DesenhoGeo_v2

Prévia do material em texto

PROBLEMAS SELECIONADOS
DE DESENHO GEOME´TRICO
Parte I [1]
versa˜o 2
Sergio Lima Netto
sergio�n@�ps.ufrj.br
agosto de 2007
Pro´logo
Meu interesse na arte do Desenho Geome´trico e´ essencialmente por razo˜es
histo´ricas, ja´ que considero este campo uma das principais origens do pen-
samento humano, englobando tanto os aspectos cient´ıficos como os filoso´ficos.
Recentemente, resolvi re-estudar este tema, sobre o qual, ao longo dos anos, te-
nho acumulado uma mini-biblioteca [1]–[10]. Baseei meus estudos em [1], pelo
seu conteu´do relativamente amplo, bem organizado e de forma suficientemente
enxuta para o meu n´ıvel de interesse.
De fato, motivo todos a lerem a refereˆncia [1], que inclui um desenvolvi-
mento teo´rico para cada cap´ıtulo acompanhado da soluc¸a˜o de alguns exemplos
de construc¸a˜o. Em seguida, o leitor deve procurar resolver os problemas apre-
sentados no livro-texto. Em diversos casos, existe um encadeamento de pro-
blemas, onde a soluc¸a˜o de um e´ auxiliada pela soluc¸a˜o encontrada para outro
problema. Desta forma, com a experieˆncia acumulada, e´ poss´ıvel formar um
conjunto de estrate´gias que possibilitam a soluc¸a˜o de uma gama cada vez mais
ampla de problemas.
O presente material conte´m minhas (a menos de quando indicado o contra´rio)
soluc¸o˜es dos problemas de [1]. Certamente, estas soluc¸o˜es na˜o sa˜o necessari-
amento as melhores, e em alguns casos posso adiantar que esta˜o longe disto,
devido a` minha tendeˆncia natural de “algebrizar” problemas geome´tricos. Pro-
curei acompanhar cada soluc¸a˜o de uma breve ana´lise do problema e de uma
figura adequada, onde usei a seguinte legenda de cores:
• preto: dados do problema;
• verde: contruc¸o˜es auxiliares ba´sicas;
• vermelho: elemento-chave para minha soluc¸a˜o;
• azul: elemento desejado pelo problema.
No caso, a notac¸a˜o C(O, r) indica o trac¸ado de um c´ırculo de centro O e raio
r.
Agradec¸o muit´ıssimo ao Prof. E. Wagner por ter autorizado a divulgac¸a˜o
deste material, e, desde ja´, agradec¸o qualquer cr´ıtica construtiva, incluindo
correc¸o˜es, soluc¸o˜es alternativas ou mesmo comenta´rios gerais.
Sergio L. Netto (sergio�n@�ps.ufrj.br)
1 Problemas do Cap´ıtulo 1
1.1: Construir um quadrado conhecendo sua diagonal.
Construc¸a˜o: (i) Trace a mediatriz M da diagonal AC, determinando o ponto
me´dio O; (ii) Trace C1 ≡ C(O,AO), cujas intersec¸o˜es com M sa˜o os dois outros
ve´rtices B e D do quadrado.
A C
B
D
O
C1
M
A′
B′
A
O
B
CD
O′
C1
C2
Exerc´ıcio 1.1 Exerc´ıcio 1.2
1.2: Construir um quadrado dados em posic¸a˜o os pontos me´dios de
dois lados adjacentes.
Construc¸a˜o: (i) Trace a mediatriz do segmento A′B′ dado, determinando o
ponto me´dio O′; (ii) Trace C1 ≡ C(O′, A′O′), determinando sobre a mediatriz o
ve´rtice A e o centro O do quadrado; (iii) Trace C2 ≡ C(O,AO), determinando
sobre a mediatriz o ve´rtice C oposto a A; (iv) Os outros dois ve´rtices B e D
sa˜o as intersec¸o˜es de AA′ e AB′, respectivamente, com C2.
1.3: Construir o c´ırculo circunscrito a um triaˆngulo.
Construc¸a˜o: (i) Trace as mediatrizes de dois lados quaisquer do triaˆngulo,
cuja intersec¸a˜o e´ o circuncentro O; (ii) O c´ırculo circunscrito e´ C(O,OV ), onde
V e´ um ve´rtice qualquer do triaˆngulo.
1.4: Construir o c´ırculo inscrito em um triaˆngulo.
Construc¸a˜o: (i) Trace as bissetrizes de dois aˆngulos quaisquer do triaˆngulo,
determinando o incentro I; (ii) Trace a altura hI de I relativa a qualquer lado
do triaˆngulo; (iii) O c´ırculo inscrito e´ C(I, hI).
O
V
I
hI
Exerc´ıcio 1.3 Exerc´ıcio 1.4
1.5: Construir um trape´zio conhecendo as bases a e b e os outros dois
lados c e d.
Ana´lise: Da figura-soluc¸a˜o, trac¸ando uma paralela a AD por C, determina-se
C ′ sobre AB, tal que AC ′ = CD = b. O ve´rtice C dista d de B e dista c
de C ′, o que permite a sua determinac¸a˜o. O ve´rtice D pode ser determinado
similarmente.
Construc¸a˜o: (i) Marque sobre AB = a os pontos C ′, tal que AC ′ = b, e D′, tal
que BD′ = b, com C ′ e D′ entre A e B; (ii) Trace C1 ≡ C(B, d) e C2 ≡ C(C ′, c),
cuja intersec¸a˜o e´ o ve´rtice C; (iii) Trace C3 ≡ C(D′, d) e C4 ≡ C(A, c), cuja
intersec¸a˜o e´ o ve´rtice D.
b
a
c
d
C1
C2
C3
C4
A B
CD
C ′D′
b
c
d
c
a
Exerc´ıcio 1.5
2
1.6: Construir um hexa´gono regular, dado em posic¸a˜o um lado.
Construc¸a˜o: (i) Construa um triaˆngulo equila´tero com o lado dado, deter-
minando o centro O do hexa´gono; (ii) Trace C1 ≡ C(O,OV ), onde V e´ um
extremo qualquer do lado dado; (iii) Marque sobre C1 os demais ve´rtices do
hexa´gono, usando o comprimento do lado dado.
O
V
C1
A B
C
D
E
Exerc´ıcio 1.6 Exerc´ıcio 1.7
Ex 1.7: Construir uma perpendicular ao segmento AB pelo ponto A,
estando este ponto muito pro´ximo do bordo do papel.
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo equila´tero ΔABC; (ii) Trace a bissetriz
de CAˆB, e marque um ponto D qualquer sobre esta bissetriz; (iii) Construa o
triaˆngulo equila´tero ΔADE, onde a reta suporte do lado AE e´ a perpendicular
desejada.
1.8: Dados em posic¸a˜o um c´ırculo C e uma reta r, construir um
c´ırculo de raio dado tangente a r e tangente exteriormente a C.
Ana´lise: Sejam O e O1 os centros dos c´ırculos C dado e C1 desejado, de raios
R e R1, respectivamente. Como C1 e´ tangente a r, enta˜o O1 dista R1 de r.
Ale´m disto, como C1 e´ tangente exteriormente a C, enta˜o O1 dista (R + R1)
de O.
Construc¸a˜o: (i) Trace uma reta p paralela a r distando R1 de r; (ii) Trace
C2 ≡ C(O,R + R1), cuja intersec¸a˜o com p e´ o centro O1 de C1.
3
r
C
O
O1
R1
p
C2
C1
R1
Exerc´ıcio 1.8
1.9: Sa˜o dados em posic¸a˜o as retas r e s e o c´ırculo C. Determinar os
pontos de C que sa˜o equidistantes de r e s. Qual o nu´mero ma´ximo
de soluc¸o˜es?
Ana´lise: Vamos assumir que r e s sa˜o distintas. Se r e s sa˜o paralelas, o lugar
geome´trico dos pontos equidistantes a estas retas e´ uma reta paralela a elas no
meio de r e s. Neste caso, o nu´mero ma´ximo de intersec¸o˜es com C e´ dois. Se r
e s se interceptam em P , o lugar geome´trico dos pontos equidistantes a estas
retas sa˜o as bissetrizes dos aˆngulos com ve´rtice em P . Neste caso, o nu´mero
ma´ximo de intersec¸o˜es com C e´ quatro, que ocorre quando P e´ interno a C.
Construc¸a˜o: (i) Se r e s sa˜o paralelas, trace a reta paralela a r e s equidistante
a estas retas; (ii) Se r e s se interceptam em P , trace as bissetrizes dos aˆngulos
com ve´rtice em P .
C C
P
r
s
r
s
Exerc´ıcio 1.9
4
1.10: Sa˜o dados em posic¸a˜o um c´ırculo C e uma reta r. Determinar
um ponto P sobre r de forma que as tangentes trac¸adas de P ao
c´ırculo C formem um aˆngulo α, dado.
Ana´lise: Sejam O e R o centro e o raio de C, respectivamente. Da figura-
soluc¸a˜o, OP = Rsen α
2
, que e´ constante.
Construc¸a˜o: (i) Trace a bissetriz do aˆngulo α; (ii) Trace uma paralela a um
lado do aˆngulo α, a uma distaˆncia R deste lado, determinando com a bissetriz
de α um triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa h = Rsen α
2
; (iii) Trace C1 ≡ C(O,h),
cuja intersec¸a˜o com r e´ o ponto P desejado.
r
O
R
α
2
P
C1
C
Rα h
Exerc´ıcio 1.10
1.11: Construir as tangentes comuns a dois c´ırculos dados em posic¸a˜o.
Ana´lise: Sejam O1 e O2 os centros dos c´ırculos C1 e C2 dados de raios R1
e R2, respectivamente. Assuma, sem perda de generalidade, que R1 < R2.
Da figura-soluc¸a˜o, a tangente externa intercepta a reta suporte de O1O2 no
ponto P , externo ao segmento O1O2 e tal que PO1R1 =
PO2
R2
= (O1O2+PO1)R2 , ou
seja PO1 = O1O2.R1(R2−R1) . Ja´ a tangente interna intercepta a reta O1O2 no ponto
P ′, interno ao segmento O1O2 e tal que P
′O1
R1
= P
′O2
R2
= (O1O2−P
′O1)
R2
, ou seja
P ′O1 = O1O2.R1(R2+R1) . Determinando P e P
′, o problema se transforma no trac¸ado
de tangente a partir de umponto dado.
5
Construc¸a˜o: (i) Trace a reta O1O2 e as perpendiculares p1 e p2 a esta reta
por O1 e O2, respectivamente, e marque sobre p1 a distaˆncia R1 e sobre p2 a
distaˆncia R2. Para a tangente externa, marque as distaˆncias no mesmo lado
de O1O2, e para a tangente interna marque as distaˆncias em lados opostos
de O1O2; (ii) Una os pontos obtidos no item anterior, determinando P ou P ′
sobre a reta suporte de O1O2; (iii) Determine os pontos O3 me´dio de PO2 e
O4 me´dio de P ′O2; (iv) Trace C3 ≡ C(O3, PO3), cujas intersec¸o˜es com C2 sa˜o
os pontos de tangeˆncia por P , e C4 ≡ C(O4, P ′O4), cujas intersec¸o˜es com C2
sa˜o os pontos de tangeˆncia por P ′.
P R1
O1 O2
R2
C1
C2
C3
O3
Exerc´ıcio 1.11(a)
R1 P ′
O1
O2
R2
C1
C2
C4
O4
Exerc´ıcio 1.11(b)
6
1.12: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o lado a e os aˆngulos Bˆ
e Cˆ.
Construc¸a˜o: (i) Trace o lado BC = a, e marque sobre as extremidades os
respectivos aˆngulos dados, cuja intersec¸a˜o e´ o ve´rtice A.
A
B Ca
Bˆ
Cˆ
a
Cˆ
Bˆ
Exerc´ıcio 1.12
1.13: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo os lados a e b e a altura
ha.
Construc¸a˜o: (i) Trace o lado BC = a e uma paralela p distando ha deste
lado; (ii) Trace C1 ≡ C(C, b), cuja intersec¸a˜o com p e´ o ve´rtice A.
B C
A
aa
b
ha
b ha
C1
p
Exerc´ıcio 1.13
1.14: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo os lados b e c e a altura
ha.
Construc¸a˜o: (i) Trace a reta r suporte do lado BC e marque o ve´rtice A
a uma distaˆncia ha de r; (ii) Trace C1 ≡ C(A, b), cuja intersec¸a˜o com r e´ o
ve´rtice C; (iii) Trace C2 ≡ C(A, c), cuja intersec¸a˜o com r e´ o ve´rtice B.
7
sln: Pode haver dois triaˆngulos distintos.
bc
C1
ha
B CC2 B
A
r
c
ha
b
c
Exerc´ıcio 1.14
1.15: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo os lados b e c e a medi-
ana ma.
Ana´lise: Sejam Am e Bm os pontos me´dios de BC e AC, respectivamente.
Da figura-soluc¸a˜o, Am dista ma de A e, pelo conceito de base me´dia, c2 de Bm.
Construc¸a˜o: (i) Trace o lado AC = b e determine o seu ponto me´dio Bm;
(ii) Trace C1 ≡ C(A,ma); (iii) Trace C2 ≡ C(Bm, c2), cuja intersec¸a˜o com
C1 e´ o ponto Am me´dio de BC; (iv) Prolongue CAm e marque B tal que
BAm = AmC, com Am entre B e C.
B C
A
b
C1
c
ma
b
C2
Am
c
2
Bm
Exerc´ıcio 1.15
8
1.16: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o lado a, o aˆngulo Aˆ e
a mediana ma.
Construc¸a˜o: (i) Trace BC = a e determine o seu ponto me´dio Am; (ii) Trace
o arco-capaz C1 do aˆngulo Aˆ relativo a` corda BC; (iii) Trace C2 ≡ C(Am,ma),
cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o ve´rtice A.
B C
A C1
C2
a
ma
Aˆ
Aˆ
ma
Ama
Exerc´ıcio 1.16
1.17: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo os lados a e b e o aˆngulo
Aˆ.
Construc¸a˜o: (i) Trace BC = a e o arco-capaz C1 do aˆngulo Aˆ relativo a`
corda BC; (ii) Trace C2 ≡ C(C, b), cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o ve´rtice A.
B C
A C1
C2
Aˆ
Aˆa
b
a
b
Exerc´ıcio 1.17
9
1.18: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o lado a, o aˆngulo Aˆ e
a mediana mb.
Ana´lise: Sejam Am e Bm os pontos me´dios de BC e AC, respectivamente.
Da figura-soluc¸a˜o, Bm dista mb de B e pelo conceito de base me´dia, ainda
AmBˆmC = BAˆC = Aˆ.
Construc¸a˜o: (i) Trace BC = a e determine o seu ponto me´dio Am; (ii) Trace
o arco-capaz C1 do aˆngulo Aˆ relativo a` corda AmC; (iii) Trace C2 ≡ C(B,mb),
cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o ponto Bm; (iv) Prolongue CBm e marque A tal que
ABm = BmC, com Bm entre A e C.
B C
A
C1
C2
a
Aˆ
mb
Am
a
2
mb
Aˆ
Bm
Exerc´ıcio 1.18
10
1.19: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o lado a e as medianas
mb e mc.
Ana´lise: As distaˆncias do baricentro G do triaˆngulo ΔABC para os ve´rtices
B e C sa˜o respectivamente iguais a 2mb3 e
2mc
3 . Determinando G, obte´m-se
o ve´rtice A fazendo AG = 2AmG, com G entre A e Am, onde Am e´ o ponto
me´dio de BC.
Construc¸a˜o: (i) Trace BC = a e determine o seu ponto me´dio Am; (ii)
Trace C1 ≡ C(B, 2mb3 ); (iii) Trace C2 ≡ C(C, 2mc3 ), cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o
baricentro G; (iv) Prolongue AmG e marque A tal que AG = 2AmG, com G
entre A e Am.
B C
A
C1
C2
a Am
mc
mb
G2mb
3
2mc
3
a
Exerc´ıcio 1.19
1.20: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o lado a e as alturas hb
e hc.
Ana´lise: Sejam Bh e Ch os pe´s das alturas hb e hc, respectivamente. Da
figura-soluc¸a˜o, Bh e Ch sa˜o ve´rtices de dois triaˆngulos retaˆngulos de mesma
hipotenusa BC = a e catetos distintos hb e hc, respectivamente.
Construc¸a˜o: (i) Trace BC = a e, para auxiliar nos pro´ximos passos, deter-
mine o seu ponto me´dio Am; (ii) Determine o triaˆngulo retaˆngulo ΔBCBh de
hipotenusa BC = a e cateto BBh = hb; (iii) Determine o triaˆngulo retaˆngulo
ΔCBCh de hipotenusa BC = a e cateto CCh = hc; (iv) Prolongue BCh e
CBh, cuja intersec¸a˜o e´ o ve´rtice A.
11
B C
A
a Am
hc
hb
Bh
Chhb
a
hc
Exerc´ıcio 1.20
1.21: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo a mediana ma e as
alturas ha e hb.
Ana´lise: Sejam Ah e Am os pe´s da altura e da mediana, respectivamente,
relativas ao ve´rtice A. Da figura-soluc¸a˜o, o triaˆngulo ΔAAhAm e´ retaˆngulo em
Ah. Ale´m disto, do conceito de base me´dia, Am dista hb2 do lado AC.
Construc¸a˜o: (i) Determine o triaˆngulo retaˆngulo ΔAAhAm de hipotenusa
AAm = ma e cateto AAh = ha, determinando a reta suporte r do lado BC;
(ii) Trace C1 ≡ C(Am, hb2 ); (iii) Trace a tangente t a C1 por A e prolongue t,
cuja intersec¸a˜o com r e´ o ve´rtice C; (iv) Trace C2 ≡ C(Am, AmC), cuja outra
intersec¸a˜o com r e´ o ve´rtice B.
B C
A
Ah
ha
ha
ma Am
ma
hb
hb
2
C1
C2
r
t
Exerc´ıcio 1.21
12
1.22: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo a mediana ma e as
alturas hb e hc.
Ana´lise: Seja Am o ponto me´dio do lado BC. Como no Exerc´ıcio 1.21, pelo
conceito de base me´dia, Am dista hb2 e
hc
2 dos lados AC e AB, respectivamente.
Construc¸a˜o: (i) Fixe a mediana AAm = ma e trace C1 ≡ C(Am, hb2 ) e C2 ≡
C(Am, hc2 ); (ii) Trace por A as tangentes t1 e t2 a C1 e C2, respectivamente;
(iii) Trace a paralela p1 a t1 a uma distaˆncia hb, cuja intersec¸a˜o com t2 e´ o
ve´rtice B. Note que p1 tambe´m e´ tangente a C1; (iv) Trace a paralela p2 a t2
a uma distaˆncia hc, cuja intersec¸a˜o com t1 e´ o ve´rtice C. Note que p2 tambe´m
e´ tangente a C2.
B C
A
Am
ma
hb
2
hc
2
t1t2
p1 p2
C1
C2
hc
hb
ma
Exerc´ıcio 1.22
1.23: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o lado a, a soma s = b+c
dos outros dois lados e a altura hb.
