Exponenciais, Logaritmos e Trigonometria na Física

Prévia do material em texto

- -1
FUNDAMENTOS DE CIÊNCIAS EXATAS
CAPÍTULO 3 – O QUE SÃO EXPONENCIAIS, 
LOGARÍTMOS E TRIGONOMETRIA E COMO 
AUXILIAM NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
FÍSICOS?
- -2
Introdução
Alguns fenômenos acontecem de maneira mais moderada, mas outros acontecem muito mais rápidos. Por
exemplo, você sabia que uma doença pode iniciar se espalhando lentamente, porém, conforme o tempo vai
passando, pode se tornar uma epidemia, uma vez que cresce cada vez mais rapidamente? É fácil entender o
porquê, visto que, quanto mais indivíduos infectados, mais a contaminação se espalha. Ou, em outro caso, o
crescimento de bactérias que se multiplicam se dá lentamente, mas quanto mais há bactérias, mais rápido será o
crescimento da colônia, uma vez que há mais bactérias se reproduzindo, não é? Além disso, você sabia que o
crescimento da população humana no mundo aumenta mais rápido quanto maior for o número de habitantes?
Esses são alguns fenômenos que podem se desenvolver a taxas muito rápidas, em que dizemos que seu
crescimento é exponencial. É justamente sobre este assunto que veremos neste capítulo, incluindo equações e
funções, bem como suas propriedades, as quais envolvem operar com modelos matemáticos logarítmicos e
exponenciais.
Também estudaremos outro importante tema que envolve o cálculo de distâncias e dimensões, inclusive que
envolve figuras curvas ou arcos. Você sabia que há mais de dois mil anos foi realizado o primeiro cálculo do raio
da Terra, ainda que de forma bastante imprecisa? Problemas como este foram os propulsores do
desenvolvimento da trigonometria, tanto em seu caráter geométrico quanto algébrico. Assim, aqui também
iremos conhecer com maiores detalhes a trigonometria, importante área da matemática que possui uma
infinidade de aplicações práticas em situações físicas, mas que também permite resolver uma série de problemas
matemáticos.
Vamos em frente!
3.1 Exponenciais e logaritmos
A partir deste momento, estudaremos as equações e funções exponenciais e logarítmicas. Elas se tornam
necessárias quando a incógnita a ser encontrada está no expoente de um número.
Ao longo deste tópico também conheceremos a aplicação do logaritmo — que é o inverso do expoente — para
solucionar alguns tipos de equações, bem como a sua relação com o número de Euler . Em seguida, veremos
como se comportam as funções exponenciais e logarítmicas, além de suas possíveis aplicações.
3.1.1 Equações exponenciais e logarítmicas
Bonafini (2012) nos explica que, ao estudarmos as equações exponenciais, temos como objetivo, assim como nas
equações de primeiro e segundo graus, encontrar a incógnita. No caso das equações exponenciais, a incógnita
aparece sempre no expoente de um número.
Uma maneira interessante de resolver equações desse tipo é transformando os lados da equação em uma
igualdade de potências de mesma base, de modo que , sendo . Podemos afirmar, desta forma,
que os expoentes são iguais a . Assim, uma igualdade de duas potências e , com mesma base , mas
com expoentes diferentes e , podemos concluir que os expoentes são iguais.
Vejamos uma outra situação: . Note que, aparentemente, não temos a mesma base nos dois lados da
igualdade, mas, podemos reduzir 81 a partir de sua fatoração, conforme vemos na figura a seguir.
- -3
Figura 1 - Fatoração do número 81 na expressão .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Sabendo, portanto, que , podemos reescrever a igualdade como . Conseguimos, desta
forma, igualar as bases das duas potências da equação, de modo que podemos igualar os expoentes.
É importante salientar que, muitas vezes, serão necessárias as propriedades da potenciação para resolvermos a
equação. É o caso, por exemplo, de . Podemos facilmente notar que os números 25 e 125 podem ser
expressos com potência de 5, basta fatorarmos, conforme figura na sequência.
Figura 2 - Fatoração dos números 25 e 125 da expressão .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Assim, podemos substituir as potências de 5 na equação . Aqui, vale lembrar as propriedades de
potenciação e para que possamos manipular a equação:
Chegamos, então, a uma igualdade de bases iguais, em que podemos igualar seus expoentes:
É possível encontrarmos, ainda, equações exponenciais com mais termos que multiplicam, somam, dividem ou
subtraem o termo com expoente, a exemplo de . Neste caso, para simplificarmos os termos para
bases iguais, vamos dividir os lados por 3:
É simples visualizarmos que , enquanto que basta fatorarmos o número 32 para chegarmos em sua base,
- -4
É simples visualizarmos que , enquanto que basta fatorarmos o número 32 para chegarmos em sua base,
conforme figura a seguir.
Figura 3 - Fatoração do número 32.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Sabendo, então, que , podemos reescrever a equação:
Agora, temos uma igualdade de potências de mesma base, sendo possível analisar apenas os expoentes: 
Vejamos, agora, um caso em que temos uma soma de expoentes: . Utilizando as
propriedades de potenciação, a expressão pode ser expressa como 
Note que todos os termos do lado esquerdo da equação têm em comum . Portanto, podemos isolá-lo, de modo
que: 
Assim, podemos afirmar que :
Vejamos, agora, a seguinte equação: . Vamos isolar os termos que estão relacionados à incógnita em
- -5
Vejamos, agora, a seguinte equação: . Vamos isolar os termos que estão relacionados à incógnita em
um lado da equação: 
Note que não é possível, nesse caso, fazermos com que os dois lados da igualdade fiquem com bases iguais para
que possamos igualar seus expoentes. Desta forma, precisamos utilizar outra ferramenta: o logaritmo, uma
operação inversa à exponenciação.
