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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto –
Departamento de Economia
REC 2110 — Microeconomia II — exercícios sobre monopólio
Prof. Dr. Roberto Guena de Oliveira
24 de novembro de 2011
1. A função de custo de uma empresa monopolista é dada por C T (q) = 0,5q2, sendo C T o custo total da
empresa e q a quantidade por ela produzida. A função de demanda dessa empresa é p = 120− 2q na qual
p é o preço de demanda.
(a) Determine a produção e o preço que maximizam o lucro da empresa.
(b) Caso uma agência reguladora queira fazer com que essa empresa produza a quantidade eficiente, qual
é o preço máximo que ela (agência) deve impor à empresa?
SOLUÇÃO:
(a) Sabemos que a empresa monopolista maximiza seu lucro ao igualar o custo marginal à receita margi-
nal. O custo marginal é
CMg(q) =
d
dq
C T (q) = q.
Como a receita total da empresa é RT(q) = q× p(q) = 120q− q2, a receita marginal é
RMg=
d
dq
RT(q) = 120− 2q.
Logo, o monopolista maximiza seu lucro fazendo
q = 120− 2q ⇒ q = 40.
O preço que ele irá cobrar é o preço de demanda para esse nível de produção:
p = 120− 40= 80.
(b) De modo a garantir que o monopolista oferte a quantidade eficiente, a agência reguladora deve es-
tabelecer o preço máximo igual ao preço correspondente ao ponto de cruzamento entre as curvas de
demanda e de custo marginal:
CMg= p(q)⇒ q = 120− q ⇒ q = 60.
Calculando o preço de demanda para essa quantidade, obtemos o preço a ser fixado pelo regulador:
p∗ = 120− 60= 60.
Note que o custo médio do monopolista ao produzir 60 unidades é
CM(60) =
CT(60)
60
=
0,5× 602
60
= 30.
Esse valor é inferior ao preço máximo fixado pelo regulador, o que garante que a atividade do mono-
polista continue viável após a introdução do preço máximo p∗ = 60.
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Departamento de Economia
2. Com relação à questão anterior, imagine que o preço do monopolista não seja regulado e que o governo
imponha um imposto de R$20,00 por unidade de produto vendida pela empresa. O que ocorrerá com a
quantidade vendida pelo monopolista? E com o preço ao consumidor?
SOLUÇÃO:
A introdução desse imposto equivale a reduzir a receita marginal do monopolista em R$20,00, isto é, com
o imposto, sua receita marginal líquida fica igual à receita marginal bruta, calculada no exercício anterior,
menos o imposto:
RMg(q) = 120− 2q− 20= 100− 2q.
Obtemos a quantidade a ser produzida pelo monopolista igualando seu custo marginal a essa nova receita
marginal:
q = 100− 2q ⇒ q = 100
3
.
O preço do monopolista subirá para
p = 120=
100
3
=
200
3
.
2
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3. Um monopolista tem uma função de custo de produção dada por c(y) = y2 na qual c(y) é o custo total
associado a produção de y unidades do produto. A função de demanda pelo produto desse monopolista
é dada pela expressão p = a − b y . Quanto esse monopolista deverá produzir? Qual será o preço por ele
praticado?
SOLUÇÃO:
Novamente, tudo o que precisamos fazer é igualar o custo marginal do monopolista à sua receita marginal.
O custo marginal é
CMg(y) =
d
d y
c(y) = 2y.
Como a receita total é RT(y) = p× y = a y − b y2, a receita marginal será:
RMg=
d
d y
RT = a− 2b y.
Desse modo, a condiçõa de lucro máximo do monopolista é
CMg(y) = RMg(y)⇒ 2y = a− 2b y.
Resolvendo para y , obtemos a quatidade a ser produzida pelo monopolista:
ym =
a
2+ 2b
.
Para encontrarmos o preço, substituímos essa quantidade na função de demanda:
pm = a− b ym = a− b
a
2+ 2b
= a
�
1− b
2+ 2b
�
= a
�
2+ 2b− b
2+ 2b
�
= a
�
2+ b
2+ 2b
�
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4. Um monopolista tem uma função de custo de produção dada por c(y) = y2 na qual c(y) é o custo total
associado a produção de y unidades do produto. A função de demanda pelo produto desse monopolista
é dada pela expressão y = ap−α. Quanto esse monopolista deverá produzir? Qual será o preço por ele
praticado?