Ana´lise: Seja Bh o pe´ da altura de B. O triaˆngulo ΔBCBh e´ retaˆngulo em Bh
com BhCˆB = Cˆ. Prolongando CBh, com CB′ = s, para que AB′ = AB = c,
enta˜o A deve pertencer a` mediatriz de BB′.
Construc¸a˜o: (i) Determine o triaˆngulo retaˆngulo ΔBCBh com hipotenusa
BC = a e cateto BBh = hb; (ii) Prolongue CBh definindo B′ tal que CB′ = s,
com Bh entre C e B′; (iii) Trace a mediatriz de BB′, cuja intersec¸a˜o com CB′
e´ o ve´rtice A.
13
hb
s
a
CB
A
hb
s
a
B′
Bh
Exerc´ıcio 1.23
1.24: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o lado a, o aˆngulo Aˆ e
a soma s = b + c dos outros dois lados.
Ana´lise 1 (Alge´brica): Da Lei dos Senos,
a
sen Aˆ
=
b
sen Bˆ
=
c
sen Cˆ
⇒ sen Bˆ + sen Cˆ = (b + c) sen Aˆ
a
Usando o fato de que Cˆ = [180o − (Aˆ + Bˆ)], enta˜o
sen Bˆ + sen Cˆ = 2 sen
(
Aˆ
2
+ Bˆ
)
cos
Aˆ
2
Logo, tem-se que
sen
(
Aˆ
2
+ Bˆ
)
=
s sen Aˆ
2a cos Aˆ2
de onde determina-se o aˆngulo Bˆ.
Ana´lise 2 (Alge´brica): Da Lei dos Cossenos,
a2 = b2 + c2 − 2bc cos Aˆ = (b + c)2 − 2bc(1 + cos Aˆ)
Com isto, o triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa s e cateto a tem outro cateto
x =
√
2bc(1 + cos Aˆ) = 2
√
bc cos
Aˆ
2
Logo, tendo bc (da expressa˜oacima) e (b + c) (do enunciado), podemos deter-
minar b e c.
Ana´lise 3: Na figura-soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 1.23, e´ poss´ıvel e simples observar
que BBˆ′C = Aˆ2 . Ale´m disto, como no Exerc´ıcio 1.23, A deve pertencer a`
mediatriz de BB′.
14
Construc¸a˜o: (i) Trace BC = a e o arco-capaz C1 do aˆngulo Aˆ2 relativo a`
corda BC; (ii) Trace C2 ≡ C(C, s), cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o ponto auxiliar
B′; (iii) Trace a mediatriz de BB′, cuja intersec¸a˜o com CB′ e´ o ve´rtice A.
a
s
Aˆ
B C
A
s
a
B′
Aˆ
2
C1
C2
Aˆ
2
Exerc´ıcio 1.24
1.25: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o lado a, o aˆngulo Aˆ e
a diferenc¸a d = b− c dos outros dois lados.
Ana´lise: Da figura-soluc¸a˜o, similar a` do Exerc´ıcio 1.24, se B′ e´ o ponto tal que
CB′ = d, enta˜o o triaˆngulo ΔABB′ e´ iso´sceles e BBˆ′C =
(
90o + Aˆ2
)
. Ale´m
disto, A deve pertencer a` mediatriz de BB′.
Construc¸a˜o: (i) Trace BC = a e o arco-capaz C1 do aˆngulo
(
90o + Aˆ2
)
re-
lativo a` corda BC; (ii) Trace C2 ≡ C(C, d), cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o ponto
auxiliar B′; (iii) Trace a mediatriz de BB′, cuja intersec¸a˜o com o prolonga-
mento de CB′ e´ o ve´rtice A.
15
B C
A
a
B′
Aˆ
2
C1
C2
a
90o + Aˆ2
dd
Aˆ
Exerc´ıcio 1.25
1.26: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o per´ımetro 2p e os
aˆngulos Bˆ e Cˆ.
Ana´lise: Seja o segmento B′C ′ = 2p. Da figura-soluc¸a˜o, se ABˆ′B = BAˆB′ =
Bˆ
2 e ACˆ
′C = CAˆC ′ = Cˆ2 , enta˜o CBˆA = Bˆ e BCˆA = Cˆ, e assim B
′B = AB = c
e C ′C = AC = b.
Construc¸a˜o: (i) Determine Bˆ2 e
Cˆ
2 e trace o segmento B
′C ′ = 2p; (ii) A partir
de B′ e C ′, trace, respectivamente, os aˆngulos Bˆ2 e
Cˆ
2 , cuja intersec¸a˜o e´ o ve´rtice
A; (iii) Trace as mediatrizes de B′A e C ′A, cujas intersec¸o˜es com o segmento
B′C ′ sa˜o os ve´rtices B e C, respectivamente.
Bˆ
A
B C
Bˆ
Cˆ
Bˆ
2
Bˆ
2
Cˆ
2
Cˆ
2
2p
B′ C ′
c
c b
ba
Cˆ
Exerc´ıcio 1.26
16
1.27: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o per´ımetro 2p, o aˆngulo
Aˆ e a altura ha.
Ana´lise: Seja o segmento B′C ′ = 2p. Do Exerc´ıcio 1.26, o aˆngulo B′AˆC ′ e´
igual a
B′AˆC ′ =
Bˆ
2
+ Aˆ +
Cˆ
2
= 90o +
Aˆ
2
Com isto, o ve´rtice A pertence ao arco-capaz do aˆngulo
(
90o + Aˆ2
)
relativo
a` corda B′C ′. Este arco-capaz e´ complementar ao arco-capaz do aˆngulo Aˆ2
relativo a` mesma corda.
Construc¸a˜o: (i) Marque o aˆngulo OBˆ′B = Aˆ2 , com O pertencente a` mediatriz
de B′C ′ = 2p e trace C1 ≡ C(O,OB′). Com isto, B′OˆC ′ = (180o − Aˆ) e os
aˆngulos inscritos em C1 sa˜o iguais a
(
90o − Aˆ2
)
e
(
90o + Aˆ2
)
, sendo este u´ltimo
o aˆngulo B′AˆC ′ desejado; (ii) Trace uma paralela ao segmento B′C ′ a uma
distaˆncia ha, cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o ve´rtice A; (iii) Trace as mediatrizes
de B′A e C ′A, cujas intersec¸o˜es com o segmento B′C ′ sa˜o os ve´rtices B e C,
respectivamente.
A
B C
2p
B′ C ′
c
c b
ba
ha
ha
Aˆ
2
C1
90o + Aˆ2
180o − Aˆ
Aˆ
O
Exerc´ıcio 1.27
17
1.28: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o lado a, a altura ha e
o raio R do c´ırculo circunscrito.
Ana´lise: Pela Lei dos Senos,
a
sen Aˆ
= 2R ⇒ sen Aˆ = a
2R
Assim, o ve´rtice A e´ a intersec¸a˜o do arco-capaz de Aˆ relativo a` corda BC = a
com uma parelela a BC a uma distaˆncia ha.
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa 2R e cateto
BC = a, determinando o aˆngulo Aˆ, tal que sen Aˆ = a2R , e o seu respectivo
arco-capaz C1 relativo a` corda BC, que e´ o c´ırculo circunscrito ao triaˆngulo;
(ii) Trace a paralela ao lado BC a uma distaˆncia ha deste lado, cuja intersec¸a˜o
com C1 e´ o ve´rtice A.
B C
A
aa
ha
C1
R
2R
ha
Aˆ
Exerc´ıcio 1.28
18
1.29: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo a altura ha, a mediana
ma e o raio R do c´ırculo circunscrito.
Ana´lise: Sejam Ah e Am os pe´s da altura e da mediana, respectivamente,
relativas ao ve´rtice A. Da figura-soluc¸a˜o, o triaˆgulo ΔAAhAm e´ retaˆngulo em
Ah. Ale´m disto, Am e´ tambe´m o pe´ da mediatriz do lado BC.
Construc¸a˜o: (i) Determine o triaˆngulo retaˆngulo ΔAAhAm de hipotenusa
AAm = ma e cateto AAh = ha, determinando a reta r suporte do lado BC;
(ii) Trace a perpendicular p a AhAm por Am; (iii) Trace C1 ≡ C(A,R), cuja
intersec¸a˜o com p e´ o circuncentro O; (iv) Trace C2 ≡ C(O,R), cujas intersec¸o˜es
com r sa˜o os ve´rtices B e C.
B C
A
Ah
ha
ha
ma Am
maR
C1
C2
p
O
Exerc´ıcio 1.29
1.30: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o aˆngulo Aˆ, o lado b e
o raio r do c´ırculo inscrito.
Construc¸a˜o: (i) Trace o aˆngulo Aˆ e marque sobre um de seus lados a distaˆncia
AC = b; (ii) Trace uma paralela p ao lado AB a uma distaˆncia r; (iii) Trace
a bissetriz de Aˆ, cuja intersec¸a˜o com p e´ o incentro I; (iv) Trace C1 ≡ C(I, r),
que e´ o c´ırculo inscrito ao triaˆngulo ΔABC; (v) Trace a tangente a C1 por C,
cuja intersec¸a˜o com o outro lado do aˆngulo Aˆ e´ o ve´rtice B.
19
B C
A
C1
Aˆ
b
b
I
p
r r
Aˆ
Exerc´ıcio 1.30
1.31: Construir um triaˆngulo conhecendo os comprimentos da altura,
mediana e bissetriz relativas a um mesmo ve´rtice.
Ana´lise: Sejam Ah e Am os pe´s da altura e da mediana, respectivamente,
relativas ao ve´rtice A. Como no Exerc´ıcio 1.29, o triaˆgulo ΔAAhAm e´ retaˆngulo
em Ah, ficando determinada a reta r suporte do lado BC. A partir do ve´rtice
A, podemos trac¸ar a bissetriz AAb e a bissetriz externa AA′b (perpendicular a
AAb em A), com Ab e A′b em r.
Pelo Teorema das Bissetrizes, teˆm-se⎧⎨
⎩
AbB
c =
AbC
b
A′bB
c =
A′bC
b
⇒ AbB
AbC
=
A′bB
A′bC
=
c
b
Ou seja, Ab e A′b dividem BC harmonicamente e vice-versa.
Sejam A′bAb = �1, AbAm = �2 e BAb = x. Como Am e´ me´dio de BC, enta˜o
AmC = (x + �2) e assim
x
x + 2�2
=
�1 − x
�1 + x + 2�2
⇒ x2 + (2�2 + �1)x = −x2 + (�1 − 2�2)x + 2�1�2
⇒ x2 + 2�2x− �1�2 = 0
⇒ (x + �2)2 = �2(�1 + �2)
20
Construc¸a˜o: (i) Determine o triaˆngulo retaˆngulo ΔAAhAm de hipotenusa
AAm = ma e cateto AAh = ha, determinando a reta r suporte do lado BC;
(ii) Trace C1 ≡ C(A, ba), cuja intersec¸a˜o com r e´ o pe´ Ab da bissetriz interna;
(iii) Trace a perpendicular de AAb por A, cuja intersec¸a˜o com r e´ o pe´ A′b da
bissetriz externa; (iv) Determine D em r tal que AbAm = AmD = �2, de forma
que A′bD = (A
′
bAb +AbAm +AmD) = [�1 + �2 + �2]; (v) Trace C2 ≡ C(O,OD),
onde O e´ me´dio de A′bD; (vi) Trace a perpendicular a r por Am, cuja intersec¸a˜o
E com C2 e´ tal que AmE =
√
A′bAm.AmD =
√
(�1 + �2)�2 = (x + �2); (vii)
Trace C3 ≡ C(Am, AmE), cujas intersec¸o˜es com r sa˜o os ve´rtices B e C, pois
BAb = [(x + �2)− �2] = x e AbC = [�2 + (x + �2)] = (x + 2�2), como desejado.
B C
A
Ah
ha
Am
ma
C1
AbA
′
b
ba
ba
ma
ha
D
E
C3
C2
O
Exerc´ıcio 1.31
1.32: Determinar o raio do c´ırculo circunscrito ao triaˆngulo ABC
cujo ve´rtice C e´ inacess´ıvel (figura 27).
Ana´lise: Se O e´ o circuncentro do triaˆngulo ΔABC, enta˜o AOˆB = 2Cˆ, e
assim O e´ o centro do arco-capaz do aˆngulo Cˆ relativo a` corda AB. Da figura
27, podemos determinar o aˆngulo Cˆ que e´ dado por
Cˆ = 180o − (Aˆ + Bˆ)
Construc¸a˜o: (i) Determine o centro O do arco-capaz do aˆngulo Cˆ = [180o −
(Aˆ + Bˆ)] relativo a` corda AB, determinando o raio R do c´ırculo circunscrito
R = OA = OB.
21
B
A
Figura 27
B
A
Cˆ
O
Aˆ
Bˆ
Cˆ
2Cˆ
R
Exerc´ıcio 1.32
22
1.33: Trac¸ar por P uma reta que passe pelo ponto de intersec¸a˜o
(inacess´ıvel) das retas r e s (figura 28).
r
s
P
Figura 28
Ana´lise: Seja V a intersec¸a˜o inacess´ıvel de r e s e sejam P1 e P2 as projec¸o˜es de
P em r e s, respectivamente. O quadrila´tero V P1PP2 e´ inscrit´ıvel num c´ırculo
de diaˆmetro PV e centro O, que e´ o circuncentro do triaˆnguloΔPP1P2.
Construc¸a˜o: (i) Trace as perpendiculares a r e s por P , determinando as
projec¸o˜es P1 e P2, respectivamente; (ii) Determine o circuncentro O do triaˆngulo
ΔPP1P2, trac¸ando as mediatrizes de PP1 e PP2, e trace a reta desejada PO.
r
s
P
O
P1
P2
Exerc´ıcio 1.33
23
1.34: Construir o trape´zio ABCD conhecendo a soma das bases AB+
CD = s, as diagonais AC = p e BD = q e o lado AD = a.
Ana´lise: Da figura-soluc¸a˜o, trac¸ando a paralela ao lado BC com um desloca-
mento lateral igual a CD, forma-se o triaˆngulo de lados s, p e q, o que permite
determinar o ve´rtice C.
Construc¸a˜o: (i) Trace a distaˆncia AB′ = s e o construa o triaˆngulo ΔAB′C de
lados s, p e q; (ii) Trace uma paralela r a AB′ por C; (iii) Trace C1 ≡ C(A, a),
cuja intersec¸a˜o com r e´ o ve´rtice D; (iv) Trace C2 ≡ C(D, q), cuja intersec¸a˜o
com AB′ e´ o ve´rtice B;
p
q
a
s sA B B′
CD
p
q
C1
r
C2
a
Exerc´ıcio 1.34
24
1.35: Dados dois pontos A e B de um mesmo lado de uma reta r,
determinar o ponto P sobre r de forma que PA + PB seja mı´nimo.
Ana´lise: Determinando o sime´trico B′ a B em relac¸a˜o a` reta r, o problema
se transforma na minimizac¸a˜o de PA + PB′, o que e´ trivial.
Construc¸a˜o: (i) Determine o sime´trico B′ a B em relac¸a˜o a r; (ii) Trace AB′,
cuja intersec¸a˜o com r e´ o ponto P desejado.
r
A
B B′
P
Exerc´ıcio 1.35
1.36: As paralelas r e s sa˜o as margens de um rio e os pontos A e B
representam cidades em lados opostos desse rio (figura 29). Deseja-
se construir uma ponte PQ(P ∈ r,Q ∈ S) perpendicular a`s margens
de forma que construindo as estradas AP e BQ o percurso total de
A a B seja mı´nimo. Determinar a posic¸a˜o da ponte.
A
r
s
B
Figura 29
25
Ana´lise: A ponte so´ acrescenta uma distaˆncia vertical fixa d. Podemos eli-
minar esta parcela, transladando A para baixo e B para cima, obtendo A′ e
B′, respectivamente. Assim, o problema se transforma na minimizac¸a˜o das
distaˆncias AB′ e A′B, o que e´ trivial.
Construc¸a˜o: (i) Determine as translac¸o˜es A′ deA, para baixo de uma distaˆncia
d, e B′ de B, para cima da mesma distaˆncia; (ii) Trace AB′ e A′B, cujas in-
tersec¸o˜es com as margens do rio determinam a posic¸a˜o da ponte.
A
B
r
s
A′
B′
d
P
Q
Exerc´ıcio 1.36
26
1.37: Um navio N deseja atingir o porto P da carta na´utica mostrada
na figura 30. Em certo momento, o capita˜o avistando os faro´is A, B
e C mede os aˆngulos ANˆB = 35o e BNˆC = 67o. Use re´gua, compasso e
transferidor para obter a posic¸a˜o do navio nesse instante e determine
a distaˆncia do navio ao porto sabendo que a escala da carta e´ 1:10000.
Construc¸a˜o: (i) Trace o arco-capaz C1 de 35o relativo a` corda AB; (ii) Trace
o arco-capaz C2 de 67o relativo a` corda BC, cuja intersec¸a˜o com C1 e´ a posic¸a˜o
N do navio. A distaˆncia NP medida deu cerca de 23 mm, o que corresponde
a 230 m na escala real.
A
B
C
P
Figura 30
1.38: Construir o triaˆngulo ABC sabendo que AB = 5,3 cm, cos Aˆ = 0,6
e que o lado BC e´ o menor poss´ıvel.
Ana´lise: Pela Lei dos Senos,
BC
sen Aˆ
=
AB
sen Cˆ
⇒ BC = AB sen Aˆ
sen Cˆ
Logo, dados AB e Aˆ, BC e´ mı´nimo quando sen Cˆ e´ ma´ximo, ou seja, quando
Cˆ = 90o. Neste caso,
cos Aˆ =
AC
AB
⇒ AC = AB cos Aˆ = 3,18 cm
Construc¸a˜o: (i) Determine o triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa AB = 5,3 cm
e cateto AC = 3,18 cm.
27
A
B
C
P
35o
67oN
C1
C2
Exerc´ıcio 1.37
A B
C
5,3 cm
3,18 cm
Exerc´ıcio 1.38
28
1.39: Construir um retaˆngulo conhecendo o comprimento da diago-
nal igual a 4,7 cm e seu semi-per´ımetro 6,3 cm.
Ana´lise: O problema e´ equivalente a` construc¸a˜o de um triaˆngulo retaˆngulo
dados o comprimento da hipotenusa 4,7 cm e a soma dos catetos 6,3 cm. Assim,
este problema e´ equivalente ao Exerc´ıcio 1.24 com Aˆ = 90o.
Construc¸a˜o: (i) Trace BC = 4,7 cm, determine o seu ponto me´dio O, e trace o
arco-capaz C1 do aˆngulo 45o relativo a` corda BC; (ii) Trace C2 ≡ C(C, 6,3 cm),
cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o ponto auxiliar B′; (iii) Trace a mediatriz de BB′,
cuja intersec¸a˜o com CB′ e´ o ve´rtice A; (iv) Trace C3 ≡ C(O, a2 ) e prolongue
AO, cuja intersec¸a˜o com C3 e´ o ve´rtice D do retaˆngulo desejado.
