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Unidade 2
Apêndice
2 - U2 / Engrenagens cônicas e sem-�m
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
Unidade 2
Engrenagens cônicas e sem-fim
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 2.1
1. Alternativa D.
Resposta Comentada:
Pelo princípio da conservação da energia, igualamos as potências da engrenagem 
motora e da engrenagem movida. A potência é dada pela velocidade angular multi-
plicada pelo torque. Fazendo: w w1 1 2 2w w1 1 2 2w wT Tw wT Tw ww w=w wT Tw w=w w1 1 2 2T T1 1 2 2w w1 1 2 2w wT Tw w1 1 2 2w w , temos que 1 21500 12001 21500 12001 2T T1 2T T1 21500 1200T T1500 1200=1500 1200=T T=1500 1200=1 21500 12001 2T T1 21500 12001 2 , dessa forma, 
a relação entre torques é dada por: = == =1
2
1200 4
1500 5
T1T1
T2T2 
2. Alternativa E.
Resposta Comentada:
O projeto necessita da transmissão de movimento entre eixos fora do plano, ou seja, 
utilização de engrenagens cônicas, que, automaticamente, descarta as a� rmações I, 
que indica engrenagens cilíndricas de dentes retos. Engrenagens que se acoplam de-
vem possuir o mesmo módulo, o que torna incorreta a a� rmação II. Para que se con-
siga uma velocidade angular no eixo movido igual a metade da velocidade angular do 
eixo motor, o diâmetro do eixo da engrenagem motora (pinhão) deve ser a metade do 
diâmetro da engrenagem movida, e, para que se consiga transferir movimento entre 
eixos perpendiculares entre si, devemos empregar engrenagens cônicas; portanto, as 
a� rmações III e IV estão corretas.
3. Alternativa B.
Resposta Comentada:
A carga tangencial é descrita por:
= == =2t
m m
T TW
d r
Em que torque e raio médio são descritos por:
= 63025p
p
hpTpTp n
g
æ ö÷æ ö÷æ öç= -= - ÷÷÷÷çççç ÷÷÷÷÷÷÷÷ççççè ø÷è ø÷
sen
2 2ç2 2çè ø2 2è øçè øç2 2çè øçm
d bæ öd bæ öçd bçæ öçæ öd bæ öçæ ör
U2 / Engrenagens cônicas e sem-�m - 3
Dessa forma, tem-se que:
= = == = == = =63025 63025(2,5) 262,604
600p p
hp63025 63025(2,5)hp63025 63025(2,5)TpTp n
æ ö æ ö÷ ÷æ ö æ ö÷ ÷æ ö æ öç çæ ö æ öç çæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷æ ö æ ö÷ ÷æ ö æ öç çæ ö æ ö÷ ÷æ ö æ ö= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °== - = - °=ç ç= - = - °=ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= - = - °=ç ç= - = - °== - = - °=ç ç= - = - °=ç ç= - = - °=ç çç çç ç= - = - °=ç ç= - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç= - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç= - = - °=ç ç÷ ÷ç ç= - = - °=ç çç çç ç= - = - °=ç ç÷ ÷ç ç= - = - °=ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç çç çç çç çç ç÷ ÷ç çç çç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷gç çg÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷gç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çç çç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø÷ ÷è ø è ø÷ ÷
æ ö æ ö2 1æ ö æ ö÷ ÷2 1÷ ÷æ ö æ ö÷ ÷æ ö æ ö2 1æ ö æ ö÷ ÷æ ö æ öæ ö æ öç çæ ö æ ö2 1æ ö æ öç çæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷2 1÷ ÷ç ç÷ ÷æ ö æ ö÷ ÷æ ö æ öç çæ ö æ ö÷ ÷æ ö æ ö2 1æ ö æ ö÷ ÷æ ö æ öç çæ ö æ ö÷ ÷æ ö æ ö÷ ÷= - = - °=÷ ÷2 1÷ ÷= - = - °=÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷2 1÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷sen sen18,43 0,842= - = - °=sen sen18,43 0,842= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷sen sen18,43 0,842÷ ÷= - = - °=÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷sen sen18,43 0,842÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=sen sen18,43 0,842= - = - °=÷ ÷= - = - °== - = - °=÷ ÷= - = - °=sen sen18,43 0,842= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷÷ ÷÷ ÷= - = - °=÷ ÷sen sen18,43 0,842÷ ÷= - = - °=÷ ÷÷ ÷÷ ÷= - = - °=÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷sen sen18,43 0,842÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç= - = - °=÷ ÷= - = - °=sen sen18,43 0,842= - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç= - = - °=÷ ÷= - = - °== - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç= - = - °=÷ ÷= - = - °=sen sen18,43 0,842= - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç= - = - °=÷ ÷= - = - °=g= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=gç çg= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=gsen sen18,43 0,842g= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=gç çg= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=gç ç= - = - °=ç ç÷ ÷ç ç= - = - °=ç çç çç ç= - = - °=ç ç÷ ÷ç ç= - = - °=ç çsen sen18,43 0,842ç ç= - = - °=ç ç÷ ÷ç ç= - = - °=ç çç çç ç= - = - °=ç ç÷ ÷ç ç= - = - °=ç çgç çg= - = - °=gç çg÷ ÷gç çg= - = - °=gç çgç çgç çg= - = - °=gç çg÷ ÷gç çg= - = - °=gç çgsen sen18,43 0,842gç çg= - = - °=gç çg÷ ÷gç çg= - = - °=gç çgç çgç çg= - = - °=gç çg÷ ÷gç çg= - = - °=gç çg÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷sen sen18,43 0,842÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷= - = - °=÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷sen sen18,43 0,842÷ ÷÷ ÷÷ ÷÷ ÷sen sen18,43 0,842÷ ÷÷ ÷÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=sen sen18,43 0,842= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç÷ ÷ç çsen sen18,43 0,842ç ç÷ ÷ç çgç çg÷ ÷gç çgsen sen18,43 0,842gç çg÷ ÷gç çg÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷sen sen18,43 0,842÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷g÷ ÷gç çg÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷gç çg÷ ÷gsen sen18,43 0,842g÷ ÷gç