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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto – Departamento de Economia REC 2110 — Microeconomia II — exercícios sobre monopólio Prof. Dr. Roberto Guena de Oliveira 24 de novembro de 2011 1. A função de custo de uma empresa monopolista é dada por C T (q) = 0,5q2, sendo C T o custo total da empresa e q a quantidade por ela produzida. A função de demanda dessa empresa é p = 120− 2q na qual p é o preço de demanda. (a) Determine a produção e o preço que maximizam o lucro da empresa. (b) Caso uma agência reguladora queira fazer com que essa empresa produza a quantidade eficiente, qual é o preço máximo que ela (agência) deve impor à empresa? SOLUÇÃO: (a) Sabemos que a empresa monopolista maximiza seu lucro ao igualar o custo marginal à receita margi- nal. O custo marginal é CMg(q) = d dq C T (q) = q. Como a receita total da empresa é RT(q) = q× p(q) = 120q− q2, a receita marginal é RMg= d dq RT(q) = 120− 2q. Logo, o monopolista maximiza seu lucro fazendo q = 120− 2q ⇒ q = 40. O preço que ele irá cobrar é o preço de demanda para esse nível de produção: p = 120− 40= 80. (b) De modo a garantir que o monopolista oferte a quantidade eficiente, a agência reguladora deve es- tabelecer o preço máximo igual ao preço correspondente ao ponto de cruzamento entre as curvas de demanda e de custo marginal: CMg= p(q)⇒ q = 120− q ⇒ q = 60. Calculando o preço de demanda para essa quantidade, obtemos o preço a ser fixado pelo regulador: p∗ = 120− 60= 60. Note que o custo médio do monopolista ao produzir 60 unidades é CM(60) = CT(60) 60 = 0,5× 602 60 = 30. Esse valor é inferior ao preço máximo fixado pelo regulador, o que garante que a atividade do mono- polista continue viável após a introdução do preço máximo p∗ = 60. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto – Departamento de Economia 2. Com relação à questão anterior, imagine que o preço do monopolista não seja regulado e que o governo imponha um imposto de R$20,00 por unidade de produto vendida pela empresa. O que ocorrerá com a quantidade vendida pelo monopolista? E com o preço ao consumidor? SOLUÇÃO: A introdução desse imposto equivale a reduzir a receita marginal do monopolista em R$20,00, isto é, com o imposto, sua receita marginal líquida fica igual à receita marginal bruta, calculada no exercício anterior, menos o imposto: RMg(q) = 120− 2q− 20= 100− 2q. Obtemos a quantidade a ser produzida pelo monopolista igualando seu custo marginal a essa nova receita marginal: q = 100− 2q ⇒ q = 100 3 . O preço do monopolista subirá para p = 120= 100 3 = 200 3 . 2 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto – Departamento de Economia 3. Um monopolista tem uma função de custo de produção dada por c(y) = y2 na qual c(y) é o custo total associado a produção de y unidades do produto. A função de demanda pelo produto desse monopolista é dada pela expressão p = a − b y . Quanto esse monopolista deverá produzir? Qual será o preço por ele praticado? SOLUÇÃO: Novamente, tudo o que precisamos fazer é igualar o custo marginal do monopolista à sua receita marginal. O custo marginal é CMg(y) = d d y c(y) = 2y. Como a receita total é RT(y) = p× y = a y − b y2, a receita marginal será: RMg= d d y RT = a− 2b y. Desse modo, a condiçõa de lucro máximo do monopolista é CMg(y) = RMg(y)⇒ 2y = a− 2b y. Resolvendo para y , obtemos a quatidade a ser produzida pelo monopolista: ym = a 2+ 2b . Para encontrarmos o preço, substituímos essa quantidade na função de demanda: pm = a− b ym = a− b a 2+ 2b = a � 1− b 2+ 2b � = a � 2+ 2b− b 2+ 2b � = a � 2+ b 2+ 2b � 3 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto – Departamento de Economia 4. Um monopolista tem uma função de custo de produção dada por c(y) = y2 na qual c(y) é o custo total associado a produção de y unidades do produto. A função de demanda pelo produto desse monopolista é dada pela expressão y = ap−α. Quanto esse monopolista deverá