Logarítimos

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Logaritmos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você deve ter estudado os tópicos "Aritmética Básica" e "Exponenciais" antes de começar 
por aqui. 
Este tópico vem após exponenciais pois é usado como a "volta" da exponencial. Veja só: 
Sabemos que 5 elevado à potência 2, resulta 25, agora mudamos o contexto e vou fazer 
uma pergunta: 
- Qual o número (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25? 
Você deve estar pensando: 
-Mas isso eu resolvo com exponenciais!!! 
Sim, porque essa é bem fácil, as difíceis não saem tão simples assim. Vamos começar de 
baixo. 
O logaritmo serve para isso! 
Esta pergunta poderia ser interpretada matematicamente da seguinte forma: 
 
Onde "x" é o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25. 
Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, à potência 2) para 
obtermos 25, chegamos à conclusão que o logaritmo de 25 na base 5 é 2: 
 
Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver: 
 
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/algebra_basica/algebra_basica_01_potenciacao.php
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/exponenciais/equacoes_exponenciais_01.php
No exemplo anterior, , temos então que a base é 5, o logaritmando é 25 e 
o logaritmo de 25 na base 5 é 2. 
Note que, anteriormente, dissemos que "x" é o expoente de "b", e na figura acima está 
escrito que "x" é o "logaritmo". Isso acontece pois o LOGARITMO É UM EXPOENTE. 
Agora, com esta breve introdução, podemos escrever uma primeira definção de logaritmo 
(hei, ainda não é a oficial, mas é o que temos até agora): 
Logaritmo de um número N, na base b, é o número x ao qual 
devemos elevar a base b para obtermos N. 
Esta é a apenas uma definição, você deve ter entendido bem o que está escrito acima dela 
para ir ao próximo capítulo de estudo. 
Veremos quais as condições que a base, o logaritmando e o logaritmo devem satisfazer 
para termos um logaritmo. 
Não podemos sair escrevendo logaritmo de qualquer número em qualquer base. Existem 
algumas regras para que o logaritmo exista, são as: condições de existência dos 
logaritmos. 
Para mostrar quais são estas condições, vou dar umEXEMPLO ERRADO para cada 
restrição existente, para que você veja o absurdo que seria se elas não existissem. 
Veja primeiro o exemplo abaixo: 
Ex. 1: Quanto vale ? 
Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o número 4 para obtermos -
16. Você viu no capítulo de potenciação que não há valor para este expoente. Chegamos 
então a um absurdo. 
Por causa deste tipo de absurdo, há uma restrição quanto ao sinal do logaritmando: 
PRIMEIRA CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA (logaritmando): O logaritmando deve ser um 
número positivo. 
Veja que esta primeira restrição já inclui o fato de que o logaritmando deve ser diferente de ZERO. 
Duvida? Experimente encontrar o logaritmo de ZERO na base 3 (log30). 
Veja o próximo exemplo errado para ilustrar a próxima restrição: 
Ex. 2: Quanto vale ? 
Ou seja, queremos saber qual o expoente que devemos elevar o número -4 para obtermos 
4. Novamente chegamos em um absurdo, não há expoente que faça isso. 
Ainda olhando para a base: 
Ex. 3: Calcule . 
Queremos saber qual o expoente que devemos elevar a base 1 para obtermos 4. Como 
visto no capítulo de potenciação, a base 1 elevada a qualquer expoente resulta 1, ou seja, 
não existe expoente para a base 1 que resulte 4. Absurdo! 
Ex. 4: Calcule . 
Traduzindo, qual o expoente que devemos elevar a base 0 para obtermos 4. Absurdo! 
Com estes três exemplos sobre a base do logaritmo, chegamos na segunda condição de 
existência. 
SEGUNDA CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA (base): A base deve ser um número positivo 
diferente de 1. 
Note que é dito que a base deve ser um número positivo, ou seja, não pode ser ZERO também. 
Portanto, resumindo as três condições em um quadro só: 
CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA 
logbN = x 
1° N > 0 
2° b > 0 
3° b ≠ 1 
 
Tá, e você deve estar se perguntanto: Como é que isso cai no vestibular? Uma maneira 
muito comum de cair é a questão perguntar odomínio de uma função com logaritmos. 
Lembrando que domínio é o conjunto dos números para os quais a função existe, devemos 
apenas aplicar as condições de existência no logaritmo para encontrar seu domínio. Veja 
os exemplos abaixo: 
 
1) Qual o domínio da função real definida por ? 
Vemos que a base já está definida, vale 5. Portanto, não devemos aplicar a condição de 
existência na base, somente no logaritmando. 
 arrumando termos, 
 as raízes da função do segundo grau são 2 e 3 e o gráfico tem 
concavidade para baixo. Desenhando a parábola: 
 
Portanto, os valores nos quais a parábola retorna valores positivos estão no intervalo entre 
2 e 3. Este será o domínio: 
Domínio = 
 
Com a idéia básica vista nos dois capítulos anteriores podemos dar mais um passo. Agora 
sim em direção a uma matéria que já pode ser cobrada no vestibular (ah, mas mesmo a 
matéria anterior não sendo cobrada diretamente, é necessário sabê-la para compreender 
esta aqui e as posteriores). 
Lembrando que o logaritmo é um expoente, podemos enunciar a equivalência fundamental 
dos logaritmos: 
EQUIVALÊNCIA FUNDAMENTAL 
 
