LE2_Transcal_Conducao_Alunos (1)

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UTFPR FENÔMENOS DE TRANSPORTES DAMEC 
03/06/2019 Prof. Eduardo Lista 2 1
LISTA DE EXERCÍCIOS –CONDUÇÃO 
 
1. Considerando condições de regime permanente para condução unidimensional em uma parede 
plana com k=50 [W/mK] e L=0,25m, sem geração interna de calor, determine as quantidades 
desconhecidas da tabela: 
 
 
2. Um cilindro de raio r0, comprimento L e conditividade térmica k está imerso num fluido cujo 
coeficiente de convecção é h e a temperatura T∞ é desconhecida. Num certo instante, a distribuição 
de temperatura no cilindro é T(r)=a+br2, onde a e b são constantes. Deduzir as expressões da taxa 
de transferência de calor em r0 e a temperatura do fluido. 
 Resp: qr=ro = qconv = h(2πLro)[T(ro)-T∞] ; T∞ = a + br0 [r0+(2k/h)] 
 
3. Algumas seções de um oleoduto no Alasca ficam acima do solo e são suportadas por colunas 
verticais de aço (k=25 W/mK) que têm 1 m de comprimento e área da seção reta de 0,005 m2. Em 
condições operacionais normais, a variação de temperatura ao longo da altura da coluna é dada por 
uma expressão da forma 
2100 150 10T x x   , 
 
onde T e x têm as unidades [oC] e [m], respectivamente. As variações de temperatura são 
desprezíveis sobre a seção reta da coluna. Estimar a temperatura e a taxa de condução de calor na 
junta coluna-oleoduto (x=0) e na interface coluna-solo (x=L). Explicar a diferença nas taxas de 
transferência de calor. Resp.: T(x=0)= 100 oC ; T(x=L)=-40 oC; q(x=0)=18,75W; q(x=L)=16,25W 
 
 
 
4. Num certo instante, a distribuição de temperatura no interior de um corpo homogêneo infinito, é 
dada pela função abaixo. Admitindo que as propriedades sejam constantes, e que não exista 
geração interna de calor, determine as regiões onde a temperatura varia com o tempo. 
 2 2 2( , , ) 2 2T x y z x y z xy yz     
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5. Considere uma parede plana de espessura L=0.4 m, condutividade térmica k= 2.3 W/m°C, e área 
superficial A= 20 m2. O lado esquerdo da parede é mantido a uma temperatura constante T1 = 80°C 
enquanto o lado direito perde calor por convecção para o meio ambiente a Too =15°C com h=24 
W/m2°C. Assumindo condutividade térmica constante e sem geração de calor na parede: 
(a) Escreva a equação diferencial e as condições de contorno para condução em regime permanente e 
uni-dimensional através da parede (R. d2T/dx2=0; c.c.1: T(x=0)=80ºC; cc2: qcond=qconv) 
(b) Obtenha a equação para a variação de temperatura na parede resolvendo a equação diferencial (R. 
T(x)=80-131.1x), e 
(c) Avalie a taxa de transferência de calor através da parede (R. q=6030W) 
 
6. A distribuição de temperatura através de uma parede de 0,3 m de espessura, num certo instante de 
tempo, é T(oC)=a+bx+cx2, onde a = 200 oC, b = -200 oC/m e c = 30 oC/m2. A parede tem a 
condutividade térmica de 1 W/mK. 
a) Tomando por base uma área superficial unitária, determine a taxa de transferência de calor 
afluente e efluente e a taxa de variação da energia acumulada na parede. R. 200 W/m2 , 182 W/m2, 
18 W. 
b) Se a superfície fria for exposta a um fluido a 100 oC, qual é o coeficiente de convecção? R. 4,3 
W/m2K. 
 
7. A distribuição de temperatura, em um material semitransparente de condutividade térmica k e 
espessura L, exposto à radiação de um laser, é representada pela equação dada a seguir, onde A, a, 
B e C são constantes conhecidas. Nesta situação, a absorção de radiação no material se manifesta 
por um termo de geração distribuída de calor gq (x). 
 
 
a) Deduzir as expressões dos fluxos de calor por condução nas faces superior e inferior; 
b) Deduzir uma expressão para a taxa de geração distribuída gq (x).; 
c) Deduzir uma expressão da taxa de absorção da radiação no material, por unidade de área 
superficial. Exprimir o resultado em termos das constantes conhecidas da distribuição de 
temperatura , da condutividade térmica do material e da sua espessura. 
 Resp.: a) A Bk
a
 ; aL
A e Bk
a
  ; b) axAe ; c) (A/a) (1-e^(-aL)) 
 
