4 - GEOMETRIA ANALITÍCA II

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Geometria 
Analítica II
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lucia Junqueira
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin
A Hipérbole e as Quádricas
• Introdução
• A Hipérbole
• Equação canônica da hipérbole com centro na origem
• Assíntotas à hipérbole
• Equação da hipérbole com centro fora da origem
• A Circunferência
• As Quádricas
• Elipsoide
• Paraboloide elíptico e hiperbólico
• Hiperboloide de uma e duas folhas
• Superfícies cônicas e cilíndricas;
• Exercício resolvidos
 · Apresentar a hipérbole como lugar geométrico;
 · Definir as formas de equações da hipérbole: canônica e geral;
 · Apresentar os elementos da hipérbole: vértices, focos, eixos real e 
imaginário;
 · Fornecer condições de identificar o tipo de cônica pela equação e por 
seus elementos; 
 · Apresentar as superfícies quádricas;
 · Fornecer condições de identificar o tipo de quádrica pela equação, por 
seus elementos e traços;
 · Resolver problemas envolvendo estes conceitos.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Na Unidade, vamos tratar do estudo da hipérbole, abordando a definição de 
lugar geométrico, as equações canônica e geral da hipérbole, seus elementos e 
representação gráfica. 
Veremos, também, noções gerais sobre as superfícies quádricas. Apresentaremos 
as equações, os gráficos e os traços das superfícies: elipsoide, paraboloide elíptico 
e hiperbólico, hiperboloide de uma e duas folhas, além de superfícies cônicas 
e cilíndricas, além de diversos exemplos e exercícios resolvidos, em variedade 
de abordagens, para auxiliar a compreensão conceitual e facilitar a promoção 
do aprendizado, bem como, veremos a importância dessas quádricas e algumas 
aplicações práticas.
ORIENTAÇÕES
A Hipérbole e as Quádricas
UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Contextualização
Vimos que as curvas planas conhecidas como Cônicas são três curvas obtidas 
a partir de intersecções de um plano com um cone reto: a elipse, a parábola e a 
hipérbole. Também a circunferência pode ser obtida pela interseção do cone reto 
por um plano horizontal (ortogonal ao eixo do cone reto).
Fonte: http://goo.gl/OKvv0
Já estudamos a elipse e a parábola. Agora, veremos a cônica hipérbole, além de 
recordar a circunferência e fazer uma abordagem sobre as quádricas. 
Vemos pela imagem que a hipérbole, diferentemente da elipse e da parábola, 
é uma curva com dois ramos. A propriedade de reflexão da hipérbole é a seguinte: 
qualquer segmento de reta dirigido a um dos focos da hipérbole encontra o 
ramo correspondente e é refletido em direção ao outro foco, conforme indica 
a figura a seguir.
 
Fonte: http://goo.gl/OKvv0
Essa propriedade é muito aplicada nos telescópios de reflexão, os quais são 
constituídos de dois espelhos, sendo um maior, que é parabólico, e outro menor, 
que é hiperbólico. 
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Esses dois espelhos dispõem-se de modo que os eixos da parábola e da hipérbole 
coincidam e que o foco da parábola coincida com um dos focos da hipérbole, 
conforme esquema a seguir:
Fonte: http://goo.gl/k3kDFd
O principal uso dos espelhos hiperbólicos é em telescópios para preparar a luz 
proveniente da objetiva parabólica para ser detectada por uma ocular ou câmera 
fotográfica, como mostra a figura anterior.
A formação das imagens está resumida no quadro a seguir:
Espelho Ponto objeto Ponto imagem
Parabólico impróprio A – imagem real
Hiperbólico A – objeto virtual B – imagem real
Outro exemplo é o telescópio Hubble, em órbita desde 1990, a 600 km da 
Terra, que se baseia nestas propriedades de reflexão. O seu espelho objetiva é 
parabólico e tem 2,4 m de diâmetro. As imagens fornecidas pelo Hubble, situado 
fora da atmosfera, são muito mais claras e rigorosas, pois os raios de luz não são 
absorvidos nem distorcidos pela atmosfera. 
Um pouco da história
Galileu Galilei (1564-1642) foi o primeiro cientista a construir um telescópio 
para observação astronômica, por volta de 1609, o que resultou em notáveis 
descobertas e que em pouco tempo revolucionou a Astronomia. 
Os primeiros telescópios, como os de Galileu foram construídos com lentes 
e funcionavam à base de refração da luz. Entretanto, havia o inconveniente de 
deformação das imagens, bem como de decomposição da luz, pelo fato de a lente 
atuar como prisma. 
Esses inconvenientes dos telescópicos refratores não existem nos telescópios 
refletores. Os raios provenientes dos corpos celestes formam um feixe paralelo que 
se reflete no espelho parabólico e forma a imagem no seu foco. 
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UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
O problema é que o observador teria de posicionar o seu olho nesse foco da 
parábola, o que é impossível na prática, por ficar dentro do tubo do telescópio, 
conforme pode ser visto na figura a seguir: 
F
Isaac Newton (1642-1727) resolveu este problema em seu telescópio refletor, 
colocando um espelho plano entre o espelho parabólico e o foco. Com isso, a 
imagem que se formaria no foco dentro do tubo vai se formar refletida fora do tubo 
do telescópio, podendo agora o observador se colocar nesse ponto, como indica a 
figura a seguir:
Fonte: http://goo.gl/ca3Opx
Mas foi o astrônomo francês Laurent Cassegrain (1629-1693) que propôs, 
em 1672, a utilização de um espelho hiperbólico, em lugar do espelho plano de 
Newton. Um dos focos da hipérbole coincide com o foco F da parábola. Agora, os 
raios que iriam formar em F são refletidos fora do espelho E e formarão a imagem 
no outro foco F’ da hipérbole. 