çg÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷gç çg÷ ÷g= - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç= - = - °=÷ ÷= - = - °=sen sen18,43 0,842= - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=÷ ÷= - = - °=ç ç= - = - °=÷ ÷= - = - °=g= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=gç çg= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=gç çg= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=gsen sen18,43 0,842g= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=gç çg= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=gç çg= - = - °=g÷ ÷g= - = - °=g÷ ÷÷ ÷÷ ÷sen sen18,43 0,842÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç çç çç ç÷ ÷ç çsen sen18,43 0,842ç ç÷ ÷ç çç çç ç÷ ÷ç çgç çg÷ ÷gç çgç çgç çg÷ ÷gç çgsen sen18,43 0,842gç çg÷ ÷gç çgç çgç çg÷ ÷gç çg÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷sen sen18,43 0,842÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷gç çg÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷gsen sen18,43 0,842g÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷gç çg÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷gç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çç çç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çsen sen18,43 0,842ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çç çç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çgç çg÷ ÷gç çg÷ ÷gç çg÷ ÷gç çgç çgç çg÷ ÷gç çg÷ ÷gç çg÷ ÷gç çgsen sen18,43 0,842gç çg÷ ÷gç çg÷ ÷gç çg÷ ÷gç çgç çgç çg÷ ÷gç çg÷ ÷gç çg÷ ÷gç çg2 2 2 2÷ ÷2 2 2 2÷ ÷÷ ÷÷ ÷÷ ÷2 2 2 2÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç2 2 2 2ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷2 2 2 2÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷2 2 2 2÷ ÷÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷÷ ÷
g÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷gç çg÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷g2 2 2 2
g÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷gç çg÷ ÷g÷ ÷g÷ ÷gè ø è ø2 2 2 2è ø è ø÷ ÷è ø è ø÷ ÷2 2 2 2÷ ÷è ø è ø÷ ÷ç çè ø è øç ç2 2 2 2ç çè ø è øç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø÷ ÷ç ç÷ ÷2 2 2 2÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø÷ ÷ç ç÷ ÷m
d bæ ö æ öd bæ ö æ öç çd bç çæ ö æ öç çæ ö æ öd bæ ö æ öç çæ ö æ ö= - = - °=d b= - = - °=ç ç= - = - °=ç çd bç ç= - = - °=ç çr in
Substituindo as variáveis na primeira equação:
= = == = == = =262,604 311,88
0,842
t
m
TW
r
lb
De� nindo-se a carga tangencial em 311,88 lb.
A carga radial é dada por:
f g= = ° ° =tan cos 311,88tan(20 )cos(18,43 ) 107,69f gtan cos 311,88tan(20 )cos(18,43 ) 107,69f g= = ° ° =tan cos 311,88tan(20 )cos(18,43 ) 107,69= = ° ° =f g= = ° ° =f gtan cos 311,88tan(20 )cos(18,43 ) 107,69f g= = ° ° =f gr t= = ° ° =r t= = ° ° =W W= = ° ° =W W= = ° ° =r tW Wr t= = ° ° =r t= = ° ° =W W= = ° ° =r t= = ° ° = lb
f g= = ° ° =tan sen 311,88tan(20 )sen(18,43 ) 35,88f gtan sen 311,88tan(20 )sen(18,43 ) 35,88f g= = ° ° =tan sen 311,88tan(20 )sen(18,43 ) 35,88= = ° ° =f g= = ° ° =f gtan sen 311,88tan(20 )sen(18,43 ) 35,88f g= = ° ° =f ga t= = ° ° =a t= = ° ° =W W= = ° ° =W W= = ° ° =a tW Wa t= = ° ° =a t= = ° ° =W W= = ° ° =a t= = ° ° = lb
Dessa forma, as cargas são, respectivamente: 311,88 lb; 107,69 lb; 35,88 lb.
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 2.2
1. Alternativa B.
Resposta Comentada:
Dadas as características de operação, calcula-se tW conforme abaixo:
= 33000t
t
hpW
v
Em que tv é dado por:
p p= = == = == = =(2)(600) 314,16
12 12
P p
t
d nP pd nP pv � /min e, portanto:
= = == = == = =33000 33000(2,5) 262,6
314,16
t
t
hp33000 33000(2,5)hp33000 33000(2,5)W
v
lb
O acionamento é uniforme e a carga na máquina acionada proporciona choque mo-
derado, com isso, oKé igual a 1,5.
vK = depende do número de precisão da transmissão ( vQ ), que, neste caso, conside-
raremos igual a 11, e, então:
( ) ( )2 3 2 32 3 2 3(2 3 2 3( )2 3 2 3)2 3 2 30,25 12 0,25 12 11 0,25)0,25 12 0,25 12 11 0,25)0,25 12 0,25 12 11 0,25(0,25 12 0,25 12 11 0,25( )0,25 12 0,25 12 11 0,25)0,25 12 0,25 12 11 0,25= - = - =0,25 12 0,25 12 11 0,25= - = - =)= - = - =)0,25 12 0,25 12 11 0,25)= - = - =) (= - = - =(0,25 12 0,25 12 11 0,25(= - = - =( )= - = - =)0,25 12 0,25 12 11 0,25)= - = - =)2 3 2 30,25 12 0,25 12 11 0,252 3 2 32 3 2 30,25 12 0,25 12 11 0,252 3 2 3(2 3 2 3(0,25 12 0,25 12 11 0,25(2 3 2 3( )2 3 2 3)0,25 12 0,25 12 11 0,25)2 3 2 3)2 3 2 30,25 12 0,25 12 11 0,252 3 2 3v0,25 12 0,25 12 11 0,25v0,25 12 0,25 12 11 0,25B Q(B Q(= - = - =B Q= - = - =0,25 12 0,25 12 11 0,25B Q0,25 12 0,25 12 11 0,25(0,25 12 0,25 12 11 0,25(B Q(0,25 12 0,25 12 11 0,25(= - = - =0,25 12 0,25 12 11 0,25= - = - =B Q= - = - =0,25 12 0,25 12 11 0,25= - = - =(= - = - =(0,25 12 0,25 12 11 0,25(= - = - =(B Q(= - = - =(0,25 12 0,25 12 11 0,25(= - = - =(
( ) ( )= + - = + - =50 56 1 50 56 1 0,25 92(50 56 1 50 56 1 0,25 92( )50 56 1 50 56 1 0,25 92) (50 56 1 50 56 1 0,25 92( )50 56 1 50 56 1 0,25 92)= + - = + - =50 56 1 50 56 1 0,25 92= + - = + - =(= + - = + - =(50 56 1 50 56 1 0,25 92(= + - = + - =( )= + - = + - =)50 56 1 50 56 1 0,25 92)= + - = + - =) (= + - = + - =(50 56 1 50 56 1 0,25 92(= + - = + - =( )= + - = + - =)50 56 1 50 56 1 0,25 92)= + - = + - =)A B(A B(= + - = + - =A B= + - = + - =50 56 1 50 56 1 0,25 92A B50 56 1 50 56 1 0,25 92(50 56 1 50 56 1 0,25 92(A B(50 56 1 50 56 1 0,25 92(= + - = + - =50 56 1 50 56 1 0,25 92= + - = + - =A B= + - = + - =50 56 1 50 56 1 0,25 92= + - = + - =(= + - = + - =(50 56 1 50 56 1 0,25 92(= + - = + - =(A B(= + - = + - =(50 56 1 50 56 1 0,25 92(= + - = + - =(
