inequação

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Amintas Paiva Afonso
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Amintas Paiva Afonso
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ESTÁ DIFÍCIL SABER QUAIS AS RESPOSTAS PARA ESSAS PERGUNTAS?
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Podemos dizer que essas expressões são verdadeiras.
Já essas não podemos classificar como verdadeiras, nem falsas.
 a – c ≥ 9
 6t + 4 = 40
13 > 10
 7 + 8 = 15
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a) uma expressão matemática que pode ser classificada como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO FECHADA.
40 > 11
 15 + 14 =29 
 4 . 8 = 36
SENTENÇA VERDADEIRA
SENTENÇA FALSA
SENTENÇA VERDADEIRA
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b) uma expressão matemática que NÃO 
 podemos classificar como verdadeira ou falsa 
é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO ABERTA. 
EXEMPLOS:
a – b ≥ 8
7c + 5 = 19
x + y ǂ 36
PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO VALOR ATRIBUÍDO A c.
PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A x e a y.
PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A a E A b.
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Sentenças ou preposições matemáticas estabelecem uma relação de igualdade ou de desigualdade.
40 > 22
4 . 8 = 32
 a – b ≥ 8
 7c + 5 = 19
x + y ǂ 36
EXEMPLOS:
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Agora, veja:
Vamos procurar no dicionário outros significados da palavra Equação e registrar no caderno.
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Equações
Chamamos de equação toda sentença matemática expressa por uma igualdade que contém um ou mais termos desconhecidos representados por letras. 
Exemplos: 
a) 4x + 8 = 3x - 5 
b) 3a - 4 = b + 1 
c) 9y - 11 = - 2 
d) x² - 3x + 2 = 0
e) sen x = 0,8660254
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2x – 5 = 12
x – y = 25
8x = 32
r² + 5 = r + 17
x + 6 = 2x + 1
É uma equação de incógnita x
É uma equação com uma incógnita: r
É uma equação com duas incógnitas: x e y
x é a incógnita da equação 
É uma equação com uma incógnita: x
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Observe a equação 2x - 5 = 12. 
 2x - 5 
= 
12 
Denomina-se 
 1º membro da equação 
Denomina-se
2º membro da equação 
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Em uma equação, o expoente da incógnita indica o seu grau. 
Veja:
2x – 5 = 13
4x² = 12
r² + 5 = r + 17
É uma equação do primeiro grau.
Observe que 2 = 2¹, 3 = 3¹, ... então x = x¹
É uma equação do segundo grau.
Também é uma equação do segundo grau. 
Nesse caso, considera-se o maior expoente da incógnita.
Equações de 1º grau
Definição
É uma sentença matemática que exprime uma relação de igualdade e que contém, pelo menos, uma incógnita (representada por uma letra). 
A palavra equação tem o prefixo “equa”, que em latim quer dizer "igual".
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Equações de 1º grau
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Equações de 1º grau
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Equações de 1º grau
Raízes de uma equação
São os elementos do conjunto verdade de uma equação. 
Verificação se um número é raiz de uma equação:
Substituir a incógnita por esse número. 
Determinar o valor de cada membro da equação. 
Verificar a igualdade, se ela for uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação. 
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Em uma equação do 1º grau, 
procura-se o valor da incógnita que a transforma em uma sentença verdadeira.
Na equação 8x = 32, qual o valor de x ?
Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.
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Resolvendo mentalmente: 8x = 32 
8 
. 
4 
= 
32 
Logo, x = 4, ou seja, 
4 é a solução ou raiz da equação 
8x = 32. 
Isso significa dizer que, substituindo o x por 4, na equação 8x = 32, temos uma sentença fechada verdadeira. 
Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.
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Resolva a equação 
2x - 5 = 13
Resolver uma equação do 1º grau é encontrar a sua raiz e verificar se ela satisfaz as condições apresentadas por essa equação. 
Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.
