Teoria da Probabilidade

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NOÇÕES DE ESTATÍSTICA P/ Polícia Civil-DF 
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AULA 02: PROBABILIDADE 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 17 
3. Questões apresentadas na aula 67 
4. Gabarito 88 
 
 Prezado aluno, em nossa segunda aula trataremos sobre a teoria da 
Probabilidade, dando sequência ao estudo de Princípios de Contagem que fizemos 
no último encontro. Este é o verdadeiro tópico presente no seu edital! 
 
 Tenha uma ótima aula! 
 
1. TEORIA 
Imagine que você possui um dado e vai lançá-lo uma vez. Os resultados 
possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Isso é o que chamamos de espaço amostral – o 
conjunto dos resultados possíveis de um determinado experimento aleatório. 
Chamamos este experimento de aleatório pois: antes de executá-lo (jogar o dado) 
não podemos prever o resultado que será obtido; podemos repetir este experimento 
indefinidamente; e após executá-lo várias vezes, esperamos ver um certo padrão 
(neste caso, esperamos que após vários lançamentos tenhamos um número 
parecido de resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6). 
Digamos que só nos interessam os resultados pares. Isto é, apenas os 
resultados 2, 4 e 6. Esse subconjunto do espaço amostral é chamado de Evento, 
sendo composto apenas daqueles resultados que nos são favoráveis. 
Conhecendo essas duas definições, podemos definir a probabilidade de obter 
o nosso Evento em um determinado experimento aleatório como: 
n(Evento)Probabilidade do Evento=
n(Espaço Amostral) 
Na fórmula acima, n(Evento) é o número de elementos do subconjunto 
Evento, isto é, o número de resultados favoráveis; e n(Espaço Amostral) é o número 
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total de resultados possíveis no experimento aleatório. Por isso, costumamos dizer 
também que: 
número de resultados favoráveisProbabilidade do Evento=
número total de resultados
 
Em nosso exemplo, n(Evento) = 3 possibilidades, e n(Espaço Amostral) = 6 
possibilidades. Portanto: 
3 1Probabilidade do Evento= 0,50 50%
6 2
= = = 
 
 Uma propriedade importante do espaço amostral é: a probabilidade de 
ocorrência do próprio espaço amostral é 100%. No caso do dado, a probabilidade 
de obter um dos 6 números existentes é de 100%, pois isso sempre vai ocorrer. Na 
fórmula, teríamos: 
n(Espaço Amostral)Probabilidade do Espaço Amostral= 1 100%
n(Espaço Amostral) = = 
 Observe que, sabendo o número total de resultados e o número de 
resultados favoráveis, o cálculo da probabilidade é muito simples. Portanto, 
normalmente a dificuldade dos exercícios está justamente no cálculo dessas duas 
parcelas. Em alguns casos (como no exemplo do dado) é possível simplesmente 
contar os casos possíveis e os casos favoráveis. Entretanto, na maioria das vezes 
será necessário lembrar os conceitos de princípios de contagem / análise 
combinatória para resolver a questão. Veja um exemplo a seguir: 
 
0. ESAF – MPOG – 2009) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a 
15 números distintos, de 1 a 60, marcados em volante próprio. No caso da escolha 
de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da escolha de 15 números tem-se 
a aposta máxima. Como ganha na Mega-Sena quem acerta todos os seis números 
sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-
sena ao fazer a aposta máxima é o inverso de: 
a) 20.000.000. 
b) 3.300.000. 
c) 330.000. 
d) 100.000. 
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e) 10.000. 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que a probabilidade de acertar na Mega-Sena é a divisão entre o 
número de resultados favoráveis (isto é, os conjuntos de 6 números formados com 
os 15 que preenchemos em nossa cartela) e o número de resultados possíveis (os 
conjuntos de 6 números que podem ser formados com os 60 números disponíveis). 
 Quantos conjuntos de 6 números podemos obter a partir de 15 números 
marcados? Veja que a ordem dos números não importa (o resultado 1, 2, 3, 4, 5, 6 é 
igual ao resultado 4, 5, 3, 6, 2, 1). Portanto, estamos diante de um caso de 
combinação de 15 números em grupos de 6, ou simplesmente C(15,6). 
15 14 13 12 11 10(15,6)
6 5 4 3 2 1
C × × × × ×=
× × × × ×
 
 E quantos conjuntos de 6 números podemos formar com os 60 números 
disponíveis na cartela da Mega-Sena? Ora, combinação de 60, 6 a 6: 
60 59 58 57 56 55(60,6)
6 5 4 3 2 1
C × × × × ×=
× × × × ×
 
 Portanto, a probabilidade de se acertar na Mega-Sena fazendo a aposta 
máxima (15 números) é dada pela divisão: 
 (15,6)
 (60,6)
resultados favoráveis CP
total de resultados C
= = 
 Substituindo nesta expressão os resultados que obtivemos acima, temos: 
15 14 13 12 11 10
15 14 13 12 11 106 5 4 3 2 1
60 59 58 57 56 55 60 59 58 57 56 55
6 5 4 3 2 1
P
× × × × ×
× × × × ×× × × × ×
= =
× × × × × × × × × ×
× × × × ×
 
 Veja que a questão pediu o inverso de P. Invertendo a expressão acima, e 
simplificando o que for possível, temos: 
1 60 59 58 57 56 55 4 59 58 57 4 5
15 14 13 12 11 10 1 1 13 12 1 10
1 1 59 58 19 2 1 10002,7
1 1 13 1 1 1
P
P
× × × × × × × × × ×
= =
× × × × × × × × × ×
× × × × ×
= =
× × × × ×
 
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 Portanto, o inverso da probabilidade de acertar é aproximadamente igual a 
10.000. Veja que a probabilidade de acertar é de apenas 0,00001, ou 0,001%, 
mesmo fazendo a aposta máxima! 
Resposta: E 
 
1.1 Eventos independentes 
Qual seria a probabilidade de, em dois lançamentos consecutivos do dado, 
obtermos um resultado par em cada um deles? Veja que temos dois experimentos 
independentes ocorrendo: o primeiro lançamento e o segundo lançamento do dado. 
O resultado do primeiro lançamento em nada influencia o resultado do segundo. 
Quando temos experimentos independentes, a probabilidade de ter um 
resultado favorável em um E um resultado favorável no outro é dada pela 
multiplicação das probabilidades de cada experimento: 
P(2 lançamentos) =P(lançamento 1) P(lançamento 2) × 
Em nosso exemplo, teríamos: 
P(2 lançamentos) =0,50 0,50 0,25 25% × = = 
Portanto, a chance de obter dois resultados pares em dois lançamentos de 
dado consecutivos é de 25%. 
Generalizando, podemos dizer que a probabilidade de dois eventos 
independentes A e B acontecerem é dada pela multiplicação da probabilidade de 
cada um deles: 
 
P (A e B) = P(A) x P(B) 
 
Sendo mais formal, também é possível escrever P(A B)=P(A) P(B)∩ × , onde 
∩ simboliza a intersecção entre os eventos A e B. 
 
Analise essa questão: 
 
1. ESAF – ATRFB – 2009) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de 
determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três 
letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as 
letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras. 
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Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do 
terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar 
sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva 
letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais próximo da probabilidade de 
ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à disposição e acertar 
ao acaso as teclas da senha? 
a) 0,001. 
b) 0,0001. 
c) 0,000125. 
d) 0,005. 
e) 0,008. 
RESOLUÇÃO: 
 Na primeira tecla apertada ao acaso temos 5 das 25 letras disponíveis. 
Portanto, a chance dessa tecla conter a primeira letra da senha (que pode ser 
qualquer uma das 25) é de 5 em 25, isto é, P = 5/25 = 1/5. 
 Da mesma forma, a chance da segunda tecla apertada ao acaso conter a 
segunda letra da senha é de 5 em 25, ou seja, P = 1/5. Analogamente, a chance da 
terceira tecla apertada conter a terceira letra da senha é P = 1/5. 
 A chance de acertar a primeira E acertar a segunda E acertar a terceira letras 
da senha é dada pela multiplicação dessas probabilidades, pois temos três eventos 
independentes entre si: 
1 1 1 1 0,008
5 5 5 125
P = × × = = 
Resposta: E 
 
1.1.1 Eventos mutuamente exclusivos 
 Existem certos eventos que, se ocorrerem, excluem a possibilidade de 
ocorrência de outro. Por exemplo, imagine que A é o evento “obter um resultado par 
no lançamento de um dado”, e B é o evento “obter um resultado ímpar”. Veja que, 
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se A ocorrer, ele impossibilita a ocorrência simultânea de B (afinal, não há um 
número que seja par e ímpar ao mesmo tempo). 
 Chamamos esses eventos de mutuamente exclusivos, pois A exclui a 
possibilidade de ocorrer B, e B exclui a possibilidade de ocorrer A. Quando tempos 
eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrência simultânea é nula: 
( ) 0P A B∩ = 
 
1.1.2 Probabilidade da união de dois eventos 
 Dados dois eventos A e B, chamamos de A B∪ o evento que ocorre quando 
ocorrem A, B ou ambos. 
Se A = probabilidade de obter um número par no lançamento de um dado e B 
= probabilidade de obter o número 5, A B∪ ocorre se o resultado do dado for {2, 4, 
5, 6}. Portanto, a probabilidade do evento A B∪ é: 
4 2( )
6 3
P A B∪ = = 
 Essa probabilidade pode ser calculada também através da seguinte 
expressão: 
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
 
 Neste caso, veja que P(A) = 3/6 e P(B) = 1/6. Note ainda que A e B são 
eventos mutuamente exclusivos, pois o número 5 não é par. Portanto, ( ) 0P A B∩ = , 
como vimos logo acima. 
 Assim, 
( ) ( ) ( ) ( )
3 1 4 2( ) 0
6 6 6 3
P A B P A P B P A B
P A B
∪ = + − ∩
∪ = + − = =
 
 
 Note, portanto, que a probabilidade do evento A OU do evento B ocorrerem é 
simplesmente igual à soma das probabilidades, caso sejam eventos mutuamente 
exclusivos. 
 
1.2 Eventos complementares 
 O lançamento de um dado só pode ter resultados pares ou ímpares. 
Portanto, somando a probabilidade de obter resultados pares com a probabilidade 
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de obter resultados ímpares, teremos 100%. Se já calculamos a probabilidade de ter 
resultados pares (50%), podemos obter a probabilidade de ter resultados ímpares 
segundo a fórmula abaixo: 
Probabilidade(ímpares) = 1 - Probabilidade(pares) 
 O subconjunto dos resultados pares é o complemento do subconjunto dos 
resultados ímpares, pois unindo esses dois subconjuntos obtemos o espaço 
amostral. Em outras palavras, o que estamos dizendo aqui é que a probabilidade de 
um evento ocorrer é igual a 100% menos a probabilidade do seu complemento 
ocorrer. Portanto, podemos utilizar a expressão abaixo: 
 
Probabilidade(E) = 1 - Probabilidade(Ec) 
 
 Nesta fórmula, E é o Evento procurado e Ec o seu complemento. Vamos 
utilizar essa propriedade para resolver o seguinte problema: qual a probabilidade de, 
efetuando duas vezes o lançamento de um dado, obter pelo menos um resultado 
par? 
 Neste caso, o nosso Evento é: “obter pelo menos um resultado par”. O seu 
complemento é “não obter nenhum resultado par”, ou simplesmente “obter apenas 
resultados ímpares”. A propriedade vista acima nos diz que: 
 
Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - Probabilidade(só ímpares) 
 
 Usamos a propriedade pois é bem fácil calcular a probabilidade de ter apenas 
resultados ímpares. Sabemos que, no primeiro lançamento, a chance de ter um 
resultado ímpar é de 50%, e no segundo lançamento, outros 50%. Para que o 
resultado seja ímpar no primeiro E no segundo lançamentos, basta multiplicar essas 
duas probabilidades: 50% x 50% = 25%. Portanto: 
 
Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - Probabilidade(só ímpares) 
Probabilidade(pelo menos 1 par) = 1 - 25%=75% 
 
 Vamos trabalhar isso no exemplo abaixo: 
 
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2. ESAF – MPOG – 2009) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, 
Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está 
comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou 
encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da 
festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos 
Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence 
à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em 
termos percentuais, igual a: 
a) 30 % 
b) 80 % 
c) 62 % 
d) 25 % 
e) 75 % 
RESOLUÇÃO: 
 Chamemos os 5 moradores de A, B, C, D e E. Sabendo que D não pertence 
à comissão, podemos calcular o total de comissões de 3 pessoas que podem ser 
criadas utilizando-se um total de 4 indivíduos. Trata-se da combinação de 4, 3 a 3: 
C(4,3) = C(4,1) = 4 
 São tão poucas comissões que podemos listá-las rapidamente: 
A, B, C 
A, B, E 
A, C, E 
B, C, E 
 Veja que, das 4, C participa de 3. Portanto, a probabilidade dele estar na 
comissão é: 
P = 3 / 4 = 0,75 = 75% (letra E) 
 A probabilidade de C participar também pode ser calculada sem listar as 
comissões, lembrando que: 
Probabilidade de C fazer parte = 1 – Probabilidade de C não fazer parte 
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 Se nem D nem C fizerem parte das comissões, temos 3 pessoas para formar 
3 comissões. O total de comissões que podem ser formados é C(3,3) = 1. Assim, a 
probabilidade de C não fazer parte é de 1 em 4 comissões, ou seja: 
(3,3) 11 1 75%(4,3) 4
CP
C
= − = − = 
 Para este cálculo acima, basta lembrar que, caso nem D nem C façam parte, 
restam apenas 3 pessoas para serem escolhidas formando grupos de 3, isto é, 
C(3,3). 
Resposta: E 
 
1.3 Cálculo de probabilidades com e sem reposição 
 Um problema muito comum em questões de concursos segue o seguinte 
modelo: você possui uma urna com 2 bolas brancas, 3 bolas pretas e 2 bolas azuis. 
Você retira uma bola, vê a sua cor, coloca-a de volta na urna retira outra bola. Qual 
a probabilidade das duas bolas retiradas serem brancas? 
 Vejaque, após retirar a primeira bola, você a colocou de volta no saco, ou 
seja, você a repôs. Estamos diante de um cálculo de probabilidades com reposição. 
A probabilidade de ter retirado uma bola branca do saco é de 2 em 7, isto é, 27 . 
Como você devolveu esta bola ao saco, a probabilidade de retirar outra bola branca 
é novamente de 27 . Temos dois eventos independentes, portanto a probabilidade 
combinada será a multiplicação dessas duas: 2 2 47 7 49× = . 
 Agora, e se o exercício dissesse que você não coloca de volta na urna a bola 
que retirou? Estaríamos diante de um cálculo de probabilidades sem reposição. 
Neste caso, a probabilidade de retirar uma bola branca inicialmente continua igual: 
2
7 . Já no momento de retirar a segunda bola, teremos apenas 6 bolas dentro da 
urna, sendo que destas apenas 1 é branca. Portanto, a probabilidade de retirá-la 
não é mais de 27 , e sim 
1
6 . Assim, a probabilidade de retirar duas bolas brancas 
da urna será: 2 1 2 17 6 42 21× = = . 
 Outra forma de efetuar esse cálculo último cálculo é observando que o 
número de conjuntos de 2 bolas que podemos formar com 7 bolas é igual a 
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combinação de 7, 2 a 2: C(7,2) = 21. E o número de conjuntos de 2 bolas que 
podemos formar apenas com as 2 bolas brancas é igual a C(2,2) = 1. Portanto, a 
probabilidade de tirar exatamente duas bolas brancas, sem reposição, é P = 1/21. 
 Para finalizar, vejamos uma variação do problema envolvendo a urna: qual 
seria a probabilidade de se retirar uma bola branca ou retirar uma bola preta? 
 Veja que, das 7 bolas, 2 são brancas e 3 são pretas. A probabilidade de se 
retirar uma bola branca já foi calculada anteriormente, e é igual a 27 . 
Analogamente, a probabilidade de se retirar uma bola preta é de 37 . A 
probabilidade de ocorrer um evento (bola branca) OU o outro evento (bola preta) é 
dada por: 
( Pr ) ( ) (Pr ) - ( Pr )P Branca eta P Branca P eta P Branca eta∪ = + ∩ 
 Sabemos que a probabilidade de uma bola ser branca e preta ao mesmo 
tempo é nula, ou seja, ( Pr ) 0P Branca eta∩ = . Isto é, estamos diante de eventos 
mutuamente excludentes. 
 Portanto, bastaria somar 27+
3
7 =
5
7 . 
 
