Estatística unidade 7

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Estatística
1ª edição
2017
Estatística
7
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Unidade 7
Distribuição binomial
Para iniciar seus estudos
Caro estudante, qual é a probabilidade de você já estar “manjando” tudo 
sobre variáveis aleatórias? Na unidade passada, descobrimos enormes 
vantagens em converter resultados práticos de experimentos aleatórios 
em números por meio das funções chamadas de “variáveis aleatórias”. 
Vimos que há dois tipos delas: as discretas e as contínuas. Vimos também 
que podemos classificar as variáveis segundo sua distribuição. Nesta uni-
dade, estudaremos o principal tipo de distribuição para variáveis discre-
tas: a distribuição binomial. Quando lidamos com situações que envol-
vem sucessivas respostas binárias (sim ou não, zero ou um etc.), tal tipo 
de distribuição pode ser a “chave do sucesso”. Sim ou não? Bons estudos!
Objetivos de Aprendizagem
• Apresentar introdutoriamente a distribuição de Bernoulli.
• Definir distribuição binomial e analisar suas principais caracterís-
ticas. 
• Fazer exemplos práticos com o uso de tabelas e/ou ferramentas 
digitais.
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Estatística | Unidade 7 -Distribuição binomial
7.1 A distribuição de Bernoulli
Existem experimentos dicotômicos, ou seja, que geram apenas dois resultados distintos: sucesso e fracasso, sim e 
não, macho e fêmea, com defeito e sem defeito, positivo e negativo, verdadeiro e falso etc. Uma variável aleatória 
para representar essa situação pode ser dada por:
X = {1, se sucesso0, se fracasso
(claramente “sucesso” e “fracasso” podem ser trocados pelos resultados dicotômicos de cada diferente situação: 
“sim” e “não”, “positivo” e “negativo” etc.). A variável X é, portanto, uma variável binária.
Algo é dito dicotômico quando é dividido em duas partes, ou seja, quando é bifurcado. Um 
experimento dicotômico é aquele que possui dois resultados opostos.
Glossário
Como uma variável binária X só tem dois valores, então um deles deve ter probabilidade p de ocorrer e outro q = 
1 - p. Nessas condições, dizemos que X tem distribuição de Bernoulli, X ~ Ber(p), se a função de probabilidade 
de é dada por:
{ p, se n = 1q = 1 - p, se n=0f(n) = P(X=n) =
Figura 7.1 - Jacob Bernoulli.
Legenda: A figura é uma representação de Jacob Bernoulli, matemático suíço cujo sobrenome denomina a dis-
tribuição que estamos estudando nesta seção. A família Bernoulli é famosa por ter tido oito matemáticos.
Fonte: Wikimedia Commons.
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Estatística | Unidade 7 -Distribuição binomial
A Figura 7.2 a seguir apresenta a distribuição de probabilidades de uma variável X ~ Ber(p) para alguns valores 
de p.
Figura 7.2 - Distribuição de Bernoulli.
Legenda: Distribuição de Bernoulli Ber(p) para p=1, p=0,8, p=0,5 e p=0,3, 
em que p é a probabilidade de X=1 (sucesso) ocorrer.
Fonte: Wikimedia Commons.
Exemplo 7.1: No lançamento de uma moeda comum, não viciada, há apenas dois resultados possíveis: cara e 
coroa. Podemos definir X=1 se ocorrer cara, e X=0 se ocorrer coroa. Note que as probabilidades de ocorrer cara e 
coroa são iguais a p=1/2 e q=1-p = 1/2. Assim, X ~ Ber(0,5).
Exemplo 7.2: Uma fábrica produz diariamente cem peças de um determinado produto, dos quais quatro são 
defeituosos. A retirada aleatória de um produto produzido pela fábrica é uma variável dicotômica, pois seus 
resultados são «sem defeito» e «com defeito». Se X=0 caso a variável seja não defeituosa e X=1 caso a variável 
seja defeituosa, então X ~ Ber(p), em que
p = 4100 = 0,04
é a probabilidade de retirar uma peça defeituosa. Assim,
P(X=0)=q=1-p=1-0,04=0,96.