Confira nas imagens A e B a seguir:
Fonte: http://goo.gl/OKvv0
Para ver as vantagens do modelo de telescópio de Cassegrain sobre o telescópio 
de Newton, podemos citar: o espelho plano não pode ficar muito próximo do foco 
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F, sob pena de a imagem ainda ficar dentro do tubo; em consequência, o espelho 
plano precisa ser de tamanho razoável, o que implica um bloqueio significativo da 
luz incidente no espelho parabólico, parte principal do telescópio. 
O telescópio de Cassegrain, pelo contrário, pode ser construído mais próximo ou 
mais afastado do foco F, mantendo-se fixa a distância FF’ entre os focos da hipérbole. 
O tamanho desse espelho pode ser maior ou menor e a distância focal também 
pode ser alterada para mais ou para menos. A combinação desses fatores permite 
flexibilidade na montagem, de acordo com as exigências das observações. 
Refletor de Cassegrain
Fonte: Wikimedia Commons
No entanto, essas montagens de Cassegrain só começaram a ser utilizadas 
nos telescópios cerca de um século depois de terem sido propostas. Desde então, 
passaram a ser largamente utilizadas não apenas nos telescópios óticos, como 
também nos radiotelescópios. 
Veja na figura a seguir o famoso telescópio gigante do Monte Palomar, nos 
EUA, que fica a 80 km a nordeste de San Diego, Califórnia, e utiliza montagens 
do tipo de Cassegrain:
 Fonte: Wikimedia Commons
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UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Finalmente, outra importante utilização das hipérboles é no sistema de localização 
em navegação, denominado LORAN (Long Range Navigation – Navegação de 
Longa Distância). 
Esse sistema permite a um navegante de um navio ou o piloto de um avião achar 
sua posição sem confiar em marcos visíveis. 
O LORAN utiliza hipérboles confocais, isto é, hipérboles com um dos focos em 
comum, no qual estão os radares que emitem sinais. 
Cada par de radares dá uma hipérbole que contém a posição do navio 
ou do avião e, assim, a sua posição exata é o ponto onde as três hipérboles 
interceptam-se. 
Essa posição pode ser determinada pela plotagem das três hipérboles em um 
mapa, obtendo a interseção em comum usando coordenadas e computando-se 
algebricamente a interseção. 
Veja na imagem a seguir uma configuração do LORAN:
Fonte: http://goo.gl/CHlguA
As quádricas
As curvas hiperbólicas também são utilizadas na arquitetura, como pode ser 
observado da catedral de Brasília e no planetário do St. Louis Science Center, nos 
Estados Unidos. 
Confira nas figuras a seguir:
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Catedral de Brasília
Fonte: Wikimedia Commons
Planetário do St.Louis Science Center
Fonte: Wikimedia Commons
Mais um pouco da história
Embora muitas obras de Euclides (século III a.C.) tenham se perdido, há 
referências consistentes de que esse grande geômetra tenha escrito um tratado 
sobre elipsoides, paraboloides, hiperboloides, além de esferas, cilindros e cones. 
Segundo Venturi (2003, p. 161-2), Euclides fundou a Escola de Matemática na 
renomada Biblioteca de Alexandria, que pode ter alcançado a cifra de 700 mil rolos 
entre papiros e pergaminhos. 
Infelizmente, em 1640, o califa Omar ordenou que fossem queimadas todas 
as obras da Biblioteca de Alexandria, sob o argumento de que “ou os livros 
contém o que diz o Alcorão, e nesse caso são desnecessários, ou o oposto, e não 
devemos lê-los”.
Por outro lado, Arquimedes (c. 287-212 a.C.) também nos legou vastíssima 
produção em Geometria Plana e Sólida. há dois tratados de Arquimedes, que 
apresentam grande profundidade em relação aos sólidos de revolução: 
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UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
 · Sobre conoides e esferoides – que descreve sólidos de revolução 
gerados por elipses, parábolas e hipérboles em torno de seus eixos – 
conhecidas como quádricas de revolução. Nesse tratado, Arquimedes 
obtém a área de uma elipse S ab= π ;
 · Sobre esfera e cilindro – que contém demonstrações rigorosas do 
cálculo de volume e da área de superfície dos referidos sólidos. Estuda, 
também, as áreas e volumes das superfícies obtidas por seções planas 
sobre a esfera (calotas e segmentos) e sobre o cilindro. 
Do que conhecemos hoje sobre quádricas, ainda há contribuições significativas 
de outros dois matemáticos helenos: Apolônio e Pappus. 
Ainda segundo Venturi (2003), deve-se a Leonhard Euler (170-1783) uma das 
mais significativas contribuições à Geometria, contida em seu livro Introdução à 
Análise Infinita, de 1748, no qual apresenta a primeira exposição em livro-texto de 
quádricas, considerando estas como superfícies de 2° grau do espaço 3 . 
A partir do século XVIII, as superfícies apresentaram notável aumento com o 
surgimento da Geometria Diferencial, com aplicações tanto no Cálculo Diferencial 
e Integral, quanto em Geometria Analítica. 
Aplicações de quádricas
A Terra pode ser vista como uma esfera e as circunferências como os meridianos 
e paralelos da Terra. 