8. A distribuição permanente de temperatura, numa parede unidimensional de condutividade térmica 
k e espessura L, tem a forma 3 2T ax bx cx d    . Deduzir as expressões da taxa de geração de 
calor por unidade de volume da parede, e os fluxos de calor nas duas faces da parede (x=0,L). Resp.: 
a) ( 6 2 )ax b k  ; b) kc ; 2(3 2 )k AL bL c   . 
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9. Considere a base de aço de um ferro de passar roupa de 800 [W] 
com espessura L=0.6 cm, área A=160 cm2, e condutividade térmica 
k = 20 W/m°C. A superfície interna da superfície da base está 
sujeita a um fluxo de calor gerado por uma resistência de 
aquecimento instalado internamente. Quando a condição de 
regime permanente é atingida, a superfície externa (x=L) atinge 
temperatura de 85°C. Desprezando qualquer perda de calor 
através das superfícies laterais do ferro:. 
a) Escreva a equação diferencial e as condições de contorno 
para a condição de transferência de calor unidimensional e 
regime permanente, 
b) Obtenha a equação para a variação de temperatura na 
base do ferro resolvendo a equação diferencial encontrada. 
(R. T(x)=-2500x+100) 
c) Avalie a temperatura interna do prato. (R. T(0)=100º C) 
 
10. Uma placa plana tem espessura (L) de 0,4 [m] e condutividade térmica 
(k) de 8,4 [W/mK]. A superfície exposta da placa (x= L) troca calor por 
convecção com o ar ambiente a temperatura (T∞) de 25 [°C] e 
coeficiente de transferência de calor por convecção (h) de 14 [W/m²K], 
e por radiação com a vizinhança, cuja temperatura (Tviz) é de 17[°C] e 
tem emissividade (ε) de 0,7. A temperatura da superfície exposta ao 
ambiente é de 45 [°C]. 
Assumindo transferência de calor unidimensional, sem geração interna, 
regime permanente e propriedades constantes, pede-se: 
(a) Escreva a equação diferencial e as condições de contorno para 
transferência de calor por condução através da parede, 
(b) Obtenha a equação para o campo de temperaturas na placa resolvendo a equação diferencial 
(R. T(x)=-48,2x+64,3) 
(c) determine o valor da temperatura da superfície da placa em x = 0. (R. 64,3ºC) 
 
11. Considere uma panela de aço usada para ferver água. A seção inferior da bandeja tem espessura 
L=0.5 cm e diâmetro de D=20 cm. A unidade de aquecimento entrega uma potência de 1000 W e 
durante o processo, 60% do calor gerado no elemento de aquecimento é transferido 
uniformemente à bandeja. A temperatura da superfície superior desta seção atinge a 110ºC. 
Assumindo condutividade térmica constante e transferência de calor unidimensional, formule 
matematicamente (a equação diferencial e as condições de contorno) deste problema de condução 
do calor em regime permanente. Não resolva a equação. 
EAT TRANSFER 
45°C 
 
x 
h 
T 
 L 
Tsurr 
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12. Uma parede plana, de espessura 0,1 m e com uma condutividade térmica de 25 W/mK, com uma 
geração volumétrica de calor uniforme de 0,3 MW/m3, está com uma face isolada enquanto a outra 
face está exposta a um fluido a 92oC. O coeficiente de transferência convectiva de calor entre a parede 
e o fluido é 500 W/m2K. Determinar a temperatura máxima na parede. Resp.: 2120C 
 
13. Quando percorrida por uma corrente elétrica I, uma barra coletora de cobre, com seção reta retangular 
( 6 mm x 150 mm) sofre uma geração de calor à taxa ̇ݍ (W/m3) dada por ̇ݍ = ܽܫଶ onde a = 0,015 
W/m3.A2. Qual será a corrente máxima admissível na barra, se a sua temperaturamáxima não puder 
exceder de 300C a temperatura do ar ambiente? A barra está num ambiente com o h do ar dado por 5 
W/m2K. Resp.: I=1826 A. 
 
14. Considere uma placa do aço inoxidável (k = 15.1 W/m°C) com 3 cm de espessura em que o calor é 
gerado uniformemente a taxa de 5.105 W/m3. Ambos os lados da placa são expostos a um ambiente a 
30°C com um coeficiente de transferência de calor de 60 W/m2°C. Determine os valores e as posições 
das temperaturas mais altas e mais baixas. Resp.: . Tmáx.= 158,7 °C; Tmín.=155°C. 
 
15. Considere uma placa de bronze (k = 11 W/m°C) de 5 cm de espessura onde calor é gerado 
uniformemente a taxa de 2.105 W/m3. Um lado da placa é isolado quando o outro lado está exposto a 
um ambiente em 25°C com coeficiente de transferência de calor de 44 W/m2°C. Determine os valores e 
as posições das temperaturas mais altas e mais baixas. Resp.: Tmáx.= 275º C; Tmín.=252,3°C 
 
16. Considere uma parede plana grande de espessura 0.05 m. A superfície da parede em x=0 está 
isolada, enquanto a superfície em x=L é mantida a temperatura de 30°C. A condutividade térmica da 
parede é k = 30 W/m°C, e o calor é gerado na parede a taxa de ݍ௚ = ݍ௚଴݁షబ,ఱೣಽ em [W/ m3] onde 
ݍ௚଴ = 8.106	W/mଷ . Considerando a transferência de calor uni-dimensional: (a) expresse a equação 
diferencial e as condições de contorno para a condução do calor através da parede, (b) obtenha uma 
relação para a variação da temperatura na parede resolvendo a equação diferencial, e (c) determine a 
temperatura da superfície isolada da parede. Resp.: (c) 314°C 
 