B C
A
s = b + c = 6,3 cm
s
B′
C1
C2
a = 4,7 cm
D
a
C3
Aˆ
Aˆ
2
O
Exerc´ıcio 1.39
1.40: Dados em posic¸a˜o os pontos A, B e P e dado tambe´m um
segmento m (figura 31), trac¸ar por P uma reta r de forma que A e
B estejam do mesmo lado de r e que a soma das distaˆncias de A e B
a r seja 2m.
29
m
A
B
P
Figura 31
Ana´lise: Sejam A′ e B′ as projec¸o˜es de A e B, respectivamente, em r. Da
figura-soluc¸a˜o, ABA′B′ e´ um trape´zio, com base me´dia
CC ′ =
AA′ + BB′
2
= m
onde CC ′ e´ perpendicular a r.
Construc¸a˜o: (i) Determine o ponto me´dio C de AB; (ii) Trace C1 ≡ C(C,m);
(iii) Trace a tangente a C1 por P , tangente esta que e´ a reta r desejada.
m
A
B
P
r
C
m
A′
B′
C1
C ′
Exerc´ıcio 1.40
30
1.41: Dados em posic¸a˜o os pontos A, B e P e dado tambe´m um
segmento m (figura 32), trac¸ar por P uma reta r de forma que A e
B fiquem em lados opostos de r e que a soma das distaˆncias de A e
B a r seja m.
m
A
B
P
Figura 32
Ana´lise: Sejam A′ e B′ as projec¸o˜es de A e B, respectivamente, em r. Seja
ainda a intersec¸a˜o O de AB com r. Da figura-soluc¸a˜o, teˆm-se A′AˆB = B′BˆA =
θ e ainda
cos θ =
AA′
AO
=
BB′
BO
=
AA′ + BB′
AO + BO
=
m
AB
Assim, o aˆngulo θ pode ser formado pelo triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa
AB e cateto adjacente m.
sln: Naturalmente, o problema so´ tem soluc¸a˜o se (AA′ + BB′) = m ≤ AB, ja´
que A e B devem estar em lados opostos de r.
Construc¸a˜o: (i) Determine o triaˆngulo retaˆngulo com hipotenusa AB e cateto
AC = m; (ii) Trace uma perpendicular ao lado AC (ou paralela ao lado BC)
por P , perpendicular (ou paralela) esta que e´ a reta r desejada.
31
m
A
B
P
m
C
θ
r
B′
A′
O
Exerc´ıcio 1.41
32
1.42: Substitua nos problemas 40 e 41 a palavra soma por diferenc¸a.
Ana´lise: Sejam A′ e B′ as projec¸o˜es de A e B, respectivamente, em r.
Para a versa˜o diferenc¸a do Exerc´ıcio 1.40, sejam ainda θ o aˆngulo entre AB
e r e a intersec¸a˜o O do prolongamento de AB com r. Por uma ana´lise similar
a` do Exerc´ıcio 1.41, da figura-soluc¸a˜o, tem-se
sen θ =
AA′
AO
=
BB′
BO
=
BB′ −AA′
BO −AO =
2m
AB
Assim, o aˆngulo θ pode ser formado pelo triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa
AB e cateto oposto 2m.
Para a versa˜o diferenc¸a do Exerc´ıcio 1.41, sejam ainda C o ponto me´dio de
AB e C ′ a projec¸a˜o de C em r. Por uma ana´lise similar a` do Exerc´ıcio 1.40,
da figura-soluc¸a˜o, ABA′B′ e´ um trape´zio, com o segmento de Euler
CC ′ =
AA′ −BB′
2
=
m
2
onde CC ′ e´ perpendicular a r.
sln: Naturalmente, a versa˜o diferenc¸a do Exerc´ıcio 1.40 so´ tem soluc¸a˜o se
(AA′−BB′) = 2m ≤ AB Assim, para os dados da figura 31, devemos modificar
o enunciado do Exerc´ıcio 1.40 para “. . . a diferenc¸a das distaˆncias de A e B a
r seja m.”, para garantir que haja soluc¸a˜o.
Construc¸a˜o (a): (i) Determine o triaˆngulo retaˆngulo com hipotenusa AB e
cateto AC = m; (ii) Trace uma perpendicular ao lado AC (ou paralela ao lado
BC) por P , perpendicular (ou paralela) esta que e´ a reta r desejada.
Construc¸a˜o (b): (i) Determine o ponto me´dio C de AB; (ii) Trace C1 ≡
C(C, m2 ); (iii) Trace a tangente a C1 por P , tangente esta que e´ a reta r desejada.
33
m
B
P
m
θ
O
θ
A′
B′
C
r
A
Exerc´ıcio 1.42(a)
m
A
B
P
m
2
A′
B′
C C ′
r
Exerc´ıcio 1.42(b)
34
1.43: Sa˜o dados os c´ırculos C e C ′ como na figura 33. Trac¸ar por A
uma secante PAQ a esses c´ırculos (P ∈ C,Q ∈ C ′) de formaque se
tenha PQ = a (dado).
A
O O′
C
C ′
a
Figura 33
Ana´lise: Sejam O e O′ os centros de C e C ′ de raios r1 e r2, respectivamente.
Seja ainda o aˆngulo θ entre a secante PAQ e a reta suporte de OO′, tal que
cos θ =
a
2
OO′
Construc¸a˜o: (i) Determine um triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa OO′ e ca-
teto a2 , definindo o aˆngulo θ; (ii) Trace uma paralela ao cateto
a
2 por A, cujas
intersec¸o˜es com C e C ′ sa˜o os pontos P e Q, respectivamente, definindo a
secante desejada.
35
A
O O′
C
C ′
a
θ
P
Q
a
2
Exerc´ıcio 1.43
1.44: Usando a figura 33, trac¸ar a secante PAQ de comprimento
ma´ximo.
Ana´lise: Da ana´lise do Exerc´ıcio 1.43, o comprimento da secante e´
PQ = 2OO′ cos θ
Assim, para uma secante de comprimento ma´ximo PQ = 2OO′, devemos ter
θ = 0o, ou seja, PQ deve ser paralela ao segmento OO′ por A.
Construc¸a˜o: (i) Trace a paralela ao segmento OO′ por A, sendo esta paralela
a secante desejada.
A
O O′
C
C ′
P Q
Exerc´ıcio 1.44
36
1.45: Usando ainda a figura 33, trac¸ar a secante PAQ de forma que
se tenha PA = AQ.
Ana´lise: Sejam O′′, P ′ e Q′ os pontos me´dios de OO′, PA e AQ, respec-
tivamente, com OP ′ ⊥ PQ e O′Q′ ⊥ PQ. Com isto, forma-se o trape´zio
P ′Q′OO′ com base me´dia AO′′, ja´ que com PA = AQ, enta˜o P ′A = AQ′.
Logo, AO′′ ⊥ PQ.
Construc¸a˜o: (i) Determine o ponto me´dio O′′ de OO′; (ii) Trace a perpendi-
cular a O′′A por A, sendo esta perpendicular a secante desejada.
A
O O′
C
C ′
P
Q
P ′
Q′
O′′
Exerc´ıcio 1.45
37
1.46: De um c´ırculo C conhecemos apenas a parte que se veˆ na figura
34. Limitando-se ao espac¸o dispon´ıvel, determine o raio de C.
C
Figura 34
Ana´lise: O raio desejado e´ o lado � do hexa´gono regular inscrito em C, cujo
aˆngulo central e´ 60o. Assim, o aˆngulo inscrito em C relativo a` corda � e´ igual
a 30o.
Construc¸a˜o: (i) Trace uma corda AB qualquer de C e construa o respectivo
triaˆngulo equila´tero; ΔABB′; (ii) Trace a bissetriz de BAˆB′, cuja intersec¸a˜o
com C e´ o ponto D tal que DAˆB = 30o. Assim, BD = � e´ o raio desejado.
C
A
B
B′
D30
o
�
Exerc´ıcio 1.46
38
1.47: Construir um quadrado, dados em posic¸a˜o um ponto de cada
um dos lados.
Ana´lise: Sejam P1, P2, P3 e P4 os pontos dados. Sejam ainda P , Q, R e S os
pontos me´dios dos segmentos que unem os pontos dados dois a dois. Os pontos
P , Q, R e S formam um paralelogramo de lados �1 e �2 e aˆngulo internos α e
(180o − α), como visto na figura-soluc¸a˜o.
Tomando P e S, podemos trac¸ar C1 ≡ C(P,PP1) e C2 ≡ C(S, SP1), obtendo
uma figura similar a` do Exerc´ıcio 1.45, onde aqui P1 e´ a intersec¸a˜o dos dois
c´ırculos. Nesta configurac¸a˜o, seja PS′ paralelo ao lado do quadrado, com
SPˆS′ = θ1, onde S′ e´ tal que PS′ ⊥ SS′. Com isto, forma-se o triaˆngulo
ΔPSS′, retaˆngulo em S′, com PS′ = �2 . Infelizmente, pore´m, na˜o sabemos
a direc¸a˜o do lado do quadrado, enta˜o na˜o podemos determinar este triaˆngulo
(ainda!).
Analogalemente, tomando P e Q, seja o triaˆngulo ΔPQQ′, com PQ′ para-
lelo a outro lado do quadrado, com QPˆQ′ = θ2, e onde Q′ e´ tal que PQ′ ⊥ QQ′
e PQ′ = �2 .
Justapondo os dois triaˆngulos ΔPSS′ e ΔPQQ′ obtidos anteriormente,
fazendo PS′ coincidir com PQ′, tem-se um triaˆngulo de lados PS = �1 e PQ =
�2 formando o aˆngulo SPˆQ = (θ1 + θ2). Como PS′ e PQ′ sa˜o perpendiculares,
enta˜o
θ1 + α + θ2 = 90o ⇒ θ2 + θ2 = 90o − α
e assim, o triaˆngulo ΔPSQ fica completamente determinado. Neste triaˆngulo,
a altura hP relativa ao ve´rtice P e´ tal que hP = PS′ = PQ′ = �2 .
Construc¸a˜o: (i) Determine os pontos me´dios dos segmentos que unem os
pontos dados dois a dois; (ii) Una os pontos me´dios, formando o paralelogramo
de lados �1 e �2 e aˆngulo α; (iii) Trace uma perpendicular a PQ por P e marque
PQ′′ = PQ, com Q′′ sobre esta perpedicular; (iv) Determine no triaˆngulo
ΔPSQ′′ a altura hP = �2 de P ; (v) Trace paralelas a hP por P1 e P3 e trace
perpendiculares a hp por P2 e P4, cujas intersec¸o˜es, duas a duas determinam
o quadrado desejado.
39
S
PP1
�1
C2
C1
θ1
S ′
P
�2
C1
P2 C3
θ2
Q′
Q
Exerc´ıcio 1.47 (Ana´lise)
Q
R
S
P
P1
P2
P3
P4
α
�1
Q′′
�2
Exerc´ıcio 1.47
40
1.48: Sa˜o dados os pontos A, B, C e D, nesta ordem sobre uma reta.
Trac¸ar por A e B duas paralelas e por C e D outras duas paralelas
de forma que as intersec¸o˜es dessas retas formem um quadrado.
Ana´lise: Sejam AB = d1, BC = d e CD = d2. Para formar um quadrado,
as paralelas por A e B devem ser ortogonais a`s paralelas por C e D. Da
figura-soluc¸a˜o,⎧⎨
⎩
sen θ = h1d1
cos θ = h2d2
⇒
(
h1
d1
)2
+
(
h2
d2
)2
= 1
Fazendo h1 = h2 = h, para formar um quadrado, enta˜o tem-se
h =
d1d2√
d21 + d
2
2
⇒
⎧⎨
⎩
sen θ = d2√
d21+d
2
2
cos θ = d1√
d21+d
2
2
Note que θ independe da distaˆncia d.
Construc¸a˜o: (i) Determine o triaˆngulo retaˆngulo de catetos AB e CD, defi-
nindo o aˆngulo θ; (ii) Trace as paralelas por A e B formando um aˆngulo θ com
a reta ABCD; (iii) Trace as paralelas por C e D formando um aˆngulo (90o−θ)
com a reta ABCD, cujas intersec¸o˜es com as paralelas por A e B definem o
quadrado desejado.
θ
d1 d d2
h1 h2
d2
A B C D
90o − θ
Exerc´ıcio 1.48
41
1.49: Sa˜o dados os pontos A e B de um mesmo lado de uma reta r.
Determinar um ponto P sobre r de forma que o aˆngulo entre r e PB
seja o dobro do aˆngulo entre PA e r.
Ana´lise (Alge´brica): Sejam A′ e B′ as respectivas projec¸o˜es de A e B em
r, como representado na figura-ana´lise. Sejam ainda d1 = AA′, d2 = BB′,
� = A′B′, x = A′P e θ = A′PˆA. Sejam ainda B′′ o sime´trico de B em relac¸a˜o
a r e A′′ a intersec¸a˜o do prolongamento de AP com BB′′. Na figura-soluc¸a˜o,
devemos ter⎧⎨
⎩
tgA′PˆA = tgB′PˆA′′ = tg θ = d1x
tgB′PˆB = tgB′PˆB′′ = tg 2θ = d2�−x
Com isto, usando a relac¸a˜o de tangente do arco-dobro, tem-se
d2
�− x =
2d1x
1−
(
d1
x
)2 ⇒ (d2 + 2d1)x2 − 2d1�x− d2d21 = 0
e assim
x =
d1
(
� +
√
�2 + d22 + 2d1d2
)
d2 + 2d1
onde a soluc¸a˜o com sinal negativo e´ descartada por ser espu´ria, podendo dar
resultado negativo inclusive, o que neste caso na˜o tem sentido f´ısico.
r
A
B
P
A′
B′ A′′ B′′
d1
d2
θ2θ
x
θ
θ
�
Exerc´ıcio 1.49 (Ana´lise)
42
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos � e (d2 + d1),
determinando a hipotenusa x1 =
√
�2 + (d2 + d1)2; (ii) Construa o triaˆngulo
retaˆngulo de hipotenusa x1 e cateto d1, determinando o outro cateto x2 =√
x21 − d21 =
√
�2 + d22 + 2d1d2; (iii) Determine a quarta proporcional (d2 +
2d1) : (� + x2) = d1 : x, determinando a posic¸a˜o desejada do ponto P .
r
A
B
P
A′
B′d2d1
x1
d1
x2
x
d1
x
�
x2
d2 d1 d1 d1
Exerc´ıcio 1.49
43
1.50: Sa˜o dados os pontos A e B de um mesmo lado de uma reta
r. Determinar o ponto P sobre r de forma que o aˆngulo APˆB seja
ma´ximo.
Ana´lise: Seja C o c´ırculo, de centro O, determinado pelos pontos A, B e P .
Sejam ainda APˆB = θ, AB = �, OM = d, onde M e´ o ponto me´dio de AB, e
BOˆM = α. Da figura-ana´lise, tem-se tg α = �2d .
Se O esta´ entre o segmento AB e a reta r, enta˜o θ ≤ 90o e α = θ. Neste
caso, θ ma´ximo equivale a tgα ma´ximo, o que corresponde a um d mı´nimo
para um � fixo. Se o segmento AB esta´ entre O e a reta r, enta˜o 90o ≤ θ ≤
180o e α = (180o − θ). Neste caso, θ ma´ximo equivale a tgα mı´nimo, o que
corresponde a um d ma´ximo para um � fixo. Juntando ambos os casos, conclui-
se que a distaˆncia de O a` reta r deve ser ma´xima ao longo da mediatriz do
segmento AB. Deve-se garantir, pore´m, que C tenha intersec¸a˜o com a reta r.
Logo, o c´ırculo C deve ser tangente a r em P .
Seja T o ponto de intersec¸a˜o do prolongamento de AB com r. Do conceito
de poteˆncia de T em relac¸a˜o a C, tem-seTP 2 = TA.TB ⇒ TP =
√
TA.TB
A
B
θ
O�2
d
C
r
P
T
α
M
M
A
B
θ
O
�
2
d
C
r
P
T
α
Exerc´ıcio 1.50 (Ana´lise)
44
Construc¸a˜o: (i) Prolongue o segmento AB, cuja intersec¸a˜o com r e´ o ponto
T ; (ii) Determine a me´dia geome´trica x1 =
√
TA.TB; (iii) Trace C1 ≡ C(T, x1),
cuja intersec¸a˜o com r e´ o ponto P desejado.
r
A
B
P
T
TA
x1
x1C1
Exerc´ıcio 1.50
45
2 Problemas do Cap´ıtulo 2
2.1: Construir x = abcde onde a, b, c, d, e sa˜o segmentos dados.
Ana´lise: Fazendo x1 = abd , tem-se x =
x1c
e .
Construc¸a˜o: (i) Determine a quarta proporcional d : a = b : x1; (ii) Deter-
mine a quarta proporcional e : x1 = c : x.
d
a
e
b
c
a
d
b
x1
e
c
x
Exerc´ıcio 2.1
2.2: Construir x =
√
a2 + 3b2 onde a e b sa˜o segmentos dados.
Ana´lise: Fazendo x1 = b
√
3, tem-se x =
√
a2 + x21.
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa 2b e cateto b,
determinando o outro cateto x1 = b
√
3; (ii) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de
catetos x1 e a, determinando a hipotenusa x =
√
a2 + 3b2.
a
b
x1
b
b
x
a
b
Exerc´ıcio 2.2
2.3: Construir x = a√
n
onde a e´ um segmento e n e´ um nu´mero
natural.
Construc¸a˜o: (i) Determine an e obtenha a me´dia geome´trica x de a e
a
n .
sln: A figura-soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 2.3 ilustra esta construc¸a˜o para n = 3.
a
n
a
n
x
1
n
. .
.
a a
Exerc´ıcio 2.3
47
2.4: Construir um segmento de comprimento
√
5,8 cent´ımetros.
Ana´lise:
√
5,8 =
√
145
5 =
√
82+92
5 .
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos 8 cm e 9 cm,
determinando a hipotenusa de comprimento
√
145 cm, que deve ser dividida
por 5 para obter o comprimento desejado.
√
5,8 cm
9 cm
8 cm
Exerc´ıcio 2.4
48
2.5: Construir x = a
2
b onde a e b sa˜o segmentos dados.
Construc¸a˜o: (i) Determine a quarta proporcional b : a = a : x.
a
b
x
b
a a
Exerc´ıcio 2.5
2.6: Construir x = a
2+bc
d .
Ana´lise: Fazendo x1 =
√
bc, x2 =
√
a2 + x21, tem-se x =
x22
d .
Construc¸a˜o: (i) Determine a me´dia geome´trica x1 de b e c; (ii) Construa
o triaˆngulo retaˆngulo de catetos a e x1, determinando a hipotenusa x2; (iii)
Determine a quarta proporcional d : x2 = x2 : x.
2.7: Construir x = a
3+a2b
a2+b2 .
Ana´lise: Fazendo x1 =
√
a2 + b2, x2 = a
2
x1
, tem-se x = (a+b)x2x1 .
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos a e b, determinando
a hipotenusa de comprimento x1 =
√
a2 + b2; (ii) Determine a quarta proporci-
onal x1 : a = a : x2; (iii) Determine a quarta proporcional x1 : x2 = (a+ b) : x.
