Concetuaçao+tipo protensão-Prof Roberto C Carvalho

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ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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CAPÍTULO 1- CONCEITUAÇÃO E TIPOS DE PROTENSÃO 
 
1.1-INTRODUÇÃO 
 
 As estruturas de concreto armado e de concreto protendido já são hoje consideradas do 
mesmo tipo, ou seja, são normalizadas por um mesmo documento (uma mesma norma) que usa 
especificações diferentes quando for o caso. Assim, a NBR 6118 homologada no final de 2001 já 
trata do “Projeto de estruturas de concreto” englobando o concreto simples (sem armadura), o 
armado (apenas com armadura passiva) e o protendido (em que pelo menos parte da armadura é 
ativa). Para se confeccionar uma peça tanto de um (concreto armado) quanto do outro (concreto 
protendido) os materiais utilizados são os mesmos: cimento, agregados graúdos e miúdos, água e 
aço conveniente disposto. A principal diferença entre ambos está no tipo de aço empregado assim 
como no procedimento construtivo. 
 Nos elementos fletidos de concreto armado a armadura longitudinal, composta geralmente 
de barras de aço, são simplesmente colocadas na estruturas e só passam a trabalhar quando o 
concreto começa a se deformar. Assim é preciso retirar o escoramento da estrutura de concreto 
armado para que, iniciada a deformação das fibras de concreto, a armadura, que tem aderência ao 
concreto, comece a se deformar e passe então a resistir aos esforços. Diz-se então que esta 
armadura é do tipo passiva, ou seja, só funciona após solicitada pela deformação advinda do 
concreto. Em elementos fletidos de concreto protendido, como será visto no próximo item, mesmo 
que não haja a retirada do escoramento, a armadura longitudinal principal, constituída por aço de 
protensão, é distendida por elementos (macacos de protensão) externos à estrutura entra em ação 
independente da movimentação do concreto. Assim a armadura de protensão é chamada de 
“ativa”. 
 Ainda que haja diferença no tipo de armadura empregada em um caso e outro as peças de 
concreto funcionam de mesma forma sendo, portanto errôneo imaginar que é necessário estabelecer 
regras de projeto e execução (Norma Técnicas) diferentes para os dois tipos de elementos. O 
protendido pode ser considerado como um “concreto armado” em que parte ou quase a totalidade 
de armadura é ativa. Esta posição já existe no CEB [ ] desde a década de 70 quando os dois tipos 
de estruturas já eram tratados por uma única Norma . Esta idéia foi defendida ROCHA [ ] já em 
1964 quando cita no prefácio de sua obra “ O fato de o concreto protendido ter sido introduzido 
no nosso curso de concreto armado é motivado pelo conceito atual que define o concreto 
protendido como um caso particular de um sistema construtivo mais geral denominado de 
concreto armado protendido”. Finalmente este conceito foi também aceito pelo meio técnico 
Brasileiro e como já foi escrito anteriormente na nova versão da norma de concreto (que substitui a 
NB1 de 1982) estão presentes o concreto armado e o protendido (além do concreto simples) 
Alguns autores vão além destas assertivas e consideram as estruturas de concreto protendido não 
apenas como um processo construtivo, mas sim um sistema estrutural, pois introduz ações na 
estrutura modificando-as no seu comportamento. De qualquer maneira consideramos as estruturas 
de concreto protendido como um avanço ou uma extensão do concreto armado pois podemos com 
elas usar tanto aços de maiores resistências assim como concreto de alto desempenho (CAD), e a 
nova Norma substitui as vigente ata o começo de 2002 (conjuntamente com a nova versão votada) 
NB1 [ ] (Projeto e execução de estruturas de concreto armado) e NBR 7197 [ ] (projeto e 
execução de estruturas de concreto protendido). 
 
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 De acordo com a NBR 7197 uma peça é de concreto protendido quando submetida a um 
sistema de forças especialmente e permanentemente aplicadas, chamadas de forças de protensão, e 
tais que, em condições de utilização quando agirem simultaneamente com as demais ações de 
utilização impeçam, ou limitem, a fissuração do concreto. Normalmente só se considera o caso em 
que as forças de protensão são produzidas por armadura. Na nova redação da norma NB1 em seu 
item 3.1.4 – Considera-se que os elementos de Concreto Protendido: “São aqueles nos quais 
parte das armaduras são previamente alongadas por equipamentos especiais de protensão 
com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os 
deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência 
no ELU (estado limite de último)”. Este é o princípio do concreto protendido: diminuir a 
fissuração do concreto através da introdução de tensões normais de compressão em regiões onde 
devido outras existiam tensões de tração. Como é sabido o concreto possui uma resistência à 
tração bem menor que à compressão (cerca de dez vezes menos), assim sua eficiência em peças de 
concreto armado é muito pequena, pois na região em que há tensão devido à flexão, normalmente, 
sua função é desprezada ou pouco significativa. Desta forma quando se projeta uma peça em 
concreto protendido procura-se faze-lo de maneira que em todas regiões e nas diversas 
combinações de ação as tensões sejam somente de compressão ou de pequenos valores de tração. 
Pode-se imaginar, de uma maneira simplista e plagiando a oração de São Francisco que o projetista 
quando detalhe estruturas submetidas à flexão deve levar em conta para o concreto armado: Onde 
houver tração que eu leve armadura; e no caso do protendido Onde houver tração que eu leve 
a compressão. 
. Historicamente a idéia de protensão surgiu praticamente simultaneamente a do concreto 
armado como pode ser visto em AGOSTINI [ ]. Existiram patentes de 1886 e 1888 requeridas 
por Jackson (Califórnia -USA) e Dohering (Alemanha) e cita-se ainda a experiência de Koenem 
(Berlim-Alemanha) que em 1906 aplicou a protensão para reduzir a fissuração de elementos de 
piso em argamassa. Porém as primeiras tentativas esbarraram sempre impossibilidade de se garantir 
tensões de compressão permanentes no concreto. Os efeitos da retração e da deformação lenta do 
concreto acabavam por anular o estiramento prévio da armadura. Somente após os estudos e 
ensaios feitos por Eugene Freyssinet, a partir de 1928, é que foi possível entender que seria 
necessário o uso de aços que permitiriam grandes deformações de estiramento, de sorte que 
mesmo que perdessem parte do estiramento, ao longo do tempo, ainda assim transfeririam esforços 
de compressão ao concreto. As grandes deformações do aço podem ser obtidas sem comprometer 
a aderência com concreto usando dispositivos (bainhas por exemplo) que evitem o contato entre 
ambos, aço de protensão e concreto, durante a distensão do primeiro e permitindo o limite de 0,1% 
após consolidada a aderência entre os mesmos. 
 
 
1.2 -TIPOS DE CONCRETO PROTENDIDO QUANTO À ADERENCIA E EXECUÇÃO 
 Uma primeira classificação de elementos protendidos pode ser obtida considerando o 
mecanismo de aderência entre a armadura de protensão (chamada de armadura ativa) e o concreto. 
Desta forma tem-se os seguintes tipo de concreto protendido: 
· Com aderência inicial - a aderência entre a armadura e o concreto é iniciada quando do 
lançamento do mesmo 
· Com aderência posterior - a aderência entre a armadura e o concreto é iniciada 
posteriormente a execução da protensão quando o concreto já está endurecido 
 
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· Sem aderência – neste caso a armadura só estará solidária ao concreto junto às 
armaduras 
Para que fique mais fácil o entendimento descreve-se o procedimento de execução de vigas com 
cada um dos sistemas. 
 
