12 - Otimização paramétrica

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Referências
Engenharia de Processos – Análise, Simulação, Otimização e Síntese de Processos Químicos – Carlos Antônio Perlingeiro
Otimização Paramétrica
Otimização Paramétrica
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Conceito de Otimização
Balanço de informação
(Grau de liberdade)
Problema inconsistente: sem solução
Problema consistente
Solução única
Infinidade de soluções
G < 0
G = 0
G > 0
Problema de otimização
Otimização Paramétrica
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Conceito de Otimização
Problema de otimização
Busca do(s) melhor(es) resultados
Maximização
Minimização
Otimização Paramétrica
Conceito de Otimização
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Todo problema de otimização compreende a conjugação de fatores conflitantes
Fatores conflitantes
Maximização do lucro
5
Otimização Paramétrica
Conceito de Otimização
Fatores conflitantes
Receita é proveniente da produção
Maior a produção maior a receita
Quero mais dinheiro!!!
Como podemos aumentar a produção???
Otimização Paramétrica
Conceito de Otimização
Fatores conflitantes
Receita é proveniente da produção
Maior a produção maior a receita
Quero mais dinheiro!!!
Como podemos aumentar a produção???
Custo também é proveniente da produção
$/ano
Kg/h
R
C
Maior produção pode gerar maiores custo
Otimização Paramétrica
Conceito de Otimização
Fatores conflitantes
Receita é proveniente da produção
Maior a produção maior a receita
Custo também é proveniente da produção
Maior produção pode gerar maiores custo
$/ano
Kg/h
R
C
Otimização Paramétrica
Conceito de Otimização
Fatores conflitantes
$/ano
Kg/h
R
C
L
L = R - C
Po
Lo
Po – Produção ótima
Lo – Lucro ótimo
Po é o “ponto de equilíbrio”
A produção não deve ser
nem maior nem menor que Po
Otimização Paramétrica
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Elementos comuns em problemas de otimização
Elementos de otimização
Variáveis de Projeto
Critério
Função Objetivo
Restrições
Região Viável
Otimização Paramétrica
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Elementos comuns em problemas de otimização
Variáveis de Projeto
$/ano
Kg/h
P
L
Po
Lo
P – Variável de projeto
Quando P = PO temos 
o ponto ótimo
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
r (cm)
h (cm)
V(cm³)
r = 1
h = 4,9
V = 5,1
Variáveis de Projeto
h = 4,6
r = 2
V = 19,2
r = 3
V = 37,7
h = 4,0
r = 4,08
h = 2,88
V = 50,2
r = 4,9
h = 1,0
V = 25,0
r = 4,5
h = 2,2
V = 46,2
r ou h – Variável de projeto
r e h não podem ser ambas variáveis de projeto!
G = 1. O problema só admite uma variável de projeto (r ou h)
O resultado será o mesmo independente da escolha.
Porém, uma delas pode exigir maior esforço computacional. Qual escolher então?
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
São variáveis de número inteiro. Ex.:
Número de filhos, número de bactérias, número de pratos em uma coluna de destilação
Não faz sentido falar que um casal tem 3,2 filhos, nem 1,5 bacterías, nem que uma coluna tem 7,3 pratos.
Por tanto essas variáveis tem que assumir valores inteiros. Essas variáveis são chamadas de discretas.
Bomba
20 HP
Decantador
Extrator
1
Ác. Benzóico
Água
15
Benzeno
2
Ác. Benzóico
Água
Rafinado
Extrato
Ác. Benzóico
Benzeno
3
Misturador
Variáveis de Projeto – Variáveis discretas
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Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Relação de equilíbrio líquido-líquido
Coeficiente de distribuição
do benzeno
igual a 4
Coeficiente de distribuição do tulueno igual a 3*
*Valor não condiz com a realidade, só um exemplo
(Uma variável a mais)
Variável discreta
Variáveis de Projeto – Variáveis discretas
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Regras complementares – Variáveis discretas
Sistema de 34 Equações
G > 0, passamos a ter um 
problema de otimização
Quando houver uma variável que assume valores discretos. 
Esta deve ser assumida como variáveis de projeto.
Variáveis de Projeto
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Algumas variáveis tem o seu valor limitado:
g
g > 0
r > 0
h > 0
Não faz sentido falar em dimensões 
iguais a zero ou negativa!
Por tanto dimensões são consideradas
 variáveis limitadas
Elementos comuns em problemas de otimização
Variáveis de Projeto
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Algumas variáveis tem o seu valor limitado:
Fração molar:
Considerando uma mistura de dois componentes A e B
Frações são variáveis limitadas
Elementos comuns em problemas de otimização
Variáveis de Projeto
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Otimização Paramétrica
Algumas variáveis tem o seu valor limitado:
Condensador
Água líquida
Água líquida
Vapor 
de Benzeno
Benzeno
líquido
T1
T2
T1 < T2
T1 > 0 °C
T2 < 100 °C
As temperaturas são 
variáveis limitadas
2 Equações, 3 incógnitas
G > 0
Problema de otimização
Temos que escolher uma variável de projeto
? ?