Fonte: Wikimedia Commons
Como exemplos de aplicações da esfera, podemos citar ainda as lentes esféricas, 
que são objetos importantes na construção de óculos e as bolas de jogos de sinuca. 
O espelho esférico é qualquer porção de uma superfície esférica capaz de exibir, 
em predominância, o fenômeno da reflexão regular da luz. 
Os espelhos esféricos podem ser côncavos e convexos. Como aplicação, temos 
o espelho externo dos automóveis (retrovisores externos), que é côncavo e fornece 
imagens reduzidas dos objetos:
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Os refletores parabólicos de faróis e lanternas permitem que a luz da 
lâmpada localizada no foco se propague em raios paralelos ao eixo da parábola, 
formando o facho. 
Uma onda de rádio encontrando uma antena receptora parabólica, numa 
direção paralela ao seu eixo, será refletida na direção do foco da parábola que gera 
a superfície parabólica. 
Isso justifica a razão das antenas que captam sinais do espaço serem de formato 
parabólico, pois é necessário captar os sinais e concentrá-los em um único ponto 
para serem tratados, de acordo com o fim a que se destinam.
Fonte: iStock/Getty Images
A aplicação da elipse é frequentemente usada na Arquitetura, no Design e na 
Engenharia, podendo ser aplicada, também, em vários assuntos para o estudo da 
Matemática e da Física, como já vimos em outra Unidade. 
O famoso Coliseu de Roma era o local de exibição de uma série de espetáculos, 
como, por exemplo, dos combates entre gladiadores. 
Ocorria, também, a caça de animais, como leões, leopardos e panteras, entre 
outros. O nome Coliseu vem da expressão latina Colosseum, devido à estátua 
colossal de Nero, que ficava perto da edificação. 
Localizado no centro de Roma, destaca-se por seu volume e relevo arquitetônico. 
Com quase 50 metros de altura, originalmente apresentava capacidade próxima a 
50 mil pessoas e demorou entre 8 a 10 anos para ser construído.
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UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
O Coliseu em Roma tem o formato de um elipsoide
 
Fonte: Wikimedia Commons
O Coliseu cobria uma área elipsoide com 188 x 156 metros, três andares e que 
mais tarde, com o reinado de Severus Alexander e Gordianus III, foi ampliado com 
um quarto andar, capaz de suportar de 70 a 90 mil espectadores. 
A fachada compõe-se de arcadas decoradas com colunas dóricas, jônicas 
e coríntias, de acordo com o pavimento em que se encontravam. Os assentos 
eram em mármore e a arquibancada dividia-se em três partes, correspondentes 
às diferentes classes sociais: o podium, para as classes altas; a maeniana, setor 
destinado à classe média; e os pórticos, construídos em madeira, para a plebe e as 
mulheres. A tribuna imperial encontrava-se situada no podium e era balizada pelos 
assentos reservados aos senadores e magistrados. 
O Coliseu foi utilizado durante aproximadamente 500 anos, tendo sido o último 
registro efetuado no século VI da nossa era, bastante depois da queda de Roma, 
em 476. 
O edifício deixou de ser usado para entretenimento no começo da era medieval, 
mais tarde foi usado como habitação, oficina, forte, pedreira, sede de ordens 
religiosas e templo cristão. 
Embora esteja em ruínas devido a terremotos e pilhagens, o Coliseu sempre 
foi visto como símbolo do Império Romano, sendo um dos melhores exemplos 
da sua arquitetura. 
Atualmente, é uma das maiores atrações turísticas em Roma e ainda tem ligações 
com a Igreja, como, por exemplo, na ocorrência da procissão “O caminho da 
Cruz” até o Coliseu, que é realizada pelo Papa nas sextas-feiras santas. 
O Coliseu de Roma, declarado, em 1980, Patrimônio da Humanidade pela 
UNESCO, foi visitado em 2009 por 3,5 milhões de pessoas. 
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Elipsoides que compõem o complexo da Faculdade de Medicina de Cornell, 
em Doha.
Fonte: https://goo.gl/meo40l
O paraboloide hiperbólico possui um formato semelhante a uma sela e pode 
possuir um ponto crítico chamado de “ponto de sela”. Um exemplo do cotidiano 
de um paraboloide hiperbólico é o formato de batatas fritas prontas, como na 
figura a seguir:
Fonte: Wikimedia Commons
Em suas obras, o arquiteto espanhol-mexicano Felix Candela (1910-1997), 
considerado um “mestre de coberturas de concreto”, levou a possibilidades extremas 
estruturais estas formas curvilíneas inversas, por meio de estruturas de folha fina, 
cofragem de madeira, montagem simples e concretagem. 
Entre elas, a cobertura do Restaurante Submarino localizado dentro do Parque 
Oceanográfico da Cidade das Artes e das Ciências de Valência, na Espanha. 
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UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Confira na imagem a seguir:
Fonte: Wikimedia Commons
Modelo geométrico de Candela 
Fonte: http://goo.gl/uR1OzP
No design industrial também podemos ver uma aplicação de parabolóide 
hiperbólico do designer dinamarquês Verner Panton (1926-1998). 
Nesta cadeira “monobloco”, as vantagens estruturais desssa geometria foram 
inteligentemente utilizadas pelo designer como uma adaptação do Hypar: estruturas 
leves e economia de material de alta resistência.
Modelo de cadeiras Verner Panton
Fonte: Wikimedia Commons
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Introdução
Vimos que as cônicas são curvas obtidas pela interseção de um plano com o 
cone circular reto de duas folhas. Por isso são chamadas de seções cônicas. 