49
b
c
d
a
x
x1
cb
x1
a
x2
x2
x2d
Exerc´ıcio 2.6
a
b
a
b
x1
a
x2
x1
(a + b)
x
Exerc´ıcio 2.7
50
2.8: Resolver o sistema:{
x + y = a
xy = b2
Ana´lise: Resolvendo o sistema, tem-se
x(a− x) = b2 ⇒
(
x− a
2
)2
+ b2 =
a2
4
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa a2 e cateto b,
determinando o outro cateto x1 =
√
a2
4 − b2 = (x − a2 ); (ii) Resolva o sistema
x, y = (a2 ± x1).
sln: O sistema tem soluc¸o˜es reais se b ≤ a2 .
a
b
a
2
bx1
x, y
y, x
Exerc´ıcio 2.8
2.9: Resolver o sistema:{
x2 − y2 = a2
x + y = b
Ana´lise: Resolvendo o sistema, tem-se
x2 − (b− x)2 = a2 ⇒ x = a
2 + b2
2b
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos a e b, determinando
a hipotenusa x1 =
√
a2 + b2; (ii) Resolva o sistema determinando a quarta
proporcional 2b : x1 = x1 : x e fazendo y = (b− x).
sln: O sistema tem soluc¸o˜es na˜o-negativas se b ≥ a.
51
a
b
b
a
b b
x1
x1
x
y
b
Exerc´ıcio 2.9
2.10: Resolver o sistema:{
x2 + y2 = a2
xy = b2
Ana´lise: Resolvendo o sistema, tem-se
{
(x + y)2 = a2 + 2b2
(x− y)2 = a2 − 2b2
⇒
⎧⎨
⎩
x =
√
a2+2b2±√a2−2b2
2
y =
√
a2+2b2∓√a2−2b2
2
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos a e b
√
2, deter-
minando a hipotenusa x1 =
√
a2 + 2b2; (ii) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de
hipotenusa a e cateto b
√
2, determinando o outro cateto x2 =
√
a2 − 2b2; (iii)
Resolva o sistema fazendo x, y = x1±x22 .
sln: O sistema tem soluc¸o˜es se a ≥ b√2.
b b
x1
x, yy, x
b
√
2
a a
x2x1b
x2
Exerc´ıcio 2.10
52
2.11: Resolver o sistema:{
x− y = a
xy = b2
Ana´lise: Resolvendo o sistema, tem-se
x(x− a) = b2 ⇒
(
x− a
2
)2
=
a2
4
+ b2
Logo,⎧⎪⎨
⎪⎩
x = a2 ±
√
a2
4 + b
2
y = −a2 ±
√
a2
4 + b
2
sln: As soluc¸o˜es positivas sa˜o obtidas com o sinal + na equac¸a˜o anterior.
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos a2 e b, determi-
nando a hipotenusa x1 = (x− a2 ); (ii) Resolva o sistema fazendo x = (a2 ± x1)
e y = (−a2 ± x1).
a
b
a
2
bx1
x
y
Exerc´ıcio 2.11
2.12: Resolver a equac¸a˜o x2 − ax− b2 = 0.
Ana´lise: Esta equac¸a˜o corresponde a` equac¸a˜o de x no sistema do Exerc´ıcio 2.11.
Note que ha´ sempre duas soluc¸o˜es reais, uma positiva e outra negativa.
2.13: Construir x tal que 1
x2
= 1
a2
+ 1
b2
.
Ana´lise: Tem-se x = ab√
a2+b2
.
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos a e b, determinando
a hipotenusa x1 =
√
a2 + b2; (ii) Determine a quarta proporcional x1 : a = b :
x.
53
b b
a a
x1
x1
b
x
Exerc´ıcio 2.13
2.14: Construir x tal que 1x =
1
a +
1
b .
Ana´lise: Tem-se x = aba+b .
Construc¸a˜o: (i) Determine a quarta proporcional (a + b) : a = b : x.
b b
a a
b
x
a
Exerc´ıcio 2.14
54
2.15: Construir um triaˆngulo retaˆngulo conhecendo a soma dos ca-
tetos e a altura relativa a` hipotenusa.
Ana´lise: Seja s = (b + c). Logo,
s2 = b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc = a2 + 2aha
Assim,
(a + ha)2 = s2 + h2a
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos s e ha, determi-
nando a hipotenusa (a+ha), e concomitantemente o comprimento a; (ii) Dado
o lado BC = a, de ponto me´dio O, trace C1 ≡ C(O, a2 ) e uma paralela p a uma
distaˆncia ha de BC, cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o ve´rtice A.
s
ha
a + ha
ha
CB
A
C1
a
ha
O
p
Exerc´ıcio 2.15
2.16: Sa˜o dados um c´ırculo e um ponto P exterior. Trac¸ar por P
uma secante PAB ao c´ırculo de tal forma que A seja me´dio de PB.
Ana´lise: Seja O o centro do c´ırculo C de raio R. Pelo conceito de poteˆncia,
tem-se
PA.PB = (PO −R)(PO +R) ⇒ x.2x = PO2 −R2
o que permite determinar o comprimento da secante PB = 2x.
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa PO e cateto
R, determinando a hipotenusa x
√
2; (ii) Determine a diagonal 2x do quadrado
de lado x
√
2; (iii) Trace C1 ≡ C(P, 2x), cuja intersec¸a˜o com C e´ o extremo B
da secante desejada.
55
P
C
O
R
B
C1
x
√
2
A
2x
Exerc´ıcio 2.16
2.17: Construir um triaˆngulo retaˆngulo conhecendo a hipotenusa e
a soma dos catetos.
Ana´lise: Este e´ um caso particular do Exerc´ıcio 1.24 com Aˆ = 90o. Na figura-
soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 1.23, e´ poss´ıvel e simples observar que BBˆ′C = Aˆ2 = 45
o.
Ale´m disto, A deve pertencer a` mediatriz de BB′.
Construc¸a˜o: (i) Trace BC = a e o arco-capaz C1 do aˆngulo 45o relativo a`
corda BC; (ii) Trace C2 ≡ C(C, s), cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o ponto auxiliar
B′; (iii) Trace a mediatriz de BB′, cuja intersec¸a˜o com CB′ e´ o ve´rtice A.
s
a
a45o
C1
C2
B C
B′
A
Exerc´ıcio 2.17
56
2.18: A me´dia harmoˆnica de dois segmentos a e b e´ o segmento h tal
que
h =
2ab
a + b
.
Construa a me´dia harmoˆnica de a e b.
Construc¸a˜o: (i) Determine a quarta proporcional (a + b) : a = 2b : x.
b ba a x
a
b
b
Exerc´ıcio 2.18
2.19: Um retaˆngulo a´ureo e´ um retaˆngulo em que uma dimensa˜o e´
segmento a´ureo da outra. Construir um retaˆngulo a´ureo de per´ımetro
dado.
Ana´lise: Sejam a e b as dimenso˜es do retaˆngulo de per´ımetro 2p. Tem-se⎧⎨
⎩
2a + 2b = 2p
b =
√
5−1
2 a
⇒ a =
√
5− 1
2
p
Construc¸a˜o: (i) Determine o segmento a´ureo a relativo ao semi-per´ımetro p
dado; (ii) Construa o retaˆngulo de lados a e b = (p − a).
57
2p
p
2a
a
b
Exerc´ıcio 2.19
2.20: Inscrever em um c´ırculo dado um retaˆngulo de per´ımetro dado.
Ana´lise: Sejam a e b as dimenso˜es do retaˆngulo de per´ımetro 2p inscrito em
um c´ırculo de diaˆmetro D. Tem-se{
2a + 2b = 2p
a2 + b2 = D2
⇒ (a + b)2 = p2 = D2 + 2bc ⇒ 2bc = p2 −D2
Assim,⎧⎨
⎩
a + b = p
a− b = ±√2D2 − p2 ⇒ a =
p±√2D2 − p2
2
⇒ (2a− p)2 = 2D2 − p2
Construc¸a˜o: (i) Determine a diagonal d = D
√
2 do quadrado de lado D; (ii)
Construa o triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa d e cateto p, determinando a
hipotenusa
√
2D2 − p2 = (2a− p) e concomitantemente o lado a do retaˆngulo;
(iii) O retaˆngulo e´ determinado por duas paralelas distando a2 do centro do
c´ırculo.
2.21: Sa˜o dados um c´ırculo C e uma tangente t. Construir um qua-
drado que tenha dois ve´rtices em C e os outros dois ve´rtices em
t.
Ana´lise: Na figura-soluc¸a˜o, sejam P e Q os ve´rtices do quadrado na tangente
t, R e S os ve´rtices em C. Sejam ainda A a intersec¸a˜o da diagonal PR com
C, O′ o centro do quadrado, T o ponto de tangeˆncia e T ′ a outra intersec¸a˜o de
O′T com C. Por fim, sejam � o lado do quadrado e r o raio de C.
Do conceito de poteˆncia de P e O′, respectivamente, tem-se
{
PA.PR = PT 2
O′A.O′R = OT.OT ′
⇒
⎧⎨
⎩
PA.�
√
2 = �2 .
�
2(
�
√
2
2 −PA
)
. �
√
2
2 =
�
2 .
(
2r− �2
)⇒
⎧⎨
⎩
PA = �
√
2
8
r = 5�8
Construc¸a˜o: (i) Determine �2 =
4r
5 ; (ii) Trace C1 ≡ C(T, �2 ), cujas intersec¸o˜es
com t sa˜o os ve´rtices P e Q; (iii) Trace perpendiculares a t por P e Q, cujas
respectivas intersec¸o˜es com C sa˜o os ve´rtices S e R.
58
2p
p
D
(2a− p)d
(2a− p)
2a
a
b
a
b
Exerc´ıcio 2.20
Pr r r r
C O′
T
�
2
Q
RS
C1
t
A
�
2
�
2
T ′
Exerc´ıcio 2.21
59
2.22: Construir um trape´zio iso´sceles circunscrit´ıvel conhecendo as
suas bases.
Ana´lise: Sejam a e b as bases maior e menor do trape´zio, respectivamente, e
seja D o diaˆmetro do c´ırculo. Da figura-soluc¸a˜o, tem-se
D2 +
(
a− b
2
)2
=
(
a + b
2
)2
⇒ D =
√
ab
Construc¸a˜o: (i) Determine a me´dia geome´trica das bases D =
√
ab; (ii)
Trace o c´ırculo C de diaˆmetro D e trace tangentes paralelas a C; (iii) Marque
sobre estas paralelas as distaˆncias a2 e
b
2 em cada lado do respectivo ponto de
tangeˆncia, determinando os ve´rtices do trape´zio desejado.
b
a b
D D
b
2
a
2
b
2
b
2
b
2
a
2
a
2
a
2 C
Exerc´ıcio 2.22
60
2.23: Sa˜o dados os pontos A e B sobre uma reta r. Construir os
c´ırculos C e C ′ tangentes entre si, de forma que C seja tangente a r
em A, C ′ seja tangente a r em B e o raio de C seja o dobro do raio
de C ′.
Ana´lise: Sejam R o raio de C ′ e d a distaˆncia AB. Da figura-soluc¸a˜o, tem-se
R2 + d2 = (2R +R)2 ⇒ d = 2R
√
2
Construc¸a˜o: (i) Determine R = d
√
2
4 ; (ii) Trace perpendiculares a r por A e
B, e marque sobre estas perpendiculares as distaˆncias 2R e R, determinando
os centros O e O′, respectivamente, de C ≡ C(O, 2R) e C ′ ≡ C(O′, R), que sa˜o
os c´ırculos desejados.
R
R
R
R
2R
dA Br
O
C
C ′
O′
R
Exerc´ıcio 2.23
61
2.24: O lado do deca´gono regular inscrito num c´ırculo de raio R e´
R
√
5−1
2 . Considere a seguinte construc¸a˜o: Dado um c´ırculo de centro
O e raio R considere dois diaˆmetros perpendiculares AB e CD. Seja
M o ponto me´dio de OA. O c´ırculo de centro M e raio MC corta
OB em P . Prove que OP e´ o lado do deca´gono regular inscrito nesse
c´ırculo e construa o pol´ıgono.
Ana´lise: Do triaˆngulo retaˆngulo ΔOMC, tem-se MC = R
√
5
2 . Logo,
OP = (MP −OM) = (MC −OM) = R
√
5− 1
2
= �10
Construc¸a˜o: Segue-se a construc¸a˜o do enunciado.
C DO
M
P
�10
R
A
B
C DO
M
P
R
A
B
�5
Exerc´ıcio 2.24 Exerc´ıcio 2.25
2.25: O lado do penta´gono regular inscrito num c´ırculo de raio R
e´ R
√
10−2√5
2 . Considerando a construc¸a˜o descrita no Exerc´ıcio 2.24
prove que CP e´ o lado do penta´gono regular inscrito nesse c´ırculo e
construa o pol´ıgono.
Ana´lise: Do triaˆngulo retaˆngulo ΔCOP , tem-se
CP =
√
CO2 + OP 2 =
√√√√R2 + R2
(√
5− 1
2
)2
= R
√
10 − 2√5
2
= �5
Construc¸a˜o: Segue-se a construc¸a˜o do enunciado do Exerc´ıcio 2.24.
62
2.26: Construa um penta´gono regular conhecendo o seu lado.
Ana´lise: Do Exerc´ıcio 2.25,
�5 = R
√
10− 2√5
2
⇒ R = �5
√
5 +
√
5
10
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos �5 e �52 , deter-
minando a hipotenusa x1 = �5
√
5
2 ; (ii) Determine os comprimentos auxiliares
x2 = (5�52 + x1) e x3 =
�5
5 ; (iii) Determine a me´dia geome´trica R =
√
x2x3 =
�5
√
5+
√
5
10 ; (iv) Trace um c´ırculo de raio R e construa o penta´gono desejado
usando a distaˆncia �5.
R
�5 �5
x1�5
2
�5
2 x1
x3x2
�5
5
R
Exerc´ıcio 2.26
2.27: Construa um penta´gono regular conhecendo uma de suas dia-
gonais.
Ana´lise: Observando o penta´gono regular de diagonal d e lado �5, tem-se
�5
d− �5 =
d
�5
⇒ �5 = d(
√
5− 1)
2
ou seja, �5 e´ o segmento a´ureo da diagonal d.
Construc¸a˜o: (i) Determine os extremos P e P ′ dos segmentos a´ureos �5 da
diagonal EB = d a partir de cada uma das extremidades E e B; (ii) Trace
C1 ≡ C(P, d − �5) e C2 ≡ C(P ′, d − �5), cuja intersec¸a˜o e´ o ve´rtice A do
penta´gono; (iii) Prolongue AP e AP ′ ate´ AC = AD = d, determinando os
ve´rtices C e D do penta´gono desejado.
63
P P ′
A
E B
CD
C1 C2 d
2
d
2
d
�4
�8
Exerc´ıcio 2.27 Exerc´ıcio 2.28
2.28: E´ dado um quadrado. Construa um octo´gono regular cortando
os “cantos” desse quadrado.
Ana´lise: Da figura-soluc¸a˜o, tem-se
�4 = �8
√
2
2
+ �8 + �8
√
2
2
= �8(
√
2 + 1)
Construc¸a˜o: (i) Trace a diagonal �4
√
2 do quadrado e obtenha �8 = �4(
√
2−1);
(ii) Trace paralelas verticais e horizontais distando �82 do centro do quadrado,
cujas intersec¸o˜es com o quadrado sa˜o os ve´rtices do octo´gono desejado.
2.29: Sa˜o dados dois pontos A e B de um mesmo lado de uma reta
r. Determinar o ponto P sobre r de forma que o aˆngulo APˆB seja
ma´ximo.
Ana´lise: Ver Exerc´ıcio 1.50.
64
2.30: Sa˜o dados os pontos A e B e os segmentos m e n. Dividir
harmonicamente AB na raza˜o m/n, ou seja, obter os pontos M e N
da reta AB tais que
MA
MB
=
NA
NB
=
m
n
.
Nota: O c´ırculo de diaˆmetro MN chama-se c´ırculo de Apoloˆnio do segmento
AB na raza˜o m/n. Para todo ponto P deste c´ırculo tem-se APˆM = MPˆB e
PA
PB =
m
n .
Ana´lise: Da definic¸a˜o da divisa˜o harmoˆnica, tem-se
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
AB −MB
MB
=
m
n
AB + NB
NB
=
m
n
⇒
⎧⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩
MB =
nAB
m + n
NB =
nAB
m− n
Construc¸a˜o: (i) Determine as quartas proporcionais (m+n) : AB = n : MB
e (m− n) : AB = n : NB.
sln: A figura-soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 2.30 ilustra esta construc¸a˜o para m = 3 e
n = 2.
m
n
A
B
m− n
n
M N
Exerc´ıcio 2.30
65
2.31: Sa˜o dados os pontos A, B e C nesta ordem sobre uma reta r.
Construir o conjunto dos pontos P tais que APˆB = BPˆC.
Ana´lise: Pelo Teorema das Bissetrizes, se PB e´ bissetriz de APˆC, enta˜o
AB
PA
=
CB
PC
⇒ PA
PC
=
AB
CB
=
m
n
Assim, como colocado no Exerc´ıcio 2.30, P pertence ao c´ırculo de Apoloˆniodo
segmento AC na raza˜o m/n. O diaˆmetro deste c´ırculo e´ BN , tal que
BN = CB + NC = CB +
CB.AC
AB − CB =
2CB.AB
AB − CB
Logo, o raio do c´ırculo e´
OB = ON =
CB.AB
AB − CB
Construc¸a˜o: (i) Obtenha o ponto O sobre r determinando a quarta propor-
cional (AB − CB) : AB = CB : OB; (ii) Trace C1 ≡ C(O,OB), sendo este
c´ırculo o lugar geome´trico desejado.
sln: A figura-soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 2.31 ilustra esta construc¸a˜o com ABCB =
m
n =
3
2 .
A C
AB − CB
CB
B NO
C1
Exerc´ıcio 2.31
66
2.32: Sa˜o dados um c´ırculo C e os segmentos h e m. Inscrever em C
um trape´zio de altura h de forma que a soma das bases seja m.
Ana´lise: Para simplificar, vamos considerar um trape´zio PQRS iso´sceles de
base maior PQ = a, base menor RS = b e diagonais PR = QS = d. Da figura-
soluc¸a˜o, se S′ e´ o pe´ de S sobre PQ, enta˜o do triaˆngulo retaˆngulo ΔS′QS
tem-se
d2 = h2 +
(
a− a− b
2
)2
= h2 +
m2
4
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos h e m2 , determi-
nando a hipotenusa d; (ii) Marque uma corda QS = d sobre C; (iii) Construa
o triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa QS = d e cateto SS′ = h, determinando o
cateto QS′; (iv) Prolongue QS′, cuja intersec¸a˜o com C e´ o ve´rtice P ; (v) Trace
C1 ≡ C(P, d), cuja intersec¸a˜o com C e´ o ve´rtice R, completando o trape´zio
desejado.
h
h
d
m
C
d
h
Q P
R S
S ′
C1
Exerc´ıcio 2.32
67
2.33: Dados dois pontos A e B e um segmento k, construir o conjunto
dos pontos P tais que PA2 + PB2 = k2.
