Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Unidade II ESTATÍSTICA Profa. Alessandra Teixeira Probabilidade Para fazer inferência estatística usam-se técnicas que exigem o conhecimento de probabilidade. A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. Antes de ativar uma usina nuclear, devemos analisar a probabilidade de uma detonação acidental. Antes de aumentar o limite de velocidade em nossas rodovias, devemos procurar estimar a probabilidade do aumento em acidentes fatais. Experimentos, espaço amostral e eventos Experimentos: resultado no lançamento de um dado; hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; tipo sanguíneo de um habitante escolhido ao acaso. Espaço amostral: lançamento de um dado: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; exame de sangue (tipo sanguíneo): = {A, B, AB, O}; hábito de fumar: = {Fumante, Não fumante}; tempo de duração de uma lâmpada: = {t: t 0}. Eventos: alguns eventos de um dado: A: sair face par A = {2, 4, 6} B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} Probabilidade – exemplo Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório. Em um vestibular, uma questão típica de múltipla escolha tem 5 respostas possíveis. Respondendo à questão aleatoriamente, qual é a probabilidade de sua resposta estar errada? )( )( )( Sn An AP 8,0 5 4 )_( erradarespostaP Probabilidade – mais dois exemplos Imagine que um dado foi jogado. Qual é a probabilidade de ter ocorrido 5? No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um número maior do que 4? 𝑃 5 = 1 6 = 0,1667 𝑜𝑢 16,67% 𝑃 4 = 2 6 = 1 3 = 0,3333 𝑜𝑢 33,33% Probabilidade – outro exemplo Determine a probabilidade de que um casal com três filhos tenha exatamente 2 meninos. 1º 2º 3º H H H H M M M M H H M M H H M M H M H M H M H M 𝑃 2 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑜𝑠 = 3 8 = 0,375 Probabilidade condicional – exemplo Selecione um aluno ao acaso e defina os eventos: a) O aluno selecionado é do sexo masculino, dado que cursa o Cursão – P(HC) = 15/19 = 0,7895 ou 78,95%; b) A disciplina selecionada é estatística, dado que é homem – P(EH) = 16/31 = 0,516. Homens (H) Mulheres (M) Total Cursão (C) 15 4 19 Estatística (E) 16 15 31 Física (F) 6 0 6 Outros (O) 4 2 6 Total 41 21 62 Regra da multiplicação – eventos dependentes Se os eventos A e B são dependentes, temos que: P(A e B) = P(A B) = P(A) . P(B/A) Uma urna contém duas bolas brancas e uma vermelha. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma seguida da outra e sem que a primeira tenha sido recolocada. Qual é a probabilidade de as duas serem brancas? Regra da multiplicação – eventos dependentes A probabilidade da primeira bola ser branca é: 2/3 = 0,6667 ou 66,67%. A probabilidade da segunda bola ser branca: ½ = 0,5 ou 50%. Para obter a probabilidade das duas bolas retiradas serem brancas, faz-se o produto: P(2 bolas brancas) = 2/3 * 1/2 = 2/6 = 1/3 = 0,3333 ou 33,33%. Interatividade Com referência à tabela, admita que todas as escolhas envolvam os 2.000 indivíduos. Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente, qual é a probabilidade de ela ter sido vítima de um estranho, dado que foi escolhida uma vítima de furto? a) P(estranho / furto) = 0,75. b) P(estranho / furto) = 0,559. c) P(estranho / furto) = 0,2525. d) P(estranho / furto) = 0,5087. e) P(estranho / furto) = 0,1739. Homicídio Furto Assalto Total Estranho Conhecido ou parente Ignorado 12 39 18 379 106 20 727 642 57 1118 787 95 Totais 69 505 1429 2000 Resposta Com referência à tabela, admita que todas as escolhas envolvam os 2.000 indivíduos. Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente, qual é a probabilidade de ela ter sido vítima de um estranho, dado que foi escolhida uma vítima de furto? a) P(estranho / furto) = 0,75. P(estranho / furto) = 379 / 505 = 0,75 Homicídio Furto Assalto Total Estranho Conhecido ou parente Ignorado 12 39 18 379 106 20 727 642 57 1118 787 95 Totais 69 505 1429 2000 Eventos independentes – exemplo Lançando dois dados, qual é a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e um número par no segundo dado? Solução: Probabilidade de sair 1 = 1/6 Probabilidade de sair número par = 3/6 = 1/2 P = 1 x 1 = 1 6 2 12 Eventos independentes – exemplo Imagine que um dado e uma moeda são jogados ao mesmo tempo. Qual a probabilidade de ocorrer cara na moeda sabendo que ocorreu face 6 no dado? P(sair cara na moeda, sabendo que ocorreu 6 no dado) = ½ = 0,5. Dado Moeda Cara Coroa 1 Cara; 1 Coroa; 1 2 Cara; 2 Coroa; 2 3 Cara; 3 Coroa; 3 4 Cara; 4 Coroa; 4 5 Cara; 5 Coroa; 5 6 Cara; 6 Coroa; 6 Regra da multiplicação – eventos independentes P(A e B) = P(A B) = P(A) . P(B) Palavra-chave: E Uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas? Probabilidade de ocorrer cara na primeira jogada é ½ = 0,5 ou 50%. Probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada é: ½ = 0,5 ou 50%. Para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas, faz-se o produto: ½ . ½ = ¼ = 0,25 ou 25%. Eventos mutuamente excludentes – definição Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do outro. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o evento tirar cara e o tirar coroa são mutuamente exclusivos, pois, se um deles for realizado, o outro não será. A probabilidade de que um ou outro evento se realize é dada por: P = P1 + P2 Em que: P1 e P2 são os eventos mutuamente exclusivos (também chamados de eventos soma). Regra da adição – exemplo com eventos mutuamente excludentes P(A ou B) = P(A B) = P(A) + P(B) Palavra-chave: OU Suponha que uma urna contém duas bolas brancas, uma azul e uma vermelha. Retira-se uma bola da urna ao acaso. Qual a probabilidade de ter saído bola colorida, isto é, azul ou vermelha? A probabilidade de sair bola azul é ¼ = 0,25 ou 25%. A probabilidade de sair bola vermelha é ¼ = 0,25 ou 25%. Então a probabilidade de sair bola colorida é ¼ + ¼ = 2/4 = ½ = 0,5 ou 50%. Regra da adição – eventos não excludentes P(A ou B) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Imagine uma carta ser retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás? Um baralho tem 52 cartas. 13 são de espadas e 4 são ases. P(sair uma carta de espadas ou um ás) é: 13/52 + 4 /52 (Resposta errada). P(sair uma carta de espadas ou um ás) é: 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13 = 0,3077 ou 30,77% (Resposta correta). Exemplos de probabilidade Em uma caixa existem dez bolinhas idênticas, numeradas de 1 a 10. Qual a probabilidade de que, ao se retirar uma bolinha, ela seja múltiplo de 2 ou de 5? Solução: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} n(S) = 10 E = {2, 4, 5, 6, 8,10} n(E) = 6 P = 6 = 3 = 0,6 10 5 Exemplos de probabilidade Lançando um dado, qual é a probabilidade de tirar 3 ou 5 na face superior? Solução: (Eventos mutuamente exclusivos) Sair número 3: P = 1 6 Sair número 5: P = 1 6 P = 1 + 1 = 2:2 = 1 6 6 6:2 3 Exemplos de probabilidade Uma caixa contém 20 canetas iguais, das quais 7 são defeituosas, e outra caixa contém 12, das quais 4 são defeituosas. Uma caneta é retirada aleatoriamente de cada caixa. Determine as probabilidades deque ambas não sejam defeituosas. Solução: (Eventos independentes) Caixa A: 20 canetas, em que 7 são defeituosas e 13 são perfeitas. Caixa B: 12 canetas, em que 4 são defeituosas e 8 são perfeitas. P = 13 x 8 = 104 = 0,43 20 12 240 Interatividade Considere uma urna que contém 7 bolas brancas, 2 bolas vermelhas e 5 bolas pretas. Determine a probabilidade de se retirar, ao acaso, uma bola preta. a) 5/14 b) 7/5 c) 2/5 d) 2/7 e) 5/2 Resposta Considere uma urna que contém 7 bolas brancas, 2 bolas vermelhas e 5 bolas pretas. Determine a probabilidade de se retirar, ao acaso, uma bola preta. Solução: Alternativa a) Total de bolas pretas: 5 Total de bolas na urna: 7 + 2 + 5 = 14 P = 5/14 Distribuição normal de probabilidades – exemplo Os comprimentos das peças produzidas por certa máquina apresentaram as seguintes medidas estatísticas: média = 2,00 cm e desvio-padrão = 0,04 cm. Qual é a probabilidade de uma peça retirada aleatoriamente do lote analisado ter comprimento entre 2,00 cm e 2,0508 cm? Solução: z = x – x = 2,00 – 2,00 = 0 S 0,04 z = 2,0508 – 2,00 = 0,0508 = 1,27 0,04 0,04 Distribuição normal de probabilidades – exemplo Verificando na tabela, temos que a probabilidade é dada por: P = 0,3980 = 39,80% z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,1 0,2 0,3 ... 