Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

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1. Questões comentadas – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares ....... 2 
2. Memorex ........................................................................................... 36 
3. Lista das questões abordadas em aula .................................................. 40 
4. Gabarito ............................................................................................ 46 
 
Aula 1 
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1. Questões comentadas – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares 
 
Pessoal, matrizes, determinantes e sistemas lineares não estão sendo muito 
cobrados pela ESAF. No últimos 3 anos foram apenas 5 questões, sendo que 1 
delas envolve trigonometria, portanto veremos na aula 3 (de Trigonometria). 
 
Então, como disse na aula 0, farei, além das atuais, questões antigas da 
ESAF, e de outras bancas. Primeiro faremos as questões de matrizes (da 
ESAF e de outras bancas) e depois as questões de determinantes e sistemas 
lineares (da ESAF e de outras bancas). 
 
Uma coisa que tenho a dizer: se você já sabe algo sobre matrizes, treine com 
essas questões. Se você não sabe, e este é o seu primeiro estudo sobre as 
matrizes, faça e refaça as questões dessa aula. 
 
Normalmente, a questão de matrizes de uma prova é a questão que não pode 
ser errada em nenhuma hipótese. 
 
Isso porque, perto dos demais assuntos (que veremos nas próximas aulas, 
muito mais difíceis), matrizes é um assunto bem mais fácil. 
 
Então, nem pense em errar na hora da prova! 
 
Questão 1 – ESAF/MPU/Téc. Adm./2004 
 
Sejam as matrizes 
 
 
 
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t, isto é, a 
matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a 
razão entre x31 e x12 é igual a: 
 
(A) 2. 
(B) 1/2. 
(C) 3. 
(D) 1/3. 
(E) 1. 
 
Vamos pensar um pouco: para quê servem as matrizes? Porque temos que 
aprender sobre elas? 
 
Matrizes nada mais são do que maneiras de organizar números. E muitas 
informações na nossa vida podem ser expressas por números. 
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Por exemplo, os dados deste arquivo que você está recebendo em .pdf. Na 
memória do seu computador, cada letrinha deste arquivo é, na verdade, um 
conjunto de números, armazenados em matrizes. 
 
Esta é apenas uma utilidade das matrizes. Agora que já temos alguma noção 
sobre a importância, vamos aprender um pouco sobre elas. 
 
Cada elemento da matriz está associado a uma posição, que é identificada da 
seguinte forma: 
 
aij 
 
 
a = elemento da matriz 
i = linha referente ao elemento 
j = coluna referente ao elemento 
 
Assim, na matriz abaixo, temos: 
 
 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
 
 
 
  
 
 
 
Outro conceito importante é o conceito de ordem da matriz: 
 
 
ordem = m x n 
 
onde: 
 
m = número de linhas da matriz 
n = número de colunas da matriz 
 
Ou seja, a matriz que vimos acima possui ordem 3 x 3 (pois ela possui 3 linhas 
e 3 colunas). Já adianto que esse é um tipo de matriz que chamamos de 
“matriz quadrada” (porque ela possui o mesmo número de linhas e de 
colunas). 
 
Além disso, temos as diagonais: 
 
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11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
 
 
 
  
 
 
 Diagonal Secundária Diagonal Principal 
 
 
Existem também tipos “especiais” de matrizes. Digamos que são matrizes que 
são conhecidas pelas suas “particularidades”. Se você tem um amigo que tem 
um cabelo azul, é provável que ele ganhe o apelido de “Azul”, “Azulão”, 
“Avatar”, sei lá. Com as matrizes acontece o mesmo. As seguintes matrizes 
ganharam apelido próprio: 
 
 
Matriz Definição Exemplo 
Matriz Linha Possui uma única linha 
(1 x n) 
 
1 4 5   
 
Matriz Coluna 
Possui uma única coluna 
(m x 1) 
3
4
1
 
 
 
  
 
Matriz Nula 
Possui todos os elementos 
iguais a zero 
(aij = 0) 
0 0
0 0
 
 
 
 
Matriz Diagonal 
Possui todos os elementos 
que não são da diagonal 
principal iguais a zero 
(aij = 0, onde i ≠ j) 
4 0 0
0 6 0
0 0 1
 
 
 
  
 
Matriz Unidade 
= Matriz 
Identidade 
É uma matriz diagonal, com 
os elementos da diagonal 
principal iguais a 1. 
(aij = 0, onde i ≠ j, e aij = 
1, para i = j) 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
  
 
Matriz 
Triangular 
Superior 
Possui todos os elementos 
acima da diagonal principal 
iguais a 0. 
4 0 0
5 6 0
9 3 1
 
 
 
  
 
Matriz 
Triangular 
Inferior 
Possui todos os elementos 
abaixo da diagonal principal 
iguais a 0. 
4 5 1
0 6 4
0 0 1
 
 
 
  
 
 
 
Ao invés de ficar descrevendo aqui como são as operações com matrizes, vou 
fazer um comparativo com as operações que já conhecemos da Matemática 
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(Adição, Subtração, Multiplicação... etc). Em alguns casos, a lógica das 
operações é a mesma, mas em outros há algumas diferenças importantes. 
 
Primeiramente, vou relembrar com vocês um pouco das propriedades dos 
números. 
 
Quando dizemos: 
 
2 + (3 + 4) = 9 
 
É o mesmo que dizer: 
 
(2 + 3) + 4 = 9 
 
Pois bem, essa é a Propriedade Associativa. 
 
Quando dizemos: 
 
2 + 3 = 5 
 
É o mesmo que dizer: 
 
3 + 2 = 5 
 
Então, essa é a Propriedade Comutativa. 
 
Da mesma maneira, se dissermos: 
 
2 x (3 + 4) = 2 x 7 = 14 
 
É o mesmo que fazer: 
 
2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14 
 
Essa é a Propriedade Distributiva. 
 
Bem, passemos às Operações com Matrizes. 
 
 
- Adição e Subtração de Matrizes 
 
Simbologia: (A + B), (A – B) 
 
Comparativo com as operações “normais”: Sem diferenças. Somar as 
matrizes A + B é igual somar 1 + 1. Ou seja: 
 
(A + B) + C = 
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A + (B + C) 
 
(Obedece à propriedade Associativa) 
 
------ 
 
A + B = B + A 
 
(Obedece à propriedade Comutativa) 
 
Particularidades: Só se pode somar matrizes com a mesma ordem 
 
Exemplos: Simplesmente somamos os elementos respectivos: 
 
 
 
 
 
- Produto de um número por uma Matriz 
 
 
Simbologia: kA 
 
Comparativo com as operações “normais”: Sem diferenças. Multiplicar um 
número k por uma matriz é como multiplicar um número k por outro número. 
 