17. A distribuição de temperatura, em regime permanente, numa parede unidimensional, de 
condutividade térmica 50 W/mK e espessura 50 mm, é T(oC)=a+bx2, onde a = 200 oC, b = -2000 oC/m2 e x 
está em metros. 
a) Qual é a taxa de geração de calor na parede? Resp. 200 kW/m3 
b) Determinar os fluxos térmicos nas duas faces da parede. De que maneira estes fluxos 
térmicos estão relacionados com a taxa de geração de calor? Resp. 0 ; 10 kW/m2 
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18. Considere uma placa de espessura 5 cm (k= 111 W/mK) na qual calor é gerado uniformemente a 
uma taxa de 2105 W/m3. Um lado da placa é isolado enquanto o outro lado é exposto a um ambiente a 
25oC com um coeficiente de transferência de calor convectivo de 44 W/m2oC. Diga onde ocorre a maior 
temperatura e determine o seu valor, considerando que a relação entre a espessura e o comprimento da 
placa é muito pequena. Resp. T(0)=254,5º C ; T(L)=252,3º C. 
 
19. O comprimento da resistência de um ferro de aço de 1000 W é de 381 mm e tem um diâmetro de 2 
mm. Determine a taxa de geração do fio por unidade de volume, e o fluxo de calor resultante desta 
geração de calor. Resp. 8,35.108 W/m3 ; 4,179.105 W/m2. 
20. Numa barra cilíndrica de combustível de um reator nuclear, com diâmetro 50 mm, ocorre a geração 
interna, uniforme, de calor à taxa ̇ݍ = 50 MW/m3. Em regime permanente, a distribuição de temperatura é 
da forma T(r)=a+br2, onde T está em graus Celsius e r em metros, com a= 800oC e b= 4,167.105 oC/m2. As 
propriedades do combustível da barra são: k=30W/mK, ρ=1100 kg/m3 e cp= 800 J/kgK. 
a) Qual é a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento da barra, em r=0 (o eixo) e 
em r= 25 mm (a superfície)? Resp. 0,0 W/m ; 0,980.105 W/m 
b) Se o nível de potência do reator for subitamente elevado para ݍଶ =̇ 108 W/m3, qual é a taxa inicial 
da variação da temperatura com o tempo em r=0 e em r=25 mm? Resp. 56,82 K/s 
 
21. Na figura a seguir, é mostrada a seção transversal de um elemento combustível cilíndrico longo de um 
reator nuclear. A geração de energia corre uniformemente no bastão combustível de tório, cujo diâmetro é 
D = 25mm e que se encontra envolto por um fino revestimento de alumínio. Em condições de regime 
estacionário o sistema opera com uma taxa de geração de energia ̇ݍ௚ = 7x10
8
 W/m3 e as características do 
sistema de resfriamento são Too= 95ºC e h = 7000 W/m2K. Nestas condições o material suporta? Dados: 
Temperatura de fusão do tório = 2023 K ; do Alumínio = 933 K. 
 
 
22. Um elemento combustível de um reator nuclear consiste em um sólido cilíndrico em forma de pino de 
raio r1 e condutividade térmica kc.O pino combustível encontra-se em contato perfeito com um material de 
revestimento de raio externo r2 e condutividade térmica kr .Considere condições de regime estacionário 
para as quais ocorre a geração uniforme de calor no interior do combustível a uma taxa volumétrica q˚ e a 
superfície externa do revestimento está exposta a um refrigerante que é caracterizado a uma temperatura 
Too e um coeficiente de convecção h. 
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a) Obtenha uma expressão para as distribuições de temperatura Tc (r) e Tr(r) no combustível e no 
revestimento,respectivamente.Expresse seu resultado exclusivamente em termos das variáveis 
anteriores. Resp. 
2 2
1 12
00
2
ln
2 2
g g
c
c
q r q rrT T
k r r h
  
 
 
b) Considere um pino de combustível de óxido de urânio para o qual kc = 2W/m·K e r1 = 6mm e um 
revestimento para o qual kr = 25 W/m·k e r2 = 9 mm. Se ̇ݍ௚ = 2x10
8 W/m3 ,h = 2000 W/m2·K e Too = 
300K, qual a temperatura máxima do elemento combustível? Resp. 1458K 
 
 
23. O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado mediante um elemento calefator, pelicular, delgado 
e transparente, aplicado à sua face interna. O aquecimento elétrico desse elemento calefator proporciona 
um fluxo térmico uniforme na face interna. Qual será a potência elétrica dissipada por unidade de área do 
vidro, para manter a temperatura da face interna a 150C quando: temperatura do ar ambiente interno for 
250C. Dados: hinterno=10 W/m2K, Tar externo = –100C e hexterno= 65 W/m2K? A espessura do vidro é 4 mm. Resp.: 
a) 969,46 W/m2 
 
