €

} “
“ ”• –
”

• ”
—
 
 
As matrizes ‚ e ˆ são iguais. 
 
EXERCÍCIOS: 
1)Dadas as matrizes‚
{ ˜
– ™ ”

—
”• “
š
 e ˆ
{ ›
 —
”“

ϥ

}
”“™

}•

ž
Ÿ
, identifique: 
a)„

 c)„

z
 e)„
zz
 g)„


 
b)‰

 d)‰
z

 f)‰
z
 h)‰

 
2)Escreva as matrizes: 
a)‚ { ƒ„
…†
‡
z 
 tal que „
…†
{
Ž
¡
’ b)ˆ
{
ƒ‰
…†
‡
¢
 z
 tal que „
…†
{ “
Ž
” •
’ 
 
3) Sabendo que 
€
„
”£ • ¤
”
 ‰ ¥
”œ

“ ¦ “

 { €
— §
• ”™
”

} –
¨
© ¦ ª


, determine „, ‰, 
©
, 
¤
, 
ª
, §, ¨ e ¥. 
 
4) Escreva a matriz identidade de ordem 3 «¬

­
 e a matriz identidade de ordem 5 «¬
®
­. 
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¯
OPERAÇÕES COM MATRIZES: 
 
° Adição de Matrizes: A soma de duas matrizes de mesma ordem ± ² ³´
µ¶
·
¸¹º
e 
» ² ³¼
µ¶
·
¸¹º
 é definida como sendo a matriz ½ ² ³¾
µ¶
·
¸¹º
 tal que ½ ² ± ¿ », obtida 
somando-se os elementos correspondentes de ± e », ou seja, ¾
µ¶
² ´
µ¶
¿ ¼
µ¶
, para 
À ² ÁÂ Ã Ã Ã Â Ä e Å ² Á à à à  Æ. Escrevemos também DZ ¿ »È
µ¶
² ´
µ¶
¿ ¼
µ¶
. 
Exemplo: 
Considere as matrizes: 
± ² É
Á Ê ËÌ
Ì Í Î
Ï e » ² ÉËÊ Á Ð
Î Ì ËÍ
Ï. Se chamarmos de ½ 
a soma das duas matrizes ± e », então temos: 
½ ² ± ¿ » ² É
Á Ê ËÌ
Ì Í Î
Ï ¿ É
ËÊ Á Ð
Î Ì ËÍ
Ï ² É
Á Ë Ê Ê ¿ Á ËÌ ¿ Ð
Ì ¿ Î Í ¿ Ì Î Ë Í
Ï ² É
ËÁ Ì Ê
Ì Ñ ËÍ
Ï 
 
° Propriedades da Adição de Matrizes: Dadas as matrizes±, » e ½, de mesma ordem, e 
a matriz nula Ò, também de mesma ordem, temos: 
Associativa: Ó ¿ ÔÕ ¿ Ö×
²
Ô
Ó ¿ Õ×
¿ Ö 
Comutativa: Ó ¿ Õ
²
Õ¿ Ó 
Elemento Neutro da adição: Ó ¿
Ø ² Ù
¿ Ó
²
Ó 
Elemento simétrico: Ó ¿ ÔËÓ× ² ÔËÓ× ¿ Ó ² Ø 
 
°
 Subtração de Matrizes: A subtração de duas matrizes de mesmo tamanho 
± ² ³´
µ¶
·
¸¹º
 e »
² ³
¼
µ¶
·
¸¹º
 é definida como sendo a matriz ½
² ³
¾
µ¶
·
¸¹º
 tal que 
½
² ±
Ë »
² ±
¿
Ô
Ë»
×, obtida somando-se os elementos correspondentes de 
±
 com o 
oposto dos elementos correspondentes de », ou seja, ¾
µ¶
² ´
µ¶
¿
³
˼
µ¶
·
, para 
À ² ÁÂ Ã Ã Ã Â Ä
 e 
Å ² ÁÂ Ã Ã Ã Â Æ
. Escrevemos também 
DZ
¿ »
È
µ¶
² ´
µ¶
¿
³
˼
µ¶
·
. 
Exemplo: 
Considere as matrizes: 
± ²
É
Á
Ê ËÌ
Ì
Í Î
Ï e »
²
É
ËÊ
Á Ð
Î
Ì Ë
Í
Ï. Se chamarmos de ½ 
a subtração das duas matrizes 
±
 e », então temos: 
½
² ±
Ë »
² ±
¿
Ô
Ë»
×
²
É
Á
Ê ËÌ
Ì
Í Î
Ï Ë É
ËÊ
Á Ð
Î
Ì Ë
Í
Ï
²
 
²
É
Á
Ê ËÌ
Ì
Í Î
Ï ¿ É
¿Ê Ë
Á
Ë
Ð
Î
ËÌ ¿
Í
Ï
²
É
Á
¿ Ê Ê Ë
Á
ËÌ Ë
Ð
Ì ¿
Î Í
Ë Ì
Î
¿
Í
Ï
²
É
Ì
Á
Ë
Ú
Ì
Á Í
Ï 
 
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Û
Ü Multiplicação de uma matriz por um escalar: A multiplicação de uma matriz 
Ý Þ ßà
áâ
ã
äåæ
 por um escalar (número) ç é definida pela matriz è Þ ç Ý, de ordem éêë, 
obtida multiplicando-se cada elemento da matriz Ý pelo escalar ç, ou seja, ì
áâ
Þ ç à
áâ
, 
para í Þ îï ð ð ð ï é e ñ Þ îï ð ð ð ï ë. Escrevemos também òç Ý ó
áâ
Þ ç à
áâ
. 
Dizemos que a matriz èé um múltiploescalar da matriz Ý. 
Exemplos: 
1) O produto da matriz Ý Þ ô
õö î
÷ ø
ù õú
û pelo escalar 3 é dado por: 
øÝ Þ ô
ø
ð
ü
õö
ý
ø
ð î
ø ð ÷ ø ð ø
ø ð ù ø ð
ü
õú
ý
û Þ ô
õþ ø
÷ ß
îù õîö
û
 
 
2) O produto da matriz Ý Þ ô
õö î
÷ ø
ù õú
û pelo escalar õö é dado por: 
õöÝ Þ
ô
õö ð
ü
õö
ý
õö ð î
õö ð
÷
õö ð
ø
õö ð ù õö ð
ü
õú
ý
û
Þ
ô
ú õö
÷
õ
þ
õî
÷
+
û 
 
3) O produto da matriz Ý Þ
ô
õö î
÷ ø
ù õú
û
 pelo escalar î
ö
2 é dado por: 
î
ö
Ý Þ
3
4
4
4
4
5
î
ö
ð
ü
õö
ý
î
ö
ð î
î
ö
ð
÷
î
ö
ð
ø
î
ö
ð ù
î
ö
ð
ü
õú
ý
6
7
7
7
7
8
Þ
3
4
4
4
4
5õî
î
ö
÷
ø
ö
ù
ö
õö
6
7
7
7
7
8
9:
3
4
4
5
õî
î
ö
2
÷
ø
ö
2
ù
ö
2
õö
6
7
7
8
 
 
4) O produto da matriz Ý Þ ô
õö î
÷ ø
ù õú
û pelo escalar ö
ø
2 é dado por: 
ö
ø
Ý Þ
3
4
4
4
4
5
ö
ø
ð
ü
õö
ý
ö
ø
ð î
ö
ø
ð
÷
ö
ø
ð
ø
ö
ø
ð ù
ö
ø
ð
ü
õú
ý
6
7
7
7
7
8
Þ
3
4
4
4
5
õ
ú
ø
ö
ø
÷
ö
î
÷
ø
õ
+
ø
6
7
7
7
8
9: ;
õ
ú
ø
2
ö
ø
2
÷
ö
î
÷
ø
2 õ
+
ø
2
<
 
 
 
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�
� Multiplicação de matrizes: A multiplicação de duas matrizes é definida se o número de 
colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, ou seja, 
dadas as matrizes � � ��
��
�
	
�
e � � �
��
�
�
=
o produto destas matrizes é definido como 
sendo a matriz � � ��
��
�
	
=
 tal que � � ��, obtida multiplicando-se ordenadamente os 
elementos da linha �, da matriz 
�
, pelos elementos da coluna �, da matriz 
�
, e somando-
se os produtos obtidos. A matriz 
�
 é do tipo �->, ou seja, tem a quantidade de linhas da 
primeira matriz e a quantidade de colunas da segunda matriz. 
Exemplos: 
1) Durante a primeira fase da Copa do Mundo de futebol, realizada no Japão e na Coréia 
do Sul em 2002, o grupo C era formado por quatro países: Brasil, Turquia, Costa Rica e 
China. Observe os resultados (número de vitórias, empates e derrotas) de cada um, 
registrados em uma tabela e em uma matriz �, de ordem ffi-fl. 
 Vitórias Empates Derrotas 
Brasil 3 0 0 
Turquia 1 1 1 
Costa Rica 1 1 1 
China 0 0 3 
�
?
@
� �
fl � �
� � �
� � �
� � fl
� 
Pelo regulamento da Copa, cada resultado (vitória, empate e derrota)tem pontuação 
correspondente (3 pontos, 1 ponto e 0 ponto). Veja este fato registrado em uma tabela e 
em uma matriz �, de ordem fl-�. 
Número de Pontos 
Vitória 3 
Empate 1 
Derrota 0 
�
@
A
�
.
fl
�
�
/ 
Terminada a primeira fase, foi verificado o total de pontos feitos por cada país. Essa 
pontuação pode ser registrada numa matriz que é representada por 
��
 (produto de 
�
 
por 
�
). Veja como é obtida a matriz da pontuação. 
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�
Brasil: ��� � ��ff � ��� fi 1 
Turquia: 
ff�� � ff�ff � ff�� fi 
 
Costa Rica: 
ff�� � ff�ff � ff�� fi 
 
China: 
��� � ��ff � ��� fi � 
%
!"
(
#$&
fi !
#$'
� "
'$&
fi )
� � �
ff ff ff
ff ff ff
� � �
* � ,
�
ff
�
0 fi )
��� � ��ff � ���
ff�� � ff�ff � ff��
ff�� � ff�ff � ff��
��� � ��ff � ���
* fi )
1 � � � �
� � ff � �
� � ff � �
� � � � �
* fi )
1
 
 
�
* 
 
2)Considere as matrizes: !
'$B
fi ,
� C
D �
ff 
0
 e 
"
B$B
fi E
� ff
F C
G
. Se chamarmos de 
!"
'$B
o 
produto das duas matrizes ! e ", então temos: 
!" fi ,
� C
D �
ff
 
0 � E
� ff
F C
G fi ,
��� �
C
�
F
��ff �
C
�C
D�� � ��F D�ff � ��C
ff�� � �F ff�ff � �
C
0 fi ,
1 � ffC � � 
ffD � � D � �
� �
C 
ff � H
0 fi ,
Cff I
ffD D
C
I 1
0
 