Considerando os números reais positivos, o logaritmo de um determinado número na base é igual ao
expoente em que deve estar elevado com a finalidade de produzir o número . No caso em que temos, por
exemplo, , podemos dizer que . Quando a base do logaritmo é igual a 10, não precisamos escrever o
número, podendo ser denotada apenas como .
Assim como todas as operações matemáticas, o logaritmo possui algumas propriedades, sendo as principais
destacadas no quadro a seguir.
Quadro 1 - Propriedades do logaritmo de base qualquer.
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em BONAFINI, 2012.
Portanto, para encontrarmos em , devemos aplicar o logaritmo dos dois lados da igualdade e, por meio
das propriedades, chegar ao resultado:
Podemos ter alguns casos em que a própria incógnita se encontra associada ao logaritmo. Estes são resolvidos
utilizando as propriedades dos logaritmos para que todos tenham a mesma base, por exemplo:
Sendo , e .
Vejamos, inicialmente, um exemplo de uma equação bastante simples: . Note que os
logaritmos estão com base 3, então, podemos igualar seus argumentos: 
O logaritmo tem como condições fundamentais , portanto, precisamos garantir que os
argumentos dos logaritmos sejam maiores do que zero:
Assim, conferimos que os logaritmos possuem uma solução válida.
O logaritmo tem, ainda, uma propriedade na qual nos confere a definição de . Ocorre quandologaritmo natural
o logaritmo tem como base o número de Euler , que é um número irracional com valor de aproximadamente
2,71. Tem-se, assim, .
Semelhante ao logaritmo, o logaritmo natural tem algumas definições e propriedades, conforme vemos no
quadro a seguir.
- -6
Quadro 2 - Definições e propriedades do logaritmo natural.
Fonte: Elaborado pelo autor, baseado em BONAFINI, 2012.
Sabendo que há uma relação direta entre as definições de logaritmo e logaritmo natural, podemos, por exemplo,
encontrar que relação é esta a partir da mudança de base para 10.
Por definição, sabemos que .
Uma das propriedades do logaritmo nos permite a troca de bases, de modo que .
Sabemos que é um número de aproximadamente 2,71, podemos calcular :
Também já sabemos que , portanto, .
Demonstramos, assim, qual a relação numérica entre logaritmo e logaritmo natural. Vejamos, nasequência, as
definições e caraterísticas das funções exponenciais e logarítmicas.
3.1.2 Funções exponenciais e logarítmicas
Passaremos, neste momento, a compreender como as equações exponenciais e logarítmicas se comportam como
funções. Para Demana et al. (2013), define-se função exponencial uma função que pode ser apresentada como 
, com e constantes reais, sendo , e positivo. Pode-se inferir, ainda, que é o valor de 
quando e é a base. Clique na interação a seguir para aprender sobre a diferença da função exponencial
crescente e decrescente.
Crescente
Na função exponencial, se e , é crescente, chamada de , em que a função de crescimento exponencial
base é o fator de crescimento.
Decrescente
Já se e , é decrescente, sendo chamada de , em que a base é ofunção de decaimento exponencial
fator de decaimento.
Vejamos, por exemplo, como se comporta graficamente a função exponencial , . Note que 
 e , caracterizando uma função de crescimento exponencial, o que pode ser facilmente
identificado em sua curva gráfica. Veja, ainda, que para cada valor de , o valor de cresce exponencialmente em
uma proporção .
- -7
Quadro 3 - Valores para a exponencial .
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
O comportamento gráfico de é, portanto, conforme vemos a seguir.
Figura 4 - Gráfico da função .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Vejamos, agora, as características da função , . Sabemos, inicialmente, que a base 
e , de modo que é decrescente, ou seja, é uma função de decaimento exponencial.
Podemos verificar como a função é graficamente:
- -8
Podemos verificar como a função é graficamente:
Quadro 4 - Valores para a exponencial .
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
O comportamento gráfico de é, portanto, conforme vemos a seguir.
- -9
Figura 5 - Gráfico para a exponencial .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
As funções exponenciais são comumente utilizadas para o estudo de fenômenos que crescem ou decrescem
seguindo determinados padrões. É o caso, por exemplo, de uma população com uma população inicial ( ) que
cresce a uma taxa percentual constante ( ) a cada ano ( ).
Supomos que a função que descreve o crescimento da população ( ) a cada ano seja . Neste
caso, se , é uma função de crescimento exponencial, enquanto que, se , é uma função de decaimento
exponencial, sendo o fator de crescimento ou decaimento igual a .
Anteriormente, conhecemos o número de Euler , que é um número irracional com valor de aproximadamente
2,71. Assim, uma função com este número na base, do tipo também é uma função de crescimento
exponencial, em que o domínio são todos os reais . Se considerarmos e , temos o gráfico
a seguir.
- -10
Figura 6 - Gráfico para a exponencial .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Vale notar que a função é crescente para todos os valores de do domínio , e que a imagem
está restrita aos valores maiores do que zero até o infinito: . No gráfico, é possível verificar, também, que
para temos , já que .
A função tem muitas implicações para a matemática por ter propriedades específicas para o cálculo,
assim, o número é considerado a base natural da função exponencial, de modo que a função é chamada de 
.função exponencial natural
Vimos até o momento que a função exponencial tem como forma . Podemos avançar, agora, para a
ideia de sua inversa, que é a função logarítmica de base .
Assim como as funções exponenciais, as funções logarítmicas são amplamente utilizadas em fenômenos de
divisão sucessivas, como colônias de bactérias, ou em juros e aplicações financeiras. Se considerarmos, para
simplificar, a função , com e , por exemplo, temos sua função inversa .