Note que temos, na expressão acima, exatamente as duas maneiras de mostrar a pergunta 
feita no início do estudo de logaritmos: "Qual o expoente x que devemos elevar a 
base b para resultar N". 
Esta equivalência é muito importante, pois muitos exercícios sobre logaritmos necessitam 
dela para sua resolução. Veja, que, a flecha indicada nessa propriedade está nos dois 
sentidos, ou seja, você pode transformar logaritmo em exponencial e exponencial em 
logaritmos. 
Vamos dar um exemplo de cada: 
 
Ex. 1 - Qual o logaritmo de 216 na base 6? 
Em outras palavras, podemos escrever esta pergunta como: 
 
Onde x é o valor procurado, ou seja, o logaritmo elucidado no enunciado. 
Agora, para resolver, aplicamos a equivalência fundamental: 
 
Caímos em uma exponencial, para resolver devemos igualar as bases (como visto na lição 
anterior). Fatorando o . 
 Cortando as bases 
 Portanto, log6 216 = 3 
 
Ex. 2 - Qual o valor de "x" na equação ? 
Estamos perguntando: "Qual o expoente x que devemos elevar a base 5 para resultar 6 ?". 
Aplicando a "volta" da equivalência fundamental podemos escrever esta igualdade como 
sendo: 
 
Este é o valor de x 
 
Ex. 2 (UFRGS) A forma exponencial da igualdade é: 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
Esta é só aplicar a equivalência fundamental. 
 
Resposta correta, letra "B". 
 
Veja agora alguns exemplos de aplicação da equivalência fundamental: 
 
Este é o logaritmo que queremos saber. Primeiro de tudo 
devemos igualar a "x". 
 
Agora é só usar a equivalência fundamental 
 
Caímos em uma equação exponencial. Vamos fatorar! 
 
Bases igualada é só cortar. 
 Esta é a resposta: 
Mais um exemplo: 
 
Sempre, o que devemos fazer primeiro é igualar a "x". 
 
Aplicando a equivalência fundamental. 
 
Esta é uma exponencial. Fatorando. 
 
Cortando as bases 
 Esta é a resposta: 
Mais um exemplo nunca é demais: 
 
Igualando a "x". 
 
Aplicando a equivalência fundamental. 
 
Agora para facilitar o cálculo, vamos transformar o 
número decimal em fração e fatorar o que der. 
 
Aplicando as propriedades de potenciação. 
 
Cortando as bases. 
 
 
Esta é a resposta: 
 
Esta é a técnica para se calcular o valor do logaritmo de algum número em uma base 
definida. Na próxima página há alguns exercícios para você resolver e comparar com a 
nossa resolução. 
Veja no próximo tópico as propriedades fundamentais de logaritmo para cálculo de 
equações. 
1) Calcule o valor dos seguintes logaritmos: 
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
 
a) Igualando a "x" 
 
aplicando a equivalência fundamental 
 
Igualando as bases (utilizando base 2) 
 
Aplicando as propriedades de potências 
 
Corta-se as bases 
 
Isolando x 
 
Simplificando 
 
Esta é a resposta!! 
 
c) Igualamos a "x"Aplicamos a equivalência fundamental 
 
Pra facilitar o cálculo, vamos transformar a fração 
 
Agora, transformar em potência 
 
Aplicamos a propriedade de divisão de potências de bases diferentes 
 
Simplificamos a função 
 
Novamente, propriedades de potenciação 
 
Corta-se as bases, 
 
Esta é a resposta final. 
 
d) 
Igualando a "x" 
 
aplicando a equivalência fundamental 
 
Vamos aplicar algumas propriedades de potências e Igualar as bases 
(utilizando base 7) 
 
Aplicando as propriedades de potências 
 
Corta-se as bases 
 
Isolando x 
 
Esta é a resposta!!! 
 
2) Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência 
fundamental: 
a) b) c) d) 
 
a) 
Neste tipo de exercício não é necessário igualar a "x", pois já há uma 
igualdade, vamos direto aplicar a equivalência fundamental. 
 
Pronto, já temos a resposta, agora é só desenvolver a potência 3. 
 
Esta é a resposta!!! :) 
 
d) Novamente, vamos direto aplicar a equivalência fundamental. 
 
Pronto, já temos a resposta, agora é só desenvolver a potência 2. 
 
Resposta final. 
 
3) Calcule o valor da incógnita "a" em cada exercício, aplicando a equivalência 
fundamental: 
a) b) c) d) 
 
a) 
Este exercício também não precisa igualar a "x", pois també já existe uma 
igualdade. Portanto, vamos direto aplicar a equivalência fundamental. 
 
Vamos fatorar o 81. 
 
Podemos cortar os expoentes 
 
Pronto, esta é a resposta! 
 
d) 
Este exercício parece ser bem mais complicado, mas não se assuste! 
Resolve-se da mesma forma. Vamos direto aplicar a equivalência 
fundamental. 
 
Sabemos, pelas propriedades de potenciação, que ao elevar na potência 
1/2 estamos na verdade tirando a raiz quadrada, portanto: 
 
Vamos aplicar as propriedades de radiciação e fatorar o 27: 
 
 
 Podemos cortar o 3 dos dois lados! 
 