X
O
O
X
Variável limitadas devem ser escolhidas preferencialmente como variável de projeto
T2 foi escolhida como variável
de projeto
Elementos comuns em problemas de otimização
Variáveis de Projeto
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Variáveis de Projeto
Elementos
envolvidos
Número de equações (N):
1
Número de variáveis (V):
4
Número de variáveis específicas (E):
Número de Incógnitas (I):
I = V – E 
: I = 4 – 0 = 4
G = I – N = 4 – 1 = 3
E = C + M
: E = 0 + 0 = 0
1
2
3
4
1
2
3
4
Para G =3 haverá três
variáveis de projeto
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Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Variáveis de Projeto
Elementos
envolvidos
Número de equações (N):
2
Número de variáveis (V):
4
Número de variáveis específicas (E):
Número de Incógnitas (I):
I = V – E 
: I = 4 – 0 = 4
G = I – N = 4 – 2 = 2
E = C + M
: E = 0 + 0 = 0
1
2
3
4
1
2
3
4
Para esse problema com G =2 
haverá duas variáveis de projeto
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Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Critério
Problema de otimização
Maximização
Minimização
Produção
Lucro
Capacidade
Custo
Poluição
Acidentes
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Critério
Especificações
Aumentar a produção pode 
diminuir a segurança!
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo
Maximização
Minimização
Modalidade
Convexidade
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Continuidade
Descontínua na derivada
Função Contínua
Função Contínua
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Continuidade
Função Descontínua
Função Descontínua
Variáveis Discretas
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Modalidade
Modalidade
Unimodal – Um ponto de 
	máximo ou mínimo
Multimodal – Múltiplos pontos 
	de máximo e mínimo
Funções Unimodais – uma variável
Funções Unimodais – duas variáveis
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Modalidade
Funções multimodais – uma variável
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Modalidade
Funções multimodais – duas variáveis
28
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Convexidade
29
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Convexidade
30
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Convexidade
31
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Convexidade
Convexa
Côncava
Ponto de inflexão
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Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Convexidade
Não há ponto de máximo 
e mínimo!
33
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Convexidade
Não há ponto de máximo 
e mínimo!
34
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Convexidade
Máximo Local
35
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Convexidade
36
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Otimização Paramétrica
Elementos comuns em problemas de otimização
Função objetivo - Convexidade
Máximo Local
Mínimo Local
Máximo Global
37
Otimização Paramétrica
Conceito de Otimização
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Dado um cone de geratriz igual a 5cm, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maior volume possível.
Problemas de máximo e mínimo
Elementos
envolvidos
Número de equações (N):
2
Número de variáveis (V):
4
Número de variáveis específicas (E):
Número de Incógnitas (I):
I = V – E 
: I = 4 – 1 = 3
G = I – N = 3 – 2 = 1  G > 0
E = C + M
: E = 1 + 0 = 1
1
2
3
4
1
1
2
3
38
Otimização Paramétrica
Conceito de Otimização
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Dado um cone de geratriz igual a 5cm, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maior volume possível.
Problemas de máximo e mínimo
Limitações físicas
39
Otimização Paramétrica
Conceito de Otimização
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Dado um cone de geratriz igual a 5cm, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maior volume possível.
Problemas de máximo e mínimo
Derivada 
positiva
Derivada 
negativa
Derivada 
igual a zero
Temos que encontrar os pontos 
em que a derivada é igual a zero
40
Otimização Paramétrica
Conceito de Otimização
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Dado um cone de geratriz igual a 5cm, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maior volume possível.
Problemas de máximo e mínimo
Derivada 
igual a zero
Temos que encontrar os pontos 
em que a derivada é igual a zero
41
Otimização Paramétrica
Conceito de Otimização
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Dado um cone de geratriz igual a 5cm, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maior volume possível.
Problemas de máximo e mínimo
r (cm)
h (cm)
V(cm³)
Espaço fisicamente
 viável
r = 4,08
h = 2,88
V = 50,20
Solução ótima
Volume máximo
5
5
42
Otimização Paramétrica
Conceito de Otimização
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Dado um cone de geratriz igual a 5cm, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maior volume possível.
Problemas de máximo e mínimo
r (cm)
h (cm)
V(cm³)
Espaço fisicamente
 viável
r = 4,08
h = 2,88
V = 50,20
Solução ótima
Volume máximo
5
5
43
Otimização Paramétrica
Otimização
Rodrigo Vergne de Abreu Santos
Dado um cone de geratriz igual a 5cm, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maior volume possível.
Problemas de máximo e mínimo
r (cm)
h (cm)
V(cm³)
Espaço fisicamente
 viável
r = 4,08
h = 2,88
V = 50,20
Solução ótima
Volume máximo
5
5
44