Lista de Exercícios com gabarito

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Stela Adami Vayego _______________________________________________________ DEST/UFPR 
 
Prática 04 – Modelos Probabilísticos 
 
1. Um corretor de seguros vende apólices de seguros a 5 homens, todos da mesma idade e em boas 
condições de saúde. De acordo com as tábuas atuarias, a probabilidade de um homem dessa idade estar 
vivo daqui a 30 anos é 2/3 . Determine a probabilidade de que, daqui a 30 anos, 
(a) todos os 5 homens estejam vivos. (0,1317) 
(b) ao menos 3 estejam vivos. (0,7901) 
(c) só dois estejam vivos. (0,1646) 
(d) ao menos um esteja vivo. (0,9959) 
 
2. Calcule a média e o desvio padrão de X~b(p=0,7;n=6). 
 
3. Se 3% das lâmpadas fabricadas por uma companhia são defeituosas, determine a probabilidade de que, 
em uma de 100 lâmpadas, 
(a) nenhuma é defeituosa. (0,04979) 
(b) 3 são defeituosas. (0,2241) 
(c) 5 são defeituosas. (0,1008) 
 
4. De acordo com a Divisão de Estatística Vital do Departamento de Saúde dos Estados Unidos, a média 
anual de afogamentos acidentais nos Estados Unidos é de 3 por 100000 indivíduos. Determine a 
probabilidade de que, em uma cidade com 200000 habitantes, se verifiquem: 
(a) 2 afogamentos acidentais por ano. (0,04462) 
(b) menos de 3 afogamentos acidentais por ano. (0,0620) 
 
5. Suponha que a máquina 1 produza (por dia) o dobro das peças que são produzidas pela máquina 2. No 
entanto, 4% das peças fabricadas pela máquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto que somente cerca 
de 2% de defeituosas produz a máquina 2. Admita que a produção diária das duas máquinas seja 
misturada. Uma amostra aleatória de 10 peças é extraída da produção total. Qual será a probabilidade de 
que essa amostra contenha 2 peças defeituosas? 
 
6. Suponha que 5% de todas as peças que saiam de uma linha de produção sejam defeituosas. Se 10 
dessas peças forem escolhidas e inspecionadas qual será a probabilidade de que no máximo 2 
defeituosas sejam encontradas? 
 
7. Suponha que a probabilidade de que uma peça , produzida por determinada máquina, seja defeituosa é 
0,2. Se 10 peças produzidas por essa máquina forem escolhidas ao acaso, qual será a probabilidade de 
não mais de uma defeituosa seja encontrada ? Empregue binomial e Poisson e compare os resultados. 
(0,3758 e 0,405) 
 
 
 
 
8. Uma companhia de seguros descobriu que somente cerca de 0,1% da população está incluída em certo 
tipo de acidente cada ano. Se seus 10.000 segurados são escolhidos, ao acaso, na população, qual é a 
probabilidade de que não mais do que 5 de seus clientes venham a estar incluídos em tal acidente mo 
próximo ano? (0,067) 
 
9. Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson. Se P(X=2) = 2/3 [P(X=1)] , calcular P(X=0) e 
P(X=3). 
 
10. Suponha que um recipiente encerre 10000 partículas. A probabilidade de que uma partícula escape 
do recipiente é igual a 0,0004. Qual é a probabilidade de que mais de 5 escapamentos desses ocorram? 
(Pode-se admitir que os vários escapamentos sejam independentes uns do outro). 
 
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11. Se X~P(), e se P(X=0) = 0,2 ; calcule P(X>2). (0,2191) 
 
12. Uma firma exploradora de petróleo acha que 5% dos poços que perfura acusam depósito de gás 
natural. Se ela perfurar 6 poços, determine a probabilidade de ao menos um dar resultado positivo. 
(0,2648) 
 
13. Os defeitos em rolos de filme colorido ocorrem à razão de 0,1 defeito/rolo, e a distribuição dos 
defeitos é a de Poisson. Determine a probabilidade de um rolo em particular conter um ou mais 
defeitos.(0,0952) 
 
14. Uma mesa telefônica recebe chamadas à razão de 4,6 chamadas por minuto. Determine a 
probabilidade de cada uma das ocorrências abaixo, num intervalo de 1 minuto: 
(a) exatamente 2 chamadas. (0,1063) 
(b) 0 chamadas. (0,0101) 
(c) ao menos 2 chamadas. (0,9437) 
(d) 2 a 6 chamadas. (0,7617) 
 
15. A probabilidade de um bilhete de loteria dar um prêmio é 1/1000. Uma pessoa deseja comprar 50 
bilhetes. 
(a) Qual a probabilidade de nenhum dar prêmio? 
(b) Qual a probabilidade de ao menos um dar prêmio? 
 