æ öæ ö æ öæ ö+ ÷æ ö÷æ öçæ öçæ ö ÷æ ö÷æ öçæ öçæ ö÷÷÷÷ ÷÷÷÷çççç çççç= = == = == = == = == = =ç= = =ç÷÷÷÷= = =÷= = =÷÷÷÷= = =÷= = =÷= = =÷÷÷= = =÷çççç= = =ç= = =ç= = =ççç= = =ç ç= = =ç= = =ç= = =ççç= = =ç÷÷÷÷= = =÷= = =÷= = =÷= = =÷÷÷÷çççç çççç ÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷çççç è øçè øç ÷è ø÷è ø÷è ø÷÷÷÷è ø÷÷÷çè øç
0,25
92 314,1692 314,16æ ö92 314,16æ öæ ö92 314,16æ ö+92 314,16+æ ö+æ ö92 314,16æ ö+æ ö 1,045
92è ø92è ø
B
t
v
A vA vA væ öA væ öæ öA væ ö+A v+æ ö+æ öA væ ö+æ ö
K
Aè øAè ø
sK = fator de tamanho para � exão. Para dPdPd com valores entre 0,5 e 16 dentes/in, este 
fator é dado por:
0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513= + = + =s d= + = + =s d= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513s d0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513= + = + =s d= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513= + = + =K P= + = + =K P= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513K P0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513= + = + =K P= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513= + = + =s dK Ps d= + = + =s d= + = + =K P= + = + =s d= + = + == + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513= + = + =s d= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513= + = + =K P= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513= + = + =s d= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /8 0,513= + = + =
4 - U2 / Engrenagens cônicas e sem-�m
mK = fator de distribuição de carga
= + 20,0036m mb= +m mb= +K K b= +K K b= +0,0036K K b0,0036m mbK K bm mb= +m mb= +K K b= +m mb= +
O valor de mbK é 1,25, pois membro é montado entre mancais, logo:
= + =21,1 0,0036(1,25) 1,105= + =1,1 0,0036(1,25) 1,105= + =21,1 0,0036(1,25) 1,1052= + =2= + =1,1 0,0036(1,25) 1,105= + =2= + =mK
xK = fator de curvatura ao longo do comprimento para resistência à � exão que, para 
as engrenagens cônicas de dentes retos, é igual a 1.
J = fator geométrico para resistência à � exão igual a 0,23.
A tensão de � exão no pinhão é, portanto, dada por:
t
s m
t pinhão pinhão d o v( )t pinhão pinhão d o v( )
x
K KWs P K Ks P K Kss P K Ks= =s P K K= =s= =ss P K Ks= =st pinhão pinhão d o vs P K Kt pinhão pinhão d o vst pinhão pinhão d o vss P K Kst pinhão pinhão d o vs= =t pinhão pinhão d o v= =s P K K= =t pinhão pinhão d o v= =s= =st pinhão pinhão d o vs= =ss P K Ks= =st pinhão pinhão d o vs= =s( )t pinhão pinhão d o v( )s P K K( )t pinhão pinhão d o v( )
Ws P K KW
F K Jt pinhão pinhão d o vF K Jt pinhão pinhão d o v xF K Jx
s= = == = =s= = =s 262,6 (0,513)(1,105)8(1,5)(1,045) 8116= = =8(1,5)(1,045) 8116= = == = =8(1,5)(1,045) 8116= = =262,6 (0,513)(1,105)8(1,5)(1,045) 8116262,6 (0,513)(1,105)
1 1(0,23)
8(1,5)(1,045) 8116
1 1(0,23)
8(1,5)(1,045) 8116t pinhão pinhãost pinhão pinhãos= = =t pinhão pinhão= = =s= = =st pinhão pinhãos= = =s( )t pinhão pinhão( )s psi
 
2. Alternativa D.
Resposta Comentada:
Considerando a equação do cálculo de tensão dada e todos os dados apontados no 
Quadro 2.9, temos que:
s
æ ö÷æ ö÷æ öçæ öçæ ö÷÷÷÷çççç= ÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ççççè ø÷è ø÷çè øç
1 21 2æ ötæ ö
c p o v m s xcçc p o v m s xcççc p o v m s xcççççc p o v m s xcççççççc p o v m s xcçççè øpè ø
Wæ öWæ öC K K K C CC K K K C CçC K K K C CççC K K K C CççççC K K K C Cçççc p o v m s xcC K K K C Cc p o v m s xcçc p o v m s xcçC K K K C Cçc p o v m s xcç
WC K K K C CW
Fd Iè øFd Iè ø
c p o v m s xcFd Ic p o v m s xcè øpè øFd Iè øpè ø
s
æ ö÷æ ö÷æ öçæ öçæ ö= =ç ÷÷÷÷è øçè øç ÷è ø÷
1 21 2600æ ö600æ ö2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293÷2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293÷ç2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293ç= =2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293= == =2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293= =÷2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293÷÷÷÷2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293÷÷÷= =÷= =2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293= =÷= =ç2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293çççç2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293ççç= =ç= =2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293= =ç= =÷2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293÷= =÷= =2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293= =÷= == =÷= =÷= =÷= =2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293= =÷= =÷= =÷= =ç2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293çççç2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293ççç ÷÷÷2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293÷÷÷
6002290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293600
0,77(1,5)(0,083)è ø0,77(1,5)(0,083)è ø
2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293
0,77(1,5)(0,083)
2290 (1)(1,15)(1,1)(0,625)(1,5) 197293c psi
O enunciado nos fornece a resistência à fadiga de 120600 psi, isso indica que o fator 
de segurança é: 
s
= = == = == = =( )
( )s( )s 120600 0,61
197293
c all( )c all( )
H pinhão( )H pinhão( )
c
S
Logo, o fator de segurança encontrado não atende ao requisito de projeto especi� -
cado, sendo necessária nova interação, alterando-se a largura da face e o diâmetro 
primitivo até que se encontre valor igual ou muito próximo a 1,5. 