 
 Esta é a resposta!! :))) 
 
4) O número real x, tal que , é 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
Aplicamos a equivalência fundamental: 
 
Elevamos ambos os lados ao quadrado: 
 
 
Resposta letra "A" 
 
5) (PUCRS) Escrever , equivale a escrever 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
Note que inicialmente temos uma exponencial com bases iguais a "b", portanto, podemos 
cortar as bases e igualar os expoentes. Ficando com: 
 
Agora vamos aplicar a equivalência fundamental: 
 
Aplicando as propriedades de potenciação: 
 
Resposta certa, letra "A" 
 
Considerando a definição do logaritmo e todas condições de existência, existem alguma 
propriedades que os logaritmos sempre obedecem. 
1° Conseqüência: 
A pergunta feita por este logaritmo, é: Qual o expoente que devemos elevar a 
base "b" para obter 1? Como sabemos que qualquer número elevado à ZERO é um, então 
o logaritmo de 1 em qualquer base é ZERO também. Esta propriedade está provada. 
Utilizando a equivalência fundamental para provar que resulta ZERO. Então vamos igualar 
a x: 
 
Aplicamos a equivalência fundamental 
 
Agora devemos recordar que qualquer base elevada à ZERO resulta 1. 
 
 
 
2°Conseqüência: 
Qual o expoente que devemos elevar a base "b" para obtermos "b"? Se não houve 
modificação no número, então o expoente é 1. 
Novamente, com a equivalência fundamental (agora um pouco mais sucinto): 
 
 
3°Conseqüência: 
Qual o expoente devemos elevar a base a para obtermos a
m
? É uma pergunta quase 
óbvia, o expoente é m. 
Equivalência fundamental: 
 
 
4°Conseqüência: 
Esta é a mais importante das propriedades, e sua demonstração não é tão trivial assim. 
Vou tentar mostrar com uma questão: 
Qual o valor de x na expressão . 
Vamos substituir por "y". Com isso teremos: 
 
 
Aplicando a volta da equivalência fundamental: 
 
Agora, substituindo o valor original de "y": 
 
Com isso podemos cortar os logaritmos de base 5 dos dois lados da igualdade. 
 
Assim, teremos a propriedade: 
4° Conseqüência 
 
Ou seja, quando tivermos uma potência, em forma de logaritmo com a mesma base desta 
potência, podemos cortar. 
 
5°Conseqüência: 
Trocando em miúdos, podemos dizer que, quando temos um logaritmo de cada lado da 
igualdade, ambos a mesma base, podemos "cortar" os logaritmos e igualar os 
logaritmandos. 
 
A demonstração começa aplicando a equivalência fundamental. Chamamos : 
 
Aplicamos a equivalência fundamental 
 Agora voltamos a substituição 
 
Podemos então aplicar a 4° propriedade 
 
Como queríamos demonstrar 
 
 
Historicamente, o logaritmo foi inventado para facilitar os cálculos na matemática antiga, 
onde não existia calculadora. 
Ele traz a facilidade de transformar uma multiplicação em uma soma. 
Imagina você, sem calculadora, tendo que fazer a multiplicação de dois números grandes! 
Não seria mais fácil somá-los? Ou ter a posse de dois números que, somados, dão o 
mesmo resultado que o produto desejado? 
Pois é, estas propriedades mostradas aqui servem pra isso. 
Essa facilidade (de transformar produto em soma) é chamada de PROSTAFÉRESE. 
Veja as propriedades abaixo: 
1°Propriedade: 
Aqui temos a Prostaférese. Veja que do lado esquerdo da igualdade temos log de uma 
multiplicação, e na direita uma soma de logs. 
Para provar essa propriedade não é tão difícil. Tente acompanhar o raciocínio. Faz de 
conta que temos um número x que é a soma de dois logaritmos que estão na mesma 
base b: 
Se temos esta igualdade, podemos colocar a mesma base b dos dois lados como 
potenciação: 
Agora a gente pode aplicar a propriedade de potenciação: 
E agora aplicar a 4° conseqüência, estudada no capítulo 
anterior: 
E ficamos com: 
Agora aplicamos a equivalência fundamental: e chegamos no valor que 
queríamos demonstrar. 
 
2° Propriedade: 
Esta é quase a mesma coisa que a anterior, mas em vez de multiplicação temos a divisão 
e no lugar da soma vira subtração. A demonstração é extremamente parecida com a 1° 
propriedade. Tente demonstrar você, siga os passos da anterior. 
 
3° Propriedade: 
Esta propriedade é uma "extensão" da primeira. Veja o exemplo abaixo com o expoente 2: 
 sabemos que 
 agora aplicamos a primeira propriedade 
 
 
Poderíamos ter saído da primeira linha diretamente para a última, essa é a facilidade de 
saber esta propriedade. 
Uma maneira de visualizar esta propriedade, e tentar decorá-la mais facilmente, é 
imaginando a figura abaixo: 
 
 
Veja algumas aplicações: 
(UFRGS) A raiz da equação é 
 (A) 6 
 (B) 3,5 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
Começamos aplicando a volta da equivalência fundamental: 
 
Agora vemos que esta resposta não está nas alternativas. Portanto, devemos fatorar o 12: 
 
Aplicamos a 1° Propriedade Operatória 
 
Mas o sabemos que vale 2. Portanto: 
 
Resposta correta, letra "E". 
 
(UCS) Se e , então vale 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
Este tipo de questão é clássico nos vestibulares do Brasil. Peguei este exemplo pois não 
possui muita dificuldade. 
Começamos fatorando sempre o logaritmo pedido, neste caso o 12. 
 
