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1 
 
FFI 112: Física Matemática I 
Material Didático # 9 .......... 27-06-14 
 
Funções de Bessel 
Gabriela Arthuzo 
 
1. Expressão geral 
A função: 
𝑔 𝑥, 𝑡 = 𝑒
𝑥
2
 𝑡−
1
𝑡 
é chamada função geratriz das funções de Bessel. 
Vamos expandi-la em uma série de Laurent para acharmos a expressão geral das 
funções de Bessel (𝐽𝑛 𝑥 ). 
 𝑔 𝑥, 𝑡 = 𝑒
𝑥
2
 𝑡−
1
𝑡 = 𝐽𝑛(𝑥)𝑡
𝑛
∞
𝑛=−∞
 (1) 
Sabemos que: 
𝑒𝑥 = 
𝑥𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
 
Aplicando esse resultado à função geratriz: 
𝑔 𝑥, 𝑡 = 𝑒
𝑥𝑡
2 𝑒−
𝑥
2𝑡 = 
𝑥
2
 
𝑟
∞
𝑟=0
𝑡𝑟
𝑟!
 
(−1)𝑠𝑥𝑠𝑡−𝑠
2𝑠𝑠!
∞
𝑠=0
= (−1)𝑠 
𝑥
2
 
𝑟+𝑠 𝑡𝑟−𝑠
𝑟! 𝑠!
∞
𝑠=0
∞
𝑟=0
 
Definimos: 
𝑛 = 𝑟 − 𝑠 ⇒ 𝑟 = 𝑛 + 𝑠 
Assim temos: 
𝑔 𝑥, 𝑡 = 
(−1)𝑠
 𝑛 + 𝑠 ! 𝑠!
∞
𝑠=0
∞
𝑛=−∞
 
𝑥
2
 
𝑛+2𝑠
𝑡𝑛 (2) 
Comparando (1) e (2): 
2 
 
 𝐽𝑛 𝑥 = 
(−1)𝑠
 𝑛 + 𝑠 ! 𝑠!
∞
𝑠=0
 
𝑥
2
 
𝑛+2𝑠
 (3) 
Essa é a expressão geral das funções de Bessel. 
A seguir temos um esboço das funções de Bessel para 𝑛 = 0 até 5. 
 
 
Figura 1: Funções de Bessel. 
 
2. Propriedade 
Trocando (𝑛) por (−𝑛) na equação (3): 
 𝐽−𝑛 𝑥 = 
(−1)𝑠
 𝑠 − 𝑛 ! 𝑠!
∞
𝑠=0
 
𝑥
2
 
2𝑠−𝑛
 (4) 
Definimos: 
𝑠 = 𝑠′ + 𝑛 (5) 
Substituímos (5) em (4): 
 𝐽−𝑛 𝑥 = 
(−1)𝑠
′ +𝑛
𝑠′ ! 𝑠′ + 𝑛 !
∞
𝑠′=0
 
𝑥
2
 
𝑛+2𝑠′
 (6) 
Comparando (3) e (6), vemos que: 
 𝐽−𝑛 𝑥 = −1 
𝑛𝐽𝑛(𝑥) 
 
3 
 
3. Representação integral 
Tomamos a função geratriz 𝑔 𝑥, 𝑡 , dividimos por 𝑡𝑛+1 e integramos: 
 
𝑔 𝑥, 𝑡 
𝑡𝑛+1
𝑑𝑡 = 
𝑒
𝑥
2
 𝑡−
1
𝑡 
𝑡𝑛+1
𝐶𝐶
𝑑𝑡 = 𝐽𝑚(𝑥)𝑡
𝑚−𝑛−1𝑑𝑡
∞
𝑚=−∞𝐶
 
 
𝑒
𝑥
2
 𝑡−
1
𝑡 
𝑡𝑛+1
𝐶
𝑑𝑡 = 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑖𝑅𝑒𝑠 𝑔 𝑡 , 𝑡 = 0 = 2𝜋𝑖𝐽𝑛(𝑥)
𝐶
 