1.2.a- Viga executada com concreto protendido com aderência inicial 
 Este tipo de protensão é usado, normalmente, para peças pré-moldadas. Para fabricar a 
viga indicada na figura 1, usa-se uma pista de protensão com um berço (que nada mais é do que um 
forma de fundo de grande extensão) apoios rígidos e macaco de protensão. 
 
fig 1 – Perspectiva esquemática de viga calha fabricada com protensão com aderência 
inicial 
 
Na figura 2 estão mostrados os principais elementos de uma pista de protensão. 
A seqüência de operações neste caso é a seguinte: 
a)inicialmente posicionam-se os fios de protensão ancorados (extremidade afixada) em um 
dos apoios rígidos, por exemplo, o do lado esquerdo; 
b) através de um macaco que reage contra o apoio a direita estira-se a armadura de 
protensão que pode ser composta de fios ou cordoalhas. Após alcançar o estiramento necessário 
as extremidades são ancoradas no apoio da direita. 
 
Fg,2 Pista de protensão -Execução de viga calha protendida com aderência inicial 
 
 
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c) o carro indicado na figura lança o concreto, vibra-o e dá o acabamento da superfície 
superior. A partir deste instante o concreto entre em contato com a armadura iniciando o processo 
de aderência. Daí o nome de aderência inicial ou pré-tensão, pois a armadura já estava tensionada 
quando do lançamento do concreto. 
d) após transcorrido o tempo suficiente para que o concreto curado tenha resistência 
adequada promove-se a retirada da ancoragem de um dos apoios. A armadura tenta retornar ao 
comprimento que tinha antes da distensão provocando compressão no concreto em virtude de estar 
aderente ao mesmo. 
 
fig. 3 Etapas da execução da viga calha e detalhe da ancoragem da armadura 
 
Na figura 3 além das etapas pode ser visto também o detalhe da ancoragem da armadura 
que é feita com o auxilio, por exemplo, de um cone composto por três elementos (ver fig. 3-e) e 
que permite a passagem da armadura no centro do mesmo. O cone ao ser introduzido no orifício do 
apoio (também tronco cônico) vai se fechando em torno da armadura provocando a ancoragem da 
mesma no apoio. 
Percebe-se que a pista de protensão poderá ter a extensão que se desejar sendo possível 
até a execução de diversas peças do mesmo tipo simultaneamente, bastando para isso colocar 
forma intermediarias como é mostrado na figura 4. Desta maneira a o comprimento de armadura 
“perdido” é pequeno, pois para um grande comprimento de peça apenas o trecho (s) entre a seções 
extremas da primeira e última peça até os apoios indeslocaveis é que acabam sendo não 
aproveitados após a retirada da ancoragem. 
 
 
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fig. 4 – Execução simultânea de diversas peças no mesmo berço 
 
Na figura 5 mostra-se também como seria o esforço de protensão devido a duas 
armaduras situadas em um mesmo nível, distante “e” do centro de gravidade da seção transversal 
nas situações a1 e b1. Executando a protensão da maneira descrita anteriormente teria-se um 
momento de protensão uniforme igual a Mp=2.F.e ao longo do elemento (fig. 5 a2). Imaginando 
que o elemento irá trabalhar bi apoiado e submetido a uma ação uniforme o diagrama de momento 
fletor das ações atuantes nele varia com a equação de uma parábola do segundo grau indicado por 
M0 (fig. 5 a3). Assim o diagrama resultante de momento (Mp+o) estaria indicado em 5 a3, 
apresentando um momento grande próximo dos apoios (Mae) . Para evitar isto se pode prever a 
colocação de tubos de plásticas (fazendo o papel de bainhas) antes da concretagem em um 
pequeno trecho (no caso s) em umas armaduras, junto ao apoio, fazendo com que o momento de 
protensão ficaria com o aspecto apresentado em 5 b2, e o diagrama final apresente valores 
máximos de mesma ordem de grandeza tanto no meio do vão quanto no apoio (Mbe). De qualquer 
modo pode-se notar que neste tipo de protensão não é fácil obter um diagrama de momentos (de 
protensão) com a variação parabólica, pois, em princípio, o valor de “e” não pode variar. A 
consideração de trechos com armadura não aderente, mostrada no texto anterior, retira uma das 
principais vantagens do processo que é a pequena perda de comprimento de armadura a ser 
empregada. 
 
fig. 5 – Peças com aderência inicial com aderência em todo comprimento (peça 1) e com 
trechos (s para uma armadura) sem aderência (peça 2) 
 
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Este procedimento é mais usado em peças em que, em geral, o valor de momento fletor 
máximo não é muito maior que o mínimo, mas naquelas em que a protensão, através de tensão 
normal (devido o efeito centrado), permite um controle melhor das aberturas de fissuras. Este pode 
ser o caso de diversos tipos de peças pré-moldadas como vigas calhas (mostrada na figura 2), lajes 
alveolares, vigas pré-moldadas isostáticas para edificações etc 
 
1.2.b- Viga executada com concreto protendido com aderência posterior 
 
As vigas construídas com aderência posterior, seguem normalmente a seguinte ordem de 
execução mostrada na figura 6: 
· Etapa 1 - montagem do escoramento, formas e colocação das armaduras passsivas 
(armaduras normais feitas com barras de aço comum) e bainhas estanques (não 
permitem a penetração de concreto delas) com cabos em seu interior (no detalhe 
1podem ser vistos a bainha, o cabos que é composto, neste caso de cordoalhas de 7 
fios de aço de protensão). A bainhas tem seção circular e são corrugadas para prevenir 
seu amassamento nas fases de execução. Em alguns casos os cabos (conjunto de 
cordoalhas dentro de uma bainha) poderão ser enfiados posteriormente. 
· Etapa 2- O concreto é lançado, porém não estará em contato com a armadura de 
protensão pois a bainha o impede (não há aderência no momento do lançamento do 
concreto, daí o nome de aderência posterior ...à concretagem). 
· Etapa3- Após o endurecimento do concreto e alcançada resistência mínima, para 
tanto, é efetivada a protensão, normalmente através de macacos hidráulicos que se 
apoiarão nas faces da viga e distenderão a armadura de protensão. Assim, o concreto 
é comprimido pelo apoio dos macacos e simultaneamente o aço de protensão é 
distendido. Normalmente a (depende de como a peça foi projetada) após a protensão 
do último cabo a viga não estará mais em contato com o escoramento pois ela 
(protensão) cria um Após a protensão de um cabo ele pode ser ancorado, com 
procedimento similar ao discutido no caso anterior, considerando apenas um conjunto 
de peças, geralmente, de maiores dimensões como a mostrada no detalhe e explicadas 
na figura 7. efeito de flexão com curvatura contrária à que existiria devido à ação de 
peso próprio. Por este motivo é interessante, controlar no ponto que será de maior 
deformação da viga (neste caso no meio do vão) se há a separação da face inferior da 
viga da forma (retirando as formas laterais para verificar este fato). 
· Etapa 4 – Injeção de pasta de cimento nas bainhas. Como a bainha é projetada para 
alojar os cabos com uma certa folga de maneira que, durante a protensão, seja 
permitido seu deslocamento, após a protensãoe ancoragem dos cabos torna-se 
interessante para estabelecer a aderência entre armadura e concreto (no caso 
cordoalhas-bainha que por sua vez já estão aderentes ao concreto). Este operação 
melhora também a proteção da armadura quanto a corrosão. Se não se efetuar a 
injeção de nata de cimento tem-se uma viga de concreto protendido sem aderência. 
São deixados orifícios junto aos elementos que compoem a ancoragem nas 
extremidades dos cabos, de maneira que se pode injetar, sobre pressão a nata de 
cimento por uma extremidade e quando a mesma purgar pela outra extremidade se 
 
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assegurar que os espaços vazios entre cordoalhas e interior da bainha estão 
devidamente preenchidos. 
 
fig. 6- Etapas de protensão de uma viga executada com concreto protendido com aderência 
posterior 
 
· Etapa 5 – Corte das extremidades dos cabos e preenchimento dos nichos usados para 
a protensão. 
· Etapa 7 – Retirado do escoramento. 
 