produzir? Qual será o preço por ele praticado? SOLUÇÃO: Para resolver esse exercício, poderíamos igualar, como fizemos no exercício anterior, receita e custo mar- ginais. Todavia, há um caminho um pouco menos árduo. Note que a curva de demanda apresenta elas- ticidade preço constante igual a ε = −α. Lembre-se também que, ao maximizar seu lucro, o monopólio estabelece a seguinte relação entre preço e custo marginal, conhecida como regra do markup: p = CMg 1 1− 1|ε| . Como, |ε= α| e, conforme vimos no exercício anterior para a mesma função de custo do presente exercício, CMg= 2y , obtemos que o preço do monopolista deve ser: p = 2y 1 1− 1 α = y 2α α− 1 Substituindo nessa equação a condição y = ap−α, dada pela função de demanda, obtemos, enfim o preço de equilíbrio do monopolista: p = ap−α 2α α− 1 ⇒ p 1+α = 2aα α− 1 ⇒ pm = � 2aα α− 1 � 1 α+1 A quantidade a ser produzida é obtida substituindo esse preço na função de demanda: ym = a � 2aα α− 1 � −α 1−α = a 1 1+α � α− 1 2α � α 1+α 4 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto – Departamento de Economia 5. Em sala de aula, vimos que, quando há a introdução de um imposto sobre a venda do produto de um monopolista,o resultado sobre o preço praticada por esse monopolista depende do formato da curva de demanda. Se a demanda for linear e o custo marginal constante, por exemplo, vimos que, com a adoção do imposto, o preço cresce 50% do valor desse imposto. Se a demanda apresentar elasticidade-preço constante, por outro lado, vimos que o preço sobe acima do valor do imposto cobrado. O formato da curva de custo marginal também altera a forma pela qual o preço de monopólio é afetado pela introdução de um imposto sobre a venda do produto. Para ver isso, considere novamente o caso de uma demanda linear com fórmula p = a− b y . Suponha que a função de custo do monopolista seja dada por c(y) = y2 na qual c(y) é o custo total associado a produção de y unidades do produto. Quanto o monopolista deve produzir caso seja introduzida uma cobrança de um imposto t sobre a venda de cada unidade do produto? Compare sua resposta com a resposta dada ao exercício 3. De quanto cresce o preço praticado pelo monopolista em consequência da introdução do imposto? SOLUÇÃO: Vimos no exercício 3 que, para um monopolista com essa função de custo e essa função de demanda, a receita marginal é RMg = a − 2b y e o custo marginal é CMg = 2y . Do ponto de vista do monopolista a introdução do imposto gera uma aumento de t em seu custo marginal ou, equivalentemente, uma redução de t em sua receita marginal. Assim, a nova condição de equilíbrio passa a ser CMg + t = RMg, ou, equivalentemente, RMg− t = Cmg. Assim, após a introdução do imposto, o monopolista deve escolher y de modo a fazer CMg+ t = RMg ⇒ 2y + t = a− 2b y ⇒ y ′ m = a− t 2+ 2b . Substituindo essa quantidade na função de demanda, encontramos o preço a ser praticado com o imposto: p′ m = a− b a− t 2+ 2b = a(2+ b) + bt 2+ 2b . A diferença entre o preço com imposto e o preço sem imposto (quando t = 0) é a(2+ b) + bt 2+ 2b − a(2+ b) 2+ 2b = bt 2+ 2b . 5 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto – Departamento de Economia 6. Um monopolista se depara com uma curva de demanda de mercado dada por Q = 70− p (a) Se o monopolista pode produzir a custos médio e marginal constantes de CMe= CMg= 6, qual o nível de produção que o monopolista escolherá a fim de maximizar os lucros? Qualo preço neste nível de produção? Quais os lucros do monopolista? (b) Assuma, por outro lado, que o monopolista tem uma estrutura de custos em que os custos totais são dados por C(Q) = 0,25Q2 − 5Q + 300 . Se o monopolista se depara com a mesma demanda de mercado e receita marginal, qual a combinação preço-quantidade que escolherá agora para maximizar os lucros? Quais serão os lucros? (c) Assuma agora que uma terceira estrutura de custos explique a posição do monopolista, com custos totais dados por C(Q) = 0,0133Q3−5Q+250 Novamente, calcule