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Estatística | Unidade 7 -Distribuição binomial
Exemplo 7.3: Um investigador está procurando saber se um determinado fato é verdadeiro ou falso. O experi-
mento que verifica essa condição, como é dicotômico, pode ser modelado pela variável
{1, se verdadeiro0, se falsoX =
Sabendo que P(X=1)=0,4 é a probabilidade de sucesso, então p=0,4. Logo, X~Ber(0,4). Note que P(X=0)=q=1-
-p=0,6 é a probabilidade do fato ser falso.
Se X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p, isto é, X~Ber(p), então a esperança de X é
E(X)=1.p+0.(1-p)=p
enquanto a variância de X é
Var(X)=(1-p)2.p+(0-p)2.(1-p)=p-2p2+p3+p2-p3=
=p-p2=p(1-p),
ou seja, Var(X)=p(1-p). A função de distribuição acumulada de X é
{0, se x < 0q, se 0 ≤ x <1 1, se x ≥ 1F = (X ≤ x) =
O gráfico da f.d.a. de X está dado na Figura 7.3 a seguir para alguns valores de X:
Figura 7.3 - Gráfico da f.d.a. de X.
Legenda: Gráfico da f.d.a. de X~Ber(p) para p=1, p=0,8, p=0,5 e p=0,3.
Fonte: Wikimedia Commons.
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Estatística | Unidade 7 -Distribuição binomial
Exemplo 7.4: Uma loja está sorteando prêmios para alguns de seus clientes. Para isso, foi colocada uma máquina 
na entrada da loja, a qual possui um único botão e um visor que responde SIM ou NÃO quando o botão é aper-
tado: se o visor responder SIM, o cliente que apertou o botão foi premiado; se o visor responder NÃO, o cliente não 
recebeu o prêmio. A máquina foi programada para, aleatoriamente, responder SIM a um em cada oito clientes 
que apertarem o botão. Assim, podemos definir a variável X=0 se a resposta da máquina for NÃO e X=1 se a res-
posta da máquina for SIM. Note que
p = P(X =1) = 18 = 0,125
então, X˜Ber(0,125). Logo, a esperança de X é 0,125 e variância de X é p(1-p)=0,125.0,875=0,109375. A f.d.a. de 
X é:
{ 0, se x < 00,875, se 0 ≤ x < 1 1, se x ≥ 1F(X ≤ x) =
Os gráficos de distribuição de X e da f.d.a. de X estão na Figura 7.4:
Figura 7.4 - Gráfico da distribuição (à esquerda) e gráfico da f.d.a. (à direita) da variável X do exemplo 7.4.
Legenda: Os gráficos foram elaborados no software R. Para fazê-los, respectivamente, use os seguintes comandos:
> x <- 0:1
> fx <- dbinom(x, 11, 0.125)
> plot(x, fx, type=’h’)
e
> Fx <- pbinom(x, 1, 0.125)
> plot(x, Fx, type=’S’)
Fonte: Gráficos gerados no software R.
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Estatística | Unidade 7 -Distribuição binomial
7.2 A distribuição binomial
A distribuição de Bernoulli, estudada na seção anterior, foi só um aperitivo para o verdadeiro banquete dado pela 
distribuição binomial. Ela se refere a um experimento dicotômico repetido n vezes de forma independente.
Suponha que um experimento dicotômico, digamos com resultados “sucesso” e “fracasso”, seja realizado de 
forma independente n vezes consecutivas. Considere a variável X que conta o número de sucessos. Nessas con-
dições, dizemos que X tem distribuição binominal. Se p é probabilidade de sucesso no experimento dicotômico,
P (X = k) = nk p
k (1 - p)n-k( (
é a probabilidade de haver exatamente k≤n sucessos na sequência de n resultados obtidos, em que nk(
(
 é outra 
notação para C
(n,k)
, a combinação de n elementos k a k, isto é,
n n!
k! (n-k)!k =(
(
Portanto, uma variável X tem distribuição binomial com parâmetros n e p quando ela conta o número de suces-
sos ocorridos na realização de n experimentos dicotômicos, nos quais a probabilidade de ocorrer sucesso é p. A 
notação para essa distribuição é X~Bin(n;p).