Ou seja: 
 
k x (p x B) = 
(kp) x B 
 
(Obedece à propriedade Associativa) 
 
------ 
 
k x (A + B) = 
k x A + k x B 
 
(Obedece à propriedade Distributiva, em relação a uma adição) 
 
------ 
 
(k + p) x A = 
k x A + p x A 
 
(Obedece à propriedade Distributiva, em relação a uma adição de números) 
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Particularidades: Não há 
 
Exemplos: Simplesmente multiplicamos:2 x 
 
 
- Produto de Matrizes 
 
Simbologia: A.B 
 
Comparativo com as operações “normais”: Há diferenças em relação a um 
produto “normal”. 
 
Vejamos: 
 
(A . B) . C = 
A . (B . C) 
 
(Obedece à propriedade Associativa) 
 
------ 
 
A . (B + C) = 
A . B + A . C 
 
(Obedece à propriedade Distributiva) 
 
------ 
 
FIQUE ESPERTO!!! 
 
A.B ≠ B.A 
 
(NÃO OBEDECE à propriedade Comutativa) 
 
 
Particularidades: Vamos utilizar duas regras antes de realizar a multiplicação 
propriamente dita. 
 
REGRA DO MEIO: determina se a multiplicação é possível. Para o produto A.B 
existir, os números “do meio” das ordens devem ser IGUAIS. Ex: 
 
Matriz A = ordem 3 x 2 
 
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Matriz B = ordem 2 x 4 
 
 
3 x 2 e 2 x 4 
 IGUAL 
 
Ou seja, A.B = possível. 
 
REGRA DAS PONTAS: determina a ordem da matriz resultante. Ex: 
 
Matriz A = ordem 3 x 2 
 
Matriz B = ordem 2 x 4 
 
3 x 2 e 2 x 4 
 
 3 x 4 = MATRIZ RESULTANTE DA MULTIPLICAÇÃO 
 
Exemplos: 
 
 
 
Primeiramente, aplicamos as regras vistas: 
 
1) REGRA DO MEIO: 2 x 2 e 2 x 2 = multiplicação possível. 
2) REGRA DAS PONTAS: 2 x 2 e 2 x 2 = matriz resultante = 2 x 2. 
 
Feito isso, passamos à multiplicação das matrizes, obedecendo ao seguinte 
esquema: 
 
 
 = 
 
 
 
 
Ou seja, no nosso exemplo, temos: 
 
 
 = 
 
 = 
 
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 = 
 
 = Matriz resultante 
 
 
Existem variações das matrizes que são especiais. Uma delas é a matriz 
transposta, pedida na questão: 
 
Simbologia: At 
 
Definição: A matriz transposta de uma matriz é a mesma matriz só que 
“deitada”. O que é linha passa a ser coluna, e o que é coluna, passa a ser 
linha. 
 
Particularidades: 
 
1) A matriz transposta de uma matriz transposta é a matriz original 
 
(At)t = A 
 
 
2) A matriz transposta de uma soma de matrizes equivale à soma das 
próprias matrizes transpostas 
 
(A + B)t = At + Bt 
 
 
3) (kA)t = k . At 
 
4) (AB)t = Bt . At 
 
5) Se At = A, a matriz A é chamada de matriz simétrica. 
 
Como calcular? 
 
O que é linha passa a ser coluna, o que é coluna passa a ser linha. 
 
 
A = 
 
At = Matriz transposta de A = 
 
 
 
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Passemos à resolução da questão. 
 
Essa questão mistura o conhecimento de produto de matrizes com o de matriz 
transposta. 
 
Primeiramente, basta que façamos a multiplicação proposta. Sem não antes 
aplicar a Regra do Meio e a Regra das Pontas: 
 
 
 
 
Ordem 3 x 2 . Ordem 2 x 4. 
 
Regra do Meio: 2 (ok) 
Regra das Pontas: 3 x 4 
 
A.B = = 
 
 
Agora, precisamos encontrar a transposta de A.B. Basta transformar linha 
em coluna, lembram? 
 
X = (A.B)t = 
 
Agora, basta fazer a divisão proposta, entre x31 (16) e x12 (8). 
 
 
 
 
 
Resposta: Letra A. 
 
Questão 2 – CESGRANRIO/REFAP/Economista/2007 
 
O produto das três matrizes 
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é: 
(A) 8 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
Essa questão fala sobre o produto de matrizes. 
 
Alguém mais “apressado” pode querer começar a resolver o produto logo, 
achando que é a melhor maneira de resolver à questão. 
 
Mas, primeiramente, cabe analisar qual será a ordem da matriz formada. Isso 
porque cada alternativa traz uma matriz de ordem diferente. Para isso, vamos 
aplicar a Regra das Pontas. 
 
Como o produto é de três matrizes, primeiro resolvemos as duas primeiras 
matrizes e depois multiplicar o resultado deste produto pela terceira matriz. 
Então, vamos fazer a Regra das Pontas com as 2 primeiras matrizes: 
 
 
 
 
     
  
0 3
1 2 3 . 1 4
2 5
 
 
 1 x 3 3 x 2 
 
 Matriz resultante = 1 x 2 
 
Essa matriz resultante será multiplicada pela terceira matriz, que é 2 x 2. 
Portanto, teremos a multiplicação de uma matriz 1 x 2 por uma matriz 2 x 2. 
Fazendo a Regra das Pontas novamente: 
 
1 x 2 2 x 2 
 
Matriz resultante = 1 x 2 
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Assim, já sabemos que matriz resultante é 1 x 2. Analisando as alternativas, 
ficamos com as alternativas B e C. 
 
Como não tem jeito, procedemos à multiplicação, primeiramente das duas 
primeiras matrizes: 
 
 
 
     
  
0 3
1 2 3 . 1 4
2 5
 = + + + +  1.0 2.1 3.2 1.3 2.4 3.5 =   8 26 
 
 
Multiplicando a matriz resultante pela terceira matriz: 
 
  8 26 .
 
 
 
3 1
0 0
 = + +  8.3 26.0 8.1 26.0 =   24 8 
 
Portanto, a resposta é a letra B. 
 
Resposta: Letra B. 
 
Questão 3 – CESGRANRIO/BNDES/Economista/2008 
 
 
O produto de matrizes expresso acima é 
(A) igual a [2 - 1]. 
(B) igual a 3. 
(C) igual à matriz identidade. 
(D) comutativo. 
(E) não definido. 
 
 
Quando a questão propõe um produto de matrizes, a primeira coisa que temos 
de fazer é analisar se o produto é possível e, se sim, como fica a matriz 
resultado. E isso fazemos utilizando a Regra do Meio e a Regra das Pontas, que 
já vimos. 
 
Temos o seguinte: 
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Matriz 1 x 2 . Matriz 2 x 3 . Matriz 3 x 2 
 
O primeiro produto é possível, visto que os “meios” são =2. Como resultado, 
teremos uma matriz 1 x 3. Essa matriz fará o produto com a terceira matriz. 
 