 
J Propriedades da Multiplicação de Matrizes: Dadas as matrizes! e", de mesma 
ordem, e os escalares K e L, temos: 
Associativa: 
M
%
NO
(
fi
%
MN
(
O
 
Distributiva de um escalar: M%O � P( fi MO � MP 
Distributiva de uma soma de escalares: %
M � N
(
O fi MO � NO
 
Escalar Neutro da multiplicação: Q
O fi O
 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Dadas as matrizes 
! fi
R
C
�
S
ff
D �
C
T, 
" fi
R
ff �
 
S
� �
C
T, U
fi
R
SC
� ff
 
ff
C
T e 
V fi
R
ff ff �
C
ff �
T, calcule: 
a) ! � " d) V � U g) " � V j) ! � V m) ! S " 
b) V S U e) " S V h) ! S V k) D! n) SC" 
c) ffCU f) ff�V i) D! S C" l) ffCU � ff�V o) D! � ff�V 
 
2) Dadas as matrizes 
! fi
W
ff �
S
ff
C
D
S
I
S
�
C 
X, 
" fi
W
C S
ff
C
�
SC 
ff D
S
�
X e U
fi
W
S
ff
C
�
�
SC
ff
C
�
S
D
X, 
determine: 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - Professora Roberta Mastrochirico - robertafmu@hotmail.com
Y
a) Z [ \ d) B[] g) Z ^ ] j) \ ^ Z m) Z [ ] 
b) 
Z ^ \
 e) 
] ^ \
 h) 
\ ^ ]
 k) 
] ^ Z
 n) _
`
\
 
c) 
^a\
 f) 
^b]
 i) c
d
Z
 l) eZ ^ f\ o) b\ [ g] 
 
3) Dadas as matrizes Z h ie j
k ^j
l, \ h i
^j e
b f
l e ] h ig ^j
m n
l, determine: 
a) eZ [ \ ^ ] c) b] [ eo\ ^ ]p [ Z 
b) eZ ^ bo\ ^ Zp d) Z ^ eo\ ^ Zp [ moZ ^ ]p 
 
4) Determine o produto 
Z\
 quando: 
a) Z
dqd
h r
m j
a e
s e \
dqd
h r
^b f
je ^ek
s 
b) Z
dq`
h r
e m b
k je
s
 e 
\
`q`
h t
b j b
j ^j e
k
j
m
u
 
c) 
Z
d
q
d
h r
f j
j
k
e
s
 e 
\
d
q
d
h r
b
^
e
^
jf j
k
s
 
d) 
Z
`
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h t
j
f
b
u
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\
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`
h
o
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^
e g
p
 
e) Z
d
q
d
h r
f
^
j
b e
s e \
d
q
d
h r
b
k
^
j f
s 
f) 
Z
`
q
`
h t
e j b
^
e
k m
j
^
j
^
b
u
 e 
\
`
qc
h t
e
^
j
k
u
 
g) Z
`
q
`
h t
j e j
b j e
e j b
u e \
`
q
`
h t
e j
k
k k
j
b j e
u 
h) Z
`
q
`
h t
e j
k
k k
j
b j e
u e \
`
q
`
h t
j e j
b j e
e j b
u 
 
5) Dadas as matrizes Z h re b
f j
s, \ h r
b j
e j
s, ] h r
e b
j
m
s e v h rj ^j
e f
s, determine: 
a) Zd h ZZ e) eZ\ i) ]d h ]] m) e]v 
b) 
\
d
h \\
 f) 
Z [ \
 j) 
v
d
h vv
 n) 
] [ v
 
c) 
Z\
 g) 
Z ^ \
 k) 
]v
 o) 
] ^ v
 
d) 
\Z
 h) o
Z [ \
po
Z ^ \
p
 l) 
v]
 p) o
] [ v
po
] ^ v
p
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - Professora Roberta Mastrochirico - robertafmu@hotmail.com
wx
6) Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas 
para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação: 
 
 Modelos 
Componentes A B C 
Eixos 2 3 4 
Rodas 4 6 8 
 
Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela 
abaixo: 
 Meses 
Modelos Janeiro Fevereiro 
A 30 20 
B 25 18 
C 20 15 
 
Usando a multiplicação de matrizes, responda: nessas condições, quantos eixos e 
quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a 
produção planejada? 
 
 
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yy
DETERMINANTES: 
 
Toda matriz quadrada tem, associada a ela, um número chamado de 
determinante da matriz, obtido por meio de operações que envolvem todos os elementos 
da matriz. 
Não existe determinante de matriz que não seja quadrada. 
 
z Determinante de matriz quadrada de ordem 1: 
Seja a matriz {quadrada de ordem 1, indicada por { | }~

€. Por definição, o 
determinante de 
{
 é igual ao número 
~

. 
Neste caso, indicamos o determinante de 
{
 por: 
‚ƒ „ | …
††
 
 
Exemplo: 
Dadas as matrizes { | }‡€ e ˆ | }‰Ł€, calcule ‹Œ{ Ž ‹Œˆ. 
‹Œ{ | ‡
 
‹Œˆ | ‰Ł
 
‹Œ{ Ž ‹Œˆ | ‡ Ž
}
‰Ł
€
| ‡ ‰ Ł | Ł 
 
z Determinante de matriz quadrada de ordem 2: 
Seja a matriz 
{
quadrada de ordem 2, calculamos o determinante desta matriz 
fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos 
da diagonal secundária. 
Dada a matriz 
{ | 
~

~

~

~

‘
, de ordem 2, indicamos seu determinante por: 
’“”„
|
•
…
††
…
†
–
…
–
†
…
––
•
‰
…
†
–
—
…
–
†
…
††
—
…
––
|
…
††
—
…
––
‰
…
†
–
—
…
–
†
 
 
Exemplos: 
1) Calcular o determinante da matriz 
{ | 
˜ ™
Ł ‰‡
‘
. 
š›œ
{ |
•
˜ ™
Ł ‰‡
•
‰˜ ‰Ł‡
| ‰™
 
 
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žŸ
2) Calcule o valor de  , sabendo que ¡   ¢
£¤ ¥
¡ ¦ ¥§. 
¡
  ¢
£¤ ¥
¡
£
¨
£¥©
ª
¥ 
¦ ¥§ « ¬¥© ¬ ¥  ¦ ¥§ 
¬¥  ¦ ¥§ £ ¥©
 
¥  ¦ § 
  ¦
§
¥
 
  ¦ ­ 
 
® Determinante de matriz quadrada de ordem 3: (Regra de Sarrus) 
Considerando a matriz ¯ de ordem 3: 
¯ ¦ °
±
²²
±
²³
±
²´
±
³²
±
³³
±
³´
±
´²
±
´³
±
´´
µ 
 
Defini-se o determinante da matriz de ordem 3 ao número: 
¶·¸
¯
¦ ¹
±
²²
±
²³
±
²´
±
³²
±
³³
±
³´
±
´²
±
´³
±
´´
¹ ¦ 
¦ ±
²²
º
±
³³
º
±
´´
¬
±
²³
º
±
³´
º
±
´²
¬
±
²´
º
±
´³
º
±
³²
£ ±
²´
º
±
³³
º
±
´²
£ ±
²³
º
±
³²
º
±
´´
£ ±
²²
º
±
´³
º
±
³´
 
 
Podemos obter esses seis produtos de uma forma prática, conhecida como regra 
de Sarrus, fazendo-se o seguinte: 
» Repetir as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as seis 
multiplicações nas diagonais. 
 
 
 ¼½¾¯
¦ 
 
 
 
»
 Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo 
sinal. 
»
 Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam o sinal. 
» O determinante é a soma dos valores assim obtidos. 
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¿À
 
Exemplos: 
1) Calcule o determinante da matriz Á Â Ã
Ä Å Æ
ÇÈ É ÇÈ
ÇÅ Ê ÇÄ
Ë. 
ÌÍÎ Ï Â
Ð
Ä Å Æ
ÇÈ É ÇÈ
ÇÅ Ê ÇÄ
Ð
Ä Å
ÇÈ É
ÇÅ Ê
ÑÉ ÑÈÊ ÇÒ ÑÉ ÑÈ ÇÊÉ
Â Ñ ÈÒ Ç ÊÒ Â ÇÈÉ 
 
2) Calcule os valores de Ó, sabendo que Ð
Ó ÇÄ Ê
É Ó Ä
Æ ÇÅ Å
Ð Â ÇÔÆ
. 
Ð
Ó ÇÄ Ê
É Ó Ä
Æ ÇÅ Å
Ð
Ó ÇÄ
É Ó
Æ ÇÅ
ÇÈÉÓ ÑÄÓ ÑÉ ÑÓ
Õ
ÇÊÆ ÑÉ
 ÇÔÆ
 
 
ÑÓ
Õ
Ç
Å
ÔÓ Ç
ÊÆ
 ÇÔ
Æ
 
Ó
Õ
Ç
Å
ÔÓ Ç
ÊÆ
Ñ Ô
Æ
Â É 
Ó
Õ
Ç
Å
ÔÓ Ñ
Ä
É Â É 
Ö
× Â Ñ
Å
Ø
 Ç
Å
Ô
Ù
 Ñ
Ä
É
Ú
Â
Ø
Õ
Ç
Ê
×
Ù
Ú
 ÈÛÜ Ç
Å
ÈÉ
Ú
Â
Å
ÒÜ
 
 
Ó Â
Ç
Ø Ý
Þ
Ú
È×
Â
Ñ
Å
Ô
Ý
Þ
Å
ÒÜ
È
Â
Å
Ô
Ý ÅÄ
È
 
 
Ó
ß
Â
Å
Ô Ñ
ÅÄ
È
Â
Ä
É
È
Â
ÅÆ
 
Ó
Õ
Â
Å
Ô Ç
ÅÄ
È
Â
Ê
È
Â È 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Calcule os determinantes de ordem 2 dados abaixo: 
 
a)
à
Ò È
Ê Ä
à
 c)
à
Ç
Ä
ÇÛ
Å
È
à
 e)
à
Ò
Å
É
Ä Æ
à
 
 
b)
à
Ç
Æ
ÇÛ
ÇÈ Ç
Ê
à
 d)
à
Ô Ç
Ä
Ä
È
à
 f)
à
Ç
Å Ä
È ÇÈ
à
 
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áâ
2) Calcule os determinantes de ordem 3 dados abaixo: (Utilize a regra de Sarrus) 
 
a)ã
ä å æç
è é ê
å æä ç
ã e)ã
ç é ä
é ç ä
ä ä ç
ã i)ã
ç å é
ç ê ê
ç ë é
ã 
 
b)ã
å ç æå
ä æç é
ê ç æä
ã f)ã
ä è æç
é ê å
é é æå
ã j)ã
ä é ë
é ì ì
ê í é
ã 
 
c)
ã
å å é
ç ì æê
ê æä ç
ã
 g)
ã
çéé é é
é åé é
é é æäé
ã
 k)
ã
é é è
ë çé ä
é ì ê
ã
 
 
d)ã
ç æç ç
æç ç ç
ç ç æç
ã h)ã
ç ä ç
å å ç
ä ç ä
ã l)ã
å ç æå
ä æç é
ê
ç æä
ã 
 
3) Calcule o valor de î em cada caso: 
 
a)ïî æä
ë æå
ï ð ç
ê
 
 
b)ïê æçé
î
í
ï ð
ñ
 
 
c)ï ë è
æç
î
ï ð æ
ìè 
 
d)ï å î
çç
ñ
ï ð
êè
 
 
e)
ã
î
ä æå
æç
î ê
æå
é è
ã
ð æë 
 
f)ã
å æç ç
æå
î é
è
ç
î
ã
ð æ
è 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - Professora Roberta Mastrochirico - robertafmu@hotmail.com
òó
RESOLUÇÃO E DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES: 
 