Exemplo 7.5: Uma moeda é lançada cinco vezes consecutivas. Os resultados, cara (K) ou coroa (C), são apresen-
tados sequencialmente. Assim, por exemplo, CCKCK significa que o primeiro lançamento deu coroa, o segundo 
deu coroa, o terceiro deu cara, o quarto deu coroa e o quinto deu cara. Temos que X é a variável que conta o 
número de caras que ocorreram nesses lançamentos: por exemplo, X(CCKCK)=2, pois ocorreram duas caras. Ana-
logamente, X(KKCKK)=X(KKKKC)=4, pois em ambos os casos ocorreram quatro caras. Note que os lançamentos 
podem ser considerados independentes (o resultado do primeiro lançamento não interfere no segundo, assim 
por diante). Logo, podemos dizer que X tem uma distribuição binomial com parâmetros n=5 e p=0,5, já que a 
probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda é 0,5. Assim, para cada k entre 0 e 5, temos:
5 0,5k0,5n-k = 0,5n
k =(( 5
k(
(
P(X = k) =
Por exemplo, a probabilidade de obter quatro caras no lançamento das cinco moedas é dada por:
5 0,54 =
4 =(
( 5!P(X = 4) =
4!(5-4)!
1
16
. 5
16
=
Denotamos X~Bin(5; 0,5). 
Exemplo 7.6: Em uma urna há 20 bolas, das quais oito são brancas e 12 são pretas. Deseja-se retirar, com repo-
sição, seis bolas dessa urna. Considere X a variável aleatória que conta os números de bolas pretas retiradas. 
Como as retiradas se dão com reposição, então elas podem ser consideradas como experimentos dicotômicos 
independentes. Em cada retirada, a probabilidade de sair uma bola preta é 12p= = 0,6=30
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5 . Logo, X~Bin(6; 0,6). A pro-
babilidade de serem retiradas k bolas pretas é dada por:
6
k(
( 6
k(
(
P(X = k) = (0,6)k(1-0,6)6-k = (0,6)k 0,46-k 
Por exemplo, a probabilidade de serem retiradas exatamente duas bolas pretas é dada por:
6
2(
(
P(X = 2) = (0,6)20,46-2 = (0,6)2 0,42 6!2!4! = 15 . 0,009216 = 0,13824
ou seja, de 13,824%.
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Por sua vez, a probabilidade de serem retiradas até duas bolas pretas é dada por:
6
0(
( 6
1(
(
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =
= 0,46 + 6.0,6.(0,4)5 + 0,13842 = 0,004096 + 0,036864 + 0,13842 =
= 0,1792
= (0,6)00,46-0 + (0,6)10,46-1 + 0,13842 =
ou seja, de 17,92%. Finalmente, a probabilidade de serem retiradas até quatro bolas brancas é:
P(X≥2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0,004096-0,036864=0,95904
ou seja, de 95,904%.
Considere X a variável do exemplo 7.6. Calcule P(X=5) e P(X≤5).
Exemplo 7.7: Considere a situação do exemplo 7.2, na qual uma fábrica produzia por dia cem unidades de um 
produto, das quais quatro eram defeituosas. Suponha que o dono da fábrica queira coletar aleatoriamente três 
peças e verificar sua qualidade (defeituosa ou não defeituosa). Note que cada retirada de peça é um experimento 
dicotômico, pois se deseja saber se ela tem ou não defeito. No entanto, se chamarmos de X a variável que conta 
o número de peças não defeituosas coletadas pelo dono da fábrica, devemos notar que X não tem distribuição 
binomial. Por quê? Note que, na extração da primeira peça, a probabilidade de obter uma peça não defeituosa 
é 96/100. Porém, na segunda extração, essa probabilidade não se mantém, pois uma peça já foi retirada (o que 
altera a probabilidade). Isso significa que as coletas não são independentes, já que altera a probabilidade de 
“sucesso”. Portanto, não podemos utilizar a distribuição binomial para a modelar X.