Matriz 1 x 3 . Matriz 3 x 2 
 
Esse produto também é possível, pois os “meios” são =3. Como resultado 
final, temos uma matriz 1 x 2. 
 
Agora que já temos alguma informação sobre o produto formado, podemos 
analisar as respostas: 
 
(F) igual a [2 - 1]. Sabemos que a matriz formada é 1 x 2. Ou seja, seus 
elementos podem até ser 2 e -1, mas não sabemos... vamos para a 
próxima alternativa (afinal não sabemos se esta alternativa está errada 
ou certa); 
 
(G) igual a 3. Igual a 3 não pode ser, pois vimos que o resultado é uma 
matriz 1 x 2 (e não uma matriz de ordem 1). Alternativa errada; 
 
(H) igual à matriz identidade. A matriz identidade é qualquer matriz 
quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a um e 
os demais elementos são iguais a zero. Não é o caso do produto que 
encontramos, afinal nossa matriz não é quadrada. Alternativa errada; 
 
(I) comutativo. Mais uma alternativa que sabemos que está errada, pois, 
como vimos, o produto de matrizes nunca é comutativo. Lembram o que 
é comutativo? 
Relembrando: o enunciado propõe o seguinte produto: 
 
 
Tal produto seria comutativo se pudéssemos fazer o seguinte produto e 
chegar no mesmo resultado: 
 
 
Só que isso não é possível. Por isso, temos que o produto de matrizes não é 
comutativo, ou seja, a alternativa está errada. 
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(J) não definido. Como que o produto não é definido? Ele é possível (como 
vimos pela Regra do Meio) e dá origem a uma matriz 1x 2 (como vimos 
pela Regra das Pontas). É definido sim. Alternativa errada. 
 
Percebam que, nessa questão, não foi necessário fazer o produto para chegar 
à alternativa correta. Só analisando as alternativas já era possível encontrar a 
resposta. 
 
Como nosso objetivo é aprender, vou fazer o produto aqui só para 
treinarmos. 
 
Bem, o produto proposto é: 
 
 
 
Começamos com as primeiras duas matrizes: 
 
 
] 
] 
 
Agora fazemos a segunda parte do produto proposto: 
]. = [ = [ 
 
Ou seja, como vimos, a alternativa A é a correta. 
 
Resposta: Letra A. 
 
Questão 4 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Téc. Enfermagem/2011 
 
A Tabela I apresenta as quantidades médias de combustível, em litros, 
vendidas semanalmente em três postos de abastecimento de uma 
mesma rede. O preço praticado em um dos postos é o mesmo 
praticado pelos outros dois. 
Esses preços, por litro, em duas semanas consecutivas, estão 
apresentados na Tabela II. 
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Seja a matriz que apresenta os valores médios arrecadados em 
cada um dos três postos, por semana, com a venda de combustíveis. 
Identificando-se At e Bt como as matrizes transpostas de A e de B, 
respectivamente, a matriz C é definida pela operação 
(A) A . B 
(B) At . Bt 
(C) B . A 
(D) Bt . A 
(E) Bt . At 
 
Achei essa questão bem interessante, pois ela mostra o produto de matrizes 
sendo aplicado na prática. 
 
Ela é grande e parece difícil, mas não é, só requer atenção e os conhecimentos 
que vimos. 
 
Bem, primeiramente, vamos ver o que a questão quer: a matriz C2x3, que 
apresenta os valores médios arrecadados em cada um dos três postos, 
por semana, com a venda de combustíveis. 
 
Não vamos pensar no conteúdo dela. Mas é uma matriz da forma: 
 
 
 
 
 
C2x3 = 
 
 
 
11 12 13
21 22 23
c c c
c c c
 
 
 
Assim, temos uma matriz que possui 2 linhas (uma para cada semana) e 3 
colunas (uma para cada posto). Essa matriz é o resultado do produto de A (ou 
At) por B (ou Bt), ou até mesmo de B (ou Bt) por A (ou At). 
 
Ou seja, há inúmeras possibilidades, e o que a questão quer é saber qual 
delas, exatamente, leva à matriz C acima. 
Linha: SEMANA 
Coluna: 
$ 
POSTO 
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Bem, como não sabemos, vamos começar imaginando que C é o produto entre 
A.B, simplesmente. Se for assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
 . 
 
 
 
  
11 12
21 22
31 32
b b
b b
b b
 
 
 MATRIZ A MATRIZ B 
 3 x 3 3 x 2 
 
 Regra do Meio � Multiplicação OK 
 Regra das Pontas � Matriz Resultante = 3 x 2 
 
A matriz C, pedida no enunciado, é 2 x 3. Então, o produto não pode ser A.B 
simplesmente, porque esse produto gera uma matriz 3 x 2. 
 
Como a matriz que tem número de linhas diferente do número de colunas é a 
matriz B, vamos ver como é o produto de A.Bt. Ver se esse produto resulta 
numa matriz 2 x 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
 . 
 
 
 
11 21 31
12 22 32
b b b
b b b
 
 
 MATRIZ A MATRIZ Bt 
 3 x 3 2 x 3 
 
 Regra do Meio ��� Multiplicação NÃO OK ��� Os números são diferentes 
 
Assim, essa multiplicação não é possível, pela Regra do Meio. No entanto, 
percebam que Bt possui 3 colunas. Se invertemos a ordem entre A e Bt, a 
multiplicação será possível. Vejam: 
 
 
Linha: VOLUME 
COMBUSTÍVEL 
Coluna: 
POSTO 
Coluna: 
SEMANA 
Linha: 
$COMBUSTÍVEL 
Linha: VOLUME 
COMBUSTÍVEL 
Coluna: 
POSTO 
Coluna: 
$COMBUSTÍVEL 
Linha: SEMANA 
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 
 
 
11 21 31
12 22 32
b b b
b b b
 . 
 
 
 
  
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
 
 MATRIZ Bt MATRIZ A 
 2 x 3 3 x 3 
 
 Regra do Meio � Multiplicação OK 
 Regra das Pontas � Matriz Resultante = 2 x 3 
 
Portanto, chegamos a uma matriz 2 x 3, ordem pedida pela questão para a 
matriz C. Essa matriz será o produto de cada preço de combustível vendido por 
semana (as linhas da matriz Bt), pelo volume de combustível vendido em cada 
posto (as colunas da matriz A). 
 
Portanto, C = Bt.A 
 
Resposta: Letra D. 
 
Questão 5 – CESGRANRIO/PETROBRÁS/Economista/2008 
 
Considere as três matrizes abaixo. 
 
 
 
Pode-se afirmar que 
(A) não é possível somar as matrizes B e C. 
(B) a matriz B é simétrica. 
(C) a matriz C é uma matriz identidade. 
(D) a matriz C é a inversa de B. 
(E) o produto de matrizes BA é igual a 
 
 
Essa é uma questão simples, mas que engloba vários aspectos de matrizes. 
 
