5 Tensões no Entorno de um Ponto a V

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1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
Escola de Engenharia – Departamento de Engenharia Civil 
ENG01201 – Mecânica Estrutural I 
Profa Vanessa Fátima Pasa Dutra 
 
Material de Apoio 
 
5. Tensões no Entorno de um Ponto 
 
5.1 Estados de Tensão 
Como vimos anteriormente (Capítulo 2, seção 2.3), o estado geral de tensão em um ponto de 
um dado material é caracterizado por seis componentes independentes dispostas sobre as faces 
de um cubo elementar localizado em seu entorno, sendo três componentes de tensão normal e 
três componentes de tensão de cisalhamento (Figura 1a). Entretanto, em muitos casos é possível 
obter-se uma abordagem simplificada em função das cargas atuantes sobre o corpo. Por 
exemplo, se não houver carga aplicada sobre a superfície lateral de um prisma de seção 
retangular, as componentes de tensão normal e de cisalhamento sobre a face de um cubo 
elementar situado nesta superfície serão nulas. O mesmo ocorre para as componentes 
localizadas na face oposta, de tal forma que o estado de tensões apresentado pelo material neste 
ponto pode ser caracterizado por um plano simples ao invés do cubo elementar. Nesse caso, 
diz-se que o material está sujeito a um estado plano de tensões (Figura 1b). 
O estado plano de tensões é geralmente representado através de um elemento bidimensional 
disposto sobre um plano cartesiano de eixos x-y, aos quais são associadas as componentes de 
tensão normal x e y e a componente de tensão de cisalhamento xy (Figura 1c). As tensões 
normais atuam em faces opostas do elemento de tensões segundo a direção dos eixos x-y, 
enquanto que a tensão tangencial atua sobre as suas quatro faces. A convenção de sinais aqui 
adotada indica que uma componente normal de tensão é positiva quando se caracteriza tração 
na direção da componente. Por outro lado, a tensão tangencial xy será positiva quando as 
tensões atuantes sobre as quatro faces convergirem para os vértices localizados nos cantos 
superiores direito e inferior esquerdo do elemento de tensões, como mostrado na Figura 1c. 
Observe que o estado de tensões representado sobre as faces do elemento deve estar sempre 
equilibrado. 
 
 
 Estado geral de tensões Estado plano de tensões Estado plano de tensões 
 (vista bidimensional) 
Figura 1. Estado geral e plano de tensões. 
 
 
)a
)b
)c
 2 
5.2 Transformação de Tensões em Estado Plano 
Supondo que um estado plano de tensões referente a um ponto de um dado material seja 
conhecido através de suas componentes x, y e xy, orientadas segundo o sistema de eixos x-y 
(Figura 2a), é possível obter as componentes de tensão x’, y’ e x’y’ para um sistema de eixos 
qualquer x’-y’ (Figura 2b) de modo que representem o mesmo estado de tensões neste ponto. 
 
Figura 2. Componentes das tensões em sistemas de referência distintos, x-y (a) e x’-y’ (b). 
5.2.1 Equações de transformação 
Para obtermos componentes de tensão em um sistema de eixos x’-y’ (Figura 2b) com orientação 
qualquer a partir de um estado plano de tensões conhecido (Figura 2a), descrito pelas 
componentes x, y e xy dadas segundo as direções de um sistema de eixos x-y, emprega-se 
uma formulação baseada em equações de transformação que relacionam as componentes de 
tensão de dois sistemas de eixos defasados entre si por um ângulo . A obtenção das equações 
de transformação é feita considerando o elemento mostrado abaixo, onde encontra-se 
representado um estado plano de tensões (Figura 3a). Secionando o elemento ao longo do plano 
inclinado definido por  e isolando o trecho à esquerda da seção (Figura 3b), podemos 
estabelecer a localização do sistema x’-y’ sobre o plano inclinado, onde identificamos a área 
secionada como sendo A. 
 
