Superfícies Quádricas

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Superf´ıcies Qua´dricas
Lembre do Ca´lculo I que uma equac¸a˜o da forma
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, A,B,C ,D,E ,F ∈ R
representa uma coˆnica (possivelmente degenerada): uma elipse,
para´bola, ou hipe´rbole. A equac¸a˜o ana´loga a 3 varia´veis, em R3, e´
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
que e´ dita equac¸a˜o de segundo grau em x , y , z . Os gra´ficos de
tais equac¸o˜es (isto e´, as colec¸o˜es de pontos (x,y,z) satisfazendo
uma tal equac¸a˜o) sa˜o ditos superf´ıcies qua´dricas.
1. Elipso´ide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, a, b, c > 0
Como fazer um esboc¸o: descubra as intersec¸o˜es com os eixos
coordenados e desenhe os trac¸os el´ıpticos nos planos coordenados.
Exemplo. Esboce o elipso´ide
x2
4
+
y2
16
+
z2
9
= 1
Os cortes com o eixo x sa˜o obtidos fazendo y = z = 0. Da´ı
obtemos x = ±2. Os cortes com o eixo y sa˜o obtidos fazendo
x = z = 0, donde y = ±4 e para cortes com o eixo z , fazemos
x = y = 0, donde z = ±3.
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, a, b, c > 0
Exerc´ıcio. Fac¸a o esboc¸o de 6x2 + 3y2 + 4z2 = 12.
2. Hiperbolo´ide de uma folha
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1, a, b, c > 0
Como fazer um esboc¸o: esboc¸amos o trac¸o el´ıptico em xy , os
trac¸os el´ıpticos nos planos z = ±c e depois as curvas hiperbo´licas
que unem as elipses.
Exemplo. Fac¸a o gra´fico do hiperbolo´ide de uma folha
x2 + y2 − z
2
4
= 1
O trac¸o no plano xy e´ obtido fazendo z = 0, e fornece x2 + y2 = 1,
um c´ırculo de raio 1 centrado no eixo z . Os trac¸os nos planos
z = 2 e z = −2 sa˜o dados por x2 + y2 = 2, c´ırculos de raio √2
centrados no eixo z . Unimos os c´ırculos com trac¸os hiperbo´licos.
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1, a, b, c > 0
Exerc´ıcio. Fac¸a o esboc¸o de 9x2 + y2 − 9z2 = 9.
3. Hiperbolo´ide de duas folhas
z2
c2
− x
2
a2
− y
2
b2
= 1, a, b, c > 0
Como desenhar: obter as intersec¸o˜es com o eixo z , desenhar os
trac¸os el´ıpticos nos planos z = ±2c (a escolha 2c e´ conveniente), e
esboc¸ar as hipe´rboles que ligam o eixo z e as elipses.
Exemplo. Esboce o gra´fico do hiperbolo´ide de duas folhas
z2 − x2 − y
2
4
= 1
Tomando x = y = 0, obtemos os cortes com o eixo z , dados por
z = ±1.Os trac¸os nos planos z = 2 e z = −2, substituindo z = ±2
na equac¸a˜o, nos fornece
x2
3
+
y2
12
= 1, (z = ±2)
Podemos agora esboc¸ar as elipses e os trac¸os hiperbo´licos.
z2
c2
− x
2
a2
− y
2
b2
= 1, a, b, c > 0
Exerc´ıcio. Fac¸a o esboc¸o de z2 − x2 − y2 = 1.
Exerc´ıcio. Fac¸a o esboc¸o de x2 − y2 − z2 = 1.
4. Cone el´ıptico
z2 =
x2
a2
+
y2
b2
, a, b > 0
Como esboc¸ar: desenhamos os trac¸os el´ıpticos nos planos z = ±1
e os trac¸os lineares que conectam os extremos dos eixos dessas
elipses.
Exemplo. Esboce o gra´fico do cone el´ıptico
z2 = x2 +
y2
4
Os trac¸os nos planos z = ±1 sa˜o dados por
x2 +
y2
4
= 1, (z = ±1)
z2 =
x2
a2
+
y2
b2
, a, b > 0
Exerc´ıcio. Fac¸a o esboc¸o de y2 + x2 − z2 = 0.
Exerc´ıcio. Fac¸a o esboc¸o de y2 + 9z2 = x2.
5. Parabolo´ide el´ıptico
z =
x2
a2
+
y2
b2
, a, b > 0
Como esboc¸ar: fazemos primeiro o trac¸o el´ıptico em z = 1 e
depois os trac¸os parabo´licos ligando a origem do R3 aos extremos
dos eixos da elipse.
Exemplo. Esboce o gra´fico do parabolo´ide el´ıptico
z =
x2
4
+
y2
9
Fazendo z = 1 obtemos a elipse
x2
4
+
y2
9
= 1, (z = 1)
z =
x2
a2
+
y2
b2
, a, b > 0
Exerc´ıcio. Esboce o gra´fico de y2 + x2 − z = 0.
Exerc´ıcio. Esboce o gra´fico de y2 + 4z2 = x .
6. Parabolo´ide hiperbo´lico
z =
y2
b2
− x
2
a2
, a, b > 0
Esboc¸o: fazer os dois trac¸os parabo´licos que passam pela origem
(um no plano x = 0 e outro no plano y = 0). Esboc¸ar os trac¸os
hiperbo´licos nos planos z = ±1 e da´ı completar com arestas que
estejam faltando.
Exemplo. Esboc¸e o gra´fico do parabolo´ide hiperbo´lico
z =
y2
4
− x
2
9
Se x = 0, obtemos
z =
y2
4
, (x = 0)
que e´ uma para´bola no plano yz com ve´rtice na origem abrindo na
direc¸a˜o z positiva (pois z ≥ 0). Escolhendo y = 0 obtemos
z = −x
2
9
, (y = 0)
que e´ uma para´bola no plano xz com ve´rtice na origem abrindo na
direc¸a˜o z negativa. O trac¸o no plano z = 1 e´
y2
4
− x
2
9
= 1, (z = 1),
uma hipe´rbole que se abre ao longo de uma reta paralela ao eixo y .
z =
y2
4
− x
2
9
O trac¸o no plano z = −1 e´
x2
9
− y
2
4
= 1, (z = −1)
que e´ um hipe´rbole que se abre ao longo de uma reta paralela ao
eixo x (confira).
z =
y2
b2
− x
2
a2
, a, b > 0
Exerc´ıcio. Esboc¸e o gra´fico de y2 − x2 − z = 0.
Exerc´ıcio. Explique geometricamente o que acontece com as
qua´dricas quando trocamos x , y , z por x − x0, y − y0 e z − z0,
onde (x0, y0, z0) e´ qualquer ponto do espac¸o.
Exerc´ıcio. Descreva com palavras como identificar a qua´drica
corretamente, baseado na quantidade de sinais negativos, de
termos lineares e na existeˆncia ou na˜o de uma constante na˜o nula.