Vejamos como essas funções inversas são simétricas em relação à reta com a figura a seguir.
- -11
Figura 7 - Simetria entre função exponencial e logaritmo.
Fonte: DEMANA et al., 2013, p. 177.
Sendo assim, a função logarítmica , , é a inversa da função , .
- -12
Figura 8 - Gráfico da função e sua inversa.
Fonte: DEMANA et al., 2013, p. 177.
Note que, por serem funções inversas, elas possuem pontos espelhados, de modo que, enquanto , 
, ou seja, , enquanto que .
Já vimos, também, que logaritmos na base são chamados de logaritmos naturais, denotados como , de modo
que a função logarítmica natural é , , sendo esta a função inversa de , .x
- -13
Figura 9 - Gráfico da função e sua inversa.
Fonte: DEMANA et al., 2013, p. 177.
Lembre-se de que, graficamente, uma função inversa em relação à função original pode ser verificada em relação
a uma reta que corta os eixos e fazendo um ângulo de 45º com e/ou . Se os gráficos forem simétricos em
relação a reta, então a função possui inversa .
- -14
Com isso, esperamos que você possa ter tido uma compreensão geral das propriedades e características das
funções exponenciais e logarítmicas, de grande importância no estudo de fenômenos físicos e matemáticos. A
seguir, vamos começar nossos estudos sobre trigonometria.
3.2 Trigonometria – Parte I
A trigonometria é umas das áreas do conhecimento humano mais antigo. A necessidade de determinar posições
e distâncias, por exemplo, sempre foram questões interessantes para a humanidade. Observar a posição dos
astros celestes e a relação entre eles foi um importante campo de estudos de desenvolvimento para a
astronomia. Já aplicações que envolvem a agricultura também fomentaram o desenvolvimento desse campo da
matemática, bem como as navegações.
O desenvolvimento da trigonometria remete aos séculos V ou IV a.C. Há registros de um tratado escrito por
Hiparco de Nicéia, astrônomo grego que viveu no século II a.C., considerado o “pai da trigonometria” (COSTA, s
/d.).
O termo “trigonometria” vem do grego “ ”, que significa triângulo; e “ ”, que significa medida.trigonon metron
Consiste no estudo da relação entre as medidas dos lados de um triângulo que possui um ângulo reto (90º) entre
dois de seus lados, também chamado de .triângulo retângulo
Há infinitas aplicações da trigonometria, desde determinação de distâncias, resolução de funções e problemas
matemáticos, até cálculo de velocidades, acelerações, entre outras grandezas vetoriais definidas pelas ciências
exatas.
Vamos conhecer um pouco mais sobre triângulos e sobre as relações trigonométricas que podem ser
VOCÊ SABIA?
A Escala Richter nos fornece uma ideia da energia liberada por um tremor terrestre (sismo).
Entretanto, a diferença de um sismo de pouca energia e um sismo de grande energia pode ser
de mais de 10 bilhões de vezes. Imagine uma escala com toda essa variação! Em situações
como essa, é interessante e útil construirmos uma nova escala usando o conceito dos
logaritmos. A variação entre um sismo de nível 1 para o nível 2, na escala Richter, é de 10 vezes
em termos de amplitude. Já no nível 1 para o nível 5 é de 10 mil vezes. Do nível 1 para o nível
10 é de 10 bilhões de vezes. Incrível, não? (ECALCULO, s/d.).
VOCÊ QUER LER?
Para saber um pouco mais sobre a história do desenvolvimento da astronomia e como isto
auxiliou para o avanço da humanidade, leia o texto intitulado “A História da Trigonometria”, de
Nielce M. Lobo da Costa, disponível no :link
< >.http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo3/mod3_pdf/historia_triogono.pdf
- -15
Vamos conhecer um pouco mais sobre triângulos e sobre as relações trigonométricas que podem ser
determinadas a partir deles na sequência!
3.2.1 Classificação de triângulos e Teorema de Pitágoras
De acordo com Demana et al. (2013), um triângulo pode ser definido como uma figura plana que contém três
lados. Eles podem ser classificados em função dos lados como equilátero, isósceles e escaleno, conforme vemos
na representação a seguir.
Figura 10 - Classificação dos triângulos quantos aos ângulos. A quantidade de linhas que cortam 
perpendicularmente os lados indicam se são iguais ou não.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Emfunção dos ângulos, os triângulos ainda podem ser classificados como (um ângulo internoobtusângulo
maior do que 90º - ângulo obtuso), (três ângulos internos menores do que 90º - ângulos agudos) ou acutângulo
 (um ângulo interno igual a 90º - ângulo reto).retângulo
Existe, ainda, uma série de características associadas a ângulos e triângulos que podem ser úteis na resolução de
problemas. Clique nos itens a seguir para conhecê-las.
• 
Vértice é o ponto que liga dois lados de um triângulo.
• 
Ângulos adjacentes são aqueles que possuem o mesmo vértice e um lado comum (interseção entre
os dois ângulos e uma semirreta).
• 
Ângulo complementar é aquele que, somado com outro, resulta em 90º.
• 
Ângulo suplementar é aquele que, somado com outro, resulta em 180º.
• 
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
• 
A soma dos ângulos externos de um triângulo é 360º.
• 
Um ângulo externo de um triângulo é dado pela soma de seus dois ângulos internos não adjacentes.
• 
•
•
•
•
•
•
•
•
- -16
• 
O maior lado de um triângulo é aquele oposto ao maior ângulo.
• 
O menor lado de um triângulo é aquele oposto ao menor ângulo.
Vejamos um exemplo de ângulos adjacentes.