Figura 3. 
O diagrama de corpo livre para o trecho à esquerda da seção é mostrado na Figura 4, sobre o 
qual são aplicadas as equações de equilíbrio de força para a obtenção das componentes de tensão 
x’ e x’y’ da seguinte forma: 
=
)a
)b
)a
)b
 3 
 
Figura 4. Diagrama de corpo livre do trecho avaliado. 
 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
0 . A . A.sen .cos . A.sen .sen
 . A.cos .sen . A.cos .cos
.cos .sen .sen .cos
x x xy y
xy x
x x y xy
F  

=    −    −    −
   −     = 
  =  + +   

 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )2 2
0 . A . A.sen .sen . A.sen .cos
 . A.cos .cos . A.cos .sen
.sen .cos . cos sen
y x y xy y
xy x
x y y x xy
F   
 
=    +    −    −
   +     = 
  =  −  +  − 

 
Usando nas expressões acima as identidades trigonométricas 
sen2 2.sen cos =  
, 
2sen (1 cos2 2 = − )
 e 
2cos (1 cos2 2 = + )
, obtém-se: 
.cos2 .sen2
2 2
x y x y
x xy
 +  −
 = + +  
 
 
.sen2 .cos2
2
x y
x y xy 
 −
 = − +  
 
Para a determinação da componente de tensão normal y’, substitui-se  por  =  + 90º na 
equação de x’ acima, obtendo-se: 
.cos2 .sen2
2 2
x y x y
y xy
 +  −
 = − −  
 
 
 
Figura 5. Componentes de tensão x’, y’ e x’y’ para um sistema de eixos x’-y’ orientado de  
em relação ao sistema de eixos x-y. 
A
cosA 
Asen
 4 
5.2.2 Tensões principais e cisalhamento máximo 
Nas aplicações em Engenharia é importante conhecermos qual a orientação de eixos x’-y’ que 
conduz a valores de máximo e mínimo para as componentes de tensão. Para a determinação da 
tensão normal máxima e da tensão normal mínima é preciso igualar a zero a primeira derivada 
de x’ ou y’ em relação a . Portanto: 
( )
d
.sen2 .cos2
d
x
x y xy
 = −  − +   = 

 
tg2
xy
x y

  =
 −
 
Devido às características da função tangente, a equação acima admite duas soluções, 21 e 22, 
defasadas em 180º. Assim, obtêm-se os ângulos 1 e 2, defasados em 90º. 
 
Figura 6. Tensões e direções principais. 
 
Substituindo os valores 1 e 2 na equação de transformação para x’ determinam-se a tensão 
normal máxima e a tensão normal mínima. Alternativamente, pode-se empregar a seguinte 
expressão: 
2
1,2
x y x y
xy

 +  − 
 =  +  
  
 
Estas tensões são conhecidas como tensões principais e os planos sobre os quais elas atuam são 
denominados planos principais, dispostos segundo as direções principais. Sobre os planos 
principais constata-se que 
0x y  =
, o que pode ser verificado ao substituir 1 e 2 na equação 
de transformação correspondente. Portanto, não há tensões de cisalhamento atuando sobre os 
planos principais. Por convenção a tensão máxima corresponde a 1 e a tensão mínima refere-
se a 2, de maneira que temos sempre a condição 
1 2  
. 
 
Para determinarmos os planos de tensão de cisalhamento máximo, vamos igualar a zero a 
primeira derivada de x’y’ em relação a . Assim fazendo, obtém-se: 
( )
tg2
x y
xy
−  −
  =

 
Observa-se que os ângulos  e  estão separados por 45º, de onde se conclui que os planos de 
cisalhamento máximo podem ser também obtidos por uma rotação de 45º a partir da orientação 
dos eixos principais. O valor da tensão de cisalhamento máximo é determinado pela expressão 
a seguir: 
 5 
2
max
x y
xy

 − 
 = +  
 
 
Substituindo os ângulos 1 e 2 na equação de transformação para x’, constata-se que nos 
planos de cisalhamento máximo atuam também tensões normais, denominadas tensões normais 
médias, sendo obtidas por: 
med
x y +
 =

 
5.3 Transformação de Tensões em Estado Geral 
No caso de estado geralde tensões, as tensões e direções principais associadas a um ponto 
qualquer de um material podem ser obtidas a partir do chamado tensor de tensões. Este tensor 
é uma forma de representação das seis componentes atuantes nas faces de um cubo elementar 
no entorno do ponto. A disposição das componentes no tensor de tensões é feita como mostrado 
abaixo: 
x xy xz
yx y yz
zx zy z
   
 
   
    
 =
 
Para a determinação dos sinais de cada uma das componentes do 
tensor, seguimos uma convenção onde se tomam como positivas 
aquelas componentes que atuam no sentido positivo dos eixos 
coordenados de referência, avaliadas sobre as faces do cubo 
elementar voltadas para os sentidos positivos dos eixos. Devemos 
também recordar a convenção utilizada para a identificação das 
componentes de tensão através de seus subíndices, apresentada na 
seção 2.3 do Capítulo 2. Na figura ao lado é mostrada uma 
configuração de tensões onde todas as componentes são positivas. 
 