1.2.c- Viga executada com concreto protendido sem aderência 
 
 As primeiras obras em concreto protendido no Brasil foram executadas com protensão não 
aderente. A ponte do Galeão – Rio de Janeiro, segundo CAUDURO [ ], maior obra em extensão 
na época em concreto protendido e a primeira aplicação do processo FREYSSINET, projetada 
pelo próprio em 1949, utiliza-se de cabos com 12 fios lisos de f= 5 mm, pintados com tinta 
betuminosa e envolvidos por duas ou três camadas de papel resistente (Kraft). A tinta betuminosa 
além de impedir o contato do concreto protegia a armadura de corrosão e permita que após o 
endurecimento do concreto o cabo pudesse ser tensionado. Após a ancoragem do cabo era feita 
uma injeção de calda de cimento que tinha apenas a finalidade de consolidar a proteção do aço 
contra a corrosão. Apenas em 1956 iniciou-se a enrolar os cabos com fitas plásticas usando ainda 
o betume para pintura dos cabos e, finalmente em 1958, começaram a ser fabricadas bainhas 
metálicas de chapa metálica de 0,3 mm, similares às usadas hoje em dia, costuradas em hélices. 
 Há também a possibilidade de se executar a protensão sem promover aderência entre a 
armadura usando bainhas convencionais. Bastaria neste caso não se fazer a injeção de nata de 
 
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cimento. Porém, esta maneira não se tem nenhuma vantagem a não ser evitar uma de etapa de 
execução e haveria uma grande possibilidade de corrosão da armadura ativa, pois o aço solicitado 
sob tensão de grande intensidade pode sofrer uma corrosão muito rápida. O mais comum é usar 
cabos, na verdade uma cordoalha envolta em graxa e encapada com capa plástica protetora como 
pode ser visto na figura 7. Desta forma a capa faz a função da bainha isolando o concreto do cabo 
e a graxa além de preencher os vazios entre cabo e capa plástica ajuda na fase de protensão 
permitindo o seu estiramento ao diminuir bastante o atrito na superfície do cabo. Segundo 
CAUDURO [ ] o coeficiente de atrito reduz-se de 0,24 para cordoalha-bainha metálica para 0,07 
para cordoalha engraxada. 
 
fig. 7 viga em concreto protendido com cabos com cordoalhas engraxadas 
 
 A viga feita com cordoalha engraxada, disponibilizada no mercado há pouco tempo pela 
mesma fabricante do aço de protensão permite simplificar a execução de peças protendidas, porém 
o funcionamento em serviço das peças com aderência é melhor e há um pequeno aumento de 
resistência, no estado limite último, quando se usa peças com aderência. 
 
 
1.2.d- Viga executada com protensão exterior e sem aderência 
 
Quando se executas pontes ou reforços de estruturas pode ser vantajoso usar a protensão a 
partir de cabos externos que não terão desta forma aderência perfeita com o concreto ao longo dos 
seus comprimentos como mostra a figura 8 
 
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fig. 8 viga em concreto protendido com cabos externos não aderentes 
 
 
1.2.d- Definições da Norna Brasileira para os diversos tipos de protensão 
 
 Os diversos tipos de protensão quanto a aderência são definido pela NBR 6118 nos itens 
3.1.7 a 3.1.9 da seguinte forma: 
· Concreto com armadura ativa pré-tracionada (protensão com aderência inicial): 
Concreto protendidole em que o pré-alongamento da armadura ativa é feito 
utilizando-se apoios independentes do elemento estrutural, antes do lançamento do 
concreto, sendo a ligação da armadura de protensão com os referidos apoios desfeita 
após o endurecimento do concreto; a ancoragem no concreto realiza-se só por 
aderência. 
 
· Concreto com armadura ativa pós-tracionada (protensão com aderência 
posterior):Concreto protendido em que o pré alongamento da armadura (ativa de 
protensão) é realizado após o endurecimento do concreto, utilizando-se, como apoios, 
partes do próprio elemento estrutural, criando-se posteriormente aderência com o 
concreto de modo permanente, através da injeção das bainhas. 
 
· Concreto com armadura ativa pós-tracionada sem aderência (protensão sem 
aderência) Concreto protendido oem que o pré alongamento da armadura ativa é 
realizado após o endurecimento do concreto, sendo utilizado como apoios, 
 
· partes do próprio elemento estrutural, mas não sendo criada aderência com o 
concreto, ficando a armadura ligada ao concreto apenas em pontos localizados. 
 
 
1.3 - TIPOS DE CONCRETO PROTENDIDO QUANTO A INTENSIDADE DE 
PROTENSÃO 
 
 Segundo a NBR 6118 os tipos de protensão quanto a sua intensidade relacionam-se com a 
durabilidade das peças e a maneira de se evitar a corrosão da armadura e portanto estão ligados os 
estados limites de serviço referentes à fissuração. No caso de armadura ativa o risco de corrosão é 
maior que as armaduras passivas devido a intensidade de tensão atuante na primeira, assim os 
 
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cuidados a serem tomados quanto a fissuração em peças de concreto protendido são maiores que 
em peças de concreto armado. 
 Os tipos de protensão definidos são: protensão completa, protensão limitada e protensão 
parcial. A escolha do tipo de protensão a ser empregada em um projeto é feita em função do tipo 
de construção ou da agressividade do meio ambiente, conforme pode ser visto no capítulo 5. De 
uma maneira geral para elementos com aderência posterior recomenda-se para ambientes com 
fraca e moderada agressividade o uso de protensão parcial e para ambientes com forte e muito 
forte agressividade recomenda-se a protensão limitada e a completa. 
 Definido o tipo de protensão a se empregar diversas condições, referentes a estados de 
serviço (chamados antigamente de estados de utilização) ligados à fissuração deverão ser 
verificados. Além da intensidade da protensão o uso de concreto com uma resistência à 
compressão mínima e cobrimentos devem ser atendidos (itens 7.4.2 e 7.4.6A da NBR 6118) 
comentados detalhadamente no capítulo 5. 
 Curiosamente pela NBR 7197 acrescentava-se às exigências anteriores que em estruturas 
de pontes ferroviárias ou vigas de ponte rolantes só seria admitida protensão com aderência que 
não é citada na nova norma. A protensão sem aderência, ainda segundo a NBR 6197 só poderia 
ser empregado em casos especiais e sempre com protensãocompleta. A nova norma é omissa a 
condições especiais para a protensão sem aderência. 
 