Figura 11 - Os ângulos e são adjacentes. Eles possuem o mesmo vértice e dividem a mesma semirreta .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Agora, vemos um exemplo de ângulos complementares.
Figura 12 - O ângulo é complementar de , e vice-versa. A soma entre ambos forma 90º.
Fonte: Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Vejamos, por fim, um exemplo de ângulos suplementares.
Figura 13 - O ângulo é suplementar de , e vice-versa. A soma entre ambos forma 180º.
•
•
- -17
Figura 13 - O ângulo é suplementar de , e vice-versa. A soma entre ambos forma 180º.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Há, ainda, outros elementos úteis sobre triângulos que não tratarmos aqui, como semelhança de triângulos,
mediana, bissetriz, incentro e mediatriz.
Aqui, daremos uma atenção especial ao .triângulo retângulo
É possível perceber que qualquer um dos triângulos — equilátero, isósceles ou escaleno — pode ser dividido em
triângulos retângulos, e, em muitas situações, a resolução de problemas fica bastante simplificada.
Como já dissemos, um triângulo retângulo e aquele que possui um ângulo reto, ou seja, um ângulo igual a 90º,
conforme vemos a figura a seguir.
VOCÊ QUER LER?
Para conhecer um pouco mais sobre as propriedades dos ângulos e triângulos, acesse o
resumo com ilustrações escrito pelo professor João Nuno Tavares, intitulado “Triângulos”.
Acesse o para realizar uma leitura completa!link
< >https://www.fc.up.pt/pessoas/jfgomes/pdf/vol_1_num_1_22_art_triangulo.pdf
- -18
Figura 14 - Exemplo de triângulo retângulo.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Note que, no triângulo retângulo, A, B, e C representam os vértices, enquanto que , e representam os lados do
triângulo, em que o lado maior é chamado de , e os demais de .hipotenusa catetos
Considere a figura a seguir.
- -19
Figura 15 - Triângulo retângulo.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Pitágoras descobriu que a soma da área dos quadrados menores (azul e verde), formados pelos lados e de um
triângulo retângulo, é igual a área do quadrado maior (amarelo) de lado . Em outras palavras, a soma do
quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Este é o que chamamos de Teorema de Pitágoras
(DEMANA et al., 2013).
Matematicamente, escrevemos que .
Há inúmeras aplicações do Teorema de Pitágoras. Por exemplo, alguns construtores precisam fazer paredes
perpendiculares entre si. Para isto, eles traçam linhas entre pregos ( ). As linhas precisam ficar perpendiculares
para que as paredes sejam construídas de forma correta. No caso, é comum aplicar o Teorema de Pitágoras,
mesmo sem saber os conceitos formais. Assim, pode-se medir os lados dos catetos ( e ) e conferir a hipotenusa 
 para verificar a perpendicularidade das paredes:
VOCÊ O CONHECE?
Pitágoras viveu entre 570 a.C. e 495 a.C. na Grécia Antiga. Foi filósofo e matemático grego que
influenciou sobremaneira as ciências contemporâneas. Interessava-se pelos números, sua
relação com formas geométricas e padrões celestes. Além disso, acreditava que o próprio
cosmos teria uma relação mais íntima com números. Para conhecer um pouco mais a respeito
desse personagem, acesse o texto “Pitágoras”, de Alexsandra Oliveira Andrade, disponível em:
< >.http://www2.uesb.br/cursos/matematica/matematicavca/wp-content/uploads/cc4.pdf
- -20
Figura 16 - Aplicação do Teorema de Pitágoras no dimensionamento de paredes.
Note que, ao atribuirmos marcações para os lados, tais como e , então, .
Isso só é verdade se os ângulos entre as semirretas e forem de 90º. Assim, é possível ajustar o ângulo entre
eles até que a distância (hipotenusa) esteja correta.
3.2.2 Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Existem algumas relações que nos permitem descobrir lados do triângulo a partir dos ângulos dados, ou os
ângulos a partir dos lados. Estas são chamadas de .relações trigonométricas
Considere a figura a seguir.
- -21
Figura 17 - Relações trigonométricas no triângulo retângulo.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe que, agora, mantemos apenas a indicação de um dos ângulos menores do que 90º, o ângulo . Demana et
al. (2013) explica que, em função da posição do ângulo a ser estudado, nomeamos os lados como (cateto oposto 
) e . A ( ) é sempre o maior lado e oposta ao ângulo de 90º. Isto implicacateto adjacente hipotenusa 
que podemos escrever relações trigonométricas seno , cosseno e tangente do ângulo da maneira
indicada na interação a seguir. Clique para ver.
Perceba que, se o ângulo fosse no vértice , como mostra a figura a seguir, os catetos seriam invertidos.
- -22
Figura 18 - Relações trigonométricas no triângulo retângulo de forma invertida.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Note que estamos estabelecendo relações com a ângulo . Deste modo, as expressões ficam:
CASO
Vamos acompanhar alguns exemplos para entender melhor.
Considere a seguinte figura.
- -23
Fonte: SILVEIRA, 2007, p. 17.
Sabemos que um dos ângulos agudos do triângulo retângulo indicando na figura vale 16º. A
medida do cateto adjacente ( ) ao ângulo, dado pela linha horizontal, é de 120 cm. Sendo
assim, qual é a medida do cateto oposto ( ) ao ângulo, dado pela linha vertical?
Aqui, a relação trigonométrica que associa ângulo, cateto oposto e cateto adjacente é 
. S u b s t i t u i n d o o s d a d o s t e m o s q u e 
.
Note que, para determinar a tangente de 16º ou precisamos consultar uma tabela de
arcos trigonométricos ou usarmos uma calculadora científica.