Ana´lise: Pelo Teorema de Stewart, o comprimento da mediana PPm = mp de
um triaˆngulo ΔABP e´ tal que
PA2 + PB2 =
AB2
2
+ 2m2p = k
2 ⇒ m2p =
2k2 −AB2
4
Logo, o lugar geome´trico de P e´ um c´ırculo de centro Pm, ponto me´dio de AB,
e raio mp =
√
2k2−AB2
2 .
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa k
√
2 e ca-
teto AB, determinando o outro cateto 2mp =
√
2k2 −AB2; (ii) Trace C1 ≡
C(Pm,mp), lugar geome´trico desejado de P .
k
2mp
a
a
A B
C1
mp
Pm
Exerc´ıcio 2.33
68
2.34: Construir o triaˆngulo ABC conhecendo o lado BC = a, a altura
ha e a soma dos quadrados dos outros dois lados AB2 + AC2 = k2.
Ana´lise: Pelo Exerc´ıcio 2.33, o comprimento da mediana AAm = ma do
triaˆngulo ΔABC e´ tal que
m2a =
2k2 − a2
4
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa k
√
2 e cateto
a, determinando o outro cateto 2ma =
√
2k2 − a2; (ii) Trace C1 ≡ C(Am,ma),
onde Am e´ o ponto me´dio de BC; (iii) Trace uma paralela a BC a uma distaˆncia
ha, cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o ve´rtice A.
k
2ma
a
a
ha
B C
C1
ma
Am
ha
A
a
2
a
2
Exerc´ıcio 2.34
69
2.35: Sa˜o dados os pontos A e B de um mesmo lado de uma reta r.
Determinar o ponto P sobre r tal que PA2 + PB2 seja mı´nimo.
Ana´lise: Seja Pm o ponto me´dio de AB e seja PA2 + PB2 = k2. Logo, pelo
Exerc´ıcio 2.33, tem-se
PP 2m =
2k2 −AB2
4
⇒ k2 = 4PP
2
m + AB2
2
Assim, para k2 mı´nimo devemos ter PPm mı´nimo, ou seja, P deve ser a
projec¸a˜o de Pm em r.
Construc¸a˜o: (i) Determine Pm o ponto me´dio de AB; (ii) Trace a perpendi-
cular a r por Pm, cuja intersec¸a˜o com r e´ o ponto P desejado.
A
B
PPm
r
Exerc´ıcio 2.35
70
2.36: Construir x = 4
√
a4 + b4.
Ana´lise 1 (Alge´brica): Tem-se
x = 4
√
(a2 + b2)2 − 2a2b2 = 4
√
(a2 + b2 − ab
√
2)(a2 + b2 + ab
√
2)
Logo,
x =
√√
(a + b)2 − (2 +
√
2)ab.
√
(a + b)2 − (2 −
√
2)ab
ou ainda, o que parece ser mais fa´cil de construir,
x =
√√√√√
√√√√(a− b
√
2
2
)2
+
(
b
√
2
2
)2
.
√√√√(a + b
√
2
2
)2
+
(
b
√
2
2
)2
Construc¸a˜o 1: (i) Determine x1 = b
√
2
2 ; (ii) Construa o triaˆngulo retaˆngulo
de catetos (a − x1) e x1, determinando a hipotenusa x2 =
√
(a− x1)2 + x21;
(iii) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos (a + x1) e x1, determinando
a hipotenusa x3 =
√
(a + x1)2 + x21; (iv) Determine a me´dia geome´trica x =√
x2x3.
b
x1
a
x1x2
x3
x1 x2 x3
x
Exerc´ıcio 2.36 (Construc¸a˜o 1)
71
Ana´lise 2 [11]: No triaˆngulo retaˆngulo ΔABC de catetos BC = a e AC = b, a
hipotenusa e´ AB = c =
√
a2 + b2. Ale´m disto, pela semelhanc¸a dos triaˆngulos
ΔCBA, ΔC ′CA e ΔC ′BC, onde C ′ e´ o pe´ de C sobre a hipotenusa AB, teˆm-se
AC ′ = m = a
2
c e BC
′ = n = b
2
c . Logo, o triaˆngulo retaˆngulo de catetos m e
n tem hipotenusa h =
√
m2 + n2 =
√
a4+b4
c , de modo que o segmento desejado
pode ser determinado pela me´dia geome´trica de c e h.
ba
n m
c AB
C
C ′
Exerc´ıcio 2.36 (Ana´lise 2 [11])
Construc¸a˜o 2 [11]: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos a e b,
determinando a hipotenusa c =
√
a2 + b2 e as projec¸o˜es m = a
2
c e n =
b2
c dos
catetos sobre a hipotenusa; (ii) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos m
e n, determinando a hipotenusa h =
√
m2 + n2 =
√
a4+b4
c , (iii) Determine a
me´dia geome´trica x =
√
hc.
b
a
a c
n
m
hm
n
h c
x
Exerc´ıcio 2.36 (Construc¸a˜o 2 [11])
72
2.37: Dados os segmentos a e b e um segmento unita´rio construa
x = ab.
Construc¸a˜o: (i) Determine a quarta proporcional 1 : b = a : x.
a b
1
b
1
a
x
Exerc´ıcio 2.37
2.38: Dado um segmento a e usando um segmento unita´rio construa
x = 4
√
a.
Ana´lise: Fazendo x1 =
√
a, enta˜o x =
√
x1.
Construc¸a˜o: (i) Determine a me´dia geome´trica x1 de a e 1; (ii) Determine a
me´dia geome´trica x de x1 e 1.
a
1
a 1
x1
x1
x
Exerc´ıcio 2.38
2.39: Dados os segmentos a, b e c construa, utilizando um segmento
unita´rio, x =
√
abc.
Ana´lise: Fazendo b : 1 = x1 : a, enta˜o x =
√
x1c.
Construc¸a˜o: (i) Determine a quarta proporcional 1 : b = a : x1; (ii) Deter-
mine a me´dia geome´trica x de x1 e c.
73
a b
b
1
a
x1
1
c
c
x
Exerc´ıcio 2.39
2.40: Dado um segmento a e utilizando um segmento unita´rio, cons-
trua x = a3/2.
Ana´lise: Este e´ um caso particular do Exerc´ıcio 2.39 com b = c = a.
Construc¸a˜o: (i) Determine a quarta proporcional 1 : a = a : x1; (ii) Deter-
mine a me´dia geome´trica x de x1 e a.
a
1
a
x1
1
a
x
Exerc´ıcio 2.40
74
3 Problemas do Cap´ıtulo 3
3.1: Dado um triaˆngulo ABC construir um triaˆngulo A′B′C ′ equiva-
lente a ABC e tal que Aˆ′ = Aˆ e A′B′ = A′C ′.
Ana´lise:⎧⎨
⎩
SABC = AB.AC sen Aˆ2
SA′B′C′ = A
′B′.A′B′ sen Aˆ
2
⇒ A′B′ =
√
AB.AC
Construc¸a˜o: (i) Determine a me´dia geome´trica x1 de AB e AC; (ii) Trace
C1 ≡ C(A,x1), cujas respectivas intersec¸o˜es com AB e AC sa˜o os ve´rtices B′ e
C ′.
A
B
B′ C
C1
C ′
AC AB
x1
Exerc´ıcio 3.1
3.2: Construir um quadrado equivalente a um trape´zio dado.
Ana´lise: Sejam SQ e ST , respectivamente, as a´reas do quadrado, de lado �, e
do trape´zio, de bases a e b e altura h. Assim,{
SQ = �2
ST = b¯h
⇒ � =
√
b¯h
onde b¯ = a+b2 e´ a base me´dia do trape´zio.
Construc¸a˜o: (i) Determine a me´dia geome´trica x1 da base me´dia b¯ e da altura
h do trape´zio; (ii) Construa o quadrado de lado � = x1.
b¯
b
a
h
h
x1
x1
Exerc´ıcio 3.2
76
3.3: Construir um quadrado cuja a´rea seja a soma das a´reas de dois
outros quadrados dados.
Ana´lise: Seja � o lado do quadrado desejado e sejam �1 e �2 os lados dos
quadrados dados. Assim
�2 = �21 + �
2
2
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos �1 e �2, determi-
nando a hipotenusa x1, lado do quadrado desejado; (ii) Construa o quadrado
de lado � = x1.
�2
�1
�
�2
�1
�
Exerc´ıcio 3.3 Exerc´ıcio 3.4
3.4: Construir um triaˆngulo equila´tero cuja a´rea seja a diferenc¸a das
a´reas de dois outros triaˆngulos equila´teros dados.
Ana´lise:Seja � o lado do triaˆngulo desejado e sejam �1 e �2 os lados dos
triaˆngulos dados. Assim,
�2
√
3
4
=
�21
√
3
4
+
�22
√
3
4
⇒ �2 = �21 − �22
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa �1 e cateto �2,
determinando o outro cateto x1, lado do triaˆngulo desejado; (ii) Construa o
triaˆngulo equila´tero de lado � = x1.
77
3.5: Construir um triaˆngulo equila´tero equivalente a um triaˆngulo
dado.
Ana´lise: Sejam S1 e S2, respectivamente, as a´reas do triaˆngulo dado, de lado
a e altura relativa ha, e do triaˆngulo equila´tero desejado, de lado �. Assim,⎧⎨
⎩
S1 = aha2
S2 = �
2
√
3
4
⇒ �2 = 2aha
√
3
3
Construc¸a˜o: (i) Determine a me´dia geome´trica x3 de x1 = a
√
3
2 e x2 =
4ha
3 ;
(ii) Construa o triaˆngulo equila´tero de lado � = x3.
x1 x2
x3
ha
x1
x2
a
Exerc´ıcio 3.5
78
3.6: Dado o triaˆngulo ABC, construir o triaˆngulo A′B′C ′ equivalente
a ABC conhecendo dois lados de A′B′C ′.
Ana´lise: Sejam S1 e S2, respectivamente, as a´reas do triaˆngulo ABC, de lado
a e altura relativa ha, e do triaˆngulo A′B′C ′, de lados b′ e c′ dados. Assim,⎧⎨
⎩
S1 = aha2
S2 = b
′c′ sen Aˆ′
2
⇒ sen Aˆ′ = aha
b′c′
Construc¸a˜o: (i) Determine a quarta proporcional a : b′ = c′ : x1; (ii) Construa
um triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa x1 e cateto ha, determinando o aˆngulo Aˆ′
oposto ao cateto ha; (iii) Construa o triaˆngulo de aˆngulo Aˆ′ e lados adjacentes
b′ e c′.
b′
c′
a
c′
x1
a
ha
ha
Aˆ′
A′
c′
b′
C ′
B′
Exerc´ıcio 3.6
79
3.7: Sa˜o dados um quadrado e dois segmentos m e n. Trac¸ar por
um ve´rtice do quadrado uma reta que divida sua a´rea em partes
proporcionais a m e n.
Ana´lise: Seja m < n, sem perda de generalidade. Na figura-soluc¸a˜o, tem-se
S1 = �x2 , de forma que
S1
S2
=
�x
2
�2 − �x2
=
m
n
⇒ x = 2�m
m + n
Construc¸a˜o: (i) Determine a quarta proporcional (m + n) : 2� = m : x.
sln: A figura-soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 3.7 ilustra esta construc¸a˜o para m = 2 e
n = 3.
m
n
m
� � x
n
m
Exerc´ıcio 3.7
80
3.8: Inscrever em um c´ırculo dado um retaˆngulo equivalente a um
quadrado dado.
Ana´lise: Sejam a e b os lados do retaˆngulo desejado, D o diaˆmetro do c´ırculo
e � o lado do quadrado dado. Assim,{
a2 + b2 = D2
ab = �2
⇒
{
(a + b)2 = D2 + 2�2
(a− b)2 = D2 − 2�2
Logo,
a, b =
√
D2 + 2�2 ±√D2 − 2�2
2
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de catetos D e �
√
2, deter-
minando a hipotenusa x1 =
√
D2 + 2�2 = (a + b); (ii) Construa o triaˆngulo
retaˆngulo de hipotenusa D e cateto �
√
2, determinando o outro cateto x2 =√
D2 − 2�2 = (a − b); (iii) Construa o retaˆngulo de lados a, b = x1±x22 , com
centro coincidindo com o centro do c´ırculo dado.
D
�
√
2
�
x1
�
√
2
�
√
2
x2
x2 x1
a
ba
b
Exerc´ıcio 3.8
81
3.9: Dado um triaˆngulo ABC trac¸ar DE paralelo a BC de forma que
a a´rea de ADE seja 2/3 da a´rea de ABC.
Ana´lise: Sejam ha e h′a as alturas relativas ao ve´rtice A nos triaˆngulos ABC
e ADE, respectivamente. Por semelhanc¸a, tem-se
SADE
SABC
= k2 =
2
3
Logo,
h′a = kha = ha
√
2
3
Construc¸a˜o: (i) Construa o triaˆngulo equila´tero de lado ha, determinando
sua altura x1 = ha
√
3
2 ; (ii) Construa o quadrado de lado x1, determinando sua
diagonal x2 = x1
√
2; (iii) Determine h′a =
2x2
3 .
B C
A
x1
x2 x1
x2
h′a
hah
′
a
D E
Exerc´ıcio 3.9
82
3.10: Determinar o ponto P no interior do triaˆngulo ABC de forma
que as a´reas dos triaˆngulos PAB, PBC e PCA sejam iguais.
Ana´lise: A altura de P relativa a cada lado deve ser igual a 13 da altura do
ve´rtice correspondente.
Construc¸a˜o: (i) Trace uma paralela a cada lado do triaˆngulo a uma distaˆncia
h
3 , onde h e´ altura do ve´rtice oposto ao lado em questa˜o. A intersec¸a˜o das
paralelas e´ o ponto P desejado.
B C
A
hc
3
P
hb
3
ha
3
Exerc´ıcio 3.10
3.11: Trac¸ar pelo ponto P (figura 71) duas retas que dividam o
triaˆngulo ABC em treˆs partes de mesma a´rea.
B
A
P
C
Figura 71
83
Ana´lise: Seja o triaˆngulo ΔPBA′, com A′ entre B e C, tal que BA′ = x
e SPBA′ = 13SABC . Seja ainda a projec¸a˜o P
′ de P em BC, com PP ′ = hp.
Assim,⎧⎨
⎩
SABC = aha2
SPBA′ =
xhp
2
⇒ x = aha
3hp
Aalogamento, seja o triaˆngulo ΔPAB′, com B′ entre A e C, tal que AB′ = y
e SPAB′ = 13SABC . Seja ainda a projec¸a˜o P
′′ de P em AC, com PP ′′ = h′p.
Assim,⎧⎨
⎩
SABC = aha2
SPAB′ =
yh′p
2
⇒ y = aha
3h′p
Construc¸a˜o: (i) Determine a quarta proporcional hp : ha = a3 : x; (ii) Deter-
mine a quarta proporcional h′p : ha =
a
3 : y.
h′p
hp
x
a
3
ha
yha
a
3
B
A
P
CP ′
P ′′
x
y
B′
A′
Exerc´ıcio 3.11
84
3.12: Trac¸ar pelo ponto P (figura 72) uma reta que divida o qua-
drila´tero ABCD em duas partes equivalentes.
D
P
C
A B
D
P
C
A BA′ B′O
Figura 72 Exerc´ıcio 3.12
Ana´lise: Seja o triaˆngulo ΔPA′B equivalente ao quadrila´tero PDAB e seja
o triaˆngulo ΔPB′A equivalente ao quadrila´tero PCAB. Com isto, o triaˆngulo
ΔPA′B′ e´ equivalente ao quadrila´tero ABCD dado. Logo, o ponto me´dio de
A′B′ divide a a´rea de ΔPA′B′, ou equivalentemente a a´rea de ABCD, em
duas partes iguais.
Construc¸a˜o: (i) Construa um triaˆngulo ΔPA′B equivalente ao quadrila´tero
PDAB. Para isto, trace uma paralela a PA por D, determinando A′ sobre a
reta suporte do lado AB; (ii) Construa um triaˆngulo ΔPB′A equivalente ao
quadrila´tero PCAB. Para isto, trace uma paralela a PB por C, determinando
B′ sobre a reta suporte do lado AB; (iii) Trace PO, onde O e´ o ponto me´dio
de A′B′.
85
3.13: Encontrar os pontos B sobre r e C sobre s (figura 73) de forma
que BC passe por M e a a´rea de ABC seja mı´nima.
A
r
s
M
Figura 73
x2
Aˆ1
Aˆ2
x1
θ
θ
h1
B
r
M
A
h2
Aˆ1
Aˆ2 C
�
s
Exerc´ıcio 3.13 (Construc¸a˜o 1)
Ana´lise 1 (Alge´brica): Sejam � = AM , MAˆB = Aˆ1, MAˆC = Aˆ2 e AMˆB =
θ. A a´rea S do triaˆngulo ΔABC e´ dada por
S =
aha
2
=
a� sen θ
2
=
(a1 + a2)� sen θ
2
onde a1 = MB e a2 = MC sa˜o tais que⎧⎨
⎩
a1 cos(θ − 90o + Aˆ1) = h1 = � sen Aˆ1
a2 cos(90o − θ + Aˆ2) = h2 = � sen Aˆ2
⇒
⎧⎪⎨
⎪⎩
a1 = � sen Aˆ1sen (θ+Aˆ1)
a2 = � sen Aˆ2sen (θ−Aˆ2)
e assim
86
S =
�2 sen θ
2
[
sen Aˆ1
sen (θ + Aˆ1)
+
sen Aˆ2
sen (θ − Aˆ2)
]
=
�2 sen θ
2
[
sen Aˆ1 sen (θ − Aˆ2) + sen Aˆ2 sen (θ + Aˆ1)
sen (θ + Aˆ1) sen (θ − Aˆ2)
]
=
�2 sen θ
2
[
cos(Aˆ1 − θ + Aˆ2)− cos(Aˆ2 + Aˆ1 + θ)
sen (θ + Aˆ1) sen (θ − Aˆ2)
]
=
�2 sen Aˆ sen 2θ
2 sen (θ + Aˆ1) sen (θ − Aˆ2)
=
�2 sen Aˆ
2
(
sen θ cos Aˆ1+sen Aˆ1 cos θ
sen θ
) (
sen θ cos Aˆ2− sen Aˆ2 cos θ
sen θ
)
=
�2 sen Aˆ
2
(
cos Aˆ1 + sen Aˆ1 cotg θ
)(
cos Aˆ2 − sen Aˆ2 cotg θ
)
=
�2 sen Aˆ
2
[
− sen Aˆ1 sen Aˆ2 cotg 2θ+ sen (Aˆ1−Aˆ2) cotg θ+cos Aˆ1 cos Aˆ2
]
=
�2 sen Aˆ
2 sen Aˆ1 sen Aˆ2
[
− cotg 2θ+ sen (Aˆ1−Aˆ2)
sen Aˆ1 sen Aˆ2
cotg θ+ cos Aˆ1 cos Aˆ2
sen Aˆ1 sen Aˆ2
]
=
�2 sen Aˆ
2 sen Aˆ1 sen Aˆ2
[
−
(
cotg θ− cotg Aˆ2−cotg Aˆ12
)2
+δ
]
onde
δ =
(
cotg Aˆ2− cotg Aˆ1
2
)2
+ cotg Aˆ1 cotg Aˆ2 =
(
cotg Aˆ2+ cotg Aˆ1
2
)2
Logo, a minimizac¸a˜o de S e´ obtida com um denominador ma´ximo, ou seja
quando
cotg θ =
cotg Aˆ2 − cotg Aˆ1
2
87
Construc¸a˜o 1: (i) Determine em um c´ırculo trigonome´trico de raio qualquer
os valores de x1 = cotg Aˆ1 e x2 = cotg Aˆ2; (ii) No mesmo c´ırculo trigo-
nome´trico, determine o aˆngulo tal que cotg θ = x2−x12 ; (iii) Trace um reta
fazendo um aˆngulo θ com AM , cujas intersec¸o˜es com as retas r e s sa˜o os
ve´rtices B e C, respectivamente.