Parábola
Elipse
Circunferência
Hiperbóle
Fonte: Wikimedia Commons.
Em Unidade anterior, já tratamos sobre a elipse e a parábola. Agora, vamos 
estudar a hipérbole. Veremos a definição, os elementos, as propriedades e as 
aplicações dessas curvas. 
Nesta Unidade, trataremos, também, das noções básicas das superfícies 
quádricas, que ganham cada vez mais importância na área computacional, como 
fractais, por exemplo. 
Quádricas são conjuntos de pontos do espaço 3 , cujascoordenadas 
cartesianas verificam uma equação de 2° grau, no máximo, a três variáveis. 
Portanto, esferas, paraboloides, elipsoides, hiperboloides, cilindros e cones 
constituem as mais conhecidas superfícies quádricas.
Veremos um grande número de ilustrações para facilitar o entendimento dessas 
superfícies, bem como diversidade de exemplos e exercício resolvidos. 
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UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
A Hipérbole
É o lugar geométrico dos pontos de um plano tal que o valor absoluto da diferença 
de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 , chamados focos, de um mesmo 
plano, é uma constante 2a, sendo 2 1 2a d F F< ( ), .
Confira na figura a seguir:
Fonte: Adaptado de Venturi (2003, p. 92)
Dado um ponto P x y,( ) pertencente à hipérbole temos que:
d P F d P F a, ,1 2 2( ) − ( ) = .
A hipérbole é uma curva com dois ramos, diferentemente da elipse e da parábola. 
Podemos pensar em uma fonte de luz em um dos focos que, refletindo sobre a 
curva, são refletidos no outro foco da hipérbole:
Fonte: http://goo.gl/OKvv0
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Elementos da hipérbole
F1 e F2 são os focos. A distância entre os focos, denominada distância focal, 
é d F F c1 2 2,( ) = .
0: centro da hipérbole, é o ponto médio do segmento F F1 2 . 
A1 e A2 : vértices da hipérbole
Eixo real ou transverso: é o segmento A A1 2 , cujo comprimento é 2a.
Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B B1 2 . , cujo comprimento é 2b.
Fonte: Adaptado de Venturi (2003, p. 92)
Observação
Por abuso de linguagem, denomina-se “eixo real” ao segmento A A1 2 e “eixo 
imaginário” ao segmento B B1 2 . O eixo imaginário tem como reta suporte a 
mediatriz do segmento A A1 2 . Além disso, do triângulo B OA2 2 , hachurado na 
fi gura, obtemos a seguinte relação notável: c a b2 2 2= + .
Excentricidade da hipérbole
A excentricidade de uma cônica é definida por:
ε = c
a
.
Nesse caso, como a e c são positivos e c a> , temos que ε <1 . Há uma 
proporcionalidade entre a excentricidade e a abertura da hipérbole: quanto maior 
a excentricidade, maior a abertura e vice-versa. 
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UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Equação canônica da hipérbole de centro 
na origem
Caso 1: o eixo real coincide com o eixo X
Fonte: Adaptado de Venturi (2003, p. 93)
Seja P x y,( ) um ponto genérico da hipérbole. Vemos que F c1 0= −( ), e 
F c2 0= ( ), .
Pela definição, d P F d P F a, ,1 2 2(( )) −− (( )) == . Portanto, temos que:
x c y x c y a+( ) + −( ) − −( ) + −( ) =2 2 2 20 0 2
Portanto: x c y x c y a+( ) + − −( ) + = ±2 2 2 2 2 
Passando o segundo radical para o lado direito, temos:
x c y x c y a+( ) + = −( ) + ±2 2 2 2 2� � 
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, obtemos:
x c y x c y a a x c y+( ) + = −( ) + + ± −( ) +2 2 2 2 2 2 24 4 
x xc c y x xc c y a a x c y2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 4 4+ + + = − + + + ± −( ) + 
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Simplificando, temos:
4 4 42 2 2xc a a x c y− = ± −( ) +
xc a a x c y− = ± −( ) +2 2 2 
Elevando novamente ao quadrado ambos os membros:
xc a a x c y−( ) = −( ) + 
2 2 2 2 2 
x c a xca a x xc c y2 2 4 2 2 2 2 22 2+ − = − + +  
x c a xca a x xca a c a y2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 22 2+ − = − + + 
c a x a y a c a2 2 2 2 2 2 2 2−( ) − = −( ) 
Usando que c a b2 2 2== ++ , obtemos:
 b x a y a b2 2 2 2 2 2− =
Dividindo tudo por a b2 2 , temos a equação canônica ou reduzida da 
hipérbole: 
x
a
y
b
2
2
2
2 1− =
Caso 2: o eixo real coincide com o eixo Y
Fonte: Adaptado de Venturi (2003, p. 94).
Nesse caso, o posicionamento da hipérbole no plano cartesiano nos fornece 
F c1 0= −( ), e F c2 0= ( ), e a equação canônica ou reduzida da hipérbole é:
x
a
y
b
2
2
2
2 1− =
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UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Exemplo 1
Seja a hipérbole 16 25 4002 2x y− = . Encontrar a equação canônica, os elementos 
da hipérbole, a excentricidade e o gráfico.
Resolução
Da equação 16 25 4002 2x y− = podemos obter, dividindo tudo por 400:
x y2 2
25 16
1− =
Essa hipérbole tem centro na origem do sistema cartesiano, com eixo real sobre 
o eixo X, sendo a = 5 e b c a b c= ⇒ = + = + = ⇒ =4 25 16 41 412 2 2 . 