 Dica: repare que quando utilizamos o E (probabilidade dos eventos A e B 
acontecerem) basta multiplicar as probabilidades de cada evento. Já quando 
utilizamos o OU (probabilidade dos eventos A ou B), basta somar as probabilidades 
de cada evento. Isso só vale para probabilidade de eventos independentes (no caso 
do E) ou mutuamente excludentes (no caso do OU) – mas a grande maioria dos 
exercícios de concurso são assim. 
 
 Vamos exercitar com o seguinte exemplo: 
 
3. CEPERJ – SEE-RJ – 2009) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas 
pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a 
probabilidade de que sejam da mesma cor é de: 
a) 20% 
b) 30% 
c) 40% 
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d) 50% 
e) 60% 
RESOLUÇÃO: 
Veja a expressão “sacando ao acaso duas bolas”. Ela nos dá a idéia de que 
não há reposição de bolas, isto é, após pegar a primeira bola e verificar a sua cor, 
ela não é devolvida à urna para só então retirar a segunda. Devemos assumir que 
estamos diante de um experimento aleatório sem reposição. 
Se temos 5 bolas na urna, o total de maneiras de combiná-las duas a duas é: 
 
C(5,2) = 10 
 
Vamos calcular a probabilidade de pegar 2 bolas brancas, e a seguir a 
probabilidade de pegar 2 bolas pretas: 
� 2 bolas brancas: 
O número de formas de pegar duas bolas brancas, dado que temos apenas 2 
bolas dessa cor disponíveis, é C(2,2) = 1. Portanto, a probabilidade de pegar 
2 bolas brancas é: 
(2,2) 1 0,10 10%(5,2) 10= = = =
CP
C
 
� 2 bolas pretas: 
O número de formas de pegar duas bolas pretas, dado que temos apenas 3 
bolas dessa cor disponíveis, é C(3,2) = 3. Portanto, a probabilidade de pegar 
2 bolas pretas é: 
(3, 2) 3 0,30 30%(5, 2) 10= = = =
CP
C
 
 A chance de pegar 2 bolas brancas OU 2 bolas pretas é dada por: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 10% 30% 0 40%
P A B P A P B P A B
P A B
∪ = + − ∩
∪ = + − =
 
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 Veja que ( )P A B∩ , isto é, a probabilidade de pegar uma bola que seja 
branca e preta ao mesmo tempo, é igual a zero, pois os eventos A e B são 
mutuamente excludentes. 
Resposta: C 
 
1.4 Probabilidade de um evento ocorrer se outro ocorreu 
 Neste tópico vamos tratar sobre outro tipo muito comum de questões em 
concursos. Imagine que vamos lançar um dado, e estamos analisando 2 eventos 
distintos: 
A � sair um resultado par 
B � sair um resultado inferior a 4 
 Para o evento A ser atendido, os resultados favoráveis são 2, 4 e 6. Para o 
evento B ser atendido, os resultados favoráveis são 1, 2 e 3. Vamos calcular 
rapidamente a probabilidade de cada um desses eventos: 
3( ) 50%
6
3( ) 50%
6
P A
P B
= =
= =
 
 A pergunta em sua prova pode ser: no lançamento de um dado, qual é a 
probabilidade de obter um resultado par, dado que foi obtido um resultado inferior a 
4? 
 Em outras palavras, essa pergunta é: qual a probabilidade do evento A, dado 
que o evento B ocorreu? Matematicamente, podemos escrever P(A/B) (leia 
“probabilidade de A, dado B”). 
 Aqui já sabemos de antemão que B ocorreu. Portanto, o resultado do 
lançamento do dado foi 1, 2 ou 3 (três resultados possíveis). Destes resultados, 
apenas um deles (o resultado 2) atende o evento A. Portanto, a probabilidade de A 
ocorrer, dado que B ocorreu, é simplesmente: 
1( / ) 33,3%
3
P A B = = 
 E se nos fosse perguntado qual a probabilidade de obter um resultado inferior 
a 4, dado que o resultado do lançamento foi um número par? Isto é, qual a 
probabilidade de B ocorrer, dado que A ocorreu? 
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 Veja que, se A ocorreu, o resultado foi 2, 4 ou 6. Destes, apenas o resultado 
2 atende o evento B (é inferior a 4). Portanto, 
1( / ) 33,3%
3
P B A = = 
 Coincidentemente, obtivemos o mesmo resultado para P(A/B) e P(B/A). A 
probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro ocorreu, é chamada de 
probabilidade condicional. Uma outra forma de calculá-la é através da seguinte 
divisão: 
( )( / ) ( )
P A BP A B
P B
∩
= 
A fórmula nos diz que a probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é a 
divisão entre a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente e a probabilidade 
de B ocorrer. 
Para que A e B ocorram simultaneamente (resultado par e inferior a 4), a 
única possibilidade é o resultado igual a 2. Isto é, apenas 1 dos 6 resultados nos 
atende. Assim, 1( )
6
P A B∩ = . 
 Para que B ocorra (resultado inferior a 4), já vimos que 3 resultados atendem. 
Portanto, 
3( )
6
P B = 
 
 Logo, usando a fórmula acima, temos: 
1( ) 16( / ) 33,3%3( ) 36
P A BP A B
P B
∩
= = = = 
 Veja essa questão: 
 
4. CEPERJ – FAETEC – 2010) Certo dia, a professora colocou na gaveta 9 canetas 
esferográficas de ponta fina,sendo 4 azuis e 5 pretas. No dia seguinte, ela colocou 
na mesma gaveta 11 canetas esferográficas de ponta grossa, sendo 8 azuis e 3 
pretas. No dia seguinte, a professora retirou da gaveta, ao acaso, uma caneta, e 
percebeu que ela era azul. A probabilidade de que esta caneta fosse de ponta 
grossa é: 
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a) 1/2 
b) 1/3 
c) 2/3 
d) 2/5 
e) 3/5 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui é possível destacar 2 eventos: A = retirar uma caneta azul; e B = retirar 
uma caneta de ponta grossa. O exercício pede a probabilidade de a caneta retirada 
ter ponta grossa, dado que ela é azul, ou seja, P(B/A): 
( )( / ) ( )
P A BP B A
P A
∩
= 
 A probabilidade de retirar uma caneta azul é: 
P(A) = 12/20 = 3/5 
 A probabilidade de retirar uma caneta azul E de ponta grossa é: 
( ) 8 / 20 2 / 5P A B∩ = = 
 Portanto, a probabilidade de retirar uma caneta de ponta grossa, dado que 
ela é azul, é: 
2( ) 25( / ) 3( ) 35
P A BP B A
P A
∩
= = = 
 Assim, o gabarito é a letra C. 
 Uma forma mais direta de se resolver esse tipo de questão, sem o uso de 
fórmulas, é simplesmente pensar que das 12 canetas azuis, apenas 8 tem ponta 
grossa. Portanto, se foi pega uma das 12 canetas azuis, a probabilidade de ela ter 
ponta grossa é: 
Canetas azuis de ponta grossa 8 2Probabilidade=
Canetas azuis 12 3
= = 
Resposta: C. 
 
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1.4.1 Independência estatística 
 Vimos acima que, quando dois eventos A e B são independentes, podemos 
dizer que: 
P(A B)=P(A) P(B)∩ × 
 Por outro lado, vimos que: 
( )( / ) ( )
P A BP A B
P B
∩
= 
 Substituindo a primeira equação nesta segunda, temos: 
( ) ( ) ( )( / ) ( ) ( )
( / ) ( )
P A B P A P BP A B
P B P B
P A B P A
∩ ×
= =
=
 
 Esta última equação nos diz que, se A e B são dois eventos independentes, a 
probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu é igual aprópria probabilidade de A 
ocorrer. Isto é, o fato de B ter ocorrido em nada altera a probabilidade de A ocorrer 
ou não. Da mesma forma, podemos dizer que: 
 
P(B/A) = P(B) 
 
 Exemplificando, sejam os eventos A = obter o número 2 no primeiro 
lançamento de um dado; e o evento B = obter o número 6 no segundo lançamento. 
Qual a probabilidade de obter o número 6 no segundo lançamento, dado que foi 
obtido o número 2 no primeiro? 
 Sabemos que esses dois eventos são independentes, afinal o fato de ter 
saído o número 2 no primeiro lançamento em nada altera a probabilidade de sair o 
número 6 no segundo lançamento. Portanto, a probabilidade de B ocorrer, dado que 
A ocorreu (P(B/A)), é simplesmente a probabilidade de B ocorrer (isto é, P(B)). 
Como P(B) = 1/6, podemos dizer que: 
 
P(B/A) = P(B) = 1/6 
 
 Portanto, a probabilidade de obter 6 no segundo lançamento, dado que foi 
obtido 2 no primeiro, é igual a 1/6. 
 
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1.5 Número de sucessos esperados após N repetições do experimento 
 Imagine que vamos vamos executar o experimento aleatório “X”, que consiste 
em efetuar o lançamento do nosso dado. Buscamos a ocorrência do evento “obter 
um resultado par”. Já vimos que, em cada lançamento, a probabilidade de obter um 
resultado par é P = 50%. 
Após 40 lançamentos, esperamos que quantos tenham dado resultado par? 
 Ora, basta multiplicar a probabilidade de ter resultado par em cada 
lançamento (50%) pelo número de lançamentos (40): 
 
Sucessos = 50% x 40 = 20 
 
 Ou seja, é esperado que 20 resultados sejam pares. Generalizando, após N 
repetições de um experimento com “p” chances de que o nosso Evento ocorra, , é 
esperado que o número de resultados em que o nosso evento ocorreu seja: 
 
Sucessos = N x p 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 Vejamos mais uma série de exercícios para você praticar bastante o cálculo 
de probabilidades. 
 
5. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes, que dizem respeito 
à determinação do número de possibilidades lógicas ou probabilidade de algum 
evento. 
 
( ) Considere que 9 rapazes e 6 moças, sendo 3 delas adolescentes, se envolvam 
em um tumulto e sejam detidos para interrogatório. Se a primeira pessoa chamada 
para ser interrogada for escolhida aleatoriamente, então a probabilidades de essa 
pessoa ser uma moça adolescente é igual a 0,2. 
 
RESOLUÇÃO: 
 Temos ao todo 15 pessoas, das quais 3 são moças adolescentes. A 
probabilidade de uma delas ser escolhida é P = 3/15 = 1/5 = 0,2. Item CERTO. 
Resposta: C 
 
6. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada 
jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma 
seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas 
informações, julgue os próximos itens. 
 
( ) A probabilidade de serem obtidas sequências nas quais ocorra coroa nas 
primeiras 3 jogadas é inferior a 1/4. 
RESOLUÇÃO: 
 O número total de sequências possíveis é 210 = 1024, uma vez que para cada 
um dos 10 dígitos da sequência existem 2 possibilidades (0 ou 1). 
 O número de sequências começando com 3 dígitos iguais a 0 
(correspondente a 3 coroas) é igual a 1x1x1x2x2x2x2x2x2x2 = 27 = 128 
 Assim, a probabilidade de se obter uma sequência com 3 coroas nas 
primeiras jogadas é igual a: 
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7
10 3
2 1 1
2 2 8
favoráveisP
total
= = = = 
 Este valor é inferior a 1/4, portanto este item está CORRETO. 
Resposta: C 
 
7. CESPE – PREVIC – 2011) Estimou-se que, na região Norte do Brasil, em 2009, 
havia 1.074.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma população 
total de, aproximadamente, 10.747.000 habitantes, e que na região Centro-Oeste, 
no mesmo ano, havia 840.433 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma 
população total de, aproximadamente, 10.505.415 habitantes. A partir dessas 
informações, julgue o item subsequente. 
( ) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos de idade ou mais escolhida ao 
acaso em 2009, na região Norte ou na região Centro-Oeste, ser analfabeta é inferior 
a 20%. 
RESOLUÇÃO: 
 Somando a população com 15 ou mais anos de idade das regiões Norte e 
Centro-Oeste, temos 10.747.000+10.505.415 = 21.252.415 pessoas. Destas, o total 
de analfabetos é de 1.074.700+840.433 = 1.915.133. 
 Veja que 20% de 21 milhões é igual a 4,2 milhões. Como o total de 
analfabetos é inferior a isto, podemos dizer que o percentual de analfabetos é 
inferior a 20% - logo, a probabilidade de se escolher um analfabeto é inferior a 20%. 
Item CORRETO. 
 Você também poderia calcular a probabilidade de uma dessas pessoas ser 
analfabeta: 
1915133 0,09 9%
21252415
favoráveisP
total
= = = = 
Resposta: C 
 
8. CESPE– Banco do Brasil – 2007) Uma pesquisa, realizada com 900 pessoas 
que 
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contraíram empréstimos bancários e tornaram-se inadimplentes, mostrou a seguinte 
divisão dessas pessoas, de acordo com a faixa etária. 
 
A partir da tabela acima e considerando a escolha, ao acaso, de uma pessoa entre 
as 900 que participaram da referida pesquisa, julgue os itens subseqüentes. 
( ) A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade é inferior a 
0,52. 
( ) A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos de idade, sabendo-se que 
ela tem pelo menos 31 anos, é superior a 0,5. 
( ) A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade é inferior a 
0,3. 
( ) A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de idade ou mais de 50 anos de 
idade é superior a 30%. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade é inferior a 
0,52. 
 O total de pessoas que não tem menos de 41 anos é de 356 + 154 = 510. 
Assim, a probabilidade de uma pessoa não ter menos de 41 anos é: 
P = 510/900 = 0,566 = 56,6% 
 Item ERRADO. 
 
( ) A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos de idade, sabendo-se que 
ela tem pelo menos 31 anos, é superior a 0,5. 
 Se uma pessoa tem pelo menos 31 anos, ela está nos 3 grupos da direita, 
que totalizam 250+356+154 = 760 pessoas. Dessas 760, sabemos que 356 tem 
entre 41 e 50 anos de idade. 
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 Assim, a probabilidade de uma pessoa ter entre 41 e 50 anos, sabendo que 
ela tem pelo menos 31 anos, é de: 
P = 356/760 = 0,468 = 46,8% 
 Item ERRADO. 
 
( ) A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade é inferior a 
0,3. 
 Existem 250 pessoas nesta faixa de idade, de um total de 900. Assim, a 
probabilidade procurada é: 
P = 250/900 = 0,277 = 27,7% 
 Item CORRETO. 
 
( ) A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de idade ou mais de 50 anos de 
idade é superior a 30%. 
 O número de pessoas que tem até 30 anos é de 140, e que tem mais de 50 é 
de 154. Assim, o total de casos “favoráveis” é de 140 + 154 = 294. Como o total de 
pessoas é de 900, a probabilidade de se escolher uma pessoa com até 30 ou com 
mais de 50 anos é: 
P = 294/900 = 0,326 = 32,6% 
 Item CORRETO. 
Resposta: E E C C 
 
9. CESPE – MPE/AM – 2008) Julgue os itens seguintes, relativos a conceitos 
básicos de probabilidade: 
 
( ) Considere que, em um jogo em que se utilizam dois dados não-viciados, o 
jogador A pontuará se, ao lançar os dados, obtiver a soma 4 ou 5, e o jogador B 
pontuará se obtiver a soma 6 ou 7. Nessa situação, é correto afirmar que o jogador 
2 tem maior probabilidade de obter os pontos esperados. 
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( ) Ao se lançar dois dados não-viciados, a probabilidade de se obter pelo menos 
um número ímpar é superior a 5/6. 
 