⇒ 𝐽𝑛 𝑥 =
1
2𝜋𝑖
 
𝑒
𝑥
2
 𝑡−
1
𝑡 
𝑡𝑛+1
𝐶
𝑑𝑡 
Fazemos a substituição: 𝑡 = 𝑒𝑖𝜃 ⇒ 𝑑𝑡 = 𝑖𝑒𝑖𝜃𝑑𝜃 
𝐽𝑛 𝑥 =
1
2𝜋𝑖
 
𝑒
𝑥
2
(𝑒 𝑖𝜃 −𝑒−𝑖𝜃 )
𝑒𝑖𝜃 (𝑛+1)
2𝜋
0
𝑖𝑒𝑖𝜃𝑑𝜃 =
1
2𝜋
 𝑒𝑖(𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 −𝑛𝜃 )𝑑𝜃
2𝜋
0
 
Parte real: 
𝐽𝑛 𝑥 =
1
2𝜋
 cos 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑛𝜃 𝑑𝜃 =
2𝜋
0
1
𝜋
 cos 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑛𝜃 𝑑𝜃
𝜋
0
 
 
4. Relações de recorrência 
Para a primeira relação de recorrência, derivamos a função geratriz em relação a 𝑡. 
𝜕𝑔 𝑥, 𝑡 
𝜕𝑡
=
𝜕 𝑒
𝑥
2
 𝑡−
1
𝑡 
𝜕𝑡
= 𝑒
𝑥
2
 𝑡−
1
𝑡 
𝑥
2
 1 +
1
𝑡2
 = 𝑔 𝑥, 𝑡 
𝑥
2
 1 +
1
𝑡2
 =
𝑥
2
 1 +
1
𝑡2
 𝐽𝑛(𝑥)𝑡
𝑛
∞
𝑛=−∞
 
𝜕𝑔 𝑥, 𝑡 
𝜕𝑡
= 𝐽𝑛(𝑥)𝑛𝑡
𝑛−1
∞
𝑛=−∞
 
⇒ 
𝑥
2
 1 +
1
𝑡2
 𝐽𝑛(𝑥)𝑡
𝑛
∞
𝑛=−∞
= 𝐽𝑛(𝑥)𝑛𝑡
𝑛−1
∞
𝑛=−∞
 
 
𝑥
2
𝐽𝑛(𝑥)𝑡
𝑛
∞
𝑛=−∞
+ 
𝑥
2
𝐽𝑛(𝑥)𝑡
𝑛−2
∞
𝑛=−∞
= 𝐽𝑛(𝑥)𝑛𝑡
𝑛−1
∞
𝑛=−∞
 (7) 
Manipulando a equação (7), deixando todos os somatórios com 𝑡𝑛−1: 
4 
 
 
𝑥
2
𝐽𝑛−1(𝑥)𝑡
𝑛−1
∞
𝑛=−∞
+ 
𝑥
2
𝐽𝑛+1(𝑥)𝑡
𝑛−1
∞
𝑛=−∞
= 𝐽𝑛(𝑥)𝑛𝑡
𝑛−1
∞
𝑛=−∞
 
⇒
𝑥
2
𝐽𝑛−1 𝑥 +
𝑥
2
𝐽𝑛+1 𝑥 = 𝐽𝑛 𝑥 𝑛 (8) 
Multiplicamos a equação (8) por 
2
𝑥
 : 
𝐽𝑛−1 𝑥 + 𝐽𝑛+1 𝑥 =
2𝑛
𝑥
𝐽𝑛(𝑥) (primeira relação de recorrência) (9) 
Para a segunda relação de recorrência, derivamos a função geratriz em relação a 𝑥. 
𝜕𝑔 𝑥, 𝑡 
𝜕𝑥
=
𝜕 𝑒
𝑥
2
 𝑡−
1
𝑡 
𝜕𝑥
= 𝑒
𝑥
2
 𝑡−
1
𝑡 
1
2
 𝑡 −
1
𝑡
 = 𝑔 𝑥, 𝑡 
1
2
 𝑡 −
1
𝑡
 =
1
2
 𝑡 −
1
𝑡
 𝐽𝑛(𝑥)𝑡
𝑛
∞
𝑛=−∞
 
