MATF14-Lista de Exercicios-Unid II (1)

Prévia do material em texto

1 
 
Universidade Federal da Bahia 
Instituto de Matemática e Estatística 
Departamento de Estatística 
MATF14 - Estatística Econômica I Semestre: 2019.2 
 
2ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE 
 
1. Verifique se a tabela abaixo descreve uma distribuição de probabilidade. 
 
x P(x) 
0 0,2 
1 0,5 
2 0,4 
3 0,3 
 
2. Uma variável aleatória (v.a.) discreta tem a distribuição de probabilidade dada por: 
  ,
x
k
xXP 
 para x = 1, 3, 5 e 7. 
Calcule: 
a. o valor de k; 
b. a P(X = 5). 
 
3. Lançam-se 2 dados. Seja X a soma das faces, determinar a distribuição de probabilidades de X. 
 
4. Dada a tabela: 
x 0 1 2 3 4 5 
P (X = x) 0 p2 p2 p p p2 
a. ache p; 
b. calcule P(X ≥ 4) e P(X < 3); 
c. calcule P(|X - 3| < 2). 
 
5. P(x)= x/3 (onde x pode ser 0, 1 ou 2) determina uma função de distribuição de probabilidade? 
 
6. Seja X a variável aleatória discreta com F(x) dada pelo gráfico a seguir. 
 
 
a. Determine a função de probabilidade da variável aleatória X. 
b. Calcule a E(X) e a VAR(X). 
 
2 
 
7. Os valores abaixo representam a distribuição de probabilidade de Y, a procura diária de um certo produto. 
 
Y 1 2 3 4 5 
P (Y = y) 0,1 0,1 0,3 0,3 0,2 
 
a. Estabeleça a função de distribuição acumulada; 
b. Calcule E(Y) e V(Y). 
 
8. Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição: 
 














.25,1
;2513,9,0
;1312,5,0
;1210,2,0
;10,0
xse
xse
xse
xse
xse
xF 
Determine: 
a. A função de probabilidade de X. 
b. 
)12( XP
 
c. 
)12( XP
 
d. 
)2012(  XP
 
e. 
)18( XP
 
 
9. A probabilidade de uma pessoa ganhar um prêmio de $10 é de 1/5. Qual a esperança de ganho? 
 
10. Em certo empreendimento comercial, um empresário pode ter lucro de $300.000, com probabilidade de 0,6, ou 
pode ter um prejuízo de $100.000, com probabilidade de 0,4. Determine a esperança matemática do lucro do 
empreendimento. 
 
11. O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça, é uma v.a. com a seguinte 
distribuição de probabilidade: 
t 2 3 4 5 6 7 
P(t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 
 
a. Estabeleça a função de distribuição acumulada para a v.a. tempo; 
b. Calcule o tempo médio de processamento de uma peça. 
 
Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de 2,00 u.m. (unidade monetária), mas se ele processa a 
peça em menos de 6 minutos, ganha 0,50 u.m. por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça 
em 4 minutos, recebe a quantia adicional de 1,00 u.m. 
 
c. Encontre a função de distribuição acumulada da v.a. G: quantia em u.m. ganha por peça; 
d. Calcule a média e a variância da v.a. G. 
 
12. Com a distribuição de probabilidade do exercício n° 11, determine: 
a. E(T2); 
b. E[T - E(T)]2. 
 
3 
 
13. Um caça-níquel tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 
maçãs, 3 bananas, 2 peras e 1 laranja. Uma pessoa paga R$ 80,00 e aciona a máquina. Se aparecerem 2 maçãs, 
ganha R$ 40,00; se aparecerem 2 bananas, ganha R$ 80,00; R$ 140,00 se aparecerem 2 peras; ganha R$ 180,00 
se aparecerem 2 laranjas; e não ganha se aparecerem 2 frutas diferentes. Qual o ganho médio, ou seja, o lucro 
médio numa única jogada? 
 
14. Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade de 1/3 e 
2/3, respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por $50.000 (com 
probabilidade 1/10) ou nenhuma venda (com probabilidades 9/10). Indicando por Y o valor total de vendas 
diárias deste vendedor, escreva a função de probabilidade de Y e calcule a venda media diária. 
 
15. Que prêmio deveria um proprietário de carro pagar por um seguro anual contra acidentes, para um carro no 
valor de $4.000,00, se a experiência da companhia seguradora, para carros desse valor, é dada pela tabela que 
segue. Suponha que se ocorrer qualquer dano será exatamente um dos danos cujo valor está listado abaixo. Não 
se pode cobrar danos menores que $500,00. 
 
DANO 500 1.000 1.500 2.000 3.000 
PROBABILIDADE 0,10 0,04 0,03 0,02 0,01 
 
16. Você lança uma moeda três vezes. Se obtiver pelo menos duas caras poderá lançar um dado e receberá, em 
dólares, o número de pontos que aparecer em sua face. O que você poderá esperar ganhar neste jogo, se tiver 
promissão de jogá-lo uma vez? 
 
17. Um empresário pergunta se valerá a pena fazer um seguro contra chuva, por ocasião de determinado 
acontecimento esportivo que ele está empresariando. Se não chover, espera obter $10.000 de renda, por 
ocasião da festa, mas só $2.000 se chover. Uma apólice de seguro de $7.000 lhe custará $3.000. Determine a 
probabilidade p de chuva, de tal modo que sua expectativa seja a mesma, faça ele o seguro ou não. 
 