ô Sistemas Lineares: 
Um sistema linear de õ equações lineares com ö incógnitas é um conjunto de õ 
equações lineares, cada uma delas com ö incógnitas, consideradas simultaneamente. 
÷
ø
ùù
ú
ù
û ø
ùü
ú
ü
û ýû ø
ùþ
ú
þ
ß �
ù
ø
üù
ú
ù
û ø
üü
ú
ü
û ýû ø
üþú
þ
ß �
ü
ø
�ù
ú
ù
û ø
�ü
ú
ü
û ýû ø
�þ
ú
þ
ß �
�
 
Resolver um sistema linear significa determinar todas as suas soluções. O 
conjunto dessas soluções recebe o nome de conjunto solução do sistema. 
O conjunto solução deste sistema é uma n-upla ��
ù
� �
ü
� �
�
� � � �
þ
�
 de números reais. 
 
ô Sistemas Homogêneos: 
Considerando um sistema linear de 
õ
 equações lineares com 
ö
 incógnitas, 
quando 
�
ù
ß �
ü
ß �
�
ß ý ß �
�
ß
�, ou seja, 
÷
ø
ùù
ú
ù
û ø
ùü
ú
ü
û ýû ø
ùþ
ú
þ
ß
�
ø
üù
ú
ù
û ø
üü
ú
ü
û ýû ø
üþ
ú
þ
ß
�
ø
�ù
ú
ù
û ø
�ü
ú
ü
û ýû ø
�þ
ú
þ
ß
�
 
Este sistema é chamado de sistema homogêneo. 
Neste caso, a n-upla ������� � ��� é sempre uma das soluções do sistema e é 
chamada de solução trivial do sistema homogêneo. 
 
ô
 Tipos de Sistemas: 
Um sistema que não admite solução é chamado de sistema impossível (SI). 
Um sistema que admite uma única solução é chamado de sistema possível e 
determinado (SPD). 
Um sistema que admite mais de uma solução é chamado de sistema possível e 
indeterminado (SPI). 
 
ô Sistemas Equivalentes: 
Para resolver um sistema linear vamos transformar o sistema dado em um 
sistema equivalente mais simples, para isso, podemos trocar a posição das equações, 
podemos somar ou subtrair duas equações e trocar por uma delas, podemos multiplicar 
uma equação e somar ou subtrair outra e trocar por uma delas. 
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��
� Resolução de um Sistema Linear pelo Método da Adição: 
Os sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas podem ser 
resolvidos pelo método da adição. Este método visa eliminar uma das incógnitas pela 
soma dos termos semelhantes das equações que o compõem. Quando necessário, 
multiplicamos uma ou as duas equações por números convenientes, com a intenção de 
eliminar uma das incógnitas. 
 
Exemplos: 
1) Vamos resolver o sistema linear � � � �� � �
ff� fi �� � fl
 pelo método da Adição: 
Somando termo a termo as equações, temos: 
��
� � �� � �
ff� fi �� � fl
 
�� � �� � � 
Resolvendo a equação encontrada, temos: 
�� � � � �
 
�� � � 
� �
 �
�
 
� � ff
 
Ao substituirmos o valor de 
�
 encontrado, em umas das duas equações iniciais, 
encontraremos o valor da variável 
�
. Assim, temos: 
� � �� � �
 
ff � �� � �
 
�� � �
fi ff 
�� �
� 
� �
�
�
 
� � 
Portanto, a única solução do sistema é �ff � �. Logo, o sistema é possível e determinado 
(SPD). 
 
2) Vamos resolver o sistema linear 
�
�� � !� � �
�� � ff� � 
 pelo método da Adição: 
Se somarmos termo a termo as equações, não eliminaremos nenhuma incógnita, temos: 
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� ffi
"# � $% & '
'# � (% & )
 
*# � ))% & (
 
Desta forma, teremos que decidir qual incógnita queremos eliminar e, em seguida, 
realizar multiplicações convenientes para que ao somar termo a termo conseguirmos 
eliminar a variável escolhida. Escolhendo a incógnita 
#
, temos: 
ffi
"# � $% & ' + '
'# � (% & ) +
,
-"
.
 
�ffi
)/# � )0% & 1
-)/# - )"% & -"
 
% & -) 
Ao substituirmos o valor de % encontrado, em umas das duas equações iniciais, 
encontraremos o valor da variável #. Assim, temos: 
"# � $% & '
 
"# � $
+ ,
-)
.
& '
 
"# - $ & '
 
"# & ' � $
 
"# & )
/ 
# &
)
/
"
 
# & ' 
Portanto, a única solução do sistema é ,
'
2
-)
. . Logo, o sistema é possível e 
determinado (SPD). 
 
3) Vamos resolver o sistema linear ffi # � % & )/
-# - % & )
/
 pelo método da Adição: 
Se somarmos termo a termo as equações eliminaremos as duas incógnitas, temos: 
�ffi
# � % & )
/
-# - % & )
/
 
/
�
/
& '
/ 
/
& '
/ 
ABSURDO!!! 
Portanto, o sistema não tem solução. Logo, o sistema é impossível (SI). 
 
4) Vamos resolver o sistema linear ffi # � % & $
'# � '% & )
0
 pelo método da Adição: 
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34
Se somarmos termo a termo as equações não eliminaremos nenhuma incógnita, temos: 
56
7 5 8 9 :
;7 5 ;8 9 <=
 
>7 5 >8 9 : 
Desta forma, teremos que decidir qual incógnita queremos eliminar e, em seguida, 
realizar multiplicações convenientes para que ao somar termo a termo conseguirmos 
eliminar a variável escolhida. Escolhendo a incógnita 
7
, temos: 
6
7 5 8 9 : ? @A;B
;7 5 ;8 9 <= ? <
 
56
A;7 A ;8 9 A<=
;7 5 ;8 9 <=
 
C 5 C 9 C
 
C 9 C
 
INDETERMINAÇÂO!!! 
Portanto, o sistema tem infinitas soluções, como por exemplo: @CD
:
B
D
@
<DE
B
D
@
;D=
B
D
@
>
DF
B
D G 
Logo, o sistema é possível e indeterminado (SPI). 
 
H Resolução de um Sistema Linear pela Regra de Cramer: 
A regra de Cramer só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que 
apresentem a mesma quantidade de equações e de incógnitas e, se o determinante 
I, da matriz formada pelos coeficientes da equação incompleta do sistema, for diferente 
de zero. 
Devemos calcular também os determinantes 
J
K
, 
J
L
, 
J
M
, .... , 
J
N
, que são obtidos 
através da substituição da coluna que representa cada variável, no determinante 
J
, 
pelos termos independentes do sistema. 
A regra de Cramer diz que o valor de cada variável é igual a razão entre o 
determinante da matriz que representa cada variável e o determinante da matriz dos 
coeficientes da equação incompleta. Assim, temos: 
O P
Q
R
Q
S P
Q
T
Q
U P
Q
V
Q
W X P
Q
Y
Q
 
 Se 
J
Z C , o sistema é possível e determinado (SPD). 
 Se 
J 9
C e 
J
K
9 J
L
9 J
M
9
[
9 J
N
9
C , o sistema é possível e indeterminado 
(SPI). 
Se 
J 9
C e se existir pelo menos um 
J
N
Z C, o sistema é impossível (SI). 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - Professora Roberta Mastrochirico - robertafmu@hotmail.com
\]
Exemplos: 
1) Vamos resolver o sistema linear ^_ ` ab c def
g_ d hb c ei
 pela Regra de Cramer: 
O determinante 
j, dos coeficientes da equação incompleta do sistema é dado por: 
j c
k
e a
g dh
k
dea dh
c del 
O determinante j
m
 é dado por: 
j
m
c
k
def a
ei dh
k
dln `go
c dgi 
O determinante j
p
 é dado por: 
j
p
c
k
e def
g
ei
k
`ai `ei
c `of 
Assim, temos: 
_ c
j
m
j
c
d
gi
del
c `
h
 
b c
j
p
j
c
`of
del
c d
i
 
Portanto, a única solução do sistema é qh rdis . Logo, o sistema é possível e 
determinado (SPD). 
 
2) Vamos resolver o sistema linear t
_ `
g
b `
i
u c ee
d
h
_ ` ab `
h
u c f
g
_ d
i
b d u c do
 pela Regra de Cramer: 
O determinante 
j
, dos coeficientes da equação incompleta do sistema é dado por: 
j
c
v
e
g i
d
h
a
h
g
d
i
de
v
e
g
d
h
a
g
d
i
don `f do da `ef `
gh
c `af d le c de
g
 
O determinante 
j
m
 é dado por: 
j
m
c
v
ee
g i
f a
h
do d
i
de
v
ee
g
f a
do d
i
`e
h
n `ff `
hi
daa d
g
o de
h
f
c `
hgh
d
h
e
w
c `e
g 
O determinante j
p
 é dado por: 
j
p
c
ve ee
i
d
h
f
h
g
do de
v
e ee
d
h
f
g
do
d
w
o `e
h
d
hh
df `oo `
i
f
c `e
h
o d e
h
o c n 
O determinante j
x
 é dado por: 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - Professora Roberta Mastrochirico - robertafmu@hotmail.com
yz
{
|
}
~
 € 
‚ ƒ „
€ … †
~
 €
‚ ƒ
€ …
†ƒ ‡€‚ €† €ˆ ‡‰‚ ‡„„
} ‡Ł‚  ‚€ } €Ł
 
Assim, temos: 
‹ }
{
Œ
{
}
‡€
€
} 
 
 }
{
Ž
{
}
ˆ
€
} ˆ
 
 }
{
|
{
}
€Ł
€
} ‡€
 
Portanto, a única solução do sistema é ‘ˆ‘€’ . Logo, o sistema é possível e 
determinado (SPD). 
 
