Testes_de_hipoteses

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Testes de hipo´teses sobre paraˆmetros
Hipo´tese: E´ uma afirmac¸a˜o sobre alguma caracter´ıstica
populacional (paraˆmetro).
Mas como os valores dos paraˆmetros sa˜o desconhecidos, na˜o
sabemos se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou na˜o.
Exemplo:
um novo h´ıbrido de eucalipto, aos 2 anos, apresenta a´rea
basal me´dia igual a do h´ıbrido mais popular, que e´ de
µ0 = 100 unidades.
o poder germinativo de sementes de a´rvores cultivadas e´ igual
ao de a´rvores em mata nativa, ou seja, p = 0, 88.
O pesquisador, com tais hipo´teses em mente, deve fazer um
experimento, seguindo certos princ´ıpios, para obter, ou na˜o,
evideˆncias contra as hipo´teses de interesse.
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Testes de hipo´teses sobre paraˆmetros
Teste: E´ um crite´rio ou regra utilizado para concluir sobre a
hipo´tese de interesse, utilizando os resultados fornecidos pelo
experimento.
Teste de Hipo´tese e´ uma te´cnica de infereˆncia estat´ıstica utilizada
em praticamente todas as ana´lises de dados oriundos de
experimentos e amostras.
Como os resultados de experimentos ou amostras esta˜o sujeitos a`
variabilidade aleato´ria, as concluso˜es extra´ıdas esta˜o sujeitas a
erros.
Na te´cnica de teste de hipo´teses trabalhamos com as
probabilidades de erros de forma a extrair alguma informac¸a˜o u´til
para a pesquisa, mesmo na presenc¸a de incerteza.
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Hipo´teses do tipo exemplificado anteriormente e´ chamada de
hipo´tese nula e representadas por H0.
Uma hipo´tese nula e´ sempre acompanhada por uma hipo´tese
alternativa, aquela que a contradiz, representada por H1 ou HA, de
forma que se o experimento fornecer evideˆncias contra H0, nossa
conclusa˜o sera´ a favor de HA.
Exemplos:
H0 : µA = 100 vs HA : µA > 100
H0 : pA = 0, 88 vs HA : pA > 0, 88
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Experimentos:
1. 30 mudas do novo h´ıbrido sera˜o cultivadas ate´ 2 anos e suas
medidas obtidas para fornecer informac¸o˜es sobre a a´rea basal
e avaliac¸a˜o a veracidade da hipo´tese H0 : µA = 100. A a´rea
basal me´dia destas 30 mudas, X¯ , sera´ obtida e seu valor,
juntamente com seu erro padra˜o, ajudara´ na conclusa˜o.
2. 500 sementes de a´rvores cultivadas foram semeadas. O
nu´mero de germinadas sera´ contado e o valor de P¯ sera´
obtido, juntamente com seu erro padra˜o, para avaliac¸a˜o da
veracidade da hipo´tese H0 : pA = 0, 88.
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No primeiro caso temos que, SOB H0, o comportamento da me´dia
da a´rea basal na amostra segue, aproximadamente a distribuic¸a˜o
Normal, com me´dia µ = 100 e variaˆncia σ√
n
, ou seja:
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
X
f(x
)
100100 − σ
30
100 +
σ
30
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A ideia e´ que se o resultado experimental (ou amostral), x¯ , estiver
”pro´ximo” de 100 na˜o existira´ evideˆncias contra H0.
Por outro lado, se o resultado experimental, x¯ , for ”muito
diferente” do que 100, existira´ evideˆncias de que o novo h´ıbrido se
distingue do usual em termos de a´rea basal.
Mas o que e´ ”pro´ximo”? Ate´ qual valor consideramos pro´ximo?
Para simplificar, vamos considerar que se H0 for falsa, o novo
h´ıbrido so´ pode ser maior em termos de me´dia de a´rea basal.
Precisamos estabelecer um limite, um valor K , e isso nos leva a`s
seguintes considerac¸o˜es:
1. E´ poss´ıvel obtermos X¯ > K mesmo quando H0 e´ verdadeira?
2. E´ poss´ıvel obtermos X¯ ≤ K mesmo quando H0 e´ falsa?
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0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
X
f(x
)
100 µAK
H0 HA
Figura :Fig. 2: Comportamentos esperados dos resultados experimentais sob a
hipo´tese nula e sob uma hipo´tese alternativa.