RESOLUÇÃO: 
� PRIMEIRO ITEM: para obter a soma 4 ou 5, temos as seguintes 
possibilidades de combinação de resultado entre os dados: 
1 e 3; 1 e 4; 2 e 2; 2 e 3; 3 e 1; 3 e 2; 4 e 1 
Já para obter a soma 6 ou 7, os resultados possíveis são: 
1 e 5; 1 e 6; 2 e 4; 2 e 5; 3 e 3; 3 e 4; 4 e 2; 4 e 3; 5 e 1; 5 e 2; 6 e 1 
Portanto, existem apenas 7 resultados favoráveis ao jogador A e 11 
resultados favoráveis ao jogador B. Este último leva clara vantagem. Item 
CORRETO. 
� SEGUNDO ITEM: a probabilidade de obter pelo menos um número ímpar é 
igual a 100% menos a probabilidade de obter apenas números pares. Esta 
última é facilmente calculada. 
Existem 3 números pares e 3 números ímpares em um dado. Assim, a 
probabilidade de obter um número par ao lançar um dado é: 
3 1(resultado par em 1 dado)
6 2
P = = 
 Portanto, a probabilidade de obter um número par no primeiro dado E obter 
um número par também no segundo dado é dada pela multiplicação das 
probabilidades de cada evento isolado: 
1 1 1(resultado par em 2 dados)
2 2 4
P = × = 
 Portanto, a probabilidade de obter pelo menos um número ímpar é: 
(pelo menos 1 ímpar em 2 dados) 100% (resultado par em 2 dados)
1 3(pelo menos 1 ímpar em 2 dados) 1 75%
4 4
P P
P
= −
= − = =
 
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 Assim, a probabilidade de ter pelo menos 1 resultado ímpar é de 75%, que é 
inferior a 5/6 (aproximadamente 83%). 
Resposta: C E 
 
10. CESPE – Polícia Civil/TO – 2008) Cada um dos itens subseqüentes contém 
uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada: 
 
( ) Um policial civil possui uma vestimenta na cor preta destinada às solenidades 
festivas, uma vestimenta com estampa de camuflagem, para operações nas 
florestas. Para o dia-a-dia, ele possui uma calça na cor preta, uma calça na cor 
cinza, uma camisa amarela, uma camisa branca e uma camisa preta. Nessa 
situação, se as vestimentas de ocasiões festivas, de camuflagem e do dia-a-dia não 
podem ser misturadas de forma alguma, então esse policial possui exatamente 7 
maneiras diferentes de combinar suas roupas. 
 
( ) Uma empresa fornecedora de armas possui 6 modelos adequados para 
operações policiais e 2 modelos inadequados. Nesse caso, se a pessoa 
encarregada da compra de armas para uma unidade da polícia ignorar essa 
adequação e solicitar ao acaso a compra de uma das armas, então a probabilidade 
de ser adquirida uma arma inadequada é inferior a 1/2 
 
RESOLUÇÃO: 
� PRIMEIRO ITEM: 
O policial tem a roupa de ocasiões festivas, a camuflada, 2 calças e 3 
camisas. Ele pode combinar as 2 calças com as 3 camisas, obtendo 2 x 3 = 6 
formas diferentes de se vestir. Além dessas 6, ele ainda pode usar a roupa 
festiva ou a camuflada, totalizando 8 formas de se vestir. Observe que ele 
não pode misturar essas 2 últimas, como disse o enunciado. Item ERRADO. 
� SEGUNDO ITEM: 
A probabilidade de adquirir uma arma inadequada é: 
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tipos de armas inadequadas 2 1
total de tipos de armas 8 4
P = = = 
Como 1/4 é inferior a 1/2, temos um item CORRETO. 
Resposta: E C 
 
11. FDC - PREF. PALMAS - 2010) João possui figurinhas com a foto de jogadores 
das seleções de 3 países. O quadro abaixo mostra a distribuição dessas figurinhas 
por cada um desses países. 
 
Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas 50 figurinhas, a probabilidade de que 
nela haja uma foto de um jogador brasileiro é igual a: 
a) 10% 
b) 20% 
c) 30% 
d) 40% 
e) 50% 
RESOLUÇÃO: 
 Para resolver essa questão, basta nos lembrarmos que: 
possibilidades favoráveisProbabilidade do Evento=
total de possibilidades
 
 Neste caso, as possibilidades favoráveis são 20 (pois temos 20 jogadores 
brasileiros), enquanto o total é 50. Assim, a probabilidade do evento “pegar uma 
figurinha com jogador brasileiro” é: 
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20Probabilidade = 0,4 40%
50
= = 
Resposta: D. 
 
12. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na 
relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico 
de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria, 
mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das 
Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 
66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram 
homens e 9% meninos. 
Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório 
do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptações). 
Com base no texto acima, julgue os itens a seguir. 
 
( ) Se for escolhida ao acaso uma das vítimas indicadas na pesquisa, a 
probabilidade de que ela seja ou do sexo feminino ou um menino será inferior a 
80%. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que as vítimas do sexo feminino são 66% + 13% = 79%. Isto é, a 
probabilidade da vítima ser do sexo feminino é de 79%. Já a probabilidade da vítima 
ser um menino é de 9%. Temos dois eventos mutuamente excludentes, isto é, não é 
possível uma vítima ser do sexo feminino e ser menino ao mesmo tempo. A 
probabilidade da união desses dois eventos (feminino ou menino) é, portanto, a 
soma das probabilidades: 79% + 9% = 88%, que é superior a 80%. Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
13. CESPE – Polícia Federal – 2004) 
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Com a campanha nacional do desarmamento, a Polícia Federal já recolheu em todo 
o Brasil dezenas de milhares de armas de fogo. A tabela acima apresenta a 
quantidade de armas de fogo recolhidas em alguns estados brasileiros. 
Considerando que todas essas armas tenham sido guardadas em um único 
depósito, julgue os itens que se seguem. 
( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a probabilidade 
de ela ter sido recolhida no Rio Grande do Sul é superior a 0,11. 
( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a probabilidade 
de ela ter sido recolhida em um dos dois estados da região Sudeste listados na 
tabela é superior a 0,73. 
() Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nesse depósito, a 
probabilidade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco é inferior a 0,011. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a probabilidade 
de ela ter sido recolhida no Rio Grande do Sul é superior a 0,11. 
 5500 das 33000 armas recolhidas são do RS. Portanto, a probabilidade do 
evento “pegar uma arma do Rio Grande do Sul” é de 5500 chances em 33000, ou 
seja: 
possibilidades favoráveisProbabilidade do Evento=
total de possibilidades
5500Probabilidade do Evento= 0,1666
33000
=
 
 Como vemos, essa probabilidade é superior a 0,11. Item CERTO. 
 
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( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a probabilidade 
de ela ter sido recolhida em um dos dois estados da região Sudeste listados na 
tabela é superior a 0,73. 
 21000 armas foram recolhidas na região Sudeste (SP e RJ), de um total de 
33000. Assim, a probabilidade de uma arma ser da região Sudeste é de 21000 
chances em 33000: 
21000 0,6363
33000
P = = 
 Veja que este número é inferior a 0,73. Item ERRADO. 
 
() Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nesse depósito, a 
probabilidade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco é inferior a 0,011. 
 Casos favoráveis: o número de formas de escolher 2 armas dentre as 6500 
de Pernambuco é dado pela combinação de 6500, 2 a 2. 
 Total de casos: O número de formas de escolher 2 armas dentre as 33000 
(total) é dado pela combinação de 33000, 2 a 2. 
 Assim, a probabilidade de escolher 2 armas de Pernambuco é: 
6500 6499
(6500,2) 2 1
33000 32999(33000,2)
2 1
6500 6499 0,038
33000 32999
favoráveis CP
total C
P
×
×
= = =
×
×
×
= =
×
 
 Portanto, o item está ERRADO. 
Resposta: C E E 
 
14. CESPE – Polícia Federal – 2009) De acordo com o jornal espanhol El País, em 
2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina, tendo 
crescido 16% nos últimos 12 anos. O crime é apontado como o principal problema 
desses países, provocando uma grande quantidade de mortes. O índice de 
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homicídios por 100.000 habitantes na América Latina é alarmante, sendo, por 
exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala. 
Internet: <www.noticias.uol.com.br> 
Tendo como referência as informações apresentados no texto acima, julgue o item 
que se segue. 
( ) Se, em cada grupo de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade de que um 
cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma 
probabilidade para habitantes de El Salvador ou da Guatemala, então, em cada 
100.000 habitantes da Europa, a probabilidade referida é inferior a 10-5. 
RESOLUÇÃO: 
 Se, em El Salvador, temos 45 mortes para cada 100.000 habitantes, e na 
Europa este número é 30 vezes menor, teremos 45 / 30 = 1,5 mortes para cada 
100.000 habitantes na Europa. Portanto: 
5
5
1,5 1,5 1,5 10
100000 10
P −= = = × 
 Já se, na Guatemala, temos 50 mortes para cada 100.000 habitantes, e na 
Europa este número é 30 vezes menor, teremos 50 / 30 = 1,667 mortes para cada 
100.000 habitantes na Europa. Portanto: 
5
5
1,667 1,667 1,667 10
100000 10
P −= = = × 
 Como tanto 1,5x10-5 como 1,667x10-5 são maiores que 10-5, o item está 
ERRADO. 
Resposta: E 
 
15. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que, em um torneio de 
basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para 
formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue os itens que se seguem. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o 
grupo A será inferior a 400. 
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( ) Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores, entre titulares e reservas, 
que os uniformes de 4 equipes sejam completamente vermelhos, de 3 sejam 
completamente azuis e de 4 equipes os uniformes tenham as cores azul e vermelho, 
então a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja 
somente vermelho ou somente azul será inferior a 30%. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o 
grupo A será inferior a 400. 
 Temos 11 equipes, e delas devemos escolher um grupo de 5. Para isto, 
basta efetuar a combinação de 11, 5 a 5: 
11 10 9 8 7(11,5) 462
5 4 3 2 1
C × × × ×= =
× × × ×
 
 Item ERRADO. 
 
( ) Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores, entre titulares e reservas, 
que os uniformes de 4 equipes sejam completamente vermelhos, de 3sejam 
completamente azuis e de 4 equipes os uniformes tenham as cores azul e vermelho, 
então a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja 
somente vermelho ou somente azul será inferior a 30%. 
 Temos, ao todo 11 x 10 = 110 jogadores. Destes, 40 usam somente 
vermelho, 30 somente azul e outros 40 usam azul e vermelho. Se queremos os 
jogadores que usam apenas azul ou apenas vermelho, o número de casos 
favoráveis é de 30 + 40 = 70, em um total de 110. Assim, a probabilidade que 
buscamos é: 
40 30 0,6363 63,63%
110 110
P = + = = 
 Item ERRADO. O gabarito inicial foi dado como CERTO, e a banca preferiu 
anular a questão a alterar o gabarito. 
Resposta: E, E (Anulada) 
 
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16. CESPE – DETRAN/DFT – 2010) Considere que, em uma amostra composta por 
210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao 
DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos; 70, 
para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas não 
relacionados à documentação de veículos ou a multas. A respeito dessa situação 
hipotética, julgue os itens a seguir. 
( ) Em face dessa situação, é correto afirmar que, nessa amostra, menos de 30 
pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para resolver 
problemas relacionados simultaneamente à documentação de veículos e a multas. 
( ) Caso se selecionem, ao acaso, duas pessoas, entre as 210 da amostra, a 
probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN para 
solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou que a tenham 
procurado para resolver problemas relacionados a multas será superior a 1/6. 
( ) Entre as 210 pessoas da amostra, para se selecionar, ao acaso, ao menos duas 
que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências 
relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas que a tenham 
procurado para resolver problemas relacionados a multas, o menor número de 
pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Em face dessa situação, é correto afirmar que, nessa amostra, menos de 30 
pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para resolver 
problemas relacionados simultaneamente à documentação de veículos e a multas. 
 Para resolver essa questão vamos usar alguns conceitos básicos sobre 
Conjuntos. Usando os conjuntos Documentação, Multas e Outros, a única certeza 
que temos é que 70 pessoas não foram tratar nem de documentação e nem de 
multas. Além disso, do contexto podemos assumir que as pessoas que foram 
resolver problemas de documentação ou de multas não foram também resolver 
outras coisas, mas pode haver pessoas que foram resolver problemas de 
documentação e de multas também. Assumindo que X pessoas foram resolver 
problemas de documentação e de multas, temos que 105 – X foram resolver apenas 
problemas de documentação, e 70 – X foram resolver apenas problemas de multas: 
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 Portanto, podemos dizer que: 
210 = 70 + (105 – X) + X + (70 – X) 
210 = 245 – X 
X = 35 pessoas 
 Assim, mais de 30 pessoas foram resolver problemas de documentação e 
também de multas. Item ERRADO. 
 
( ) Caso se selecionem, ao acaso, duas pessoas, entre as 210 da amostra, a 
probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN para 
solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou que a tenham 
procurado para resolver problemas relacionados a multas será superior a 1/6. 
 Usando o diagrama acima, sabendo que X = 35, temos: 
 
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 Veja que 140 pessoas foram resolver problemas de documentação ou de 
multas. O número de formas de escolher 2 dessas 140 pessoas é dada pela 
combinação C(140,2). 
 O total de pessoas é de 210. Assim, o número de formas de escolher 2 
dessas 210 pessoas é C(210,2). 
 Portanto, a probabilidade de escolher 2 pessoas que foram resolver 
problemas de documentação ou de multas é: 
140 139
(140,2) 140 139 2 1392 1
210 219(210,2) 210 219 3 219
2 1
favoráveis CP
total C
×
× ××
= = = = =
× × ×
×
 
 Veja que esta é superior a 1/6. Portanto, o item está CERTO. 
 
( ) Entre as 210 pessoas da amostra, para se selecionar, ao acaso, ao menos duas 
que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências 
relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas que a tenham 
procurado para resolver problemas relacionados a multas, o menor número de 
pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73. 
 Veja que, se selecionarmos 70 pessoas, pode ser que as 70 façam parte do 
grupo que foi resolver outros problemas. Se escolhermos mais uma (71), esta 
certamente foi resolver problemas de documentação ou de multas. Se escolhermos 
mais uma, chegando a 72, esta também foi resolver problemas de documentação ou 
de multas. Mas pode ser que a 71ª tenha ido resolver apenas um desses problemas 
(ex.: documentação) e a 72ª tenha ido resolver apenas o outro (multas). Ao escolher 
a 73ª, esta também certamente foi resolver problemas de documentação ou de 
multas. Seja qual for, podemos garantir que agora temos pelo menos 2 pessoas que 
foram resolver problemas de documentação ou de multas. Item CERTO. 
Resposta: E C C 
 
17. ESAF – AFT – 2010) Em uma amostra aleatória simples de 100 pessoas de 
uma população, 15 das 40 mulheres da amostra são fumantes e 15 dos 60 homens 
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da amostra também são fumantes. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas da 
amostra, sem reposição, a probabilidade de exatamente quatro delas serem 
homens fumantes é dada por: 
a) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,15, n=5 e k=4. 
b) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=15 e k=4. 
c) CM,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=60 e k=4. 
d) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=15, m=5 e k=4. 
e) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,25, n=5 e k=4. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos 15 homens fumantes no grupo de 100 pessoas. Para escolher 4 
homens fumantes, basta calcular a combinação de 15, 4 a 4: C(15,4). 
 Para que a outra pessoa não seja um homem fumante, temos 85 
possibilidades (40 mulheres, fumantes ou não, e mais os 45 homens não fumantes). 
 Assim, temos 85 x C(15,4) possibilidades de escolher 5 pessoas, sendo 
exatamente 4 homens não fumantes. 
 A quantidade de formas de se escolher 5 pessoas em um grupo de 100 é 
dado pela C(100,5). 
 Portanto, a probabilidade de escolher 5 pessoas, contendo exatamente 4 
homens não fumantes, é: 
85 (15,4)
(100,5)
favoráveis CP
total C
×
= = 
 Veja que na letra B temos Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=15 e k=4. 
Substituindo as letras N, n, m e k pelos valores dados nessa alternativa, temos: 
C15,4 C100-15, 5-4 / C100, 5 = C15,4 C85, 1 / C100, 5 = C15,4 85 / C100, 5 
 Portanto, esta é a resposta. 
Resposta: B 
 
18. ESAF – ATRFB – 2009) Três amigas participam de um campeonato de arco e 
flecha. Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidadede acertar o alvo 
de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem 
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uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro de 
maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo 
menos dois dos três tiros acertarem o alvo? 
a) 90/100 
b) 50/100 
c) 71/100 
d) 71/90 
e) 60/90 
RESOLUÇÃO: 
 Para que pelo menos dois tiros acertem o alvo, é preciso que uma dessas 
situações ocorra: 
1. As três amigas acertem. Aqui, a probabilidade é dada pela multiplicação das três 
probabilidades: 
1
3 5 2 1
5 6 3 3
P = × × = 
 