SOLUÇÃO:
Para resolver esse exercício, poderíamos igualar, como fizemos no exercício anterior, receita e custo mar-
ginais. Todavia, há um caminho um pouco menos árduo. Note que a curva de demanda apresenta elas-
ticidade preço constante igual a ε = −α. Lembre-se também que, ao maximizar seu lucro, o monopólio
estabelece a seguinte relação entre preço e custo marginal, conhecida como regra do markup:
p = CMg
1
1− 1|ε|
.
Como, |ε= α| e, conforme vimos no exercício anterior para a mesma função de custo do presente exercício,
CMg= 2y , obtemos que o preço do monopolista deve ser:
p = 2y
1
1− 1
α
= y
2α
α− 1
Substituindo nessa equação a condição y = ap−α, dada pela função de demanda, obtemos, enfim o preço
de equilíbrio do monopolista:
p = ap−α
2α
α− 1 ⇒ p
1+α =
2aα
α− 1 ⇒ pm =
�
2aα
α− 1
� 1
α+1
A quantidade a ser produzida é obtida substituindo esse preço na função de demanda:
ym = a
�
2aα
α− 1
� −α
1−α
= a
1
1+α
�
α− 1
2α
� α
1+α
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5. Em sala de aula, vimos que, quando há a introdução de um imposto sobre a venda do produto de um
monopolista,o resultado sobre o preço praticada por esse monopolista depende do formato da curva de
demanda. Se a demanda for linear e o custo marginal constante, por exemplo, vimos que, com a adoção
do imposto, o preço cresce 50% do valor desse imposto. Se a demanda apresentar elasticidade-preço
constante, por outro lado, vimos que o preço sobe acima do valor do imposto cobrado. O formato da curva
de custo marginal também altera a forma pela qual o preço de monopólio é afetado pela introdução de
um imposto sobre a venda do produto. Para ver isso, considere novamente o caso de uma demanda linear
com fórmula p = a− b y . Suponha que a função de custo do monopolista seja dada por c(y) = y2 na qual
c(y) é o custo total associado a produção de y unidades do produto. Quanto o monopolista deve produzir
caso seja introduzida uma cobrança de um imposto t sobre a venda de cada unidade do produto? Compare
sua resposta com a resposta dada ao exercício 3. De quanto cresce o preço praticado pelo monopolista em
consequência da introdução do imposto?
SOLUÇÃO:
Vimos no exercício 3 que, para um monopolista com essa função de custo e essa função de demanda, a
receita marginal é RMg = a − 2b y e o custo marginal é CMg = 2y . Do ponto de vista do monopolista a
introdução do imposto gera uma aumento de t em seu custo marginal ou, equivalentemente, uma redução
de t em sua receita marginal. Assim, a nova condição de equilíbrio passa a ser CMg + t = RMg, ou,
equivalentemente, RMg− t = Cmg. Assim, após a introdução do imposto, o monopolista deve escolher y
de modo a fazer
CMg+ t = RMg ⇒ 2y + t = a− 2b y ⇒ y ′
m
=
a− t
2+ 2b
.
Substituindo essa quantidade na função de demanda, encontramos o preço a ser praticado com o imposto:
p′
m
= a− b a− t
2+ 2b
=
a(2+ b) + bt
2+ 2b
.
A diferença entre o preço com imposto e o preço sem imposto (quando t = 0) é
a(2+ b) + bt
2+ 2b
− a(2+ b)
2+ 2b
=
bt
2+ 2b
.
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6. Um monopolista se depara com uma curva de demanda de mercado dada por Q = 70− p
(a) Se o monopolista pode produzir a custos médio e marginal constantes de CMe= CMg= 6, qual o nível
de produção que o monopolista escolherá a fim de maximizar os lucros? Qualo preço neste nível de
produção? Quais os lucros do monopolista?
(b) Assuma, por outro lado, que o monopolista tem uma estrutura de custos em que os custos totais
são dados por C(Q) = 0,25Q2 − 5Q + 300 . Se o monopolista se depara com a mesma demanda de
mercado e receita marginal, qual a combinação preço-quantidade que escolherá agora para maximizar
os lucros? Quais serão os lucros?
(c) Assuma agora que uma terceira estrutura de custos explique a posição do monopolista, com custos
totais dados por C(Q) = 0,0133Q3−5Q+250 Novamente, calcule a combinação preço-quantidade do
monopolista que maximiza os lucros. Qual será o lucro? (Dica: faça CMg = RMg como normalmente
se faz e use a fórmula quadrática para resolver a equação de segunda ordem para Q.)