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Precisamos impor uma regra de decisa˜o mas, ainda, qualquer que
seja a regra, estamos sujeitos a tirar uma conclusa˜o errada.
REGRA DE DECISA˜O: Se X¯ > K rejeitamos H0 e conclu´ımos que
o novo h´ıbrido tem a´rea basal maior.
Os tipos de erros:
Realidade de H0
Resultado da Regra Verdadeira Falsa
Na˜o rejeita H0 Decisa˜o Correta Erro tipo II
Rejeita H0 Erro tipo I Decisa˜o Correta
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O valor de K deve ser escolhido avaliando-se as probabilidades dos
dois tipos de erros de decisa˜o ocorrerem:
Erro Tipo I: ocorre quando o resultado experimental aponta
para a REJEIC¸A˜O da H0 mas de fato, H0 e´ verdadeira. Sua
probabilidade e´ representada por α e e´ chamada de n´ıvel de
significaˆncia do teste.
Erro Tipo II: ocorre quando o resultado experimental aponta
para a NA˜O REJEIC¸A˜O da H0 mas de fato, H0 e´ falsa.
Quando H0 e´ falsa, temos que µ > 100 mas na˜o temos
especificado o valor. Enta˜o, a probabilidade do erro tipo II na˜o e´
um u´nico nu´mero, e´ uma func¸a˜o, representada por β(µ), que varia
com os poss´ıveis valores de µ. O complementar de β(µ), 1− β(µ),
e´ o Poder do Teste.
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O ideal seria que a probabilidade de ocorreˆncia dos dois tipos de
erros fossem m´ınimas. Pore´m, como mostra as Figs. 2 e 3, se
diminuirmos α aumentamos β.
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
X
f(x
)
100 µAK
H0 HA
αβ
Figura :Fig. 3: Probabilidades dos erros tipo I e II em func¸a˜o do valor ou ponto
cr´ıtico K . 10 / 19
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A estrate´gia e´, enta˜o, fixar o ma´ximo da probabilidade do erro tipo
I num valor pequeno e calcular n tal que β na˜o seja muito grande.
Isso porque o erro tipo I e´ considerado, em geral, mais perigoso do
que o erro tipo II.
Em geral o valor pequeno aceita´vel para α e´ 0,05, pore´m o
pesquisador deve refletir no seu contexto, o que e´ pequeno. Assim,
no exemplo temos:
α = P(Rejeitar H0 quando H0 e´ V )
= P(X¯ > K e µ = 100)
= P(T >
K − 100
S√
n
)
⇒ K − 100
S√
n
= t(n−1);α
⇒ K = 100 + t(n−1);α ×
S√
n
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Suponha que o experimentos resultou nos valores de a´rea basal:
96,9 104,9 108,8 110,9 105,0 113,8 104,3 103,6
102,7 99,9 109,3 108,1 96,9 96,8 107,5 101,8
112,2 99,6 99,9 108,4 98,7 98,9 106,9 100,1
87,8 95,0 110,7 110,7 104,5 102,4
Enta˜o x¯ = 103, 5667 s2 = 35, 6133 s = 5, 9677 t29;0,95 = 1, 699
K = 100 + 1, 699× 5, 9677√
30
= 101, 8511
Conclusa˜o: Como 103,57 e´ maior que 101,85 temos evideˆncias, ao
n´ıvel de significaˆncia de 5%, de que o novo h´ıbrido, em me´dia,
produz maior a´rea basal.
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A probabilidade de significaˆncia ou valor p
Outra maneira de obtermos medidas de evideˆncia em testes de
hipo´teses e´ calculando o valor-p, que e´ definido como sendo a
probabilidade de se obter, num experimento similar ao realizado,
um resultado igual ou mais extremo do que aquele ja´ obtido,
supondo H0 verdadeira. Temos duas justificativas quando tal
probabilidade for pequena:
1) o experimento realizado deu resultados muito, muito at´ıpicos
OU
2) a hipo´tese nula e´ falsa.