2. A primeira e segunda amigas acertarem, e a terceira errar. Note que a 
probabilidade da terceira errar é de 1 – 2/3 = 1/3. Assim: 
2
3 5 1 1
5 6 3 6
P = × × = 
 
3. A primeira e terceira amigas acertarem, e a terceira errar. Note que a 
probabilidade da segunda errar é de 1 – 5/6 = 1/6. Assim: 
3
3 1 2 1
5 6 3 15
P = × × = 
 
4. A segunda e terceira amigas acertarem, e a primeira errar. Note que a 
probabilidade da primeira errar é de 1 – 3/5 = 2/5. Assim: 
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4
2 5 2 2
5 6 3 9
P = × × = 
 
 Assim, a probabilidade de pelo menos 2 acertarem é: 
P = P1 + P2 + P3 + P4 
P = 1/3 + 1/6 + 1/15 + 2/9 
P = 30/90 + 15/90 + 6/90 + 20/90 
P = 71/90 
Resposta: D 
 
19. ESAF – MPOG – 2009) Em uma urna existem 200 bolas misturadas, diferindo 
apenas na cor e na numeração. As bolas azuis estão numeradas de 1 a 50, as bolas 
amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas estão numeradas de 
151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao acaso, com reposição, qual 
a probabilidade de as três bolas serem da mesma cor e com os respectivos 
números pares? 
a) 10/512. 
b) 3/512. 
c) 4/128. 
d) 3/64. 
e) 1/64. 
RESOLUÇÃO: 
 Muito cuidado ao seguinte detalhe: vamos retirar as bolas com reposição, ou 
seja, vamos retirar uma, devolve-la à urna, e retirar outra. Podemos acabar tirando a 
mesma bola duas ou três vezes. 
 Se queremos retirar 3 bolas da mesma cor e pares, temos as seguintes 
possibilidades: 
- retirar 3 bolas azuis pares OU retirar 3 bolas amarelas pares OU retirar 3 
bolas vermelhas pares. 
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Vamos calcular separadamente a probabilidade de cada uma dessas 
possibilidades, e a seguir somá-las, pois temos o conectivo “OU”. 
Das 200 bolas, 50 são azuis e, destas, 25 são pares. A probabilidade de retirar 
uma bola azul par é de 25/200 = 1/8. A probabilidade da primeira E da segunda E 
da terceira bola serem azuis e pares é P = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 1/512 (multiplicamos 
pois temos o conectivo “E” – eventos independentes). 
Das 200 bolas, 100 são amarelas e, destas, 50 são pares. A probabilidade de 
retirar uma bola amarela par é de 50/200 = 1/4. A probabilidade da primeira E da 
segunda E da terceira bola serem amarelas e pares é P = 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64. 
Das 200 bolas, 50 são vermelhas e, destas, 25 são pares. A probabilidade de 
retirar uma bola vermelha par é de 25/200 = 1/8. A probabilidade da primeira E da 
segunda E da terceira bola serem vermelhas e pares é P = 1/8 x 1/8 x 1/8 = 
1/512. 
Portanto, a probabilidade de tirar 3 bolas da mesma cor e pares é dada pela 
soma: 
P = 1/512 + 1/64 + 1/512 = 10/512 
Resposta: A 
 
20. ESAF – SMF/RJ – 2010) Em cada um de um certo número par de cofres são 
colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. Em uma segunda 
etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, é colocada uma 
moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim, 
em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de 
ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, 
cada cofre ficou com cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a 
probabilidade de ele conter três moedas de ouro? 
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a) 0,15 
b) 0,20 
c) 0,5 
d) 0,25 
e) 0,7 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos seguir os passos do enunciado, considerando que temos um número 
par de cofres, neste caso 2xN cofres. 
- Em cada um de um certo número par de cofres são colocadas uma moeda de 
ouro, uma de prata e uma de bronze. 
 Portanto, cada um dos 2N cofres tem 1 moeda de cada tipo. 
- Em uma segunda etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, 
é colocada uma moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de 
prata. 
 Portanto, N cofres passam a ter 2 moedas de ouro, 1 de prata e 1 de bronze; 
e N cofres passam a ter 1 moeda de ouro, 2 de prata e 1 de bronze. 
 Por fim, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma 
moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze. 
 Até aqui, veja que N cofres possuem 2 moedas de ouro e outros N possuem 
apenas uma. Ao escolher, ao acaso, metade dos cofres para colocar mais uma 
moeda de ouro, serão escolhidos novamente N cofres. Porém estes não serão, 
necessariamente, os mesmos N cofres que já tem 2 moedas de ouro. A chance de 
escolher um cofre que já possui 2 moedas de ouro é P = N/2N = 1/2. Portanto, 
espera-se que 1/2 dos N cofres que já tinham 2 moedas de ouro passem a ter 3. 
Isto é, N/2 cofres do total de 2N cofres terão 3 moedas de ouro. 
 
Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a probabilidade de ele conter três moedas 
de ouro? 
 Essa probabilidade será dada por: 
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/ 2 0,25
2
favoráveis NP
total N
= = = 
Resposta: D 
 
21. ESAF – SUSEP – 2010) Admita que a probabilidade de uma pessoa de um 
particular grupo genético ter uma determinada doença é de 30%. Um custoso e 
invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma probabilidade 
de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. 
Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o 
referido exame, qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do 
exame foi negativo? 
a) 30%. 
b) 7,5%. 
c) 25%. 
d) 15%. 
e) 12,5%. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que há 30% de chance da pessoa efetivamente ter a doença, e 70% de 
chance dela não ter a doença. 
 Um resultado falso negativo ocorre quando a pessoa tem a doença, mas o 
exame indica que a pessoa não a tem. Já um falso positivo ocorre quando a pessoa 
não tem a doença, mas o exame indica que a pessoa a tem. 
 Assim, o resultado do exame pode dar negativo em 2 casos: 
- a pessoa ter a doença (probabilidade = 30%) e o resultado do exame for der 
negativo (isto é, ocorrer um falso negativo � probabilidade = 30%). 
 As chances disso acontecer são P1 = 30% x 30% = 9% 
- a pessoa não ter a doença (probabilidade = 70%), e o diagnósticodado pelo 
exame for correto (isto é, não ocorrer um falso positivo � probabilidade = 1 – 10% = 
90%). 
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 As chances disso acontecer são P2 = 70% x 90% = 63%. 
 Ou seja, no TOTAL, a chance de o resultado do exame dar negativo é dada 
pela soma de 9% + 63% = 72%. Desses 72%, apenas em 9% dos casos a pessoa 
efetivamente tem a doença. Portanto, as chances de a pessoa ter a doença, mesmo 
o exame dando resultado negativo, são: 
P = favoráveis/total = 9% / 72% = 0,125 = 12,5% 
Resposta: E 
 
22. ESAF – SUSEP – 2010) Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são 
estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, sem reposição, qual a 
probabilidade de exatamente uma das três pessoas escolhidas ser um estrangeiro? 
a) 45/91. 
b) 1/3. 
c) 4/9. 
d) 2/9. 
e) 42/81. 
RESOLUÇÃO: 
 O número de formas de se escolher 3 pessoas em um grupo de 15, sem 
reposição, é C(15,3) = 455. 
 Para formar grupos com exatamente 1 estrangeiro e 2 brasileiros, temos 5 
possibilidades de escolha do estrangeiro e C(10,2) = 45 formas de escolher os 
brasileiros. Ao todo, temos 5 x 45 = 225 formas de escolher 1 estrangeiro e 2 
brasileiros. 
 Portanto, a chance de formar grupos dessa forma é: 
P = favoráveis/total = 225 / 455 = 45/91 
Resposta: A 
 
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23. ESAF – SUSEP – 2010 – Adaptada) Um estudo indica que, nas comunidades 
que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura 
animal, a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. 
Desse modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a: 
a) 37/64 
b) 45/216 
c) 1/64 
d) 135/512 
e) 9/16 
RESOLUÇÃO: 
 Se a probabilidade de ter um homem (H) é de 1/4, a probabilidade de ter uma 
mulher (M) é de 1 – 1/4 = 3/4. Portanto, a probabilidade de ter H H M M M, 
exatamente nessa ordem, é: 
1 1 3 3 3 27
4 4 4 4 4 1024HHMMM
P = × × × × = 
 Entretanto, veja que podemos ter esses 5 filhos em outra ordem (ex.: H M H 
M M). Temos, portanto, que permutar esses 5 filhos. Veja que se trata de uma 
permutação de 5 filhos, com a repetição de 2 H e 3M. Isto é: 
5!(5,3,2) 10
3!2!
Permutação = = 
 Portanto, a probabilidade de ter 2 H e 3M é: 
27 135Probabilidade 10
1024 512
= × = 
Resposta: D 
 Obs.: na prova, a letra D era 45/512, de modo que a questão ficou sem 
resposta. 
 
24. ESAF – SUSEP – 2010) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e 
pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o número 
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de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o número de 
bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas 
na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a 
probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? 
a) 100/729. 
b) 100/243. 
c) 10/27. 
d) 115/243. 
e) 25/81. 
RESOLUÇÃO: 
 Chamando de P, AZ, AM e V o número de bolas Pretas, Azuis, Amarelas e 
Verdes, temos: 
P = 2AZ 
AM = 5V 
AZ = 2AM 
 Podemos escrever tudo em função de V. Veja: 
AZ = 2AM = 2x(5V) = 10V 
P = 2AZ = 2x(10V) = 20V 
 Portanto, o total de bolas é: 
Total = P + AZ + AM + V = 20V + 10V + 5V + V = 36V 
 Temos 36V bolas, das quais 20V são pretas. A chance de retirar uma bola 
preta é de 20V/36V = 20/36 = 5/9. Como o exercício diz que devemos repor a bola 
(“com reposição”), a chance de tirar uma segunda bola preta é também 5/9. E a 
chance da terceira bola não ser preta é de 16V/36V = 16/36 = 4/9. 
 Assim, a probabilidade da primeira E da segunda bolas serem pretas E da 
terceira bolas não ser preta é: 
5 5 4 100Probabilidade(preta, preta, não preta)
9 9 9 729
= × × = 
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 Veja que este é o caso onde temos Preta – Preta – Não Preta. Devemos 
ainda permutar esses 3 resultados, com a repetição de 2: 
3!(3,2) 3
2!
P = = 
 Portanto, a probabilidade de ter 2 bolas pretas e uma não preta, em qualquer 
ordem, é: 
100 100Probabilidade 3
729 243
= × = 
Resposta: B 
 
25. FCC – Banco do Brasil – 2011) Para responder às questões a seguir, 
considere as informações abaixo: 
Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha 25 funcionários, cujas idades, 
em anos, são as seguintes: 
24 - 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32 
35 - 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48 
48 - 50 - 54 - 54 - 60 - 60 - 65 
A probabilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários, a 
sua idade seja superior a 48 anos é de: 
a) 28% 
b) 27,4% 
c) 27% 
d) 25,8% 
e) 24% 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que temos 25 funcionários, dos quais apenas 6 tem mais de 48 
anos. A probabilidade de escolher um deles é: 
P = favoráveis/total = 6/25 = 0,24 = 24% 
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Resposta: E 
 
26. FCC – Sergipe Gás S/A – 2010) A tabela abaixo apresenta o consumo médio 
mensal de 100 residências em um bairro servido pela SERGAS. 
 
Escolhendo-se uma dessas residências ao acaso, a probabilidade de que o seu 
consumo médio mensal de gás natural seja de 25 m3 é 
a) 2/25 
b) 7/100 
c) 3/50 
d) 1/20 
e) 1/25 
RESOLUÇÃO: 
 Para começar, veja que temos 100 residências ao todo. Assim, podemos 
descobrir o valor de X: 
100 = 28 + 53 + 11 + X 
X = 8 
 Portanto, 8 das 100 residências tem consumo igual a 25m3. A probabilidade 
de escolher uma casa com este consumo é: 
8 2
100 25
favoráveisP
total
= = = 
Resposta: A 
 
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27. FCC – TCE/MG – 2007) Em uma caixa há 8 processos a serem arquivados, em 
cada um dos quais foi colocada uma etiqueta marcada com um único dos números 
de 1 a 8. Se no interior da caixa os processos não estão ordenados e, para dar 
início à execução de tal tarefa, um funcionário do Tribunal de Contas pegar 
aleatoriamente dois desses processos, a probabilidade de que nessa retirada os 
números marcados em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos é de 
(A) 25% 
(B) 20% 
(C) 12,5% 
(D) 10% 
(E) 7,5% 
RESOLUÇÃO: 
 Se temos 8 processos, a quantidade de duplas que podemos formar com 
eles é dada pela combinação de 8, 2 a 2: 
8 7(8,2) 28
2 1
C ×= =
×
 
 Existem as seguintes possibilidades de pegar 2 processos consecutivos: (1 e 
2), (2 e 3), (3 e 4), (4 e 5), (5 e 6), (6 e 7), (7 e 8). Isto é, 7 possibilidades atendem o 
pedido do enunciado. A probabilidade de pegar uma delas é: 
7 1 0,25 25%
28 4
favoráveisP
total
= = = = = 
Resposta: A 
 
28. FCC – SEFAZ/SP– 2010) Everaldo deve escolher um número de quatro 
algarismos para formar uma senha bancária e já se decidiu pelos três primeiros: 
163, que corresponde ao número de seu apartamento. Se Everaldo escolher de 
modo aleatório o algarismo que falta, a probabilidade de que a senha formada seja 
um número par, em que os quatro algarismos são distintos entre si, é de 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
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(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
RESOLUÇÃO: 
 Existem 10 algarismos que podem ser escolhidos por Everaldo para 
completar a senha. Destes 10, sabemos que 5 são pares, e permitiriam formar uma 
senha par. Para que todos os algarismos sejam distintos entre si, o último algarismo 
não pode ser o 6, que já foi usado na senha. Assim, sobram 4 opções que atendem 
a condição dada no enunciado. 
 Portanto, das 10 opções existentes, apenas 4 atendem a condição. A 
probabilidade de ser formada uma senha que seja um número par e tenha os quatro 
algarismos distintos é P = 4/10 = 40%. 
Resposta: E 
 
29. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O total de funcionários em uma repartição pública é 
igual a 6. João e sua esposa trabalham nesta repartição em que será formada uma 
comissão de 3 funcionários escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no 
máximo um deles, João ou sua esposa, faça parte da comissão é 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 3/5 
d) 4/5 
e) 3/10 
RESOLUÇÃO: 
 O total de comissões com 3 funcionários que podem ser formadas a partir de 
um grupo de 6 funcionários é dada pela combinação de 6, 3 a 3: 
C(6,3) = 20 
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 Dessas, estamos interessados apenas nas que tenham, no máximo, ou João 
ou sua esposa. Isto é, elas podem ter apenas João, apenas a esposa ou nenhum 
deles. 
 Podemos resolver esse problema calculando quantas comissões podem ser 
formadas incluindo tanto João quanto sua esposa. Neste caso, já temos 2 das 3 
pessoas da comissão escolhidas. Temos ainda 4 pessoas disponíveis para a última 
vaga restante, isto é, 4 possibilidades. 
 Se existem 4 possíveis comissões incluindo João e também sua esposa, 
então o número de comissões que tenha, no máximo, um deles, é 20 – 4 = 16. 
Assim, a chance de obter uma comissão que tenha no máximo 1 deles é: 
P = 16/20 = 4/5 
Resposta: D 
 
30. FCC – TRF/4ª – 2010) O número de televisores vendidos diariamente em uma 
loja apresenta a seguinte distribuição de probabilidades de venda: 
 
A probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido nenhum televisor 
é igual a 10% e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Então, a 
probabilidade de que em um determinado dia sejam vendidos 2 televisores é de 
(A) 10%. 
(B) 12%. 
(C) 15%. 
(D) 18%. 
(E) 20%. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja na tabela que a probabilidade de que sejam vendidos zero televisores 
(P(0)), isto é, não seja vendido nenhum, é igual a x. Como o próprio enunciado disse 
que esta mesma probabilidade é igual a 10%, então x = 10%. 
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 A probabilidade de que sejam vendidos mais do que 3 televisores (isto é, 
sejam vendidos 4 OU 5 � P(4) + P(5)), é igual a 2y + x. Como enunciado disse que 
esta mesma probabilidade é igual a 30%, então: 
2y + x = 30% 
2y + 10% = 30% 
y = 10% 
 Repare que a soma das probabilidades deve ser igual a 100% (pois a 
probabilidade do espaço amostral é sempre 100%). Portanto, 
P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 100% 
x + 3y + z + z +2y + x = 100% 
2x + 5y +2z = 100% 
20% + 50% + 2z = 100% 
z = 15% 
 Assim, P(2) é igual a 15%. 
Resposta: C 
 
31. CESPE – MPE/PI – 2012) Sabendo-se que em uma empresa que possui 80 
empregados, 40 são mulheres e, dos homens, 30 atuam na área administrativa, 
julgue os itens subsequentes. 
( ) Se 1/3 dos empregados da área administrativa forem mulheres, então menos de 
30 mulheres não atuam na área administrativa. 
 