24. Num certo processo de fabricação, uma película transparente é aplicada a um substrato, conforme está 
na figura seguinte. Para fazer a cura da ligação, na temperatura T0, usa-se uma fonte de radiação, que 
proporciona um fluxo térmico q”0 (W/m2), totalmente absorvido na superfície da ligação. O substrato tem a 
face posterior mantida a T1 e a face livre da película exposta ao ar, na temperatura T00, com um coeficiente 
de transferência convectiva de calor h. 
a) Mostrar o circuito térmico que representa a transferência de calor em regime permanente. Ter a 
certeza de nomear todos os elementos, os nós e as taxas de calor. Deixar o circuito em forma 
simbólica; 
b) Admitir as seguintes condições: T00=200C, h=50 W/m2K e T1 = 300C. Calcular o fluxo de calor 
necessário q”0 para manter a superfície da ligação a T0= 600C. Resp.: a) 2833.33 W/m2. 
 
 
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25. A parede composta de um forno é constituída por três materiais, dois dos quais com a condutividade 
térmica conhecida, kA= 20 W/mK e KC=50 W/mK, e com a espessura conhecida, LA = 0,30 m e LC = 0,15 m. O 
terceiro material, B, que está entre as camadas dos materiais A e C, tem a espessura conhecida, LB = 0,15 m, 
mas a condutividade térmica kB é desconhecida. Em condições de operação em regime permanente, as 
medições de temperatura na face externa revelam que TS,0=200C e que, na face interna, TS,i=6000C. A 
temperatura do ar no forno é T∞=8000C. O coeficiente de transferência convectiva de calor h é 25 W/m2K. 
Qual é o valor de kB? Resp.: kB=1,53 W/mK. 
 
 
26. Uma parede composta, de 3 m de altura, e de comprimento unitário na direção normal ao plano da 
página, está isolada nas suas faces e é construída por quatro materiais diferentes,dispostos conforme a 
figura. 
a) Esquematizar o circuito térmico do sistema; 
b) Consideremos uma parede com as seguintes propriedades: 
 H = 3 m, HF= HG=1,5 m, LE=LH=0,05 m, LF= LG=0,10 m, kE= kH=50 W/mK, kF=10W/mK, e kG=1 W/mK. 
Qual é a taxa de transferência de calor através da parede quando T∞,1=200oC, h1=10 W/m2K, T∞,4 
=25oC e h4= 10 W/m2K? Quais são as temperaturas T1 e T2 nas duas interfaces? Resp:2387,45 W 
 
 
27. Uma casa tem uma parede composta de madeira, isolamento de fibra de vidro e painel de gesso, 
conforme a figura. Num dia frio de inverno, o coeficiente de transferência convectiva de calor é h0= 60 
W/m2K no exterior e hi= 30 W/m2K no interior. A área superficial total da parede é 350 m2. 
a) Determinar uma expressão simbólica para a resistência térmica total da parede, incluindo os 
efeitos convectivos no interior e no exterior, nas condições mencionadas na figura. 
b) Determinar a perda térmica total através da parede. Resp. 4,21kW 
c) Qual será o aumento percentual da perda térmica num dia em que houver forte ventania, com 
a elevação de h0 para 300 W/m2K? Resp. 0,5% 
 
Dados: kb=0,038 W/mK; ks =0,12 W/mK; kp=0,17 W/mK. 
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28. Um chip de silício está encapsulado de modo que, em regime permanente, toda a potência dissipada se 
transfere por convecção para uma corrente de fluido na qual h= 1000 W/m2K e T∞=20oC. O chip está 
separado do fluido por uma cobertura de alumínio, com 2 mm de espessura, e a resistência térmica de 
contato na interface chip-alumínio é 0,5 x 10-4 m2K/W. A área superficial do chip é 1000 mm2 e a 
temperatura máxima admissível é 850C. Qual é a dissipação de potência máxima permissível no chip? Resp.: 
5,7 W 
 
 
 
29. Uma parede é feita de duas placas de 0,5 in de um material com 
k=0,1729 W/mK, separada por uma camada de 5 in de fibra de vidro 
(k=0,0346 W/mK). A parede fica submetida às temperaturas superficiais 
de -5 e 30oC. Determine, para esta situação: a) a resistência térmica da 
parede; b) o fluxo de calor resultante; c) A taxa de transferência de calor 
para uma área de 100 m2. 
 
30. Considere uma janela de parede dupla de 0.8 m de altura e 1.5 m de 
largura feita de duas camadas de 4 mm de espessura de vidro (k= 0.78 
W/m°C) separadas por um material isolante térmico de 10 mm de 
espessura (k=0.026 W/m°C). Determine a taxa de transferência de calor 
através desta janela e a temperatura de sua superfície interna em um dia em que o quarto está mantido a 
20°C quando a temperatura do ar externo for de 10°C. Assuma que o coeficiente de transferência de calor 
nas faces interna e externa sejam de hi = 10 W/m2°C e he =40 W/m2°C, respectivamente. Resp. a) 23,08 W; b) 
18,07º C 
 
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31. Consideremos a parede unidimensional da figura seguinte. As superfícies externas estão expostas a um 
fluido a 250C com um coeficiente de transferência convectiva de calor igual a 1000 W/m2K. A parte central 
da parede, B, tem uma geração uniforme de calor ̇ݍ஻, enquanto não há geração de calor nas paredes A e C. 
As temperaturas nas interfaces são T1 = 2610C e T2 = 2110C. 
a) Admitindo seja desprezível a resistência de contato nas interfaces, determinar a taxa de geração 
volumétrica de calor ̇ݍ஻. Resp. 4x106 W/m3 
b) Desenhar a distribuição de temperatura, mostrando características importantes. 
 