“ Resolução de um Sistema Linear por Escalonamento: 
Um sistema é dito escalonado quando o número de coeficientes iniciais nulos em 
cada equação, a partir da segunda, é maior do que na precedente. Para isso, vamos 
colocar os coeficientes do sistema em uma matriz, e aplicando as operações adequadas 
em cada linha, vamos torná-la uma matriz triangular. 
Suponhamos que um sistema tenha sido escalonado e, retiradas as equações do 
tipo ˆ } ˆ, restam ” equações com • incógnitas. Temos: 
– Se a última das equações restantes é ˆ‹
—
‡ ˆ
‹
˜
‡™‡ ˆ
‹
š
}
›
œ
 então o sistema é 
um sistema impossível (SI). 
Caso contrário, sobram duas alternativas: 
–
 Se 
”
}
•
, ou seja, o número de equações do sistema é igual ao número de 
incógnitas, o sistema é um sistema possível e determinado (SPD). 
– Se ”  •, ou seja, o número de equações do sistema é menor que o número de 
incógnitas, o sistema é um sistema possível e indeterminado (SPI). 
 
Exemplos: 
1) Vamos resolver o sistema linear ž
‹
‡
€
‡
… } 
‚
‹
‡ ƒ

‡ ‚
 }
„
€‹

…

 }

†
 por escalonamento: 
O sistema ž
‹
‡
€
‡
… } 
‚
‹
‡ ƒ

‡ ‚
 }
„
€‹

…

 }

†
é equivale a matriz: 
Ÿ
—
Ÿ
˜
Ÿ
 
¡
 € … 
‚ ƒ ‚ „
€

…



†
¢. Agora vamos 
escaloná-la: 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - Professora Roberta Mastrochirico - robertafmu@hotmail.com
£¤
 ¥
¦
§ ¨© ¥
ª
« ¥
¦
 ¥
¬
§ ­®© ¥
ª
« ¥
¬
 
¨ ¯ ° ¨¨
­¨ ± ¨ °
² ³³ ³² ®²
­® ­´ ­³¨ ­®®
® ­µ ­³ ­¯
² ­³® ­³® ­®´
¶
¥
ª
¥
¦
¥
¬
·
³ ® µ ³³
² ³³ ³² ®²
² ­³® ­³® ­®´
¸ 
 
¥
¬
§ ³®© ¥
¦
« ³³© ¥
¬
 
² ³µ® ³®² ®´²
² ­³µ® ­³µ® ­µ¨´
² ² ­³® ­®´
¶
¥
ª
¥
¦
¥
¬
·
³ ® µ ³³
² ³³ ³² ®²
² ² ­³® ­®´
¸ 
 
Retornando para o sistema, temos: 
¥
ª
¥
¦
¥
¬
¹
º « ®» « µ¼ § ³³
³³» « ³²¼ § ®²
­³®¼ § ­®´
 
Vamos resolver o sistema acima começando pela linha 
¥
¬
, pois, desta forma, vamos 
encontrar o valor da variável ¼: ­³®¼ § ­®´ 
¼ §
­®´
­³®
 
¼ § «® 
Resolvendo a linha ¥
¦
, substituindo o valor de 
¼
 encontrado, encontraremos o valor da 
variável »: ³³» « ³²¼ § ®² 
³³» « ³² © ® § ®² 
³³» « ®² § ®² 
³³» § ®² ­ ®²
 
³³» § ²
 
» §
²
³³
 
» § ²
 
E, por último, resolvendo a linha ¥
ª
, substituindo o valor de ¼ e o valor de », encontrados 
acima, encontraremos o valor da variável 
º
: 
º « ®» « µ¼ § ³³
 
º « ® © ² « µ © ® § ³³
 
º « ² « ³¨ § ³³
 
º § ³³ ­ ³¨ 
º § ­³ 
Portanto, a única solução do sistema é ½
­³¾²¾®
¿ . Logo, o sistema é possível e 
determinado (SPD). 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - Professora Roberta Mastrochirico - robertafmu@hotmail.com
ÀÀ
2) Vamos resolver o sistema linear ÁÂ Ã Ä Ã Å Ã ÆÇ È É
Â Ã Ä Ê Å Ã ËÇ È Ì
 por escalonamento: 
O sistema ÁÂ Ã Ä Ã Å Ã ÆÇ È É
Â Ã Ä Ê Å Ã ËÇ È Ì
 é equivale a matriz: ÍÎ
Í
Ï
Ð
É É É Æ É
É É ÊÉ Ë Ì
Ñ.Agora vamos 
escaloná-la: Í
Ï
È Í
Î
Ê Í
Ï
 
É É É Æ É
ÊÉ ÊÉ É ÊË Ì
Ì Ì Ë É É
Ò
Í
Î
Í
Ï
Ð
É É É Æ É
Ì Ì Ë É É
Ñ 
 
Retornando para o sistema, temos: ÍÎ
Í
Ï
Ó
Â Ã Ä Ã Å Ã ÆÇ È É
ËÅ Ã Ç È É
 
Vamos resolver o último sistema começando pela linha Í
Ï
, e, desta forma, como temos 
mais variáveis que equações vamos encontrar o valor da variável Ç em função da 
variável Å: ËÅ Ã Ç È É 
Ç È É Ê ËÅ 
Resolvendo a linha Í
Î
, substituindo o valor de Ç encontrado, encontraremos o valor da 
variável  em função das variáveis Ä e Å: 
Â Ã Ä Ã Å Ã ÆÇ È É 
Â Ã Ä Ã Å Ã Æ
Ô
É Ê ËÅ
Õ
È É 
Â Ã Ä Ã Å Ã Æ Ê
Ö
Å È É 
Â Ã Ä Ã Æ Ê ×Å È É 
Â È ÊÄ Ê Æ Ã ×Å Ã É 
Â È ×Å Ê Ä Ê Ë 
Portanto, o conjunto solução do sistema é Ø
Ô
×Å Ê Ä Ê Ë
Ù
Ä
Ù
Å
Ù
É Ê ËÅ
ÕÚ
Ä
Ù
Å
Û Ü
Ý, ou seja, 
existem infinitas soluções para o sistema. Logo, o sistema é possível e indeterminado 
(SPI). 
3) Vamos resolver o sistema linear 
Þ
Â Ã Ä Ã Å È É
Â Ê Ä Ê Å È Ë
ËÂ Ã Ä Ã Å È Æ
 por escalonamento: 
O sistema Þ
Â Ã Ä Ã Å È É
Â Ê Ä Ê Å È Ë
ËÂ Ã Ä Ã Å È Æ
 é equivale a matriz: 
Í
Î
Í
Ï
Í
ß
à
É É É É
É ÊÉ ÊÉ Ë
Ë É É Æ
á .Agora vamos 
escaloná-la: Í
Ï
È Í
Î
Ê Í
Ï
 Í
ß
È Ëâ Í
Î
Ê Í
ß
 
É É É É
ÊÉ É É ÊË
Ì Ë Ë ÊÉ
Ë Ë Ë Ë
ÊË ÊÉ ÊÉ ÊÆ
Ì É É ÊÉ
Ò
Í
Î
Í
Ï
Í
ß
à
É É É É
Ì Ë Ë ÊÉ
Ì É É ÊÉ
á
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - Professora Roberta Mastrochirico - robertafmu@hotmail.com
ãä
å
æ
ç å
è
é êë å
æ
 
ì ê ê éí
ì éê éê ê
ì ì ì í
î
å
ï
å
è
å
æ
ð
í í í í
ì ê ê éí
ì ì ì í
ñ 
 
Retornando para o sistema, temos: 
å
ï
å
è
å
æ
ò
ó ô õ ô ö ç í
êõ ô êö ç éí
ìö ç í
 
A última equação é um ABSURDO. 
Portanto, o sistema não tem solução. Logo, o sistema é impossível (SI). 
 
EXERCÍCIO: 
1)Resolva os sistemas abaixo: 
a)
ò
ó ô õ é ö ç ÷
êó ô øõ é êö ç íê
øó
é ê
õ
é
ö
ç é
ù
 
 
b) ò
ó ô õ ô ö
ç
ø
÷ó ô
ê
õ ô ö
ç ú
û
ó ô øõ ô ö
ç í
 
 
c) ò
ê
ó ô øõ ô øö
ç í
ü
øó ô øõ ô
ê
ö
ç íú
ú
ó ô ÷õ ô øö
ç êê
 
 
d) ý
ó ô õ ô ö
ç ê
ó
é
õ
é
ö
ç é
ø
ê
ó ô õ ô
ê
ö
ç í
øó ô
ê
õ ô øö
ç
ø
 
 
e)ò
é
øó
é
øõ ô
ê
ö ô þ
ç éê
ú
ó ô
ê
õ ô ö
é ê
þ
ç í
ê
ó
é
õ ô øö
é
þ
ç éí
 
 
f)
ò
ó ô õ ô ö ô þ
ç ì
ó ô õ
é ê
ö ô þ
ç ì
ê
ó ô õ ô
ê
ö
é
þ
ç ì
 
 
g)ß ó ô õ ç í
ê
ó ô õ
ç ê
 
h)
ò
ó ô õ ô ö ç í
ó é õ ô êö ç ê
ó ô ùõ ô øö
ç
ø
 
 
i)ò
ó ô õ ô ö
ç í
ó
é
õ ô ö
ç éê
ê
õ
ç é
ø
 
 
j)ß êó ô õ ç ì
ó ô ÷õ
ç í
÷
 
 
k)ßêìó ô íìõ ç íì
ó ô õ
ç ê
 
 
l)
ò
ó
é
õ ô ö
ç ì
øó ô
ê
õ
é íê
ö
ç ì
ê
ó
é
øõ ô
ú
ö
ç ì
 
 
m)ß éó é õ ç éù
ê
ó
é
øõ
ç é
ø
 
 
n)
ò
ó ô õ
é
ö
ç í
ó ô ö
ç
ø
ê
ó
é
õ ô ÷ö
ç í
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - Professora Roberta Mastrochirico - robertafmu@hotmail.com
��
o)
�
� fi � � 0 � : � �
� � � fi 0 � : � 
fi� � � � 0 fi : � �
�� fi � fi 0 � ff: � 
 
 
p) 
�
� � � fi 0 fi : � �
� � � � 0 � ff: � �
�� fi � fi 0 fi : � �
� � ff� � 0 � fl: � fi 
 
 
2) Um estudante de engenharia quer montar microcomputadores, mas estão faltando 3 
peças A, B e C. Se ele adquirir, respectivamente: (a) 4, 5 e 6 peças, gastará R$ 
1.700,00; (b) 5, 2 e 10 peças, gastará R$ 2.160,00;(c) 6, 6 e 4 peças, gastará R$ 
1.680,00. Determinar o preço de cada peça. 
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��
VETORES: 
 
� Definição: 
Vetor é um segmento orientado que tem como extremos dois pontos. 
 