 
Agora devemos aplicar as propriedades operatórias: 
 
 
E substituímos os valores dados no enunciado: 
2a+b, Resposta correta, letra "B". 
1) (UCS) O valor de é 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
Veja que esta é uma aplicação direta da 4° conseqüência da definição de 
logaritmos podemos cortar os termos : 
= 
Resposta letra "A" 
 
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_05_consequencias_definicao.php#4conseq
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_05_consequencias_definicao.php#4conseq
2) (UFRGS) Se e , então é 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
Este tipo de questão começamos fatorando o termo que estiver no logaritmando: 
 
Agora podemos aplicar as propriedades de radiciação : 
 
Então as propriedades operatórias dos logaritmos: 
 
Agora é só substituir os valores dados no enunciado:Resposta certa, letra "D". 
 
3) (PUCRS) Se e , então é igual a 
 (A) 
 (B) 
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/algebra_basica/algebra_basica_02_radiciacao.php
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_06_propriedades_operatorias.php
 (C) 
 (D) 
 (E) 
Agora a questão é ao contrário. Começamos aplicando as propriedades operatórias no 
logaritmo pedido: 
 
Agora sim substituimos os valores dados no enunciado na expressão acima: 
 
Resposta correta, letra "B". 
 
4) (PUCRS) A solução da equação pertence ao intervalo 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
Começamos aplicando a 4° conseqüência da definição de logaritmos: 
 
 
 
 
 
Veja que x é logaritmando na equação do enunciado. Respeitando as condições de 
existência dos logaritmos, não podemos ter logaritmando negativo, ou seja, descartamos o 
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_06_propriedades_operatorias.php
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_05_consequencias_definicao.php#4conseq
valor . 
Resposta final , ou seja, está no intervalo da alternativa "D". 
 
5) Dado , calcule o valor de em função de P 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
Foi dado apenas uma informação, o valor de . 
Portanto, devemos moldar os valores no logaritmo que está sendo pedido em função do 
número 5. Veja só, vamos fatorar o 200: 
 
Aplicar as propriedades dos logaritmos: 
 
Só que o problema agora é descobrir o valor de . Aí que vem a mãnha. Veja que 
podemos trocar o valor 2 como sendo 
 
Sabemos que log 10 = 1 e log 5 = P, portanto, log 2 = 1 - P. 
Agora que sabemos o valor de log 2 = 1 - P e log 5 = P podemos descobrir o valor de log 
200. 
 
Resposta correta, "D". 
 
6) (CAJU) A solução para o sistema de equações: 
 
é 
 (A) (7, 6) 
 (B) (6, 7) 
 (C) (9, 4) 
 (D) (1, 12) 
 (E) (0, 36) 
Devemos começar transformando a equação que envolve logaritmos em uma equação 
sem log. 
Aplicamos, no lado esquerdo, a propriedade operatória dos logaritmos: 
 
Agora a 5° conseqüência da definição de logaritmos: 
 
Agora temos um sistema mais simples de ser resolvido: 
 
Que pode ser resolvido isolando quase de cabeça: 
 
Alternativa correta, letra "C". 
 
 
 
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_05_consequencias_definicao.php#5conseq
Em algumas questões, pode ser apresentado um logaritmo que possui uma base não muito 
boa para a resolução da questão. 
Nestas situações é necessário que troquemos a base do logaritmo! 
Neste capítulo iremos aprender o que fazer para colocarmos qualquer base que quisermos 
no logaritmo da questão. 
A regra é a seguinte: 
Mudança de Base 
 
Ou seja, se tivermos um logaritmo na base b, podemos transformar em uma fração de 
logaritmos em uma outra base qualquer c. 
 
a base nova "c", pode ser qualquer número que 
satisfaça a condição de existência da base, ou seja, 
c > 0 e c ≠ 1. 
Por exemplo, seja o logaritmo de 45 na base 3: . Mudando para a base 7, 
teremos: . Poderíamos ter colocado qualquer outra base c no lugar do 7. 
 
Podemos provar essa propriedade partindo da fração. Vamos igualar a fração a x e 
encontrar o valor de x. 
 
 
Vamos aplicar uma base c de potência nos dois lados da igualdade: 
 
Agora podemos aplicar a 4° conseqüência da definição no lado esquerdo e rescrever a 
potência do lado direito: 
 
E aplicar novamente a 4° conseqüência, agora no lado direito: 
 
Com a equivalência fundamental: 
 
Que é exatamente o valor que queríamos chegar. 
 
(UFRGS) Sabendo que e , então o logaritmo de a na base b é 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
É dado o valor do logaritmo de a na base 10 e é pedido o logaritmo de a na base b. 
Para adequar o pedido ao informado, vamos transformar o para a base 10. 
 
Este valor encontrado possui termos que foram dados no enunciado, portanto, podemos 
substituir: 
 
 
Esta propriedade de mudança de base gera algumas conseqüências legais de sabermos 
para resolver equações envolvendo logaritmos. 
No próximo capítulo você irá aprender estas conseqüências. 
A mudança de base nos dá mais algumas ferramentas para utilizar calculando expressões 
que envolvam logaritmos. 
1° Conseqüência: 
Essa conseqüência diz que, ao invertermos um logaritmo, devemos trocar a base e o 
logaritmando de lugar. Por exemplo, o inverso de é , e, por essa 
conseqüência, podemos escrever . 
A demonstração desta propriedade é através da mudança de base. Partimos de e 
efetuamos a mudança de base para a nova base b. 
 