 
32. Um tubo de vapor de 0,12 m de diâmetro é isolado com uma camada de silicato de cálcio de 20 mm de 
espessura. Se as superfícies interna e externa do isolamento estão às temperaturas de Ts,1 = 800 K e Ts,2 = 
490 K, respectivamente, qual é a perda de calor por unidade de comprimento do tubo? Dados : k(silicato 
de cálcio) = 0,089 W/mK. Resp. 603 W/m. 
 
33. Um tubo fino de 0,20 m de diâmetro é usado para transportar vapor saturado a uma pressão de 20 bar 
em um ambiente onde a temperatura do ar é de 25oC e o coeficiente de convecção da superfície externa do 
tubo é de 20 W/m2 K. 
a) Qual é a perda de calor por unidade de comprimento do tubo sem isolamento térmico? Qual é a 
perda de calor por unidade de comprimento se uma camada de isolamento de 50 mm (magnésio, 
85%) for adicionada? Resp.: 3727 W/m; 163 W/mK; 
b) Os custos associados com geração de vapor e instalação do isolante são conhecidos e são de $ 
4/109 J e $ 100/m de comprimento do tubo, respectivamente. Se a linha de vapor opera 7500 h/ano, 
quantos anos são necessários para se ter o retorno do investimento com isolamento? Resp.: a) 0,26 
ano/GJ 
Dados: Temperatura de saturação da água a 20 bar Tsat= 486 K; k (magnésio, 85%) = 0,058 W/mK; o 
aço e o magnésio têm emissividade de 0,8. 
Considerações: Considerar a perda de calor por radiação do tubo para o meio externo; Despreze a 
resistência térmica de condução do tubo e a resistência de convecção da superfície interna do tubo 
fino; 
 
34. Vapor escoa através de um longo e fino tubo, com temperatura uniforme da parede de 500 K. O tubo é 
revestido com um isolante composto de diferentes materiais, A e B. Assuma que a interface entre os dois 
materiais possui uma resistência de contato infinita, e que a superfície externa está exposta ao ar com T∞ = 
300 K e h = 25 W/m2 K. 
a) Esboce o circuito térmico do sistema, com os respectivos nós e resistências. 
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b) Para as condições descritas, qual é a perda de calor total do tubo? Quais são as temperaturas da 
superfície externa Ts,2(A) e Ts,2(B) ? Resp. Ts,2(A) = 407 K; Ts,2(B) = 325 K 
 
Considerações: Condução de calor unidimensional, regime permanente; desprezar transferência de 
calor por radiação. Dados: kA = 2 W/mK; kB = 0,25 W/mK. 
 
 
 
35. Um fino aquecedor elétrico está instalado ao redor da superfície externa de um longo tubo cilíndrico 
cuja superfície interna é mantida a uma temperatura de 5oC. A parede do tubo tem raios interno e externo 
de 25 e 75 mm, respectivamente, e a condutividade térmica de 10 W /mK. A resistência de contato entre o 
aquecedor e a superfície externa do tubo (por unidade de comprimento do tubo) é de 0,01 mK/W. A 
superfície externa do aquecedor é exposta a um fluido com T∞ = -10 oC e o coeficiente de convecção h = 100 
W/m2K. Determine a potência de aquecimento por unidade de comprimento do tubo requerida para 
manter o aquecedor a T0 = 25 oC. Resp.: 2377 W/m 
Considerações: Condução de calor unidimensional, regime permanente; desprezar transferência de calor 
por radiação 
 
 
36. Um aquecedor elétrico está instalado entre uma barra sólida circular longa (A) e um tubo concêntrico 
(B) com raios interno e externo de 20 e 40 mm respectivamente. O cilindro sólido interno (A) tem uma 
condutividade térmica kA= 0,15 W/mK. O cilindro externo (B) tem kB = 1,5 W/mK. e sua superfície está 
sujeita à convecção com um fluido à temperatura de T∞ = -15 oC e com h = 50 W/m2K. A resistência de 
contato entre as superfícies dos cilindros é considerada desprezível. 
a) Determine a potência elétrica por unidade de comprimento dos cilindros (W/m) necessária para 
manter a temperatura da superfície externa do cilindro B em 5 oC.. Resp. 251 W/m. 
b) Qual é a temperatura no centro do cilindro A? Resp. 23,5 oC 
 
Considerações: Condução de calor unidimensional, regime permanente; desprezar transferência de 
calor por radiação 
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37. Uma cobertura de baquelite deve ser usada em uma haste desencapada sólida de 10 mm de diâmetro 
cuja superfície é mantidaa 200 oC pela passagem de uma corrente elétrica. A haste está inserida em um 
meio fluido a 25 oC, e o coeficiente de convecção é de 140 W/m2K. Qual é o raio crítico associado com a 
cobertura? Qual é a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento da haste desencapada e 
para a haste com uma cobertura de baquelite correspondente ao raio crítico? Quanta baquelite deve ser 
adicionada para reduzir a transferência de calor da haste limpa em 25 %. Dados: k(baquelite)=1,4 W/mK. 
Considerações: Condução de calor unidimensional, regime permanente; desprezar transferência de calor 
por radiação. Resp.: a) 0,01 m b) 909 W/m; c) 55 mm. 
 