Passemos diretamente à análise das alternativas: 
Linha: SEMANA 
Coluna: 
$ 
COMBUSTÍVEL 
Coluna: 
POSTO 
Linha: VOLUME 
COMBUSTÍVEL 
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(A) não é possível somar as matrizes B e C. 
 
Como vimos, para a adição e subtração de matrizes, é necessário que as 
matrizes possuam o mesmo número de linhas e de colunas (a mesma ordem). 
As matrizes A e B são 2 x 2. Portanto, as matrizes B e C possuem o mesmo 
número de linhas (2 linhas) e o mesmo número de colunas (2 colunas), sendo 
possível somá-las. Alternativa falsa. 
 
(B) a matriz B é simétrica. 
 
Vimos que uma matriz é simétrica quando a sua transposta é igual à 
matriz original. A transposta da matriz B é a matriz (ao fazer a transposta, 
pense sempre: LINHA VIRA COLUNA. Ajuda a não errar): 
 
 B = 
2 3
2 3
 
 
 
 
 
 
Bt = 
2 2
3 3
 
 
 
 
 
Como Bt é diferente da matriz B, a matriz B não é simétrica. Alternativa falsa. 
 
(C) a matriz C é uma matriz identidade. 
 
A matriz identidade é a matriz em que os elementos da diagonal valem 1 e 
todos os outros valem 0: 
 
I = 
1 0
0 1
 
 
 
 
 
Portanto, a matriz C não é a matriz identidade. Alternativa falsa. 
 
(D) a matriz C é a inversa de B. 
 
Vamos falar sobre a matriz inversa. 
 
Simbologia: A-1 
 
Definição: É a matriz tal que A.A-1 = Matriz Identidade 
 
Ou seja, 
 
A.A-1 = 
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Particularidades: Só existem inversas de matrizes quadradas (n x n) 
 
Como calcular? 
 
Para calcular, não há fórmula mágica, utilizamos a própria lógica da matriz 
inversa. Veja: 
 
A = 
 
. = 
 
a + 2c = 1 
b + 2d = 0 
3a + 4c = 0 
3b + 4d = 1 
 
Utilizamos as equações igualadas a 0 para encontrar os valores nas equações 
igualadas a 1: 
 
3a + 4c = 0 
 
Tem-se que: a = 
 
Colocando na equação:a + 2c = 1 
 
 + 2c = 1 
 
 
 
c = 
 
Com o valor de c, chegamos ao valor de a: 
 
a = 
 
a = = -2 
 
Fazemos o mesmo com as equações que englobam b e d: 
 
b + 2d = 0 
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b = -2d 
 
3b + 4d = 1 
 
3.(-2d) + 4d = 1 
 
-2d = 1 
 
d = 
 
b = -2.( ) = 1 
 
Ou seja, A-1 = 
 
Para essa alternativa estar certa, temos que ter o seguinte resultado: 
 
 
B = 
2 3
2 3
 
 
 
 
 
C = 
0 1
0 1
 
 
 
 
 
I = 
1 0
0 1
 
 
 
 
 
B.C = 
2 3
2 3
 
 
 
. 
0 1
0 1
 
 
 
 = 
2.0 3.0 2.1 3.1
2.0 3.0 2.1 3.1
+ + 
 + + 
= 
0 5
0 5
 
 
 
 
 
Portanto, a matriz C não é a inversa de B, pois ela não resulta na matriz 
identidade. Alternativa falsa. 
 
(E) o produto de matrizes BA é igual a 
 
Bem, como todas as alternativas anteriores estão falsas, já poderíamos marcar 
esta como a correta. Vamos, no entanto, resolver, assim aprendemos a 
multiplicação. 
 
Primeiramente, fazemos a Regra do Meio para ver se a multiplicação é 
possível: 
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B x A 
 
2 x 2 2 x 1 
 
Regra do Meio: 2 = 2 -> Produto possível 
Regra das Pontas: 2 x 1 -> Matriz resultante 
 
Agora procedemos ao produto, já sabendo que a matriz resultante é 2 x 1 
(duas linhas e uma coluna): 
 
BA = 
2 3
2 3
 
 
 
.
1
2
 
 
 
= 
2.1 3.2
2.1 3.2
+ 
 + 
=
8
8
 
 
 
 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra E. 
 
Resposta: Letra E. 
 
Questão 6 – ESAF/SEFAZ SP/AFC/2009 
 
O determinante de uma matriz 3X3 é igual a x. Se multiplicarmos os 
três elementos da 1a linha por 2 e os três elementos da 2a coluna por 
-1, o determinante será: 
 
(A) -x2 
(B) -2x2 
(C) -2x 
(D) x2 
(E) 4x2 
 
Pronto. Chegamos às questões de determinantes, campeãs em prova. 
 
Determinante é um número que “representa” uma matriz. 
 
Quando falamos sobre matrizes, citamos, como exemplo, que um arquivo.pdf é 
um conjunto de dados que estão organizados em matrizes. 
 
Imaginem, então, que um banco enviou a um fiscal um arquivo CONTA.pdf, 
que contém o extrato bancário da conta de um contribuinte. 
 
Pensem no arquivo como uma matriz. Tal matriz terá um determinante. 
 
Ou seja, há um número que “representará” a matriz, e, por consequência, o 
arquivo. 
 
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Agora pensem na situação de o contribuinte, posteriormente, contestar o 
arquivo analisado pelo fiscal, dizendo que o fiscal alterou os dados do extrato 
para prejudicá-lo, que aquele arquivo que o fiscal possui não é o mesmo que 
foi emitido pelo banco, etc. 
 
Como verificar se o arquivo que o fiscal possui é ou não igual ao arquivo 
gerado pelo banco? 
 
Simples. Basta comparar os determinantes dos dois arquivos. Qualquer 
mudança no arquivo original, mesmo que mínima, já vai gerar um 
determinante diferente. 
 
Assim, basta o fiscal apresentar o arquivo que possui. Se for o mesmo arquivo 
gerado pelo banco, os determinantes serão iguais, e o contribuinte perde o 
argumento de que o fiscal alterou o arquivo. 
 
Pessoal, este foi apenas um exemplo explicado grosseiramente. Na 
prática o “determinante”, no caso desses arquivos de computador, é 
chamado de hash. Eu não sou expert em computação, mas a lógica é 
mais ou menos essa. O que quero que vocês percebam é a importância 
do determinante. 
 
Agora chega de papo e vamos estudá-lo. 
 
Primeiramente, que fique claro que só as matrizes quadradas possuem 
determinante. 
 
Nós iremos aprender a calcular o determinante de matrizes de ordem 1, 2, e 3. 
Acima disso acho desnecessário e nunca vi sendo cobrado em concursos (a não 
ser quando a questão é resolvida por meio das propriedades dos 
determinantes, que também veremos). 
 