(d) Faça os gráficos da curva de demanda do mercado, da curva de receita marginal, e das três curvas
de custo marginal dos itens (a), (b) e (c). Note que a habilidade de obter lucros do monopolista é
restringida por (1) a curva de demanda do mercado (com a qual está associada a curva de receita
marginal) e (2) a estrutura de custos subjacente à produção.
SOLUÇÃO:
Para todos os itens, a curva de demanda é a mesma: Q = 70− p ou, na forma inversa, p = 70−Q. A receita
total será, portanto, RT (Q) = pQ = 70Q−Q2 e a receita marginal será a derivada da receita total, isto é,
RMg= 70−2Q. Nos itens (a) a (c), para encontrarmos a quantidade produzida, iremos igualar essa receita
marginal ao custo marginal.
(a) Como o custo marginal é constante igual a 6, o monopolista deverá fazer
70− 2Q = 6⇒Q = 32.
Substituindo na função de demanda,encontramos
P = 70− 32= 38
O lucro do monopolista será
pi= 38× 32− 6× 32= 1024.
(b) O custo marginal de nosso monopolista será
CMg=
dC(Q)
dQ
= 0,5Q− 5.
1Para encontrar a quantidade produzida igualamos esse custo marginal à receita marginal:
0, 5Q− 5= 70− 2Q ⇒Q = 30.
O preço cobrado será
p = 70− 30= 40
e o lucro do monopolista será
pi= 40× 30− C(30) = 40× 30−
€
0,25× 302 − 5× 30+ 300
Š
= 825
1Observe que se trata de uma função de custo esquisita, pois há valores de Q para os quais o custo marginal é negativo.
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(c) Para não nos perdermos com números, assumamos que o número 0,0133 que aparece na função de
custo seja um arredondamento de 0,0133 . . .= 1/75. O custo marginal da empresa é
CMg= 0,04Q2 − 5.
2 Igualando-o à receita marginal, encontramos a quantidade de equilíbrio de nosso monopolista:
0,04Q2 − 5= 70− 2Q ⇒ 0,04Q2 + 2Q− 75= 0⇒Q = 25.
O preço será então
p = 70− 2× 25= 20.
E o lucro será
pi= 20× 25−
�
1
75
253 − 5× 25+ 250
�
=
1000
3
.
(d)
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Q
pi
p(Q)
RMg
CM=CMg
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Q
pi
p(Q)
RMg
CMg
CM
(a) (b)
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Q
p(Q)
RMg
CMg
CM
pi
(c)
2Essa função de custo marginal também é estranha, pois, para Q pequeno, o custo marginal fica negativo.
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7. Uma empresa é a única compradora do único insumo que emprega em seu processo de produção. Sua
função de produção é y = 5x na qual x é a quantidade empregada desse insumo e y é o produto obtido. O
preço de por unidade de seu produto é R$ 50,00 e o preço do insumo é determinado pela função de oferta
inversa w = 5x . Determine:
(a) A quantidade que a empresa emprega do insumo
(b) O preço desse insumo.
(c) A quantidade que a empresa deveria empregar do insumo, caso produzisse em condições de eficiência.
(d) O peso morto do monopsônio.
SOLUÇÃO:
(a) Encontramos a quantidade empregada do insumo pelo monopsônio ao igualar o custo marginal da
contratação desse insumo ao valor de seu produto marginal. Como y = 5x , o produto marginal de
x é PMg = 5, e, sendo p = 50, o valor do produto marginal é 5× 50 = 250. O custo de contratação
do insumo é Cx = 5x × x = 5x2. Logo, o custo marginal de contratação é CMgx = 10x . Desse modo,
para maximizar seu lucro, o monopsônico deve fazer
10x = 250⇒ xm = 25.
(b) Substituindo x = 25 na função de oferta do insumo, encontramos a que preço ele será contratado:
wm = 5× 25= 125.
(c) O nível eficiente (x∗) de contratação do insumo é aquele que iguala o preço desse insumo ao valor de
seu produto marginal:
5x = 250⇒ x = 50.
(d) A perda de peso morto do monopsônio PPM<++> é a área abaixo da curva do valor do produto
marginal do insumo (250) e acima da curva de oferta desse insumo (w = 5x) calculada entre a
contratação do monopsônio, xm, e a contratação ótima, x
∗:
PPM =
∫ 50
25
(250− 5x)d x =
”
250x − 2,5x2
—50
25
= 1562,5
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8. Refaça o exercício anterior supondo agora que a função de oferta do insumo de produção seja x =
p
w.