38. Uma seção de 50 m de uma tubulação de vapor, com 10 cm de diâmetro externo, passa através de um 
ambiente a 15°C. A temperatura média da superfície externa do tubo é de 150°C. Se o coeficiente de filme 
da superfície externa do tubo é de 20 W/m2°C, determine: 
(a) a taxa de perda de calor do vapor. Resp. 42,412W 
(b) a espessura de fibra de vidro (k=0.035 W/m°C) necessária para reduzir em 90% este custo. Assuma 
que a temperatura do tubo se mantém constante em 150°C. Resp. 1,92 cm. 
 
 
39. Um reator nuclear de alta temperatura, com resfriamento a gás, é formado por uma parede cilíndrica 
composta, na qual um elemento combustível tório (k = 57 W/m·K) encontra-se envolto em grafite (k = 3 
W/m·K) e hélio gasoso escoa através de um canal anular de resfriamento. Considere condições nas quais a 
temperatura do hélio é de Too = 600 K e o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície 
externa do grafite é de h = 2000 W/m2·K. 
a) Se energia térmica W/m3 é uniformemente gerada no elemento combustível a uma taxa ̇ݍ௚ =108 
W/m3,quais são as temperaturas T1 e T2 nas superfícies interna e externa, respectivamente,do 
elemento combustível? T2 = 931 K ; T1 = 938 K 
b) Calcule e represente graficamente a distribuição de temperatura na parede composta pêra valores 
selecionados de ̇ݍ௚. Qual o valor máximo permitido de ̇ݍ௚? 
 
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40. Uma barra longa cilíndrica de diâmetro 200 mm com condutividade térmica de 0,5 W/m·K está sujeita a 
um fluxo de geração de calor volumétrico uniforme de 24.000 W/m3.A barra é envolvida por uma camisa 
circular com diâmetro externo 400 mm e condutividade térmica de 4W/m·K.A superfície externa da camisa 
encontra-se exposta a um escoamento de ar cruzado a 27ºC com h= 25 W/m2·K. 
(a) Encontrar a temperatura na interface entre o bastão e a camisa e na superfície externa. Resp. 71.8 oC 
e 51.0oC 
(b) Qual a temperatura no centro da barra? Resp. 192ºC 
 
 
 
41. Vapor a uma temperatura de 250ºC escoa através de um tubo de aço (AISI 1010) de 60 mm de diâmetro 
interno e 75 mm de diâmetro externo. O coeficiente de convecção entre o vapor e a superfície interna do 
tubo é de 500 W/m2C, enquanto aquele entre a superfície externa e a vizinhança é de 25 W/m2C. A 
emissividade do tubo é de 0,8 e a temperatura do ar e da vizinhança é de 20C. Qual é a perda de calor por 
unidade de comprimento do tubo? Resp. 1830 W/m. 
 
 
 
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42. Vapor a 320oC escoa em um tubo de aço (k=15W/moC) cujos diâmetro interno e externo são 5 cm e 5,5 
cm, respectivamente. O tubo é coberto com 3 cm de isolamento (k=0,038 W/moC) . Calor é perdido para o 
meio ambiente a 5oC por convecção natural e radiação, com um coeficiente combinado de 15 W/m2oC. 
Assumindo um coeficiente de transferência de calor interno de 80 W/m2C, determine: 
a) a taxa de calor perdida pelo valor por unidade de comprimento do tubo. Sol. 93,9 W. 
b) a queda de temperatura através do tubo e do isolamento. Sol.: 0,095oC; 290 oC 
 
43. Uma tubulação (k = 0,52 W/mK) de 200 mm de diâmetro interno e 8mm de espessura transporta vapor 
na temperatura de 120 oC. As temperaturas superficiais interna e externa são Ts,i = 100 oC e Ts,e = 50 oC, 
respectivamente. Considerando transmissão de calor unidimensional em regime permanente, determine: 
a) a equação que representa o perfil de temperaturas da parede, sabendo-se que a solução geral é 
representada pela equação: 
 1 2
( ) lnT r C r C 
; 
Obs.: Aplique as condições de contorno para verificar se a equação final está correta. 
b) A taxa de transferência de calor nas superfícies interna e externa; 
c) O valor do coeficiente de filme interno; 
d) O valor da resistência térmica total em Km/W, sabendo-se que o coeficiente de filme externo he= 
100 W/m2K. 
 