O vetor�	
 que, também recebe o nome de vetor �
					
, é dado por �		
 � ��						
 � � � � , 
onde o ponto 
�
 é chamado de origem e o ponto 
 é chamado de extremo do vetor. 
 
� Caracterização: 
Todo vetor é caracterizado por: 
� Módulo ou Norma: Distância entre os pontos extremos� e 
 (tamanho do 
vetor), ��	
� � ��
					
�. 
� Direção: Mesma da reta �que o contém (horizontal, vertical, diagonal, etc.). 
� Sentido: De � para 
 (esquerda para a direita, direita para esquerda, de cima 
para baixo, debaixo para cima, etc.). 
 
� Notação: 
� Letras latinas minúsculas com uma seta em cima: �
ffi �	
ffi !
ffi " ffi �	
ffi #
ffi $		
ffi " 
�
 Dois pontos que são a origem e a extremidade do vetor: 
�
					
ffi �%
					
ffi &'
			
ffi "
 
 
� Coordenadas de um vetor: (Expressão Analítica) 
� No plano (vetor bidimensional): Par ordenado ( #
 � )*
+
ffi ,
+
-
 
� No espaço (vetor tridimensional): Terna ordenada ( #
 � )*
+
ffi ,
+
ffi .
+
-
 
 
Exemplos: 
1) Considere os pontos /
� )
1
ffi
1
-
 e 2
)
3
ffi
4
-
 no plano, o vetor 
#
 �
/2
					
 é: 
#
 �
/2
					
�
2
�
/
�
)
3
ffi
4
-
�
)
1
ffi
1
-
�
)
3
ffi
4
-
 
 
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56
2) Considere os pontos 7 8 9;<;= e >9?<@= no plano, o vetor ABC 8 7>BBBBBC é: 
ABC 8 7>
BBBBBC
8 > D 7 8
9
?<@
=
D
9
;<;
=
8
9
;<?
=
 
 
3) Considere os pontos E 8 9F<F<F= e G9;<H<I= no espaço, o vetor JC 8 EGBBBBBC é: 
JC 8 EG
BBBBBC
8 G D E 8
9
;<H<I
=
D
9
F<F<F
=
8
9
;<H<I
=
 
 
4) Considere os pontos 7 8 9;<;<;= e >9?<@<I=no espaço, o vetor ABC 8 7>BBBBBC é: 
ABC 8 7>
BBBBBC
8 > D 7 8
9
?<@<I
=
D
9
;<;<;
=
8
9
;<?<@
=
 
 
K Módulo: 
Número não negativo que indica o comprimento do vetor. 
Dado um vetor ABC no plano, de coordenadas ABC 8 9L
M
< N
M
=, o módulo deste vetor é 
dado por: 
O
P
BBC
O
8
Q
9
R
S
=
T
U
9
V
S
=
T
 
 
Dado um vetor ABC no espaço, de coordenadas ABC 8 9L
M
<
N
M
<
W
M
=, o módulo deste vetor 
é dado por: 
O
P
BBC
O
8
Q
9
R
S
=
T
U
9
V
S
=
T
U
9
X
S
=
T
 
 
Exemplos: 
1) O módulo do vetor ABC 8 9F<I= é dado por: 
O
ABC
O
8
Q
9
F
=
Y
U
9
I
=
Y
8
Z
F U ;
[
8
Z
;
[
8 I 
 
2) O módulo do vetor JC 8 9D;<@<DH= é dado por: 
O
JC
O
8
Q
9
D;
=
Y
U
9
@
=
Y
U
9
H
=
Y
8
Z
; U
\
U ?H 8
Z
@H 
 
K Vetor Nulo: 
Vetor de direção e sentido arbitrário, e módulo igual a zero. 
O vetor nulo ABC tem coordenadas 9F<F<F= e sua representação gráfica é a origem do 
sistemas de coordenadas. 
ABC 8 9F<F<F=, então OABCO 8
Z
F
Y
U F
Y
U F
Y
8
Z
F U F U F 8
Z
F 8 F 
 
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]^
_ Vetor Oposto: 
O vetor oposto a um vetor a`b c deaaaaab é f a`b c edaaaaab , que tem o mesmo módulo, a 
mesma direção, mas sentido contrário ao vetor a`b c deaaaaab. 
 
Exemplo: 
Seja a`b c gfhifjikl o vetor oposto do vetor a`b é fa`aab c gmhimjifkl. 
 
_
 Vetores Paralelos: 
Dois vetores não nulos a`b e nb são paralelos se, e somente se, existir um escalar o 
tal que paab c q raab, isto é, st
s
u
v
w
t
w
u
v
x
t
x
u
. 
Observação: Dois vetores não paralelos formam uma base do plano. 
 
Exemplos: 
1) Os vetores a`b c g
yi
f
z
l
 e 
n
b c
g
{i
f
h
l
 são paralelos pois: 
|
}
|
~
c

}

~
€
y
{
c
f
z
f
h
€
y  y
{

y
c
m
z  z
h

z
€
j
z
c
j
z
 
 
n
b c
g
{i
f
h
l
c
‚z ƒ yi z ƒ
g
f
z
l
„
c
z ƒ
g
yi
f
zi…
l
c
zƒ
a`b 
 
2) Os vetores a`b c g
ki ji
f
y
l
 e 
n
b c
g
zki ki
f
jh
l
 não são paralelos pois: 
|
}
|
~
c

}

~
c
†
}
†
~
€
k
zk
c
j
k
‡
f
y
f
jh
€
k

k
zk

k
c
j
k
‡ m
y
jh
€
j
k
c
j
k
‡
y
jh
 
 
n
b c
g
zki ki
f
jh
l
‡ k
a`b c
kƒ
g
ki ji
f
y
l
c
g
kƒ
g
k
l
i kƒ
g
j
l
i kƒ g
f
yl
l
c
g
zki ki
f
jk
l
 
 
_
 Vetores Coplanares: 
Os vetores a`b, nb e ˆaab são coplanares quando estão no mesmo plano. 
Três vetores a`b c g|
}
i

}
i
†
}
l, nb c g|
~
i

~
i
†
~
l
 e ˆaab c g|
‰
i

‰
i
†
‰
l
 são coplanares se o 
determinante da matriz de ordem 
y
 formada pelas coordenadas dos três vetores é zero. 
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Ł‹
Œ

Ž

Ž

Ž

‘

‘

‘

’

’

’
Œ “ ” 
Observações: Dois vetores são sempre coplanares e três vetores não 
coplanares formam uma base do espaço. 
 
Exemplo: 
Os vetores •–— “ ˜™š ›š œ, ž— “ ˜›š Ÿš  ¡ e ¢––— “ ˜£š ¤š ¥ são coplanares pois: 
Œ
™ › œ
› Ÿ  ¡
£ ¤ ¥
Œ
™ ›
› Ÿ
£ ¤
¦Ÿ ¦¡™  §¡ ¦Ÿ  ™¡ ¦¥Ÿ
“  ¡Ÿ™ ¦ ¡Ÿ™ “ Ÿ
 
 
¨ Vetor Unitário: 
Vetor de módulo igual a uma unidade. 
©
•–—
©
“ ¡ 
 
¨ Versor: 
O versor de um vetor •–— não nulo é o vetor unitário que tem a mesma direção e o 
mesmo sentido de •–—, dado por: 
ª«¬­ ®
––— “
®
––—
©
®
––—
©
 
 
Usualmente, quando dizemos que vamos normalizar um vetor, estamos querendo 
encontrar o versor deste vetor, ou seja, a normalização de um vetor reduz o tamanho 
do vetor para 
¡
. Um vetor normalizado pode então ser multiplicado por um escalar para 
obter o tamanho desejado para este vetor. 
 
Exemplos: 
1) Seja 
•–— “ ˜›šŸ
 o versor de 
•–—
 é dado por: 
 
©
•–—
©
“
¯
˜
›

°
¦
˜
Ÿ

°
“
±
¥ ¦ Ÿ “
±
¥ “ › 
 
ž²³´ •–— “
•–—
©
•–—
©
“
˜
›šŸ

›
“ µ
›
›
š
Ÿ
›
¶ “
˜
¡šŸ

 
 
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·¸
2) Seja ¹ºº» ¼ ½¾¿À¿ÁÂà o versor de ¹ºº» é dado por: 
 
Ä
¹ºº»
Ä
¼
Ž
¾
Ã
Æ
Ç
½
À
Ã
Æ
Ç
½
ÁÂ
Ã
Æ
¼ Ⱦ Ç É Ç Ê ¼ ȾÉ
 
 
ËÌÍÎ ¹ºº» ¼
¹ºº»
Ä
¹ºº»
Ä
¼
½
¾¿À¿ÁÂ
Ã
È
¾É
¼ Ï
¾
È
¾É
¿
À
È
¾É
¿
ÁÂ
È
¾É
Ð ¼ Ñ
¾
È
¾É
Ò
È
¾É
È
¾É
¿
À
È
¾É
Ò
È
¾É
È
¾É
¿
ÁÂ
È
¾É
Ò
È
¾É
È
¾É
Ó ¼ 
¼ Ô
¾
È
¾É
Õ
È
¾ÉÖ
Æ
¿
À
È
¾É
Õ
È
¾ÉÖ
Æ
¿
ÁÂ
È
¾É
Õ
È
¾ÉÖ
Æ
× ¼ Ñ
È
¾É
¾É
¿
ÀØ À
È
¾É
¾ÉØ À
¿
ÁÂ
È
¾É
¾É
Ó ¼ Ñ
È
¾É
¾É
¿
È
¾É
Ù
¿
ÁÂ
È
¾É¾É
Ó
 
 
Ú Expressão Cartesiana de um Vetor: 
Seja Û, Ü e Ý um sistema cartesiano ortogonal. Convencionou-se representar por 
Þ»
, 
ß»
 e 
à
º» , nesta ordem, os versores dos eixos cartesianos ortogonais Û , Ü e Ý (Base 
canônica do espaço ou do áâ). 
Então: Þ» ¼ ½¾¿ã¿ãÃ, ß» ¼ ½ã¿¾¿ãà e ົ ¼ ½ã¿ã¿¾Ã. Logo, ÄÞ»Ä ¼ Äᯎ ¼ äàº»ä ¼ ¾ 
 
Desta forma, a expressão cartesiana de um vetor å
º» ¼
½
Û
æ
¿
Ü
æ
¿
Ý
æ
Ã
 é dada por: 
ç
ºº»
¼ è
é
ê
»
Ç ë
é
ì
»
Ç í
é
î
ºº»
 
