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INSTITUTO DE ENSINO SUPERIOR DE OLINDA
APS – Atividade Prática Supervisionada
 Autores
Daylane Santana
Diego Chagas
Gabriel Manoel
João Mateus
Joraine Angela
Juliana Lopes
Maria Eduarda Ramos
Apresentação
Este trabalho tem como objetivo central ampliar o conhecimento sobre os principais métodos matemáticos utilizados nas eleições e compreender as diversas maneiras de eleger representantes políticos expondo de forma didática e objetiva tópicos importantes dos métodos eleitorais utilizados. Devido à pluralidade de pensamentos existente na sociedade.
Um sistema de votação consiste nas regras de como os votantes podem expressar seus desejos, e como esses desejos são agregados para se obter um resultado final. O estudo de sistemas de votação formalmente definidos é chamado teoria das votações, um ramo da ciência política, economia ou matemática. A teoria das votações começou no século XVIII e tem produzido diversas propostas de sistemas de votação.
A reflexão sobre os métodos eleitorais propicia entender melhor sobre os mecanismos matemáticos empregados nas eleições bem como se reconhecer como um elemento fundamental do sistema eleitoral numa importante ferramenta para cidadania.
 Os textos desenvolvem a construção de uma reflexão crítica a partir dos fundamentos teóricos aplicados a realidade brasileira e mundial, com análise e interpretação de importantes temas e desafios sociais, a fim de desenvolver com êxito a interdisciplinaridade e, portanto, a integração das disciplinas.
O trabalho escrito foi elaborado de acordo com a estrutura básica para trabalhos acadêmicos disponível no site portal da UNIP (Universidade paulista) sob denominação de Guia de Normalização, que segue os padrões textuais e de formatação da ABNT (Associação brasileira de normas técnicas).
1.0 Introdução 
	
Os métodos eleitorais tem o objetivo de orientar o processo eleitoral de forma justa e de uma forma consistente viabilizando um resultado unívoco.
Observando o comportamento da sociedade com relação à tomada de decisão nas eleições pode-se ampliar a compreensão dos resultados e as maneiras estáveis que os procedimentos conduzem a uma resolução.
Atualmente o processo eleitoral é de responsabilidade da justiça eleitoral (JE) em nível municipal, estadual e federal. A organização e fiscalização são da competência da justiça eleitoral, examinam gastos dos partidos e candidatos em campanha assegurando o cumprimento da legislação pertinente em período eleitoral e julgando os processos relacionados com as eleições.
É significativa a evolução da teoria matemática das eleições, pois tem se tornado fundamental para investigações no campo matemático analisando os procedimentos de votação, da estabilidade e da justiça dos resultados; , reconhecendo que os modos como se optam as decisões podem traduzir, ou violar, diferentes princípios éticos, sustentar, ou não, a sua legitimidade e promover, ou limitar, as liberdades coletivas ou individuais; o econômico, porque as grandes decisões, neste campo, são tomadas muitas vezes por indivíduos eleitos, e atentos às consequências das suas ações sobre a sua continuidade ou sobre as suas possibilidades de reeleição; o matemático, porque o estudo dos problemas de agregação de preferências, e suas regularidades, são bons problemas de modelação e análise matemática.
 
2.0 Método das pluralidades
No mundo atual é frequente encontrar, em revistas e jornais, artigos relacionados com vários tipos de eleições; Uma eleição é um processo pelo qual as sociedades ou grupos democráticos tentam resolver os muitos conflitos de opinião entre os seus membros através de uma única escolha do grupo, escolha essa feita através do voto;O processo eleitoral divide-se em dois momentos, a votação e a contagem dos votos;O cerne do processo democrático encontra-se na contagem dos votos, ou melhor ainda, na maneira como se descobre a voz colectiva de um grupo, a partir dos votos individuais de cada membro desse grupo;O processo não é complicado quando se trata de escolher uma de entre apenas duas hipóteses;
A situação é muito diferente se a escolha envolver três ou mais alternativas pois não existe um processo razoável e totalmente justo, para a partir da votação obtida, retirar o vencedor da eleição. É daqui que surge a necessidade da existência de uma teoria das eleições O Sistema de pluralidade dos votos é um sistema de votação com um único ganhador comumente utilizado para eleger pessoas para cargos públicos e tomada de decisões. Neste sistema de votação a opção ganhadora é aquela que ganhar a maior quantidade de votos (pluralidade). Nele não há necessidade que a opção ganhadora receba a maioria absoluta dos votos, mas apenas que possua mais votos que as demais opções, também chamada de maioria simples ou relativa.