SOLUÇÃO:
(a) Como não mudaram os dados referentes à função de produção e ao preço do protuo, o valor do
produto marginal segue sendo p×PMg= 250. Para determinarmos o custo de contratação do insumo
em função de x , invertemos a curva de oferta, obtendo w = x2 e, portano Cx = x
2 × x = x3. Logo, o
custo marginal de contratação é CMgx = 3x
2. Desse modo, para maximizar seu lucro, o monopsônico
deve fazer
3x2 = 250⇒ xm = 5
r
10
3
.
(b) Substituindo x = 25 na função de oferta do insumo, encontramos a que preço ele será contratado:
wm =
 
5
r
10
3
!2
=
250
3
.
(c) O nível eficiente (x∗) de contratação do insumo é aquele que iguala o preço desse insumo ao valor de
seu produto marginal:
x2 = 250⇒ x = 5
p
10.
(d) A perda de peso morto do monopsônio PPM<++> é a área abaixo da curva do valor do produto
marginal do insumo (250) e acima da curva de oferta desse insumo (w = 5x) calculada entre a
contratação do monopsônio, xm, e a contratação ótima, x
∗:
PPM =
∫ 5p10
5
Æ
10
3
(250− x2)d x =
–
250x − x
3
3
™5p10
5
Æ
10
3
=
2500
3
r
10
3
.
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9. As empresas Gargantuan possuem o monopólio na produção de antimacassares. Sua fábrica está localizada
na cidade de Pantagruel. Não há outra empresa em Pantagruel e a oferta de trabalho lá é dada por
W = 10+ 0,1L na qual W é o salário diário e L é o número de pessoas-dia de trabalho. Antimacassares
são produzidos com uma função de produção Q = 10L na qual L é a provisão diária de trabalho e Q é
o produto diário. A demanda por antimacassares é P = 41− Q
1.000
na qual P é o preço e Q a quantidade
vendida diariamente. Econtre:
(a) O produto que maximiza o lucro da empresa e o preço a ser cobrado pelo antimacassar.
(b) A quantidade contratada de trabalho e o salário diário.
SOLUÇÃO:
Este é um caso diferente do analisado em sala de aula, pois temos uma empresa que é, ao mesmo tempo,
monopolista no mercado de seu produto e monopsonista no mercado de seu insumo. Sejam RT(Q) a
função que descreve a relação entre a receita dessa empresa com a quantidade produzida, f (L), a função
de produção e CL(L) a função que relaciona o custo de contratação do fator à quantidade contratada do
mesmo. A empresa deseja maximizar RT(Q) − CL(L), sabendo que Q = f (L). Assim o problema dela é
encontra L que maximize
RT
�
f (L)
�− CL(L).
A condição de primeiro ordem requer que
f ′(L)
d
dQ
RT =
d
d L
CL
isto é, o produto marginal vezes a receita marginal (a receita do produto marginal) deve igualar-seao custo
marginal de contratação do fator de produção L:
PMgLRMg= CMgL .
Vamos usar esse resultado para resolver o exercício.
(a) A receita total da empresa é
RT(Q) = P ×Q = 41Q− Q
2
1000
. Então sua receita marginal é
RMg= 41− Q
500
.
O produto marginal do fator L é
PMgL =
d
d L
10L = 10
portanto, a receita do produto marginal é
RMg× PMg= 410− Q
50
.
O custo total de contratação do insumo de produção é
CL = (10+ 0,1L)L = 10L+ 0,1L
2
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e, portanto, o custo marginal de contratação desse insumo é
CMgL = 10+
L
5
.
Assim, a condição de lucro máximo do monopsonista é
410− Q
50
= 10+
L
5
.
Para encontrarmos Q, substituímos L =Q/10 (função de produção inversa) obtendo
410− Q
50
= 10+
Q
50
⇒Q = 10.000
Substituindo essa quantidade na função de demanda, obtemos o preço a ser cobrado pelo antimassa-
car:
P = 41− 10000
1000
= 31.
(b) Em equilíbrio Q = 10.000 e, sendo que Q = 10L, L = 10.000/10 = 1.000. Substituindo na função de
oferta de trabalho, ficamos com W = 10+ 0,1× 1.000= 110.
11

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