 
44. Uma aleta plana fabricada de liga de alumínio (k=185W/m·K) possui uma espessura de base de t=3mm e 
comprimento L=15mm. A temperatura de sua base é Tb=100°C, e está exposta a um fluido a T00=20°C e 
h=50W/m2·K. Para as condições citadas e uma aleta de largura unitária, calcule a taxa de calor, eficiência. 
Sol.: 129,6 W/m; 0,982l.: 
 
45. Uma barra circular longa de alumínio é fixada em uma extremidade a uma parede aquecida e transfere 
calor por convecção para um fluido frio. Obs. Considere a barra infinitamente longa. 
(a) Se o diâmetro da barra for triplicado, para quanto irá mudar a taxa de calor removido? Sol.: 5.2 
(b) Se a barra de cobre de mesmo diâmetro for utilizada em lugar da de alumínio, para quanto irá 
mudar a taxa de calor removida? Sol.: 1.29 
 
46. Considere uma haste do aço inoxidável (k=15 W/mK) imersa parcialmente em água fervendo a 93°C em 
um ambiente a 24°C. A extremidade da haste tem uma seção transversal de 8x12 mm e 177 mm de 
comprimento a partir da superfície livre da água. Se o coeficiente de transferência de calor entre as 
superfícies expostas da extremidade da haste e o ar for de 17 W/m2.K, determine a temperatura a 50% do 
comprimento da haste e a taxa de transferência de calor transferida para o meio externo a partir da 
superfície livre. Sol.: 34,1°C; 6,83 W. 
Considerações:- coeficiente de transferência de calor h é constante ao longo da haste. 
 - regime permanente. 
 - assuma troca adiabática na ponta da haste. 
 
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47. Uma barra longa passa através da abertura de um forno, onde 
o ar concentra-se a uma temperatura de 400°C e é pressionado 
firmemente contra a superfície de um lingote. Termopares 
embutidos na barra, localizados a 25 e 120 mm a partir do lingote, 
registram temperaturas de 325 e 375°C, respectivamente. Qual a 
temperatura do lingote? 
Sol.: T = 300oC 
 
 
 
48. Uma barra de latão de 100mm de comprimento e 5mm de diâmetro se estende horizontalmente de um 
molde de fundição a 200°C. A barra está no ar ambiente com T00 = 20°C e h=30W/m2·K. Determine: a) A 
temperatura da barra a 25, 50 e 100 mm a partir do molde; b) a taxa de transferência de calor da aleta; c) a 
eficiência da aleta; d) a efetividade da aleta; (k=133 W/m·K a 110oC). Considere convecção na ponta da 
aleta. 
Sol.: 156.5 oC, 128.9 oC, 107.0oC ; b) 5,2 W; c) 61,3 %; d) 52. 
 
49. A extensão para a qual a condição da extremidade afeta o desempenho térmico de uma aleta depende 
da sua geometria e da sua condutividade térmica, bem como do coeficiente de convecção.Considere uma 
aleta retangular de uma liga de alumínio (k=180W/m·K), comprimento L=10 mm, espessura t=1mm e w>>t. 
A temperatura da base da aleta é Tb=100°C, e a aleta é exposta a um fluido à temperatura de T00 =25°C. 
(a) Assumindo um coeficiente de convecção uniforme h=100W/m2·K sobre toda superfície da aleta, 
determine a taxa de transferência de calor removida da aleta por unidade de largura Qf, eficiência 
ηf, efetividade εf e a temperatura da extremidade T(L) para os Casos A e B. Compare seus resultadoscom aqueles baseados em uma aproximação para aleta infinita. 
Sol.: .: Caso A : Q=151 W/m; η = 0,906; ɛ= 20,1; T(L) = 95,6°C; Caso B : 144 W/m; η = 0,92; ɛ= 19,2; T(L) = 96°C. 
 
50. Barras circulares de cobre (k=400 W/m.K) com diâmetro D=1mm e comprimento L=25 mm são 
utilizadas para aumentar o calor transferido de uma superfície mantida a TS,1=100°C.Uma extremidade da 
barra é fixada a essa superfície (em x=0), enquanto a outra extremidade (x=25 mm) é colocada em contato 
com a segunda superfície, a qual é mantida a Ts,2=0°C. Ar escoando entre as superfícies (e sobre as barras) 
encontra-se também a 0°C, e um coeficiente de convecção h=100W/m2·K é mantido. 
(a) Qual a taxa de calor transferido por convecção de uma única barra para o ar? Sol.: 0.374W 
(b) Qual a taxa de calor transferido de uma superfície de seção superficial de 1mX1m a 100°C, se um 
feixe de barras é instalado a 4mm do centro? Sol: 1.037 E5 W 
 
51. Determine a temperatura a 25% do comprimento a partir 
da base da superfície estendida de alumínio ilustrada ao lado. 
 
Dados: kAl=150 W/mK; D= 30 cm; L=1 m; temperatura da base 
= 80oC; h = 30 W/m2C; Too = 25oC. 
 