É possível adaptar a situação do exemplo 7.7 de modo a obter uma variável com distribuição 
binomial? 
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Estatística | Unidade 7 -Distribuição binomial
Assim como fizemos para a distribuição de Bernoulli, é possível fazer o gráfico da função de probabilidade de 
uma variável com distribuição binomial:
Figura 7.5 - Gráfico da distribuição binomial.
Legenda: Gráfico da distribuição de X~Bin(n;p) para alguns pares (n,p).
Fonte: Wikimedia Commons.
Note na Figura 7.6 a seguir, por exemplo, o gráfico de distribuição da variável do exemplo 7.6:
Figura 7.6 - Gráfico de distribuição da variável X do exemplo 7.6.
Legenda: O gráfico foi gerado no R com os seguintes comandos:
> x<- 0:6
> fx <- dbinom(x, 6, 0.6)
> plot(x, fx, type=’h’)
Fonte: Gráfico gerado no software R.
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Estatística | Unidade 7 -Distribuição binomial
Observe na Figura 7.6 que a probabilidade de X=4 (ou seja, de obter quatro bolas pretas e duas brancas) é a maior 
de todas as situações possíveis.
Às vezes, o cálculo de uma determinada probabilidade para um variável binomial pode ser mais complicado 
do que os exemplos que estamos fazendo nesta seção. Para facilitar esses cálculos, você pode adotar uma das 
seguintes estratégias:
1. Utilizar tabelas da distribuição binomial, as quais apresentam centenas de valores de probabilidades 
de X(X=k) para variáveis de alguns tipos X~Bin(n,p).. Veja, por exemplo, a tabela disponível na p. 508 em 
“Estatística Básica”, de Bussab; Morettin (2012).
2. Utilizar calculadoras científicas ou softwares de computador específicos para Estatística (como o R ou até 
mesmo o Excel). No Excel, por exemplo, você pode usar a função distrbinom.
É claro que a estratégia número dois é mais moderna e traz um conjunto infindável de possibilidades muito maior 
do que a estratégia número um. Apesar disso, as tabelas ainda não perderam sua função.
Exemplo 7.8: Considere uma variável aleatória X com distribuição X~Bin(20;0,12). Para calcular P(X=7)“na mão”, 
é preciso ter muita paciência. No entanto, utilizando o comando distrbinom do Excel, por exemplo, rapidamente 
obtemos esse valor. Se você tiver esse software próximo de você, clique em qualquer célula e digite nela o comando:
distrbinom(7; 20; 0,12; FALSO)
Rapidamente você obterá que P(X=7)=0,005272, ou seja, 0,53% aproximadamente. Este comando tem quatro 
parâmetros: para calcular a probabilidade de P(X=k), use o primeiro parâmetro igual a k, o segundo igual a n=20, 
o terceiro igual a p=0,12 e o quarto igual a “FALSO” (esse último parâmetro diz para o Excel que queremos o valor 
da função de probabilidade).
Considere a variável X~Bin(30;0,2). Calcule P(X≤3). 
Para saber como utilizar o software R no cálculo de probabilidades de distribuições binomiais, 
veja a seção 6.2 em “Distribuições de Probabilidade” (LEG/UFPR), a qual disponibilizamos o 
link de acesso nas referências. 
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Estatística | Unidade 7 -Distribuição binomial
Se X~Bin(n,p) então sua esperança é dada por
E(X)=np
enquanto sua variância é dada por
Var(X)=np(1-p)
Para ver a demonstração de por que a esperança e a variância da distribuição binomial são 
dadas pelas expressões anteriores, consulte Meyer (p. 141; p. 160). 
Exemplo 7.9: Considere a variável X~N(5;0,5) do exemplo 7.5. A esperança de X é dada por E(x)=5.0,5=2,5 e a 
variância por Var(X)=5.0,5.(1-0,5)=1,25.