A determinação das tensões e direções principais é feita através da solução de um problema de 
autovalores e autovetores, onde os autovalores correspondem às tensões principais e os 
autovetores descrevem as direções principais. A equação de autovalores e autovetores para este 
caso é dada por: 
1
2
3
x
x 0
x
x xy xz
yx y yz
zx zy z
  −    
   
      −  =  
     −   
x x = 
 
onde x1, x2 e x3 são as componentes do autovetor x ,  é a matriz identidade e  um autovalor. 
Para que a equação não tenha solução trivial (x = (0,0,0)) é preciso que o determinante da matriz 
seja nulo. Desta operação obtêm-se três autovalores diferentes, a partir dos quais se determinam 
os respectivos três autovetores ao substituir cada um dos autovalores na seguinte equação: 
2 2 2
1 2 3x x x 1+ + =
 
ou seja, os autovetores são vetores unitários. 
Portanto, no caso geral temos três tensões principais que são representadas na seguinte ordem 
1 2 3    
. Para o caso particular de estado plano de tensões, a presente formulação também 
pode ser empregada, onde uma das tensões principais é necessariamente nula. Assim, temos 
uma das seguintes possibilidades: 
 6 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
     =
   =  
 =    
 
Um estado especial de tensões tridimensional é obtido quando as direções e tensões principais 
são conhecidas, de forma que tenhamos apenas tensões normais atuando nas faces do cubo 
elementar. Esta condição é conhecida como estado de tensão triaxial. 
5.4 Exemplos 
Exemplo 1: 
Um estado plano de tensões é representado pelo elemento mostrado abaixo. Determine o 
estado de tensão referente a um sistema de eixos orientado a 30º no sentido horário em 
relação às direções de tensão indicadas. 
 
Pela convenção de sinais estabelecida para problemas de estado plano, conclui-se que: 
80 MPa; 50 MPa; 25MPax y xy = −  =  = −
 
Na figura ao lado é mostrada a configuração obtida para o elemento disposto segundo o sistema 
de eixos x’-y’, o qual é determinado pela rotação de 30º no sentido horário a partir do eixo 
horizontal x do sistema original x-y. Considerando as tensões acima definidas e que 
 = -30º, temos: 
.cos2 .sen2
2 2
80 50 80 50
.cos( 25).sen( 2
2 2
25,8MPa
x y x y
x xy
x
x



 +  −
 = + +  
− + − −
 = + −  ) + (− −  )
  = −
 
.cos2 .sen2
2 2
80 50 80 50
.cos( 2.30 ( 25).sen( 2.30
2 2
4,15MPa
x y x y
y xy
y
y



 +  −
 = − −  
− + − −
 = − − )− − − )
  = −
 
.sen2 .cos2
2
80 50
.sen( 2.30 ( 25).cos( 2.30
2
68,8MPa
x y
x y xy
x y
x y
 
 
 
 −
 = − +  
− −
 = − − )+ − − )
  = −
 
Finalmente, com os valores calculados para x’, y’ e x’y’ e seus 
respectivos sinais, conforme a convenção adotada, obtém-se a 
configuração mostrada abaixo para o elemento de tensões 
segundo o sistema x’-y’. 
 7 
Exemplo 2: 
O estado plano de tensões em um determinado ponto de um corpo é representado no 
elemento abaixo. Determine o estado de tensões em termos das tensões principais. 
 