Assumindo que resultados muito, muito at´ıpicos sa˜o muito
improva´veis, na pra´tica, inferimos que a H0 e´ falsa quando o
valor-p e´ pequeno.
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O ca´lculo do valor-p nem sempre e´ fa´cil de ser feito atrave´s do uso
de tabelas. Mas os programas de computador de ana´lises
estat´ısticas o calcula facilmente e sempre o apresenta.
Voltemos ao exemplo do eucalipto:
Valor p = P(X¯ > 103, 5677 quando µ = 100)
= P
(
T >
103, 5677− 100
5,9677√
30
)
= P(T > 3, 274)
Pela tabela T Student, com 29 graus de liberdade, vemos que
Valor p e´ um valor entre 0,001 e 0,002, ou seja, pequeno,
resultando emforte evideˆncia contra H0.
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Esse exemplo ilustrou um teste de hipo´teses unilateral, ou seja, a
hipo´tese alternativa aponta para um dos lados (maior ou menor):{
H0 : µ = 100
HA : µ > 100
Quando a HA na˜o aponta para um lado, o teste e´ chamado
bilateral: {
H0 : µ = 100
HA : µ 6= 100
Nesse caso, o procedimento e´ similar, pore´m com dois pontos
cr´ıticos e α2 para cada lado da curva. Ja´ o valor p e´ multiplicado
por 2.
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Outro exemplo:
A a´rea foliar me´dia da espe´cie Laguncularia rancemosa crescendo
em ambiente na˜o polu´ıdo e´ de 51cm2. Com o objetivo de investigar
o efeito da poluic¸a˜o ambiental sobre a a´rea foliar, exemplares desta
planta foram cultivados em a´rea polu´ıda. Destes exemplares
coletou-se uma amostra aleato´ria de 20 folhas cujas a´reas foram:
39,4 39,6 39,9 45,6 46,1 46,1 50,2 50,2 51,0 51,2
54,6 54,8 54,6 55,1 55,1 55,5 56,2 66,3 66,5 45,6
Usando um n´ıvel de significaˆncia de 5% temos alguma evideˆncia de
que a poluic¸a˜o afeta a a´rea foliar em termos me´dios?
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Voltemos ao exemplo do poder germinativo das sementes de
a´rvores cultivadas. Hipo´teses:{
H0 : pA = 0, 88
HA : pA > 0, 88
Experimento: n = 500 sementes semeadas, P¯ proporc¸a˜o amostral
de germinadas.
Regra de decisa˜o: se P¯ > K rejeitaremos a hipo´tese nula a um
n´ıvel α de significaˆncia.
Seja α = 0, 02 enta˜o encontraremos o valor de K . Sob H0 temos
que
P¯ ∼ Normal(0, 88; 0, 88× 0, 12
500
)
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α = P(Rejeitar H0 quando H0 e´ V )
= P(P¯ > K e pA = 0, 88)
= P
Z > K − 0, 88√
0,88×0,12
500

⇒ K − 0, 88√
0,88×0,12
500
= zα
⇒ K = 0, 88 + 2, 053×
√
0, 88× 0, 12
500
⇒ K = 0, 9099
Assim, se no experimento obtivermos 455 germinac¸o˜es ou mais
teremos suporte (ou evideˆncia) para concluir que a nova cultivar
fornece sementes com maior poder germinativo.
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Testes de hipo´teses sobre paraˆmetros
Exemplo: O besouro Rhynchophorus palmarum e´ uma das pragas mais
frequentes do coqueiro. Em algumas plantac¸o˜es a infestac¸a˜o pode ser
grave representando grandes perdas econoˆmicas. Caso medidas de
controle na˜o forem aplicadas, a porcentagem de plantas infestadas e´ de
60%. Va´rias sa˜o as tentativas de controle desta praga sendo a inoculac¸a˜o
do fungo Beauveria bassiana uma em estudo. Um experimento realizado
com uma plantac¸a˜o de 200 palmas inoculadas com o fungo, numa regia˜o
na qual 60% das plantas esta˜o atacadas, mostrou que, ao final de 2 anos,
115 delas estavam livres da praga. Esses resultados indicam alguma
efica´cia do controle biolo´gico via esse fungo?
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