Exemplo 7.10: A variável X~N(20;0,12) do exemplo 7.8 tem esperança E(X)=20.0,12=2,4 e variância igual a 
Var(X)=20.0,12.0,88=2,112.
Podemos também calcular a função de distribuição acumulada de uma variável X~Bin(n;p):
{ 0, se x < 0P(x = k), se 0 ≤ x <n 1, se x > nF(x) = Σk0
em que é o maior inteiro positivo menor ou igual a x.
Figura 7.7 - Gráfico da f.d.a. de X~Bin(n;p) para alguns valores.
Legenda: Gráfico da f.d.a. de X~Bin(n;p), para alguns pares (n;p).
Fonte: Wikimedia Commons.
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Estatística | Unidade 7 -Distribuição binomial
A seguir vemos, por exemplo, o gráfico da f.d.a. da variável X do exemplo 7.6: 
Figura 7.8 - Gráfico da f.d.a. da variável X do exemplo 7.6.
Legenda: Gráfico da f.d.a. de X~Bin(6;0,6).
Fonte: Gráfico obtido no software R.
Antes de finalizar esta seção, vamos entender por que a probabilidade de uma variável binomial X~Bin(n,p) 
é dada por:
n pk(1 - p)n-k
k =(
(
P(X = k) =
Se X~Bin(n,p), então X conta o número de sucessos obtidos na realização de n experimentos dicotômicos inde-
pendentes. Denote sucesso por S e fracasso por F. Vamos calcular a probabilidade de P(X=k), ou seja, a probabili-
dade de obter k S e n-k F na sequência que enumera os experimentos realizados. A probabilidade de ocorrer S em 
cada experimento é p e de ocorrer F é q=1-p. Logo, a probabilidade de cada sequência com k S e n-k F é:
pk q(n-k)
Resta saber quantas sequências com k letras S e n-k letras F existem. Para isso, devemos escolher k posições da 
sequência com n letras para por as letras S, de modo que a ordem em que elas serão colocadas não importe e, 
depois, escolher as outras posições já ficarão determinadas para serem a letra F. Logo, há C
(n,k)
 = nk(
(
 sequências 
determinadas por k letras S e n-k letras F. Portanto, a probabilidade de uma sequência conter k letras S e n-k letras 
F é dada por
n pkqn-k
k =(
(
como queríamos demonstrar.
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Estatística | Unidade7 -Distribuição binomial
7.3 Aplicações da distribuição binomial
A distribuição binomial tem enorme utilidade prática, como já podemos ter notado na seção anterior. Nesta 
seção, faremos uma série de exemplos de distribuição binomial aplicada a várias áreas.
Exemplo 7.11: (aplicação à indústria) Várias circunstâncias envolvendo o controle de qualidade de produtos pro-
duzidos por uma indústria podem ser modeladas por variáveis aleatórias com distribuição binomial. Considere, 
por exemplo, que uma indústria tenha produzido em um dia mil unidades de um produto. Dessas unidades, 30 
estão fora do padrão de qualidade. Um analista de qualidade selecionará, com reposição, dez unidades desse 
produto. Vamos calcular a probabilidade de que no máximo uma unidade dentre as dez selecionadas esteja fora 
do padrão de qualidade. Podemos considerar a variável aleatória X que conta o número de unidades fora do 
padrão de qualidade na amostra selecionada. Como a seleção é feita com reposição, então a variável X tem dis-
tribuição binomial Bin(10,p), em que p é a probabilidade de selecionar uma unidade fora do padrão em uma 
retirada, ou seja, 30p = = 0,031000 . Assim, a probabilidade de que no máximo uma unidade dentre as dez selecionadas 
esteja fora do padrão de qualidade é:
P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1) ≈ 0,7374+0,2281=0,9655
ou seja, 96,55% aproximadamente (cálculos feitos no software Excel). Note que o valor esperado da variável X é:
E(X)=np=10.0,03=0,3
ou seja, “em média”, a amostra selecionada terá até um produto selecionado fora do padrão de qualidade. O 
gráfico da f.d.a. de X está representado na Figura7.9 a seguir:
Figura 7.9 - Gráfico da f.d.a. da variável X do exemplo 7.11.