Outra coisa importante. Vocês repararam que sempre envolvemos as matrizes 
com colchetes [ ]? Pois bem, quando queremos dizer “o determinante da 
matriz x”, ao invés de envolver os números em colchetes, envolvemos em dois 
traços simples | |. Por exemplo: 
 
 = matriz 
 
 = 1 (quando os números estão envolvidos em traços | |, é como se 
viesse inclusa a pergunta “qual é o determinante?”). 
 
Entendido isso, vamos aos fatos! 
 
 
Como calcular o determinante de matrizes de ordem 1, 2 e 3 
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Ordem Como calcular Exemplos 
1 
O determinante é o 
próprio elemento (o 
único!). 
 = 26 
2 
O determinante é o 
produto da diagonal 
principal menos o produto 
da diagonal secundária. 
 
 
 
 
 = 3.3 – 7.9 = 
 
 9 – 63 = -54 
 
3 
O determinante é 
calculado de acordo com a 
seguinte sequência (azul 
= soma; vermelho = 
subtrai): 
 
 
 
Ou seja, temos: 
 
aei + bfg + cdh – gec – 
hfa - idb 
 
 
 
Para não se perder 
nas contas, repita as 
duas últimas colunas 
ao lado da matriz: 
 
 
 
 
12.3.1 + 1.2.4 + 2.1.5 
– 4.3.2 – 5.2.12 – 
1.1.1 = 36 + 8 + 10 – 
24 – 120 – 1 = 54 – 
145 = -91 
 
Os determinantes possuem algumas propriedades muito importantes. 
 
Essas propriedades são muito cobradas em prova. 
 
Mas, ao contrário da maioria dos livros, não veremos propriedade por 
propriedade. Veremos as mudanças possíveis e os casos em que isso acontece. 
Creio que fica muito mais fácil para vocês lembrarem na hora da prova. 
 
Outra coisa: quando eu me refiro à “fila”, estou querendo dizer que vale tanto 
para linha quanto para coluna, ok? 
 
 
O que 
acontece? 
Casos Exemplos 
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Determinante 
se altera 
1 Trocando 
filas de 
lugar... 
...determinante 
muda de sinal 
 
det B = - det A 
A = = -2 
 
B = = 2 
2 Multiplicando 
uma fila por 
k... 
...determinante 
fica 
multiplicado por 
k... 
A = = -2 
 
B = = 2.(-2) 
= -4 
3 Multiplicando 
uma matriz 
de ordem n 
por k... 
...determinante 
fica 
multiplicado por 
kn... 
A = = -2 
 
B = = 22.(-2) 
= 4.(-2) = -8 
 
4 Multiplicando 
uma matriz A 
por outra 
matriz B... 
...determinante 
é o produto dos 
determinantes 
de A e B... 
 
det A.B = det 
A.det B 
A = = -2 
 
B = = -17 
 
det A.B = det A.det 
B = (-2).(-17) = 34 
 
5 Matriz 
Inversa... 
...determinante 
é dado por: 
 
det A-1 = 
A = = -2 
 
A-1 = 
(vimos este cálculo 
mais acima, 
quando estudamos 
matriz inversa) 
 
det A-1 = 
 
Determinante 
não se altera 
1 Quando B = At (a matriz B é a 
matriz transposta de A) 
 
 
A = = -2 
 
B = = -2 
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2 Uma das filas da matriz B 
contiver uma combinação linear 
de outras filas da matriz A 
A = = -2 
 
Multiplicaremos a 
segunda coluna por 
2 e somaremos 
com a coluna 1, 
substituindo na 
coluna 1: 
 
B = == 20 – 22 = 
-2 
 
Determinante 
igual a zero 
1 Fila nula 
A = = 0 
 
2 Filas paralelas iguais ou 
proporcionais A = = 0 
 
B = = 0 
3 Fila que seja combinação linear 
de outras filas paralelas 
 
PS: perceba a diferença entre 
este caso e o caso que vimos 
acima, de quando o 
determinante não se altera. No 
caso anterior, a fila na matriz B 
é combinação linear das filas da 
matriz A. Aqui, há uma 
combinação linear dentro da 
própria matriz. 
A = = 0 
 
[Repare que a 
terceira coluna é 
igual a 4.(coluna 2) 
+ coluna 1] 
 
 
Propriedades dos determinantes são disparadamente cobradas. E é sobre este 
assunto que esta questão trata. 
 
Temos uma matriz 3 x 3 cujo determinante é igual a x. O enunciado propõe: 
 
1) Multiplicar os elementos da primeira linha por 2; 
2) Multiplicar os elementos da segunda coluna por -1. 
 
Vamos recordar o que vimos acima sobre isso? 
 
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O que 
acontece? 
Casos Exemplos 
 
 
 
 
 
 
Determinante 
se altera 
1 Trocando 
filas de 
lugar... 
...determinan
te muda de 
sinal 
 
det B = - det 
A 
A = = -2 
 
B = = 2 
2 Multiplicand
o uma fila 
por k... 
...determinan
te fica 
multiplicado 
por k... 
A = = -2 
 
B = = 2.(-2) = -
4 
3 Multiplicand
o uma 
matriz de 
ordem n 
por k... 
...determinan
te fica 
multiplicado 
por kn... 
A = = -2 
 
B = = 22.(-2) = 
4.(-2) = -8 
 
4 Multiplicand
o uma 
matriz A por 
outra matriz 
B... 
...determinan
te é o 
produto dos 
determinante
s de A e B... 
 
det A.B = det 
A.det B 
A = = -2 
 
B = = -17 
 
det A.B = det A.det B 
= (-2).(-17) = 34 
 
5 Matriz 
Inversa... 
...determinan
te é dado 
por: 
 
det A-1 = 
A = = -2 
 
A-1 = (vimos 
este cálculo mais 
acima, quando 
estudamos matriz 
inversa) 
 
det A-1 = 
 
Pelo caso 2, quando multiplicamos uma fila por k, o determinante também fica 
multiplicado por k. 
 
Nesta questão, segundo o enunciado, isso aconteceu duas vezes. Portanto, 
temos: 
 
det B = k.det A = 2.(-1).x = -2x. 
 
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Resposta: letra C. 
 
Questão 7 – FCC/MPE-RS/Agente Administrativo/2010 
 
Considere as matrizes 
 
Sendo Q o produto das matrizes M e P, nessa ordem, ou seja, Q = MP, 
o determinante da matriz Q é igual a 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
Existem duas maneiras de se resolver esta questão. A primeira é realizando o 
produto proposto M.P e calculando o determinante. Mas, cá entre nós, vocês 
não acham muito melhor calcular o determinante de cada uma das matrizes M 
e P e depois utilizar a propriedade que já estudamos, de quê det A.B = det 
A.det B? 
 
Bem... eu acho essa última maneira mais fácil e é deste jeito que resolverei a 
questão, ok? 
 