Mas, sabemos que , portanto: 
 como queríamos demonstrar. 
Veja como pode cair no vestibular esta propriedade através do exemplo abaixo: 
 
(CAJU) Sendo calcule o valor de . 
Podemos rescrever a informação como sendo e aplicar a 3° 
Propriedade Operatória: 
 
Veja que agora temos um logaritmo que é exatamente o inverso do logaritmo pedido no 
enunciado. Portanto, podemos modificar a expressão acima para: 
 
E agora isolar o valor solicitado no enunciado: 
 
Esta é a resposta final 
 
2° Conseqüência: 
Quando temos uma multiplicação de dois logaritmos em que um deles possui a base igual 
ao logaritmando do outro, podemos cortar estes dois e transformar em um logaritmo só. 
 
A demonstração também não é difícil e só utiliza a troca de base. Partimos da 
multiplicação: 
 
E trocamos os dois logaritmos para uma base comum qualquer. Pode ser qualquer uma. 
Vou escolher a base a, ou seja, trocamos as bases dos dois logaritmos para a base a (no 
caso, o primeiro logaritmo já está na base a, portanto, não precisamos mexer nele): 
 
Agora os dois termos podem se cortar, e sobra: 
 
Como queríamos demonstrar. 
 
Veja como pode cair no vestibular. 
(CAJU)Calcule o valor da expressão . 
Começamos somente reagrupando os fatores de maneira a nos facilitar os cortes. Vamos 
colocar o quarto logaritmo do lado do segundo: 
 
Agora veja que os fatores grifados acima podem ser unidos em um só ao cortar a base 5 
do da esquerda com o logaritmando 5 do da direita: 
 
Estes novos termos grifados acima podem ser unidos também ao cortar a base 7 com o 
logaritmando 7: 
 
Estes dois logaritmos que sobraram podem ser unidos ao cortar a base 8: 
 
Agora para descobrir o valor deste logaritmo, aplicamos a equivalência fundamental: 
 
 
 
 Esta é a resposta final do exercício. 
 
Agora que já estudamos todas propriedades dos logaritmos, podemos ver como aplicá-las 
na resolução de equações logaritmicas. 
Equações logaritmicas são quaisquer equações que tenham a incógnita (normalmente é x) 
dentro de um símbolo log. 
Para resolver este tipo de equação não existe um mecanismo geral, algo que dê pra dizer, 
aplique isso e você acertará. 
Uma regra que deve sempre ser seguida ao terminar a resolução de uma equação 
logaritmica, é a seguinte: 
Todas as soluções encontradas devem ser TESTADAS na equação ORIGINAL, afim 
de verificar as condições de existência. 
As soluções que não satisfizerem as condições de existência, devem ser 
DESCARTADAS! 
Portanto, para aprendermos a resolver equações logaritmicas, vamos dar uma olhada em 
algumas questões chave de vestibulares passados. 
 
01) O conjunto solução da equação logaritmica é: 
 (A) {-1; 2} 
 (B) {-2; 1} 
 (C) {-2} 
 (D) {1} 
 (E) { } 
Começamos aplicando apenas a equivalência fundamental: 
 
 
 
Agora é só aplicar a fórmula de Bhaskara. 
 
Chegando no valor de x devemos TESTAR AS SOLUÇÕES, como dito na única regra de 
resolução de equações logaritmicas. 
Verificação, para : , OK 
para : , OK 
Portanto, as duas respostas são válidas. E a alternativa correta é a letra "B" 
 
 
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_03_equivalencia_fundamental.php
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segundo_grau/funcao_segundo_grau_02_02_bhaskara_demo.php2) O número real x que satisfaz a equação é: 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
Aplicamos a equivalência fundamental: 
 
 
 
Agora caímos em uma equação exponencial do tipo II. Efetuando a troca de 
variáveis , temos: 
 
Aplicamos Bhaskara e chegamos em: 
 
Agora voltamos para x utilizando novamente a troca de variáveis feita inicialmente : 
 Absurdo! 
 Aplicamos a equivalência fundamental, 
 
Agora devemos testar esta solução na equação original do enunciado. Substituindo este 
valor de x na equação: 
 
Aplicamos a 4° conseqüência da definição do logaritmo: 
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_03_equivalencia_fundamental.php
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/exponenciais/equacoes_exponenciais_03.php
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segundo_grau/funcao_segundo_grau_02_02_bhaskara_demo.php
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_05_consequencias_definicao.php#4conseq
 
 
 
Aplicamos a 3° propriedade operatória 
, OK. É válida! 
Resposta correta, letra "E". 
 
3) A equação tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é: 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
Esta equação já envolve um truquezinho, igual às equações exponenciais do tipo II. 
Começamos vendo que o 9 na equação pode virar 3². 
 
E aplicamos a 3° propriedade operatória: 
 
O pulo do gato vem agora. Devemos ver que os dois logaritmos envolvidos na equação 
acima são um o inverso do outro (1° consequência da mudança de base). 
 
 
Agora devemos mudar a variável. Efetuamos a troca : 
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_06_propriedades_operatorias.php#3prop
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/exponenciais/equacoes_exponenciais_03.php
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_06_propriedades_operatorias.php#3prop
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_09_consequencias_mudanca_base.php#1conseq
 
Podemos multiplicar ambos os lados por y, ou efetuar MMC, tanto faz. Chegamos em: 
 
 
Aplicamos Bhaskara e chegamos em . Estes são os valores de y, o 
exercício quer os valores de x. Portanto, utilizamos a troca inicial novamente: 
 
para y=2: 
para y=-1: 
O produto destes dois valores (como pedido no enunciado) é . Resposta, letra "E". 
 