𝜕𝑔 𝑥, 𝑡 
𝜕𝑥
= 𝐽𝑛
′ (𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
 
⇒ 
1
2
 𝑡 −
1
𝑡
 𝐽𝑛(𝑥)𝑡
𝑛
∞
𝑛=−∞
= 𝐽𝑛
′ (𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
 
 
1
2
𝐽𝑛 𝑥 𝑡
𝑛+1
∞
𝑛=−∞
− 
1
2
𝐽𝑛(𝑥)𝑡
𝑛−1
∞
𝑛=−∞
= 𝐽𝑛
′ (𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
 (10) 
Manipulando a equação (10), deixando todos os somatórios com 𝑡𝑛 : 
 
1
2
𝐽𝑛−1 𝑥 𝑡
𝑛
∞
𝑛=−∞
− 
1
2
𝐽𝑛+1(𝑥)𝑡
𝑛
∞
𝑛=−∞
= 𝐽𝑛
′ (𝑥)𝑡𝑛
∞
𝑛=−∞
 
⇒ 𝐽𝑛−1 𝑥 − 𝐽𝑛+1 𝑥 = 2𝐽𝑛
′ (𝑥) (segunda relação de recorrência) (11) 
Podemos somar as relações de recorrência e obter uma nova relação: 
𝐽𝑛−1 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝐽𝑛 𝑥 + 𝐽𝑛
′ 𝑥 (12) 
Subtraindo as relações de recorrência obtemos: 
𝐽𝑛+1 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝐽𝑛 𝑥 − 𝐽𝑛
′ 𝑥 (13) 
 
5. Equação diferencial 
Fazemos a mudança 𝐽𝑛 𝑥 → 𝑍𝑣 𝑥 e 𝑛 → 𝑣 na equação (12): 
5 
 
𝑍𝑣−1 𝑥 =
𝑣
𝑥
𝑍𝑣 𝑥 + 𝑍𝑣
′ 𝑥 (14) 
Multiplicando a equação (14) por 𝑥: 
𝑥𝑍𝑣−1 𝑥 = 𝑣𝑍𝑣 𝑥 + 𝑥𝑍𝑣
′ 𝑥 (15) 
Derivamos a equação (15) em relação a 𝑥: 
𝑥𝑍𝑣−1
′ (𝑥) + 𝑍𝑣−1(𝑥) = 𝑣𝑍𝑣
′ (𝑥) + 𝑥𝑍𝑣
′′ (𝑥) + 𝑍𝑣
′ (𝑥) (16) 
Multiplicando a equação (16) por 𝑥: 
𝑥2𝑍𝑣−1
′ (𝑥) + 𝑥𝑍𝑣−1(𝑥) = 𝑣𝑥𝑍𝑣
′ (𝑥) + 𝑥2𝑍𝑣
′′ (𝑥) + 𝑥𝑍𝑣
′ (𝑥) (17) 
Multiplicando a equação 15 por 𝑣: 
𝑣𝑥𝑍𝑣−1 𝑥 = 𝑣
2𝑍𝑣 𝑥 + 𝑣𝑥𝑍𝑣
′ 𝑥 (18) 
Fazendo 17 − (18): 
𝑥2𝑍𝑣
′′ 𝑥 + 𝑥𝑍𝑣
′ 𝑥 − 𝑣2𝑍𝑣 𝑥 + 𝑥[ 𝑣 − 1 𝑍𝑣−1 𝑥 − 𝑥𝑍𝑣−1
′ 𝑥 ] = 0 (19) 
Fazemos a mudança 𝐽𝑛 𝑥 → 𝑍𝑣−1 𝑥 e 𝑛 → 𝑣 − 1 na equação (13): 
𝑍𝑣 𝑥 =
(𝑣 − 1)
𝑥
𝑍𝑣−1 𝑥 − 𝑍𝑣−1
′ 𝑥 (20) 
Multiplicando a equação (20) por 𝑥: 
𝑥𝑍𝑣 𝑥 = 𝑣 − 1 𝑍𝑣−1 𝑥 − 𝑥𝑍𝑣−1
′ 𝑥 (21) 
Substituindo a equação (21) na equação (19), temos: 
𝑥2𝑍𝑣
′′ 𝑥 + 𝑥𝑍𝑣
′ 𝑥 − 𝑣2𝑍𝑣 𝑥 + 𝑥
2𝑍𝑣 𝑥 = 0 
⇒ 𝑥2𝑍𝑣
′′ 𝑥 + 𝑥𝑍𝑣
′ 𝑥 + 𝑥2 − 𝑣2 𝑍𝑣 𝑥 = 0 (22) 
A equação (22) é a equação diferencial de Bessel. 
Podemos transformar a equação diferencial (22) em outra equação. 
Fazemos a mudança 𝑍𝑣 𝑥 → 𝑢(𝑥) na equação 22 . 
𝑥2
𝑑2𝑢(𝑥)
𝑑𝑥2
+ 𝑥
𝑑𝑢(𝑥)
𝑑𝑥
+ 𝑥2 − 𝑣2 𝑢 𝑥 = 0 (23) 
Primeira mudança: 
𝑥 = 𝑧𝛽 (24) 
6 
 