16. Sabe-se que os defeitos em rolos de papel de parede seguem aproximadamente a distribuição de 
Poisson, com média de 2 defeitos por rolo de 10 metros. Compra-se meio rolo. Determine as seguintes 
probabilidade: 
(a) 0 defeitos; 
(b) 1 defeito; 
(c) mais de 1 defeito. 
 
17. Ao testar um certo tipo de caminhão em terreno acidentado, constatou-se que 20% dos caminhões 
não conseguem terminar o teste sem ao menos um pneu furado. Qual é a probabilidade de que, dentre os 
próximos 10 caminhões a serem testados, de 5 a 8 tenham pneu furado? (0,033) 
 
18. Uma cooperativa agrícola afirma que 95% das melancias por ela fornecidas estão maduras e prontas 
para o consumo. Determine a probabilidade de que, em um lote de 15 melancias, (a) todas estejam 
maduras; (b) ao menos 8 estejam maduras; (c ) no máximo 6 estejam maduras. (0,463 ; 1 e 0) 
 
19. Um novo remédio tem efeito colateral indesejável em 5% das pessoas que o tomam. Se 13 pacientes 
tomam o remédio, qual é a probabilidade de (a) nenhuma reação negativa; (b) um reação negativa? (0,513 
e 0,351) 
 
20. Seja p=0,01 a probabilidade de certo tipo de lâmpada queimar no período de 24 horas. Qual é a 
probabilidade de um luminoso com 10 lâmpadas permanecer totalmente aceso durante aquele período? 
(0,904) 
 
21. Se 4% das lâmpadas fabricadas por uma indústria são defeituosas, determinar a probabilidade de , em 
uma amostra de 150 lâmpadas, encontrarmos: (a) duas defeituosas; (b) menos de 5 defeituosas. (0,0446 e 
0,4457) 
 
22. Os registros de trânsito indicam que há uma probabilidade de 0,0001 de um automóvel acusar defeito 
durante a travessia de um túnel. Determine a probabilidade de que em 8000 automóveis, (a) ao menos um 
acuse defeitos durante a travessia; (b) no máximo 3 acusem defeito. (0,5507 e 0,9909) 
 
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23. Use a aproximação de Poisson para calcular a probabilidade de que no máximo 2 dentre 50 
motoristas tenham carteira de habilitação inválida se normalmente 5% dos motoristas o tem. 
 
24. Seja 
 X b n p~ ; , 25 0 2
. Calcule P(X<x - 2x) = ? 
 
25. Suponha 
 X b n p~ ;
tal que, E(X)=5 e Var(X)=4. Encontre n e p. 
 
26. Se X~P() e P(X=0)=0,5; encontre E(X)= ? 
27. Certa máquina empacotadora de café em pó conduz a sacos com média de 500 gramas e desvio 
padrão de 10 gramas. Assumindo que a quantidade de café nos sacos distribua-se normalmente, 
determine: 
(a) P(500 < X < 520). (0,4772) 
(b) P(X  515). (0,0668) 
 
28. Um componente usado na montagem de certo modelo de rádio AM/FM é adquirido de uma fábrica 
do Rio Grande do Sul e entregue em embalagens de 20 unidades. Na inspeção de qualidade feita quando 
da recepção do componente, uma embalagem é tomada ao acaso e examinadas todas as unidades que ela 
contém. Todo o lote do produto é rejeitado se for encontrado mais que 1 componente defeituoso na 
embalagem. Sabendo-se que 10% dos componentes são defeituosos, qual a probabilidade de rejeitar-se o 
lote? 
 
29. Um componente pode suportar uma voltagem até 120 volts. Submetendo-o a uma fonte de tensão 
variável segundo uma normal, com média de 118 e desvio padrão de 3 volts, qual a probabilidade de que 
ele se queime? 
 