3. Alternativa C.
Resposta Comentada:
Dadas as características de operação, calcula-se tv conforme o cálculo abaixo:
pp
æ ö÷æ ö÷æ öçæ öçæ ö÷÷÷÷çççç ÷÷÷÷÷÷÷ççççè ø÷è ø÷÷÷÷è ø÷÷÷çè øç= = == = == = =
15æ ö15æ ö(300)
6è ø6è ø 196,35
12 12
P p
t
d nP pd nP pv � /min
O acionamento é uniforme-uniforme, com isso, oK é igual a 1.
vK = o número de precisão da transmissão ( vQ ) considerado é igual a 8, então:
U2 / Engrenagens cônicas e sem-�m - 5
( ) ( )2 3 2 32 3 2 3(2 3 2 3( )2 3 2 3)2 3 2 30,25 12 0,25 12 8 0,63)0,25 12 0,25 12 8 0,63)0,25 12 0,25 12 8 0,63(0,25 12 0,25 12 8 0,63( )0,25 12 0,25 12 8 0,63)0,25 12 0,25 12 8 0,63= - = - =0,25 12 0,25 12 8 0,63= - = - =)= - = - =)0,25 12 0,25 12 8 0,63)= - = - =) (= - = - =(0,25 12 0,25 12 8 0,63(= - = - =( )= - = - =)0,25 12 0,25 12 8 0,63)= - = - =)2 3 2 30,25 12 0,25 12 8 0,632 3 2 32 3 2 30,25 12 0,25 12 8 0,632 3 2 3(2 3 2 3(0,25 12 0,25 12 8 0,63(2 3 2 3( )2 3 2 3)0,25 12 0,25 12 8 0,63)2 3 2 3)2 3 2 30,25 12 0,25 12 8 0,632 3 2 3v0,25 12 0,25 12 8 0,63v0,25 12 0,25 12 8 0,63B Q(B Q(= - = - =B Q= - = - =0,25 12 0,25 12 8 0,63B Q0,25 12 0,25 12 8 0,63(0,25 12 0,25 12 8 0,63(B Q(0,25 12 0,25 12 8 0,63(= - = - =0,25 12 0,25 12 8 0,63= - = - =B Q=- = - =0,25 12 0,25 12 8 0,63= - = - =(= - = - =(0,25 12 0,25 12 8 0,63(= - = - =(B Q(= - = - =(0,25 12 0,25 12 8 0,63(= - = - =(
( ) ( )= + - = + - =50 56 1 50 56 1 0,63 70,72(50 56 1 50 56 1 0,63 70,72( )50 56 1 50 56 1 0,63 70,72) (50 56 1 50 56 1 0,63 70,72( )50 56 1 50 56 1 0,63 70,72)= + - = + - =50 56 1 50 56 1 0,63 70,72= + - = + - =(= + - = + - =(50 56 1 50 56 1 0,63 70,72(= + - = + - =( )= + - = + - =)50 56 1 50 56 1 0,63 70,72)= + - = + - =) (= + - = + - =(50 56 1 50 56 1 0,63 70,72(= + - = + - =( )= + - = + - =)50 56 1 50 56 1 0,63 70,72)= + - = + - =)A B(A B(= + - = + - =A B= + - = + - =50 56 1 50 56 1 0,63 70,72A B50 56 1 50 56 1 0,63 70,72(50 56 1 50 56 1 0,63 70,72(A B(50 56 1 50 56 1 0,63 70,72(= + - = + - =50 56 1 50 56 1 0,63 70,72= + - = + - =A B= + - = + - =50 56 1 50 56 1 0,63 70,72= + - = + - =(= + - = + - =(50 56 1 50 56 1 0,63 70,72(= + - = + - =(A B(= + - = + - =(50 56 1 50 56 1 0,63 70,72(= + - = + - =(
æ öæ ö æ öæ ö+ ÷æ ö÷æ öçæ öçæ ö ÷æ ö÷æ öçæ öçæ ö÷÷÷÷ ÷÷÷÷çççç çççç= = == = == = == = == = =ç= = =ç÷÷÷÷= = =÷= = =÷÷÷÷= = =÷= = =÷= = =÷÷÷= = =÷çççç= = =ç= = =ç= = =ççç= = =ç ç= = =ç= = =ç= = =ççç= = =ç÷÷÷÷= = =÷= = =÷= = =÷= = =÷÷÷÷çççç çççç ÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷çççç è øçè øç ÷è ø÷è ø÷è ø÷÷÷÷è ø÷÷÷çè øç
0,63
70,72 196,3570,72 196,35æ ö70,72 196,35æ öæ ö70,72 196,35æ ö+70,72 196,35+æ ö+æ ö70,72 196,35æ ö+æ ö 1,12
70,72è ø70,72è ø
B
t
v
A vA vA væ öA væ öæ öA væ ö+A v+æ ö+æ öA væ ö+æ ö
K
Aè øAè ø
sK = fator de tamanho para � exão. Para dPdPd com valores entre 0,5 e 16 dentes/in, esse 
fator é dado por:
0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522= + = + =s d= + = + =s d= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522s d0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522= + = + =s d= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522= + = + =K P= + = + =K P= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522K P0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522= + = + =K P= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522= + = + =s dK Ps d= + = + =s d= + = + =K P= + = + =s d= + = + == + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522= + = + =s d= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522= + = + =K P= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522= + = + =s d= + = + =0,4867 0,2132 / 0,4867 0,2132 /6 0,522= + = + =
mK = fator de distribuição de carga
= + 20,0036m mb= +m mb= +K K b= +K K b= +0,0036K K b0,0036m mbK K bm mb= +m mb= +K K b= +m mb= +
O valor de mbK é 1,1, pois somente um dos membros é montado entre mancais, logo:
= + =21,1 0,0036(1,1) 1,104= + =1,1 0,0036(1,1) 1,104= + =21,1 0,0036(1,1) 1,1042= + =2= + =1,1 0,0036(1,1) 1,104= + =2= + =mK
xK = fator de curvatura ao longo do comprimento para resistência à � exão que, para 
as engrenagens cônicas de dentes retos, é igual a 1
J = fator geométrico para resistência à � exão igual a 0,254.