Ana´lise2 (Jose´ F. L. de Oliveira): Seja o triaˆngulo desejado ΔABC, com
B sobre r e C sobre s. Sejam as retas r′ e s′ paralelas a r e s, respectivamente,
por M . Sejam os pontos B′, intersec¸a˜o de r com s′, e C ′, intersec¸a˜o de s com
r′. Sejam ainda b1 = AC ′, b2 = C ′C, h1 a distaˆncia de B a s′, e h2 a distaˆncia
de M a s.
A a´rea S do triaˆngulo ΔABC pode ser escrita de duas formas equivalentes:
S =
⎧⎨
⎩
SΔABC =
(b1+b2)(h1+h2)
2
SAB′C′M + SΔB′BM + SΔC′CM = b1h2 + b1h12 +
b2h2
2
⇒ b1h2 = b2h1
de forma que podemos escrever S como
S =
b1(h1 + h2)2
2h1
Derivando esta expressa˜o em relac¸a˜o a h1 e igualando o resultado a zero, tem-se
dS
dh1
=
h21 − h22
h21
= 0 ⇒ h1 = h2 ⇒ d1 = d2
Construc¸a˜o 2 (Jose´ F. L. de Oliveira): (i) Trace a reta s′′ sime´trica a` reta
s em relac¸a˜o ao ponto M , determinando o ponto B, intersec¸a˜o de s′′ com r;
(ii) Prolongue BM , cuja intersec¸a˜o com s e´ o ve´rtice C.
A
h2
C
s
h1
B
r
M
r′
s′
s′′
b1 b2
B′
C ′
Exerc´ıcio 3.13 (Construc¸a˜o 2 - Jose´ F. L. de Oliveira)
88
4 Problemas do Cap´ıtulo 4
4.1: Construir um quadrado equivalente a um c´ırculo dado.
Ana´lise: Sejam � e R o lado do quadrado e o raio do c´ırculo, respectivamente.
Assim, tem-se
�2 = πR2 ≈ (
√
2 +
√
3)R2 ⇒ � ≈
√
(
√
2 +
√
3)R.R
Construc¸a˜o: (i) Retifique o meio c´ırculo de raio R, determinando o compri-
mento x = (x1 + x2) = (
√
3+
√
2)R; (ii) Determine a me´dia geome´trica � de x
e R; (iii) Construa um quadrado de lado �.
x1
x2
x2x1 R
�
Exerc´ıcio 4.1
4.2: Determinar sobre um c´ırculo dado um arco de comprimento
dado.
Ana´lise: Basta reverter o processo de retificac¸a˜o de um arco.
Construc¸a˜o: (i) Trace um diaˆmetro AA′ e uma tangente t ao c´ırculo por A;
(ii) Prolongue o diaˆmetro AA′, determinando o ponto C tal que A′C = 3R4 , com
A′ entre A e C; (iii) Marque o comprimento dado AD = � sobre a tangente;
(iv) Trace CD, determinando a extremidade B do arco sobre o c´ırculo.
R
R
3R
4
A
A′
C
D
B
� t�
R
R
3R
4
A
A′
C
D
B
x1 t
R
2
�
�
Exerc´ıcio 4.2 Exerc´ıcio 4.3
4.3: Construir um quadrado equivalente a um setor circular dado.
Ana´lise:
Construc¸a˜o: (i) Retifique o arco AB que delimita o setor circular dado,
determinando o comprimento x1. Para isto: (i.1) Trace um diaˆmetro AA′ e
uma tangente t ao c´ırculo por A; (i.2) Prolongue o diaˆmetro AA′, determinando
o ponto C tal que A′C = 3R4 , com A
′ entre A e C; (i.3) Prolongue CB,
determinando o comprimento x1 = AD sobre a tangente t; (ii) Determine a
me´dia geome´trica � de x1 e R2 ; (iii) Construa o quadrado de lado �.
90
4.4: Construir um c´ırculo cujo comprimento e´ dado.
Ana´lise: Basta reverter o processo de retificac¸a˜o do c´ırculo. Assim, se � e´ o
comprimento dado e R o raio do c´ırculo, tem-se
� = 2πR ≈ 2(
√
3 +
√
2)R ⇒ R = �(
√
3−√2)
2
Construc¸a˜o: (i) Obtenha os comprimentos x1 = �
√
3
2 e x2 =
�
√
2
2 ; (ii) Deter-
mine R = (x1 − x2).
�
x2
x1
Rx2
x1
A
C ′
B
C
Exerc´ıcio 4.4 Exerc´ıcio 4.5
4.5: Construir um enea´gono regular inscrito num c´ırculo dado.
Construc¸a˜o: (i) Trace o diaˆmetro AB e determine, sobre a mediatriz de AB,
os pontos C e C ′ tais que AB = AC = AC ′ = BC = BC ′; (ii) Divida o
diaˆmetro AB em nove partes iguais; (iii) Una C e C ′ aos pontos de ordem
par, de A = 0 (inclusive) a B = 9 (exclusive). As intersec¸o˜es com o c´ırculo
dos prolongamentos destas retas determinam os ve´rtices do enea´gono regular
inscrito.
91
4.6: Dividir um aˆngulo em treˆs partes iguais.
Ana´lise: Este problema equivale a dividir o comprimento do arco correspon-
dente ao aˆngulo dado em treˆs partes iguais.
Construc¸a˜o: (i) Retifique o arco AB relativo ao aˆngulo dado. Para isto: (i.1)
Trace um diaˆmetro AA′ e uma tangente t ao c´ırculo por A; (i.2) Prolongue o
diaˆmetro AA′, determinando o ponto C tal que A′C = 3R4 , com A
′ entre A e C;
(i.3) Prolongue CB, determinando o comprimento x1 = AD sobre a tangente t;
(ii) Divida o comprimento x1 em treˆs partes iguais, determinando os pontos D′
e D′′ sobre a tangente t; (iii) Determine os arcos equivalentes aos comprimentos
AD′ e AD′′. Para isto: (ii.a) Trace CD′ e CD′′, determinando sobre o c´ırculo as
extremidade B′ e B′′, respectivamente, dos arcos correspondentes aos aˆngulos
desejados.
R
R
3R
4
A
A′
C
D
B
tD′
B′
D′′
x1
3
B′′
Exerc´ıcio 4.6
92
4.7: Um dos processos descritos no texto para retificar, aproxima-
damente, arcos ate´ 90o possui a seguinte variante: Se AB e´ o arco
que desejamos retificar, trac¸amos o diaˆmetro AA′ e o diaˆmetro MN
perpendicular a AA′. Determina-se enta˜o o ve´rtice C do triaˆngulo
equila´tero MNC de forma que A′ seja interior a esse triaˆngulo. A
reta CB encontra a tangente trac¸ada por A em D e o segmento AD
e´ uma boa aproximac¸a˜o para o arco AB. Mostre que se no c´ırculo
unita´rio o arco AB = x e o comprimento AD = y enta˜o
y =
(1 +
√
3) senx√
3 + cos x
e que essa func¸a˜o e´ pro´xima de y = x no intervalo [0, π2 ].
Ana´lise: Sejam O o centro do c´ırculo e E a projec¸a˜o de B sobre OA. Do
triaˆngulo equila´tero ΔCMN , tem-se
OC =
2R
√
3
2
= R
√
3
Da semelhanc¸a dos triaˆngulos ΔADC e ΔEBC, tem-se
AD
AC
=
EB
EC
⇒ AD
R + R
√
3
=
R senx
R
√
3 + R cos x
⇒ AD = R(1 +
√
3) senx√
3 + cos x
R
B
A
A′
M N
tD
x
E
O
C
Exerc´ıcio 4.7
93
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x (rad)
y
(a)
0 0.5 1 1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x (rad)
Er
ro
 (%
)
(b)
Exerc´ıcio 4.7: (a) y.x, com x ∈ [0, π]; (b) Mo´dulo do erro (escala
percentual), para x ∈ [0, π2 ].
94
4.8: Construa um quadrado equivalente a` regia˜o abaixo (figura 83).
Figura 83
Ana´lise: Retificando os dois semi-c´ırculos, teˆm-se os comprimentos
x1 = πR1 ≈ (
√
2 +
√
3)R1
x2 = πR2 ≈ (
√
2 +
√
3)R2
Usando me´dia geome´trica, calculamos novos comprimentos dados por
x′1 =
√
x1.R1 ≈ R1
√
π
x′2 =
√
x2.R2 ≈ R2
√
π
Com isto, o lado � do quadrado desejado e´ tal que
�2 = πR21 − πR22 ≈ x′21 − x′22
Construc¸a˜o: (i) Retifique os semi-c´ırculos dados, de raios R1 e R2, deter-
minando os comprimentos x1 ≈ πR1 e x2 ≈ πR2; (ii) Determine a me´dia
geome´trica x′1 de x1 e R1; (iii) Determine a me´dia geome´trica x′2 de x2 e R2;
(iv) Construa o triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa x′1 e cateto x′2, determinando
o outro cateto �, que e´ o lado do quadrado desejado.
95
�
x′1x
′
2
x′2
�
R2
√
3 R2
√
2
R1
√
3 R1
√
2
R2
R1
Exerc´ıcio 4.8
96
4.9: Construa sobre um c´ırculo dado um arco de comprimento dado.
sln: Para diferenciar do Exerc´ıcio 4.2, vamos considerar aqui que o arco dado
e´ maior que 90o.
Ana´lise: Basta reverter o processo de D’Ocagne de retificac¸a˜o de arcos.
Construc¸a˜o: (i) Trace uma corda AD de comprimento 2�3 e prolongue-a de
forma que AC = �, com D entre A e C; (iii) Trace OD, onde O e´ o centro do
c´ırculo dado, e trace uma paralela a OD por C, cuja intersec¸a˜o com o c´ırculo
dado e´ a extremidade B do arco desejado.
A
D
B
�
C
O
Exerc´ıcio 4.9
4.10: A figura 84 mostra duas polias tangentes que podem girar
livremente em torno de seus centros. Determinar graficamente o
aˆngulo de giro da polia maior quando a menor da´ 1/4 de volta.
Figura 84
Ana´lise: Retifique o aˆngulo da polia menor e determine, na polia maior, o
arco correspondente a este comprimento.
97
Construc¸a˜o: (i) Retifique o arco correspondente ao aˆngulo de 90o na polia
menor. Para isto: (i.1) Prolongue um diaˆmetro AA′ de uma distaˆncia 3R14 , de-
terminando o ponto C; (i.2) Prolongue BC, determinando sobre umatangente
por A o ponto D, tal que x1 = AD e´ o comprimento desejado; (ii) Determine
na polia maior o arco correspondente ao comprimento x1. Para isto: (ii.1)
Prolongue um diaˆmetro AA′′ de uma distaˆncia 3R24 , determinando o ponto
C ′; (ii.2) Trace C ′D, determinando na polia maior a extremidade B′ do arco
desejado.
C
B
D
A
C ′3R1
4
3R2
4
B′
x1
Exerc´ıcio 4.10
98
5 Problemas do Cap´ıtulo 5
1a Parte: Transformac¸o˜es
5.1:
(a) Se Tv e´ a translac¸a˜o determinada pelo vetor v, determine sua
inversa T−1v .
(b) Determine a composta de duas translac¸o˜es Tu e Tv.
Ana´lise:
(a) Da definic¸a˜o de translac¸a˜o, Tv = (p + v). Logo, T−1v = (p − v), ou seja,
T−1v = T−v.
(b) Da definic¸a˜o de translac¸a˜o, Tu ◦ Tv = [(p+ v) + u]. Logo Tu ◦ Tv = Tu+v =
Tv+u.
5.2: Determine a inversa de Sr, reflexa˜o em torno da reta r.
Ana´lise: Da definic¸a˜o de reflexa˜o, Sr = (p + 2d1u), onde d1 e´ a distaˆncia de
p a r e u e´ o vetor unita´rio nesta direc¸a˜o. Logo, S−1r = (p − 2d1u′), onde u′ e´
o vetor unita´rio na direc¸a˜o oposta de u, ja´ que houve uma primeira reflexa˜o.
Assim, S−1r = Sr.
5.3: Se r e s sa˜o retas paralelas, mostre que a composta das reflexo˜es
Sr e Ss e´ uma translac¸a˜o.
Ana´lise: Existem diversos casos dependendo da posic¸a˜o do ponto p = (x0; y0)
em relac¸a˜o a r e s. Para simplificar a ana´lise geral, considere, sem perda
de generalidade, r ≡ x = 0 e s ≡ x = d, onde d e´ a distaˆncia entre r e s.
Da definic¸a˜o de reflexa˜o, Sr = (−x0; y0) e Ss ◦ Sr = (−x0 + 2(x0 + d); y0) =
(x0 + 2d; y0). Logo, Ss ◦ Sr = T2du, onde u e´ o vetor unita´rio ortogonal a r e s
no sentido de r para s.
5.4: Se r e s sa˜o retas concorrentes, mostre que a composta das
reflexo˜es Sr e Ss e´ uma rotac¸a˜o.
Ana´lise: Novamente, existem diversos casos dependendo da posic¸a˜o do ponto
p em relac¸a˜o a r e s. Seja a origem dos eixos cartesianos situada no ponto
O de intersec¸a˜o de r e s e seja θ o aˆngulo entre estas duas retas, no sentido
de r para s. Seja ainda, sem perda de generalidade, r ≡ y = 0. Usando
coordenadas polares, podemos escrever p = (d;α), onde d e´ a distaˆncia de p
a O e α e´ o aˆngulo entre r e pO. Da definic¸a˜o de reflexa˜o, Sr = (d;−α) e
Ss ◦ Sr = (d;−α + 2(α + θ)) = (d;α + θ). Logo, Ss ◦ Sr = SO,2θ, ou seja, a
composta das duas reflexo˜es e´ uma rotac¸a˜o de 2θ em torno de O.
5.5: Sejam SA e SB rotac¸o˜es de 180o em torno de A e B, respectiva-
mente.
(a) Mostre que a composta de SA e SB e´ uma translac¸a˜o.
(b) Que relac¸a˜o existe entre SA ◦ SB e SB ◦ SA?
Ana´lise:
(a) Usando vetores, da definic¸a˜o de rotac¸a˜o de 180o, SA = [x + 2(A − x)] =
(−x+2A) e SB ◦SA = [(−x+2A)+2[B− (−x+2A)]] = (x−2A+2B). Logo,
SB ◦ SA = T−2A+2B .
(b) Do item anterior, SB ◦ SA = T−2A+2B e SA ◦ SB = T2A−2B . Logo, SB ◦ SA
e SA ◦ SB sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o ao ponto original x.
5.6: Sejam SA, SB e SC rotac¸o˜es de 180o em torno de A, B e C, res-
pectivamente, ou, em outras palavras, simetrias centrais em relac¸a˜o
a esses pontos. Mostre que as compostas dessas transformac¸o˜es sa˜o
simetrias centrais mostrando como construir seus centros.
Ana´lise: Seja p o ponto original e seja O o centro da simetria equivalente SO ≡
SC ◦SB ◦SA. Logo A, B, C e O sa˜o os pontos me´dios dos lados do quadrila´tero
p, SA(p), SB ◦ SA(p) e SO(p) ≡ SC ◦ SB ◦ SA(p). Pelo conceito de base me´dia,
e´ simples mostrar que os pontos me´dios dos lados de qualquer quadrila´tero
formam um paralelogramo. Assim, O e´ o quarto ve´rtice do paralelogramo
definido por A, B e C.
A
p
SA(p)
SB ◦ SA(p)
SC ◦ SB ◦ SA(p)
O
C
B
Exerc´ıcio 5.6
5.7: Caracterize os pontos fixos das transformac¸o˜es abordadas neste
cap´ıtulo.
Ana´lise: Na˜o ha´ pontos fixos na translac¸a˜o. Os pontos fixos da reflexa˜o em
relac¸a˜o a uma reta r sa˜o os pontos da reta r. O u´nico ponto fixo de qualquer
rotac¸a˜o, inclusive da simetria central, em torno do ponto A e´ o pro´prio ponto
A. O u´nico ponto fixo de uma homotetia e´ o centro de homotetia.
100
5.8: Determine a inversa de uma rotac¸a˜o Rα.
Ana´lise: Fixando a origem de um eixo de coordenadas no centro de rotac¸a˜o O e
usando coordenadas polares p ≡ (d; θ), da definic¸a˜o de rotac¸a˜o, Rα = (d; θ+α).
Logo, R−1α = (d; θ − α) ou seja R−1α = R−α.
5.9: Se Rα e Rβ sa˜o rotac¸o˜es de mesmo centro, verifique que Rβ ◦Rα =
Rα ◦Rβ = Rα+β.
Ana´lise: Fixando a origem de um eixo de coordenadas no centro de rotac¸a˜o
O e usando coordenadas polares p ≡ (d; θ), da definic¸a˜o de rotac¸a˜o, Rβ ◦Rα =
(d; θ + α + β) e Rα ◦Rβ = (d; θ + β + α). Logo, Rβ ◦Rα = Rα ◦Rβ = Rα+β .
Nota: A composta de duas rotac¸o˜es de amplitudes α e β e centros distintos e´
uma rotac¸a˜o de amplitude α+β se α+β �= k 360o. Os dois pro´ximos exerc´ıcios
justificam essa afirmac¸a˜o e para maiores detalhes o leitor podera´ consultar: I.
M. Yaglom, Geometric Transformations I, Random House, New York, 1962.
5.10: Sejam RA,α e RB,β rotac¸o˜es de centros A e B e amplitudes α e
β, respectivamente. Dada uma reta r, qualquer, sejam r′ = RA,α(r) e
r′′ = RB,β(r′). Mostre que o aˆngulo (orientado) de r para r′′ e´ α + β.
Ana´lise: Da figura-soluc¸a˜o, e´ simples ver o aˆngulo orientado de r para r′′ e´
θ = (α + β).
β
α
α
A
r
r′
r′′
β θ
B
AB
C
αβ
Exerc´ıcio 5.10 Exerc´ıcio 5.11
101
5.11: Considere as rotac¸o˜es RA,α e RB,β como no Exerc´ıcio anterior.
Construa o ponto C tal que BAˆC = −α/2 e ABˆC = β/2. Prove que C
e´ o centro da rotac¸a˜o composta das duas primeiras, ou seja, RB,β ◦
RA,α = RC,α+β.