18. Um proprietário de carro deseja vender seu automóvel e está estudando a possibilidade de gastar $50 em 
propaganda. Se for de 0,5 a probabilidade de que ele o venda pelo preço estipulado de $750, sem propaganda, e 
de 0,9 a probabilidade de que ele o venda com propaganda, deve ou não deve fazer a propaganda? Suponha que 
se não o vender por $750, ele o venderá a um amigo por $650. 
 
19. O lucro mensal de uma empresa é definido pela seguinte função: L = 3C, onde C representa o custo de produção. 
Se C depende do número X de peças produzidas e C = 20 + 2,5X + 0,6X3 e sabendo que X é uma variável aleatória 
com a função de probabilidade a seguir, calcule o lucro médio da empresa. 
 
X 10 11 12 13 14 15 
P(X = x) 0,10 0,15 0,35 0,25 0,10 0,05 
 
20. Lançam-se quatro dados perfeitos ao acaso. Considerando como “sucesso” o aparecimento da face “6”, achar as 
seguintes probabilidades: 
a. Ocorrerem dois sucessos; 
b. Ocorrerem pelo menos dois sucessos; 
c. Ocorrerem no máximo dois sucessos. 
 
 
4 
 
21. Uma prova consta de dez questões de múltipla escolha, cada uma com quatro alternativas, sendo apenas uma 
correta. Se um aluno responde ao acaso, qual a probabilidade de acertar exatamente as dez questões? 
 
22. Dado que certa distribuição binomial tem media 12 e variância 8, determine n e p. 
 
23. Lançam-se duas moedas 72 vezes. Considerando como sucesso o aparecimento de duas faces iguais, achar o 
número médio de faces iguais, a variância e o desvio padrão. 
 
24. Sabe-se que a probabilidade de uma empresa sonegar impostos é 25%. Se forem inspecionadas 5 empresas, qual 
a probabilidade de exatamente uma ter sonegado os impostos? E de, no mínimo, duas o terem feito? 
 
25. Sabe-se que a probabilidade de ocorrer acidente de trabalho com um funcionário de uma empresa metalúrgica é 
10%. Qual a probabilidade de, no máximo, encontrarmos quatro que sofreram acidente de trabalho dentre seis 
funcionários selecionados? 
 
26. Numa empresa os funcionários com formação superior são classificados como “júnior” e “sênior”. Sabe-se que 
20% do total pertencem ao grupo “sênior”. Responda os quesitos a seguir: 
a. Se forem selecionados ao acaso quatro funcionários, qual a probabilidade de, no máximo, três pertencerem 
ao grupo “sênior”? 
b. Se forem selecionados ao acaso 500 funcionários, qual a número médio esperado na classificação “sênior”? 
 
27. Devido às altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de outras firmas comerciais 
se encontram vencidas. Se um contador escolhe aleatoriamente uma amostra de cinco contas, determinar a 
probabilidade de cada um dos seguintes eventos usando a fórmula de probabilidades binomiais: 
a. Nenhuma das contas está vencida; 
b. Exatamenteduas contas estão vencidas; 
c. A maioria das contas está vencida; 
d. Exatamente 20% das contas estão vencidas. 
 
28. Sendo 
)4,0(~ GeX
, calcule: 
a. 
).3( XP
 
b. 
).42(  XP
 
c. 
).2|1(  XXP
 
d. 
).1( XP
 
 
29. Um dado honesto é lançado sucessivas vezes até que apareça pela primeira vez a face 1. Seja X a variável 
aleatória que conta o número de ensaios até que corra o primeiro 1. Qual a probabilidade de obtermos 1 no 
terceiro lançamento. 
 
30. Uma moeda equilibrada é lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Seja 
X a v.a. que conta o número de lançamentos até a ocorrência de cara. Determine: 
a. 
).2( XP
 
b. 
).1( XP
 
c. 
).53(  XP
 
d. Quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 0,8 
de probabilidade. 
 
5 
 
31. A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é de 0,20. Qual a probabilidade de que 
seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? 
 
32. Em uma determinada localidade, a probabilidade da ocorrência de uma tormenta em algum dia durante o verão 
(nos meses de dezembro e janeiro) é igual a 0,1. Admitindo independência de um dia para o outro, qual é a 
probabilidade de ocorrência da primeira tormenta da estação de verão no dia 3 de janeiro? 
 
33. Para a distribuição de Poisson 
!
.
);(
x
e
xP
x 



, encontre: 
a. P(2; 1); 
b. P(3; 1/2); 
c. P(2; 0,7). 
 
34. Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de cinco chamadas por hora. Determine a 
probabilidade de que menos de três chamadas sejam recebidas durante uma hora aleatoriamente escolhida. 
 
35. Em média, 12 pessoas por hora consultam um especialista em decoração de uma fábrica. Qual a probabilidade 
de que três ou mais pessoas consultarem o especialista durante um período de dez minutos? 
 
36. Suponha que 300 erros de impressão sejam distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a 
probabilidade de cada página conter: 
a. Exatamente dois erros; 
b. Dois ou mais erros. 
 
37. Suponha que 2% dos itens produzidos por uma fábrica sejam defeituosos. Encontre a probabilidade de existirem 
três defeituosos em uma amostra de tamanho 100 (e-2 = 0,1353). 
 
38. O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson, 
com =2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem 
num dia, o excesso é enviado a outro porto. 
a. Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? 
b. De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem 
pelo menos em 95% dos dias? 
c. Qual o número médio de petroleiros que chegam por dia?