( ) Caso se escolha um empregado dessa empresa ao acaso, a probabilidade de ele 
ser homem e não atuar na área administrativa será superior a 1/6. 
RESOLUÇÃO: 
 
 
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( ) Se 1/3 dos empregados da área administrativa forem mulheres, então menos de 
30 mulheres não atuam na área administrativa. 
 Se 1/3 dos empregados da área administrativa são mulheres, então os outros 
2/3 correspondem aos 30 homens que atuam nesta área. Assim: 
2/3 da área administrativa --------------------------- 30 homens 
1/3 da área administrativa ---------------------------- X mulheres 
 
(2/3)X = (1/3) x 30 
X = 15 mulheres 
 
 Como ao todo temos 40 mulheres, então 40 – 15 = 25 mulheres não atuam 
na área administrativa. Item CORRETO. 
 
( ) Caso se escolha um empregado dessa empresa ao acaso, a probabilidade de ele 
ser homem e não atuar na área administrativa será superior a 1/6. 
 Dos 80 empregados, 40 são mulheres, portanto os outros 40 são homens. 
Destes 40 homens, 30 atuam na área administrativa, de modo que 40 – 30 = 10 não 
atuam nesta área. 
 Assim, 10 dos 80 empregados são homens e não atuam na área 
administrativa. A chance de escolher um deles ao acaso é: 
P = 10 / 80 = 1/8 
 
 Este número é inferior a 1/6. Item ERRADO. 
Resposta: C E 
 
32. CESPE – MPE/PI – 2012) Por ocasião da apuração da frequência dos 21 
servidores de uma repartição pública no mês de julho de 2011, indicou-se por Sx o 
conjunto dos servidores que faltaram ao serviço exatamente x dias úteis naquele 
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mês, sendo 0 ≤ x ≤ 21. Indicando por Nx a quantidade de elementos do conjunto Sx, 
julgue os itens a seguir. 
( ) O conjunto S0 ∪ S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ S21 contém todos os servidores da repartição. 
( ) Há dois números inteiros a e b, com 0 ≤ a ≤ 21 e 0 ≤ b ≤ 21, tais que o conjunto 
Sa ∩ Sb é não vazio. 
( ) Se N3 = 5, então 5 servidores faltaram exatamente 3 dias no mês de julho de 
2011. 
( ) Se os conjuntos S0 , S1, S2, S3 e S4 forem não vazios, então a probabilidade de 
um servidor da repartição, selecionado ao acaso, ter faltado ao serviço no máximo 4 
dias úteis no mês de julho de 2011 é igual a N4 / 21. 
RESOLUÇÃO: 
( ) O conjunto S0 ∪ S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ S21 contém todos os servidores da repartição. 
 Cada servidor se enquadra em um destes conjuntos, dependendo do número 
x de faltas que cometeu: S0 , S1 , S2 , ... ou S21. Portanto, a união destes conjuntos 
contém todos os servidores da repartição. Item CORRETO. 
 
( ) Há dois números inteiros a e b, com 0 ≤ a ≤ 21 e 0 ≤ b ≤ 21, tais que o conjunto 
Sa ∩ Sb é não vazio. 
Repare que, se tivermos a = b, os conjuntos Sa e Sb certamente terão 
elementos em comum, de modo que a intersecção entre eles não será vazia. 
 
( ) Se N3 = 5, então 5 servidores faltaram exatamente 3 dias no mês de julho de 
2011. 
 CORRETO. Nx nos fornece onúmero de servidores que pertencem ao 
conjunto Sx, isto é, o número de servidores que faltaram exatamente x dias. 
 
( ) Se os conjuntos S0, S1, S2, S3 e S4 forem não vazios, então a probabilidade de 
um servidor da repartição, selecionado ao acaso, ter faltado ao serviço no máximo 4 
dias úteis no mês de julho de 2011 é igual a N4 / 21. 
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 O número de servidores que faltaram no máximo 4 dias úteis é dado pela 
soma dos que faltaram 0, 1, 2, 3 e 4 dias, ou seja, N0 + N1 + N2 + N3 + N4. A 
probabilidade de um deles ser escolhido é P = (N0 + N1 + N2 + N3 + N4) / 21. Item 
ERRADO. 
Resposta: C C C E 
 
33. CESPE – TC/DF – 2012) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o 
subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo menos x 
procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a quantidade de 
elementos do conjunto Ex. Julgue os itens seguintes, a respeito desses conjuntos. 
 
( ) Se x e y forem números inteiros não negativos e x y≤ , então Ey ⊂ Ex. 
( ) A probabilidade de uma empresa selecionada ao acaso no conjunto E já ter 
participado de exatamente 10 procedimentos licitatórios é igual a 10 11
0
N N
N
−
. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se x e y forem números inteiros não negativos e x y≤ , então Ey ⊂ Ex. 
 Uma empresa que participou de 5 licitações certamente faz parte do conjunto 
E5. Mas ela também faz parte dos conjuntos E4, E3, ..., E0. Isto porque podemos 
afirmar que esta empresa participou de pelo menos 4 licitações, ou de pelo menos 
3, e assim por diante. Assim, se x y≤ , todas as empresas que já participaram de y 
licitações também já participaram de x licitações. Isto é, o conjunto Ey está contido 
no conjunto Ex, como diz o enunciado. Item CORRETO. 
 
( ) A probabilidade de uma empresa selecionada ao acaso no conjunto E já ter 
participado de exatamente 10 procedimentos licitatórios é igual a 10 11
0
N N
N
−
. 
 N10 é o número de empresas que participaram de PELO MENOS 10 
licitações. Ou seja, são empresas que participaram de 10 ou mais licitações. Para 
saber quantas empresas participaram de exatamente 10 licitações, devemos 
subtrair de N10 o total de empresas que participaram de MAIS DE 10 licitações, ou 
seja, de pelo menos 11 licitações. Este último valor é N11. Portanto, a quantidade de 
empresas que concorreram em exatamente 10 procedimentos é dada por N10 – N11. 
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 Já total de empresas no conjunto E é dado por N0, que é o número de 
empresas que participaram de ZERO OU MAIS licitações. 
 Assim, a probabilidade de selecionar uma empresa que esteve presente em 
exatamente 10 certames é: 
10 11
0
N NfavoráveisP
total N
−
= = 
 Item CORRETO. 
Resposta: C C 
 
34. CESPE – Polícia Civil/CE – 2012) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas 
Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre 
as maiores causa s da violência entre jovens. Um dos fatores que evidenciam a 
desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de 
extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros 
de famílias com renda per capita de até um quarto do salário mínimo, afirma a 
pesquisa. Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio 
simplista de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens, 
mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será 
violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens de 
classe média. 
Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptações). 
Tendo como referência o texto acima, julgue os itens seguintes. 
( ) Selecionando-se ao acaso dois jovens brasileiros, a probabilidade de ambos 
serem atingidos pela condição de extrema pobreza será inferior a 1,5%. 
RESOLUÇÃO: 
 A probabilidade de um jovem ser atingido pela extrema pobreza é de 12,2%. 
A probabilidade de um jovem E outro serem atingidos por essa condição é dada 
pela multiplicação das probabilidades, pois temos dois eventos independentes entre 
si ocorrendo simultaneamente: 
P(um jovem E outro) = 12,2% x 12,2% = 1,488% 
 Item CORRETO. 
Resposta: C 
 
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35. CESPE – Polícia Civil/CE – 2012) Dos 420 detentos de um presídio, verificou-
se que 210 foram condenados por roubo, 140, por homicídio e 140, por outros 
crimes. 
Verificou-se, também, que alguns estavam presos por roubo e homicídio. Acerca 
dessa situação, julgue os itens seguintes. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se selecionarem dois detentos entre os 
condenados por outros crimes, que não roubo ou homicídio, para participarem de 
um programa destinado à ressocialização de detentos é inferior a 10.000. 
( ) Menos de 60 dos detentos estavam presos por terem sido condenados por roubo 
e homicídio. 
( ) Selecionando-se ao acaso dois detentos desse presídio, a probabilidade de que 
ambos tenham sido condenados por roubo ou ambos por homicídio será superior a 
1/6. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos os 3 conjuntos abaixo: 
 
 Foi dito que n(Total) = 420, n(Outros crimes) = 140, n(roubo) = 210 e 
n(homicídio) = 140. Foi dito também que há intersecção entre os conjuntos Roubo e 
Homicídio, ficando implícito que não existe essa intersecção com o conjunto Outros 
crimes. 
 Como 140 cometeram apenas outros crimes, então 420 – 140 = 280 
cometeram roubo, homicídio ou ambos. Isto é, n(roubo homicídio)=280∪ . Assim: 
 
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n(roubo homicídio) = n(roubo) + n(homicídio) - n(roubo homicídio)
280 = 210 + 140 - n(roubo homicídio)
n(roubo homicídio) 70
∪ ∩
∩
∩ =
 
 
 Vejamos os itens dados. 
 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se selecionarem dois detentos entre os 
condenados por outros crimes, que não roubo ou homicídio, para participarem de 
um programa destinado à ressocialização de detentos é inferior a 10.000. 
 Para selecionar 2 dentre 140 detentos basta calcular o número de 
combinações de 140, 2 a 2, isto é: 
C(140,2) = 140 x 139 / 2 = 9730 
 Item CORRETO. 
 
( ) Menos de 60 dos detentos estavam presos por terem sido condenados por roubo 
e homicídio. 
 Item ERRADO. Como vimos acima, n(roubo homicídio) 70∩ = , ou seja, 70 
detentos estavam presos por roubo e homicídio. 
 
( ) Selecionando-se ao acaso dois detentos desse presídio, a probabilidade de que 
ambos tenham sido condenados por roubo ou ambos por homicídio será superior a 
1/6. 
 O número total de combinações de 2 dos 420 detentos é: 
C(420,2) = 420 x 419 / 2 = 210 x 419 
 O número de detentos condenados APENAS por roubo é igual a 210 – 70 = 
140. Portanto, o número de combinações destes detentos, 2 a 2, é: 
C(140,2) = 140 x 139 / 2 = 70 x 139 
 O número de detentos condenados APENAS por homicídio é igual a 140 – 70 
= 70. Logo, o número de combinações destes detentos, 2 a 2, é: 
C(70,2) = 70 x 69 / 2 = 35 x 69 
 Assim, a probabilidade de escolher 2 detentos que tenham sido condenados 
APENASpor roubo ou APENAS por homicídio é igual a: 
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70 139 35 69Pr
210 439
35 2 139 35 69 35 347 1 347Pr
210 439 210 439 6 439
favoráveis
obabilidade
total
obabilidade
× + ×
= =
×
× × + × ×
= = = ×
× ×
 
 Este número é inferior a 1/6, pois ele é igual a 1/6 multiplicado por um fator 
que é menor do que 1 (347/439). Item ERRADO. 
 Obs.: você reparou no “APENAS” que coloquei nesta resolução? A 
interpretação do CESPE foi que, ao dizer “ambos tenham sido condenados por 
roubo ou ambos por homicídio”, deveríamos considerar apenas os que foram 
condenados por 1 crime, excluíndo aqueles que foram condenados por ambos. 
Resposta: C E E 
 
36. CESPE – TRT/21ª – 2010) Suponha que determinado partido político pretenda 
ter candidatos próprios para os cargos de governador, senador e deputado federal e 
que tenha, hoje, 5 possíveis nomes para o cargo de governador, 7 para o cargo de 
senador e 12 para o cargo de deputado federal. Como todos os pré-candidatos são 
muito bons, o partido decidiu que a escolha da chapa (governador, senador e 
deputado federal) será por sorteio. Considerando que todos os nomes têm chances 
iguais de serem escolhidos, julgue os itens seguintes. 
( ) Caso João e Roberto sejam pré-candidatos ao cargo de senador e Maria e Ana 
sejam pré-candidatas ao cargo de deputado federal, a chance de que a chapa 
sorteada tenha qualquer um desses nomes será maior que 49%. 
( ) A probabilidade de uma chapa ser sorteada é maior que 
21
20
 
 
 
 
( ) Considerando que José seja um dos pré-candidatos ao cargo de governador, a 
probabilidade de que José esteja na chapa sorteada será maior que 0,1. 
( ) Considerando que Mariana seja pré-candidata ao cargo de governador e Carlos 
seja pré-candidato ao cargo de senador, então a probabilidade de que a chapa 
sorteada ou não tenha o nome de Maria ou não tenha o nome de Carlos será 
inferior a 0,75. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Caso João e Roberto sejam pré-candidatos ao cargo de senador e Maria e Ana 
sejam pré-candidatas ao cargo de deputado federal, a chance de que a chapa 
sorteada tenha qualquer um desses nomes será maior que 49%. 
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 A chance de que a chapa escolhida tenha qualquer destes nomes é igual a 
100% menos a chance de que a chapa não tenha nenhum destes nomes. Para não 
ter nenhum destes nomes, restam 5 pré-candidatos a governador, 5 para senador 
(excluimos João e Roberto) e 10 para deputado (excluimos Maria e Ana). Existem 
5x5x10 = 250 formas de se formar um trio com estas pessoas. Ao todo, haviam 
5x7x12 = 420 formas. Portanto, 
 
Probabilidade (ter qualquer dos nomes) = 100% - Probabilidade (não ter nenhum) 
Probabilidade (ter qualquer dos nomes) = 100% - 250/420 = 40,5% 
 
 Item ERRADO. 
 ( ) A probabilidade de uma chapa ser sorteada é maior que 
21
20
 
 
 
 
 Vimos que existem 5x7x12 = 420 chapas possíveis. Logo, a chance de uma dessas chapas ser 
sorteada é de 
1
420
. Este número é menor do que 
1
400
, que é 
21
20
 
 
 
. Item ERRADO. 
 
( ) Considerando que José seja um dos pré-candidatos ao cargo de governador, a 
probabilidade de que José esteja na chapa sorteada será maior que 0,1. 
 A chance de José ser escolhido dentre os 5 pré-candidatos a governador é 
de 1/5 = 0,2. Este número é maior que 0,1. Item CORRETO. 
 
( ) Considerando que Maria seja pré-candidata ao cargo de governador e Carlos 
seja pré-candidato ao cargo de senador, então a probabilidade de que a chapa 
sorteada ou não tenha o nome de Maria ou não tenha o nome de Carlos será 
inferior a 0,75. 
 A chance de que a chapa não tenha o nome Maria ou não tenha o nome 
Carlos é igual a 100% menos a chance de ter ambos os nomes. Para Maria ser a 
governadora e Carlos o senador, existem 1x1x12 = 12 possíveis trios. Já o total de 
trios possíveis é 5x7x12 = 420. Logo, 
 
Probabilidade(chapa não ter Maria ou não ter Carlos) = 100% - 12/420 = 97,1% 
 
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 Item ERRADO. 
 