Outro dado relevante é o facto deste método ser uma extensão natural do princípio da regra da maioria: numa eleição entre dois candidatos, o que tiver maioria (mais do que metade) dos votos vence.
Este método caracteriza-se também por satisfazer o critério da maioria e o de Pareto.
Critério da maioria:
Se numa eleição existe uma opção que tem a maioria dos votos em primeiro lugar, então essa opção deverá ser considerada a vencedora da eleição.
Critério de Pareto:
Se relativamente a dois candidatos X e Y todos os votantes preferirem X a Y, então Y não deverá ganhar.
3.0 Método da Pluralidade com Eliminação.
-Método da Pluralidade com Eliminação. Este método é uma versão do princípio da sobrevivência dos mais aptos. A ideia básica é a contínua eliminação dos candidatos menos aptos, um a um, até que surja um vencedor. O critério para a aptidão é o número de colocações em primeiro lugar que se obtém:
Passo 1: procede-se a contagem das colocações em primeiro lugar para cada candidato, tal como no método da pluralidade. Se um candidato obtém maioria de colocações em primeiro lugar, esse candidato é automaticamente declarado como vencedor. Caso contrário, elimina-se o candidato que obteve o menor número de colocações em primeiro lugar. Passo 2: retira-se o nome do candidato eliminado da tabela de preferências e conta-se novamente os votos para o primeiro lugar. Recorde-se que quando um candidato é eliminado da tabela de preferências, em cada coluna os candidatos posicionados em lugares inferiores sobem um lugar. Se um candidato obtém uma maioria de colocações em primeiro lugar, esse candidato é o eleito. Se tal não suceder, elimina-se o candidato que obteve o menor número de colocações em primeiro lugar. Passo 3: repete-se o processo, eliminando um ou mais candidatos de cada vez até que haja um candidato que possua a maioria das colocações em primeiro lugar, sendo declarado o vencedor.
4.0 Método de copeland
O Método de copeland usa a mesma matriz de adjacência que representa o gráfico do metodo de cordorcet. A partir dela calculasse a soma das vitorias menos as derrotas, em uma votação por maioria simples.
5.0 Método dos Marcadores:
A Alinham-se os objetos a dividir (pode atribuir-se um nº a cada um da esquerda para a direita, para melhor identificação).
A Cada interveniente divide, secretamente, a fila de objetos do número de segmentos igual ao número de interessados, usando marcadores, considerando que todos os segmentos definidos têm valores equivalentes.
À Da esquerda para a direita procuram-se os primeiros marcadores de cada interveniente. O dono do primeiro marcador a aparecer fica com os objetos à esquerda (o seu primeiro segmento) e retiram-se os seus restantes marcadores.
A Observamos de novo a fila de objetos, procurando agora os segundos marcadores de cada interveniente. O primeiro a aparecer determina que o segmento entre o primeiro e o segundo marcador desse interveniente lhe seja atribuído.
A Repete-se o processo até que todos tenham a parte que consideram justas.
A As sobras podemdividir-se por sorteio ou, se forem mais do que os intervenientes, aplica-se de novo o método.