⇒ 
𝑑
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
1
𝛽
𝑑
𝑑𝑧
 (25) 
Substituímos as equações (24) e (25) na equação (23): 
𝑧2
𝑑2𝑢(𝑧)
𝑑𝑧2
+ 𝑧
𝑑𝑢(𝑧)
𝑑𝑧
+ 𝑧2𝛽2 − 𝑣2 𝑢 𝑧 = 0 
⇒ 𝑧
𝑑
𝑑𝑧
 𝑧
𝑑𝑢
𝑑𝑧
 + 𝑧2𝛽2 − 𝑣2 𝑢 𝑧 = 0 (26) 
Segunda mudança: 
𝑧 = 𝜉𝛾 (27) 
⇒ 𝑧
𝑑
𝑑𝑧
= 𝜉𝛾
𝑑
𝑑𝜉
𝑑𝜉
𝑑𝑧
=
𝜉
𝛾
𝑑
𝑑𝜉
 (28) 
Substituímos as equações (27) e (28) na equação (26): 
𝜉
𝛾
𝑑
𝑑𝜉
 
𝜉
𝛾
𝑑𝑢
𝑑𝜉
 + 𝜉2𝛾𝛽2 − 𝑣2 𝑢 𝜉 = 0 (29) 
Multiplicamos a equação (29) por 𝛾2: 
𝜉
𝑑
𝑑𝜉
 𝜉
𝑑𝑢
𝑑𝜉
 + (𝜉𝛾𝛽𝛾)2− (𝑣𝛾)2 𝑢 𝜉 = 0 (30) 
Terceira mudança: 
𝑢 = 𝑦𝜉−𝛼 
Calculamos a derivada: 
𝜉
𝑑𝑢
𝑑𝜉
= 𝜉
𝑑(𝑦𝜉−𝛼)
𝑑𝜉
= 𝑦′𝜉1−𝛼 − 𝛼𝑦𝜉−𝛼 
⇒ 𝜉
𝑑
𝑑𝜉
 𝜉
𝑑𝑢
𝑑𝜉
 = 𝜉
𝑑
𝑑𝜉
 𝑦′𝜉1−𝛼 − 𝛼𝑦𝜉−𝛼 = 𝑦 ′′ 𝜉2−𝛼 + 1 − 2𝛼 𝑦′𝜉1−𝛼 + 𝛼2𝑦𝜉−𝛼 (31) 
Substituímos a equação (31) na equação (30) e dividimos por 𝜉2−𝛼 : 
𝑦 ′′ +
 1 − 2𝛼 𝑦 ′
𝜉
+
𝛼2𝑦
𝜉2
+
 (𝜉𝛾𝛽𝛾)2 − (𝑣𝛾)2 𝑢 𝜉 
𝜉2𝜉−𝛼
= 0 (32) 
Sabemos que 
𝑢(𝜉)
𝜉−𝛼
= 𝑦(𝜉). Substituímos isso na equação (32): 
 (33) 𝑑2𝑦
𝑑𝜉2
+
 1 − 2𝛼 
𝜉
𝑑𝑦
𝑑𝜉
+ 
𝛼2 − 𝑣𝛾 2
𝜉2
+ (𝜉𝛾−1𝛽𝛾)2 𝑦 𝜉 = 0 
7 
 
 
A equação (33) é a equação de Bessel transformada, cuja solução é: 
𝑦 𝜉 = 𝜉𝛼𝑍𝑣(𝛽𝜉
𝛾) 
Este resultado é aplicado quando é dada uma EDO cuja solução queremos saber. Então 
comparamos a EDO dada com a EDO da equação (33) e identificamos 𝛼, 𝛽, 𝛾 e 𝑣. 
 