4) (UFRGS) A solução da equação está no intervalo: 
 (A) [-2; -1] 
 (B) (-1; 0] 
 (C) (0; 1] 
 (D) (1; 2] 
 (E) (2; 3] 
Esta equação devemos apenas trazer todos os logs para o mesmo lado da igualdade e 
aplicar as propriedades operatórias: 
 
Aplicamos a 2° propriedade operatória dos logaritmos: 
 
Aplicamos a equivalência fundamental: 
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segundo_grau/funcao_segundo_grau_02_02_bhaskara_demo.php
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_06_propriedades_operatorias.php#2prop
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_03_equivalencia_fundamental.php
 
 
 
 
Agora testamos na equação original (do enunciado) para ver as condições de existência. 
Psara isso, substituímos o valor de x encontrado na equação do enunciado: 
 
 
Neste momento não precisamos continuar, só o que devemos saber é que, ao substituir o 
valor de x, não encontramos nenhuma falha nas condições de existência dos logaritmos 
envolvidos. Portanto, a resposta é mesmo 
Este valor encontra-se entre 0 e 1. Resposta correta, letra "C". 
 
A representação gráfica da função logarítmica deve ser gravada por todos. 
Várias questões de vestibular exigem este conhecimento. 
A representação gráfica de um logaritmo pode ser de duas formas. Veja os gráficos abaixo 
mostrando as duas formas para a função : 
 
 
 
 
 
 
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_02_condicoes_de_existencia.php
CRESCENTE 
 
base b > 1 
 
 
 
DECRESCENTE 
 
base 0 < b < 1 
 
 
 
Nestes gráficos devemos observar, principalmente, duas propriedades. Note que os cortes 
no eixo x, em ambos os gráficos, ocorre no ponto 1. Isso está de acordo com a 1° 
Consequência da Definição de logaritmos, que diz que logaritmo de 1 em qualquer base é 
ZERO. 
E o eixo y é uma assíntota vertical, ou seja, a curva não toca o eixo y nunca, apenas vai 
chegando cada vez mais perto, sem tocar. 
Veja um exercício do vestibular da UFRGS sobre este tema: 
 
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_05_consequencias_definicao.php#1conseq
http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/logaritmos/logaritmos_05_consequencias_definicao.php#1conseq
(UFRGS) A representação geométrica que melhor representa o gráfico da função real 
de variável real x, dada por , é 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
 
O enunciado nos diz que o logaritmo pedido possui base igual a , ou seja, sendo um valor 
entre 0 e 1 só pode ser um logaritmo decrescente. 
Dentre as alternativas, somente as letras A e D são decrescentes, mas somente a 
alternativa A corta o eixo x no ponto 1. 
Resposta correta, letra A. 
 
Devemos saber também que, quanto maior a base de um logaritmo, mais próximo de 
ambos os eixos estará seu gráfico. Veja a figura ao lado. 
 
 
(UFRGS) Na figura, a curva S representa o cunjunto solução da 
equação e a curva T, o conjunto solução da equação . Tem-se 
 
(A) a < b < 1 
(B) 1 < b < a 
(C) 1 < a < b 
(D) b < a < 1 
(E) b < 1 < a 
Os dois gráficos representam logaritmos crescentes, ou seja, ambas as bases são maiores 
do que 1. Ficamos então entre as alternativas B e C. 
Devemos então saber qual a relação entre a e b. Como a curva S está mais próxima dos 
eixos x e y do que a curva T, então sua base é maior (a > b). 
Portanto, resposta correta, letra B. 
 
Se, ao invés de termos uma igualdade entre dois logaritmos, tivermos um sinal de 
desigualdade (<, >, ≥, ≤) devemos nos atentar a algumas propriedades. 
Podemos efetuar todas as operações que fazemos com igualdades. 
Em qualquer inequação, quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados por um 
número negativo, devemos inverter a desigualdade. Por exemplo, a inequação: 
1 - x < 0 Podemos passar o 1 para o outro lado: 
-x < -1 
Agora, devemos multiplicar a inequação por (-1). Com isso, invertemos a 
desigualdade 
x > 1 E com isso, chegamos ao intervalo da resposta. 
Essa regra é para todas inequações. 
Para inequações envolvendo logaritmos seguimos alguns passos: 
1° Passo 
Aplicamos as condições de existência em todos os logaritmos que possuírem a 
incógnita em alguma de suas partes. 
Guardamos a interesecção destes intervalos encontrados. 
2° Passo 
Aplicamos as propriedades dos logaritmos a fim de tentar deixar apenas um 
logaritmo de cada lado da desigualdade. Ambos com a mesma base. 
3° Passo 
"Cortamos" os logs dos dois lados, atentando-se para o fato de que se: 
base > 1 Mantém-se a desigualdade 
0 < base < 1 Inverte-se a desigualdade 
E guardamos também o intervalo encontrado. 
4° Passo Computar a intersecção dos intervalos encontrados nos passos 1 e 3. 
Veja o exemplo abaixo: 
 
(CAJU) Qual o intervalo solução da inequação: 
1° Passo - Pegamos um por dos logaritmandos que possuam "x", e aplicamos as 
condições de existência: 
 
 
No próximo capítulo você encontra alguns exercícios para treinar o que aprendeu aqui. 
1) (PUCRS) O valor da expressão é 
 (A) 0 
 (B) 1 
 (C) 2 
 (D) 3 
 (E) 4 
 