- Método dos marcadores (não é necessário haver dinheiro, mas deverá haver um número de bens superior ao de herdeiros) um. Ordenam-se os bens a dividir (pode-se atribuir um número a cada uma deles); 2. Utilizam-se marcadores para cada herdeiro dividir, secretamente, a fila de bens num número de partes igual ao de herdeiros, de forma que cada um divida-a como
Considera mais justo; 3. Da esquerda para a direita procuram-se os primeiros marcadores de cada herdeiro. O dono do primeiro marcador a aparecer na fila com os bens à esquerda e retiram-se todos os seus marcadores; 4. Observam-se novamente os bens da fila e procuram-se agora os segundos marcadores de cada interveniente. O primeiro a aparecer indica que os bens entre o seu primeiro marcador e o segundo serão seus; 5. Repete-se o processo até que todos tenham a parte que consideram justas; 6. As sobras podem dividir-se por sorteio.
6.0 Método de D’Hondt
O método de D’Hondt, também conhecido como método dos quocientes ou método da média mais alta, é usado para a alocação de deputados e outros representantes de natureza colegial. O método tem esse nome dado à influência do criador, o jurista belga, Victor D’Hondt.
O método consiste num uso de algoritmo ou fórmula matemática, estimada a calcular a distribuição dos mandatos pelas listas concorrentes, em que cada mandato é sucessivamente alocado à lista cujo número total de votos dividido pelos números inteiros sucessivos, começando na unidade (isto é, no número 1) seja maior. O processo segue até se esgotarem todos os mandatos ou quocientes disponíveis, no caso de igualdade em qualquer quociente, o mandato é mandado à lista menos votada.
A representação da fórmula pode ser dada por, 𝑉𝑠+1, sendo V o número total de votos apurados e s o número de lugares colocados na iteração do cálculo, repetindo-se até todos os lugares serem atribuídos.
Esse tipo de método baseia-se na atribuição dos mandatos por forma que a proporcionalidade entre os votos recebidos pelas listas seja reproduzida.
O método pode ser utilizado com o estabelecimento de limiares mínimos de eleição, sendo nesse caso eliminados de consideração os votos que recaiam nas listas cuja percentagem no total seja inferior ao mínimo estabelecido. Outra variante permite que o eleitor determine a sequência de atribuição dos mandatos dentro de cada lista, sendo os mandatos atribuídos à lista ocupados por ordem decrescente dos votos no candidato. 
Exemplo Prático
DIVISOR
Partido 1 2 3 4
A 12000 6000 4000 3000
B 7500 3750 2500 1875
C 4500 2550 1500 1125
D 3000 1500 1000 750
No exemplo constante da tabela, os quocientes correspondentes a mandatos, assinalados a negrito, levam à seguinte distribuição:
* Partido A - 3 deputados, correspondentes aos quocientes 12000 (1.º eleito), 6000 (3.º eleito) e 4000 (5.º eleito). Note-se que apesar do quociente resultante da divisão por 4 ser 3000, igual aos votos obtidos
pelo partido D, o mandato é atribuído ao menos votado, isto é ao Partido D, que assim elege o seu deputado.
* Partido B - 2 deputados, correspondentes aos quocientes 7500 (2.º eleito) e 3750 (6.º eleito).
* Partido C - 1 deputado, correspondente ao quociente 4500 (4.º eleito).
* Partido D - 1 deputado, correspondente ao quociente 3000 (7.º e último eleito), beneficiando da regra que em igualdade atribui o lugar à lista menos votada, arrebatando, por um só voto, o lugar ao partido A.
7.0 Método de Coombs
Método usado de forma semelhante a do método da pluralidade com eliminação, mas eliminamos o candidato com o maior número do votos por último lugar, ao invés de mudar o que tem o menor número de votos por primeiro.
Exemplo Prático
1˚ Passo:
* -Contam-se os votos em primeiro lugar e os votos em ultimo lugar;
* Se houver algum candidato que tenha a maioria (metade + 1) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor;
* Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos em caso de empate) que tem maior número de votos em ultimo lugar;
2˚ Passo:
* O(s) candidato(s) eliminado(s) no passo anterior são excluídos da tabela de preferências;
* Se houver algum candidato que tenha a maioria (metade + 1) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor;
* Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos em caso de empate) que tem maior número de votos em último lugar.