Logo, os vértices são os pontos A1 5 0= −( ), , A2 5 0= ( ), e os focos são 
F1 41 0= −( ), e F2 41 0= ( ), .
A excentricidade é ε = = >
c
a
41
5
1. 
Segue o esboço do gráfico dessa hipérbole.
A1
B1
√41
5
4
0
y
x
B2
A2 F2F1
22
23
Exemplo 2
Obter a equação da hipérbole representada no seguinte gráfico:
A2
A1
F1
F2
0
3
2
y
x
Resolução
Pelo gráfico, podemos deduzir que a hipérbole tem centro na origem do sistema 
cartesiano, eixo real sobre o eixo Y, sendo a = 3 e c = 5 e, portanto, 
b c a2 2 2 25 9 16= − = − = .
Então, a equação reduzida dessa hipérbole é:
y x2 2
9 16
1− = .
Exemplo 3
Dê a equação geral da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo 
das ordenadas e que passa pelos pontos P = ( )0 3, e Q = ( )4 6, .
Resolução
Pelos dados, a equação canônica da hipérbole é do tipo 
y
a
x
b
2
2
2
2 1− = . Agora, 
vamos substituir as coordenadas dos pontos P e Q na equação:
Para P a
a= ( )⇒ = ⇒ =0 3 9 1 92 2, 
Para Q b b
b= ( )⇒ − = ⇒ = − = ⇒ =4 6 36
9
16 1 16 4 1 3 16
32 2
2, 
Então, a equação é:
y x y x y x y x
2 2 2 2 2 2
2 2
9 16
3
1
9
3
16
1 16 27
144
1 16 27 144− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = que 
é a equação geral dessa hipérbole.
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UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Assíntotas à hipérbole
Na figura seguinte, observe a hipérbole e o retângulo PP P P1 2 3 4 , de lados 2a e 
2b. As retas r1 e r2 , que contém as diagonais desse retângulo, são chamadas 
assíntotas da hipérbole. 
A distância de um ponto P da hipérbole à assíntota tende a zero, quando P se 
afasta para o infinito. 
Fonte: Adaptado de Venturi (2003, p. 99).
O cálculo das equações das assíntotas
Como as duas assíntotas passam pela origem, são retas do tipo y mx= ± . 
Entretanto m tg b
a
= =θ ; portanto, as assíntotas têm equação y b
a
x= ± .
Observe, ainda, que o ângulo entre as assíntotas é 2θ. 
Exemplo 4
Calcule a equação das assíntotas da hipérbole 25 9 2252 2x y− = .
Resolução
Podemos escrever a equação reduzida dessa hipérbole dividindo tudo por 144:
25
225
9
225
1
9 25
1 3 5
2 2 2 2x y x y a eb− = ⇒ − = ⇒ = = . 
Então, as equações das assíntotas são y x= ± 5
3
.
24
25
Hipérbole equilátera
Uma hipérbole diz-se equilátera se a b= , ou seja, a medida do semieixo real é 
igual à medida do semieixo imaginário. 
Nesse caso, a equação da hipérbole equilátera é: x y a2 2 2− = ou y x a2 2 2− = . 
Equação geral de uma hipérbole
Uma equação do tipo Ax Cy F2 2+ = representa uma hipérbole com centro na 
origem e eixos coincidentes com os eixos coordenados se, e somente se, A e C têm 
sinais trocados e F ≠ 0. 
Exemplo: 2 x y2 23 6− = .
Quando F = 0 e A e C têm sinais trocados, a hipérbole se degenera num par de 
retas concorrentes. 
Exemplo: 2 x y x y x y2 23 0 2 3 2 3 0− = ⇒ +( ) −( ) =. . 
Logo, temos 2 3 0x y− = e 2 3 0x y− = , que são duas retas y x= 6
3
 e 
y x= − 6
3
.
Exemplo 5
Considere a hipérbole de o gráfico a seguir:
 
Fonte: adaptado de Winterle (2000, p. 196).
Vejamos algumas considerações sobre a hipérbole. 
Resolução
Vemos pelo gráfico que a hipérbole tem centro na origem, com eixo real paralelo 
ao eixo X e pelo retângulo fundamental temos que a = 3 e b = 2.
25
UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Logo, c a b2 2 2 9 4 13= + = + = , como o que c = 13 . A equação reduzida da 
hipérbole é, portanto, 
x y2 2
9 4
1− = .
Ainda pelo gráfico, vemos que os vértices do eixo real são: A1 3 0= −( ), e 
A2 3 0= ( ), . Observe que isso pode também ser obtido da equação reduzida, fazendo 
y x x A= ⇒ = ⇒ = ± ⇒ = −( )0 9 3 3 02 1 , e A2 3 0= ( ), . 
Por outro lado, fazendo x y= ⇒ = −0 42 , que não tem solução nos reais. Isso 
significa que a hipérbole não corta o eixo das ordenadas. 
Como a equação apresenta somente potências pares de x e y, a hipérbole é 
simétrica em relação aos eixos coordenados e em relação à origem. 
Por exemplo, o ponto P1 6 12= ( ), pertence a esta hipérbole, vez que 
36
9
124
4 3 1− = − = . 
Logo o ponto P2 6 12= −( ), , simétrico à P1 em relação ao eixo X, também 
pertence à hipérbole. 
Da mesma forma, os pontos P3 6 12= −( ), , simétrico à P1 em relação ao eixo 
Y, e P4 6 12= − −( ), , simétrico à P1 em relação à origem, também pertencem 
à hipérbole. 
As assíntotas passam pela origem e têm equação do tipo y b
a
x= ± . 