Ana´lise: Da definic¸a˜o de rotac¸a˜o, o u´nico ponto fixo e´ o centro de rotac¸a˜o.
Compondo as rotac¸o˜es RA,α e RB,β , ha´ um u´nico ponto C do plano que se
mante´m fixo. Da figura-soluc¸a˜o, por simetria, C deve ser tal que BAˆC = −α/2
e ABˆC = β/2.
5.12: Prove que a composta de duas rotac¸o˜es de amplitudes α e −α
e´ a transformac¸a˜o identidade ou uma translac¸a˜o.
Ana´lise: Se O1 ≡ O2, naturalmente RO2,−α ◦ RO1,α e´ uma transformac¸a˜o
identidade. Se, pore´m, O1O2 = d �= 0, vamos provar que a composta RO2,−α ◦
RO1,α e´ uma translac¸a˜o.
Sejam as retas r, r′ = RO1,α(r) e r′′ = RO2,−α(r′). Se r e´ paralela ao
segmento O1O2 a uma distaˆncia d1, enta˜o r′′ e´ tambe´m uma reta paralela a
O1O2 a uma distaˆncia d2 = (d1 + d senα).
Se, por outro lado, r e´ ortogonal ao segmento O1O2 a uma distaˆncia d1
de A, enta˜o r′′ e´ tambe´m uma reta ortogonal a O1O2 a uma distaˆncia d2 =
(d1 + d cosα) de O2.
Logo, quando se aplica a transformac¸a˜o composta RO2,−α ◦ RO1,α, todo o
ponto do plano sofre deslocamentos vertical Δy e horizontal Δx iguais a{
Δy = (d2 − d1) = d senα
Δx = (d2 − d− d1) = d(1− cosα)
Como ambos os deslocamentos sa˜o constantes, independentemente do ponto
inicial, a composta das duas rotac¸o˜es equivale a uma translac¸a˜o.
O1O2
r
r′′
r′
α α α
α
d
d1
Δy
d2
d2
d1
rr′′
r′
α
α
d2
α
d1
α
B Ad
Δx
Exerc´ıcio 5.12(a) Exerc´ıcio 5.12(b)
102
5.13: Determine a inversa de uma homotetia HO,k.
Ana´lise: Da definic¸a˜o de homotetia, sua inversa e´ tal que H−1O,k = HO, 1
k
.
5.14: Determine a composta HO,k2 ◦ HO,k1, de duas homotetias de
mesmo centro.
Ana´lise: Da definic¸a˜o de homotetia, a composta HO,k2 ◦ HO,k1 de mesmo
centro e´ tal que HO,k2 ◦HO,k1 = HO,k1k2 .
5.15: Considere, no plano, dois pontos O1 e O2 e um vetor AB. Trans-
forme AB em A1B1 por uma homotetia de centro O1 e raza˜o k1. Trans-
forme, em seguida, A1B1 em A2B2 por uma homotetia de centro O2
e raza˜o k2.
(a) Mostre que se k1k2 = 1, a composta HO2,k2 ◦ HO1,k1 e´ a trans-
formac¸a˜o identidade ou uma translac¸a˜o.
(b) Mostre que se k1k2 �= 1, a composta das duas homotetias HO1,k1 e
HO2,k2 e´ uma homotetia de raza˜o k1k2 cujo centro O e´ colinear com
O1 e O2.
Ana´lise: Como HO1,k1(AB) = A1B1, enta˜o AB ‖ A1B1 e o comprimento de
A1B1 e´ k1 vezes o comprimento de AB. Como HO2,k2(A1B1) = A2B2, enta˜o
A1B1 ‖ A2B2 e ocomprimento de A2B2 e´ k2 vezes o comprimento de AB.
Logo, AB ‖ A2B2 e o comprimento de A2B2 e´ k1k2 vezes o comprimento de
AB.
(a) Se k1k2 = 1, enta˜o HO2,k2 ◦HO1,k1 e´ uma translac¸a˜o ou uma transformac¸a˜o
identidade, este u´ltimo caso ocorrendo quando O1 ≡ O2.
(b) Se k1k2 �= 1, enta˜o HO2,k2 ◦HO1,k1 e´ uma homotetia de raza˜o k = k1k2. Da
figura-soluc¸a˜o, o centro O desta homotetia composta e´ tal que⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
O1B1
O1B
=
O1A1
O1A
= k1
O2B2
O2B1
=
O2A2
O2A1
= k2
OB2
OB
=
OA2
OA
= k1k2
⇒ O1A.O2A1.OA2
O1A1.O2A2.OA
=
k1k2
k1k2
= 1
Logo, pelo Teorema de Menelaus no triaˆngulo ΔA1A2A3 com a secante O1O2O,
os pontos O1, O2 e O sa˜o colineares.
103
O1
O2
O
A
B
A1
B1
B2
A2
Exerc´ıcio 5.15
5.16: Dados dois c´ırculos de raios diferentes, mostre como construir
os dois centros das homotetias (direta e inversa) que transformam
um no outro.
Ana´lise: Os centros das homotetias direta e inversa sa˜o os pontos de intersec¸a˜o
das tangentes externas e internas, respectivamente. Sejam O1 e O2 os centros
dos c´ırculos C1 e C2 dados de raios R1 e R2, respectivamente. Como descrito
no Exerc´ıcio 1.11, a tangente externa intercepta a reta suporte de O1O2 no
ponto P , externo a O1O2 e tal que PO1 = O1O2.R1(R2−R1) . Ja´ a tangente interna
intercepta a reta O1O2 no ponto P ′, interno a O1O2 e tal que P ′O1 = O1O2.R1(R2+R1) .
P R1
O1 O2
R2
C1
C2
P ′
Exerc´ıcio 5.16
104
2a Parte: Construc¸o˜es
5.17: Na figura 109, os pontos A e B representam cidades e as para-
lelas r e s representam um rio. Determinar a posic¸a˜o de uma ponte
MN (M sobre r e N sobre s) perpendicular a`s margens de forma que
se tenha AM = NB.
A
B
r
s
Figura 109
A
B
B′
M
N
r
s
Exerc´ıcio 5.17
Ana´lise: Seja MB′ a translac¸a˜o vertical de NB de uma distaˆncia d igual ao
comprimento da ponte. Assim, devemos ter MA = NB = MB′, ou seja, M
pertence a` mediatriz de AB′.
Construc¸a˜o: (i) Determine B′ = Td(B); (ii) Trace a mediatriz de AB′, cuja
intersec¸a˜o com r e´ o ponto M ; (iii) Trace uma perpendicular a` r por M , cuja
intersec¸a˜o com s e´ o ponto N .
105
5.18: Construir um paralelogramo conhecendo os lados e o aˆngulo
entre as diagonais.
Ana´lise: Seja BOˆC = θ o aˆngulo dado, onde O e´ a intersec¸a˜o das diagonais.
ConsidereD′ a translac¸a˜o deD na direcca˜o do lado BC de uma distaˆncia igual a
BC. Com isto, BD ‖ CD′ e assim ACˆD′ e BOˆC sa˜o aˆngulos alternos internos,
determinados nas paralelas BD e CD′ por AC. Logo, ACˆD′ = BOˆC = θ.
Construc¸a˜o: (i) Trace AD′ = 2AD e determine o seu ponto me´dio D; (ii)
Construa o arco-capaz C1 do aˆngulo θ relativo ao segmento AD′; (iii) Construa
C2 ≡ C(D,AB), cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o ve´rtice C; (iv) Trace paralelas a
CD, por A, e a AD, por C, cuja intersec¸a˜o e´ o ve´rtice B, determinando o
paralelogramo desejado.
AD
AB
θ
A
CB
C1
C2
D D′θ
θ
θ
Exerc´ıcio 5.18
106
5.19: Dado um triaˆngulo ABC determinar os pontos M sobre AB e N
sobre AC de forma que se tenha MN = � (dado) e ainda MB = NC.
Ana´lise: Na figura-soluc¸a˜o, seja NB′ a translac¸a˜o de MB ao longo de MN ,
de forma a coincidir M com N . Assim, devemos ter MB = NB′ = NC, ou
seja, o triaˆngulo ΔB′NC deve ser iso´sceles, com B′NˆC = BAˆC.
Construc¸a˜o: (i) Prolongue AB e determine C ′ tal que AC ′ = AC; (ii) Trace
C1 ≡ C(B, �), cuja intersec¸a˜o com CC ′ e´ o ponto B′; (iii) Trace B′N ‖ C ′A,
com N sobre AC. Assim, os triaˆngulos ΔAC ′C e ΔNB′C sa˜o semelhantes, pois
teˆm os treˆs lados paralelos, e como AC ′ = AC, enta˜o NB′ = NC; (iv) Trace
MN ‖ BB′ com M sobre AB, de forma que BB′MN e´ um paralelogramo e
assim MB = NB′ = NC com MN = BB′ = �, como desejado.
A
B
C
C ′
C1
B′
N
M
�
�
r
s
B C
s′
r′
B′ C ′
A
Exerc´ıcio 5.19 Exerc´ıcio 5.20
5.20: Sa˜o dados os pontos B e C e as retas r e s na˜o paralelas.
Determinar o triaˆngulo ABC de forma que os pontos me´dios de AB
e AC pertenc¸am a r e s, respectivamente.
Ana´lise: Sejam B′ e C ′ os respectivos pontos me´dios de AB e AC. Logo,
B′C ′ e´ a base me´dia do triaˆngulo ΔABC relativa ao lado BC, ou seja, C ′ e´
uma translac¸a˜o de B′ paralela a BC de uma distaˆncia BC2 .
Construc¸a˜o: (i) Trace r′ = TBC
2
(r), cuja intersec¸a˜o com s e´ o ponto C ′; (ii)
Trace s′ = T−BC
2
(s), cuja intersec¸a˜o com r e´ o ponto B′; (iii) Trace BB′ e CC ′,
cuja intersec¸a˜o dos prolongamentos e´ o ve´rtice A.
107
5.21: Construir o quadrila´tero convexo ABCD conhecendo os com-
primentos das diagonais, o aˆngulo formado por elas e dois lados
opostos.
Nota: Como sugesta˜o, use a figura 110 constru´ıda de forma que se tenha
BB′ = DD′ = AC.
B
C
D
A
B′ D′
Figura 110
108
Ana´lise: Sejam AB e CD os lados dados do quadrila´tero ABCD e seja B′D′ =
TAC(BD). Assim, tem-se o quadrila´tero CDD′B′ cujos lados CD, DD′ = AC,
D′B′ = BD e CB′ = AB sa˜o todos dados e ainda DDˆ′B′ = (180o − θ), ja´ que
B′D′ ‖ BD e DD′ ‖ AC.
Construc¸a˜o: (i) Trace BD e forme o paralelogramo BDD′B′, onde BB′ =
DD′ = AC e BBˆ′D′ = θ. Assim, B′D′ = TAC(BD); (ii) Trace C1 ≡ C(D,CD)
e C2 ≡ C(B′, AB), cuja intersec¸a˜o e´ o ve´rtice C; (iii) Trace uma paralela p1 a
B′C por B e uma paralela p2 a D′C por D, cuja intersec¸a˜o e´ o ve´rtice A.
sln: A outra soluc¸a˜o para o ve´rtice C corresponde a um quadrila´tero refletido
em relac¸a˜o a` diagonal BD.
B
C
D
A
B′
C1
C2
p1 p2
θ
θ
D′
BD
AC
CD
AB
Exerc´ıcio 5.21
109
5.22: Construir o quadrila´tero convexo ABCD conhecendo o aˆngulo
Aˆ, os comprimentos das diagonais, o aˆngulo entre elas e sabendo que
a soma AD + BC e´ mı´nima.
Ana´lise: Seja, como no Exerc´ıcio 5.21, B′D′ = TAC(BD), formando o pa-
ralelogramo BDD′B′. Como AD = CD′, enta˜o para termos (AD + BC) =
(CD′+BC) mı´nimo, devemos ter B, C e D′ colineares. Com isto, B′CˆD′ = Aˆ,
pois CB′ ‖ AB e CD′ ‖ AD.
Construc¸a˜o: (i) Trace BD e forme o paralelogramo BDD′B′, onde BB′ =
DD′ = AC e BBˆ′D′ = θ. Assim, B′D′ = TAC(BD); (ii) Construa o arco-capaz
C1 do aˆngulo Aˆ relativo a` corda B′D′, cuja intersec¸a˜o com BD′ e´ o ve´rtice C;
(iii) Trace uma paralela p1 a B′B por C e uma paralela p2 a D′C por D, cuja
intersec¸a˜o e´ o ve´rtice A.
B
C
D
A
B′ D′
C1
θ Aˆ
Aˆ
p1
p2
θ
AC
BD
Exerc´ıcio 5.22
110
5.23: Sa˜o dadas duas retas r e s e um ponto O.
(a) Construir o quadrado de centro O tal que dois ve´rtices opostos
pertencem a r e s.
(b) Construir o quadrado de centro O tal que dois ve´rtices adjacentes
pertencem a r e s.
Ana´lise:
(a) Os ve´rtices opostos A ∈ r e C ∈ s sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a O. Seja
r′ = SO(r), enta˜o o ve´rtice C deve pertencer a r′ e a s.
(b) Os ve´rtices consecutivos A ∈ r e B ∈ s sa˜o tais que AOˆB = 90o. Seja
r′′ = RO,90o(r), enta˜o o ve´rtice B deve pertencer a r′′ e a s.
Construc¸a˜o: (i) No caso (a), trace uma paralela r′ a r, a uma distaˆncia 2d1,
onde d1 e´ a distaˆncia do ponto O a` reta r. Logo, r′ = SO(r), cuja intersec¸a˜o
com s e´ o ve´rtice C; (ii) Trace CO, cuja intersec¸a˜o do prolongamento com a
reta r e´ o ve´rtice A; (iii) Construa o quadrado ABCD de diagonal AC. (iv)
No caso (b), trace uma perpendicular r′′ a r, a uma distaˆncia d1 de O. Logo,
r′′ = RO,90o(r), cuja intersec¸a˜o com a reta s e´ o ve´rtice B; (v) Trace uma
perpendicular a BO, cuja intersec¸a˜o com a reta r e´ o ve´rtice A; (vi) Construa
o quadrado ABCD de lado AB e centro O.
O
r
s
r′
C
A
D
B
d1
O
r
s
C
A
D
B
d1r′′
Exerc´ıcio 5.23(a) Exerc´ıcio 5.23(b)
111
5.24: Sa˜o dados os pontos A e G, uma reta r e um c´ırculo Γ. Construir
o triaˆngulo ABC de baricentro G sabendo que B pertence a r e C
pertence a Γ.
Ana´lise: O pe´ Am da mediana do triaˆngulo e´ determinado prolongando-se AG
de uma distaˆnciaAG2 . Os pontos B e C sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a Am. Seja
r′ = SAm(r), enta˜o B deve pertencer a r′ e a Γ.
Construc¸a˜o: (i) Prolongue AG de AG2 , determinando o ponto Am; (ii) Trace
uma paralela r′ a r a uma distaˆncia 2d1 de r, onde d1e´ a distaˆncia de Am a r.
Logo r′ = SAm(r), cuja intersec¸a˜o com Γ e´ o ve´rtice B; (iii) Prolongue BAm,
cuja intersec¸a˜o com r e´ o ve´rtice C.
sln: Pode haver mais de uma intersec¸a˜o de r′ com Γ, como indicado na figura-
soluc¸a˜o por C ′.
rΓ
d1
C
C ′
G
A
Am
r′
rΓ
d1
C
C ′
G
A
B
Am
r′ B
Exerc´ıcio 5.24
112
5.25: Construir o quadrado ABCD conhecendo o ve´rtice A, um ponto
da reta BC e um ponto da reta CD.
Ana´lise: Na figura-soluc¸a˜o, a rotac¸a˜o do segmento DP2 de um aˆngulo de 90o
em torno de A e´ o segmento BP ′2 ortogonal a A. Assim, o lado BC esta´ sobre
a reta suporte do segmento P1P ′2.
Construc¸a˜o: (i) Trace AP ′2 ⊥ AP2, com AP ′2 = AP2, tal que P ′2 = RA,90o(P2);
(ii) Trace uma perpendicular a P1P ′2 por A, cuja intersec¸a˜o com P1P ′2 e´ o ve´rtice
B; (iii) Construa o quadrado de lado AB, com P1 sobre BC.
A
B
C
D
P1
P2
P ′2
d1
O
r
s
120o
r′
B
C
A
Exerc´ıcio 5.25 Exerc´ıcio 5.26
5.26: Sa˜o dadas duas retas r e s e um ponto O. Construir o triaˆngulo
equila´tero ABC de centro O sabendo que dois de seus ve´rtices per-
tencem um a r e outro a s.
Ana´lise: Na figura-soluc¸a˜o, o ve´rtice C e´ a rotac¸a˜o do ve´rtice B de um aˆngulo
de 120o em torno do centro O do triaˆngulo. Assim, seja r′ = RO,120o(r). Logo,
o ve´rtice C deve pertencer a r′ e a s.
Construc¸a˜o: (i) Determine a distaˆncia d1 de O a r e construa um triaˆngulo
equila´tero ao longo desta reta com ve´rtice em O. O aˆngulo externo deste
triaˆngulo e´ igual a 120o; (ii) Rotacione a reta r de um aˆngulo de 120o em torno
de O. Seja r′ = RO,120o(r), cuja intersec¸a˜o com s e´ o ve´rtice C; (iii) Trace
C1 ≡ C(O,CO), cuja intersec¸a˜o com r e´ o ve´rtice B; (iv) Trace a mediatriz de
BC, cuja intersec¸a˜o com C1 e´ o ve´rtice A.
113
5.27: Sa˜o dados os pontos M e N e as retas r e s na˜o paralelas.
Construir o paralelogramo ABCD com A sobre r e C sobre s sabendo
que M e N sa˜o os pontos me´dios dos lados AB e BC, respectivamente.
Ana´lise: Seja r′ = T2d1(r), onde d1 e´ a distaˆncia de M a r. Como M e´ me´dio
de AB, enta˜o B deve pertencer a r′. Seja r′′ = T2d2(r′), onde d2 e´ a distaˆncia
de N a r′. Como N e´ me´dio de BC, enta˜o C deve pertencer a r′′ e a s.
Construc¸a˜o: (i) Determine a distaˆncia d1 de M a r e trace uma paralela a
r a uma distaˆncia 2d1; (ii) Determine a distaˆncia d2 de N a r′ e trace uma
paralela a r′ a uma distaˆncia 2d2. Seja r′′ = T2d2(r′) = T2d2 ◦ T2d1(r), cuja
intersec¸a˜o com a reta s e´ o ve´rtice C; (iii) Trace uma paralela a MN por C, cuja
intersec¸a˜o com a reta r e´ o ve´rtice A; (iv) Trace AM ou CN , cuja intersec¸a˜o
do prolongamento com a reta r′ e´ o ve´rtice B; (v) Trace uma paralela p1 a BC
por A e uma paralela p2 a AB por C, cuja intersec¸a˜o e´ o ve´rtice D.
