Logaritmos

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Matemática 
 
 
 
 
LOGARITMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Teoria dos logaritmos .......................................................................................................... 2 
1.1. Simplificando cálculos ..................................................................................................... 2 
1.2. Conhecendo John Napier ................................................................................................ 2 
1.3. Logaritmo ......................................................................................................................... 3 
1.4. Exemplos de logaritmos ................................................................................................... 4 
1.5. Antilogaritmo .................................................................................................................... 5 
1.6. Exemplos de antilogaritmo .............................................................................................. 5 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Vimos anteriormente na apostila Aplicação dos Fatoriais: combinação, arranjo, 
conceituando e mostrando o que é, para que serve e como usar nos processos de 
contagem. 
Agora nesta apostila, iremos abordar os logaritmos, onde poderemos 
compreender o que é um logaritmo. Veremos que os princípios básicos dos logaritmos 
nos remetem às soluções mais fáceis de determinados problemas, sendo que desta 
forma veremos que eles podem simplificar cálculos numéricos. 
Objetivo 
• Conceituar logaritmo e antilogaritmo; 
• Exemplificar logaritmo e antilogaritmo. 
 
1. Teoria dos logaritmos 
1.1. Simplificando cálculos 
Para começarmos nossos estudos, vamos considerar as expressões abaixo: 
43.215 + 7.433; 43.215 – 7.433; 43.215 . 7.433; 43.215 : 7.433. 
Observando cada uma delas, qual você resolveria de forma mais rápida? 
Bem, digamos que, de uma forma geral, é mais simples resolver problemas 
envolvendo somas e subtrações, do que multiplicações e divisões. Baseado nessas 
ideias, o escocês John Napier, formalizou a teoria dos logaritmos, cuja finalidade é 
simplificar cálculos numéricos. 
 
1.2. Conhecendo John Napier 
Nascido em 1550, John Napier, matemático escocês, morreu em 4 de abril de 
1617. Napier foi o inventor dos logaritmos e foi educado na universidade de St.Andrew 
na Europa, sendo que até mesmo a palavra logaritmo foi por ele inventada, a partir de 
palavras gregas : “logos” que quer dizer razão e “aritmos” que significa número. 
Temos como princípios básicos dos logaritmos, transformar uma 
multiplicação em adição ou uma divisão em subtração, feito que já era parcialmente 
visto por outros matemáticos antes de Napier. Mesmo assim, o crédito pela criação 
dos logaritmos, é dada a ele, por causa de seus vinte anos de trabalho que tornaram-
se visíveis após a publicação das obras Mirifici logarithmorum canonis descriptio 
 
3 
 
(Descrição das normas dos logaritmos maravilhosos, em 1614) e obras Mirifici 
logarithmorum canonis constructio (Cálculo das normas dos logaritmos 
maravilhosos, em 1619). 
Napier com o sistema logarítmico, no início, aplicou- na trigonometria, que era 
não necessária para a navegação e para as observações dos astrônomos, mas também 
foi utilizada no cálculo. 
 
1.3. Logaritmo 
Para iniciarmos nossos estudos sobre logaritmo, vamos imaginar a seguinte 
situação: 
O crescimento da população de um determinado país, cresce a uma taxa de 
2% ao ano. Em quantos anos a população deste país, irá dobrar, considerando que a 
taxa de crescimento permaneça a mesma? 
Bem diante do exposto, vamos fazer um quadro demonstrativo: 
Tempo População 
Início P0 
Primeiro Ano P1 = P0 . 1,02 
Segundo Ano P2 = (P0 . 1,02).1,02 = P0(1,02)2 
Terceiro Ano P3 = P0.(1,02)3 
... ... 
X Anos Px = P0(1,02)x 
Fonte: Dante, 2005 
Então agora, vamos adquirir conhecimentos que nos ajudarão a resolver este 
problema, ou seja, o nosso objetivo será transformar uma equação exponencial como 
essa, numa igualdade entre potências de mesma base, vamos desenvolver a noção de 
logaritmo. 
Vamos considerar uma potência de base positiva e diferente de 1. Por exemplo: 
23 = 8. 
Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Assim, dizemos que 
3 é o logaritmo de 8 na base 2. Em símbolos: 
23 = 8 
log2 8 = 3 
Vejamos alguns exemplos: 
 