Então, temos que as equações da reta r y x: = 2
3
 e da reta s y x: = − 2
3
.
Exemplo 6
Provar que a elipse 2 102 2x y+ = e a hipérbole y x2
2
4
1− = são homofocais (têm 
os mesmos focos). 
Resolução
Vejamos a elipse 2 102 2x y+ = cuja equação reduzida é x y
2 2
5 10
1+ = .
Logo, a elipse tem centro na origem, eixo maior sobre o eixo Y, sendo a = 10. 
e b = 5 . Portanto, c a b c2 2 2 10 5 5 5= − = − = ⇒ = . 
Assim, os focos dessa elipse são F1 0 5= −( ), e F2 0 5= ( ), . 
26
27
Vejamos agora a hipérbole y x2
2
4
1− = , que é uma hipérbole de centro na origem 
e eixo real sobre o eixo Y. 
Então a =1 e b = 2 , portanto, c a b c2 2 2 1 4 5 5= + = + = ⇒ = . Assim, os focos 
da hipérbole são F1 0 5= −( ), e F2 0 5= ( ), .
Portanto, a elipse e a hipérbole têm focos coincidentes.
Exemplo 7
Uma hipérbole tem um de seus vértices em A = ( )3 0, e as equações de suas 
assíntotas são 2 3 0x y− = e 2 3 0x y+ = . Determine a equação da hipérbole.
Resolução
Pelas equações das assíntotas, são retas que passam pela origem de equação 
y x b e a= ± ⇒ = =2
3
2 3 , este último pode ser confirmado pelo vértice A = ( )3 0, . 
Portanto, seu outro vértice é ′ = −( )A 3 0, . Logo c a b2 2 2 9 4 13= + = + = . Então, 
c = 13 . 
E a hipérbole tem centro na origem e eixo real sobre o eixo X; 
portanto, a equação da hipérbole é: 
x
a
y
b
x y2
2
2
2
2 2
1
9 4
1− = ⇒ − = 
ou 4 9 362 2x y− = .
Exemplo 8
Uma hipérbole tem excentricidade igual a 2. Calcular o ângulo entre as assíntotas.
Resolução
Como ε = = ⇒ =
c
a
c a2 2 . Também c a b b c a2 2 2 2 2 2= + ⇒ = − . 
Logo, 4 3 32 2 2a a a b a− = ⇒ = . 
Então as equações das assíntotas são y b
a
x a
a
x x= ± = ± = ±3 3 . Então, 
tg arctgθ θ π= ⇒ = ( ) =3 3 3 . 
O ângulo entre as assíntotas é 2 2
3
θ π= .
27
UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Equação da hipérbole com centro fora 
da origem
Caso 1: eixo real paralelo ao eixo X
Fonte: Adaptado de Venturi (2003, p. 101)
No caso 1, a hipérbole tem centro no ponto O x y" ,= ( )0 0 . Sua equação no 
novo sistema é x O y' ' ' . é x
a
y
b
' '2
2
2
2 1− = . (1). 
Além disso, temos a translação de eixos dada pelas equações 
′
′
= −
= −



x x x
y y y
0
0
 (2).
Substituindo (2) em (1), temos:
x x
a
y y
b
−( )
−
−( )
=0
2
2
0
2
2 1. 
Caso 2: o eixo real é paralelo ao eixo Y.
Fonte: Adaptado de Venturi (2003, p. 101)
28
29
Adotando raciocínio análogo, concluímos que a equação da hipérbole nesse 
caso é:
y y
a
x x
b
−( )
−
−( )
=0
2
2
0
2
2 1.
Observação
Reforçando que nessas equações, eliminando os denominadores, desenvolvendo 
os produtos notáveis e ordenando as variáveis, chegamos a uma equação da 
hipérbole na forma de uma equação de 2° grau:
Ax Cy Dx Ey F2 2 0+ + + + = . 
Em que A e C são não nulos e diferem em sinal. 
Além disso, nos casos em que a hipérbole tem centro em ′ = ( )O x y0 0, , as 
assíntotas passarão por este ponto e terão as seguintes equações: 
Caso 1: y y b
a
x x− = ± −( )0 0 . 
Caso 2: y y a
b
x x− = ± −( )0 0 .
Exemplo 9
Encontrar a equação canônica da hipérbole de equação geral dada por:
4 8 4 4 02 2x y x y− − − − = . Descrever a hipérbole e dê as equações de suas 
assíntotas.
Resolução
Vamos agrupar variáveis e completar quadrados em x e em y na equação geral: 
4 2 4 4 02 2x x y y−( ) − +( ) − = 
4 1 1 2 4 4 02 2x y−( ) −  − +( ) −  − = 
4 1 2 4 4 4 02 2x y−( ) − +( ) − + − = 
4 1 2 42 2x y−( ) − +( ) = 
x y−( )
−
+( )
=
1
1
2
4
1
2 2
 
Portanto, a hipérbole em questão tem centro no ponto ′ = −( )O 1 2, , eixo real 
paralelo ao eixo X, sobre a reta y = −2, com a =1 e b = 2 . 
29
UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Como c a b c2 2 2 1 4 5 5== ++ == ++ == ⇒⇒ == Os vértices do eixo real são:
A a x y1 0 0 1 1 2 0 2= −( ) = − −( ) = −( ), , , e A a x y2 0 0 1 1 2 2 2= +( ) = + −( ) = −( ), , , . 
Os focos da hipérbole são:
F c x y1 0 0 5 1 2= −( ) = − −( ), , . eF c x y1 0 0 5 1 2= +( ) = + −( ), , . 