> O processo é repetido indefinidamente até haver um candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar, o qual é considerado vencedor;
8.0 Método de Condorcet
Os métodos de Condorcet, ou métodos de paridade, são uma classe de métodos de votação ordenada que seguem o critério de condorcet. Esses métodos comparam todo par de opções, e a opção que supera toda outra opção é a vencedora. Uma opção supera outra opção se a maioria dos votos o ordena em posição melhor nas cédulas do que a outra opção.
Esses métodos são frequentemente referidos coletivamente como métodos de Condorcet, porque o critério de Condorcet garante que todos eles dão o mesmo resultado na maioria das eleições, onde existir um vencedor de Condorcet. as diferenças entre os métodos de Condorcet ocorrem em situações onde nenhuma opção supera todas as outras, implicando que existe um ciclo de opções que superam umas as outras, chamado de paradoxo de condorcet ou conjunto de Smith. Considerando um método de Condorcet genérico como sendo um método abstrato que não resolve esses ciclos, as versões especificas de métodos Condorcet que selecionam os vencedores caso não exista um vencedor de Condorcet são chamadas métodos de conplementação de Condorcet.
Os métodos de Condorcet, são nomeados para o matemático e filósofo francês do século XVIII, Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, marquês de Condorcet. Ramon Llul planejado um dos primeiros métodos de Condorcet em 1299, mas esse método é baseado em um processo iterativo ao invés de uma cédula de votação.
Esse método é pouco prático, sobretudo em eleições com muitos candidatos ou eleitores como no Brasil. Por isso, o método de Condorcet raramente é usado. A votação em dois turnos, com o duelo no segundo, é um passo nessa direção.
Paradoxo de Condorcet, caracterizado pela intransitividade da escolha coletiva, embora baseado em ordenações individuais transitivas. Este resultado é paradoxal, pois significa que se as propostas forem votadas duas a duas nunca se conseguirá chegar a uma decisão final.
9.0 Método da comparação par a par
O método da comparação par a par consiste em comparar todos os candidatos dois a dois.
Dados dois candidatos x e y, atribuído numa comparação par a par, 1 ponto ao vencedor, que é o candidato que se encontra com melhor posição num maior número de colunas da tabela de preferências.
Em situação de empate é atribuído 1 ponto a cada um dos candidatos.
Será declarado vencedor da eleição o candidato que após terem sido realizadas todas as comparações par a par, obtiver maior número de pontos.
Neste método é frequente ocorrerem casos de empate, ou se aceita a existência de mais do que um vencedor, ou, caso contrário, usa-se um método pré determinado de desempate.
É satisfeito o critério ganhador de condorcet;
Satisfez o critério da maioria;
Satisfez também o critério da monotonia;
Lacunas no método de comparação par a par
O método de comparação par a par não satisfaz um princípio básico de justiça designado por critério da independência.
Critério da independência
Se um candidato x é o vencedor de uma eleição e um ou mais dos outros candidatos é removido, sendo o boletim de votos contados de novo, então x continua a ser o vencedor da eleição.
10.0 Método de borda
O método de borda é considerado um sistema eleitoral posicional ou preferencial, pois cada eleitor pode votar em mais do que um elemento de acordo com suas preferências.No final resulta em um só vencedor .