6. Ortogonalidade 
Vamos provar a ortogonalidade das funções de Bessel: 
 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑑𝑥 = 0 (𝜆 ≠ 𝜇)
1
0
 
𝜆 e 𝜇 são raízes; 𝐽𝑛 𝜆𝑥 e 𝐽𝑛 𝜇𝑥 são soluções da equação de Bessel. 
Através da EDO de Bessel, 
𝑥2𝐽𝑛
′′ 𝑥 + 𝑥𝐽𝑛
′ 𝑥 + 𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝑥 = 0 
podemos escrever: 
𝑥2𝐽𝑛
′′ 𝜆𝑥 + 𝑥𝐽𝑛
′ 𝜆𝑥 + 𝜆2𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0 (34) 
𝑥2𝐽𝑛
′′ 𝜇𝑥 + 𝑥𝐽𝑛
′ 𝜇𝑥 + 𝜇2𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 = 0 (35) 
Escrevemos as equações (34) e (35) na forma: 
 34 ⇒ 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥 
𝑑𝑥
 + 𝜆2𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0 (36) 
 35 ⇒ 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜇𝑥 
𝑑𝑥
 + 𝜇2𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 = 0 (37) 
Multiplicamos (36) por 𝐽𝑛 𝜇𝑥 , (37) por 𝐽𝑛 𝜆𝑥 e dividimos por 𝑥: 
𝐽𝑛 𝜇𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥 
𝑑𝑥
 +
1
𝑥
 𝜆2𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0 (38) 
𝐽𝑛 𝜆𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜇𝑥 
𝑑𝑥
 +
1
𝑥
 𝜇2𝑥2 − 𝑛2 𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥 = 0 (39) 
Fazemos 38 − (39): 
8 
 
𝐽𝑛 𝜇𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥 
𝑑𝑥
 − 𝐽𝑛 𝜆𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜇𝑥 
𝑑𝑥
 + 𝑥 𝜆2 − 𝜇2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0 
⇒
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥𝐽𝑛 𝜇𝑥 
𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥 
𝑑𝑥
 −
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 
𝑑𝐽𝑛 𝜇𝑥 
𝑑𝑥
 + 𝑥 𝜆2 − 𝜇2 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 𝐴 = 0 (40) 
Integramos a equação (40): 
 𝐴
1
0
𝑑𝑥 = 𝐽𝑛 𝜇 𝐽𝑛
′ 𝜆 − 𝐽𝑛
′ 𝜇 𝐽𝑛 𝜆 + 𝜆
2 − 𝜇2 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑑𝑥 = 0
1
0
 
Como 𝜆 e 𝜇 são raízes: 
𝐽𝑛 𝜇 𝐽𝑛
′ 𝜆 = 0 
e 
𝐽𝑛
′ 𝜇 𝐽𝑛 𝜆 = 0 
Assim para 𝜆 ≠ 𝜇: 
 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝜇𝑥 𝑑𝑥 = 0
1
0
 
 
7. Norma 
Dividimos a equação (36) por 𝑥: 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥 
𝑑𝑥
 + 𝜆2𝑥 −
𝑛2
𝑥
 𝐽𝑛 𝜆𝑥 = 0 (41) 
Sendo 𝜆 uma raiz. Com 𝑘 arbitrária temos: 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝑘𝑥 
𝑑𝑥
 + 𝑘2𝑥 −
𝑛2
𝑥
 𝐽𝑛 𝑘𝑥 = 0 (42) 
Multiplicamos a equação 41 por 𝐽𝑛 𝑘𝑥 e a equação (42) por 𝐽𝑛 𝜆𝑥 e fazemos 
 41 − (42): 
𝐵 = 𝐽𝑛 𝑘𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝜆𝑥 
𝑑𝑥
 − 𝐽𝑛 𝜆𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥
𝑑𝐽𝑛 𝑘𝑥 
𝑑𝑥
 = 𝑘2 − 𝜆2 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥 (43) 
Integramos a equação 43 : 
9 
 