Legenda: Gráfico da f.d.a. de X~Bin(10;0,03) do exemplo 7.11.
Fonte: Gráfico obtido no software R.
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Estatística | Unidade 7 -Distribuição binomial
Exemplo 7.12: (aplicação à medicina) Exemplos básicos de variáveis binárias aplicadas ao contexto da medicina 
são a existência, o diagnóstico e a cura de uma doença. Suponha que um indivíduo tenha uma determinada 
doença, mas que um médico ainda não saiba isso. Devido ao desconhecimento do profissional, ele pede para que 
seja feito um exame. A probabilidade de que o resultado dê “positivo” é de 80%. A fim de minimizar a possibili-
dade de erro, o médico pede que o paciente faça o exame duas vezes. Calculemos a probabilidade de ambos os 
resultados darem “negativo”. Para isso, vamos considerar a variável X que conta o número de resultados positivos 
obtidos nos dois exames. Assim, X˜Bin(2;0,8), pois serão realizados dois testes e a probabilidade de cada um deles 
dar positivo é de 80% (podemos supor independência nos testes). Logo, a probabilidade pedida é:
2
0(
(
P(X = 0) = 0,80(1-0,8)2-0 = 1.1.0,22 = 0,04
Portanto, a probabilidade de que ambos os exames serem negativo é de 4%. Note que esse é o único caso em que 
o médico daria alta ao paciente, já que se o resultado desse positivo em ambos os testes o médico certamente iria 
iniciar o tratamento. Se desse positivo em um e negativo em outro, certamente seria recomendado um terceiro 
teste para “tirar a prova”.
Exemplo 7.13: (aplicação à construção civil) Em uma obra, suponhamos que a chance de um pedreiro sofrer 
um acidente seja de 1% e que haja 250 pedreiros trabalhando no local. Calculemos o valor esperado e a variân-
cia correspondente ao número de pedreiros acidentados nesta obra. Defina a variável X que conta esse número 
desses trabalhadores acidentados. Admitindo que haja independência entre os pedreiros nesse assunto, pode-
mos admitir que X é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n=250 e p=0,01, isto é, 
X~Bin(250;0,01). Logo, o valor esperado é:
(X)=np=250.0,01=2,5
A variância é dada por:
Var(X)=np(1-p)=250.0,01.0,99=2,475
Isso implica um desvio padrão de:
DP(X) = √Var(X) = √2,475 ≈ 1,57
Isso nos leva a concluir que, “em média”, dois ou três pedreiros devem sofrer algum tipo de acidente, pois a 
esperança é 2,5. Deve haver um erro nessa contagem na prática, pois estamos fazendo uma previsão. Porém, 
prevendo também o erro ocorrido (que corresponde ao desvio padrão de 1,57), concluímos que o número de 
pedreiros acidentados muito possivelmente estará no intervalo:
[2,5-1,57;2,5+1,57]=[0,93;4]
Isso deve levar o responsável pela obra ao bom senso de fazer um seguro para o local, pois ele sabe (com base 
nesses dados) que muito possivelmente pelo menos um pedreiro deve ser acidentado.
Exemplo 7.14: (aplicação militar) Em uma operação militar, o comandante deseja saber qual é a probabilidade 
de seu atirador acertar seus alvos. Com base nos treinos desse atirador, o comandante sabe que a chance de 
acertá-lo é de 75%. Suponha que na operação militar em questão o atirador precise acertar três alvos utilizando 
uma arma com silenciador. Calculemos a probabilidade de esse atirador acertar os três alvos. Seja X a variável que 
conta o número de acertos do atirador nesses alvo, podemos considerar que o tiro a cada um dos alvos é inde-
pendente – supondo que cada um dos alvos não esteja em contato com os outros (isso é suficiente, já que a arma 
tem silenciador). Então, X pode ser considerada uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros 
n=3 e p=0,75. Assim, a probabilidade do atirado acertar os três alvos é dada por:
3
3(
(
P(X = 3) = (0,75)3(1-0,75)3-0 = 0,421875 ≈ 42,19%
16
Estatística | Unidade 7 -Distribuição binomial
Portanto, a chance do atirador acertar os três alvos é menor do que 50%. Sabendo disso, o comandante pode 
concluir que a estratégia de atirar nos três alvos não parece ser a melhor.