A cada posição de votos é atribuído um número de pontos :0(zero) ara última, 1(um) para a penúltima , etc...,adicionando-se 1 (um ) ponto quando se passa de uma posição para a imediatamente acima . Os pontos ganhos por todos os candidatos são adicionados , e os candidatos são ordenados por ordem crescente dos pontos obtidos
1° Passo considera-se pó número de pessoas que podem ser eleitas 
2° Passo cada eleitor vota em todos os candidatos atribuindo pontos a cada um conforme a sua ordem de preferência p-1 pontos para segunda preferência 
3°Passo – Os candidatos são ordenados pela soma dos pontos obtidos	
Exemplo 1: Considerando que A , B , C e D são os candidatos à quantidade indicadas na primeira linha da coluna sejam o número de votantes e os valores dos pontos atribuídos 1 2 3 4 na ordem vertical ascendente podemos identificar o candidato eleito da seguinte forma:
			
	20	
	12
	5
	10
	
	A
	B
	C
	D
	119
	B
	C
	B
	C
	143
	D
	A
	D
	B
	106
	C
	D
	A
	A
	102
A= 20x4+12x2+5x1+10x1=119
B=20x3+12x4+5x3+10x2=143
C=20x1+12x3+5x4+10x3=106
D=20x2+12x1+5x2+10x4=102
RESULTADO: O CANDIDATO ELEITO FOI O CANDIDATO B
11.0 Método de Saint-league
O método de Saint-Laguë é um procedimento para calcular coeficientes eleitorais e distribuir cadeiras em um câmara com voto proporcional, foi inventado pelo matemático francês André Sainte-Laguë.
É um método similar ao método D'Hondt, a diferença são os divisores usados, o método de Sainte-Laguë favorece mais os partidos menores.
O método consiste em sucessivas divisões: a cada cadeira alocada, é calculado um coeficiente eleitoral dado pela fórmula:
{\displaystyle {\frac {V}{2s+1}}\,}Onde:
V é o número total de votos recebido pelo partido e
s é número de cadeiras obtidas pelo partido até o momento. Todos os partidos começam com s=0 na primeira fase.
A cada fase, é atribuída uma cadeira ao partido com maior coeficiente eleitoral.
Exemplo:
Está-se a eleger os 11 deputados que ocuparam lugares no governo. Após todas as divisões feitas, vai-se escolhendo, de forma decrescente (do maior número de votos para o menor), os deputados.
	
	Partido A
	Partido B
	Partido C
	Partido D
	Votos
	340,000
	280,000
	160,000
	60,000
	Cadeira 1
	340,000(1)
	280,000(2)
	160,000(3)
	60,000(7)
	Cadeira 3
	113,333.33(4)
	93,333.33(5)
	53,333.33(9)
	20,000
	Cadeira 5
	68,000(6)
	56,000(8)
	32,000
	12,000
	Cadeira 7
	48,571.43(10)
	40,000(11)
	22,857.14
	8,571.43
	Cadeira 9
	37,777.78
	31,111.11
	17,777.78
	6,666.67
	Total de cadeiras
	4
	4
	2
	1
Portanto, depois de contadas 11 células da tabela, por ordem decrescente no total, obtém-se o número total de deputados eleitos.
12.0 Método de Hamilton
William Rowan Hamilton nascido em 04 de agosto de 1805 na Irlanda e morreu em 02 de setembro de 1865 aos 60 de idade. Foi Matemático, físico e astrônomo, teve grandes contribuições nesse campo de estudo assim também como na ótica, dinâmica e álgebra. Porém, sua maior descoberta, matematicamente falando foram os Quaterniões.
Hamilton fez tal descoberta em 1843, que culminava numa pesquisa que tinha por fim, a introdução de um produto no conjunto dos números Reais (R) que de maneira esta fosse semelhante ao conjunto dos números complexos. Nos dias atuais, nota-se do formalismo algébrico reformulado por Gibbs em 1901, tal reformulação foi embasada através dos estudos dos quaternioes de Hamilton.
A ideia de Hamilton era a introdução dos números sistemáticos de forma que o conjunto dos hipercomplexos generalizassem no conjunto dos números complexos (C) ás três dimensões. Dessa forma não é era do interesse deixar que o número fosse apenas complexo, e sim encontrar e dar sentido aos números hipercomplexos.
Porem este sistema havia um erro que Hamilton observou e solucionou-o o produto que o mesmo gostaria de por no conjunto dos reais não eram números hipercomplexos. Ou seja, o sistema não era fechado. Então a solução era considerar os números de uma forma diferente. O que chamaria de quaterniões.