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 2 . x - 5 = 13
Então, temos que x = 9 
9 
= 
13 
2 
. 
Logo, x = 9 é soluções da equação 2x - 5 = 13
- 
5 
13 
 18 
= 
- 
5 
Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.
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A RAIZ ou solução da equação
é todo número que, substituindo a incógnita, torna a equação uma sentença verdadeira. 
4 é a RAIZ da equação 8x = 32 
9 é a RAIZ da equação 2x - 5 = 13
Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.
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Vamos agora resolver as equações 8x = 32 e 2x – 5 = 13, utilizando um método que não é o mental.
Vamos resolver essas equações por meio das operações matemáticas inversas.
Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.
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RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 8x = 32
 8 . x = 32
Observe que o 8 está multiplicando.
A operação inversa de multiplicar por 8 é dividir por 8.
x
=
32
:
8
Observe que o número 8 estava multipicando no 1º membro e “passou” para o 2º membro dividindo (operação inversa).
x
=
4
RESPOSTA:
4 é a raiz da equação 8x = 32
Verificação: 8 . 4 = 32
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2x - 5 = 13
2x
=
13
+
5
Observe que o 5 está subtraindo.
A operação inversa de subtrair 5 é somar 5.
Observe que o número 5 estava subtraindo no 1º membro e “passou” para o 2º membro somando (operação inversa).
Observe que o 2 está multiplicando,
logo “passará” para o 2º membro dividindo.
Verificação: 
2. 9 – 5 = 13 → 18 – 5 = 13
2x
=
18
x
=
18
:
2
x
=
9
RESPOSTA: 9 é a raiz da equação 2X – 5 = 13
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 2x - 5= 13
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Observação:
As equações aparecerão em linguagem corrente.
Vamos agora resolver mais problemas envolvendo equações!
Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.
Equações de 1º grau
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Equações de 1º grau
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Equações de 1º grau
Exercícios
Um provedor de acesso à Internet oferece um plano de assinatura para seus assinantes, onde tem uma taxa mensal de R$ 8,00 mais R$ 3,00 por cada minuto de conexão durante o mês. Se o assinante pagou no final do mês o valor total de R$ 368,00, quantos minutos ele ficou conectado neste mês?
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Uma loja possui um plano de venda de eletrodomésticos que corresponde a uma entrada de R$ 100,00 mais quatro prestações de valores iguais. Na venda de uma TV que custa R$ 700,00, qual é o valor de cada prestação? 
EXERCÍCIO 5
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Vamos equacionar o problema
Igualando a expressão 100 + 4p, que representa o preço da TV utilizando o plano de venda da loja, com seu custo, que é R$ 700,00 :
4p
= 700
+
100
VAMOS RESOLVER A EQUAÇÃO.
Passando para linguagem matemática, a expressão “uma entrada de R$ 100,00 e mais quatro prestações de mesmo valor”, chamando as prestações de p, temos: 
100 + 4 . P = 100 + 4p 
Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.
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100
4p
= 700
+
O inverso de adicionar 100 é subtrair 100.
4p
= 700
- 100
600
4p
=
O inverso de multiplicar por 4 é dividir por 4.
600
p
=
: 4
 p
 =
 150
A raiz da equação é 150.
O que esse resultado nos mostra?
Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução
por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.
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Como p = 150 e ele representa o valor da prestação, isso significa dizer que cada prestação da TV custa R$ 150,00. Vamos verificar:
100
4p
= 700
+
100
4 .150
= 700
+
100
600
= 700
+
700
= 700
 Substituindo p por 150
Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.
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A soma das idades de Petrúcio e Petrus é 20 anos. Qual é a idade de cada um, sabendo que Petrúcio é 8 anos mais velho que Petrus?
Representando a idade de Petrus por x, então a idade de Petrúcio será representada por 
x + 8
Passando para linguagem matemática:
 x
= 20
+
(x + 8)
Solução
A soma das idades de Petrúcio e Petrus é 20.