1.4 VANTAGENS E DESVANTAGENS DO CONCRETO PROTENDIDO 
 As estruturas de concreto protendido, em diversas situações são mais econômicas que as 
executadas com outros materiais. Em relação as estruturas de madeira e de aço apresentam sempre 
a vantagem de necessitarem, usualmente, manutenção mais simples e mais barata. Em relação às de 
concreto armado as peças protendidas tem a fissuração impedida ou mais controlada na região 
tracionada dos trechos fletidos. 
Para entender a economia das estruturas em concreto protendido pode-se usar um estudo 
do custo do aço estrutural. Neste estudo serão comparados os aços CA25,CA50, CA60, CP170 
e CP175 (os três primeiros usados em peças de concreto armado e os dois últimos em peças de 
concreto protendido). Imaginando apenas o custo do aço sendo dado por quilo de matéria prima 
chega-se ao gráfico apresentado na figura 9, que poderia levar à conclusão enganosa que o aço que 
tem preço menor por quilo é o mais barato. O melhor é analisar o custo da força desenvolvida por 
cada um. Assim, 1 kg de CA25 será capaz de desenvolver uma força proporcional a sua tensão de 
escoamento (no caso 1,25x25=31.25 kN). Ao dividir o custo do kN do aço pela tensão 
(proporcional à força) chega-se ao preço necessário para desenvolver a força em questão ou a 
tensão (são proporcionas). O gráfico da figura 10 apresenta esta situação mostrando que na 
verdade os aços de maiores tensões limites são os mais econômicos (os de menor custo por força 
desenvolvida). 
 
 
 
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Custo (em R$) do kgf do aço 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1Categoria dos aços
V
al
o
r 
d
o
 k
g
 e
m
 
R
$
CA25
CA50
CA60
CP175
CP190
 
fig.9 Gráfico com custos das diversas categorias do aço 
 
Um argumento que poderia ser usado estaria no fato que os aços de protensão nem sempre 
alcançarem a máxima tensão devido as perdas imediatas e ao longo do tempo sofridas nos sistemas 
protendidos. Porém há outras vantagens, advindas da protensão, como por exemplo, a diminuição 
da fissuração que compensarão estas perdas e que não encontradas nos sistemas de concreto 
armado. 
Custo em R$ por tensão (em tf/cm2) 
desenvolvida
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 50 100 150 200
Seqüência1
 
fig. 10 Custo da tensão desenvolvida pela armadura 
 
 Pode-se dizer que em diversas situações, principalmente em peças fletidas, o concreto 
protendido apresenta custo mais baixo que estruturas similares sendo que as principais vantagens 
que acabam contribuindo para isto são: 
 
· Estruturas mais leves que as similares em concreto armado (devido ao controle da 
fissuração) 
· Grande durabilidade com pequenos custos de manutenção (o controle da fissuração do 
concreto aumenta a resistência ao ataque de agentes agressivos na armadura) 
· Boa resistência ao fogo 
 
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· Adequadas ao uso de pré-moldagem (devidos as características de peso menor e 
controle de fissuração) 
· Menores deformações que as estruturas similares, fletidas, em concreto armado 
· Controle da propriedade dos materiais aço e concreto. Como o aço e o concreto são 
colocados sob carga durante a protensão (principalmente o aço que recebe tensões 
próximas ao seu escoamento) costuma-se afirmar que a estrutura se apresenta com a 
resistência de seus materiais testada. 
· Faz parte de uma tecnologia bastante conhecida nos grandes centros do país e basta se 
Ter uma equipe de montagem de cabos, unidades de protensão e execução de 
protensão para complementar os trabalhos das equipes que existem em todo país de 
confecção de estruturas de concreto. 
As desvantagens dos sistemas em protendido são aquelas mesma que existem (neste caso 
com menor intensidade) nas estruturas de concreto armado: 
· Peso final relativamente alto (comparado às estruturas metálicas e de madeira) 
· Necessidade de escoramento e tempo de cura para peças moldadas no local 
· Condutibilidade alta de calor e de som 
· Dificuldade, em algumas situações para execução de reformas 
· Necessidade de colocação de elementos específicos: bainhas, cabos etc 
 
1.5 AÇOS DE PROTENSÃO 
 
Quando se iniciou o uso do concreto protendido, no começo do século, constatou-se que 
depois de decorrido um certo tempo os esforços de compressão introduzidos pela protensão 
deixavam de existir, em grande parte ou totalmente devido às perdas que ocorriam, principalmente, 
ao longo do tempo. Ficou então claro, por volta dos anos 40 com FREYSSINET [ ] que para 
poder aplicar a protensão e ter efetivamente tensões de compressão no concreto mesmo decorrido 
um grande período de tempo, seria necessário usar-se aços de grande resistência, mesmo que para 
isso fosse preciso ultrapassar o valor do alongamento específico de 1%, limite para se manter a 
aderência entre o aço e o concreto no sistema de concreto armado. Assim, os aços de protensão 
têm valores de escoamento bem mais altos que os usados no concreto armado. 
 o aço de protensão, assim como os aços de concreto armado, pode ser identificado pela 
sigla CP (concreto protendido) seguida do valor, em kgf/mm2, da tensão aproximada de ruptura da 
cordoalha, cordões ou fio. Adiciona-se ainda na denominação as siglas RN ou RB indicando se o 
aço é de relaxação normal ou baixa. O fenômeno da relaxação será tratado no capítulo 3. Os aços 
de relaxação baixa são obtidos através de procedimento de fabricação em que recebem um 
alongamento com temperatura controlada permitindo uma menor perda devido à relaxação. 
 Assim, as categorias de aço produzidas no Brasil são: CP145RB, CP150RB, CP170RN, 
CP175RB, CP175RN e CP190RB. O diagrama tensão-deformação deve ser fornecido pelo 
fabricante ou obtido através de ensaios realizados segundo a NBR 6349. Os valores característicos 
da resistência de escoamento convencional fpyk, da resistência à tração fptk e o alongamento após 
ruptura Îuk das cordoalhas devem satisfazer os valores mínimos estabelecidos na NBR 7483. Os 
valores de fpyk, fptk e do alongamento após ruptura Îuk dos fios devem atender ao que é 
especificado na NBR 7482. 
 Para cálculo no estado-limite de serviço e último pode-se utilizar o diagrama de cálculo da 
tensão-deformação do aço é dado pelo gráfico esquemático da figura 9 (fig. 6 da NBR 6118:2001) 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
13 
ss
Ep
fpyk
fpyd
e p
e uk
fpk
fpd
 
Figura 11- Diagrama tensão-deformação de aços de protensão. 
 
 Sendo que os valores de resistência característica à tração, diâmetros e áreas das 
cordoalhas e dos fios, bem como a classificação quanto à relaxação, a serem adotados em projeto 
são os nominais indicados na NBR 7482 e na NBR 7483, respectivamente. A massa específica do 
aço de armadura ativa o valor de 7850 kg/m3 e o coeficiente de dilatação térmica será de 10-5/°C 
para temperaturas entre -20 e 100°C e o módulo de elasticidade que quando não for obtido de 
ensaios ou fornecido pelo fabricante, poderá ser considerado com o valor de 200 kN/mm2 para 
fios e cordoalhas. 
 