Obs.: na redação original deste item havia o nome “Mariana” no lugar do primeiro 
nome “Maria”, gerando a sua anulação. Efetuei a correção para você poder 
exercitar. 
Resposta: E E C E 
 
37. CESPE – EBC – 2011) Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das 
candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de 
determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam 
apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no 
candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos. 
Considerando essa situação, julgue os itens a seguir. 
( ) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que 
votaria nos dois candidatos é igual a 0,17. 
( ) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que 
votaria no candidato a prefeito é superior a 0,68. 
( ) Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que 
votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados 
responderam que não votariam em nenhum dos dois candidatos. 
RESOLUÇÃO: 
 O diagrama a seguir sintetiza o enunciado: 
 
 Veja que 980 pessoas votam apenas para prefeito. X pessoas não votam 
nem para prefeito nem para vereador, logo 680 – X votam apenas para vereador 
(pois o enunciado disse que 680 votavam apenas para vereador, ou não votavam). 
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Por fim, Y pessoas votam para prefeito e para vereador. Como o total de pessoas é 
igual a 2000, podemos dizer que: 
2000 = 980 + Y + 680 – X + X 
2000 = 980 + Y + 680 
Y = 340 
 Vejamos os itens desta questão: 
( ) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que 
votaria nos dois candidatos é igual a 0,17. 
 340 das 2000 pessoas votaria nos 2 candidatos. Logo, a probabilidade de 
escolher uma dessas pessoas ao acaso é 340/2000 = 0,17. Item CORRETO. 
 
( ) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que 
votaria no candidato a prefeito é superior a 0,68. 
 980 pessoas votam apenas para prefeito, e 340 votam para prefeito e 
vereador. Logo, 980 + 340 = 1320 votam para prefeito. A chance de escolher uma 
dessas pessoas ao acaso é de 1320/2000 = 0,66. Item ERRADO. 
 
( ) Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que 
votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados 
responderam que não votariam em nenhum dos dois candidatos. 
 O número de pessoas que votam para vereador é dado pela soma de 340 
(que votam para ambos os cargos) com 680-X (que votam apenas para vereador). 
Isto é, 340 + 680 – X = 1020 – X. A probabilidade de se escolher uma dessas 
pessoas é: 
1020
2000
XP −= 
 Se esta probabilidade for igual a 0,40, podemos descobrir o valor de X: 
10200, 40
2000
X−
= 
X = 220 
 Como X é o número de pessoas que não votariam em nenhum dos 
candidatos (veja no diagramaque desenhamos), este item está CORRETO. 
Resposta: C E C 
 
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38. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na 
relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico 
de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria, 
mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das 
Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 
66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram 
homens e 9% meninos. 
Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de 
pessoas: relatório do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 
23 (com adaptações). 
Com base no texto acima, julgue os itens a seguir. 
( ) Se for escolhida ao acaso uma das vítimas indicadas na pesquisa, a 
probabilidade de que ela seja ou do sexo feminino ou um menino será inferior a 
80%. 
( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de 
maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será 
superior a 4.000. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se for escolhida ao acaso uma das vítimas indicadas na pesquisa, a 
probabilidade de que ela seja ou do sexo feminino ou um menino será inferior a 
80%. 
 Veja que as vítimas do sexo feminino são 66% (mulheres) + 13% (meninas) = 
79%. Isto é, a probabilidade da vítima ser do sexo feminino é de 79%. Já a 
probabilidade da vítima ser um menino é de 9%. Sabemos que não é possível uma 
vítima ser do sexo feminino e ser menino ao mesmo tempo (ao longo do curso 
veremos que temos dois eventos mutuamente excludentes). 
Assim, a probabilidade de ocorrer um (ser do sexo feminino) ou outro (ser 
menino) desses eventos, ou seja, a probabilidade da UNIÃO desses dois eventos é 
a soma das probabilidades de cada um deles: 79% + 9% = 88%, que é superior a 
80%. 
Item ERRADO. 
 
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( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número 
de maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será 
superior a 4.000. 
 Se 12% das vítimas são homens, então o número de homens é: 
Homens = 12% de 250 = 12% x 250 = 0,12 x 250 = 30 
 Temos 30 homens, e queremos saber quantos grupos de 3 homens podemos 
criar. Repare que escolher os homens A, B e C é igual a escolher os homens C, B e 
A (em ambos os casos temos grupos formados pelos mesmos 3 indivíduos). Em 
outras palavras, a ordem de escolha dos homens para formar um grupo não 
importa, não torna um grupo diferente do outro. Quando a ordem não importa, 
devemos utilizar a fórmula da combinação de 30 homens, 3 a 3, para obter o total 
de grupos possíveis: 
30 29 28(30,3) 10 29 14 4060
3 2 1
C × ×= = × × =
× ×
 
 Este número é superior a 4000, portanto o item está CERTO. 
Resposta: E C 
 
39. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) 
Tecnologia no combate ao crime 
Desde dezembro de 2009, uma aeronave não tripulada sobrevoa e monitora as 
fronteiras do Brasil com o Paraguai, o Uruguai e a Argentina na região de Foz do 
Iguaçu. Ao todo, serão 6 estações equipadas com 2 aeronaves cada, operadas pela 
Polícia Federal, somando investimento da ordem de US$ 655,6 milhões. 
Segurança pública com cidadania. Equipe 
CGPLAN/MJ, agosto/2010 (com adaptações). 
Considere que tenham sido sugeridos os seguintes critérios para a escolha das 
rotas de vôo da aeronave mencionada no texto acima. 
> Se a rota passar pelo Brasil ou pelo Paraguai, então ela deverá passar pelo 
Uruguai; 
> Se a rota passar pelo Paraguai, então ela não deverá passar pela Argentina; 
> Se a rota passar pelo Uruguai e pela Argentina, então ela deverá passar pelo 
Paraguai. 
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Suponha, também, que as estações A, B e C tenham sido construídas em pontos 
equidistantes, de modo que a distância de uma dessas três estações para outra seja 
de 150 km. 
Com referência às informações contidas no texto acima e às considerações 
hipotéticas que a ele se seguem, e considerando 1,73 como valor aproximado para 
3 , julgue os itens seguintes. 
( ) Considerando que devam ser escolhidas 3 aeronaves para inspeção e 
manutenção, sendo que não podem ser selecionadas as 2 aeronaves de uma 
mesma estação, e que todas as seis estações já possuam as duas aeronaves 
previstas, então o número de formas distintas de se fazer essa escolha será 
superior a 150. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos pegar no máximo 1 aeronave em cada estação, e totalizar 3 
aeronaves. Assim, será preciso escolher 3 estações e, em cada uma delas, pegar 1 
das 2 aeronaves disponíveis. 
 O número de formas de se escolher 3 dentre 6 estações é C(6,3) = 20. 
Escolhidas as estações, temos 2 opções de aeronave em cada uma delas, 
totalizando 2x2x2 = 8 formas de se escolher as 3 aeronaves. 
 Ao todo, temos 20 formas de escolher 3 estações e, para cada uma dessas 
20, temos 8 formas de separar 3 aeronaves. Assim, temos 20x8 = 160 formas de 
efetuar a seleção. Item CORRETO. 
Resposta: C 
 
40. CESPE – Polícia Federal – 2012) Dez policiais federais – dois delegados, dois 
peritos, dois escrivães e quatro agentes – foram designados para cumprir mandado 
de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O 
grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja 
composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois 
agentes. 
 
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 
 
( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas 
as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro 
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de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será 
superior a 100. 
( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. 
( ) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e 
independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos 
constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20% 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas 
as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro 
de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será 
superior a 100. 
Temos 5 lugares no carro para preencher com 5 pessoas. Pelo princípio 
fundamental da contagem, o número de possibilidades é dado por 5x4x3x2x1 = 120. 
Este número é superior a 100, tornando o item CORRETO. 
 
( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. 
Precisamos escolher 1 delegado dos 2 disponíveis, 1 perito dos 2 
disponíveis, 1 escrivão dentre os 2 disponíveis e 2 agentes dentre os 4 disponíveis. 
Como a ordem de escolha não importa, usamos a fórmula da combinação. Logo, o 
total de maneiras de compor as equipes é dado por: 
 
C(2,1)xC(2,1)xC(2,1)xC(4,2) = 2x2x2x6 = 48 
 
Este númeroé inferior a 50, tornando o item ERRADO. 
 
( ) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e 
independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos 
constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%. 
O total de grupos de 5 pessoas que podemos formar utilizando as 10 
disponíveis é dado por C(10,5) = 252. Já o número de casos favoráveis, isto é, 
aqueles que formam equipes com 1 delegado, 1 perito, 1 escrivão e 2 agentes, é 
igual a 48, como calculamos no item anterior. 
Logo, a probabilidade de escolher um grupo de 5 pessoas que constitua uma 
equipe é: 
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P = favoráveis/total = 48/252 = 19,04% 
 
Esse valor é inferior a 20%, tornando o item ERRADO. 
 
Resposta: C E E 
 
41. CESPE – INPI – 2013) Em um rebanho de 30 novilhas 7 são marrons, 13 são 
malhadas e 10 são brancas. A respeito desse rebanho, julgue os itens seguintes. 
( ) Se um desses animais for selecionado ao acaso, a probabilidade de ele ser 
malhado é inferior a 40%. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se selecionar, nesse rebanho, duas 
novilhas malhadas, uma marrom e duas brancas é superior a 75. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se um desses animais for selecionado ao acaso, a probabilidade de ele ser 
malhado é inferior a 40%. 
 Temos 13 malhados dentre 30 ao todo. A probabilidade de selecionar um 
malhado, ao acaso, é: P = 13 / 30 = 0,433 = 43,3%. Item ERRADO. 
 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se selecionar, nesse rebanho, duas 
novilhas malhadas, uma marrom e duas brancas é superior a 75. 
 CORRETO. O número de maneiras de se escolher 2 das 13 malhadas é 
C(13, 2). Já o número de maneiras de escolher 1 das 7 marrons é C(7, 1). E o 
número de formas de escolher 2 das 10 brancas é C(10, 2). Assim, o número de 
maneiras de selecionar 2 malhadas E 1 marrom E 2 brancas é: 
C(13,2) x C(7,1) x C(10,2) = 
13 12 10 97
2 1 2 1
× ×
× × =
× ×
 
13 6 7 5 9× × × × 
 
 Faça uma análise rápida e veja que 13 6 7 5 9× × × × é maior que 7 7 7 7 7× × × × . 
Ou seja, o item está CORRETO. 
Resposta: E C 
 
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42. CESPE – INPI – 2013) Um órgão público pretende organizar um programa de 
desenvolvimento de pessoas que contemple um conjunto de ações de educação 
continuada. Quando divulgou a oferta de um curso no âmbito desse programa, 
publicou, por engano, um anúncio com um pequeno erro nos requisitos. Em vez de 
“os candidatos devem ter entre 30 e 50 anos e possuir mais de cinco anos de 
experiência no serviço público” (anúncio 1), publicou “os candidatos devem ter entre 
30 e 50 anos ou possuir mais de cinco anos de experiência no serviço público” 
(anúncio 2). Considere que: 
X = o conjunto de todos os servidores do órgão; 
A = o conjunto dos servidores do orgão que têm mais de 30 anos de idade; 
B = o conjunto dos servidores do orgão que têm menos de 50 anos de idade; e 
C = o conjunto dos servidores do orgão com mais de cinco anos de experiência no 
serviço público. 
Sabendo que X, A, B, e C têm, respectivamente, 1.200, 800, 900 e 700 
elementos, julgue os itens seguintes. 
( ) Selecionando-se ao acaso um servidor no órgão, a probabilidade de ele ter mais 
de 30 anos é superior a 75%. 
RESOLUÇÃO: 
 Dos 1200 servidores, sabemos que 800 tem mais de 30 anos, de modo que a 
probabilidade de selecionar um deles é: 
P = 800 / 1200 = 66,67% 
 Item ERRADO. 
Resposta: E 
 
43. CESPE – TRT/10 – 2013) No concurso de loterias denominado miniquina, o 
apostador pode marcar 5, 6 ou 7 dezenas em uma cartela que possui as dezenas 
de 01 a 15. Nesse concurso, o prêmio principal é dado ao apostador que marcar em 
sua cartela as cinco dezenas sorteadas aleatoriamente em uma urna. Com relação 
ao concurso hipotético acima apresentado, julgue os itens subsequentes. 
( ) Considere que o cálculo do valor a ser pago pela aposta seja feito mediante a 
multiplicação do valor de uma aposta de 5 dezenas, que é fixo, pela quantidade de 
jogos de cinco dezenas que é possível fazer com as dezenas que o apostador 
marcar em sua cartela. Considere, ainda, que um jogo de 5 dezenas custe R$ 3,00. 
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Em face dessa situação, é correto afirmar que o apostador deverá pagar, caso 
marque 7 dezenas em sua cartela, mais de R$60,00. 
( ) Caso um apostador marque 5 dezenas em sua cartela, a chance de ele acertar 
exatamente uma dezena entre as 5 sorteadas será superior a 30%. 
( ) Se um apostador marcar apenas 5 dezenas em sua cartela, a probabilidade de 
ele ganhar o prêmio principal com essa cartela será superior a 1/3.000. 
( ) As dezenas que forem sorteadas em concursos anteriores terão mais chances de 
serem sorteadas novamente. 
( ) Se o apostador A marcar 6 dezenas em sua cartela e o apostador B marcar 5 
dezenas, a probabilidade de A ganhar será seis vezes superior à de B. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Considere que o cálculo do valor a ser pago pela aposta seja feito mediante a 
multiplicação do valor de uma aposta de 5 dezenas, que é fixo, pela quantidade de 
jogos de cinco dezenas que é possível fazer com as dezenas que o apostador 
marcar em sua cartela. Considere, ainda, que um jogo de 5 dezenas custe R$ 3,00. 
Em face dessa situação, é correto afirmar que o apostador deverá pagar, caso 
marque 7 dezenas em sua cartela, mais de R$60,00. 
 Caso marque 7 dezenas, o número de combinações de 5 dezenas é: 
C(7,5) = C(7,2) = 7x6 / (2x1) = 21 combinações 
 
 Portanto, como cada combinação de 5 dezenas custa 3 reais, ao todo este 
apostador pagará 3 x 21 = 63 reais. Item CORRETO. 
 
( ) Caso um apostador marque 5 dezenas em sua cartela, a chance de ele acertar 
exatamente uma dezena entre as 5 sorteadas será superior a 30%. 
 Temos 15 dezenas possíveis, sendo que 5 serão sorteadas e 10 não. 
O número de combinações de 5 dezenas sorteadas, 1 a 1, é C(5,1) = 5. O número 
de combinações das 10 dezenas não sorteadas, 4 a 4, é C(10,4) = 210. Assim, o 
número de formas de pegar 1 dezena sorteada E 4 não sorteadas é 5 x 210 = 1050. 
 Já o total de formas de selecionar 5 das 15 dezenas possíveis é C(15,5) = 
3003. 
 Portanto, a chance de acertar apenas 1 dezena é: 
P = 1050 / 3003 = 0,349 = 34,9% 
 
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 Item CORRETO. 
 
 ( ) Se um apostador marcar apenas 5 dezenas em sua cartela, a probabilidade de 
ele ganhar o prêmio principal com essa cartela será superior a 1/3.000. 
 Como vimos acima, o total de combinações das 15 dezenas, 5 a 5, é C(15,5) 
= 3003. Como o apostador escolheu apenas 1 dessas combinações, a chance de 
ele acertar é P = 1 / 3003, que é MENOR que 1/3000. Item ERRADO. 
 
( ) As dezenas que forem sorteadas em concursos anteriores terão mais chances de 
serem sorteadas novamente. 
 ERRADO. Não há nada que indique isto no enunciado e, em regra, neste tipo 
de sorteio as dezenas não são “viciadas”, isto é, todas elas tem a mesma chance de 
serem sorteadas. 
 
( ) Se o apostador A marcar 6 dezenas em sua cartela e o apostador B marcar 5dezenas, a probabilidade de A ganhar será seis vezes superior à de B. 
 Se A marcar 6 dezenas, o número de combinações de 5 dezenas que pode 
ser formado é C(6, 5) = C(6, 1) = 6. 
 Portanto, ele tem 6 formas de acertar, enquanto o apostador B tem apenas 1 
forma de acertar, dado que marcou apenas 1 conjunto de 5 dezenas. Assim, a 
probabilidade de A ganhar é 6 vezes maior. Item CORRETO. 
Resposta: C C E E C 
 
44. CESPE – TRT/10 – 2013) Considerando que, dos 10 postos de combustíveis de 
determinada cidade, exatamente dois deles cometam a infração de vender gasolina 
adulterada, e que sejam escolhidos ao acaso alguns desses postos para serem 
fiscalizados, julgue os itens seguintes. 
( ) Cinco é a menor quantidade de postos que devem ser escolhidos para serem 
fiscalizados de modo que, com certeza, um deles seja infrator. 
( ) Há mais de 15 maneiras distintas de se escolher dois postos, de modo que 
exatamente um deles seja infrator. 
( ) Se dois postos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de esses dois 
postos serem os infratores será inferior a 2%. 
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( ) Há menos de 30 maneiras diferentes de se escolher quatro postos, de modo que 
dois deles sejam os infratores. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Cinco é a menor quantidade de postos que devem ser escolhidos para serem 
fiscalizados de modo que, com certeza, um deles seja infrator. 
 ERRADO. Podemos “dar o azar” de escolher 5 dos 8 postos que não são 
infratores. Para ter certeza de pegar pelo menos 1 infrator, deveríamos fiscalizar 9 
postos. 
 