2) (CAJU) Qual o valor de x na equação ? 
 (A) 
 (B) 
 (C) 
 (D) 
 (E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Calcule: Log5 625 + Log 100 - Log3 27? 
Vamos calcular cada um dos logaritmos separadamente. 
O Log5 625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625: 
 
Podemos resolver a equaçãoexponencial decompondo 625 em fatores primos: 
 
Ou seja, 625 = 54, o que nos leva ao valor de x: 
 
Pudemos calcular o valor de x desta forma, pois a a base 5 é positiva e diferente de 1. Se você não se 
lembra disto, convém consultar o tema equação exponencial para recordar esta matéria. 
Então 4 é o Log5 625: 
 
O Log 100 é o expoente da potência de base 10 que resulta em 100: 
 
O valor de x agora é óbvio. 
Como sabemos, uma potência de dez com expoente natural resulta em um número começando pelo 
algarismo 1seguido de tantos zeros quanto indicado por este expoente. 
Sabendo-se disto, se o número 100 possui 2 zeros após o 1, é porque o expoente da potência de 
base dez é igual a dois (102 = 100), isto é, x = 2. 
Então 2 é o Log 100: 
 
Por último, o Log3 27 é igual a 3, pois este é o expoente ao qual devemos elevar a base 
também 3 para obtermos27: 
 
Se você tem dúvidas quanto a isto, também pode decompor o número 27 em fatores 
primos como fizemos com oLog5 625. 
Realizando as substituições na expressão original temos: 
 
Log5 625 + Log 100 - Log3 27 = 3. 
 
2) Considerando-se Log7 10 = 1,1833. Qual é o Log7 70? 
Para a solução deste problema vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto. 
Utilizaremos esta propriedade, pois através dela podemos montar uma outra expressão com dois 
logaritmos conhecidos. Um é o Log7 10, obtido do enunciado e o outro é o Log7 7 que como sabemos 
é igual a 1. 
É sabido que 70 é o produto de 7 por 10. Então temos que: 
 
Através da propriedade do logaritmo de um produto podemos assim expressar o Log7 70: 
 
O Log7 7 = 1 pois: 
 
Conforme o enunciado, o Log7 10 = 1,1833, então substituindo tais valores na expressão, temos: 
 
Log7 70 = 2,1833. 
 
3) Calcule o Log3 5 sabendo que o Log3 45 = 3,464974? 
Novamente, para solucionarmos este problema vamos recorrer a uma das propriedades dos 
logaritmos. 
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx#anchor_ex1
http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoExponencial.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/DecomposicaoFatoresPrimos.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoExponencial.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Potenciacao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraFatoracao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraFatoracao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx#anchor_ex2
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
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http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
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http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
O Log3 45 é fornecido pelo enunciado. Precisamos de algum outro logaritmo fácil de calcular, que nos 
permita doLog3 45 chegar ao Log3 5. 
Uma forma de partindo de 45 chegarmos a 5, é dividirmos 45 por 9. 
Como podemos facilmente calcular o Log3 9, vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um 
quociente para solucionarmos esta questão. 
A partir do explicado acima podemos escrever que: 
 
Então, recorrendo à propriedade do logaritmo de um quociente temos: 
 
O , visto que 3 elevado ao quadrado é igual a 9: 
 
Portanto, ao substituirmos os valores conhecidos chegamos ao resultado desejado: 
 
Log3 5 = 1,464974. 
 
4) -1,494850 é um logaritmo decimal na forma negativa. Qual é a sua forma preparada? 
Obtemos a característica subtraindo 1 da parte inteira (-1), resultando em -2 e a escrevemos 
utilizando o traço sobre a mesma, sem o sinal de negativo: 
 
A mantissa obtemos subtraindo de 1 o número formado por "0," seguido da parte decimal 494850: 
 
Logo a mantissa é igual a 505150. 
Já que a característica é igual a 2 e a mantissa é igual a 505150, o logaritmo decimal na forma 
preparada é igual a2,505150. 
Na forma preparada o logaritmo decimal é 2,505150. 
 
5) Qual é a forma negativa do logaritmo decimal 1,511883? 
Vamos realizar a conversão separando o número em duas partes. 
A primeira parte é obtida somando-se 1 à característica 1 (-1): 
 
Para a segunda parte subtraímos o 0,511883, referente à mantissa precedida de "0,", de 1: 
 
Concluindo subtraímos as partes obtidas: 
 
A forma negativa deste logaritmo decimal é -0,488117. 
 
6) O logaritmo decimal de 0,2 é igual a -0,698970 na sua forma negativa. Qual é o 
logaritmo decimal de 200? 
Já que Log 0,2 está na sua forma negativa, devemos primeiramente obter a sua mantissa, visto que 
ela não é a parte decimal do logaritmo informado. 
Já vimos que isto sempre acontece quando o logaritmando é maior que 0 e menor que 1 e no caso 
deste exercício o logaritmando é igual a 0,2. 
Para a obtenção da mantissa do Log 0,2, simplesmente vamos subtrair 0,698970. Estamos 
considerando apenas os algarismos da parte decimal (698970) do logaritmo informado no enunciado, 
acrescentando o "0," na frente: 
 
Portanto a mantissa do Log 0,2 é igual a 301030. 
Visto que os logaritmos decimais de dois números que diferem entre si somente pela posição da 
vírgula, possuema mesma mantissa, então ambos os logaritmos decimais de 0,2 e 200 possuem a 
mantissa 301030. O que difere neles é a característica. 
Para obtermos a característica do Log 200, basta subtrairmos 1 do número de algarismos da parte 
inteira de 200: 
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx#anchor_ex4
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx#anchor_ex5
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx#anchor_ex6
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx#anchor_ex6
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
 
Com característica igual a 2 e mantissa igual a 301030, o logaritmo decimal de 200 é igual 
a 2,301030. 
Log 200 = 2,301030. 
 