4 
 
52 = 25 3-2 = 1/9 (1/2)4 = 1/16 
log5 25 = 2 log3 1/9 = -2 log1/2 1/16 = 4 
Daí, vamos ter a definição: 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
 
 
 
1.4. Exemplos de logaritmos 
a)log2 16 é o expoente x tal que 2x = 16 
Temos 2x = 16 
2x = 24 
x = 4 
Assim, log2 16 = 4 
 
b)log5 
1
25
 é o expoente x tal que 5x = -2 
Temos 5x = 
1
25
 
5x = 5-2 
x= -2 
Assim, log5 
1
25
 = -2 
 
c)log7 1 é o expoente x tal que 7x = 1 
Temos 7x = 1 
7x = 70 
Assim, log7 1 = 0 
 
d)log5 3√5 é o expoente x tal que 5x = 3√5 . 
Tomando a e b números reais positivos e b≠1. Chama-se 
logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a. 
Em símbolos dizemos: 
logb a = x logo bx = a. 
Na sentença logb a = x: 
• a é chamado de “logaritmando”; 
• b é chamado de “base do logaritmo”; 
• x é chamado de “logaritmo de a na base b”. 
 
 
5 
 
Temos 5x = 3√5 
5x = 51/3 
x = 
1
3
 
Assim, log5 3√5 = 
1
3
 . 
 
e)log3 81 é o expoente x tal que 3x = 81 
Temos 3x = 81 
3x = 34 
Assim, log3 81 = 4 
 
1.5. Antilogaritmo 
Bem, como já vimos o conceito de logaritmo, vejamos também o que podemos 
chamar de uma propriedade ligado aos logaritmos: o antilogaritmo. 
A utilização dos antilogaritmos é bem pequena, mas vale a pena entender seu 
conceito, pois poderá nos auxiliar na resolução de alguns exercícios. 
De uma maneira geral, dizemos que o antilogaritmo é o inverso do logaritmo, 
pois se tomarmos a e b como números reais positivos, sempre lembrando que a deve 
ser maior que zero e diferente de 1 e o termo b maior que zero, se o logaritmo de b na 
base a é igual a c, teremos então b como sendo o antilogaritmo de c na base a, ou seja, 
logab = c então, antilogac = b 
Neste caso, assim como o próprio nome “anti” no início do conceito já diz, o 
antilogaritmo nada mais é do que uma determinada demonstração de um logaritmo, 
porém, de uma forma inversa, ou seja, pelo contrário. 
 
1.6. Exemplos de antilogaritmo 
Exemplo 1: Qual o antilog5 2? 
antilog3 2 = x 
52 = x 
x = 25 
Assim antilog5 2 = 25 pois log5 25 = 2. 
Exemplo 2: Calcule o antilog da expressão antilog3 (log 1/2 16) 
Vamos calcular primeiro, o valor de log 1/2 16. 
log 1/2 16 = x 
 
6 
 
(1/2)x = 16 
(2-1)x = 16 
2-x = 24 
-x = 4 
x = -4 
antilog3 (log 1/2 16) = antilog3 (-4) 
antilog3 (-4) = k 
3-4= k 
k = (1/3)4 
𝑘 =
1
81
 
Assim antilog3 (log 1/2 16) = 
1
81
. 
Exemplo 3: Qual o antilog1/2 3? 
antilog1/2 3 =x 
(1/2)3 = x 
x = 1/8 
Assim o antilog1/2 3 = 1/8 pois log1/2 1/8 = 3 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. (Paiva, 1999) Calcular os logaritmos: 
Para medir o nível sonoro utiliza-se a escala 
logarítmica. Considerando l0 a menor intensidade física 
do som audível e l a intensidade física do som que se 
quer medir, o nível sonoro β de l é calculado por: 
β= log l/l0 na unidade de medida bel (símbolo ß), 
nome da a Graham Bell, inventor do telefone. Na prática 
utiliza-se decibel (símbolo db) que equivale à décima 
parte do bel. 
 