A tensão de � exão no pinhão é, portanto, dada por:
t
s m
t pinhão pinhão d o v( )t pinhão pinhão d o v( )
x
K KWs P K Ks P K Kss P K Ks= =s P K K= =s= =ss P K Ks= =st pinhão pinhão d o vs P K Kt pinhão pinhão d o vst pinhão pinhão d o vss P K Kst pinhão pinhão d o vs= =t pinhão pinhão d o v= =s P K K= =t pinhão pinhão d o v= =s= =st pinhão pinhão d o vs= =ss P K Ks= =st pinhão pinhão d o vs= =s( )t pinhão pinhão d o v( )s P K K( )t pinhão pinhão d o v( )
Ws P K KW
F K Jt pinhão pinhão d o vF K Jt pinhão pinhão d o v xF K Jx
(0,522)(1,104)6(1)(1,12) 13,26(0,522)(1,104)6(1)(1,12) 13,26(0,522)(1,104)
1,15 1(0,254)
6(1)(1,12) 13,26
1,15 1(0,254)
6(1)(1,12) 13,26
t
t
t pinhão pinhão( )t pinhão pinhão( )
Ws Wss Ws= = =s W= = == = =s W= = =s= = =ss Ws= = =s 6(1)(1,12) 13,26s W6(1)(1,12) 13,26= = =6(1)(1,12) 13,26= = =s W= = =6(1)(1,12) 13,26= = == = =6(1)(1,12) 13,26= = =s W= = =6(1)(1,12) 13,26= = =(0,522)(1,104)6(1)(1,12) 13,26(0,522)(1,104)s W(0,522)(1,104)6(1)(1,12) 13,26(0,522)(1,104)t pinhão pinhãos Wt pinhão pinhãost pinhão pinhãoss Wst pinhão pinhãos= = =t pinhão pinhão= = =s W= = =t pinhão pinhão= = =s= = =st pinhão pinhãos= = =ss Ws= = =st pinhão pinhãos= = =s( )t pinhão pinhão( )s W( )t pinhão pinhão( )
Ws WW psi
Para o cálculo da resistência à � exão indicado abaixo, é necessária a de� nição dos 
fatores.
s= =s= =s at Lwt allswt alls= =wt all= =s= =swt alls= =s
F T R
s Kat Ls Kat Ls
S K KF T RS K KF T R
Considerando aço AISI 4140 Grau 2 nitretado e endurecido a 305 Brinell, as variáveis 
utilizadas para o cálculo da resistência à � exão são listadas abaixo:
ats = 22000 lb/in².
LK para atender o requisito de vida de projeto de 109 ciclos é igual a 0,8.
FS = fator de segurança = 1,3.
TK = 1.
RK = 1. Considerando a con� abilidade de 0,99:
s= = == = =s= = =s 22000(0,8) 13538
(1,3)(1)(1)wt all
swt alls= = =wt all= = =s= = =swt alls= = =ss psi
Igualando a tensão de � exão e a resistência à � exão, temos:
13,26 13538=13,26 13538=t13,26 13538t13,26 13538W13,26 13538W13,26 13538
=1021tW
6 - U2 / Engrenagens cônicas e sem-�m
Desta forma:
= = == = == = =1021(196,35) 6
33000 33000
t
tW v
tW vthp hp
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 2.3
1. Alternativa D.
Resposta Comentada:
São dados: 
1. Wn = 1800 rpm.
2. GN = 24 dentes.
3. 0H = 3 hp.
4. Pd = 3 in.
5. Gd = 6 in.
Determina-se o passo circular axial:
p p= = = == = = == = = =6 0,7854 in
24
G
x t
G
dp p= = = =p p= = = =x tp px t N
. Com isso, te-
mos que:
Adendo (a): 
p
0,3183 0,3183(0,7854) 0,25 in= = = =0,3183 0,3183(0,7854) 0,25 in= = = =x x0,3183 0,3183(0,7854) 0,25 inx0,3183 0,3183(0,7854) 0,25 in
pa p= = = =a p= = = == = = =a p= = = =0,3183 0,3183(0,7854) 0,25 ina p0,3183 0,3183(0,7854) 0,25 in= = = =0,3183 0,3183(0,7854) 0,25 in= = = =a p= = = =0,3183 0,3183(0,7854) 0,25 in= = = =xa pxpa pp
Dedendo (b): 
p
1,157 0,3683 0,3683(0,7854) 0,289 in= = = =0,3683 0,3683(0,7854) 0,289 in= = = =x0,3683 0,3683(0,7854) 0,289 inx0,3683 0,3683(0,7854) 0,289 in
pb p= = = =b p= = = == = = =b p= = = =1,157b p1,157 0,3683 0,3683(0,7854) 0,289 inb p0,3683 0,3683(0,7854) 0,289 in= = = =0,3683 0,3683(0,7854) 0,289 in= = = =b p= = = =0,3683 0,3683(0,7854) 0,289 in= = = =xb pxpb pp
Como ³0,16xp in, a profundidade completa ( th ) é dada por:
p
2,157 0,6866 0,6866(0,7854) 0,539 in= = = =0,6866 0,6866(0,7854) 0,539 in= = = =t x0,6866 0,6866(0,7854) 0,539 int x0,6866 0,6866(0,7854) 0,539 in
ph p= = = =h p= = = == = = =h p= = = =2,157h p2,157 0,6866 0,6866(0,7854) 0,539 inh p0,6866 0,6866(0,7854) 0,539 in= = = =0,6866 0,6866(0,7854) 0,539 in= = = =h p= = = =0,6866 0,6866(0,7854) 0,539 in= = = =xh pxt xh pt x0,6866 0,6866(0,7854) 0,539 int x0,6866 0,6866(0,7854) 0,539 inh p0,6866 0,6866(0,7854) 0,539 int x0,6866 0,6866(0,7854) 0,539 in
ph pp .