( ) Há mais de 15 maneiras distintas de se escolher dois postos, de modo que 
exatamente um deles seja infrator. 
 Para escolher 1 posto infrator dentre os 2 possíveis, existem C(2,1) = 2 
possibilidades. 
 Para escolher 1 posto não-infrator dentre o 8 possíveis, existem C(8,1) = 8 
possibilidades. 
 Assim, o número de maneiras distintas de se escolher dois postos, de modo 
que exatamente um deles seja infrator, é 2 x 8 = 16. Item CORRETO. 
 
 ( ) Se dois postos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de esses dois 
postos serem os infratores será inferior a 2%. 
 O total de maneiras de se escolher 2 postos em 10 é: 
C(10,2) = 10 x 9 / (2 x 1) = 45 
 
 O total de maneiras de se escolher 2 dos 2 postos infratores é: 
C(2,2) = 1 
 
 Portanto, a probabilidade de escolher exatamente dois postos infratores é: 
P = 1 / 45 = 0,0222 = 2,22% 
 
 Item ERRADO. 
 
( ) Há menos de 30 maneiras diferentes de se escolher quatro postos, de modo que 
dois deles sejam os infratores. 
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 Para escolher os 2 postos infratores, há apenas 1 forma, pois C(2,2) = 1. 
Para os outros 2 postos a serem escolhidos, temos 8 possibilidades, o que nos dá 
um total de maneiras de escolha igual a C(8,2) = 8 x 7 / (2 x 1) = 28. 
 Assim, o número de maneiras diferentes de se escolher quatro postos, de 
modo que dois deles sejam os infratores, é 1 x 28 = 28. Item CORRETO. 
Resposta: E C E C 
 
*************************** 
Pessoal, por hoje, é só!! Até a aula 03. 
Abraço, 
Arthur 
arthurlima@estrategiaconcursos.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 
0. ESAF – MPOG – 2009) As apostas na Mega-Sena consistem na escolha de 6 a 
15 números distintos, de 1 a 60, marcados em volante próprio. No caso da escolha 
de 6 números tem-se a aposta mínima e no caso da escolha de 15 números tem-se 
a aposta máxima. Como ganha na Mega-Sena quem acerta todos os seis números 
sorteados, o valor mais próximo da probabilidade de um apostador ganhar na Mega-
sena ao fazer a aposta máxima é o inverso de: 
a) 20.000.000. 
b) 3.300.000. 
c) 330.000. 
d) 100.000. 
e) 10.000. 
 
1. ESAF – ATRFB – 2009) Para acessar a sua conta nos caixas eletrônicos de 
determinado banco, um correntista deve utilizar sua senha constituída por três 
letras, não necessariamente distintas, em determinada sequência, sendo que as 
letras usadas são as letras do alfabeto, com exceção do W, totalizando 25 letras. 
Essas 25 letras são então distribuídas aleatoriamente, três vezes, na tela do 
terminal, por cinco teclas, em grupos de cinco letras por tecla, e, assim, para digitar 
sua senha, o correntista deve acionar, a cada vez, a tecla que contém a respectiva 
letra de sua senha. Deseja-se saber qual o valor mais próximo da probabilidade de 
ele apertar aleatoriamente em sequência três das cinco teclas à disposição e acertar 
ao acaso as teclas da senha? 
a) 0,001. 
b) 0,0001. 
c) 0,000125. 
d) 0,005. 
e) 0,008. 
 
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2. ESAF – MPOG – 2009) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, 
Carlão, Denílson e Eleonora são moradores de um bairro muito antigo que está 
comemorando 100 anos de existência. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou 
encarregada de formar uma comissão que será a responsável pela decoração da 
festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, três pessoas entre os amigos 
Arnor, Bruce, Carlão, Denílson e Eleonora. Sabendo-se que Denílson não pertence 
à comissão formada, então a probabilidade de Carlão pertencer à comissão é, em 
termos percentuais, igual a: 
a) 30 % 
b) 80 % 
c) 62 % 
d) 25 % 
e) 75 % 
 
3. CEPERJ – SEE-RJ – 2009) Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas 
pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a 
probabilidade de que sejam da mesma cor é de: 
a) 20% 
b) 30% 
c) 40% 
d) 50% 
e) 60% 
 
4. CEPERJ – FAETEC – 2010) Certo dia, a professora colocou na gaveta 9 canetas 
esferográficas de ponta fina, sendo 4 azuis e 5 pretas. No dia seguinte, ela colocou 
na mesma gaveta 11 canetas esferográficas de ponta grossa, sendo 8 azuis e 3 
pretas. No dia seguinte, a professora retirou da gaveta, ao acaso, uma caneta, e 
percebeu que ela era azul. A probabilidade de que esta caneta fosse de ponta 
grossa é: 
a) 1/2 
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b) 1/3 
c) 2/3 
d) 2/5 
e) 3/5 
 
5. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) Julgue os itens seguintes, que dizem respeito 
à determinação do número de possibilidades lógicas ou probabilidade de algum 
evento. 
 
( ) Considere que 9 rapazes e 6 moças, sendo 3 delas adolescentes, se envolvam 
em um tumulto e sejam detidos para interrogatório. Se a primeira pessoa chamada 
para ser interrogada for escolhida aleatoriamente, então a probabilidades de essa 
pessoa ser uma moça adolescente é igual a 0,2. 
 
6. CESPE – TRT/16ª – 2005) Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada 
jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma 
seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas 
informações,julgue os próximos itens. 
 
( ) A probabilidade de serem obtidas sequências nas quais ocorra coroa nas 
primeiras 3 jogadas é inferior a 1/4. 
 
7. CESPE – PREVIC – 2011) Estimou-se que, na região Norte do Brasil, em 2009, 
havia 1.074.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma população 
total de, aproximadamente, 10.747.000 habitantes, e que na região Centro-Oeste, 
no mesmo ano, havia 840.433 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma 
população total de, aproximadamente, 10.505.415 habitantes. A partir dessas 
informações, julgue o item subsequente. 
( ) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos de idade ou mais escolhida ao 
acaso em 2009, na região Norte ou na região Centro-Oeste, ser analfabeta é inferior 
a 20%. 
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8. CESPE – Banco do Brasil – 2007) Uma pesquisa, realizada com 900 pessoas 
que 
contraíram empréstimos bancários e tornaram-se inadimplentes, mostrou a seguinte 
divisão dessas pessoas, de acordo com a faixa etária. 
 
A partir da tabela acima e considerando a escolha, ao acaso, de uma pessoa entre 
as 900 que participaram da referida pesquisa, julgue os itens subseqüentes. 
( ) A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade é inferior a 
0,52. 
( ) A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos de idade, sabendo-se que 
ela tem pelo menos 31 anos, é superior a 0,5. 
( ) A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade é inferior a 
0,3. 
( ) A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de idade ou mais de 50 anos de 
idade é superior a 30%. 
 
9. CESPE – MPE/AM – 2008) Julgue os itens seguintes, relativos a conceitos 
básicos de probabilidade: 
 
( ) Considere que, em um jogo em que se utilizam dois dados não-viciados, o 
jogador A pontuará se, ao lançar os dados, obtiver a soma 4 ou 5, e o jogador B 
pontuará se obtiver a soma 6 ou 7. Nessa situação, é correto afirmar que o jogador 
2 tem maior probabilidade de obter os pontos esperados. 
 
( ) Ao se lançar dois dados não-viciados, a probabilidade de se obter pelo menos 
um número ímpar é superior a 5/6. 
 
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10. CESPE – Polícia Civil/TO – 2008) Cada um dos itens subseqüentes contém 
uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada: 
 
( ) Um policial civil possui uma vestimenta na cor preta destinada às solenidades 
festivas, uma vestimenta com estampa de camuflagem, para operações nas 
florestas. Para o dia-a-dia, ele possui uma calça na cor preta, uma calça na cor 
cinza, uma camisa amarela, uma camisa branca e uma camisa preta. Nessa 
situação, se as vestimentas de ocasiões festivas, de camuflagem e do dia-a-dia não 
podem ser misturadas de forma alguma, então esse policial possui exatamente 7 
maneiras diferentes de combinar suas roupas. 
 
( ) Uma empresa fornecedora de armas possui 6 modelos adequados para 
operações policiais e 2 modelos inadequados. Nesse caso, se a pessoa 
encarregada da compra de armas para uma unidade da polícia ignorar essa 
adequação e solicitar ao acaso a compra de uma das armas, então a probabilidade 
de ser adquirida uma arma inadequada é inferior a 1/2 
 
11. FDC - PREF. PALMAS - 2010) João possui figurinhas com a foto de jogadores 
das seleções de 3 países. O quadro abaixo mostra a distribuição dessas figurinhas 
por cada um desses países. 
 
Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas 50 figurinhas, a probabilidade de que 
nela haja uma foto de um jogador brasileiro é igual a: 
a) 10% 
b) 20% 
c) 30% 
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d) 40% 
e) 50% 
 
12. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na 
relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico 
de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria, 
mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das 
Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 
66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram 
homens e 9% meninos. 
Ministério da Justiça. Enfrentamento ao tráfico de pessoas: relatório 
do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 23 (com adaptações). 
Com base no texto acima, julgue os itens a seguir. 
 
( ) Se for escolhida ao acaso uma das vítimas indicadas na pesquisa, a 
probabilidade de que ela seja ou do sexo feminino ou um menino será inferior a 
80%. 
 
13. CESPE – Polícia Federal – 2004) 
 
Com a campanha nacional do desarmamento, a Polícia Federal já recolheu em todo 
o Brasil dezenas de milhares de armas de fogo. A tabela acima apresenta a 
quantidade de armas de fogo recolhidas em alguns estados brasileiros. 
Considerando que todas essas armas tenham sido guardadas em um único 
depósito, julgue os itens que se seguem. 
( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a probabilidade 
de ela ter sido recolhida no Rio Grande do Sul é superior a 0,11. 
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( ) Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a probabilidade 
de ela ter sido recolhida em um dos dois estados da região Sudeste listados na 
tabela é superior a 0,73. 
() Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nesse depósito, a 
probabilidade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco é inferior a 0,011. 
 
14. CESPE – Polícia Federal – 2009) De acordo com o jornal espanhol El País, em 
2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina, tendo 
crescido 16% nos últimos 12 anos. O crime é apontado como o principal problema 
desses países, provocando uma grande quantidade de mortes. O índice de 
homicídios por 100.000 habitantes na América Latina é alarmante, sendo, por 
exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala. 
Internet: <www.noticias.uol.com.br> 
Tendo como referência as informações apresentados no texto acima, julgue o item 
que se segue. 
( ) Se, em cada grupo de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade de que um 
cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma 
probabilidade para habitantes de El Salvador ou da Guatemala, então, em cada 
100.000 habitantes da Europa, a probabilidade referida é inferior a 10-5. 
 
15. CESPE – Polícia Federal – 2009) Considerando que, em um torneio de 
basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para 
formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue os itens que se seguem. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o 
grupo A será inferior a 400. 
( ) Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores, entre titulares e reservas, 
que os uniformes de 4 equipes sejam completamente vermelhos, de 3 sejam 
completamente azuis e de 4 equipes os uniformes tenham as cores azul e vermelho, 
então a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja 
somente vermelho ou somente azul será inferior a 30%. 
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16. CESPE – DETRAN/DFT – 2010) Considere que, em uma amostra composta por 
210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao 
DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos; 70, 
para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas não 
relacionados à documentação de veículos ou a multas. A respeito dessa situação 
hipotética, julgue os itens a seguir. 
( ) Em face dessa situação, é correto afirmar que, nessa amostra, menos de 30 
pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para resolver 
problemas relacionados simultaneamente à documentação de veículos e a multas. 
( ) Caso se selecionem, ao acaso, duas pessoas, entre as 210 da amostra, a 
probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN para 
solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou que a tenham 
procurado para resolver problemas relacionados a multas será superior a 1/6. 
( ) Entre as 210 pessoas da amostra, para se selecionar, ao acaso, ao menos duas 
que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências 
relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas que a tenham 
procurado para resolver problemas relacionados a multas, o menor número de 
pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73. 
 
17. ESAF – AFT – 2010) Em uma amostra aleatória simples de 100 pessoas de 
uma população, 15 das 40 mulheres da amostra são fumantes e 15 dos 60 homens 
da amostra também são fumantes. Ao se escolher ao acaso cinco pessoas da 
amostra, sem reposição, a probabilidade de exatamente quatro delas serem 
homens fumantes é dada por: 
a) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,15, n=5 e k=4. 
b) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=15 e k=4. 
c) CM,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=5, m=60 e k=4. 
d) Cm,k CN-m,n-k /CN,n, sendo N=100, n=15, m=5 e k=4. 
e) Cn.k pk (1-p)n-k, sendo p=0,25, n=5 e k=4. 
 
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18. ESAF – ATRFB – 2009) Três amigas participam de um campeonato de arco e 
flecha. Em cada tiro, a primeira das amigas tem uma probabilidade de acertar o alvo 
de 3/5, a segunda tem uma probabilidade de acertar o alvo de 5/6, e a terceira tem 
uma probabilidade de acertar o alvo de 2/3. Se cada uma das amigas der um tiro de 
maneira independente dos tiros das outras duas, qual a probabilidade de pelo 
menos dois dos três tiros acertarem o alvo? 
a) 90/100 
b) 50/100 
c) 71/100 
d) 71/90 
e) 60/90 
 
19. ESAF – MPOG – 2009) Em uma urna existem 200 bolas misturadas, diferindo 
apenas na cor e na numeração. As bolas azuis estão numeradas de 1 a 50, as bolas 
amarelas estão numeradas de 51 a 150 e as bolas vermelhas estão numeradas de 
151 a 200. Ao se retirar da urna três bolas escolhidas ao acaso, com reposição, qual 
a probabilidade de as três bolas serem da mesma cor e com os respectivos 
números pares? 
a) 10/512. 
b) 3/512. 
c) 4/128. 
d) 3/64. 
e) 1/64. 
 
20. ESAF – SMF/RJ – 2010) Em cada um de um certo número par de cofres são 
colocadas uma moeda de ouro, uma de prata e uma de bronze. Em uma segunda 
etapa, em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, é colocada uma 
moeda de ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de prata. Por fim, 
em cada um de metade dos cofres, escolhidos ao acaso, coloca-se uma moeda de 
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ouro, e em cada um dos cofres restantes, uma moeda de bronze. Desse modo, 
cada cofre ficou com cinco moedas. Ao se escolher um cofre ao acaso, qual é a 
probabilidade de ele conter três moedas de ouro? 
a) 0,15 
b) 0,20 
c) 0,5 
d) 0,25 
e) 0,7 
 
21. ESAF – SUSEP – 2010) Admita que a probabilidade de uma pessoa de um 
particular grupo genético ter uma determinada doença é de 30%. Um custoso e 
invasivo exame para diagnóstico específico dessa doença tem uma probabilidade 
de um resultado falso positivo de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. 
Considerando que uma pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o 
referido exame, qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do 
exame foi negativo? 
a) 30%. 
b) 7,5%. 
c) 25%. 
d) 15%. 
e) 12,5%. 
 
22. ESAF – SUSEP – 2010) Considere um grupo de 15 pessoas dos quais 5 são 
estrangeiros. Ao se escolher ao acaso 3 pessoas do grupo, sem reposição, qual a 
probabilidade de exatamente uma das três pessoas escolhidas ser um estrangeiro? 
a) 45/91. 
b) 1/3. 
c) 4/9. 
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d) 2/9. 
e) 42/81. 
 