 
7 
 
a) log125 625 
b) log81 
1
243
 
c) log √1000
4
 
Observação: quando a base não é indicada em um logaritmo, sempre será 
considerada como sendo 10. 
d) log27/8 
64
729
 
 
2. (Adaptado Dolce, 1997) Calcular os antilogaritmo: 
a) antilog6 (log216) 
b) antilog3 2 
c) antilog2 4 
d) antilog1/2 3 
 
3. (Autor, 2019) Calcule o antilog5 (log√5 25) 
Gabarito 
1. Resposta: 
a) log125 625 = x 
125x = 625 
(53)x = 54 
53x = 54 
𝑥 =
4
3
 
Assim log125 625 = 
4
3
 
b) log81 
1
243
 = x 
81x = 
1
243
 
(34)x = 
1
243
 
34x = 1/35 
34x =3-5 
 
8 
 
4x = -5 
𝑥 = −
5
4
 
Assim log81 
1
243
 = −
5
4
 
 
c) log4√1.000 = x 
10x = 4√1.000 
10x = 103/4 
𝑥 =
3
4
 
Assim log4√1.000 = 
3
4
 
d)log27/8 
64
729
 = x 
(
27
8
)x = 
64
729
 
 (
3
2
)3 x = (
2
3
)6 
(
3
2
)3x =(
3
2
)-6 
3x = -6 
x = -2 
Assim log27/8 
64
729
 = -2 
 
2. Resposta: 
 
a) O ideal para resolver este exercício, será necessário a resolução primeiro do 
que está dentro dos parênteses. Lembre-se que é uma regra da matemática, 
resolver primeiro o que está dentro dos parênteses. Neste caso, o que está 
dentro dos mesmos se trata de um logaritmo. 
Assim, ao tirar dos parênteses, ficaria: 
log² 16 = x 
E, por meio da definição, chegaríamos a conclusão de 
2x = 16 
2 x = 24 
x = 4 
 
Agora vamos para a resolução do próprio antilogaritmo. 
 
9 
 
antilog6 4 = x 
Pela definição, no caso, chegaríamos a 64 = x 
x = 1296 
 
b) Se o log3 9 = 2, então antilog3 2 = 9 
c) Se o log2 16 = 4, então antilog2 4 = 16 
d) Se o log1/2 1/8 = 3, então antilog1/2 3 = 1/8 
 
3. Resposta: 
Inicialmente vamos resolver o que está dentro do parênteses. 
51/2= x 
Lembre-se que √5 = 51/2 e então fazemos (51/2)x = 52 
𝑥
2
 = 2 então x = 4 ou seja 51/2 = 4 
Agora então resolvemos antilog5 4: 
antilog5 4 = 54 = 625 
 
Resumo 
Hoje aprendemos para definir logaritmo, consideramos a e b números reais 
positivos e b ≠ 1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a. 
Em símbolos dizemos: 
logb a = x logo bx = a. 
Na sentença logb a = x : 
• a é chamado de “logaritmando”; 
• b é chamado de “base do logaritmo”; 
• x é chamado de “logaritmo de a na base b”. 
Para o antilogarito, sendo a e b números reais positivos (a > 0, a ≠ 1, b >0) se o 
logaritmo de b na base a é c, então b é o antilogaritmo de c na base a. 
Assim : logab = c então, antilogac = b 
Podemos dizer que o antilogaritmo é a inversão do logaritmo para provar que 
este segundo está correto. 
 
10 
 
Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed.São Paulo, Ática, 2005. 
DOLCE, O.;IEZZI, G.;MURAKAMI,C. Fundamentos de Matemática Elementar, Logaritmos: volume 2.1ª.ed.São 
Paulo, Atual, 1997. 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999