Os aços de protensão podem ser fornecidos em barras, fios, cordões e cordas 
(cordoalhas). 
A classificação de cada um pode ser dada por : 
· BARRAS: elementos fornecidos em segmentos retoscom comprimento 
normalmente compreendido entre 10 e 12 m. 
· FIOS: elementos de diâmetro nominal não maior que 12 mm cujo processo de 
fabricação permita o fornecimento em rolo, com grnde comprimento, devendo o 
diâmetro do rolo ser pelo menos igual a 250 vezes o diâmetro do fio. 
· CORDÕES: Os grupamentos de 2 ou 3 fios enrolados em hélice com eixo 
longitudinal comum. 
· CORDAS (CORDOALHAS): Grupamento de pelo menos 6 fios enrolados em 
uma ou mais camadas, em torno de um fio cujo eixo coincida com o eixo 
longitudinal do conjunto. Na prática costuma-se designar as cordas por cordoalhas. 
 
 
 
fig.12 – Tipos de armaduras com aço de protensão: Fio isolado, cordões 
de 2 e 3 fios e cordas (cordoalhas) de 7 fios. 
 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
14 
 Normalmente indica-se os fios de protensão apenas pelo seu diâmetro enquanto que os 
demais conjuntos são chamados genericamente de cordoalhas de dois e três fios pela designação, 
por exemplo, de 2x2,00 (cordoalhas de dois fios de diâmetro de 2mm) e 3x3,00 (cordoalha de 3 
fios de 3mm de diâmetro). As cordoalhas de sete fios (ver figura 10) possuem um fio central, 
normalmente, com diâmetro cerca de 2% maior que os demais, e mais seis outros enrolados em 
forma de hélice e são denominadas como cordoalhas de diâmetro igual ao diâmetro do círculo 
circunscrito a todos e, portanto não permite que se calcule a área da seção transversal de forma 
direta é preciso conhecer o diâmetro do fio central e dos fios periféricos da cordoalha. Desta 
maneira uma cordoalha de f de ½” (aproximadamente 12,7 mm) não tem a área de 1,25 cm2 e sim 
de 1,01 cm2. Atualmente, embora conste de catálogo da Cia Belgo-Mineira, que fabrica os aços de 
protensão, diversos tipos de cordoalhas as mais usadas são as de 12,7 mm. Diversa cordoalhas 
acondicionadas dentro de uma bainha formarão um cabo, por exemplo, uma bainha que abrigue 12 
cordoalhas de 12,7mm recebe a designação de cabo de 12f1/2”. Mais dados a respeito destes 
elementos são mostradas a seguir pelas tabelas 1, 2 e 3 obtidas na internet na página da Belgo 
Mineira [2000] com os produtos de fios, cordões e cordoalhas. 
 
 
TABELA 1 - Cordoalhas para Protensão especificação dos produtos 
 
PRODUTO 
DIÂM. 
NOM. 
ÁREA 
APROX
. 
ÁREA 
MÍNIM
A 
MASSA 
APROX
. 
CARGA 
MÍNIMA DE 
RUPTURA 
CARGA MÍNIMA A 1% 
DE ALONGAMENTO 
ALONG. 
APÓS 
RUPT. 
SérieDe (mm) (mm2) (mm2) (kg/km) (kN) (kgf) (kN) (kgf) (%) 
CORD CP 190 RB 
3x3,0 
CORD CP 190 RB 
3x3,5 
CORD CP 190 RB 
3x4,0 
CORD CP 190 RB 
3x4,5 
CORD CP 190 RB 
3x5,0 
6,5 
7,6 
8,8 
9,6 
11,1 
21,8 
30,3 
39,6 
46,5 
66,5 
21,5 
30,0 
39,4 
46,2 
65,7 
171 
238 
312 
366 
520 
40,8 
57,0 
74,8 
87,7 
124,8 
4.080 
5.700 
7.480 
8.770 
12.480 
36,7 
51,3 
67,3 
78,9 
112,3 
3.670 
5.130 
6.730 
7.890 
11.230 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
CORD CP 190 RB 7 
CORD CP 190 RB 7 
CORD CP 190 RB 7 
CORD CP 190 RB 7 
CORD CP 190 RB 7 
CORD CP 190 RB 7 
6,4* 
7,9* 
9,5 
11,0 
12,7 
15,2 
26,5 
39,6 
55,5 
75,5 
101,4 
143,5 
26,2 
39,3 
54,8 
74,2 
98,7 
140,0 
210 
313 
441 
590 
792 
 1.126 
49,7 
74,6 
104,3 
140,6 
187,3 
265,8 
4.970 
7.460 
10.430 
14.060 
18.730 
26.580 
44,7 
67,1 
93,9 
126,5 
168,6 
239,2 
4.470 6.710 
9.390 
12.650 
16.860 
23.920 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
· Fabricação sob consulta 
 
TABELA 2- Acondicionamento das cordoalhas As cordoalhas são fornecidas em 
rolos sem núcleo nas seguintes dimensões aproximadas: 
Composição da Cordoalha Peso Nominal (kg) 
Diâm. Int. 
(cm) 
Diâm. Ext. 
(cm) 
Altura do 
Rolo (cm) 
Cordoalha 3 Fios 2800 76,2 139 76,2 
Cordoalha 7 Fios 2800 76,2 127 76,2 
 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
15 
 
TABELAS 3 - Fios para Protensão 
TENSÃO MÍNIMA DE 
RUPTURA 
TENSÃO MÍNIMA A 1% DE 
ALONGAMENTO PRODUTO 
DIÂME
TRO 
NOMIN
AL (mm) 
ÁREA 
APROX. 
(mm2) 
ÁREA 
MÍNIM
A (mm2) 
MASSA 
APROX. 
(kg/km) (MP
a) (kgf/mm
2) (MPa) (kgf/mm2) 
ALONG. 
APÓS 
RUPTUR
A (%) 
CP 145RBL 9,0 63,6 62,9 500 1.450 145 1.310 131 6,0 
CP 150RBL 8,0 50,3 49,6 394 1.500 150 1.350 135 6,0 
CP 170RBE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0 
CP 170RBL 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0 
CP 170RNE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.450 145 5,0 
CP 175RBE 
CP 175RBE 
CP 175RBE 
4,0 
5,0 
6,0 
12,6 
19,6 
28,3 
12,3 
19,2 
27,8 
99 
154 
222 
1.750 
1.750 
1.750 
175 
175. 
175 
1.580 
1.580 
1.580 
158 
158 
158 
5,0 
5,0 
5,0 
CP 175RBL 
CP 175RBL 
5,0 
6,0 
19,6 
28,3 
19,2 
27,8 
154 
222 
1.750 
1.750 
175 
175 
1.580 
1.580 
158 
158 
5,0 
5,0 
CP 175RNE 
CP 175RNE 
CP 175RNE 
4,0 
5,0 
6,0 
12,6 
19,6 
28,3 
12,3 
19,2 
27,8 
99 
154 
222 
1.750 
1.750 
1.750 
175 
175 
175 
1.490 
1.490 
1.490 
149 
149 
149 
5,0 
5,0 
5,0 
TABELA 4- Acondicionamento de fios de protensão 
Os fios para concreto protendido são fornecidos em rolos de grande diâmetro, obedecendo 
às seguintes dimensões aproximadas: 
Diâmetro Nominal do Fio 
(mm) 
Peso 
Nominal (kg) 
Diâm. Int. 
(cm) 
Diâm. Ext. 
(cm) 
Altura do 
Rolo (cm) 
4 700 150 180 18 
5-6-7-8-9 700 180 210 18 
 
 
 