Exemplo 7.15: (aplicação às escolas) Suponhamos que a probabilidade de uma pessoa ser canhota é de 10%. 
Uma sala de aula deverá ter capacidade para 40 alunos. A fim de mobiliar essa sala de aula, o diretor da escola 
decide comprar carteiras “com braço” para preencher a sala. Porém, ele precisa saber quantas dessas cadeiras 
devem ser para canhotos e quantas para destros. Para isso, ele deve usar a variável X que conta o número de 
canhotos dessa sala de aula. De acordo com o contexto, podemos supor que X~Bin(40;0,1). Assim, a esperança 
de X é:
E(X)=n.p=40.0,1=4
a variância de X é:
Var(X)=n.p.(1-p)=40.0,1.0,9=3,6
e o desvio padrão de X é:
DP(X) = √Var(X) = √3,6 ≈ 1,897
Logo, o diretor pode decidir comprar quatro cadeiras para essa sala (já que este é o número esperado de alunos 
canhotos). No entanto, para manter o erro sob controle, ele pode garantir que haja um número de cadeiras de 
canhotos dentro do intervalo [E(X)-DP(X),E(X)+DP(X)], isto é, [2,103;6,897]. Portanto, poderíamos aconselhá-lo 
a comprar não só as 40 cadeiras previstas (das quais quatro são para canhotos), mas também comprar duas 
cadeiras a mais para destros (caso haja apenas duas canhotos, o que corresponde praticamente ao valor mínimo 
do intervalo anterior) e mais três para canhotos (caso haja sete canhotos, o que corresponde aproximadamente 
ao valor máximo do intervalo anterior). A função de distribuição acumulada de X é dada na Figura 7.10 a seguir:
Figura 7.10 - Gráfico da f.d.a. da variável X do exemplo 7.15.
Legenda: Gráfico da f.d.a. de X~Bin(40;0,1) do exemplo 7.15.
Fonte: Gráfico obtido no software R.
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Estatística | Unidade 7 -Distribuição binomial
Nosso desafio continua no Fórum. Organize-se com seu grupo para a tarefa da unidade que 
é: Utilizando os conhecimentos adquiridos sobre variáveis discretas, calcule a probabilidade 
de retirar amostras com cinco cidades das quais três possuam “sim” (ou similar) como res-
posta para uma de suas variáveis binárias.
Referências bibliográficas
18
O itinerário percorrido nesta unidade nos levou a conhecer a distribuição 
binomial. Estudamos:
• Distribuição de Bernoulli: vimos sua definição para experimentos 
dicotômicos, expressões para sua esperança,variância e função 
de distribuição acumulada, e visualizamos uma série de exemplos.
• Distribuição binomial: percebemos que ela pode ser aplicada 
a variáveis que contenham o número das ocorrências de inte-
resse na realização de diversos experimentos dicotômicos inde-
pendentes. Vimos e justificamos a sua função de probabilidade, 
definimos expressões para sua esperança, variância e função de 
distribuição acumulada. Estudamos a aplicação dos conceitos 
em vários exemplos.
• Um exemplo de situação em que a distribuição binomial não deve 
ser aplicada.
• Exemplos em situações práticas em que podemos utilizar a dis-
tribuição binomial para tirar conclusões e estabelecer estratégias.
Referências bibliográficas
19
BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 7. ed. São Paulo: 
Saraiva, 2012.
LEG/UFPR. Distribuições de Probabilidade. Disponível em: <http://www.
leg.ufpr.br/Rpira/Rpira/node7.html>. Acesso em: 24 Fev. 2017.
MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicações à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 
2010.