Folga (c): = - = - =0,289 0,25 0,039 in= - = - =0,289 0,25 0,039 in= - = - =c b a= - = - =c b a= - = - =
Como ³0,16xp in, a largura de face da coroa sem–� m ( GFGFG ) é dada por:
2 3 2(3) 3 2 in2 3 2(3) 3 2 in2 3 2(3) 3 2 in= = =2 3 2(3) 3 2 in= = == = =2 3 2(3) 3 2 in= = == = =2 3 2(3) 3 2 in= = =G P2 3 2(3) 3 2 inG P2 3 2(3) 3 2 inF d= = =F d= = =2 3 2(3) 3 2 inF d2 3 2(3) 3 2 in= = =2 3 2(3) 3 2 in= = =F d= = =2 3 2(3) 3 2 in= = =G PF dG P2 3 2(3) 3 2 inG P2 3 2(3) 3 2 inF d2 3 2(3) 3 2 inG P2 3 2(3) 3 2 in
 
2. Alternativa A.
Resposta Comentada:
Primeiramente, podemos calcular a e� ciência com base nos ângulos de pressão (fnfnf ) 
e avanço (l ) e, também, no coe� ciente de atrito ( f ) fornecidos no enunciado.
f l
f l
°- °= = == = == = =
+ °+ °f l+ °+ °f l
f lcos tanf lcos tanf lcos tanf lf l-f lcos tanf l-f l cos14,5 0,0178tan4,764°- °cos14,5 0,0178tan4,764°- ° 0,818
cos cot cos14,5 0,0178cot 4,764f lcos cot cos14,5 0,0178cot 4,764f l+ °+ °cos cot cos14,5 0,0178cot 4,764+ °+ °f l+ °+ °f lcos cot cos14,5 0,0178cot 4,764f l+ °+ °f l
nf lnf l
nf lnf lf lcos cot cos14,5 0,0178cot 4,764f lnf lcos cot cos14,5 0,0178cot 4,764f l
ff lff lff lff lflcos tanf lff lcos tanf le
ff lff l+ °+ °f+ °+ °f l+ °+ °f lff l+ °+ °f lf lcos cot cos14,5 0,0178cot 4,764f lff lcos cot cos14,5 0,0178cot 4,764f lf l+ °+ °f lcos cot cos14,5 0,0178cot 4,764f l+ °+ °f lff l+ °+ °f lcos cot cos14,5 0,0178cot 4,764f l+ °+ °f l
Com fator de aplicação igual ( aK ) a 1,25, fator de projeto igual ( dn ) a 1, potência 
de saída ( 0H ) igual a 3 hp e velocidade tangencial na coroa ( GVGVG de 117,8 � /min, a 
componente tangencial da força na coroa ( GtWGtWGt ) é dada por:
= = == = == = =33000 33000(1)3(1,25) 1284 lbf
117,8(0,818)
d a0d a0
Gt
G
n H Kd an H Kd a0d a0n H K0d a0WGtWGt V eGV eG
U2 / Engrenagens cônicas e sem-�m - 7
A força tangencial no pinhão é dada por:
f l l
f l l
f l l+f l l ° °+ °= = == = =
- ° °- °f l l- ° °- °f l l
cos sen cosf l lcos sen cosf l lf l l+f l lcos sen cosf l l+f l l cos14,5 sen4,764 0,0178cos4,764° °+ °cos14,5 sen4,764 0,0178cos4,764° °+ °1284 131 lbf° °+ °1284 131 lbf° °+ °= = =1284 131 lbf= = == = =1284 131 lbf= = =cos14,5 sen4,764 0,0178cos4,7641284 131 lbfcos14,5 sen4,764 0,0178cos4,764° °+ °cos14,5 sen4,764 0,0178cos4,764° °+ °1284 131 lbf° °+ °cos14,5 sen4,764 0,0178cos4,764° °+ °
cos cos sen cos14,5 cos4,764 0,0178sen4,764f l lcos cos sen cos14,5 cos4,764 0,0178sen4,764f l l- ° °- °cos cos sen cos14,5 cos4,764 0,0178sen4,764- ° °- °f l l- ° °- °f l lcos cos sen cos14,5 cos4,764 0,0178sen4,764f l l- ° °- °f l l
nf l lnf l l
Wt Gt
nf l lnf l lf l lcos cos sen cos14,5 cos4,764 0,0178sen4,764f l lnf l lcos cos sen cos14,5 cos4,764 0,0178sen4,764f l l
ff l lff l lf l lcos sen cosf l lff l lcos sen cosf l lW W= = =W W= = =Wt GtW WWt Gt ff l lff l l- ° °- °f- ° °- °f l l- ° °- °f l lff l l- ° °- °f l lf l lcos cos sen cos14,5 cos4,764 0,0178sen4,764f l lff l lcos cos sen cos14,5 cos4,764 0,0178sen4,764f l lf l l- ° °- °f l lcos cos sen cos14,5 cos4,764 0,0178sen4,764f l l- ° °- °f l lff l l- ° °- °f l lcos cos sen cos14,5 cos4,764 0,0178sen4,764f l l- ° °- °f l l 
Dessa forma, respectivamente, os valores das componentes de força tangencial na 
coroa, no pinhão e a e� ciência do engrenamento são 1284 lbf; 131 lbf e 0,818.
3. Alternativa B.
Resposta Comentada:
Com base na relação de redução, temos que:
= = =11(2) 22 dentes= = =11(2) 22 dentes= = =G G WN m N= = =N m N= = =G G WN m NG G W
O diâmetro médio da coroa é, então, determinado por:
p p
= = == = =221,5 10,504 in= = =1,5 10,504 in= = == = =1,5 10,504 in= = =221,5 10,504 in22GG x
Nd p= = =d p= = =G xd pG x
De posse dos valores do diâmetro médio do pinhão e da coroa, determina-se a dis-
tância entre centros C por:
= = == = == = =10,504 2,5+10,504 2,5+ 6,502 in
2 2
G W+G W+d d+d d+G Wd dG W+G W+d d+G W+C
O avanço (L) e o ângulo de avanço do parafuso (l ) são dados pelas seguintes relações:
p p= = = =p p= = = =p pp p= = = =p p 1(10,504) 3 in= = = =(10,504) 3 in= = = == = = =(10,504) 3 in= = = =1(10,504) 3 in1
11
(10,504) 3 in
11
(10,504) 3 inWp pWp px W Gp px W Gp p
G
NL p N dp pL p N dp p= = = =L p N d= = = =p p= = = =p pL p N dp p= = = =p px W GL p N dx W Gp px W Gp pL p N dp px W Gp pN
l
p p
= = = °1 1= = = °1 1= = = °3= = = °3= = = °tan tan 20,905= = = °tan tan 20,905= = = °= = = °tan tan 20,905= = = °= = = °tan tan 20,905= = = °- -= = = °- -tan tan 20,905- -= = = °- -= = = °1 1= = = °tan tan 20,905= = = °1 1= = = °- -= = = °- -1 1- -= = = °- -tan tan 20,905- -= = = °- -1 1- -= = = °- -= = = °3= = = °tan tan 20,905= = = °3= = = °
(2,5)
tan tan 20,905
(2,5)
tan tan 20,905
Wp pWp p
L1 1L1 1= = = °1 1= = = °L= = = °1 1= = = °
dp pdp p
tan tan 20,905
d
tan tan 20,905
Para o cálculo da força tangencial admissível do dente da coroa ( )t( )t( )all( )W( ) , é preciso 
de� nir os fatores presentes na equação:
0,8( ) ( )0,8( ) ( )0,8t( ) ( )t( ) ( )all s m G m v( ) ( )all s m G m v( ) ( )W C D Fe C C( ) ( )W C D Fe C C( ) ( )=( ) ( )=W C D Fe C C=( ) ( )=
0,8( ) ( )0,8W C D Fe C C0,8( ) ( )0,8( ) ( )t( ) ( )W C D Fe C C( ) ( )t( ) ( )all s m G m vW C D Fe C Call s m G m v( ) ( )all s m G m v( ) ( )W C D Fe C C( ) ( )all s m G m v( ) ( )=( ) ( )=all s m G m v=( ) ( )=W C D Fe C C=( ) ( )=all s m G m v=( ) ( )=
sC é o fator material: considerando >3C , >2,5Gd in, sem-� m fundido em areia, 
temos que:
1190 477 log 1190 477 log10,504 702,814= - = - =1190 477 log 1190 477 log10,504 702,814= - = - =s G1190 477 log 1190 477 log10,504 702,814s G1190 477 log 1190 477 log10,504 702,814C d= - = - =C d= - = - =1190 477 log 1190 477 log10,504 702,814C d1190 477 log 1190 477 log10,504 702,814= - = - =1190 477 log 1190 477 log10,504 702,814= - = - =C d= - = - =1190 477 log 1190 477 log10,504 702,814= - = - =s GC ds G1190 477 log 1190 477 log10,504 702,814s G1190 477 log 1190 477 log10,504 702,814C d1190 477 log 1190 477 log10,504 702,814s G1190 477 log 1190 477 log10,504 702,814
mD é o diâmetro médio da coroa (in) cujo valor é 10,504 in .