1.6 SISTEMAS DE PROTENSÃO 
 
 Os sistemas ou processos de protensão são patentes desenvolvidas ou de posse de 
empresas que fornecem peças básicas para a construção de elementos em concreto protendido e 
referem-se normalmente à protensão com aderência posterior. Entende-se por peças básicas os 
dispositivos de ancoragem da armadura ativa, bainhas (quando for o caso), macacos para a 
distensão da armadura e bombas para a injeção de calda de cimento. 
 As diferenças dos diversos sistemas existentes no país costumam não ser muito grande de 
modo que ao se projetar uma estrutura em concreto protendido em um determinado sistema e 
adapta-lo posteriormente para outro. 
 A escolha de um sistema na maioria das vezes é feita por questões comerciais ou de custo, 
ou seja, qual sistema oferece para uma obra em certa localidade o preço mais baixo. 
 A principal diferença entre um sistema de protensão e outro é o dispositivo de ancoragem 
dos cabos. Na é poça que estava sendo escrito este texto pudemos carrear informações dos 
sistemas STUP, RUDLOFF-VSL e MAC. Cada uma destas empresas fornecem catálogos e 
publicações que disponibilizam uma série de informações sobre os seus sistemas permitindo o 
detalhamento de projetos que serão comentadas no capítulo 7. 
 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
16 
 
a b c 
 
e 
Fig. 13- Componentes do sistema Rufloff- a) ancoragem ativa, b) ancoragem 
passiva em laço c)ancoragem ativa com placa de apoio em primeiro plano e) 
esquema de corte do macaco nas diversas etapas de distensão e ancoragem de 
cabo. 
 
 A título ilustrativo indica-se nas fig. 14 a 16 alguns detalhes, encontrados em domínios na 
Internet sobre dois destes sistemas. 
 
Fig. 14 Desenho esquemático de macaco de protensão do sistema MAC 
 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17 
 
Fig. 15- Detalhe da ancoragem no sistema MAC 
 
Fig. 16 Vista das diversas ancoragens ativas do sistema MAC 
 
1.7 PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO 
 
 Os procedimentos de cálculo empregados para a análise de peças em concreto protendido 
estão ligados a própria historia do mesmo. No início de suam aplicação quando se desejava evitar 
as tensões normais de tração na seção transversal, bastava o uso da teoria da resistência dos 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
18 
materiais para se conhecer esforços solicitantes e deslocamentos. Com a idéia que a protensão 
poderia ser usada apenas para controlar a abertura de fissuras e a consideração que a armadura 
poderia ser obtida no estado limite último passou-se a empregar a teoria técnica do concreto 
armado com as devidas adaptações (uso de aço de protensão, a existência da flexão composta 
etc). Finalmente lançando mão do processo construtivo de se efetuar a protensão através de cabos 
curvos pode-se considerar a introdução da protensão através de um carregamento equivalente que 
passa um procedimento de cálculo simples e eficaz para peças hiperestáticas. Neste item 
introduzem-se alguns conceitos usados para empregar a teoria da resistência dos materiais assim 
como a do cabo equivalente. A teoria técnica do concreto armado faz parte de outra obra do autor 
e será abordada resumidamente em outros capítulos com a adaptação necessária apara o emprego 
em peças de concreto protendido. Em todas as situações analisadas neste item a força de protensão 
ao longo cabo será considerada constante, ou seja, despreza-se as perdas ao longo do mesmo. 
 
1.7a Tensões na seção transversal usando a resistência dos materiais 
 
Para verificar as condições de serviço (fissuração, deformação excessiva) é preciso 
conhecer o que acontece na peça sob as condições em utilização, ou seja com as ações que 
realmente vão ocorrer com maior freqüência e não as esporádicas ou que levarão a estrutura ao 
colapso e que possivelmente nunca ocorrerão. Assim para verificar a fissuração de peças em 
concreto protendido em serviço costuma-se calcular as tensões normais máximas em cada seção 
transversal. As hipóteses empregadas para tanto são (lembrar que valem para ações em serviço): 
· Vale a lei de Hooke para os materiais aço e concreto 
· Vale a superposição de efeitos. Os deslocamentos são pequenos e não interferem nos 
esforços internos 
· A seção plana da seção transversal permanece plana após a deformação 
· O material da seção transversal é homogêneo. 
A última hipótese pode ser empregada, pois macroscopicamente falando o concreto pode ser 
considerado um material homogêneo e isótropo enquanto o aço de protensão poderá ser 
considerado como uma ação externa. Assim, com todas estas condições e considerando ainda que 
a intensidade da tensão de tração, quando houver, poderá ser resistida pelo concreto a teoria 
técnica da resistência dos materiais pode ser empregada. 
 
Fig. 17- Ações devido o efeito de protensão (isostáticas) em uma seção S 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
19 
 
Desta forma em uma seção transversal S, submetida a um momento fletor M as tensões 
máximas e mínimas devido o efeito da protensão de um cabo curvo com uma forca de protensão P 
(considerada constante ao longo do mesmo), cuja inclinação da tangente ao mesmo na seção é 
dado por a (fig.15) e os esforços externos ocorrerão junto aos pontos mais afastados do centro 
de massa (cg) situados junto a borda inferior e superior dados por: 
BORDA SUPERIOR 
ss
pp
s W
M
W
eN
A
N
±-=
.
s (1a) 
 
BORDA INFERIOR 
ii
pp
i W
M
W
eN
A
N
m
.
+=s (1b) 
 
Com os seguintes significados: 
 s i es s – tensões normais no concreto junto a borda inferior e superior respectivamente 
 Np – Esforço normal de protensão na seção dado por P.cosa. Como o valor de a é, em 
geral, pequeno costuma-se confundir Np com P (força de protensão). 
 e- Excentricidade do cabo na seção. Distância entre o centro de gravidade do cabo e o da 
seção transversal. 
 A- Área da seção transversal de concreto que pode ser, em geral, considerada igual a área 
da seção geométrica 
 Wi e Ws – módulo de resistência da seção em relação ao bordo inferior e superior. Dado 
pela razão entre a inércia (relativa ao eixo central) e a distância do cg ao bordo inferior (yi) e 
superior (ys) respectivamente. 
 M – soma dos momentos fletores na seção devido as ações atuantes para a verificação 
requerida. 
N p . e – Momento isostático de protensão, refere-se ao efeito da força de protensão estar 
excêntrica em relação ao cg da peça e assim para reduzi-la a este ponto (cg) é preciso considerar 
este momento. No capítulo 10 vê-se que no caso de peças hiperestáticas é preciso também 
considerar outro efeito que é o “momento hiperestático de protensão”. 
Para a utilização das fórmulas 1a e 1b introduz-se a convenção, usada internacionalmente 
para elementos de concreto na qual tensões de compressão terão o sinal positivo e, ao contrário, 
para as tensões de tração. Pode-se usar para tanto uma regra mnemônica dada a seguir: 
 
· TENSÃO DE COMPRESSÃO ® BOA PARA O CONCRETO ® SINAL 
POSITIVO 
 
· TENSÃO DE TRAÇÃO ® RUIM PARA O CONCRETO ® SINAL NEGATIVO 
 
A estas convenções somam-se as largamente empregadas no Brasil que o momento fletor de 
sinal positivo causa tração nas fibras abaixo do cg da viga e de compressão nas fibras acima do cg 
e ao contrário para o momento negativo. Nas fórmulas 1 os sinais das tensões normais devido ao 
momento isostático de protensão já estão de acordo com as regras descritas. Os sinais das tensões 
devido o momento M dependerão de seu sinal por isso o símbolo ± e m em cada das expressões 
indicando a possibilidade do sinal a se empregar puder ser negativo ou positivo. 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
20 
 