As assíntotas são do tipo y y b
a
x x− = ± −( )0 0 . 
Portanto: y x+ = ± −( )2 2 1 . Segue um esboço do gráfico dessa hipérbole:
F1 F20’
y
y’
x’
0
1
-2
2
x
 
Uma situação especial: uma hipérbole com centro na origem e assíntotas coincidentes com 
os eixos cartesianos tem equação do tipo xy k= .Ex
pl
or
30
31
Por exemplo:
0
3
y y
2 x 0
-1
2
x
xy = 6 xy = -2
Além disso, dada uma hipérbole equilátera, digamos x y2 2 8− = , se efetuamos 
uma rotação de eixos de amplitude θ = °45 , a mesma hipérbole em relação ao 
novo sistema x Oy' ' terá equação ′ ′ = −x y 4, vez que as fórmulas de rotação são:
x x cos y sen x cos y sen x y= − = °( ) − °( ) = −( )' ' ' ' ' 'θ θ 45 45 2
2
 
y x sen y cos x sen y cos x y= + = °( ) + °( ) = +( )' ' ' ' ' 'θ θ 45 45 2
2
Substituindo na equação x y2 2 8−− == , obtemos:
1
2
8 2 2 162 2 2 2 2 2′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′−( ) − +( )  = ⇒ − + − − − =x y x y x x y y x x y y 
− = ⇒ = −′ ′ ′ ′4 16 4x y x y
Para não ficar sem mencionar, vamos recordar.
A circunferência
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano que têm a mesma 
distância de um ponto fixo, considerado o centro da circunferência. Denominamos 
esta distância por r, o raio da circunferência. 
A equação de uma circunferência de centro na origem e raio já é conhecida por 
todos: x y r2 2 2+ = . 
Já a equação da circunferência de centro C a b= ( ), e raio r d P C= ( ), , é:
31
UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
x a y b r−( ) + −( ) =2 2 2 . 
y
x
P(x,y)
c
v0
b
As quádricas
Quádrica ou superfície quádrica em Matemática é o conjunto de pontos do 
espaço tridimensional cujas coordenadas formam um polinômio de segundo grau, 
de no máximo três variáveis, denominado equação cartesiana da superfície e 
assim expressa:
Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J2 2 2 0+ + + + + + + + + = 
Na qual pelo menos um dos coeficientes A B C D E, , , , � ou F é diferente de zero, 
representando, assim, uma superfície quádrica ou, simplesmente, uma quádrica. 
Se o termo J = 0 , a quádrica passa pela origem, vez que o ponto O = ( )0 0 0, , 
satisfaz a equação. 
Se a superfície quádrica for cortada pelos planos coordenados ou por planos 
paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma 
superfície com um plano é chamado de traço da superfície no plano. A redução 
da equação geral das quádricas às suas formas mais simples costuma exigir 
cálculos laboriosos.
Esferas, paraboloides, elipsoides, hiperboloides, cilindros (do 2° grau) e 
cones (do 2° grau) são exemplos mais conhecidos de superfícies quádricas. 
Mas podemos também considerar os pares de planos, conjunto de pontos ou 
conjunto vazio como quádricas degeneradas. Por exemplo: a equação 3 0 02x x= ⇒ = 
representa um plano; a equação xy x ou y= ⇒ = =0 0 0� � representa um par de retas; 
32
33
a equação 2 3 0 02 2 2x y z x y z+ + = ⇒ = = = representa um ponto; a equação 
x y2 2 1 0+ + = é um conjunto vazio. 
Para identificar uma superfície quádrica, costumamos buscar identificar quais 
cônicas são suas interseções com os planos coordenados. As interseções de uma 
quádrica e um plano qualquer são denominadas traços. Os traços de uma superfície 
quádrica são cônicas.
Exemplo 10
Considere a superfície quádrica de equação 
x y z2 2 2
4 25 9
1+ + = .
Vemos que essa superfície tem centro na origem O = ( )0 0 0, , , pois não está 
transladada. Façamos a interseção com os planos coordenados:
Plano YZ, basta fazer x
y z
= ⇒ + = ⇒0
25 9
1
2 2
elipse.
Plano XZ, basta fazer y
x z
= ⇒ + = ⇒0
4 9
1
2 2
elipse.
Plano XY, basta fazer z x y= ⇒ + = ⇒0
4 25
1
2 2
elipse.
Portanto, a superfície é um elipsoide.Confira na figura a seguir:
Fonte: Adaptado de Venturi (2003, p. 178).
Para encontrar as interseções com os eixos coordenados, basta fazer duas 
variáveis nulas e encontrar a terceira. 
Então, temos:
y z P
x z P
x y P
= = ⇒ = ( )
= = ⇒ = ( )
= = ⇒ = ( )





0 2 0 0
0 0 5 0
0 0 0 3
1
2
3
, ,
, ,
, , 
33
UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
A curva c1 é a elipse 
x z
y
2 2
4 9
1
0
+ =
=




 e a curva c2 é a elipse 
x y
z
2 2
4 25
1
0
+ =
=




.
Observe, ainda, que esse elipsoide é simétrico em relação à origem, em relação 
aos eixos coordenados e em relação aos planos cartesianos. 
Então, a equação reduzida de um elipsoide de centro na origem é:
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2 1+ + = .