 𝐵
𝑎
0
𝑑𝑥 = 𝐽𝑛 𝑘𝑎 𝑎𝜆𝐽𝑛
′ 𝜆𝑎 − 𝐽𝑛 𝜆𝑎 𝑎𝐽𝑛
′ 𝑘𝑎 = 𝑘2 − 𝜆2 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥 𝑑𝑥
𝑎
0
 
𝜆𝑎 é raiz ⇒ 𝐽𝑛 𝜆𝑎 = 0 
⇒ 𝐽𝑛 𝑘𝑎 𝑎𝜆𝐽𝑛
′ 𝜆𝑎 = 𝑘2 − 𝜆2 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥 𝑑𝑥
𝑎
0
 (44) 
Derivando a equação (44) em 𝑘: 
𝑎2
𝑑𝐽𝑛 𝑘𝑎 
𝑑𝑥
𝜆𝐽𝑛
′ 𝜆𝑎 = 2𝑘𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 𝐽𝑛 𝑘𝑥 + 𝑘
2 − 𝜆2 𝑥2
𝑑𝐽𝑛 𝑘𝑥 
𝑑𝑥
𝐽𝑛 𝜆𝑥 
𝑎
0
𝑑𝑥 
Fazemos 𝑘 = 𝜆: 
𝑎2𝜆𝐽𝑛
′ 𝜆𝑎 2 = 2𝜆 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 
2𝑑𝑥
𝑎
0
 
⇒ 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 
2𝑑𝑥
𝑎
0
=
𝑎2
2
𝐽𝑛
′ 𝜆𝑎 2 (45) 
Da equação (13), sabemos que: 
𝐽𝑛
′ 𝜆𝑎 = −𝐽𝑛+1 𝜆𝑎 (46) 
Substituindo a equação (46) na equação (45): 
 𝑥𝐽𝑛 𝜆𝑥 
2𝑑𝑥
𝑎
0
=
𝑎2
2
𝐽𝑛+1(𝜆𝑎)
2 
 
8. Membrana circular 
 
Figura 2: Membrana circular. 
10 
 
No problema da membrana circular, iremos determinar 𝑧, sendo 𝑧 = 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑡), com 
0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑎 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. 
Utilizaremos a equação de onda: 
1
𝑐2
𝜕2𝑧
𝜕𝑡2
= 𝛻2𝑧 
𝑐 = 
𝑇
𝜌
 
⇒ 𝜌
𝜕2𝑧
𝜕𝑡2
= 𝑇𝛻2𝑧 (47) 
As condições de contorno são: 
𝐶𝐶1: 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑡) é finito 
𝐶𝐶2: 𝑧 𝑎, 𝜃, 𝑡 = 0 
𝐶𝐶3: 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑡) é periódica em 𝜃, com período = 2𝜋 
As condições iniciais são: 
𝑧 𝑟, 𝜃, 0 = 𝑓(𝑟, 𝜃) 
𝑧 𝑟, 𝜃, 0 = 𝑣(𝑟, 𝜃) 
Vamos procurar vibrações harmônicas: 
𝑧 𝑟, 𝜃, 𝑡 = 𝐹 𝑟, 𝜃 cos 𝜔𝑡 (48) 
Laplaciano em coordenadas polares: 
𝛻2𝑢 𝑟, 𝜃 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
 𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
 +
1
𝑟2
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2
 
⇒ 𝛻2𝑢 𝑟, 𝜃 =
𝜕2𝑢
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2
 
Assim, substituindo a equação (48) na equação (47) temos: 
 
𝜕2
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2
𝜕𝜃2
 𝐹 𝑟, 𝜃 cos 𝜔𝑡 = −
𝜌
𝑇
𝜔2𝐹 𝑟, 𝜃 cos 𝜔𝑡 
⇒
𝜕2𝐹
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝐹
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝐹
𝜕𝜃2
= −
𝜌
𝑇
𝜔2𝐹 (49) 
Separação de variáveis: 
11 
 