7) Utilizando a tábua de logaritmos calcule a raiz quadrada de 961. 
Atribuindo à variável x a raiz quadrada de 961, podemos escrever a seguinte equação: 
 
Recorrendo a logaritmos chegamos a esta equação equivalente: 
 
Agora vamos recorrer à propriedade dos logaritmos que diz que para qualquer valor de M natural, 
diferente de zero, o logaritmo da raiz na base b é igual ao produto do inverso do índice M pelo 
logaritmo de N, também na base b: 
 
Aplicando a propriedade temos: 
 
Chegamos então à seguinte equação: 
 
Recorrendo à tábua de logaritmos vamos obter o log 961. 
Para isto vamos começar procurando pela mantissa do log 9,61 que se encontra no cruzamento da 
linha 96 com a coluna 1, que é 982723. 
Na linha 96 se encontram as mantissas dos números de três algarismos de 9,61 a 9,69, ou 
de 961 a 969 se você preferir. 
A mantissa do log 961 é igual a 982723, já a sua característica é igual a 2, visto que este é o 
número de algarismos da sua parte inteira reduzida em uma unidade: 
 
Portanto, o log 961 = 2,982723. 
Desconsiderando-se os erros de arredondamento, 2,982723 é o expoente ao qual 10 deve ser 
elevado para obtermos 961: 
 
Voltando à equação temos: 
 
Note que o resultado foi arredondado em seis casas decimais, pois esté o número de algarismos que 
estamos utilizando nas mantissas da tábua de logaritmos. 
Temos então à seguinte equação: 
 
Já vimos que os logaritmos decimais com característica igual a 1 são de números maiores, ou iguais 
a 10 e menores que 100. 
Então a raiz quadrada de 961 encontra-se entre os números 10 e 100, mas que número será este? 
Procuremos pela mantissa 491362 na tábua de logaritmos. 
Ela é encontrada na linha 31, coluna 0. 
Isto quer dizer que números como 0,31; 3,1; 31 e 310, dentre outros, que diferemm entre si apenas 
pela posição da vírgula, possuem a mesma mantissa 491362. 
Destes números relacionados, apenas o número 31 situa-se entre os números 10 e 100, 
portanto 31 é a raiz quadrada de 961. 
Apenas para que você tenha noção disto, este procedimento todo se resume a isto: 
 
A raiz quadrada de 961 é 31. 
 
8) A diferença entre dois números positivos é 4207,5 e a diferença entre os logaritmos 
decimais destes dois números é igual a 2. Que números são estes? 
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx#anchor_ex7
http://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmosDecimais.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx#anchor_ex8
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx#anchor_ex8
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
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Vamos chamar de M o número maior e de N o número menor. 
O enunciado diz que: 
 
Isto quer dizer que ambos os logaritmos possuem a mesma mantissa e sendo assim eles diferem 
entre si apenas pela posição da vírgula, significando que se dividirmos o número maior pelo número 
menor o resultado será igual a102: 
 
Através do enunciado também sabemos que: 
 
Podemos então montar o seguinte sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas: 
 
Vamos isolar a variável M da segunda equação: 
 
Agora vamos substituir a variável M da primeira equação: 
 
Substituindo o valor da variável N da primeira equação: 
 
Os números são 4250 e 42,5. 
 
9) Calcule o Log24 6 sabendo que o Log27 6 = x que o Log27 4 = y. 
Para a resolução deste problema vamos partir do princípio que: 
 
Esta é a propriedade que nos permite realizar a mudança de base de um logaritmo. 
Recorrendo a ela temos: 
 
Como o Log27 6 = x, podemos realizar tal substituição na equação. Além disto iremos aproveitar para 
escrever o logaritmando 24, no denominador da fração, como o produto de 6 por 4: 
 
Agora vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto: 
 
Já que o Log27 6 = x e o Log27 4 = y, vamos realizar estas substituições na equação: 
 
Portanto: 
. 
 
10) Se o Log60 3 = x que o Log60 6 = y, qual é o Log18 2? 
O objetivo desta questão é escrevermos o Log18 2 em função de x e y. 
Para alcançarmos tal objetivo faremos algumas operações para que partindo do Log18 2, passemos 
pelos Log60 3e de Log60 6. 
Para começar vamos passar o Log18 2 para a base 60. 
Para isto vamos recorrer à propriedade da mudança de base de um logaritmo: 
 
Então para a = 2, b = 18 e c = 60, temos: 
 
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O logaritmando 2, no numerador da fração pode ser escrito como a razão de 6 para 3, assim como o 
logaritmando18, no denominador da fração pode ser escrito como produto de 6 por 3. O motivo disto 
é nos direcionarmos aos logaritmos no enunciado: 
 
No numerador vamos aplicar a propriedade do logaritmo de um quociente e no denominador a 
propriedade do logaritmo de um produto, quando aí sim, iremos obter os logaritmos no enunciado: 
 
Pronto, agora chegamos a um ponto no qual só precisamos trocar o Log60 3 e 
o Log60 6 por x e yrespectivamente: 
 
.