a combinação preço-quantidade do monopolista que maximiza os lucros. Qual será o lucro? (Dica: faça CMg = RMg como normalmente se faz e use a fórmula quadrática para resolver a equação de segunda ordem para Q.) (d) Faça os gráficos da curva de demanda do mercado, da curva de receita marginal, e das três curvas de custo marginal dos itens (a), (b) e (c). Note que a habilidade de obter lucros do monopolista é restringida por (1) a curva de demanda do mercado (com a qual está associada a curva de receita marginal) e (2) a estrutura de custos subjacente à produção. SOLUÇÃO: Para todos os itens, a curva de demanda é a mesma: Q = 70− p ou, na forma inversa, p = 70−Q. A receita total será, portanto, RT (Q) = pQ = 70Q−Q2 e a receita marginal será a derivada da receita total, isto é, RMg= 70−2Q. Nos itens (a) a (c), para encontrarmos a quantidade produzida, iremos igualar essa receita marginal ao custo marginal. (a) Como o custo marginal é constante igual a 6, o monopolista deverá fazer 70− 2Q = 6⇒Q = 32. Substituindo na função de demanda,encontramos P = 70− 32= 38 O lucro do monopolista será pi= 38× 32− 6× 32= 1024. (b) O custo marginal de nosso monopolista será CMg= dC(Q) dQ = 0,5Q− 5. 1Para encontrar a quantidade produzida igualamos esse custo marginal à receita marginal: 0, 5Q− 5= 70− 2Q ⇒Q = 30. O preço cobrado será p = 70− 30= 40 e o lucro do monopolista será pi= 40× 30− C(30) = 40× 30− 0,25× 302 − 5× 30+ 300 = 825 1Observe que se trata de uma função de custo esquisita, pois há valores de Q para os quais o custo marginal é negativo. 6 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto – Departamento de Economia (c) Para não nos perdermos com números, assumamos que o número 0,0133 que aparece na função de custo seja um arredondamento de 0,0133 . . .= 1/75. O custo marginal da empresa é CMg= 0,04Q2 − 5. 2 Igualando-o à receita marginal, encontramos a quantidade de equilíbrio de nosso monopolista: 0,04Q2 − 5= 70− 2Q ⇒ 0,04Q2 + 2Q− 75= 0⇒Q = 25. O preço será então p = 70− 2× 25= 20. E o lucro será pi= 20× 25− � 1 75 253 − 5× 25+ 250 � = 1000 3 . (d) 0 10 20 30 40 50 60 70 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Q pi p(Q) RMg CM=CMg 0 10 20 30 40 50 60 70 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Q pi p(Q) RMg CMg CM (a) (b) 0 10 20 30 40 50 60 70 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Q p(Q) RMg CMg CM pi (c) 2Essa função de custo marginal também é estranha, pois, para Q pequeno, o custo marginal fica negativo. 7 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto – Departamento de Economia 7. Uma empresa é a única compradora do único insumo que emprega em seu processo de produção. Sua função de produção é y = 5x na qual x é a quantidade empregada desse insumo e y é o produto obtido. O preço de por unidade de seu produto é R$ 50,00 e o preço do insumo é determinado pela função de oferta inversa w = 5x . Determine: (a) A quantidade que a empresa emprega do insumo (b) O preço desse insumo. (c) A quantidade que a empresa deveria empregar do insumo, caso produzisse em condições de eficiência. (d) O peso morto do monopsônio. SOLUÇÃO: (a) Encontramos a quantidade empregada do insumo pelo monopsônio ao igualar o custo marginal da contratação desse insumo ao valor de seu produto marginal. Como y = 5x , o produto marginal de x é PMg = 5, e, sendo p = 50, o valor do produto marginal é 5× 50 = 250. O custo de contratação do insumo é Cx = 5x × x = 5x2. Logo, o custo marginal de contratação é CMgx = 10x . Desse modo, para maximizar seu lucro, o monopsônico deve fazer 10x = 250⇒ xm = 25. (b) Substituindo x = 25 na função de oferta do insumo, encontramos a que preço ele será contratado: wm = 5× 25= 125. (c) O nível eficiente (x∗) de contratação do insumo é aquele que iguala o preço desse insumo ao valor de seu produto marginal: 5x = 250⇒ x = 50. (d) A perda de peso morto do monopsônio PPM<++> é a área abaixo da curva do valor do produto marginal do insumo (250) e