𝐹 𝑟, 𝜃 = 𝑅 𝑟 Θ 𝜃 (50) 
Substituímos a equação (50) na equação (49): 
Θ 𝜃 
𝑑2𝑅(𝑟)
𝑑𝑟2
+
1
𝑟
Θ 𝜃 
𝑑𝑅(𝑟)
𝑑𝑟
+
1
𝑟2
𝑅 𝑟 
𝑑2Θ 𝜃 
𝑑𝜃2
= −
𝜌
𝑇
𝜔2𝑅 𝑟 Θ 𝜃 (51) 
Dividimos a equação (51) por 𝑅 𝑟 Θ 𝜃 e multiplicamos por 𝑟2: 
r2
R(r)
𝑑2𝑅(𝑟)
𝑑𝑟2
+
𝑟
𝑅(𝑟)
𝑑𝑅(𝑟)
𝑑𝑟
+
𝑟2𝜌𝜔2
𝑇
+
1
Θ 𝜃 
𝑑2Θ 𝜃 
𝑑𝜃2
= 0 
⇒ 
r2
R(r)
𝑑2𝑅(𝑟)
𝑑𝑟2
+
𝑟
𝑅(𝑟)
𝑑𝑅(𝑟)
𝑑𝑟
+
𝑟2𝜌𝜔2
𝑇
= 𝑚 
⇒ 
1
Θ 𝜃 
𝑑2Θ 𝜃 
𝑑𝜃2
= −𝑚 
Definimos: 
𝑘2 =
𝜌𝜔2
𝑇
 
EDO radial: 
𝑟2
𝑑2𝑅(𝑟)
𝑑𝑟2
+ 𝑟
𝑑𝑅(𝑟)
𝑑𝑟
+ 𝑘2𝑟2 − 𝑚 𝑅 𝑟 = 0 (52) 
Notamos a semelhança da equação (52) com a equação diferencial de Bessel, equação 
(22). 
EDO angular: 
𝑑2Θ 𝜃 
𝑑𝜃2
= −𝑚Θ 𝜃 
Solução da EDO radial: 
Definimos 𝑚 = 𝑛2 
⇒ 𝑟2
𝑑2𝑅(𝑟)
𝑑𝑟2
+ 𝑟
𝑑𝑅(𝑟)
𝑑𝑟
+ 𝑘2𝑟2 − 𝑛2 𝑅 𝑟 = 0 
A equação anterior é uma EDO de Bessel na variável 𝑘𝑟, cuja solução é: 
𝑅𝑛(𝑟) = 𝐴𝑛
′ 𝐽𝑛(𝑘𝑟) + 𝐵𝑛
′ 𝑌𝑛(𝑘𝑟) 
Como as funções 𝑌𝑛(𝑥) divergem para 𝑥 → 0, elas não são soluções para este 
problema (de acordo com a 𝐶𝐶1). 
12 
 
⇒ 𝑅𝑛 𝑟 = 𝐴𝑛
′ 𝐽𝑛 𝑘𝑟 (53) 
Solução da EDO angular: 
Θ 𝜃 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 (54) 
Com 𝑛 = 0,1,2, … e 𝑚 = 𝑛2. 
Substituímos as equações (53) e (54) na equação (50): 
𝐹 𝑟, 𝜃 = 𝐽𝑛(𝑘𝑟) 𝐶𝑛cos⁡(𝑛𝜃) + 𝐷𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃) 
Aplicamos a 𝐶𝐶2: 
𝑧 𝑎, 𝜃, 𝑡 = 0 ⇒ 𝐽𝑛 𝑘𝑎 = 0 
Assim 𝑘𝑎 é uma raiz de 𝐽𝑛 ⇒ 𝑘𝑎 = 𝜉𝑠
(𝑛)
 (s-ésima raiz de 𝐽𝑛 ) 
⇒ 𝑘𝑠
(𝑛)
=
1
𝑎
𝜉𝑠
(𝑛)
 