Vejamos, agora, outro exemplo: um estudo resolve compreender a inclinação das ruas. Para
isto, um estudante utiliza a conciliação de calçadas e muros, formando um triângulo retângulo,
c o n f o r m e a f i g u r a a s e g u i r . 
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em SILVEIRA, 2007.
O estudante mediu que o cateto oposto ( ) ao ângulo indicando na figura (lado vertical) foi
de 40 cm, enquanto que o cateto adjacente ( ) ao ângulo indicado na figura (lado horizontal)
foi de 120 cm. Sendo assim, qual é o ângulo indicando pela letra da rua?
- -24
Agora que já conhecemos algumas reações trigonométricas básicas associadas ao triângulo retângulo, vamos
conhecer com mais detalhes os conceitos das funções trigonométricas a partir do círculo trigonométrico.
3.3 Trigonometria – Parte II
O círculo trigonométrico nos permite estabelecer relações entre arcos (ângulos), distâncias (radianos) e
respectivas funções trigonométricas seno, cosseno e tangente. Além disso, permite visualizar mais claramente o
que acontece com diferentes arcos aplicados às funções trigonométricas, bem como encontrar correlações entre
os ângulos,o que pode facilitar a resolver alguns problemas.
O círculo trigonométrico e das funções trigonométricas deriva um conjunto de relações que também são
aplicáveis em diversos problemas e situações, simplificando, muitas vezes, a resolução. Vamos entender melhor
sobre o assunto? Acompanhe!
3.3.1 Círculo trigonométrico
O círculo trigonométrico consiste no traçado de um círculo de raio 1 centrado na origem do plano cartesiano. O
eixo horizontal das abscissas fornece a medida do cosseno de um ângulo, formado a partir do ponto (1, 0) no
sentido anti-horário. Já o eixo vertical das ordenadas fornece a medida do seno de mesmo ângulo indicado
(DEMANA et al., 2013).
Veja o círculo a seguir.
Os dados fornecidos são: 
Podemos usar a relação .
A questão é descobrir qual é o ângulo (arco) em que sua tangente resulta em . Felizmente
as calculadoras científicas fazem este trabalho para nós. Para resolver o problema, aplicamos a
função inversa da tangente, também chamada de , desta forma: arco tangente
 ou . Com auxílio de uma calculadora determinamos
que . É importante se certificar de que a calculadora esteja configurada em graus
(modo DEG).
- -25
Figura 19 - Círculo trigonométrico, em que o eixo representa o cosseno do ângulo, e o eixo representa o seno.
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em DEMANA et al., 2013.
Observe que, no círculo, há a representação dos ângulos, variando de 0 até 360º, mas também o equivalente em
radianos, que varia de 0 até , em que equivale a 180º.
O radiano (1 rad) é definido como a medida do ângulo central, cujo arco correspondente representa o mesmo
comprimento ( ) do raio ( ) da circunferência.
- -26
Figura 20 - Definição do conceito de radiano no círculo.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Note que o comprimento dado pelo arco é igual ao raio . Além disso, podemos determinar uma relação entre
um ângulo e da seguinte maneira: .
- -27
Figura 21 - Relação entre comprimento da circunferência e radiano.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Por exemplo, se e , então, .
Para converter radianos para ângulos em graus podemos usar uma regra de três simples, uma vez que 
. Assim, se desejamos saber quanto vale em graus, fazemos:
As relações entre seno, cosseno e tangente no círculo trigonométrico se dão da seguinte forma, conforme figura a
seguir.
- -28
Figura 22 - Seno, cosseno e tangente de um arco no círculo trigonométrico.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Clique na interação a seguir para ver as definições que temos a partir do círculo trigonométrico.
sen (a)
Medida algébrica entre .
cos (a)
Medida algébrica entre .
tan (a)
Medida algébrica entre .
Assim fica fácil perceber que senos e cossenos possuem o valor máximo de 1. Também verificamos que, quando
o ângulo é zero, temos o valor máximo de cosseno e mínimo de seno, ou seja, , e .
Já quando temos 90º graus ou , então , e é indeterminado. Se o ângulo é 180º ou 
, então , e . Quando o ângulo é 270º ou , então, , 
 e é indeterminado. Note que seno e cosseno ficam alternando em 1 e .
Uma característica importante a se considerar é que dividimos o círculo trigonométrico em quadrantes, sendo de
- -29
Uma característica importante a se considerar é que dividimos o círculo trigonométrico em quadrantes, sendo de
0 até 90º o primeiro quadrante, de 90º até 180º o segundo quadrante, de 180º até 270º o terceiro quadrante e
de 270º até 360º o quarto quadrante. Esta análise pode ser essencial em alguns casos, pois o seno apresentará
valores positivos para valores do primeiro e segundo quadrantes, mas negativos para o terceiro e quarto
quadrantes. Já o cosseno apresentará valores positivos para o primeiro e quarto quadrantes, mas negativos para
o segundo e terceiro quadrantes. Por fim, a tangente apresentará valores positivos para o primeiro e terceiro
quadrantes, mas valores negativos para o segundo e quarto quadrantes.
Uma estratégia que pode facilitar a resolução de alguns problemas é reduzir um ângulo do segundo, terceiro ou
quarto quadrantes a um equivalente no primeiro quadrante. Seu valor absoluto será o mesmo, mas o sinal
dependerá do quadrante original.
Vamos determinar o seno e cosseno de para entender melhor a respeito do assunto. Observe a figura a seguir.
Figura 23 - Redução de um ângulo ao primeiro quadrante.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Podemos notar que está no segundo quadrante. Avaliando o sinal do seno e do cosseno neste quadrante,
- -30
Podemos notar que está no segundo quadrante. Avaliando o sinal do seno e do cosseno neste quadrante,
percebemos que o seno é positivo, enquanto que o cosseno é negativo. Como , tomamos o intervalo
superior para aplicar a redução, logo, . Assim, temos como o equivalente, em módulo, no primeiro
quadrante:
Note que respeitamos a análise de sinal, em que teremos o seno positivo e o cosseno negativo.