( )G( )Fe( ) é a largura efetiva de face da coroa (in) igual a 1,5 in. 
mC é o fator de correção da razão de velocidades dado por:
2 22 20,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,7720,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,7720,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,7720,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + == - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + == - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =2 20,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,7722 22 20,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,7722 2= - + - + = - + - + =2 2= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =2 2= - + - + = - + - + == - + - + = - + - + =2 2= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =2 2= - + - + = - + - + =m G Gm G G= - + - + = - + - + =m G G= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772m G G0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,7720,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772m G G0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =m G G= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + == - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =m G G= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =C m m= - + - + = - + - + =C m m= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772C m m0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,7720,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772C m m0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =C m m= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + == - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =C m m= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + == - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =C m m= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =
2 20,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,7722 2C m m2 20,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,7722 2= - + - + = - + - + =2 2= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =2 2= - + - + = - + - + =C m m= - + - + = - + - + =2 2= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =2 2= - + - + = - + - + =m G GC m mm G G= - + - + = - + - + =m G G= - + - + = - + - + =C m m= - + - + = - + - + =m G G= - + - + = - + - + == - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =m G G= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =C m m= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =m G G= - +- + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + == - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =m G G= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =C m m= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =m G G= - + - + = - + - + =0,02 40 76 0,46 0,02 11 40(11) 76 0,46 0,772= - + - + = - + - + =
vC é o fator de velocidade, e para determinar esse fator, é preciso determinar a veloci-
dade de deslizamento sV , dada por: 
p p= = == = == = =(1720)(2,5) 1205,06 ft/min
12cos 12cos(20,905)l12cos 12cos(20,905)l
W m
s
n dW mn dW mV . 
8 - U2 / Engrenagens cônicas e sem-�m
Com isso:
0,571 0,57113,31 13,31(1205,06) 0,232- -13,31 13,31(1205,06) 0,232- -= = =13,31 13,31(1205,06) 0,232= = =0,571 0,57113,31 13,31(1205,06) 0,2320,571 0,571- -0,571 0,571- -13,31 13,31(1205,06) 0,232- -0,571 0,571- -v s13,31 13,31(1205,06) 0,232v s13,31 13,31(1205,06) 0,232C V= = =C V= = =13,31 13,31(1205,06) 0,232C V13,31 13,31(1205,06) 0,232= = =13,31 13,31(1205,06) 0,232= = =C V= = =13,31 13,31(1205,06) 0,232= = =v sC Vv s13,31 13,31(1205,06) 0,232v s13,31 13,31(1205,06) 0,232C V13,31 13,31(1205,06) 0,232v s13,31 13,31(1205,06) 0,232
Portanto, a força tangencial admissível do dente da coroa ( )t( )t( )all( )W( ) é :
0,8 0,8( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =0,8 0,8( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 120,8 0,8 39,14 lbft( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12t( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12all s m G m v( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12all s m G m v( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =all s m G m v= = =( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12W C D Fe C C( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =W C D Fe C C= = =( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =
0,8 0,8( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 120,8 0,8W C D Fe C C0,8 0,8( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 120,8 0,8( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12t( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12W C D Fe C C( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12t( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12all s m G m v( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12W C D Fe C C( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12all s m G m v( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =all s m G m v= = =( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =W C D Fe C C= = =( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =all s m G m v= = =( ) ( ) (702,814)(10,504) (1,5)(0,772)0,232 12= = =
O coe� ciente de atrito f deve ser determinado a partir da equação: 
= - + = - + =0,450 0,450= - + = - + =0,450 0,450= - + = - + =0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =0,450 0,4500,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,0,450 0,450= - + = - + =0,450 0,450= - + = - + =0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =0,450 0,450= - + = - + =06) ) 0,012 0,0191= - + = - + =06) ) 0,012 0,0191= - + = - + =0,450 0,45006) ) 0,012 0,01910,450 0,450= - + = - + =0,450 0,450= - + = - + =06) ) 0,012 0,0191= - + = - + =0,450 0,450= - + = - + =s0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,s0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =s= - + = - + =0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =f V= - + = - + =f V= - + = - + =0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,f V0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =f V= - + = - + =0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =sf Vs0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,s0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,f V0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,s0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =s= - + = - + =0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =f V= - + = - + =0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =s= - + = - + =0,103exp( 0,110 ) 0,012 0,103exp( 0,110(1205,= - + = - + =