 
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52. Vapor em um sistema de aquecimento escoa através de 
um tubo de 5 cm de diâmetro e cuja parede é mantida a 
180oC. Aletas circulares de alumínio (2024–T6) (k= 186 
W/m0C) com 6 cm de diâmetro externo e espessura constante 
de 1 mm são fixas ao tubo. O espaço entre as aletas é de 3 
mm, e há 250 aletas por metro de tubo. Calor é transferido 
para o meio externo a 25oC, com um coeficiente de 
transferência de calor de 40 W/m2C. Determine o incremento 
na transferência de calor do tubo por metro de comprimento 
como resultado da adição das aletas. 
 
Sol.: 2639 W. 
 
 
53. Uma placa de dimensões 12 cm de altura, 18 cm de comprimento e 0.3 cm de espessura, armazena 80 
chips em um lado, cada um dissipando 0,04 W. A placa é impregnada com uma película de cobre e tem 
condutividade térmica de 20 W/m.K. Todo o calor gerado nos chips é conduzido através da placa de circuito 
e é dissipado do lado de trás para o meio a 40oC, com um coeficiente de transferência de calor de 50 
W/m2C. Determine: 
a) As temperaturas nos dois lados da placa de circuito. Sol.: 43°C ; 43°C. 
b) As novas temperaturas dos dois lados da placa para o seguinte caso: 
 Novas dimensões: 0.2 cm de espessura, 12 cm de altura e 18 cm de comprimento, material da placa o 
alumínio (k = 237 W/mK) com 864 pinos de alumínio de 2 cm de comprimento e 0,25 cm de diâmetro 
fixas no lado oposto da placa de circuito com 0,02 cm de espessura de adesivo epóxi (k= 1,8 W/mC). Sol.: 
40,5°C; 40,5°C. 
 
54. Uma superfície a 100°C deve ser resfriada por pinos de 
alumínio de 3 cm de comprimento e 0.25 cm de diâmetro 
(k=237 W/m.°C) , com distância entre centros de 0.6 cm. A 
temperatura do meio externo é de 30°C, e o coeficiente de 
transferência de calor é de 35 W/m2°C. 
Determine: 
a) A eficiência de cada aleta . Resp: 95% 
b) A efetividade da superfície aletada; Sol.: 7,10. 
c) a taxa de transferência de calor em uma seção da placa 
de 1 m x 1 m. Sol.: 2450 W. 
 
 
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55. Dois tubos de 10 cm de diâmetro externo são 
conectados através de dois flanges de 1 cm de espessura 
e 20 cm de diâmetro externo. Vapor escoa no interior do 
tubo com uma temperatura média de 200oC com um 
coeficiente de transferência de calor de 180 W/m2.K. A 
superfície externa do tubo é exposto à um meio a 12oC, 
com um coeficiente de transferência de calor de 25 
W/m2.K. 
a) Desconsiderando os flanges, determine a 
temperatura média da superfície externa do tubo; 
Sol.: 174,8 oC. 
b) Usando esta temperatura para a base do flange e 
considerando estes como aletas, determine a 
eficiência de aleta e a taxa de transferência de 
calor pelos flanges; Sol. Eficiênica = 0,88; Taxa = 214 W 
c) À qual comprimento de tubo o flange equivale no 
que diz respeito à taxa de transferência de calor 
envolvida? Sol.: 16,7 cm. 
 
 
 
56. Um painel elétrico de 500 mm de altura, 300 mm de largura e 100 mm de profundidade encontra-se 
fixado em uma parede suposta adiabática. Para aumentar a dissipação de calor produzida pelos 
componentes internos foram instaladas, em cada lado, três aletas dispostas verticalmente e feitas do 
mesmo material do painel (60 W/mK.). Estas aletas têm a mesma altura do painel, uma largura de 150 
milímetros e espessura de 2 milímetros. Em função disto, a temperatura média da superfície externa ficou 
em 40ºC em regime permanente, temperatura esta também igual à observada na base das aletas. Sabendo-
se que o coeficiente de transferência de calor por convecção externo é de 20 W/m2K em todas as faces e 
que o ar externo encontra-se na temperatura de 25oC, determine: 
a) a taxa de dissipação de calor do painel, levando-se em conta que a superfície do lado da parede é 
adiabática; 
b) a eficiência e efetividade de cada aleta. 
 
 
FORMULÁRIO: 
 
 
 
 
 
 
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FONTE: BERGMAN et al, 2011 
 
 
 
 
 
 
 
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FONTE: BERGMAN et al, 2011 
 
 
 
FONTE: BERGMAN et al, 2011 
 
 
 
Para aletas infinitas, 2,65mL  
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REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA: 
 
BERGMAN, T.L.; INCROPERA, F.P.; DEWITT, D.P.; LAVINE, A.S. Introduction to heat transfer. 
6th ed. Hoboken, NJ: ed. John Wiley, 2011. ISBN. 978-0470501962. 
 
ÇENGEL, Y.A.; GHAJAR, A.J. Transferência de calor e massa. 4ª ed. Rio de Janeiro, RJ: 
AMGH, 2012. ISBN. 978-8580551273.