EXERCÍCIO 6
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RESOLVENDO A EQUAÇÃO
X + 8
 X
= 20
+
Aplicando a propriedade comutativa.
2X
 + 8
= 20
12
2X
=
O inverso de multiplicar por 2 é dividir por 2.
12
X
=
: 2
X + X
 8
= 20
+
O inverso de adicionar 8 é subtrair 8.
2X
=
20
- 8
6
X
=
Observe que x + x = 2x.
(X + 8)
 X
= 20
+
Eliminando os parênteses.
Equações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.
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A raiz da equação é 6. Isso significa dizer que...
Como a idade de Petrus foi representada por x, e x = 6, logo Petrus tem 6 anos.
A idade de Petrúcio foi representada por 
x + 8, e como x = 6, temos:
x + 8 
 6 + 8 = 14
Conclusão: Petrus tem 6 anos e Petrúcio tem 14 anos.
Isso significa dizer que Petrúcio tem 14 anos.
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EXERCÍCIO 7
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O retângulo abaixo representa a planta baixa de um quarto cujo perímetro é 30 m. Qual é a largura e o comprimento desse quarto?
Chamando o perímetro de P, temos:
2x
x
P = 2x + 2x + x + x = 6x
P = 6x
Largura: x
Comprimento: 2x
TEMOS:
2x
x
EXERCÍCIO 7
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Equacionando o problema
Do enunciado do problema, temos que o perímetro é igual a 30 m, então podemos escrever a expressão:
P = 30
Como a expressão que representa o perímetro é dada por P = 6x, igualando as duas expressões, temos:
6x = 30
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RESOLVENDO A EQUAÇÃO:
6 . x
= 30
O inverso de multiplicar por 6 é dividir por 6.
x
= 30
: 6
x
= 5
Temos que a largura é x, e x = 5 logo, a largura é igual a 5m.
Como o comprimento é representado por 2x, ou seja, o dobro da largura, temos:
2 . 5 = 10;
O comprimento é igual a 10 m. 
6x
= 30
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Verificação:
6x
= 30
Com x = 5 temos que:
6 . x
= 30
6 . 5
= 30
30
= 30
CONCLUSÃO:
O quarto tem 5m de largura e 10m de comprimento.
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Exercícios
1) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada "bandeirada", e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule:
	a) a equação que determina o preço em função da distância;
	b) o preço de uma corrida de 11 km;
	c) a distância percorrida por um passageiro que pagou 
 R$ 21,50 pela corrida.
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Exercícios
2) Uma fábrica de camisas tem um custo mensal de R$ 5.000,00 mais R$15,00 por camisa produzida. Cada camisa é vendida por R$ 25,00. Para ter um lucro de R$ 4.000,00, quanto a fábrica deverá produzir e vender mensalmente? 
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Sistemas
Método da Substituição
Sistema é um conjunto, no caso, de equações do 1o grau. Resolver um sistema é encontrar valores para as variáveis que satisfaçam, simultaneamente, todas as equações.
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Sistemas
Método da Adição
Sistema linear de equações do 1º grau
coeficientes
incógnitas
termo independente
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Sistema linear de equações do 1º grau
Sistema de equações lineares
É um conjunto de equações lineares nas mesmas incógnitas.
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Sistema linear de equações do 1º grau
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Sistema linear de equações do 1º grau
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Sistema linear de equações do 1º grau
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Sistema linear de equações do 1º grau
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Sistema linear de equações do 1º grau
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Sistema linear de equações do 1º grau
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Exercícios
1) Um taxista trocou uma nota de 50 reais por notas de 2 reais e 5 reais num total de 19 notas. Quantas notas de cada valor o taxista recebeu? 