 
 
det M = = - 
 
det P = = - 
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det M.P = det M.det P = . ) = 
 
 
Resposta: Letra C. 
 
Questão 8 – FCC/BAHIAGÁS/APO-Engenharia/2010 
 
Considere as matrizes abaixo: 
 
 
 
O valor de x para que det M1 = det M2 é: 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 8. 
(D) 10. 
(E) 12. 
 
Essa questão mistura álgebra e determinantes. Ela insere o valor da incógnita 
x dentro da matriz, e pede o valor desta incógnita que satisfaça a igualdade 
det M1 = det M2. 
 
Acho que já deu para perceber por onde começar, certo? Inicialmente, vamos 
descobrir o valor dos determinantes! 
 
 
det M1 = 3x – 2.9 = 3x – 18 
 
 
 
det M2 = 2.(-2).1 + 2.2.x +3.0.(-1) – (-1).(-2).x – 2.0.2 – 2.3.1 
det M2 = -4 + 4x + 0 – 2x – 0 – 6 = 2x - 10 
 
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Pronto. Temos as equações para det M1 e para det M2. Como o enunciado 
pede o valor de x para que det M1 = det M2, basta igualar as equações: 
 
det M1 = det M2. 
3x –18 = 2x – 10 
3x – 2x = -10 +18 
x = 8 
 
Resposta: letra C. 
 
 
Questão 9 – ESAF/ANA/Analista/2009 
 
O determinante da matriz 
 
 
(A) 0 
(B) 2b – c 
(C) a + b + c 
(D) 6 + a + b + c 
(E) 2bc + c – a 
 
Vamos à resolução: 
 
 
 
det B = 2.b.c + a.(2+b).0 + 1.c.(4+a) – (4+a).b.0 – (2+b).c.2 – a.1.c 
 
det B = 2bc + 4c + ac – 4c – 2bc – ac 
 
det B = 0 
 
Resposta: letra A. 
 
 
Questão 10 – ESAF/RFB/ATA/2009 
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Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da 
segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira 
linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica: 
(A) Multiplicado por -1. 
(B) Multiplicado por -16/81. 
(C) Multiplicado por 2/3. 
(D) Multiplicado por 16/81. 
(E) Multiplicado por -2/3. 
 
Este tipo de questão é nosso velho conhecido. Ele cita uma matriz de ordem 4, 
e pede o que acontece com o determinante quando a matriz é multiplicada e 
dividida por números reais. 
 
Para resolvê-la, utilizamos os conhecimentos das propriedades dos 
determinantes, que já vimos nesta aula e em questões anteriores. Estão vendo 
como essas questões que envolvem propriedades são recorrentes? Tem que 
saber, pessoal... 
 
Vamos lá, começamos supondo que a matriz citada no enunciado (antes das 
operações) seja a matriz A, com det = A. 
 
A questão indica que ocorreram duas operações: 
 
1) Multiplicação dos elementos da segunda linha por 2; 
2) Divisão dos elementos da terceira linha por -3. 
 
 
O que 
acontece? 
Casos Exemplos 
Determinante 
se altera 
2 Multiplicand
o uma fila 
por k... 
...determinan
te fica 
multiplicado 
por k... 
A = = -2 
 
B = = 2.(-2) = -
4 
 
Bem, de acordo com o nosso quadro, quando multiplicamos ou dividimos uma 
fila de matriz por um número k, o determinante também fica multiplicado por 
k. 
 
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Temos, então (supondo que a nova matriz, após as mudanças, seja a matriz 
B). 
 
det B = 2. 1_.det A = - 2_.det A. 
 -3 3 
 
Assim, o determinante da matriz fica multiplicado por –2/3. 
 
Resposta: letra E. 
 
Questão 11 – ESAF/MPOG/EPPGG/2008 
Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A 
matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 
10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: 
(A) 10-6 
(B) 105 
(C) 1010 
(D) 106 
(E) 103 
 
Mais uma questão que utiliza as propriedades. Mas agora, temos a utilização 
de uma propriedade “nova”. Digo “nova” porque, na verdade, ela nada mais é 
do que a propriedade que vimos na questão anterior (de fila de matriz 
multiplicada por k). Tal propriedade é: 
 
 
O que 
acontece? 
Casos Exemplos 
Determinante 
se altera 
3 Multiplicand
o uma 
matriz de 
ordem n 
por k... 
...determinan
te fica 
multiplicado 
por kn... 
A = = -2 
 
B = = 22.(-2) = 
4.(-2) = -8 
 
Assim, de acordo com o enunciado, temos a matriz X, e det X = 10. Temostambém que a matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da 
matriz X por 10. Ou seja, segundo a tabela acima, neste caso, temos que: 
 
det B = k5.det X = 105.10 = 106 
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Resposta: letra D. 
 
Questão 12 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 
 
Com relação ao sistema: 
 
 
onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que: 
(A) é impossível. 
(B) é indeterminado. 
(C) possui determinante igual a 4. 
(D) possui apenas a solução trivial. 
(E) é homogêneo. 
 
Questão de Sistemas Lineares. 
 
Sistemas Lineares são conjuntos de equações e incógnitas. 
 
É importante frisar que o número de incógnitas deve ser igual ao número de 
equações. 
 
Por exemplo, abaixo, temos duas incógnitas (x e y). O sistema linear, para 
resolvê-lo, deve ter duas equações: 
 
ax + by = z1 
cx + dy = z2 
 
Já, se forem três incógnitas, deverá ter três equações: 
 
ax + by + cw = z1 
cx + dy + ew = z2 
fx + gy + hw = z3 
 
Essas equações são também chamadas de Sistemas Lineares. E são 
resolvidas através da Regra de Cramer. 
 
Vou ensinar através de um sistema de duas incógnitas. Mas a lógica vale para 
o sistema de três incógnitas, ok? 
 
Abaixo, temos o sistema: 
 
ax + by = z1 
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cx + dy = z2 
 
Vamos chamar de D (“DEZÃO”) o determinante da matriz formada pelos 
coeficientes de “x” e “y”: 
 
DEZÃO = D = 
a b
c d
 
 
 
Vamos chamar de Dx (“dezinho x”) o determinante da matriz formada pela 
substituição dos “zêzinhos” (z1 e z2) nos coeficientes de x. E vamos chamar de 
Dy (“dezinho y”) o determinante da matriz formada pela substituição dos 
“zêzinhos” nos coeficientes de y: 
 
Dx = 
1
2
z b
z d
 
 
 
 e Dy = 
1
2
a z
c z
 
 
 
Dito isso, temos que um sistema poderá ter uma, de três soluções possíveis: 
 
Sigla Definição Como saber? 
SPD 
 
(SISTEMA 
POSSÍVEL E 
DETERMINADO) 
O sistema possui apenas uma 
solução, que pode ser encontrada. 
DEZÃO ≠ 0 
 
PS: neste caso: 
 
x = e x = 
SPI 
 
(SISTEMA 
POSSÍVEL E 
INDETERMINADO) 
Várias soluções são possíveis para 
resolver o sistema (não apenas 
uma, como no caso SPD). 
DEZÃO = Dx = Dy = 0 
SI 
 
(SISTEMA 
IMPOSSÍVEL) 
O sistema não possui solução. DEZÃO = 0, MAS 
Dx ≠ 0 ou Dy ≠ 0 
 
 
Eu tenho uma super-bronca desta questão... Ela caiu no meu concurso e 
deveria ter sido anulada por possuir duas respostas (conforme o jeito como é 
resolvida). Eu resolvi e cheguei no valor que não está entre as alternativas. 
Quando fui entregar a prova, marquei qualquer letra no gabarito. 
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Resultado: esta foi a única, das 20 questões de Raciocínio Lógico do concurso 
da Receita, que eu não acertei. 
 