A força de atrito é, então, expressa por:
f l
= = == = == = =
° °
0,0216(1239,14) 30,49 lbf
cos cos cos20 cos20,905f lcos cos cos20 cos20,905f l ° °cos cos cos20 cos20,905° °
t
f
nf lnf lf lcos cos cos20 cos20,905f lnf lcos cos cos20 cos20,905f l
fWWfWf
A e� ciência do engrenamento pode ser de� nida por:
f l
f l
°- °= = == = == = =
+ °+ °f l+ °+ °f l
cos tanf lcos tanf lf l-f lcos tanf l-f l cos20 0,0191tan20,905°- °cos20 0,0191tan20,905°- ° 0,985
cos cot cos20 0,0191cot20,905f lcos cot cos20 0,0191cot20,905f l+ °+ °cos cot cos20 0,0191cot20,905+ °+ °f l+ °+ °f lcos cot cos20 0,0191cot20,905f l+ °+ °f l
nf lnf l
nf lnf lf lcos cot cos20 0,0191cot20,905f lnf lcos cot cos20 0,0191cot20,905f l
ff lff lf lcos tanf lff lcos tanf le
ff lff l+ °+ °f+ °+ °f l+ °+ °f lff l+ °+ °f lf lcos cot cos20 0,0191cot20,905f lff lcos cot cos20 0,0191cot20,905f lf l+ °+ °f lcos cot cos20 0,0191cot20,905f l+ °+ °f lff l+ °+ °f lcos cot cos20 0,0191cot20,905f l+ °+ °f l
A magnitude da força transmitida pela coroa ( GtWGtWGt ) pode ser relacionada à potência de 
saída ( 0H ), ao fator de aplicação ( aK ), à e� ciência ( e ) e ao fator de projeto ( dn ) por:
= 33000 d a0d a0Gt
G
n H Kd an H Kd a0d a0n H K0d a0WGtWGt V eGV eG
Como: p p= = == = == = =(10,504)(1720 /11) 430 ft/min
12 12
G G
G
d nG Gd nG GVGVG
A força transmitida pela coroa é:
= = == = == = =33000 33000(1,2)(10)(1,25) 1169 lbf
430(0,985)
d a0d a0
Gt
G
n H Kd an H Kd a0d a0n H K0d a0WGtWGt V eGV eG
Considerando a equação de WtWWtWWt dada por:
f l l
f l l
f l l+f l l ° °+ °= = == = =
- ° °- °f l l- ° °- °f l l
cos sen cosf l lcos sen cosf l lf l l+f l lcos sen cosf l l+f l l cos20 sen20,905 0,0191cos20,905° °+ °cos20 sen20,905 0,0191cos20,905° °+ °1169 475 lbf° °+ °1169 475 lbf° °+ °= = =1169 475 lbf= = == = =1169 475 lbf= = =cos20 sen20,905 0,0191cos20,9051169 475 lbfcos20 sen20,905 0,0191cos20,905° °+ °cos20 sen20,905 0,0191cos20,905° °+ °1169 475 lbf° °+ °cos20 sen20,905 0,0191cos20,905° °+ °
cos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905f l lcos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905f l l- ° °- °cos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905- ° °- °f l l- ° °- °f l lcos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905f l l- ° °- °f l lcos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905f l lcos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905f l lf l l- ° °- °f l lcos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905f l l- ° °- °f l l
nf l lnf l l
Wt Gt
nf l lnf l lf l lcos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905f l lnf l lcos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905f l l
ff l lff l lf l lcos sen cosf l lff l lcos sen cosf l lW W= = =W W= = =Wt GtW WWt Gt - ° °- °f- ° °- °f l l- ° °- °f l lff l l- ° °- °f l lff l lff l lf l lcos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905f l lff l lcos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905f l lf l l- ° °- °f l lcos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905f l l- ° °- °f l lff l l- ° °- °f l lcos cos sen cos20 cos20,905 0,0191sen20,905f l l- ° °- °f l l
, 
apresentada anteriormente, temos que a potência no pinhão sem-� m e na coroa sem-� m 
são, respectivamente:
p= = = == = = == = = == = = =(2,5)(1720)475 16,2 hp
33000 12(33000) 12(33000)
Wt W W W Wt
W
W V d n WpW V d n WpWt W W W WtW V d n WWt W W W WtpWt W W W WtpW V d n WpWt W W W WtpH hp
p= = = == = = == = = == = = =(10,504)(1720 /11)1169 15,23 hp
33000 12(33000) 12(33000)
Gt G G G Gt
G
W V d n WpW V d n WpGt G G G GtW Vd n WGt G G G GtpGt G G G GtpW V d n WpGt G G G GtpH hp
A razão da perda de calor ( perdaH ) da carcaça da coroa sem-� m ( ft lbf/min×ft lbf/min× ) é dada 
pela equação abaixo, em que e é a e� ciência de� nida anteriormente e inH é a potên-
cia de entrada do pinhão sem-� m:
33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×perda in33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/minperda in33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×perda in= - = - = ×33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×H e H= - = - = ×H e H= - = - = ×33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/minH e H33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×H e H= - = - = ×33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×perda inH e Hperda in= - = - = ×perda in= - = - = ×H e H= - = - = ×perda in= - = - = ×33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/minperda in33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/minH e H33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/minperda in33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×perda in= - = - = ×33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×H e H= - = - = ×33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×perda in= - = - = ×33000(1 ) 33000(1 0,985)(16,2) 8019 ft lbf/min= - = - = ×
A e� ciência geral  CR para a combinação da transferência de calor a partir da caixa 
da coroa sem-� m é de� nida por:
U2 / Engrenagens cônicas e sem-�m - 9
= + = + = × × ×= + = + = × × × 217200,13 0,13 0,395 ft lfb/min in °F= + = + = × × ×0,13 0,13 0,395 ft lfb/min in °F= + = + = × × ×= + = + = × × ×0,13 0,13 0,395 ft lfb/min in °F= + = + = × × ×20,13 0,13 0,395 ft lfb/min in °F2= + = + = × × ×2= + = + = × × ×0,13 0,13 0,395 ft lfb/min in °F= + = + = × × ×2= + = + = × × ×17200,13 0,13 0,395 ft lfb/min in °F1720
6494 6494
W= + = + = × × ×W= + = + = × × ×CR
n
A temperatura do reservatório de óleo ( st ) é dada por:
= + = + == + = + == + = + =

8019 70 88,5 °F= + = + =70 88,5 °F= + = + =
0,395(1100)
= + = + =
0,395(1100)
= + = + =perda= + = + =perda= + = + =s a= + = + =s a= + = + =
CR
H
t t= + = + =t t= + = + =
A