30. Para uma companhia, sabe-se que seus operários possuem certo atributo intelectual variando segundo 
uma distribuição normal com média 108 e desvio padrão 10. Para uma particular função, experiências 
anteriores mostram que somente operários com média mínima de 95 naquele atributo eram competentes 
para o serviço, enquanto que operários com média acimade 120 tornavam-se aborrecidos com o 
trabalho. Tomando por base apenas o atributo em questão, qual a porcentagem de operários adaptada 
àquele trabalho? 
 
31. Sabe-se que o conteúdo de cerveja numa lata de 12 oz da fábrica Super Suds Beverages, Inc., tem 
distribuição aproximadamente normal com média de 12 oz e desvio padrão de 0,25 oz. 
(a)que porcentagem de latas terá menos de 11,6 oz? (0,0548) 
(b)que porcentagem apresentará variação não superior a 0,3 oz em relação à média? (0,7698) 
(c )qual a probabilidade de, numa amostra de 4 latas, todas as quatro terem conteúdo inferior a 12 oz? 
(0,0625) 
 
32. O tempo de atendimento em uma oficina é bem aproximado por uma distribuição exponencial com 
média de 4 minutos. Qual a probabilidade de: 
(a)espera superior a 4 minutos? (0,368) 
(b)espera inferior a 4 minutos? (0,632) 
(c )esperar exatamente 4 minutos? 
 
33. A vida útil de lavadoras de pratos automáticas é de 1,5 anos, com desvio padrão de 0,3 anos. Se os 
defeitos se distribuem normalmente, que porcentagem de lavadoras vendidas necessitará de concerto 
antes de expirar o período de garantia de 1 ano? 
 
34. Em um grande complexo industrial, o departamento de manutenção tem instruções para substituir as 
lâmpadas antes que se queimem (isto é, não esperar que queimem para então substituí-las). Os registros 
indicam que a duração das lâmpadas tem distribuição normal com média 900 horas e variância de 75 
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horas. Quando devem ser substituídas as lâmpadas de modo que no máximo 10% delas queimem antes 
de serem trocadas? (dentro de 804 horas) 
 
35. Um fabricante de tubos de TV determinou que a vida média dos tubos de sua fabricação é de 800 
horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica tenha 
que substituir um tubo gratuitamente, se oferece uma garantia de 300 horas de uso? (0,3127) 
 
36. A quantidade de óleo contida em cada lata fabricada por uma indústria, tem peso distribuído 
normalmente, com média de 990 gramas e desvio padrão de 10 gramas. Uma lata é rejeitada no comércio 
se tiver peso menor que 976 gramas. Qual a probabilidade de que em 20 latas observadas, 3 sejam 
rejeitadas? (0,14347) 
 
37. O peso de um cigarro é a soma dos pesos do papel e do fumo, e vale em média 1,200 gramas com 
desvio padrão de 0,060 gramas. O peso médio do papel é de 0,040 gramas com desvio padrão de 0,020 
gramas. Esses pesos têm distribuição normal. Os cigarros são feitos em uma máquina automática que 
pesa o fumo a ser colocado no cigarro, coloca o papel e enrola o cigarro. Determinar o peso médio do 
fumo a ser colocado em cada cigarro e o desvio padrão. Qual a probabilidade de que um cigarro tenha 
menos de 1,130 gramas de fumo? (0,315614) 
 
38. Uma máquina automática enche latas, baseada no peso bruto das mesmas. O peso bruto tem 
distribuição normal com média 1000 gramas e desvio padrão de 20 gramas. As latas têm peso distribuído 
normalmente, com média 90 gramas e desvio padrão de 10 gramas. Qual a probabilidade de que uma lata 
tenha, de peso líquido: 
(a)menos de 830 gramas? (0,000172) 
(b)mais de 870 gramas? (0,963273) 
(c )entre 860 e 920 gramas? (0,6611) 
 
39. Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos quais com confiabilidade de 0,95 
(probabilidade de funcionamento durante um certo período de tempo). Se esses componentes funcionam 
independentemente um do outro e se o sistema completo funciona adequadamente quando pelo menos 80 
dos componentes funcionam, qual a confiabilidade do sistema? (0,994132 ou 99,41%) 
 
40. O peso de um saco de café é uma variável aleatória que tem distribuição normal com média de 65 Kg 
e desvio padrão de 4 Kg. Um caminhão é carregado com 120 sacos. Qual a probabilidade da carga do 
caminhão pesar: 
(a)entre 7893 Kg e 7910 Kg? (0,010966) 
(b)mais de 7722 Kg? (0,962462)