 
 Exemplos: 
Considerando o sistema cartesiano ortogonal e os vetores å
ºººº» ¼ ½À¿ã¿ãÃ
, 
˺ººº» ¼ ½ã¿É¿ãà , ¹ººººº» ¼ ½ã¿ã¿Âà , ﺺººº» ¼ ½À¿ÁÉ¿Âà e 𺺺º» ¼ ½Áñ¿ã¿òà . Expresse estes vetores 
através de suas expressões cartesianas: 
 å
ºººº» ¼ ÀÞ»
 
˺ººº» ¼ Éß»
 
¹ººººº» ¼ Âà
º»
 
ﺺººº» ¼ ÀÞ»Á Éᯀ Âà
º»
 𺺺º» ¼ ÁñÞ»Ç òà
º»
 
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óô
õ Ponto Médio de um segmento: 
O ponto médio ö de um segmento ÷øùùùù, onde ÷öúúúúúúû ü öøúúúúúúûý representado no plano, de 
extremos ÷ ü þß
W
ýfl
W
ffi
 e ø ü þß
X
ý fl
X
ffi
 é dado por: 
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)
�
, )
	
+
ý
-
�
, -
	
+
F 
 
E o ponto médio ö de um segmento ÷øùùùù , onde ÷öúúúúúúû ü öøúúúúúúû , representado no 
espaço, de extremos ÷ ü þß
W
ýfl
W
ý �
W
ffi
 e ø ü þß
X
ýfl
X
ý �
X
ffi
 é dado por: 
YE
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, )
	
+
ý
-
�
, -
	
+
ý
.
�
, .
	
+
F 
 
Exemplos: 
1) Calcule o ponto médio do segmento ÷øùùùù, dado por: 
 
a) ÷ ü þ%ý
&ffi e ø ü þ$ ý>ffi 
ß
Z
ü
ß
W
,
ß
X
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ü
% , $
%
ü
>
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fl
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,
fl
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ü
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ö E
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ý
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F 
 
b) ÷ ü þ#ý'ý
2
ffi
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ý 1ý
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ffi
 
ß
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W
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ß
X
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fl
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fl
X
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ü
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1
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#
%
ý
$
ý
&
F 
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��
EXERCÍCIOS: 
1) Escreva os vetores 
��
������, determinados pelos pontos 
�
 e 
�
 dados abaixo. Em seguida, 
calcule o módulo e a expressão cartesiana de cada um dos vetores encontrados: 
(Dica: �������� � � � �) 
a) 
� �
�
� � �
 e 
� �
�
� � �
 
b) 
� �
�
� � �
 e 
� �
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c) 
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 e 
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�� � �� � �?
 
d) 
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�� ��� ���
 e � � �� � � � �
 
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 e � � ��� � � � �
 
f) 
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 e 
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g) 
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h) 
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� � � � ��
 
i) 
� �
�
� � � � �
 e � � �� ��� � �
 
j) � � ���������
 e � � ���������
 
 
2) Calcule o módulo e a expressão cartesiana de cada um dos seguintes vetores: 
a) �� � �� � �
 
b) ���
�
�
��
� � �
�
�
 
c) �
� �
�
� � � � �
 
d) [� � �� � �
 
e) C� � �� ��� � �
 
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g) ]� � ��� � �� ���
 
h) ^��
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i) L
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�
 
j) M� � ��� � �� � �
 
k) N�� � �? � � ���
 
l) _�
�
�
� �
�
�� � ��
 
 
3)Verifique se os pares de vetores dados abaixo são paralelos: 
a) �
�� �
�
� � � � �
 e ff
� �
�
�
�
�
� � �
 
b) �
�� �
�
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 e ff
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�
� �
��
� � �?
 
c) ��� � ��� � � � �
 e ff� � ���� � �� ����
 
d) ��� � �� ���� �
 e ff� � ���� � �� ���
 
e) �
�� �
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� � �M�� N
��
 e ff
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��
��
M��
�
N
��
 
f) �
�� �
�L
�fi
�
M�fi N
��
 e ff
� �
�L
�fi
?
M�fi
�
N
��
 
 
4)Determine o valor da coordenada sabendo que os vetores dados são paralelos: 
a) �
�� �
�
� � � � ��
 e ff
� �
�
��
� �
��
�
 
b) �
�� �
�
� �
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 e ff
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�
 
c) �
�� �
�
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�
�
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 e ff
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�
�
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�
� 
 
d) ��� � � � � � �
 e ff� � ��� � � � ��
 
e) �
�� � �
L
� �
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M�� N
��
 e ff
� �
 L
� � �M��
�
N
��
 
f) �
�� �
L
�fi
�
M�fi
�
N
��
 e ff
� �
�L
�fi
 
M� fi
�
�N
��
 
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"(
5)Verifique se os vetores abaixo são coplanares: 
a) */0 3 45 6 7 6 89, :0 3 4; 6 5 6 <9 e =//0 3 47 6 < 6 <9 
b) */0 3 4< 6 @ 6 59, :0 3 4A< 6 < 6 <9 e =//0 3 48 6 A56A59 
c) */0 3 4AB 6A5 6 79, :0 3 4A<6AD6A;9 e =//0 3 4A5 6 < 6 79 
d) */0 3 4; 6 8 6 89, :0 3 45 6 5 6 59 e =//0 3 4A; 6 D 6 D9 
e) 
*/0 3
4
8 6 ; 6 A5
9, 
:0 3
4
8 6 5 6 7
9
 e 
=//0 3
4
8 6 7 6 8
9
 
f) 
*/0 3
4
A; 6 D 6 ;
9, 
:0 3
4
; 6 8 6 8
9
 e 
=//0 3
4
5 6 5 6 5
9
 
 
6) Dados os pontos G 3 4A5 6 7 6 @9 e H 3 4< 6A; 6 D9, escreva: 
a) o vetor GH/////0 
b) a expressão cartesiana do vetor GH/////0 
c)o módulo do vetor 
GH
/////0
 
d) o versor do vetor 
GH
/////0
 
e) as coordenadas do vetor oposto ao vetor GH/////0 
f) a expressão cartesiana do vetor oposto ao vetor GH/////0 
 
7) Dados os pontos 
G 3
4
D 6A58 6 7
9
 e 
H 3
4
A; 6 @ 6 5
9, escreva: 
a) o vetor 
GH
/////0
 
b) a expressão cartesiana do vetor GH/////0 
c) o módulo do vetor GH/////0 
d) a normalização do vetor 
GH
/////0
 
e) as coordenadas do vetor oposto ao vetor 
GH
/////0
 
f) a expressão cartesiana do vetor oposto ao vetor 
GH
/////0
 
 
8) Determine o escalar ` para que o vetor :0 3 48 6 7` 6 <`9 seja unitário. 
 
9) Dado o vetor 
S//0 3
4
< 6A@
9, calcule: 
a) o comprimento do vetor S//0 (módulo) 
b) o versor do vetor S//0 
c) a expressão cartesiana do vetor 
S//0
 
d) as coordenadas do vetor oposto ao vetor 
S//0
 
e) a expressão cartesiana do vetor oposto ao vetor 
S//0
 
 
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II
10) Dado o segmento JaVVVV, determinado pelos pontos JKOPQR e aKTUPbR, determine: 
a) o ponto médio c do segmento JaVVVV 
b) o as coordenadas do vetor 
Ja
ddddde
 
c) o módulo do vetor Jaddddde 
d) o vetorJcdddddde 
e) o vetor cadddddde 
f) o módulo do vetor 
Jc
dddddde
 
g) o módulo do vetor cadddddde 
 
 
11) Dado o segmento JaVVVV , determinado pelos pontos JKbP TUPfR e aKgPTOP TUUR , 
determine: 
a) o ponto médio c do segmento JaVVVV 
b) o as coordenadas do vetor Jaddddde 
c) o módulo do vetor Jaddddde 
d) o vetor 
J
c
dddddde
 
e) o vetor cadddddde 
f) o módulo do vetor Jcdddddde 
g) o módulo do vetor c
a
dddddde
 
 
 
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hi
OPERAÇÕES COM VETORES: 
 
j Adição e Subtração de Vetores: 
Dados dois vetores klm n op
q
r s
q
r t
q
u
 e vmn op
w
r s
w
r t
w
u: 
A soma klm x vm é dada por: 
yllm
x zl
lm
n
o
{
|
r }
|
r ~
|
u
x
o
{

r }

r ~

u
n
o
{
|
x {

r }
|
x }

r ~
|
x ~

u
 
 
A diferença klm € vm é dada por: 
yllm € zllm n yllm x
o
€zllm
u
n
o
{
|
r }
|
r ~
|
u
x
o
€{

r€}

r€~

u
n
o
{
|
€ {

r }
|
€ }

r ~
|
€ ~

u
 
 
Exemplos: 
1) Dados os vetores 
klm n
o
r €‚rƒ
u
 e 
vm n
o
„r €…r†
u, determine: 
a) 
klm x vm
 
klm x vm n
o

r €
‚
r
ƒ
u
x
o
„
r€
…
r
†
u
n
o

x
„
r€
‚
€
…
r
ƒ
x
†
u
n
o
…
r €‡ r
†
u
 
 
b) klm € vm 
klm € vm n
o

r€
‚
r
ƒ
u
€
o
„
r €
…
r
†
u
n
o

€
„
r€
‚
x
…
r
ƒ
€
†
u
n
o
„
r€

r€
†
u
 
 
Geometricamente, a soma de ˆ vetores (sendo ˆ um número inteiro positivo 
qualquer) é feita considerando os vetores de modo que a extremidade de cada vetor 
coincida com a origem do vetor seguinte. O vetor soma é o segmento orientado que 
fecha a poligonal, tendo por origem, a origem do primeiro vetor e por extremidade, a 
extremidade do último vetor. 
Geometricamente, para realizar uma subtração de dois vetores devemos 
representar o vetor oposto do segundo vetor e executar a adição deste vetor com o 
primeiro. 
Exemplos: 
Dados os vetores klm, vm e ‰llm representados abaixo. 
 