acima da curva de oferta desse insumo (w = 5x) calculada entre a contratação do monopsônio, xm, e a contratação ótima, x ∗: PPM = ∫ 50 25 (250− 5x)d x = 250x − 2,5x2 50 25 = 1562,5 8 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto – Departamento de Economia 8. Refaça o exercício anterior supondo agora que a função de oferta do insumo de produção seja x = p w. SOLUÇÃO: (a) Como não mudaram os dados referentes à função de produção e ao preço do protuo, o valor do produto marginal segue sendo p×PMg= 250. Para determinarmos o custo de contratação do insumo em função de x , invertemos a curva de oferta, obtendo w = x2 e, portano Cx = x 2 × x = x3. Logo, o custo marginal de contratação é CMgx = 3x 2. Desse modo, para maximizar seu lucro, o monopsônico deve fazer 3x2 = 250⇒ xm = 5 r 10 3 . (b) Substituindo x = 25 na função de oferta do insumo, encontramos a que preço ele será contratado: wm = 5 r 10 3 !2 = 250 3 . (c) O nível eficiente (x∗) de contratação do insumo é aquele que iguala o preço desse insumo ao valor de seu produto marginal: x2 = 250⇒ x = 5 p 10. (d) A perda de peso morto do monopsônio PPM<++> é a área abaixo da curva do valor do produto marginal do insumo (250) e acima da curva de oferta desse insumo (w = 5x) calculada entre a contratação do monopsônio, xm, e a contratação ótima, x ∗: PPM = ∫ 5p10 5 Æ 10 3 (250− x2)d x = 250x − x 3 3 5p10 5 Æ 10 3 = 2500 3 r 10 3 . 9 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto – Departamento de Economia 9. As empresas Gargantuan possuem o monopólio na produção de antimacassares. Sua fábrica está localizada na cidade de Pantagruel. Não há outra empresa em Pantagruel e a oferta de trabalho lá é dada por W = 10+ 0,1L na qual W é o salário diário e L é o número de pessoas-dia de trabalho. Antimacassares são produzidos com uma função de produção Q = 10L na qual L é a provisão diária de trabalho e Q é o produto diário. A demanda por antimacassares é P = 41− Q 1.000 na qual P é o preço e Q a quantidade vendida diariamente. Econtre: (a) O produto que maximiza o lucro da empresa e o preço a ser cobrado pelo antimacassar. (b) A quantidade contratada de trabalho e o salário diário. SOLUÇÃO: Este é um caso diferente do analisado em sala de aula, pois temos uma empresa que é, ao mesmo tempo, monopolista no mercado de seu produto e monopsonista no mercado de seu insumo. Sejam RT(Q) a função que descreve a relação entre a receita dessa empresa com a quantidade produzida, f (L), a função de produção e CL(L) a função que relaciona o custo de contratação do fator à quantidade contratada do mesmo. A empresa deseja maximizar RT(Q) − CL(L), sabendo que Q = f (L). Assim o problema dela é encontra L que maximize RT � f (L) �− CL(L). A condição de primeiro ordem requer que f ′(L) d dQ RT = d d L CL isto é, o produto marginal vezes a receita marginal (a receita do produto marginal) deve igualar-seao custo marginal de contratação do fator de produção L: PMgLRMg= CMgL . Vamos usar esse resultado para resolver o exercício. (a) A receita total da empresa é RT(Q) = P ×Q = 41Q− Q 2 1000 . Então sua receita marginal é RMg= 41− Q 500 . O produto marginal do fator L é PMgL = d d L 10L = 10 portanto, a receita do produto marginal é RMg× PMg= 410− Q 50 . O custo total de contratação do insumo de produção é CL = (10+ 0,1L)L = 10L+ 0,1L 2 10 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto – Departamento de Economia e, portanto, o custo marginal de contratação desse insumo é CMgL = 10+ L 5 . Assim, a condição de lucro máximo do monopsonista é 410− Q 50 = 10+ L 5 . Para encontrarmos Q, substituímos L =Q/10 (função de produção inversa) obtendo 410− Q 50 = 10+ Q 50 ⇒Q = 10.000 Substituindo essa quantidade na função de demanda, obtemos o preço a ser cobrado pelo antimassa- car: P = 41− 10000 1000 = 31. (b) Em equilíbrio Q = 10.000 e, sendo que Q = 10L, L = 10.000/10 = 1.000. Substituindo na função de oferta de trabalho, ficamos com W = 10+ 0,1× 1.000= 110. 11