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Exercícios
2) Um açougue vende dois tipos de carne: de 1ª a R$ 12,00 o quilo e de 2ª a R$ 10,00 o quilo. Se um cliente pagou R$ 105,00 por dez quilos de carne, então determine a quantidade de carne de 1ª que ele comprou.
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Inequação
São equações onde trocamos o sinal de = pelo sinais...
< , ≤ , > ou ≥.
(<) representa menor que (5 < 8, cinco menor que oito)
(>) representa maior que (7 > 2, sete maior que dois)
Trabalha a idéia de comparação entre equações.
 Exercício:
 As empresas ALFA e BETA alugam congeladores do mesmo tipo. A empresa ALFA cobra R$ 350,00 fixos e R$ 10,00 por dia. A empresa BETA cobra R$ 150,00 fixos e R$ 15,00 por dia. Após n dias o valor cobrado pela empresa BETA passa a ser maior do que o cobrado pela empresa ALFA. Determine o valor de n. 
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Funções Reais
 Em nosso cotidiano, utilizamos funções informalmente, quando vamos ao supermercado, quando calculamos o pagamento do pedreiro em nossa casa, ou quando recebemos nossa conta de energia elétrica. Na vida moderna, quase tudo responde a um certo padrão .
	A fatura de energia elétrica geralmente mostra que o preço a pagar é igual a um valor fixo básico mais um preço por kWh consumido. Algo parecido também ocorre quando abastecemos um carro com gasolina, mas neste caso não existe um valor fixo básico, somente lidamos com o preço por litro e a quantidade de litros. 
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Funções Reais
 Se o preço da gasolina é R$ 2,50 / litro, a função y = 2,5x, onde y é o preço a ser pago, e x são os litros (inteiros) de gasolina comprados, tem como domínio o conjunto {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Assim sendo, os valores respectivos de y seriam {0; 2,5; 5; 7,5; 10; ...}, que constituem a imagem da função.
 Vemos que para cada valor de (litros de gasolina comprados) pode haver somente um valor de (preço a ser pago). 
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Funções Reais
Gráfico 
.
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Inequações	
Desigualdades
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Inequação de 1º grau
Definição
Inequação é uma sentença matemática com uma ou mais incógnitas expressas por uma desigualdade, diferente da equação que representa uma igualdade. 
Elas são representadas através de relações que não são de equivalência. 
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Inequação de 1º grau
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Inequação de 1º grau
Amintas Paiva Afonso
Inequação de 1º grau
1 de 3
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Inequação de 1º grau
2 de 3
Amintas Paiva Afonso
Inequação de 1º grau
3 de 3
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Inequação
É um enunciado que contém um dos símbolos < ou >. Uma desigualdade que contém uma ou mais variáveis se chama desigualdade condicional ou inequação.
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Amintas
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Inequação
Observe
b
a
b
a
b
a
O que podemos dizer delas
Primeira reta a = b
Segunda reta a > b
Terceira reta a < b
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Inequação
Para resolver inequações
Aplicamos a propriedade aditiva da desigualdade
Exemplo: x + 3 < 7
	 x + 3 – 3 < 7-3
	 x < 4
	 S = { x / x < 4 }
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Inequação
Outra maneira de resolver
Amintas Paiva Afonso
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Amintas Paiva Afonso
Inequação
Exemplo 2
Amintas Paiva Afonso
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Amintas Paiva Afonso
Inequação
Exemplo 3	
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Amintas Paiva Afonso
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Amintas Paiva Afonso
Inequação
Exemplo 4
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Amintas Paiva Afonso
Inequação
Exemplo 5
Amintas Paiva Afonso
Amintas Paiva Afonso
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Amintas Paiva Afonso
Inequação
Exemplo 6
1
4
1
3
Amintas Paiva Afonso
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Amintas Paiva Afonso
Inequação
Exemplo 7
Amintas Paiva Afonso
Amintas Paiva Afonso
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Amintas Paiva Afonso
Inequação
Comprovação
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