1,2 0,3980 ... Distribuição normal de probabilidades – exemplo A duração de um certo componente tem média igual a 850 dias e um desvio-padrão de 40 dias. Sabendo que a duração é normalmente distribuída, calcule a probabilidade desse componente durar entre 800 dias e 950 dias. Solução: Vamos calcular separadamente: entre 800 e 850 dias z = (800 – 850)/40 = – 1,25 entre 850 dias e 950 dias z = (950 – 850)/40 = 2,5 Distribuição normal de probabilidades – exemplo Verificando na tabela: Entre 0 e – 1,25 = entre 0 e 1,25 P1 = 0,3944 Entre 0 e 2,5 P2 = 0,4938 P1 + P2 = 0,8882 Fonte: livro-texto Correlação linear Em Estatística, a correlação é um parâmetro que indica o grau de correspondência entre duas variáveis (neste estudo, simbolizadas por x e y). Exemplos: salário de um trabalhador X escolaridade do trabalhador; quantidade de livros que uma pessoa já leu X escolaridade; horas de estudo X nota na prova; temperatura de um forno X tempo de cozimento no forno. Correlação linear A correlação pode ser: Positiva: dada pela relação direta entre as variáveis (se a variável x aumentar, a variável y também aumentará, e vice-versa). Exemplo: horas de estudo x nota na prova. Negativa: dada pela relação inversa entre as variáveis (se a variável x aumentar, a variável y tenderá a diminuir, e vice-versa). Exemplo: velocidade do carro x tempo da viagem. Interatividade Encontre, na tabela normal de probabilidades, a probabilidade de encontrar uma variável padrão entre 0 e 1,47. a) 0 b) 0,4292 c) 0,1258 d) 1,4752 e) 1,47 Resposta Encontre, na tabela normal de probabilidades, a probabilidade de encontrar uma variável padrão entre 0 e 1,47. Solução: Alternativa b) . . . . . . 7 . . 1,4 0,4292 P = 0,4292 Correlação linear – diagrama de dispersão Considere os dados apresentados abaixo que representam o número de anos que a pessoa estudou (xi) e número de livros que a pessoa já leu (yi). xi 3 5 7 9 10 14 16 yi 1 2 3 5 7 10 13 Construa o diagrama de dispersão equivalente. Correlação linear – diagrama de dispersão Solução: xi 3 5 7 9 10 14 16 yi 1 2 3 5 7 10 13 Diagrama de Dispersão 14 12 10 8 6 4 2 0 yi 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 xi Fonte: livro-texto Correlação linear – Coeficiente de correlação de Pearson Fórmula: Os possíveis valores de r variam de –1 a 1, em que: r = –1,00: correlação negativa perfeita. r = 0: correlação inexistente. r = 1: correlação positiva perfeita. 2 2 2 2 . . – . [ . – ( ) ].[ . – ( ) ] n xi yi xi yi r n xi xi n yi yi Correlação linear – exemplo Abaixo estão apresentados os dados referentes ao número de anos que a pessoa estudou (xi) e número de livros que a pessoa já leu (yi). xi 3 5 7 9 10 14 16 yi 1 2 3 5 7 10 13 Calcule o coeficiente de correlação de Pearson e interprete-o. Correlação linear – exemplo Solução: xi yi xi.yi xi2 yi2 3 1 3 9 1 5 2 10 25 4 7 3 21 49 9 9 5 45 81 25 10 7 70 100 49 14 10 140 196 100 16 13 208 256 169 64 41 497 716 357 Correlação linear – exemplos Interatividade Foi realizada uma pesquisa sobre a relação entre as horas de estudo e a nota da prova e verificou-se que o coeficiente de correlação é igual a 0,98. Interprete-o. a) A correlação entre essas duas variáveis é positiva forte, ou seja, quanto maior o número de horas de estudo, maior a nota. b) A correlação entre essas duas variáveis é positiva forte, ou seja, quanto maior o número de horas de estudo, menor a nota. c) Correlação pouco significativa. d) A correlação entre essas duas variáveis é negativa. e) Sem correlação. Resposta Foi realizada uma pesquisa sobre a relação entre as horas de estudo e a nota da prova e verificou-se que o coeficiente de correlação é igual a 0,98. Interprete-o. Solução: Alternativa a) A correlação entre essas duas variáveis é positiva forte, ou seja, quanto maior o número de horas de estudo, maior a nota. ATÉ A PRÓXIMA!
Compartilhar