É claro que eu não fico chateada por errar uma questão. Mas acho um absurdo 
quando você conhece o conteúdo de uma questão e erra por causa de 
alternativas mal-feitas. Mas enfim... esse é o mundo dos concursos, é assim 
mesmo e não tem jeito... 
 
Essa questão apresenta um sistema linear a ser solucionado, mas uma das 
equações está na forma de fração. Para transformá-lo num sistema 
convencional, basta “multiplicar em cruz”, reorganizando as incógnitas. Vamos 
lá: 
 
multiplicado em cruz, resulta em: 2x – y = 3z + 2�2x – y - 3z = 2 
 
multiplicado em cruz, resulta em: z + 1 = 2x + y�-2x - y + z = -1 
 
 
Ou seja, o sistema fica: 
 
x + y + z = 1 
2x – y - 3z = 2 
-2x - y + z = -1 
 
Para saber se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou 
impossível temos que calcular o determinante da matriz dos coeficientes x, y, 
e z (o nosso DEZÃO). Tal determinante é igual a -4, ou seja, o sistema é 
possível e determinado. 
 
Vamos para as respostas? 
 
a) é impossível. (Falso, pois o sistema é possível e determinado) 
b) é indeterminado. (Falso, pois o sistema é possível e determinado) 
c) possui determinante igual a 4. (Falso (por enquanto, como veremos 
abaixo), pois o determinante é igual a -4) 
d) possui apenas a solução trivial. (Falso. Solução trivial é aquela que 
ocorre quando os termos independentes são iguais a zero, ou seja, a solução 
trivial é x=0, y=0 e z=0. Mas neste sistema os termos independentes são 
diferentes de zero! Ou seja, não admite a solução trivial) 
e) é homogêneo. (Falso. Sistema homogêneo é aquele em que os termos 
independentes são iguais a zero, dando origem a um sistema possível que 
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admite apenas a solução trivial que vimos acima. Novamente, não é o caso do 
nosso sistema!) 
 
E agora? Nenhuma das respostas está certa! Mas... o gabarito veio letra “c”. 
 
Vejam só, nessa questão, aconteceu o seguinte: dependendo da maneira como 
você “multiplicava em cruz” (reorganizava as frações do sistema), o 
determinante da matriz dos coeficientes resultava em 4 ou –4. 
 
Vejam só a resolução desse jeito: 
 
multiplicado em cruz, resulta em: 2x – y = 3z + 2 -> : 2x – y - 3z 
= 2 
 
multiplicado em cruz, resulta em: z + 1 = 2x + y -> 2x + y - z = 1 
 
 
Desta forma, o sistema fica: 
 
x + y + z = 1 
2x – y - 3z = 2 
2x + y - z = 1 
 
Resolvendo o determinante da matriz dos coeficientes... Encontramos o 4. 
 
Ou seja, dependendo da maneira como o sujeito resolveu o sistema na hora da 
prova, ele encontrou 4 ou -4. Mas, para a ESAF, isso não importou, recurso 
não adiantou, e a questão foi mantida com este gabarito. 
 
Moral da história: saibam que, em questões de sistema, “a ordem dos tratores 
altera o viaduto” rs... Isso porque uma das propriedades dos determinantes é 
que, multiplicando uma das linhas por -1, o determinante também fica 
multiplicado por -1. Reparem que, dependendo da forma como o sistema é 
resolvido, podemos ter uma das linhas com sinal trocado... causando a troca 
de sinal no determinante também. É claro que a banca também errou e 
deveria ter anulado a questão, pois o enunciado dizia: “...pode-se, com 
certeza, afirmar que...”. E não se pode afirmar com certeza que o 
determinante é igual a 4, como vimos acima. 
 
Resposta: letra C. 
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2. Memorex 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
Operação Comparativo com 
as operações 
“normais” 
Particularidades Exemplos 
Adição de 
Matrizes 
 
(A + B) 
Sem diferenças. 
Somar as matrizes 
A + B é igual 
somar 1 + 1. Ou 
seja: 
 
(A + B) + C = 
A + (B + C) 
 
(Obedece à 
propriedade 
Associativa) 
 
------ 
 
A + B = B + A 
 
(Obedece à 
propriedade 
Comutativa) 
- Só se pode 
somar matrizes 
com a mesma 
ordem 
 
Simplesmente somamos 
os elementos 
respectivos: 
 + 
 
 
 
 
Produto 
de um 
número 
por uma 
matriz 
 
k.A 
Sem diferenças. 
Multiplicar um 
número k por uma 
matriz é como 
multiplicar um 
número k por outro 
número. Ou seja: 
 
k x (p x B) = 
(kp) x B 
 
(Obedece à 
propriedade 
Associativa) 
 
------ 
 
k x (A + B) = 
k x A + k x B 
 
(Obedece à 
propriedade 
Distributiva, em 
relação a uma 
Não há 
 
Simplesmente 
multiplicamos: 
 
 
 
 
2 xAFC – CGU – RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO 
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adição) 
 
------ 
 
(k + p) x A = 
k x A + p x A 
 
(Obedece à 
propriedade 
Distributiva, em 
relação a uma 
adição de 
números) 
Produto 
duas 
matrizes 
 
A.B 
Há diferenças em 
relação a um 
produto “normal”. 
 
Vejamos: 
 
(A . B) . C = 
A . (B . C) 
 
(Obedece à 
propriedade 
Associativa) 
 
------ 
 
A . (B + C) = 
A . B + A . C 
 
(Obedece à 
propriedade 
Distributiva) 
 
------ 
FIQUE 
ESPERTO!!! 
 
A.B ≠ B.A 
 
(NÃO OBEDECE à 
propriedade 
Comutativa) 
 
1) REGRA DO 
MEIO: determina 
se a multiplicação 
é possível. 
 
Matriz A = ordem 
3 x 2 
 
Matriz B = ordem 
2 x 4 
 
3 x 2 e 2 x 4 
 
IGUAL 
 
Ou seja, A.B = 
possível. 
 