1.7b Ação da protensão através de um carregamento equivalente 
 
 Uma outra forma de considerar o efeito da protensão estaria em considerar o diagrama de 
corpo livre da viga de concreto separando-o do cabo de protensão (neste caso curvo) e verificando 
o efeito que nela ocorre. 
Considerando a ação de um cabo curvo com uma força de protensão P aplicada nas 
extremidades (neste caso no cg da peça) da viga e que provocará quando for estirado uma ação u 
(contato cabo-concreto) que pode ser substituída por uma ação atuando ao longo de l, ou seja, 
up. 
 Fazendo o equilíbrio na vertical obtem-se: 
 
 2P sena = up . l (2) 
Considerando que a curva do cabo em questão seja uma parábola do segundo grau o valor de sen 
a é dado por 
Sen a = ( ) ( )22 2/2
.2
le
e
+
 (3) 
Considerando que o valor de e na presença de l seja pequeno a expressão (3) fica 
 
 Sen a = 
2/
.2
l
e
 (4) 
 
Fig. 18 – Consideração do carregamento equivalente up que traduz o efeito da flexão da 
protensão. 
 
 
Substituindo em 2 tem-se: 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
21 
 
 up = 2
..8
l
eP
 (5) 
 
 
O fato de se considerar o cabo parabólico não invalida os resultados, que seriam praticamente 
os mesmos para um cabo com a trajetória, por exemplo, circulardesde que os valores do ângulo a 
sejam pequenos. O resultado obtido é aproximado e não considera o efeito horizontal das ações 
que é preferível ser analisada com os conceitos usados no item anterior. Chama-se a atenção que o 
uso deste procedimento, se considerado a força d protensão constante ao longo do cabo, permite 
diversas simplificações nos cálculos principalmente de peças hiperestáticas. 
 
1.8 EXEMPLO NUMÉRICO 
 
Calcular a força de protensão na seção do meio vão, para a viga dada na figura 17 para que a 
tensão normal na mesma fique entre o intervalo de 0 a 13 MPa . Considerar que além do peso 
próprio poderá atuar na viga uma carga acidental de 17 kN/m. Considerar três situações a) 
excentricidade do cabo nula, cabo passando pelo cg e a análise com a força de protensão na seção; 
b) excentricidade do cabo igual a 70 cm, cabo passando abaixo do cg na seção e a análise com a 
força de protensão na seção; c) excentricidade do cabo igual a 70 cm, cabo passando abaixo do cg 
na seção e a análise com a carga equivalente de protensão 
3000 cm 70
180
 
Fig. 19- Viga e seção transversal para o exemplo numérico 
Resolução 
 Caso a 
· Cálculo das características geométricas: 
A= 0,7 x l,80 = 1,26 m2 
 W i= Ws = 6
80,17,0 2x
= 0,378 m3 
· Cálculo dos momentos atuantes 
O concreto protendido quando se verifica a fissuração (este é o caso) é comum 
considerar as situações de momento máximo e mínimo pois, há sempre o perigo, no 
caso de se considerar apenas o valor máximo do momento, de se introduzir protensão 
que poderia provocar, quando da atuação do momento mínimo, exceso de compressão 
ou mesmo tração excessiva na borda oposta a posição do cabo. Costuma-se dizer que 
a solução em protendido, quando existe, está sempre entre dois valores não pode ser 
nem de menos nem de mais. 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
22 
 
 Mmáx = Mg + Mq 
 Mmin = Mg 
 
Onde Mmáx , Mmin , Mg , Mq são momento máximo, mínimo, devido a carga 
permanente e devido a carga acidental respectivamente. O s valores dos momentos 
máximos e mínimos são dados por: 
 Mmáx = 8
3014
8
302580,17,0 22 xxxx + =5062 kN.m 
 Mmin = 8
302580,17,0 2xxx
= 3150 kN.m 
 
Análise de tensões (usando as expressões 1a e 1b e lembrando que neste caso e=0. 
 
BORDA SUPERIOR 
 
Momento máximo ® 13000
378,0
5062
378,0
0.
26,1
£+-= pps
NN
s Np £ -493 kN (A) 
Momento mínimo ® 0
378,0
3150
378,0
0.
26,1
³+-= pps
NN
s Np ³ -10 500 kN (B) 
 
BORDA INFERIOR 
Momento máximo ® 0
378,0
5062
378,0
0.
26,1
³-+= ppi
NN
s Np ³16 873 kN (C) 
Momento míximo ® 13000
378,0
3150
378,0
0.
26,1
£-+= ppi
NN
is Np £ 26 880 kN (D) 
Os sinais das tensões foram considerados com as regras descritas nos itens anteriores. 
A análise do problema deve ser feita através do eixo orientado representado na figura 
18. 
 
Fig. 20- Eixo orientado com as condições que atendem as inequações de tensão 
 
Pela observação do eixo orientado apresentado na fig. 18 que mostra as diversas 
condições (A, B, C e D) que devem ser atendidas simultaneamente conclui-se que o 
problema em questão não tem solução, ou seja, não é possível aplicar uma protensão 
centrada que faça com que as tensões normais na seção do meio fiquem entre o e 13o 
Mpa. 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
23 
 
Caso b 
 
Neste caso deve ser considerada e excentricidade da protensão (e=0,70 m) cujo efeito 
pode ser visto na fig. 19. A força de protensão colocada abaixo cg provoca 
encurtamento nas fibras inferiores e tração nas superiores. 
 
 
Fig. 21 – Efeito da protensão excêntrica. 
 
BORDA SUPERIOR 
Momento máximo ® 13000
378,0
5062
378,0
70,0.
26,1
£+-= pps
NN
s Np ³370 kN (A) 
Momento míximo ® 0
378,0
3150
378,0
70,0.
26,1
³+-= pps
NN
s Np £ 7076 kN (B) 
 
BORDA INFERIOR 
Momento máximo ® 0
378,0
5062
378,0
70,0.
26,1
³-+= ppi
NN
s Np ³5062 kN (C) 
Momento míximo ® 13000
378,0
3150
378,0
070.
26,1
£-+= ppi
NN
is Np £ 8062 kN (D) 
A análise do problema deve ser feito através do eixo orientado representado na figura 
20.. 
 
Fig. 22- Eixo orientado com as condições que atendem as inequações de tensão 
 
Pela observação do eixo orientado apresentado na fig. 20 chega-se a solução de N=5062 kN o 
menor valor que atende todas as diversas condições (A, B, C e D). 
 
 
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 Caso c 
 
Neste caso deve a excentricidade da protensão (e=0,70 m) será considerada como 
uma carga equivalente de intensidade ul como pode ser visto na fig. 21.. A força de 
protensão colocada abaixo cg provoca encurtamento nas fibras inferiores e tração nas 
superiores. 
 
 
Fig. 23 – Efeito da protensão excêntrica. 
 
Momento de protensão 
 
 up = 230
70,0..8 pN
 
 
 Mp = 70,0.
308
3070,08
8
30
2
22
p
pp N
x
xxxNxu
=+= 
 Assim, a análise a ser feita a partir deste ponto é a mesma que foi feita no item 
anterior e com mesmos valores chegando-se na mesma resposta que o item B. Mostra-
se desta forma que o procedimento docarregamento eauivalente é o mesmo que o da 
resistência dos materiais. 
 