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Ł‹
Os vetores opostos a eles são ŒŽ, Œ e Œ‘ŽŽ: 
1) Ž ’  
 
 
2) Ž ’ ‘ŽŽ 
 
 
3) 
 ’ ‘ŽŽ
 
 
 
4) Ž ’  ’ ‘ŽŽ 
 
 
5) Ž Œ  
 
6) 
Ž Œ ‘ŽŽ
 
 
 
7) 
 Œ ‘ŽŽ
 
 
 
8) ŒŽ Œ  Œ ‘ŽŽ 
 
 
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“”
• Propriedades da Adição de Vetores: 
Nas expressões abaixo, –—˜, ™˜ e š——˜ são vetores quaisquer, temos: 
›
 Propriedade Comutativa: 
–—˜
œ ™˜  ™˜ œ –—˜
 
 
Consequência: Regra do Paralelogramo: A diagonal do paralelogramo 
construído pela soma de 
–—˜ œ ™˜ e ™˜ œ –—˜ representa a soma –—˜ œ ™˜, ou seja, a soma de dois 
vetores pode ser feita de modo que as extremidades dos dois vetores coincidam, em 
seguida, deve-se traçar paralelas a estes vetores formando um paralelogramo. O vetor 
soma será o segmento orientado que tem por origem, a origem dos vetores, e por 
extremidade, o ponto de intersecção das paralelas que formam o paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
›
 Propriedade Associativa: 
ž
–—˜
œ
™˜
Ÿ
œ
š——˜

–—˜
œ
ž
™˜
œ
š——˜
Ÿ
 
 
› Propriedade do Elemento Neutro: 
–—˜
œ
 
—˜

–—˜
 
 
› Propriedade do Elemento Oposto: 
–—˜
œ
ž¡–—˜Ÿ

 
—˜
 
›
 Lei do Cancelamento: 
–—˜
œ
™˜

–—˜
œ
š——˜
¢
™˜

š——˜
 
 
• Multiplicação de um Vetor por um Escalar: 
Seja £ um escalar e –—˜ um vetor. O produto do vetor –—˜ pelo número real £ é 
representado por £–—˜. 
Se –—˜  ž¤
¥
¦ §
¥
¦ ¨
¥
Ÿ, então o produto escalar do vetor –—˜ pelo número real £ é dado 
por: ©ª——˜  ©« ž¬
­
¦
®
­
¦
¯
­
Ÿ

ž
©« ¬
­
¦
©« ®
­
¦
©« ¯
­
Ÿ
 
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°±
Então, se: 
²
 
³ ´ µ
, os vetores 
¶·¸
 e 
³¶·¸
 têm o mesmo sentido. 
 
 
 
 
 
²
 
³ ¹ µ
, os vetores 
¶·¸
 e 
³¶·¸
 têm sentidos opostos. 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Seja 
¶·¸
º »¼½ ¾½ ¿ÀÁ, o produto de  pelo vetor 
¶·¸
 é dado por: 
Â
¶·¸
º ÂÃ
»
¼½ ¾½ ¿À
Á
º ÄÂ Ã ¼½ Â Ã ¾½ Â Ã
»
¿À
Á
Å º »¾Æ½ ǽ¿Æ¾Á 
 
2) Seja 
¶·¸
º »¼½ ¾½ ¿ÀÁ, o produto de ¿Â pelo vetor 
¶·¸
 é dado por: 
¿Â
¶·¸
º ¿ÂÃ
»
¼½ ¾½ ¿À
Á
º Ä¿Â Ã ¼½¿Â à ¾½ ¿Â Ã
»
¿À
Á
Å º »¿¾Æ½¿Ç½ ÈƾÁ 
 
É Propriedades da Multiplicação de um Vetor por um Escalar: 
Nas expressões abaixo, Ê e Ë são escalares e 
¶·¸
 e Ì
¸
 são vetores quaisquer, 
temos: 
² Propriedade Associativa em relação aos escalares: 
Ê
»
Ë
¶·¸
Á
º Ë
»
Ê
¶·¸
Á
º
»
ÊË
Á
¶·¸
 
 
² Propriedade Distributiva em relação à adição de escalares: 
»
Ê È Ë
Á
¶·¸
º Ê
¶·¸
È Ë
¶·¸ 
 
²
 Propriedade Distributiva em relação à adição de vetores: 
Ê
»
¶·¸
È Ì
¸
Á
º Ê
¶·¸
È ÊÌ
¸
 
 
 
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ÍÎ
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Dados os vetores ÏÐÑ Ò ÓÔÕÖÕ×Ø , ÙÑ Ò ÓÚÕÚÕÛØ e ÜÐÐÑ Ò ÓÔÕÖÕÝÛØ , determine:
a) 
ÏÐÑ Þ ÙÑ
 
b) 
ÏÐÑ Ý ÙÑ
 
c) 
ÏÐÑ Þ ÜÐÐÑ 
d) 
ÏÐÑ Ý ÜÐÐÑ
 
e) 
ÙÑ Ý ÜÐÐÑ
Þ ÏÐÑ
 
f) 
ÝÛÏÐÑ Ý ÖÙÑ Ý ÜÐÐÑ 
 
2) Dados os vetores
ÏÐÑ Ò
Ó
ÔÕÛÕ×
Ø , 
ÙÑ Ò
Ó
ÛÕÔÕÝÔ
Ø
 e 
ÜÐÐÑ Ò
Ó
×ÕÛÕÖ
Ø , determine:
a) 
ÛÏÐÑ
 
b) ÝÙÑ 
c) ßÜÐÐÑ 
d) ÛÏÐÑ Ý ÙÑ Þ ßÜÐÐÑ 
e) ÚÏÐÑ Þ ÛÙÑ 
f) 
ÏÐÑ Ý àÙÑ Þ ÖÜÐÐÑ
 
g) ÏÐÑ Þ ÛÙÑ Ý ÜÐÐÑ 
h) ÝÛÏÐÑ Þ ÚÙÑ Ý ÖÜÐÐÑ 
i) ÖÏÐÑ Ý ÙÑ Þ ÜÐÐÑ 
j) ÝÏÐÑ Þ ÚÙÑ Þ ÖÜÐÐÑ 
 
3) Dados os vetores ÏÐÑ Ò ÓÔÕÛÕÖØ, ÙÑ Ò ÓÛÕÝÖÕÔØ e ÜÐÐÑ Ò ÓÖÕÛÕÝÔØ, determine: 
a) ÏÐÑ Þ ÙÑ Ý ÜÐÐÑ Ò 
b) 
ÝÖÏÐÑ Ý
á
ÜÐÐÑ Ò
 
c) â
ã
ÏÐÑ Ò
 
d) 
ÛÙÑ Ý
Ó
ÏÐÑ
Þ
ÜÐÐÑ
Ø
Ò
 
e) ÏÐÑ Þ ÛÙÑ Þ ÛÜÐÐÑ 
f) 
ÖÏÐÑ Ý ÙÑ
Þ
ÜÐÐÑ
 
g)
ÏÐÑ
Þ
ÚÙÑ Ý ÜÐÐÑ
 
h) 
ÝÚÏÐÑ
Þ
ßÙÑ Ý ÛÜÐÐÑ
 
 
4) Considerando os vetores abaixo, calcule: 
 
 
 
 
a) ÏÐÑ Þ ÙÑ 
b) ÏÐÑ Ý ÙÑ 
c) ÏÐÑ Þ ÜÐÐÑ 
d) ÏÐÑ Ý ÜÐÐÑ 
e) ÙÑ Ý ÜÐÐÑ Þ ÏÐÑ 
f) ÝÏÐÑ Þ ÙÑ Ý ÜÐÐÑ 
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äå
5) Dados os vetores æçè e éè, complete os desenho, encontrando o vetor soma æçè ê éè. 
 
a) b) 
 
 
 
 
6) Um paralelogramo ëìíî é determinado pelos vetores ëìçççççè e ëîçççççè, e sendo ï e ð os 
pontos médios dos lados îíññññ e ëìññññ, respectivamente. Calcular cada soma e completar 
cada desenho abaixo: 
 
a)
ëî
çççççè
ê ëì
çççççè
ò b)ìïççççççè ó ô
õ
îí
çççççè
ò 
 
 
 
 
 
 
7) Determinar o vetor 
öççè
 ,na igualdade 
÷öççè ê øæçè
ò
ô
õ
éè ê öççè
, sendo dados 
æçè
ò
ù
÷ú
ó
û
ü
 e 
éè
ò
ù
ó
øú
ý
ü. 
 
8) Dados os pontos 
ë
ò
ù
ó
ûúø
ü, 
ì
ò
ù
÷ú
ó
û
ü
 e 
í
ù
ó
øú
ý
ü, determinar o ponto 
î
ù
þ
ú
ß
ü
 de 
modo que 
íî
çççççè
ò
ô
õ
ëì
çççççè
. 
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��
COMBINAÇÃO LINEAR: 
 
Seja ��
�
������ �
�
������ 	 � �
�����
� um conjunto com � vetores e � 
 � . Dizemos que ��� é 
combinação linear desses 
�
 vetores, se existirem escalares �
�
� �
�
� 	 � �
� � tais que 
��� � �
�
� �
�
����� � �
�
� �
�
����� � �� �
� �
�����
. 
 
Exemplos: 
1) Escrever o vetor 
���
� �����ff
 como combinação linear dos vetoresfi� � ���flff e 
ffi� � �����ff. 
Sabemos que: 
��� � � fi� � ! � ffi�
 
�����ff� � ���flff � ! � �����ff 
�
����
ff
�
�
 � fl 
ff
�
�
�!���!
ff
 
�
����
ff
� � � �!� fl � �!ff 
Desta forma, encontramos o sistema: 
"
 �
�
! � ��
fl � �! � �
 
Resolvendo o sistema pelo Teorema de Cramer, temos: O determinante $, dos 
coeficientes da equação incompleta do sistema é dado por: $ � %
� �
fl ��
%
�
�
� ��
� �
��
 
O determinante $
&
 é dado por:$
&
�
%
��
�
� ��
%
�fl� �
�
� ��� 
 
O determinante $
'
 é dado por:$
'
�
%
�
��
fl �
%
�
(
��
� �
��
 
Assim, temos: 
 �
$
&
$
�
���
�
��
� �� 
! �
$
'
$
�
�
��
�
��
� �
�
 
Logo, a única solução do sistema é ��� ��ff. 
 