Pela convenção de sinais estabelecida para problemas de estado plano, conclui-se que: 
20 MPa; 90 MPa; 60 MPax y xy = −  =  =
 
As tensões principais são obtidas por: 
2
1,2
2
2
1 1
2
2
2 2
20 90 20 90
60 116MPa
20 90 20 90
60 46,4MPa
x y x y
xy

 +  − 
 =  +  
  
− + − − 
 = + +   = 
  
− + − − 
 = − +   = − 
  
 
As direções dos planos principais são obtidas pela seguinte expressão: 
60
tg2
20 90)
2 47,49 23,7
90 66,3
xy
x y
 
  
 
 = =
 − − −(−
 = −   = −
 =  +   =
 
Para identificarmos sobre qual plano principal atua cada uma das tensões principais, calcula-
se x’ para  = 1, ou seja: 
.cos2 .sen2
2 2
20 90 20 0
.cos( 60.sen( 2
2 2
46,4MPa
x y x y
x xy
x
x



 +  −
 = + +  
− + − −
 = + −  ) + −  )
  = −
 
 
Portanto, conclui-se que: 
p 1
p 2
66,3 116MPa
23,7 46,4MPa




 =  =
 = −  = −
 
Os resultados acima obtidos são representados na figura 
ao lado, onde o elemento indica as tensões e direções 
principais de acordo com a convenção adotada. Observe 
que nenhuma tensão de cisalhamento atua sobre os 
planos principais. 
 
 
 8 
Exemplo 3: 
Para o estado plano de tensões representado abaixo, determine esse estado de tensões em 
termos da tensão de cisalhamento máxima e da tensão normal média a ele associada. 
 
Pela convenção de sinais para problemas de estado plano, tem-se que: 
20 MPa; 90 MPa; 60 MPax y xy = −  =  =
 
As direções dos planos de tensão de cisalhamento máximo são obtidas pela expressão: 
( )20 90
tg2
60
2 42,5 21,3
90 111,3
 
  
− − −
 =

 =   =
 =  +   =
 
A tensão de cisalhamento máximo é dada por: 2
max
2
2
max
20 90
60 81,4MPa
x y
xy

 − 
 = +  
 
− − 
 = + = 
 
 
Para identificarmos sobre qual plano atua a tensão tangencial máxima acima obtida, calcula-se 
x’y’ para  = 1, ou seja: 
.sen2 .cos2
2
20 90
.sen(2.21,3 ) 60.cos(2.21,3 )
2
81,4MPa
x y
x y xy
x y
x y
 
 
 
 −
 = − +  
− −
 = − +
 =
 
Assim, máx atua no sentido positivo de y’ sobre a face do 
elemento determinada por  = 21,3º e no sentido negativo de 
y’ sobre a face do elemento determinada por  = 111,3º, como 
mostrado na figura o lado. 
 
Sobre as faces deste elemento devem ainda ser colocadas as 
tensões normais médias, obtidas por: 
med
20
35MPa
x y + − + 
 = = =
 
 
A configuração final de tensões sobre o elemento é mostrada 
na figura a seguir. 
 
 
 9 
Exemplo 4: 
Dado o estado de tensões representado pelo cubo elementar abaixo, determine as tensões 
e direções principais pela solução do problema de autovalores e autovetores a partir do 
tensor de tensões correspondente. 
 
O tensor de tensões correspondente ao prisma acima é dado por: 
30 40 0
40 50 0
0 0 0
x xy xz
yx y yz
zx zy z
    − 
      =   
        
 =
 
O problema de autovalores e autovetores fica definido como: 
30 40 0 x
40 50 0 y 0
0 0 0 z
− −   
  − =  
  −   
 
Calculando o determinante da matriz acima e igualando a zero, obtém-se: 
0  −  −(−+) + (−) −  = 
 
Resolvendoa equação acima, obtém-se: 
’ = 1 = 66,6 MPa 
’’ = 3 = – 46,6 MPa 
’’’ = 2 = 0 
Para encontrarmos as direções principais, devemos substituir cada um dos autovalores na 
equação 
( ) 0 x −  =
. 
Para  = 66,6 MPa, tem-se que: 
30 40 0 x
40 50 0 y 0
0 0 0 z
− −   
  − =  
  −   
 
Resolvendo as duas últimas linhas do sistema, obtém-se que z = 0 e y = 2,41.x. Sabendo que 
x2 + y2 + z2 = 1, tem-se que: 
( )
22x 2,41.x 1 x 0,383
y 2,41.x y 0,924
+ =  =
 =  =
 