A
B
C
D
r
s
p1
p2 r′
r′′
M
d1
N
d2
A
B CAm
BmCm
p1 p2
p3
Exerc´ıcio 5.27 Exerc´ıcio 5.28
5.28: Construir um triaˆngulo conhecendo os pontos me´dios dos treˆs
lados.
Ana´lise: Unindo os treˆs pontos me´dios Am, Bm e Cm temos as treˆs bases
me´dias do triaˆngulo, que determinam as direc¸o˜es dos treˆs lados do triaˆngulo.
Construc¸a˜o: (i) Trace AmBm, AmCm e BmCm; (ii) Trace paralelas p1 a
AmBm por Cm, p2 a AmCm por Bm e p3 a BmCm por Am, cujas intersec¸o˜es
duas a duas sa˜o os ve´rtices do triaˆngulo desejado.
114
5.29: Construir um penta´gono conhecendo os pontos me´dios dos
cinco lados.
Ana´lise: Os pontos me´dios de um quadrila´tero qualquer formam um paralelo-
gramo. Da figura-soluc¸a˜o, os pontos P1, P2 e P3 determinam um paralelogramo
cujo quarto ve´rtice e´ o ponto me´dio P6 do lado AC no quadrila´tero ACDE.
Tendo P6, podemos construir o triaˆngulo ΔABC, a partir dos pontos me´dios
P4, P5 e P6 dos seus treˆs lados, como descrito no Exerc´ıcio 5.28.
Construc¸a˜o: (i) Trace uma paralela p1 a P2P3 por P1 e uma paralela p2 a
P1P2 por P3, cuja intersec¸a˜o e´ o ponto P6 = TP2P3(P1), me´dio de AC; (ii)
Trace paralelas a P4P5, P4P6 e P5P6 por P6, P5 e P4, respectivamente, cujas
intersec¸o˜es duas a duas sa˜o os ve´rtices A, B e C, tambe´m respectivamente;
(iii) Prolongue CP1, determinando D tal que CD = 2CP1; (iv) Prolongue
AP3, determinando E tal que AE = 2AP3.
P1
P2
P3
P4
P5
A
B
C
D
E
P6p1
p2
Γ r
A A′
B
C
O
d1
Exerc´ıcio 5.29 Exerc´ıcio 5.30
5.30: Sa˜o dados um ponto A e um c´ırculo Γ de um mesmo lado de
uma reta r. Determinar B sobre r e C sobre Γ de forma que AB+BC
seja mı´nimo.
Ana´lise: Seja A′ = Sr(A) o sime´trico de A em relac¸a˜o a r. Assim, (AB +
BC) = (A′B+BC), ja´ que B pertence a r. Logo, A, B e C devem ser colineares
para que (AB +BC) = (A′B + BC) = A′C seja mı´nimo. Por fim, o ponto C,
que minimiza A′C, e´ determinado unindo A′ ao centro O de Γ.
Construc¸a˜o: (i) Determine A′ = Sr(A), trac¸ando uma perpendicular a r por
A e marcando AA′ = 2d1, onde d1 e´ a distaˆncia de A a r; (ii) Trace AO, cujas
intersec¸o˜es com r e Γ sa˜o os pontos B e C, respectivamente.
115
5.31: Sa˜o dados os pontos B e C em lados opostos da reta r. De-
terminar A sobre r de forma que esta reta seja bissetriz do aˆngulo
BAˆC.
Ana´lise: Seja D o ponto de intersec¸a˜o do segmento BC com a reta r. Para
que r seja bissetriz de BAˆC, pelo Teorema das Bissetrizes, devemos ter que
BD
AB
=
CD
AC
⇒ AB
AC
=
BD
CD
Assim, A pertence ao c´ırculo de Apoloˆnio do segmento BC na raza˜o BDCD , como
determinado no Exerc´ıcio 2.31.
Construc¸a˜o: (i) Trace BD, cuja intersec¸a˜o com r e´ o ponto D; (ii) Determine
O sobre BC, resolvendo a quarta proporcional (BD−CD) : BD = CD : OD;
(iii) Trace C1 ≡ C(O,OD), cuja intersec¸a˜o com r e´ o ponto A desejado.
B C
BD − CD
CD
D O
C1
A
r
A B
A′ B′
C ′ D′C O D
Q
Q′
�
R
Exerc´ıcio 5.31 Exerc´ıcio 5.32
5.32: Inscrever um quadrado em um semi-c´ırculo dado.
Ana´lise 1 (Alge´brica): Sejam R e � o raio do semi-c´ırculo e o lado do
quadrado, respectivamente. Da figura-soluc¸a˜o, tem-se
R2 = �2 +
(
�
2
)2
⇒ R = �
√
5
2
⇒ � = 2R
√
5
5
Ana´lise 2: Seja um quadrado auxiliar Q′ = A′B′C ′D′, com o lado C ′D′ sobre
o diaˆmetro r do semi-c´ırculo C1 dado, estando o ponto me´dio de C ′D′ sobre o
centro O de C1. O quadrado desejado Q e´ a homotetia de Q′ com centro O e
raza˜o tal que dois ve´rtices de Q fiquem sobre C1.
Construc¸a˜o: (i) Construa um quadrado auxiliar Q′ com lado C ′D′ sobre r,
com o meio de C ′D′ no centro O de C1; (ii) Prolongue OA′ e OB′, determinando
os ve´rtices A e B de Q sobre C1; (iii) Trace perpendiculares a r por A e B,
determinando os ve´rtices C e D de Q sobre r.
116
5.33: Sa˜o dados um aˆngulo XAˆY e um ponto P , interior. Trac¸ar um
c´ırculo passando por P e tangente aos lados do aˆngulo dado.
Ana´lise: Os centros dos c´ırculos tangentes aos lados de XAˆY esta˜o sobre a
bissetriz bA deste aˆngulo. Seja C1 um c´ırculo qualquer tangente aos lados de
XAˆY , cujas intersec¸o˜es com a reta AP (ou o seu prolongamento) sa˜o os pontos
P ′ e P ′′. O c´ırculo desejado C e´ obtido pela homotetia de C1 com centro A e
raza˜o k′ = APAP ′ ou k
′′ = APAP ′′ .
Construc¸a˜o: (i) Trace a bissetriz bA de XAˆY e marque um ponto O qualquer
sobre bA; (ii) Determine a distaˆncia d1 de O a AX e trace C1 ≡ C(O, d1); (iii)
Trace AP , cujas intersec¸o˜es com C1 sa˜o os pontos P ′ e P ′′; (iv) Determine
as quartas proporcionais AP ′ : AP = AO : AO′ e AP ′′ : AP = AO : AO′′
e marque AO′ e AO′′ com O′ e O′′ sobre bA; (v) Trace C ′ ≡ C(O′, O′P ) e
C ′′ ≡ C(O′′, O′′P ), que sa˜o os c´ırculos desejados.
bAbA
A
X
Y
P
C1
d1
O
P ′
AO
AO′O′
C ′
P ′′
A
X
Y
P
OAO
AO′′
O′′ C ′′
Exerc´ıcio 5.33
117
5.34: Sa˜o dados os pontos B e C e as retas r e s. Construir o triaˆngulo
ABC sabendo que A pertence a` reta r e que o baricentro do triaˆngulo
pertence a` reta s.
Ana´lise: Sejam Am e G o ponto me´dio de BC e o baricentro do triaˆngulo
ΔABC, respectivamente. Logo, AmG = AAm3 . Seja s
′ = HAm,3(s). Logo, A
deve pertencer a s′ e a r.
Construc¸a˜o: (i) Determine o ponto me´dio Am de BC; (ii) Determine dois
pontos P1 e P2 quaisquer de s, e prolongue AmP1 e AmP2 de forma que AmP ′1 =
3AmP1 e AmP ′2 = 3AmP2. Seja s′ = HAm,3(s). Logo, A deve pertencer a s′ e
a r.
sln: O baricentro G e´ a intersec¸a˜o de AAm com s.
r s
s′
B
C
A
AmG
P1
P ′1
P2
P ′2 Γ
Γ′
P
O
O′
A
B
R
2d
2R
Exerc´ıcio 5.34 Exerc´ıcio 5.35
5.35: Sa˜o dados um c´ırculo Γ e um ponto P interior. Trac¸ar por P
uma corda AB de forma que PB seja o dobro de PA.
Ana´lise 1 (Alge´brica): Sejam O e R o centro e o raio de Γ, respectivamente,
e d, x e 2x as distaˆncias de P a O, A e B, respectivamente. Usando o conceito
de poteˆncia do ponto P em relac¸a˜o a Γ, tem-se
(−x)(2x) = (d + R)(d−R)⇒ x
√
2 =
√
R2 − d2
Ana´lise 2: O ponto B e´ obtido pela homotetia de A com centro P e raza˜o
−2. Seja Γ′ = HP,−2(Γ). Logo, B deve pertencer a Γ′ e a Γ.
Construc¸a˜o: (i) Prolongue OP , determinando O′ tal que PO′ = 2OP , com P
entre O e O′; (ii) Trace Γ′ ≡ C(O′, 2R), cuja intersec¸a˜o com Γ e´ B; (iii) Trace
PB, cuja intersec¸a˜o do prolongamento com Γ e´ o ponto A.
118
5.36: Sa˜o dados um ponto A, uma reta r, um ponto M sobre r e um
aˆngulo α. Construir o triaˆngulo ABC com B e C sobre r de forma
que M seja me´dio de BC e BAˆC = α.
Ana´lise: Seja A′ o sime´trico central de A em relac¸a˜o a M . Assim, M e´
me´dio de AA′ e de BC. Logo, o quadrila´tero ABCA′ e´ um paralelogramo,
com ABˆA′ = (180o − α).
Construc¸a˜o: (i) Prolongue AM tal que AA′ = 2AM , com M entre A e A′, de
forma que A′ = SM(A); (ii) Trace o arco-capaz C1 do aˆngulo (180o−α) relativo
a` corda AA′, cuja intersec¸a˜o com r e´ o ponto B; (iii) Trace CM = BM , com
C sobre r e com M entre B e C.
sln: Na figura-soluc¸a˜o, como o centro de C1 esta´ no lado oposto a B em relac¸a˜o
a r, enta˜o ABˆA′ = (180o − α), como desejado.
r
M
A′
B
C
C1
α
A
α
A
r
B
C
D
E
B′
C ′
D′
E ′
P
�′
M
Ah
C2
C1
�
Exerc´ıcio 5.36 Exerc´ıcio 5.37
5.37: Sa˜o dados um ponto A e uma reta r. Construir o penta´gono
regular ABCDE de forma que C e D estejam sobre r.
Ana´lise: Seja AB′C ′D′E′ um penta´gono regular inscrito em um c´ırculo C1
de centro sobre AAh, onde Ah e´ a projec¸a˜o de A em r. O penta´gono regular
ABCDE pode ser obtido pela homotetia de AB′C ′D′D′ com centro A. Assim,
C e D ficam determinandos pelas intersec¸o˜es dos prolongamentos de AC ′ e
AD′ com a reta r.
Construc¸a˜o: (i) Trace a perpendicular AAh a r por A, com Ah pertencendo
a r; (ii) Trace um c´ırculo C1 com centro sobre AAh e passando por A; (iii)
Construa o penta´gono regular AB′C ′D′E′, de lado �′ inscrito em C1, como
descrito no Exerc´ıcio 2.25; (iv) Prolongue AC ′ e AD′, cujas intersec¸o˜es com
r sa˜o os ve´rtices C e D, respectivamente, tais que CD = �; (v) Trace C2 ≡
C(A, �), cujas intersec¸o˜es com os prolongamentos de AB′ e AE′ sa˜o os ve´rtices
B e E, respectivamente.
119
5.38: Sa˜o dadas duas retas r e s e um ponto A. Construir o quadrado
ABCD onde B e C pertencem respectivamente a r e s.
Ana´lise: Se AC e´ a diagonal de um quadrado de lado AB, enta˜o C pode ser
obtido pela rotac¸a˜o de B de 45o em torno de A, seguido de uma homotetia
com centro A e raza˜o
√
2. Sejam r′ = RA,45o(r) e r′′ = HA,√2(r
′). Logo, C
deve pertencer a r′′ e a s.
Construc¸a˜o: (i) Determine a rotac¸a˜o r′ da reta r de 45o em torno de A; (ii)
Determine a homotetia r′′ de r′ com centro em A e raza˜o
√
2. Para isto: (ii.1)
Sejam Ar, Ar′ e Ar′′ as projec¸o˜es de A em r, r′ e r′′, respectivamente. O ponto
Ar′′ pode ser obtido contruindo um quadrado auxiliar de lado AAr e diagonal
AAr′′ ao longo de AAr′ ; (ii.2) A reta r′′ e´ paralela a r′ passando por Ar′′ . Logo,
C deve pertencer a r′′ e a s; (iii) Construa o quadrado de diagonal AC.
r
s
A
r′
r′′
B
C
D
45o
Ar
Ar′
Ar′′
A
B CQ
Q′
Q′′
Q′′′
P ′P
M
N
p1
p2
Exerc´ıcio 5.38 Exerc´ıcio 5.39
5.39: Inscrever no triaˆngulo ABC dado, um triaˆngulo MNP de forma
que cada lado deste triaˆngulo seja perpendicular a um lado de ABC.
Ana´lise: Seja um triaˆngulo auxiliar ΔQQ′P ′, com Q e Q′ pertencendo, res-
pectivamente, a BC e AC, e com os treˆs lados perpendiculares aos lados do
triaˆngulo dado ΔABC. O triaˆngulo desejado pode ser obtido por homotetia
do triaˆngulo ΔQQ′P ′ com centro em C e raza˜o k tal que P = HC,k(P ′) esteja
sobre o lado AB.
Construc¸a˜o: (i) Tome Q qualquer sobre BC e trace QQ′ ⊥ BC, com Q′
em AC, e trace QQ′′ ⊥ AB, com Q′′ em AB; (ii) Trace Q′Q′′′ ⊥ AC, com
Q′′′ em BC, cuja intersec¸a˜o com QQ′′ e´ o ponto P ′ tal que o triaˆngulo auxiliar
ΔQQ′P ′ tem os treˆs lados perpendiculares aos lados de ΔABC; (iii) Trace CP ′,
cuja intersec¸a˜o do prolongamento com o lado AB e´ o ve´rtice P ; (iv) Trace as
paralelas p1 a P ′Q′ por P e p2 a P ′Q por P , cujas respectivas intersec¸o˜es com
os lados AC e BC sa˜o os ve´rtices M e N .
120
5.40: Sa˜o dados um triaˆngulo ABC e um aˆngulo α. Construir um
c´ırculo de centro O, tangente a`s retas AB e AC e cortando o lado BC
em pontos P e Q tais que POˆQ = α.
A
B
C
P
Q
O
Ab
α
R
Rθ
R′
θ
A
B
C
P
Q
O α
Ab
Aθ
bA R
Aˆ
2
α
2
x
θ
x
a
b
b
α α
2
Exerc´ıcio 5.40 (Ana´lise) Exerc´ıcio 5.40
Ana´lise: Seja C1 o c´ırculo desejado de raio R e centro O. Se POˆQ = α, enta˜o
a distaˆncia de O ao lado BC e´ R′ = R cos α2 . Assim, fazendo uma homotetia
em C1 com centro O e raza˜o k = cos α2 , obte´m-se um c´ırculo C
′
1 = HO,k(C1),
de centro O e raio R′, tangente ao lado BC. A questa˜o, pore´m, e´ que na˜o
temos a posic¸a˜o de O (ainda!).
Da figura-ana´lise, o aˆngulo 2θ pelo qual C ′1 e´ visto a partir do ve´rtice A e´
tal que⎧⎨
⎩
sen θ = R
′
AO =
R cos α
2
AO
sen Aˆ2 =
R
AO
⇒ sen θ = cos α
2
sen
Aˆ
2
Marcando o aˆngulo θ em cada lado da bissetriz de A, obteˆm-se duas intersec¸o˜es
Aθ e Aθ′ com o lado BC. O c´ırculo C ′1 e´ o c´ırculo inscrito no triaˆngulo
ΔAAθAθ′ . Com isto, o centro de C ′1, que e´ o mesmo de C1, e´ o incentro
do triaˆngulo ΔAAθAθ′ .
Construc¸a˜o: (i) Em um c´ırculo trigonome´trico de raio r qualquer, obtenha
a = sen Aˆ2 e b = cos
α
2 ; (ii) Determine a quarta proporcional r : a = b : x
e determine, no mesmo c´ırculo de raio r, o aˆngulo θ tal que sen θ = x; (iii)
Marque o aˆngulo θ a partir da bissetriz bA do aˆngulo Aˆ, interceptando o lado
BC no ponto Aθ; (iv) Determine a bissetriz de AAˆθC, cuja intersec¸a˜o com bA
e´ o ponto O, centro do c´ırculo desejado; (v) Trace C1 ≡ C(O,R), onde R e´ a
distaˆncia de O ao lado AC.
121
Refereˆncias
[1] E. Wagner (com J. P. Q. Carneiro), Construc¸o˜es Geome´tricas, Sociedade
Brasileira de Matema´tica, Rio de Janeiro, 5a ed., 2000.
[2] D. J. da S. Cunha, Desenho Geome´trico, Rio de Janeiro, 2a ed., 1956.
[3] J. M. de C. Neves, Desenho Geome´trico Plano, Companhia Editora Naci-
onal, Sa˜o Paulo, 6a ed., 1957.
[4] T. Caronnet, Exerc´ıcios de Geometria, Ao Livro Te´cnico, Rio de Janeiro,
5a ed., 1960.
[5] R. C. Barbosa, Desenho Geome´trico Plano, Nossa Editora, Rio de Janeiro,
1977.
[6] B. de A. Carvalho, Desenho Geome´trico, Ao Livro Te´cnico, Rio de Janeiro,
3a ed., 1982.
[7] T. Braga, Desenho Linear Geome´trico, I´cone Editora, Sa˜o Paulo, 14a ed.,
1997.
[8] E. Q. F. Rezende e M. L. B. de Queiroz, Geometria Euclidiana Plana e
Construc¸o˜es Geome´tricas,Editora da Unicamp, Campinas, 2000.
[9] C. da C. P. Branda˜o, Desenho 1 e 2 (apostila), Sistema Impacto de Ensino,
Rio de Janeiro, 1980.
[10] L. Lopes, Manuel de Construction de Triangles (em franceˆs), QED Texte,
Boucherville, Canada´, 1996.
[11] E. L. Lima, “Sobre um problema da Olimp´ıada,” Revista do Professor de
Matema´tica (CD-ROM), no. 8.
[12] E. Wagner, “Divisa˜o de um c´ırculo em partes iguais,” Revista do Professor
de Matema´tica (CD-ROM), no. 17, 1990.
[13] H. Kumaˆyama, “Retificac¸a˜o de uma circunfereˆncia e a determinac¸a˜o
geome´trica de π,” Revista do Professor de Matema´tica (CD-ROM), no.
20, 1992.
[14] M. Retz e M. D. Keihn, “Construc¸o˜es com Re´gua e Compasso,” em [15],
pp. 29–33, 1992.
[15] H. Eves, To´picos de Histo´ria da Matema´tica para Uso em Sala de Aula:
Geometria, Atual, Sa˜o Paulo, 1992.
122