3.3.2 Funções trigonométricas
Já iniciamos nossos estudos sobre expressões trigonométricas, agora, vamos conhecer algumas características
mais detalhadas das funções trigonométricas, como domínio, imagem e gráfico.
A é dada por . Veja o gráfico a seguir.função seno
Figura 24 - Gráfico da função .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Como dissemos, a função seno tem valo máximo de 1 e mínimo de . Seu domínio é dado pelos números reais, e
sua imagem tem o intervalo fechado em [ , 1].
É possível notar que seu comportamento se repete a cada intervalo , ou seja, é uma função periódica com
período . Além disso, trata-se de uma função ímpar, uma vez que é simétrica em relação a origem, ou seja, 
.
A é dada por . Veja o gráfico a seguir.função cosseno
- -31
Figura 25 - Gráfico da função .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Como dissemos, a função cosseno tem valo máximo de 1 e mínimo de . Seu domínio é dado pelos números
reais, e sua imagem tem o intervalo fechado em [ , 1].
É possível notar que seu comportamento se repete a cada intervalo , ou seja, é uma função periódica com
período . Além disso, se trata de uma função par, uma vez que é simétrica em relação ao eixo , ou seja, 
.
Perceba que é defasada com relação a função seno em .
Já a é dada por . Veja o gráfico a seguir.função tangente
Figura 26 - Gráfico da função .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Como dissemos, a função tangente não tem valor máximo ou mínimo. Seu domínio é dado pelos números reais
sem os múltiplos ímpares de (não é definida neste ponto). Além disso, sua imagem é os números reais.
É simétrica em relação a origem, logo, trata-se de uma função ímpar.
Temos, ainda, a , dada por . Veja o gráfico a seguir.função secante
- -32
Figura 27 - Gráfico da função .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
A função secante é dita recíproca da função cosseno. Isto significa que, quando , . No gráfico, a
função secante é representada pela curva verde, enquanto que a função cosseno pela curva azul. É fácil ver
porque uma é recíproca da outra.
Também podemos perceber que a função não está definida para , ou seja, para múltiplos positivos ou
negativos de .
A é dada por . Veja o gráfico a seguir.função cossecante
Figura 28 - Gráfico da função .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
- -33
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
A função cossecante é dita recíproca da função seno. Isto significa que, quando , . No gráfico, a
função secante é representada pela curva verde, enquanto que a função seno pela curva azul. É fácil ver porque
uma é recíproca da outra.
Também podemos perceber que a função não está definida para , ou seja, para zero ou múltiplos
positivos ou negativos de .
Por fim, a é dada por . Veja o gráfico a seguir.função cotangente
Figura 29 - Gráfico da função .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
A função cotangente é dita recíproca da função tangente. Podemos notar que a função não está definida para 
, ou seja, não está definida para ou paramúltiplos positivos ou negativos de . Em verde temos o
gráfico da função cotangente, já em azul temos a função seno, com destaque para os pontos em que zera
.
A funções trigonométricas também possuem suas inversas. Conforme Demana et al. (2013) nos explica, as
funções trigonométricas que estudamos não são injetoras, ou seja, não cumprem o teste que garante a existência
de inversa. Entretanto, é possível restringir o domínio delas para estudarmos o comportamento das inversas no
intervalo. Por exemplo, no caso de , no domínio restrito de a função é injetora, logo, é
possível determinar uma inversa como para valores de em [ , 1].
Observe a figura a seguir.
- -34
Figura 30 - À esquerda, a função com restrição de domínio. À direita, a inversa com 
domínio restrito.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
A função inversa como arco-seno significa, por exemplo, determinar um ângulo tal que o seno no ângulo
resulte em um radiano. Veja: , ou seja, qual ângulo torna a igualdade verdadeira?
Aplicando o arco-seno ou a inversa do seno, teremos que .
A função inversa é dada por , restringindo-se o domínio para [0, ] e para valores de 
entre [ , 1]. Veja o gráfico a seguir.
- -35
Figura 31 - À esquerda, . À direita, com restrição de domínio.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
A função inversa é dada por , restringindo-se o domínio para e para valores de 
entre [ , 1]. Veja o gráfico a seguir.
Figura 32 - À esquerda, . À direita, com restrição de domínio.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Agora que já conhecemos algumas das importantes funções trigonométricas usadas para resolvermos problemas
de matemática e física, é possível estabelecer algumas relações algébricas das expressões trigonométricas:
- -36
Uma delas, que resulta do Teorema de Pitágoras, implica em . Dividindo a expressão por 
, teremos que . Dividindo a expressão por , teremos que .
Todas as relações são de extrema valia para resolvermos problemas matemáticos e físicos. Há muitas outras
propriedades que associam as reações trigonométricas e seus arcos, mas não avançaremos sobre isto no
momento.
No próximo tópico, vamos aplicar o que estudamos até agora em alguns problemas.
3.4 Exponenciais, logaritmos e trigonometria na resolução 
de problemas
Agora que já estudamos várias propriedades dos exponenciais, dos logaritmos e a trigonometria, vamos resolver
alguns problemas. Perceba que alguns problemas precisam, em algum momento, utilizar algumas destas
propriedades para serem resolvidos. Acompanhe!