Lembrando que: 𝑘 = 𝜔 
𝜌
𝑇
=
𝜔
𝑐
 
⇒ 𝑘𝑠
(𝑛)
=
1
𝑎
𝜉𝑠
(𝑛)
=
𝜔𝑠
(𝑛)
𝑐
 
𝜔𝑠
(𝑛)
= 
𝑇
𝜌
1
𝑎
𝜉𝑠
(𝑛)Voltando a equação (48): 
𝑧𝑠
(𝑛) 𝑟, 𝜃, 𝑡 = 𝐽𝑛 𝜉𝑠
(𝑛) 𝑟
𝑎
 𝐶𝑛cos⁡(𝑛𝜃) + 𝐷𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑠
(𝑛)
𝑡 
Com 
 𝑛 = 0,1,2, … 
𝑠 = 1,2,3, … 
Caso especial: excitação simétrica, no centro da membrana. 
Os modos não dependem de 𝜃 ⇒ 𝑛 = 0 
𝑧𝑠
(0) 𝑟, 𝑡 = 𝐶0𝐽0 𝜉𝑠
(0) 𝑟
𝑎
 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑠
(0)
𝑡 + 𝜑 
Os modos têm a forma: 
13 
 
 
Figura 3: Forma dos modos para 𝝎𝟏
(𝟎)
, 𝝎𝟐
(𝟎)
 e 𝝎𝟑
(𝟎)
, respectivamente. 
 
Podemos escrever a solução como: 
𝑧𝑠
(0) 𝑟, 𝑡 = 𝐽0 𝜉𝑠
(0) 𝑟
𝑎
 𝐴𝑠𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑠
(0)
𝑡 + 𝐵𝑠𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑠
(0)
𝑡 
Determinamos 𝐴𝑠 e 𝐵𝑠 pelas condições iniciais. 
Exemplo: 
𝑧 𝑟, 0 = 0 
⇒ 𝐽0 𝜉𝑠
(0) 𝑟
𝑎
 𝐴𝑠 = 0 
⇒ 𝐴𝑠 = 0 
𝑧 𝑟, 0 = 𝑣(𝑟) 
⇒ 𝑧 𝑟, 0 = 𝜔𝑠
(0)
𝐽0 𝜉𝑠
(0) 𝑟
𝑎
 𝐵𝑠cos⁡(0) 
⇒ 𝑧 𝑟, 0 = 𝐵𝑠𝜔𝑠
(0)
𝐽0 𝜉𝑠
(0) 𝑟
𝑎
 = 𝑣(𝑟)
∞
𝑠=0
 
Multiplicamos a equação anterior por 𝐽0 𝜉𝑚
(0) 𝑟
𝑎
 𝑟 e integramos: 
 𝐵𝑠𝜔𝑠
(0)
𝐽0 𝜉𝑠
(0) 𝑟
𝑎
 𝐽0 𝜉𝑚
(0) 𝑟
𝑎
 𝑟 dr
∞
𝑠=0
𝑅
0
= 𝑣(𝑟)𝐽0 𝜉𝑚
(0) 𝑟
𝑎
 𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
 
⇒ 𝐵𝑚𝜔𝑚
(0) 𝑅
2
2
 𝐽1 𝜉𝑚
(0) 𝑟
𝑎
 
2
= 𝑣(𝑟)𝐽0 𝜉𝑚
(0) 𝑟
𝑎
 𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
 
14 
 
𝐵𝑚 =
2
𝜔𝑚
(0)
𝑅2 𝐽1 𝜉𝑚
(0) 𝑟
𝑎 
2 𝑣(𝑟)𝐽0 𝜉𝑚
(0) 𝑟
𝑎
 𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
 
 
Bibliografia 
 1 Butkov – “Mathematical Physics” 
(2) Rey Pastor – “Funciones de Bessel” 
(3) Morse – “Methods of Theoretical Physics” 
(4) Watson – “A Treatise on the Theory of Bessel Functions” 
(5) Rainville – “Special Functions” 
 6 Arfken – “Mathematical Methods for Physicists” 
 
Este texto é a redação do seminário sobre funções de Bessel feito pelo grupo 
composto pelos seguintes alunos: 
Gabriela Arthuzo (redação) 
Camila Cardoso (aula teórica) 
Lucas Francisco (aula teórica) 
Fernando Beserra (experimento) 
Vinicius Massami Mikuni (experimento)