Assim esse conjunto de números ganhou o símbolo de (H) em homenagem a Hamilton. Este na expressão é apenas um anel de divisão.
13.0 Método de Jerfferson
Encontrar o número D (divisor eleitoral) tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas por defeito (quota mínima modificada), a soma dessas quotas dá exatamente o número de lugares a distribuir, isto é, Atribuir a cada estado a quota mínima (modificada).
Este divisor D é facilmente encontrado através de uma folha de cálculo. Para o nosso divisor 23 D = 38442, obtém-se ) m = 215(−11 . Para que m aumente, D tem que diminuir. Para 37500 D = obtém-se )7 m = 219(− . Para 37000 D = obtém-se 226 m = , o valor pretendido. Assim, comparando com os resultados de Hamilton verifica-se que o método de Jefferson viola a regra da quota e favorece os estados grandes.
1 - Calcular o Divisor Padrão.
2 - Calcular a Quota Padrão de cada estado.
3 - Atribuir a cada estado a sua Quota Inferior.
4 - Se a soma das Quotas Inferiores for igual ao número de lugares, a partilha está feita; caso contrário, é necessário encontrar, por tentativas, um número, o Divisor Modificado
(D.M.), para substituir o Divisor Padrão de modo que, quando procedermos ao arredondamento das Quotas Modificadas (Q.M. = quociente entre a população do estado e D.M.), a soma de todas as quotas (arredondadas por defeito) seja exactamente o número de lugares a atribuir.
Este método viola a Regra da Quota.
14.0 Conclusão
As eleições são o meio de escolha entre certo número de opções, baseado na entrada de certo número de votos. A votação é, talvez, mais conhecida pelo seu uso em eleições, onde candidatos políticos são selecionados para a administração pública. Votações também podem ser usadas para a escolha em premiações; para selecionar um entre diferentes planos de ação; ou para um programa de computador determinar a solução de um problema complexo. A votação se diferencia do consenso.
A maioria dos métodos de votação é baseada na regra da maioria, ou seja, o princípio de que deve ser satisfeita a opinião apoiada por mais da metade dos votantes. 
Dada à simplicidade da regra da maioria, aqueles que não estão familiarizados com a teoria das votações são, frequentemente, surpreendidos com a variedade de sistemas de votação existentes, ou com o fato de que os sistemas de votação mais populares podem produzir resultados não pretendidos pela maioria dos votantes. Se toda eleição tivesse apenas duas escolhas, o vencedor seria determinado usando somente a regra da maioria. Contudo, quando há três ou mais opções, pode ser que nenhuma opção seja preferida pela maioria. 
Diferentes resultados podem ser obtidos pela utilização de diferentes métodos, principalmente nos casos onde não é evidente a preferência da maioria. Contudo, a escolha do sistema eleitoral é um componente fundamental de um governo democrático.
 Os sistemas de eleições de representação proporcional pretendem assegurar a representação das diferentes correntes de opiniões na sociedade garantindo a expressão de minorias a partir de determinada representatividade, ou seja, são sistemas usados para distribuir proporcionalmente certo número de mandatos por diversas listas.
15.0 Bibliografia
https://pt.slideshare.net/dyssebeia/teoria-das-eleies-8419614 
http://www.mat.uc.pt/~mat0971/actividades/-teoriadaseleicoes.pdf 
https://www.google.com.br/search?ei=E6ECXKfTMMb9wQSFwK3IBA&q=teoria+das+eleições+ppt&oq=teoria+das+eleições 
https://pt.slideshare.net/dyssebeia/teoria-das-eleies-8419614 
http://www.mat.uc.pt/~mat0971/actividades/-teoriadaseleicoes.pdf 
https://www.google.com.br/search?ei=E6ECXKfTMMb9wQSFwK3IBA&q=teoria+das+eleições+ppt&oq=teoria+das+eleições