Exercício 1
Um pintor está trabalhando em uma casa. Para atingir pontos altos, ele utiliza uma escada que pode chegar até
três metros de comprimento. Em determinado momento, o pintor decidiu descobrir se será necessário arranjar
uma escada maior ou se a escada que possui será suficiente. Sendo assim, considere que o menor ângulo que a
escada pode ter em relação a parede para garantir segurança ao pintor é de 20º. Nesta configuração, qual é a
altura que a escada atinge na parede?
VOCÊ QUER VER?
Para compreender um pouco melhor sobre funções inversas do seno, do cosseno ou da
tangente, assista ao breve vídeo “Trigonometria - Funções inversas: arcoseno, arcocosseno,
arcotangente”, que apresenta explicações bem simples e exemplos detalhados sobre esses
conceitos. Acesse o vídeo no :link
< >.https://www.youtube.com/watch?v=JweaeA64-DY
- -37
Figura 33 - Diagrama esquemático da escada e a parede.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Resolução
Sabemos que o ângulo pode ser no mínimo de 3º, ou seja, . Além disso, sabemos que o comprimento da
escada é de três metros. Na configuração apresentada, temos um triângulo retângulo, ou seja, o comprimento da
escada será a própria hipotenusa do triângulo ( ). Por fim, a altura será um dos catetos do triângulo
retângulo. Note que é o cateto adjacente ( ) ao ângulo ( ). Ao avaliarmos as relações trigonométricas
no triângulo retângulo, veremos que a seguinte relação associa o ângulo , o cateto adjacente a ele e a
hipotenusa: .
Desejamos determinar , portanto, substituindo os dados na relação, e com o auxílio de uma calculadora, temos
que . Assim, a altura máxima atingida pela escada será de 2,82
metros.
Exercício 2
Considere que um construtor está projetando uma rampa para uma garagem de uma casa. A garagem fica a uma
altura de 1,5 metros do chão. A distância entre o início da garagem e o início da rua é de três metros. Assim,
supondo que o construtor irá aproveitar todo o espaço para fazer a rampa, qual será sua inclinação?
- -38
Figura 34 - Diagrama esquemático da garagem e da rampa.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Resolução
Considerando que temos um triângulo retângulo, a altura da garagem será o cateto oposto ( ) ao ângulo , e a
distância máxima até a rua será o cateto adjacente ( ) ao ângulo . Uma relação trigonométrica que associa , 
 e o ângulo é dada por .
Substituindo os valores, temos que .
Agora, precisamos determinar qual é o ângulo cuja tangente vale . Para isto, aplicamos a inversa da tangente ou
arco-tangente:
Com o auxílio de uma calculadora, conseguimos resolver o problema e determinar que o ângulo será de .
Exercício 3
Um arqueólogo, ao realizar uma expedição ao Egito, fez diversas anotações e medidas das antigas pirâmides,
VOCÊ SABIA?
Na maior parte dos problemas que envolvem arcos precisamos usar calculadoras ou tabelas
que fornecem os valores de seno, cosseno e tangente dos arcos. Contudo, pode ser útil
conhecer alguns valores notáveis, que facilitam a resolução de problemas algumas vezes, a
saber: 
- -39
Um arqueólogo, ao realizar uma expedição ao Egito, fez diversas anotações e medidas das antigas pirâmides,
descobrindo que uma delas parece ter sido construída com base em um triângulo equilátero. Fascinado com a
imensidão da construção, ele gostaria de saber qual é a altura da pirâmide.
Veja o esquema construído pelo arqueólogo de um corte transversal no centro da pirâmide com a figura a seguir.
Figura 35 - Triângulo equilátero da pirâmide.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Resolução
Como a construção da pirâmide foi baseada em um triângulo equilátero, sabemos que todos os lados da pirâmide
são iguais a 50 metros. Também sabemos que os três ângulos internos de um triângulo equilátero são iguais a
60º (se os lados são iguais e a soma dos ângulos internos precisa resultar em 180º, então 180º/3 = 60º).
Note que podemos dividir um triângulo equilátero em dois triângulos retângulos, conforme a figura a seguir.
- -40
Figura 36 - Triângulo equilátero e suas medidas angulares.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Agora, parece que ficou mais fácil determinarmos a altura da pirâmide a partir do triângulo retângulo indicado,
não é?
Se escolhermos o ângulo de 60º, teremos que o cateto oposto será a altura , enquanto que o cateto adjacente
vale 25 metros. A partir desta escolha, temos a seguinte relação que associa a altura (cateto oposto ), o
cateto adjacente ( ) e o ângulo de 60º, em que . Substituindo os valores, temos que 
. Assim, podemos determinar que a altura da pirâmide
é de aproximadamente 43,30 metros.
Exercício 4
Muitas vezes, uma expressão complicada pode ser simplificada usando as identidades trigonométricas. Vamos
compreender um pouco melhor como fazer isto demonstrando algumas a validade de algumas relações
trigonométricas.
1. 
Note que , então, realizar a substituição resultará no cancelamento dos senos: 
2. 
Note que, se , a substituição cancelará os cossenos e restará apenas os senos: 
3. 
Aqui, precisamos pensar um pouco mais, mas é fácil perceber que a identidade fundamental 
pode ser escrita como . Podemos realizar a substituição na expressão.
Agora, note que, se dividirmos os lados da igualdade da identidade fundamental indicada por , podemos
o b t e r u m a e x p r e s s ã o q u e e n v o l v e t a n g e n t e e c o s s e n o :.
Subst i tuindo os resultados na expressão 3 , teremos que 
Com estes exemplos, é possível compreender que, algumas vezes, é possível manipular as expressões e as
identidades trigonométricas, a fim de simplifica-las. Quanto mais você praticar, mais fácil será realizar essas
simplificações.
Vamos a mais um exercício!