Portanto: 
���
� � fi
�
� ! �
ffi�
 
���
� � � fi
�
� ��
�
ff �
ffi�
 
)��� � *+��� � ,��� 
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#-
 2) Escrever o vetor .//0 1 234 34567 como combinação linear dos vetores 
80 1 294 5:437, ;0 1 2<4:4=7 e >0 1 2:434537. 
Sabemos que: .//0 1 ? @ 80 A B @ ;0 A C @ >0 
2
3434 56
7
1 ? @ 2945:437 A B @ 2<4:4=7 A C @
2
:434 53
7
 
2
3434 56
7
1 2?4 5:?4 3?7 A 2<B4 :B4 =B7 A
2
:C4 3C4 53C
7
 
2
3434 56
7
1 2? A <B A :C4 5:? A :B A 3C4 3? A =B 5 3C7
 
 
Desta forma, encontramos o sistema D
? A <B A :C 1 3
5:? A :B A 3C 1 3
3? A =B 5 3C 1 56
, que é equivale a matriz: 
E
F
E
G
E
H
I
9 < : 3
5: : 3 3
3 = 53 56
J. Agora vamos escaloná-la: 
 
 E
G
1 :K
E
F
A
E
G
 E
H
1 53K
E
F
A
E
H
 
: 9
L
=
M
5: : 3 3
L
9: 6 N
53 59< 5
M
5N
3 = 53 56
L
599 5N 59
M
O
E
F
E
G
E
H
I
9 < : 3
L
9: 6 N
L
599 5N 59
M
J 
 
E
H
1 99K
E
G
A 9:K
E
H
 
L
93: 66 NN
L
593: 59
L
P 59N:
L L
539 5N3
O
E
F
E
G
E
H
I
9 < : 3
L
9: 6 N
L L
539 5N3
J
Q
E
F
E
G
E
H
D
? A <B A :C 1 3
9:B A 6C 1 N
539C 1 5N3
 
 
539C 1 5N3
 
C 1
5N3
539
 
C 1 3
 
 
 
 
 
9:B A 6C 1 N
 
9:B A 6K 3 1 N
 
9:B A :9 1 N
 
9:B 1 N 5 :9 
9:B 1 59: 
B 1
59:
9:
 
B 1 59
 
? A <B A :C 1 3
 
? A < K
2
59
7
A : K 3 1 3
 
? 5 < A
M
1 3
 
? 1 3 A < 5
M 
? 1 : 
 
 
Assim, a única solução do sistema é 2:459437. 
 
Portanto: 
.//0 1 ? @ 80 A B @ ;0 A C @ >0
 
.//0 1 : @ 80 A
2
59
7
@ ;0 A 3 @ >0 
R
///0 1
ST//0
5
U//0
A
VW
/0
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - Professora Roberta Mastrochirico - robertafmu@hotmail.com
XY
DEPENDÊNCIA LINEAR: 
 
Dois ou mais vetores são linearmente dependentes (LD) se, e somente se, um 
deles for combinação linear dos demais, sendo assim, vetores que não são linearmente 
dependentes dizem-se linearmente independentes (LI) se, e somente se, nenhum deles 
for combinação linear dos demais. 
Sempre que houver um vetor nulo em uma sequência de um ou mais vetores, 
esses vetores são LD. 
 
Z 1 vetor: 
Um vetor [\] ^ _` ou [\] ^ _a é: 
- LD se, e somente se,[\] b c\]. (vetor nulo) 
- LI se, e somente se,[\] d c\]. 
 
Exemplos: 
1) 
c
\]
b
e
c f c f c
g
h
 vetor nulo
i jk
 
2) [\] b el f c f mg h vetor não nuloi jn 
 
Z 2 vetores: 
Dois vetores[\]e o] ^ _` ou ^ _a são: 
- LD se, e somente se,os vetores forem paralelos(múltiplos). 
- LI, se, e somente se,os vetores não forem paralelos(não múltiplos). 
 
Exemplos: 
1) [\]
b
e
l f
p
f
q
g
 e o]
b
e
r
f l c f l
s
g
 o]
b
r[\]
h
[\] t t o]
h
Múltiplos
i jk
 
2) [\]
b
e
l f
p
f
q
g
 e o]
b
e
r
f lc f m
g
 Não múltiplos
i jn
 
 
Z 3 vetores: 
Três vetores[\], o] e u\\] ^ _` ou ^ _a são: 
- LD se, e somente se,os vetores forem coplanares. 
- LI, se, e somente se,os vetores não forem coplanares. 
Sendo [\] b ev
w
f x
w
f y
w
g, o] b ev
`
f x
`
f y
`
g
 e u\\] b ev
a
f x
a
f y
a
g. Temos: 
z
v
w
x
w
y
w
v
`
x
`
y
`
v
a
x
a
y
a
z b { h jk ou z
v
w
x
w
y
w
v
`
x
`
y
`
v
a
x
a
y
a
z d { h jn 
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|}
Exemplos: 
1) ~€  ‚ƒ„ …„ †‡, ˆ€  ‚…„ ‰„Ł‹‡ e Œ€  ‚„ Ž„ ‡ 

ƒ … †
… ‰ Ł‹
 Ž 

ƒ …
… ‰
 Ž
‘‰ ‘‹ƒ Ł’‹ ‘‰ Łƒ‹ ‘‰
 Ł‹‰ƒ ‘ ‹‰ƒ  ‰ “ ”•–—˜™˜š›œ  žŸ 
 
2) 
~€ 
‚
…„‹„†
‡, 
ˆ€ 
‚
ƒ„‰„Łƒ
‡
 e 
Œ€ 
‚
Ł‹„ „Ł…
‡
 

… ‹ †
ƒ ‰ Łƒ
Ł‹   Ł…

… ‹
ƒ ‰
Ł‹  
‘‰ ‘ƒ  ‘Ž ‘‰ ‘ƒ ‘ ‰
 ƒ ¡ ‰ “ ™¢•”•–—˜™˜š›œ “ ž£ 
 
¤ 4 vetores ou mais: 
Quatro ou mais vetores são sempre LD. 
 
BASES CANÔNICAS: 
 
¤
 Base: 
Seja ¥ um espaço vetorial não nulo e ¦ um subespaço vetorial de ¥, uma base § 
para ¦ é um conjunto § ¨ ¦ de vetores não nulos tais que: 
i) Os vetores de 
§
 são linearmente independentes. 
ii) Os vetores de 
§
 geram o subespaço 
¦
, ou seja, podemos escrever 
qualquer vetor de 
¦
 como combinação linear dos vetores de 
§
. 
 
© Bases Canônicas: 
1) Base Canônica de 
ª 
«
‹
¬
 
2) Base Canônica de ª­  «‚‹„‰‡„ ‚‰„‹‡¬ 
3) Base Canônica de 
ª
®

«‚
‹„‰„‰
‡
„
‚
‰„‹„‰
‡
„
‚
‰„‰„‹
‡¬
 
4) Base Canônica de ª¯  «‚‹„‰„‰„‰‡„ ‚‰„‹„‰„‰‡„ ‚‰„‰„‹„‰‡„ ‚‰„‰„‰„‹‡¬ 
5) Base Canônica de ª°  «‚‹„‰„± „‰‡„ ‚‰„‹„ ± „‰‡„± „ ‚‰„‰„ ± „‹‡¬ 
6) Base Canônica de ²
­
‚
ª
‡
 ³´
‹ ‰
‰ ‰
µ „ ´
‰ ‰
‹ ‰
µ „ ´
‰ ‹
‰ ‰
µ „ ´
‰ ‰
‰ ‹
µ¶ 
7) Base Canônica de ²
­·®
‚
ª
‡
 
 ³´
‹ ‰ ‰
‰ ‰ ‰
µ „ ´
‰ ‰ ‰
‹ ‰ ‰
µ „ ´
‰ ‹ ‰
‰ ‰ ‰
µ „ ´
‰ ‰ ‰
‰ ‹ ‰
µ „ ´
‰ ‰ ‹
‰ ‰ ‰
µ „ ´
‰ ‰ ‰
‰ ‰ ‹
µ¶ 
 
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¸¸
EXERCÍCIOS: 
 
 
1) Escrever os vetores ¹º», dados abaixo, como combinação linear dos vetores ¼½ e ¾½ , 
também dados abaixo: 
a) ¹º» ¿ ÀÁÂÃÄ, ¼½ ¿ ÅÁ ÆÁÇ e ¾½ ¿ ÅÈÂÆÉÇ 
b) ¹º» ¿ ÀÉÂÈÊÄ, ¼½ ¿ ÅÈÂÊÇ e ¾½ ¿ ÅËÂÈÇ 
c) ¹º» ¿ ÀÈÌÂÆÉÄ, ¼½ ¿ ÅËÂÆÁÇ e ¾½ ¿ ÅÈÂÆÈÇ 
d) 
¹º» ¿
À
ËÂÆÁ
Ä, 
¼½ ¿
Å
ÈÂÉ
Ç
 e 
¾½ ¿
Å
ÈÂÊ
Ç
 
 
2) Escrever os vetores ͺº», dados abaixo, como combinação linear dos vetores ¼½, ¾½ e ν, 
também dados abaixo: 
a) ͺº» ¿ ÀÈ ÂÆÁ  ÌÄ, ¼½ ¿ ÅÈ Â È Â ÈÇ,¾½ ¿ ÅÈ Â Á  ÉÇ e ¾½ ¿ ÅÁ ÂÆÈ Â ÈÇ 
b) ͺº» ¿ ÀÈÉ Â É ÂÆÌÄ, ¼½ ¿ ÅÈ Â É ÂÆÁÇ,¾½ ¿ ÅÌ Â Ë Â ÏÇ e ¾½ ¿ ÅÆÁ Â È Â ÉÇ 
 
3) Verifique se as sequências de vetores abaixo são LD ou LI: 
a) н ¿ ÅÉÂÈÂËÇ 
b) н ¿ ÅÈÂËÂËÇ 
c) 
н ¿ ÅËÂËÂËÇ
 e ÑÒ½
¿ ÅÉÂÌÂÈ
) 
d) 
н ¿ ÅÁÂÊÂÃÇ
 e ÑÒ½
¿ ÅÊÂÏÂÈÁ
) 
e) н ¿ ÅÁÂÆÈÇ e ÑÒ½ ¿ ÅÉÂÌ) 
f) н ¿ ÅÈÂËÇ e ÑÒ½ ¿ ÅÆÈÂÈ), Ó½ ¿ ÅÉÂÆÌÇ e Ô½ ¿ ÅÆÈ Æ Õ) 
g) 
н ¿
Å
ÈÂÈÂ ÆÁ
Ç, ÑÒ½
¿
Å
ÁÂËÂÁ
Ç
 e 
Ó½ ¿
Å
ÏÂÁÂÊ
Ç
 
h) н ¿ ÅÈÂÁÇ e ÑÒ½ ¿ ÅÉÂÃÇ 
i) н ¿ ÅÈÂÉÇ e Öº» ¿ ÀÁÂÌÄ 
j) 
н ¿
Å
ÆÈÂÈÂÉ
Ç
 e ÑÒ½
¿
Å
ÉÂÆÉÂ ÆÕ
Ç
 
k) н ¿ ÅÆÈÂÆÌÂÁÇ e ÑÒ½ ¿ ÅÁËÂÊÂÆÏÇ 
l) н ¿ ÅÈÂÉÂËÇ, ÑÒ½ ¿ ÅÁÂÈÂÊÇ e Ó½ ¿ ÅÉÂÊÂÊÇ 
m) 
н ¿
Å
ÊÂÌÂÈ
Ç, ÑÒ½
¿
Å
ÆÊÂÊÂÊ
Ç
 e 
Ó½ ¿
Å
ËÂÆÈÂ ÆÈ
Ç
 
n) 
н ¿
Å
ÆÏÂÆÈÂÉ