2) REGRA DAS 
PONTAS: 
determina a 
ordem da matriz 
resultante. Ex: 
 
Matriz A = ordem 
3 x 2 
 
Matriz B = ordem 
2 x 4 
 
3 x 2 e 2 x 4 
 
3 x 4 
 
MATRIZ 
RESULTANTE 
 
 
 
 
 
Primeiramente, aplicamos 
as regras vistas: 
 
3) REGRA DO MEIO: 2 
x 2 e 2 x 2 = 
multiplicação 
possível. 
4) REGRA DAS 
PONTAS: 2 x 2 e 2 
x 2 = matriz 
resultante = 2 x 2. 
 
Feito isso, passamos à 
multiplicação das 
matrizes, obedecendo ao 
seguinte esquema: 
 
 
 = 
 
 
 
 = Matriz 
resultante 
 
 
 
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MATRIZES ESPECIAIS 
Variação Definição Particularidades Como calcular? 
Matriz 
Transposta 
 
At 
A matriz 
transposta de 
uma matriz é 
a mesma 
matriz só que 
“deitada”. O 
que é linha 
passa a ser 
coluna, e o 
que é coluna, 
passa a ser 
linha. 
 
1) A matriz 
transposta de uma 
matriz transposta 
é a matriz original 
 
(At)t = A 
 
2) A matriz 
transposta de uma 
soma de matrizes 
equivale à soma 
das próprias 
matrizes 
transpostas 
 
(A + B)t = At + Bt 
 
3) (kA)t = k . At 
 
4) (AB)t = Bt . At 
 
5) Se At = A, a matriz 
A é chamada de 
matriz simétrica. 
 
O que é linha passa a 
ser coluna, o que é 
coluna passa a ser 
linha. 
 
 
A = 
 
At = Matriz transposta 
de A = 
 
 
 
Matriz 
Inversa 
 
A-1 
É a matriz tal 
que A.A-1 = 
Matriz 
Identidade 
 
Ou seja, 
 
A.A-1 = 
1) Só existem 
inversas de 
matrizes quadradas 
(n x n) 
 
 
 
Para calcular, não há 
fórmula mágica, 
utilizamos a própria 
lógica da matriz 
inversa. Veja: 
 
A = 
 
. = 
 
a + 2c = 1 
b + 2d = 0 
3a + 4c = 0 
3b + 4d = 1 
 
Utilizamos as 
equações igualadas a 
0 para encontrar os 
valores nas equações 
igualadas a 1. 
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A-1 = 
 
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3. Lista das questões abordadas em aula 
 
 
Questão 1 – ESAF/MPU/Téc. Adm./2004 
 
Sejam as matrizes 
 
 
 
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t, isto é, a 
matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a 
razão entre x31 e x12 é igual a: 
 
(F) 2. 
(G) 1/2. 
(H) 3. 
(I) 1/3. 
(J) 1. 
 
 
Questão 2 – CESGRANRIO/REFAP/Economista/2007 
 
O produto das três matrizes 
 
é: 
(F) 8 
(G) 
(H) 
(I) 
(J) 
 
 
Questão 3 – CESGRANRIO/BNDES/Economista/2008 
 
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O produto de matrizes expresso acima é 
(K) igual a [2 - 1]. 
(L) igual a 3. 
(M) igual à matriz identidade. 
(N) comutativo. 
(O) não definido. 
 
Questão 4 – CESGRANRIO/TRANSPETRO/Téc. Enfermagem/2011 
 
A Tabela I apresenta as quantidades médias de combustível, em litros, 
vendidas semanalmente em três postos de abastecimento de uma 
mesma rede. O preço praticado em um dos postos é o mesmo 
praticado pelos outros dois. 
Esses preços, por litro, em duas semanas consecutivas, estão 
apresentados na Tabela II. 
 
Seja a matriz que apresenta os valores médios arrecadados em 
cada um dos três postos, por semana, com a venda de combustíveis. 
Identificando-se At e Bt como as matrizes transpostas de A e de B, 
respectivamente, a matriz C é definida pela operação 
(A) A . B 
(B) At . Bt 
(C) B . A 
(D) Bt . A 
(E) Bt . At 
 
Questão 5 – CESGRANRIO/PETROBRÁS/Economista/2008 
 
Considere as três matrizes abaixo. 
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Pode-se afirmar que 
(A) não é possível somar as matrizes B e C. 
(B) a matriz B é simétrica. 
(C) a matriz C é uma matriz identidade. 
(D) a matriz C é a inversa de B. 
(E) o produto de matrizes BA é igual a 
 
 
Questão 6 – ESAF/SEFAZ SP/AFC/2009 
 
O determinante de uma matriz 3X3 é igual a x. Se multiplicarmos os 
três elementos da 1a linha por 2 e os três elementos da 2a coluna por 
-1, o determinante será: 
 
(F) -x2 
(G) -2x2 
(H) -2x 
(I) x2 
(J) 4x2 
 
Questão 7 – FCC/MPE-RS/Agente Administrativo/2010 
 
Considere as matrizes 
 
Sendo Q o produto das matrizes M e P, nessa ordem, ou seja, Q = MP, 
o determinante da matriz Q é igual a 
 
(A) 
(B) 
(C) 
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(D) 
(E) 
 
Questão 8 – FCC/BAHIAGÁS/APO-Engenharia/2010 
 
Considere as matrizes abaixo: 
 
 
 
O valor de x para que det M1 = det M2 é: 
(F) 2. 
(G) 4. 
(H) 8. 
(I) 10. 
(J) 12. 
 
Questão 9 – ESAF/ANA/Analista/2009 
 
O determinante da matriz 
 
 
(F) 0 
(G) 2b – c 
(H) a + b + c 
(I) 6 + a + b + c 
(J) 2bc + c - a 
 
 
Questão 10 – ESAF/RFB/ATA/2009 
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Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da 
segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira 
linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica: 
(F) Multiplicado por -1. 
(G) Multiplicado por -16/81. 
(H) Multiplicado por 2/3. 
(I) Multiplicado por 16/81. 
(J) Multiplicado por -2/3. 
 
Questão 11 – ESAF/MPOG/EPPGG/2008 
Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A 
matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 
10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: 
(F) 10-6 
(G) 105 
(H) 1010 
(I) 106 
(J) 103 
 
Questão 12 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 
 
Com relação ao sistema: 
 
 
onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que: 
(F) é impossível. 
(G) é indeterminado. 
(H) possui determinante igual a 4. 
(I) possui apenas a solução trivial. 
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(J) é homogêneo. 
 
 
 
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4. Gabarito 
 
1 – A 
2 – B 
3 – A 
4 – D 
5 – E 
6 – C 
7 – C 
8 – C 
9 – ANULADA 
10 – E 
11 – D 
12 – C