- -41
Exercício 5
Considere que, em determinado cálculo, é necessário determinar o seno, o cosseno e a tangente dos arcos 150º e 
. Podemos simplesmente usar a calculadora, mas, neste caso, vamos usar o círculo trigonométrico e a redução
ao primeiro quadrante.
Resolução
Sabemos que . Então, o ângulo 150º está localizado no segundo quadrante, em que o seno é
positivo, o cosseno é negativo e a tangente é negativa. Basta, então, encontrarmos o equivalente no primeiro
quadrante e aplicar o sinal correspondente ao segundo quadrante: .
Consultando a tabela para alguns arcos notáveis para 30º, percebemos que:
Vamos analisar, agora, .
Sabemos que . Se dividirmos por 4, teremos 225º. Assim, . Então, o ângulo 225º está
localizado no terceiro quadrante .
Para determinar o correspondente no primeiro quadrante, em que o seno e cosseno são negativos e a tangente é
positiva, fazemos .
Consultando a tabela para alguns arcos notáveis para 45º, percebemos que:
Exercício 6
Considere que determinada população de bactérias aumenta de número em uma taxa de 25% ao dia. A fim de
controlar a situação, o cientista precisa calcular quanto tempo aproximadamente levará para que o número de
bactérias seja 200 vezes maior do que o inicial, sabendo que e .
Resolução
A partir de um processo de modelagem matemática, podemos inferir que a função que demonstra o crescimento
da população é dada por , em que é a população inicial, é a taxa de crescimento de 25% e é
o tempo em dias. Além disso, o problema nos diz que precisamos encontrar o tempo em que .
Temos, então, que: 
Sabemos, também, que a taxa de crescimento ( ) é de 25% ao dia, então:
Agora, para encontrarmos , precisamos aplicar a operação inversa ao expoente — que é o logaritmo — dos dois
lados da equação.
Note que o logaritmo dado no exercício está na base 10, então usaremos a mesma base: .
Neste momento, resgatamos a propriedade que nos diz que . Assim, . Dividindo os
lados da igualdade por , temos que .
Podemos resolver cada um dos logaritmos separadamente, iniciando por : .
Sabemos pelas propriedades dos logaritmos que . Assim, temos que:
Agora, vamos resolver o : .
- -42
Agora, vamos resolver o : .
A partir da propriedade , temos que:
Voltando, então, para o cálculo do tempo ( ), temos que:
Sabendo que e , temos que:
 dias
Encontramos, portanto, que após aproximadamente 24 dias o número de bactérias será 200 vezes maior do que
a inicial se manter constante a taxa de crescimento de 25%.
Com esses exemplos, acreditamos que você tenha condições de aplicar os conhecimentos estudados em muitos
outros exemplos, seja na área da matemática, da física ou em outras áreas de interesse.
Síntese
Aqui, pudemos revisar propriedades e características de funções exponenciais e logarítmicas, bem como
verificamos como aplicá-las em situações reais. Estudamos, ainda, os aspectos básicos da trigonometria de
triângulos, em especial do triângulo retângulo, assim como de algumas funções trigonométricas básicas.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• compreender o que é uma função exponencial e logarítmica e que uma é a inversa da outra;
• identificar gráficos de exponenciais e logaritmos e verificar a simetria entre eles;
• conhecer propriedades básicas dos triângulos como os equiláteros, os isósceles e os escalenos;
• converter arcos de radianos para graus, e vice-versa;
• relacionar as funções trigonométricas ao cálculo de arcos e distâncias;
• estudar o triângulo retângulo e as funções trigonométricas associadas a ele;
• descobrir o Teorema de Pitágoras, que permite relacionar matematicamente os lados de um triângulo 
retângulo;
• conhecer e verificar algumas identidades trigonométricas fundamentais;
• identificar as características gráficas, como domínio e imagem, de funções de trigonométricas e suas 
inversas;
• aplicar os conceitos e as propriedades de logaritmos, exponenciais e trigonometria do triângulo 
retângulo em situações práticas.
Bibliografia
ANDRADE, A. O. . Bahia: UESB, s/d. Disponível em: . Acesso em: 08/12/2018.Pitágoras
BONAFINI, F. C. . São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012.Matemática
COSTA, N. M. L. da. . Rio Grande do Sul: UFRGS, s/d. Disponível em: . Acesso em: 08A História da Trigonometria
/12/2018.
DEMANA, F. D. et al. . 2. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.Pré-Cálculo
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
- -43
DEMANA, F. D. et al. . 2. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.Pré-Cálculo
ECALCULO. . São Paulo: USP, s/d. Disponível em: . Acesso em: 10/12/2018.A escala Richter
ME SALVA! : arcoseno, arcocosseno, arcotangente. 21 mar. 2013. DisponívelTrigonometria - Funções inversas
em: . Acesso em: 08/12/2018.
SILVEIRA, F. L. da. Inclinação das ruas e das estradas. , Porto Alegre, v. 8, n. 2, 2007. DisponívelFísica na Escola
em: . Acesso em: 02/12/2018.
TAVARES, J. N. Triângulo , v. 1, n. 1, out./dez. 2013. Disponível em . Acesso em: 02. Revista de Ciência Elementar
/12/2018.
	Introdução
	3.1 Exponenciais e logaritmos
	3.1.1 Equações exponenciais e logarítmicas
	3.1.2 Funções exponenciais e logarítmicas
	3.2 Trigonometria – Parte I
	3.2.1 Classificação de triângulos e Teorema de Pitágoras
	3.2.2 Relações trigonométricas no triângulo retângulo
	3.3 Trigonometria – Parte II
	3.3.1 Círculo trigonométrico
	3.3.2 Funções trigonométricas
	3.4 Exponenciais, logaritmos e trigonometria na resolução de problemas
	Síntese
	Bibliografia