 
1.9 CÁCULO DAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS 
 
O cálculo das características geométricas de uma seção transversal típica como a dada na 
figura 24 pode ser feito considerando-a compostas pelos retângulos e triângulos numerados na 
figura. Assim, a seção passa a ser composta de diversos elementos cujos valores das áreas, 
posições dos centros de gravidades e inércias são conhecidos. Basta aplicar os conhecimentos de 
mecânica e resolver o problema, usando a tabela 5 apresentada a seguir cujas operações são 
listadas: 
1) Separar a seção em diversos elementos numerando-as; 
2) Calcular a área de cada elemento fazendo a somatória que representa a área da 
seção toda; 
 
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3) Indicar a coordenada (y) do cg de cada elemento referendada a um eixo horizontal 
(x). No caso o eixo que passa pela borda superior; 
4) Efetura o produto Ay que corresponde ao momento estático em relação ao eixo x e 
somando as parcelas do mesmo; 
 
 
fig. 24.- Seção Transversal para o exemplo de cálculo de características geométtricas com 
cotas dadas em cm. 
 
 
5) Determinar a coordenada ys do cg fazendo ys= =
0 3703
0 5099
0 726
,
,
, m e assim yi=1,90-
0,726=1,074 m. 
 6) Cálculo da distância entre o cg de cada elemento ao cg da peça efetuando a 
operação y’=y-ys; 
7) Efetuar o produto Ay’ que corresponde ao momento estático em relação ao eixo 
central x’ (que passa pelo cg) e somando as parcelas do mesmo que deverá ser 
aproximadamente igual a zero; 
8) Nesta etapa calcula-se a parcela do “transporte”do teorema dos eixos paralelos 
para o momento de inércia em que Ix=Ix0+ A.(y’)2 fazendo-se o produto da coluna 
7 pela 3 e promovendo a somatória das diversas parcelas. 
 
TABELA 5 - CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS 
1 2 3 4 6 7 8 9 
P A 
(m2)y 
(m) 
Ay 
(m3) 
y`=y-ys 
(m) 
Ay` 
(m3) 
Ay`2 
(m4) 
Ix0 
(m4) 
1 1x0,16=0,16 0,08 0,0128 -0,646 -0,1034 0,0668 (1x0,163)/12=3,41x10-4 
2 0,425x0,09=0,038 0,19 0,0072 -0,536 -0,0205 0,0110 (0,425x0,093)/18=1x10-5 
3 0,15x1,44=0,216 0,88 0,1900 0,154 0,0333 0,0051 (0,15x1,443)/12=3,7310-2 
4 2x0,1252/2=0,015 1,55 0,0243 0,824 0,0129 0,0106 (2x0,1254/36=1,35x10-5 
5 0,4x0,2=0,08 1,70 0,1360 0,974 0,0779 0,0759 (0,2x0,203)/12=2,66x10-4 
S 0,5099 - 0,3703 - 0,0002 0,1694 0,03796 
 
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9) Cálculo do momento de inércia de cada elemento em relação ao eixo x que passa 
pelo próprio cg (do elemento) Como a seção foi dividida em retângulos e triângulos 
as fórmulas a se empregar são I = 
12
. 3hb
 e I =
36
. 3hb
 respectivamente.em que b é a 
base e h a altura do elemento. 
10) Finalmente na etapa pode-se efetuar o cálculo da inércia total da seção em relação 
ao eixo central x usando o teorema dos eixos paralelos chegando-se a 
Ix=0,1694+0,03796=0,2074 m4, calculando em seguida os valores dos módulos de 
inércia W ms = =
02074
0726
02875 3,
,
, . e W mi = =
02074
1074
01931 3,
,
, . . 
 
Uma outra maneira de se determinar as características da seção é usar o programa CAD da 
Autocad na versão 14 ou superior. Após desenhar a seção, usando o comando polyline (conjunto 
de segmentos de retas que formam um polígono) deve-se selecioná-la como região e finalmente 
entrar no comando de propriedade de massas. Os valores de Wi e Ws deverão ser calculados pelo 
usuário. Deve ser tomado o cuidado de colocar a origem das coordenadas em um ponto 
conhecido, por exemplo, no meio da seção, e considerar um pequeno “rasgo” na mesma (vértices 
6,7,16 e 17 fig. 25) pois se trata de uma seção vazada e o programa não terá como considerar a 
região interna como tal (vazada). O que o programa consegue fazer é considerar uma região 
formada pelo contorno externo e outra pelo contorno interno, a única maneira de considerar os dois 
contornos simultaneamente é fazendo o “rasgo” citado. 
 
 
fig 25- Consideração dos vértices para usar o programa AUTOCAD e MAXCON 
A terceira maneira de proceder tal cálculo é usar o programa MAXCON que calcula as 
características geométricas de seções com forma poligonal a partir das ordenadas dos vértices do 
polígono. Lembrar de considerar os vértices 6,7,16 e 17 no centro da seção para que o polígono 
possa ser considerado “fechado”. 
O uso do programa MAXCON pode ser feito lendo-se atentamente a primeira página do 
mesmo. Valem as mesmas observações que no caso anterior em relação ao rasgo a ser 
considerado e o cuidado de se considerar a origem passando por um eixo horizontal que contem a 
borda inferior da peça. Neste caso todas as características, inclusive Wi e Ws são calculadas. 
Bibliografia provisória 
[ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento – agosto de 2001 – São Paulo. 
 
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27 
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protensão-ensaio de tração-Método de ensaio - NBR 6349. 
[ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Fios de aço para concreto protendido-Especificação - 
NBR 7482. 
[ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Cordoalhas de aço para concreto protendido-
Especificação - NBR 7483. 
[ ] Associação Brasileira de Normas Técnicas Fios, barras e cordoalhas destinados a armadura de 
protensão-Ensaio de relaxação isotérmica- Método de ensaio - NBR 7484. 
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Editora Ltda - São Paulo 1983 
ROCHA, ADERSON MOREIRA - “Novo Curso Prático de Concreto Armado - Concreto 
Protendido” - Volume V - Editora Científica - 2a Edição- Rio de Janeiro-Junho de 1972 - 
CAUDURO, EUGENIO LUIZ – “Protensão com cordoalhas engraxadas e plastificadas – Pós-
tensão com sistema não aderente”- 38o REIBRAC –1996 
LEONHARDT FRITZ – Prestrssed Concrete 
LYN, T. Y. Prestressed Concrete 
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PFEIL, WALTER- Concreto Protendido, Livros Técnicos e Científicos Editora S. A.- Rio de 
Janeiro 1980 
VASCONCELEOS, AUGUSTO CARLOS, Manual prático para a correta utilização dos aços 
no concreto protendido em obediência à normas atualizadas- Livros Técnicos e Científicos 
Editora S. A.- Rio de Janeiro 1980 
BELGO MINEIRA B. T. S. A Fios e cordoalhas para concreto protendido Belgo Mineiro Belo 
Horizonte 1997. 
CHOLFE, LUIZ – Concreto Protendido- Apostila Escola de Engenharia Mackenzie – SãoPaulo 
CHOLFE, LUIZ, BONILHA LUCIANA – Concreto Protendido Teoria e Prática- Apostila 
Escola de Engenharia Mackenzie – São Paulo 
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CIA SIDERÚRGICA BELGO-MINEIRA. Catálogo de aços para protensão. Belo Horizonte, 1978. 
 
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Catálogos e manuais de sistemas estruturais. Pré-fabricados de sistemas de protensão. 
 
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28 
 
CARVALHO, R.C. Introdução ao concreto protendido. Apostila.