CONTEXTUALIZADA

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CENTRO EDUCACIONAL MAURICIO DE NASSAU - UNINASSAU 
ENGENHARIA MECÂNICA EaD 
CÁLCULO VETORIAL 
KARLA ADRIANA BARBOSA MENDES DA SILVA LOBO 
ICARO DE FARIAS SPINELI LOPES 
LEONALDO MIGUEL DA SILVA 
 
 
Um grupo de turistas resolveu subir uma serra como mostra a ilustração 
abaixo: 
 
Eles, ao longo do caminho, foram registrando mudanças na temperatura, ou 
seja, a temperatura muda de forma mais rápida quando nos movemos por uma 
quantidade infinitesimalmente pequena. 
 
Analisando a situação, apresente: 
 
• Qual a relação do vetor gradiente, em função da mudança de temperatura? 
Supondo que o campo vetorial da temperatura tenha representação f(x,y,z)= 
3x²y² + xz+ yz². 
R – O vetor gradiente é definido como um vetor que indica o sentido e direção, na 
qual por deslocamento a partir de um ponto especificado obtém-se o maior 
incremento possível no valor de uma grandeza, a partir da qual se define um campo 
escalar para o espaço em consideração. 
Em relação ao enunciado, o vetor gradiente irá determinar o sentido e direção que o 
grupo deverá seguir para encontrar a maior variação de temperatura até topo. 
 
• Determine o gradiente de f, no ponto P (2,6,9). Em seguida responda, em que 
direção essa temperatura varia de forma mais rápida? 
f(x,y,z)= 3x²y² + xz+ yz² 
 
𝛻𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 + 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑘 
 
𝛻𝑓 =
𝜕(3𝑥2𝑦2 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧2)
𝜕𝑥
𝑖 + 
𝜕(3𝑥2𝑦2 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧2)
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕(3𝑥2𝑦2 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧2)
𝜕𝑧
𝑘 
 
𝛻𝑓 = (3 (2𝑥𝑦2) + 𝑧 + 0)𝑖 + (3(2𝑦𝑥2) + 0 + 𝑧2)𝑗 + (0 + 𝑥 + 2𝑧𝑦)𝑘 
 
𝜵𝒇 = (𝟔𝒙𝒚𝟐 + 𝒛)𝒊 + (𝟔𝒚𝒙𝟐 + 𝒛𝟐)𝒋 + (𝒙 + 𝟐𝒛𝒚)𝒌 
 
• Substituindo (x,y,z) pelos pontos P(2,6,9) temos: 
 
𝛻𝑓 = (6𝑥𝑦2 + 𝑧)𝑖 + (6𝑦𝑥2 + 𝑧2)𝑗 + (𝑥 + 2𝑧𝑦)𝑘 
 
𝛻𝑓 = (6(2 ∗ (6)2) + 9)𝑖 + (6(6 ∗ (2)2) + 92)𝑗 + (2 + 2(9 ∗ 6))𝑘 
 
𝛻𝑓 = (432 + 9)𝑖 + (144 + 81)𝑗 + (2 + 108)𝑘 
 
𝜵𝒇 = (𝟒𝟒𝟏)𝒊 + (𝟐𝟐𝟓)𝒋 + (𝟏𝟏𝟎)𝒌 
 
Logo, para que a temperatura varie de forma mais rápida, o grupo deve tomar 
a direção de 𝜵𝒇 = 𝟒𝟒𝟏𝒊 + 𝟐𝟐𝟓𝒋 + 𝟏𝟏𝟎𝒌 nos pontos P(2,6,9) 
 
• Determinando o modulo do vetor: 
||𝛻𝑓|| = √(4412) + (2252) + (1102) 
||𝛻𝑓|| = √194.481 + 50.625 + 12.100 
||𝛻𝑓|| = √257.206 
||𝜵𝒇|| = 𝟓𝟎𝟕 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFIAS 
 
• CAMPOS VETORIAIS. KHAN ACADEMY. Disponível em: 
<https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-
multivariable-function/ways-to-represent-multivariable-functions/a/vector-
fields>. Acesso em: 02 novembro. 2019. 
 
• GRADIENTE. KHAN ACADEMY. Disponível em: 
<https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-
derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/the-gradient>. Acesso em: 
02 novembro. 2019. 
 
• VETOR GRADIENTE. WIKIPÉDIA. Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Gradiente>. Acesso em: 03 novembro. 2019.