Para  = – 46,6 MPa, tem-se que: 
30 4 40 0 x
40 50 4 0 y 0
0 0 0 4 z
− +    
  +  =  
  +    
 
Resolvendo as duas últimas linhas do sistema, obtém-se que z = 0 e y = – 0,414.x. Sabendo 
que x2 + y2 + z2 = 1, tem-se que: 
( )
22x 0,414.x 1 x 0,924
y 0,414.x y 0,383
+ =  =
 =  = −
 
 10 
Finalmente, para  = 0, obtém-se: 
30 40 0 x
40 50 0 y 0
0 0 0 z
−   
   =  
     
 
Resolvendo as duas primeiras linhas do sistema, obtém-se que x = 0 e y = 0. Sabendo que x2 + 
y2 + z2 = 1, tem-se que x = 0, y = 0 e z = 1. 
 
Exemplo 5: 
Encontrar as tensões e direções principais do prisma abaixo pela solução do problema de 
autovalores e autovetores a partir do tensor de tensões correspondente. 
 
O tensor de tensões para o prisma acima é dado por: 
70 0 50
0 100 40
50 40 80
x xy xz
yx y yz
zx zy z
    − − 
      =   
      − −  
 =
 
O problema de autovalores e autovetores é definido por: 
70 0 50 x
0 100 40 y 0
50 40 80 z
− − −   
  − =  
  − − −   
 
Calculando o determinante da matriz acima e igualando a zero, obtém-se: 
0 − − ++ =
 
Resolvendo a equação acima, obtém-se: 
’ = 1 = 109,13 MPa 
’’ = 2 = – 29,93 MPa 
’’’ = 3 = – 129,21 MPa 
 
Para encontrarmos as direções principais, devemos substituir cada um dos autovalores na 
equação 
( ) 0 x −  =
. 
Para  = 109,13 MPa, tem-se que: 
 11 
179,13 0 50 x
0 9 40 y 0
50 40 189 z
− −   
  −  =  
  − −    
 
Resolvendo as primeiras duas linhas do sistema, obtém-se que x = – 0,279.z e y = 4,381.z. 
Sabendo que x2 + y2 + z2 = 1, tem-se que: 
( )
22 2( 0, 279.z) 4,381.z z 1 z 0, 222
y 4,381.z y 0,973
x 0,279.z x 0,062
− + + =  =
 =  =
 = −  = −
 
Para  = – 29,93 MPa, tem-se que: 
40 0 50 x
0 40 y 0
50 40 z
−  −   
   =  
  − −   
 
Resolvendo as primeiras duas linhas do sistema, obtém-se que x = – 1,248.z e y = – 0,308.z. 
Sabendo que x2 + y2 + z2 = 1, tem-se que: 
( )
22 2( 1,248.z) 0,308.z z 1 z 0,614
y 0,308.z y 0,189
x 1,248.z x 0,766
− + − + =  =
 = −  = −
 = −  = −
 
Finalmente, para  = – 129,21 MPa, obtém-se: 
0 50 x
0 40 y 0
50 40 z
 −   
   =  
  −    
 
Resolvendo as primeiras duas linhas do sistema, obtém-se que x = 0,844.z e y = – 0,175.z. 
Sabendo que x2 + y2 + z2 = 1, tem-se que: 
( )
22 2(0,844.z) 0,175.z z 1 z 0,757
y 0,175.z y 0,133
x 0,844.z x 0,639
+ − + =  =
 = −  = −
 =  =
 
O prisma orientado segundo as direções principais assume a orientação mostrada ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia 
Mecânica dos materiais. 5. ed. Beer, Ferdinand Pierre e Johnston, E. Russell, Jr. Porto Alegre: 
AMGH, 2011. 
Mecânica dos materiais. Gere, James M. São Paulo : Cengage Learning, 2010. 
Resistência dos materiais. 7. ed. Hibbeler, Russell Charles São Paulo: Pearson Education, 2010. 
Resistência dos materiais 4. ed. Beer, Ferdinand Pierre, Johnston, E. Russell, Jr. e DeWolf, John 
T. São Paulo : McGraw-Hill, 2006. 
Introdução à Mecânica Estrutural, Masuero, João Ricardo e Creus, Guillermo Juan, Ed. da 
Universidade.