23. ESAF – SUSEP – 2010 – Adaptada) Um estudo indica que, nas comunidades 
que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura 
animal, a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. 
Desse modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a: 
a) 37/64 
b) 45/216 
c) 1/64 
d) 135/512 
e) 9/16 
 
24. ESAF – SUSEP – 2010) Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e 
pretas. O número de bolas pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o número 
de bolas amarelas é cinco vezes o número de bolas vermelhas, e o número de 
bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas 
na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a 
probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? 
a) 100/729. 
b) 100/243. 
c) 10/27. 
d) 115/243. 
e) 25/81. 
 
25. FCC – Banco do Brasil – 2011) Para responder às questões a seguir, 
considere as informações abaixo: 
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Suponha que certa Agência do Banco do Brasil tenha 25 funcionários, cujas idades, 
em anos, são as seguintes: 
24 - 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32 
35 - 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48 
48 - 50 - 54 - 54 - 60 - 60 - 65 
A probabilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários, a 
sua idade seja superior a 48 anos é de: 
a) 28% 
b) 27,4% 
c) 27% 
d) 25,8% 
e) 24% 
 
26. FCC – Sergipe Gás S/A – 2010) A tabela abaixo apresenta o consumo médio 
mensal de 100 residências em um bairro servido pela SERGAS. 
 
Escolhendo-se uma dessas residências ao acaso, a probabilidade de que o seu 
consumo médio mensal de gás natural seja de 25 m3 é 
a) 2/25 
b) 7/100 
c) 3/50 
d) 1/20 
e) 1/25 
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27. FCC – TCE/MG – 2007) Em uma caixa há 8 processos a serem arquivados, em 
cada um dos quais foi colocada uma etiqueta marcada com um único dos números 
de 1 a 8. Se no interior da caixa os processos não estão ordenados e, para dar 
início à execução de tal tarefa, umfuncionário do Tribunal de Contas pegar 
aleatoriamente dois desses processos, a probabilidade de que nessa retirada os 
números marcados em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos é de 
(A) 25% 
(B) 20% 
(C) 12,5% 
(D) 10% 
(E) 7,5% 
 
28. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Everaldo deve escolher um número de quatro 
algarismos para formar uma senha bancária e já se decidiu pelos três primeiros: 
163, que corresponde ao número de seu apartamento. Se Everaldo escolher de 
modo aleatório o algarismo que falta, a probabilidade de que a senha formada seja 
um número par, em que os quatro algarismos são distintos entre si, é de 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
 
29. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O total de funcionários em uma repartição pública é 
igual a 6. João e sua esposa trabalham nesta repartição em que será formada uma 
comissão de 3 funcionários escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no 
máximo um deles, João ou sua esposa, faça parte da comissão é 
a) 1/5 
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b) 2/5 
c) 3/5 
d) 4/5 
e) 3/10 
 
30. FCC – TRF/4ª – 2010) O número de televisores vendidos diariamente em uma 
loja apresenta a seguinte distribuição de probabilidades de venda: 
 
A probabilidade de que, em um determinado dia, não seja vendido nenhum televisor 
é igual a 10% e de que seja vendido mais que 3 é igual a 30%. Então, a 
probabilidade de que em um determinado dia sejam vendidos 2 televisores é de 
(A) 10%. 
(B) 12%. 
(C) 15%. 
(D) 18%. 
(E) 20%. 
 
31. CESPE – MPE/PI – 2012) Sabendo-se que em uma empresa que possui 80 
empregados, 40 são mulheres e, dos homens, 30 atuam na área administrativa, 
julgue os itens subsequentes. 
( ) Se 1/3 dos empregados da área administrativa forem mulheres, então menos de 
30 mulheres não atuam na área administrativa. 
 
( ) Caso se escolha um empregado dessa empresa ao acaso, a probabilidade de ele 
ser homem e não atuar na área administrativa será superior a 1/6. 
 
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32. CESPE – MPE/PI – 2012) Por ocasião da apuração da frequência dos 21 
servidores de uma repartição pública no mês de julho de 2011, indicou-se por Sx o 
conjunto dos servidores que faltaram ao serviço exatamente x dias úteis naquele 
mês, sendo 0 ≤ x ≤ 21. Indicando por Nx a quantidade de elementos do conjunto Sx, 
julgue os itens a seguir. 
( ) O conjunto S0 ∪ S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ S21 contém todos os servidores da repartição. 
( ) Há dois números inteiros a e b, com 0 ≤ a ≤ 21 e 0 ≤ b ≤ 21, tais que o conjunto 
Sa ∩ Sb é não vazio. 
( ) Se N3 = 5, então 5 servidores faltaram exatamente 3 dias no mês de julho de 
2011. 
( ) Se os conjuntos S0 , S1, S2, S3 e S4 forem não vazios, então a probabilidade de 
um servidor da repartição, selecionado ao acaso, ter faltado ao serviço no máximo 4 
dias úteis no mês de julho de 2011 é igual a N4 / 21. 
 
33. CESPE – TC/DF – 2012) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o 
subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo menos x 
procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a quantidade de 
elementos do conjunto Ex. Julgue os itens seguintes, a respeito desses conjuntos. 
 
( ) Se x e y forem números inteiros não negativos e x y≤ , então Ey ⊂ Ex. 
( ) A probabilidade de uma empresa selecionada ao acaso no conjunto E já ter 
participado de exatamente 10 procedimentos licitatórios é igual a 10 11
0
N N
N
−
. 
 
34. CESPE – Polícia Civil/CE – 2012) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas 
Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre 
as maiores causa s da violência entre jovens. Um dos fatores que evidenciam a 
desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de 
extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros 
de famílias com renda per capita de até um quarto do salário mínimo, afirma a 
pesquisa. Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio 
simplista de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens, 
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mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será 
violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens de 
classe média. 
Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptações). 
Tendo como referência o texto acima, julgue os itens seguintes. 
( ) Selecionando-se ao acaso dois jovens brasileiros, a probabilidade de ambos 
serem atingidos pela condição de extrema pobreza será inferior a 1,5%. 
 
35. CESPE – Polícia Civil/CE – 2012) Dos 420 detentos de um presídio, verificou-
se que 210 foram condenados por roubo, 140, por homicídio e 140, por outros 
crimes. 
Verificou-se, também, que alguns estavam presos por roubo e homicídio. Acerca 
dessa situação, julgue os itens seguintes. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se selecionarem dois detentos entre os 
condenados por outros crimes, que não roubo ou homicídio, para participarem de 
um programa destinado à ressocialização de detentos é inferior a 10.000. 
( ) Menos de 60 dos detentos estavam presos por terem sido condenados por roubo 
e homicídio. 
( ) Selecionando-se ao acaso dois detentos desse presídio, a probabilidade de que 
ambos tenham sido condenados por roubo ou ambos por homicídio será superior a 
1/6. 
 
36. CESPE – TRT/21ª – 2010) Suponha que determinado partido político pretenda 
ter candidatos próprios para os cargos de governador, senador e deputado federal e 
que tenha, hoje, 5 possíveis nomes para o cargo de governador, 7 para o cargo de 
senador e 12 para o cargo de deputado federal. Como todos os pré-candidatos são 
muito bons, o partido decidiu que a escolha da chapa (governador, senador e 
deputado federal) será por sorteio. Considerando que todos os nomes têm chances 
iguais de serem escolhidos, julgue os itens seguintes. 
( ) Caso João e Roberto sejam pré-candidatos ao cargo de senador e Maria e Ana 
sejam pré-candidatas ao cargo de deputado federal, a chance de que a chapa 
sorteada tenha qualquer um desses nomes será maior que 49%. 
( ) A probabilidade de uma chapa ser sorteada é maior que 
21
20
 
 
 
 
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( ) Considerando que José seja um dos pré-candidatos ao cargo de governador, a 
probabilidade de que José esteja na chapa sorteada será maior que 0,1. 
( ) Considerando que Mariana seja pré-candidata ao cargo de governador e Carlos 
seja pré-candidato ao cargo de senador, então a probabilidade de que a chapa 
sorteada ou não tenha o nome de Maria ou não tenha o nome de Carlos será 
inferior a 0,75. 
 
37. CESPE – EBC – 2011) Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das 
candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de 
determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam 
apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no 
candidato a vereador ou que não votariamem nenhum dos dois candidatos. 
Considerando essa situação, julgue os itens a seguir. 
( ) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que 
votaria nos dois candidatos é igual a 0,17. 
( ) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que 
votaria no candidato a prefeito é superior a 0,68. 
( ) Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que 
votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados 
responderam que não votariam em nenhum dos dois candidatos. 
 
38. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) A questão da desigualdade de gênero na 
relação de poder entre homens e mulheres é forte componente no crime do tráfico 
de pessoas para fins de exploração sexual, pois as vítimas são, na sua maioria, 
mulheres, meninas e adolescentes. Uma pesquisa realizada pelo Escritório das 
Nações Unidas sobre Drogas e Crime (UNODC), concluída em 2009, indicou que 
66% das vítimas eram mulheres, 13% eram meninas, enquanto apenas 12% eram 
homens e 9% meninos. 
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pessoas: relatório do plano nacional. Janeiro de 2010, p. 
23 (com adaptações). 
Com base no texto acima, julgue os itens a seguir. 
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( ) Se for escolhida ao acaso uma das vítimas indicadas na pesquisa, a 
probabilidade de que ela seja ou do sexo feminino ou um menino será inferior a 
80%. 
( ) Se as vítimas indicadas na pesquisa totalizaram 250 pessoas, então o número de 
maneiras distintas de se escolher um grupo de 3 homens entre as vítimas será 
superior a 4.000. 
 
39. CESPE – Polícia Civil/ES – 2011) 
Tecnologia no combate ao crime 
Desde dezembro de 2009, uma aeronave não tripulada sobrevoa e monitora as 
fronteiras do Brasil com o Paraguai, o Uruguai e a Argentina na região de Foz do 
Iguaçu. Ao todo, serão 6 estações equipadas com 2 aeronaves cada, operadas pela 
Polícia Federal, somando investimento da ordem de US$ 655,6 milhões. 
Segurança pública com cidadania. Equipe 
CGPLAN/MJ, agosto/2010 (com adaptações). 
Considere que tenham sido sugeridos os seguintes critérios para a escolha das 
rotas de vôo da aeronave mencionada no texto acima. 
> Se a rota passar pelo Brasil ou pelo Paraguai, então ela deverá passar pelo 
Uruguai; 
> Se a rota passar pelo Paraguai, então ela não deverá passar pela Argentina; 
> Se a rota passar pelo Uruguai e pela Argentina, então ela deverá passar pelo 
Paraguai. 
Suponha, também, que as estações A, B e C tenham sido construídas em pontos 
equidistantes, de modo que a distância de uma dessas três estações para outra seja 
de 150 km. 
Com referência às informações contidas no texto acima e às considerações 
hipotéticas que a ele se seguem, e considerando 1,73 como valor aproximado para 
3 , julgue os itens seguintes. 
( ) Considerando que devam ser escolhidas 3 aeronaves para inspeção e 
manutenção, sendo que não podem ser selecionadas as 2 aeronaves de uma 
mesma estação, e que todas as seis estações já possuam as duas aeronaves 
previstas, então o número de formas distintas de se fazer essa escolha será 
superior a 150. 
 
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40. CESPE – Polícia Federal – 2012) Dez policiais federais – dois delegados, dois 
peritos, dois escrivães e quatro agentes – foram designados para cumprir mandado 
de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O 
grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja 
composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois 
agentes. 
 
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 
 
( ) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas 
as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro 
de um veículo com cinco lugares – motorista e mais quatro pasageiros – será 
superior a 100. 
( ) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. 
( ) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e 
independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos 
constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20% 
 
41. CESPE – INPI – 2013) Em um rebanho de 30 novilhas 7 são marrons, 13 são 
malhadas e 10 são brancas. A respeito desse rebanho, julgue os itens seguintes. 
( ) Se um desses animais for selecionado ao acaso, a probabilidade de ele ser 
malhado é inferior a 40%. 
( ) A quantidade de maneiras distintas de se selecionar, nesse rebanho, duas 
novilhas malhadas, uma marrom e duas brancas é superior a 75. 
 
42. CESPE – INPI – 2013) Um órgão público pretende organizar um programa de 
desenvolvimento de pessoas que contemple um conjunto de ações de educação 
continuada. Quando divulgou a oferta de um curso no âmbito desse programa, 
publicou, por engano, um anúncio com um pequeno erro nos requisitos. Em vez de 
“os candidatos devem ter entre 30 e 50 anos e possuir mais de cinco anos de 
experiência no serviço público” (anúncio 1), publicou “os candidatos devem ter entre 
30 e 50 anos ou possuir mais de cinco anos de experiência no serviço público” 
(anúncio 2). Considere que: 
X = o conjunto de todos os servidores do órgão; 
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A = o conjunto dos servidores do orgão que têm mais de 30 anos de idade; 
B = o conjunto dos servidores do orgão que têm menos de 50 anos de idade; e 
C = o conjunto dos servidores do orgão com mais de cinco anos de experiência no 
serviço público. 
Sabendo que X, A, B, e C têm, respectivamente, 1.200, 800, 900 e 700 
elementos, julgue os itens seguintes. 
( ) Selecionando-se ao acaso um servidor no órgão, a probabilidade de ele ter mais 
de 30 anos é superior a 75%. 
 
43. CESPE – TRT/10 – 2013) No concurso de loterias denominado miniquina, o 
apostador pode marcar 5, 6 ou 7 dezenas em uma cartela que possui as dezenas 
de 01 a 15. Nesse concurso, o prêmio principal é dado ao apostador que marcar em 
sua cartela as cinco dezenas sorteadas aleatoriamente em uma urna. Com relação 
ao concurso hipotético acima apresentado, julgue os itens subsequentes. 
( ) Considere que o cálculo do valor a ser pago pela aposta seja feito mediante a 
multiplicação do valor de uma aposta de 5 dezenas, que é fixo, pela quantidade de 
jogos de cinco dezenas que é possível fazer com as dezenas que o apostador 
marcar em sua cartela. Considere, ainda, que um jogo de 5 dezenas custe R$ 3,00. 
Em face dessa situação, é correto afirmar que o apostador deverá pagar, caso 
marque 7 dezenas em sua cartela, mais de R$60,00. 
( ) Caso um apostador marque 5 dezenas em sua cartela, a chance de ele acertar 
exatamente uma dezena entre as 5 sorteadas será superior a 30%. 
( ) Se um apostador marcar apenas 5 dezenas em sua cartela, a probabilidade de 
ele ganhar o prêmio principal com essa cartela será superior a 1/3.000. 
( ) As dezenas que forem sorteadas em concursos anteriores terão mais chances de 
serem sorteadas novamente. 
( ) Se o apostador A marcar 6 dezenas em sua cartela e o apostador B marcar 5 
dezenas, a probabilidade de A ganhar será seis vezes superior à de B. 
 
44. CESPE – TRT/10 – 2013) Considerando que, dos10 postos de combustíveis de 
determinada cidade, exatamente dois deles cometam a infração de vender gasolina 
adulterada, e que sejam escolhidos ao acaso alguns desses postos para serem 
fiscalizados, julgue os itens seguintes. 
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( ) Cinco é a menor quantidade de postos que devem ser escolhidos para serem 
fiscalizados de modo que, com certeza, um deles seja infrator. 
( ) Há mais de 15 maneiras distintas de se escolher dois postos, de modo que 
exatamente um deles seja infrator. 
( ) Se dois postos forem escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de esses dois 
postos serem os infratores será inferior a 2%. 
( ) Há menos de 30 maneiras diferentes de se escolher quatro postos, de modo que 
dois deles sejam os infratores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. GABARITO 
0 E 01 E 02 E 03 C 04 C 05 C 06 C 
07 C 08 EECC 09 CE 10 EC 11 D 12 E 13 CEE 
14 E 15 EE 16 ECC 17 B 18 D 19 A 20 D 
21 E 22 A 23 D 24 B 25 E 26 A 27 A 
28 E 29 D 30 C 31 CE 32 CCCE 33 CC 34 C 
35 CEE 36 EECE 37 CEC 38 EC 39 C 40 CEE 41 EC 
42 E 43 CCEEC 44 ECEC