Elipsoide
Um elipsoide de centro C x y z= ( )0 0 0, , e simétrico em relação aos eixos 
cartesianos, aos planos coordenados e à origem, tem equação reduzida da forma:
x x
a
y y
b
z z
c
−( )
+
−( )
+
−( )
=0
2
2
0
2
2
0
2
2 1. 
Fonte: Wikimedia Commons
Caso a b c= = � temos uma esfera de centro C x y z= ( )0 0 0, , e raio r a b c= = = .
34
35
Paraboloide elíptico
O paraboloide elíptico é moldado na forma de um copo oval e pode ter um 
máximo ou um mínimo. No sistema cartesiano, sua equação do tipo ;
 
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2+ =
Representa um paraboloide elíptico com abertura para cima, tendo como eixo 
o eixo Z, conforme indica a figura a seguir:
Z
X Y
Fonte: Wikimedia Commons
Exemplo 11
Seja a equação 4 4 02 2y z x+ − = . Identifique a quádrica.
Resolução
Vamos colocar a equação na forma reduzida: y z x2
2
4
+ = ( x ≥ 0) .
Então, é um paraboloide elíptico tendo por eixo o eixo X com abertura para 
frente ( x ≥ 0) . Para x y z O= ⇒ = = ⇒ = ( )0 0 0 0 0, , . 
Os traços desse paraboloide são:
Plano XZ, y z x= ⇒ = ⇒0 42 parábola.
Plano XY, z y x= ⇒ = ⇒0 2 � parábola.
Plano x k y z k y
k
z
k
= > ⇒ + = ⇒ + = ⇒0
4 4
12
2 2 2
 elipse no plano x k= , com 
eixo maior paralelo ao eixo Z, 2 4a k= , e eixo menor paralelo ao eixo Y, 
2 2b k= .
35
UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Paraboloide hiperbólico
É uma superfície na forma de sela. Um tipo de equação do paraboloide 
hiperbólico pode ser expresso na forma: 
y
a
x
b
z
c
2
2
2
2− = . 
Z
X Y
 Fonte: Wikimedia Commons
No caso de c > 0 , é um paraboloide que se abre para baixo ao longo do eixo X 
e para cima ao longo do eixo Y. 
Os traços dessa superfície são:
Plano XZ, y x b
c
z= ⇒ = − ⇒0 2
2
�parábola no plano XZ com vértice na origem e 
concavidade para baixo.
Plano YZ, x y a
c
z= ⇒ = ⇒0 2
2
 parábola no plano YZ com vértice na origem e 
concavidade voltada para cima.
Plano XY, z y
a
x
b
b y a x by ax by ax y a
b
x= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ −( ) +( ) = ⇒ = ±0 0 0 0
2
2
2
2
2 2 2 2 ,
para de retas no plano XY.
Plano z k
y
a
x
b
k
c
= > ⇒ − = > ⇒0 0
2
2
2
2 hipérbole no plano z k= com eixo real 
paralelo ao eixo Y.
Plano z k x
b
y
a
k
c
= < ⇒ − = ⇒0 0
2
2
2
2 hipérbole no plano z k= com eixo real 
paralelo ao eixo X.
36
37
Hiperboloide de uma folha
A equação 
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2 1+ − = é um tipo de forma canônica do hiperboloide de 
uma folha ao longo do eixo Z, conforme indica a figura seguinte.
z
x
y
0
 Observe que os traços dessa quádrica com os planos coordenados são:
Plano XY: z x
a
y
b
= ⇒ + = ⇒0 1
2
2
2
2 elipse no plano XY de centro na origem e eixos 
sobre os eixos coordenados.
Plano XZ: y x
a
z
c
= ⇒ − = ⇒0 1
2
2
2
2 hipérbole no plano XZ com centro na origem, 
eixo real sobre o eixo X e eixo imaginário sobre o eixo Z.
Plano YZ: ⇒ = ⇒ − = ⇒x y
b
z
c
0 1
2
2
2
2 � hipérbole no plano YZ com centro na origem, 
eixo real sobre o eixo Y e eixo imaginário sobre o eixo Z.
O traço no plano z k x
a
y
b
k
c
= ⇒ + = + ⇒
2
2
2
2
2
21 � elipse no plano z k= Quanto maior 
o valor absoluto de k, a elipse aumenta ao se afastar do plano XY.
Observação
O hiperboloide de uma folha tem dois dos coeficientes positivos e um 
coeficiente negativo.
 
37
UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Hiperboloide de duas folhas
A equação − + − =
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2 1 é um tipo de forma canônica do hiperboloide de 
duas folhas ao longo do eixo Y, conforme indica a figura seguinte. 
x
z
y0
Observe que os traços dessa quádrica com os planos coordenados são:
Plano XY: z xa
y
b
= ⇒ − + = ⇒0 1
2
2
2
2 hipérbole no plano XY de centro na origem 
e eixo real sobre o eixo Y.
Plano XZ: y xa
z
c
= ⇒ − − = ⇒0 1
2
2
2
2 conjunto vazio, a quádrica não intercepta o 
plano XZ.
Plano YZ: ⇒ = ⇒ − = ⇒x yb
z
c
0 1
2
2
2
2 � hipérbole no plano YZ com centro na origem 
com eixo real sobre o eixo Y e eixo imaginário sobre o eixo Z.
O traço no plano z k
x
a
y
b
k
c
= ⇒ − + = + ⇒
2
2
2
2
2
21 hipérbole no plano z k= . 
Quanto maior o valor absoluto de k, mais a hipérbole se afasta do plano XY. 
O traço no plano x k
y
b
z
c
k
a
= ⇒ − = + ⇒
2
2
2
2
2
21 hipérbole no plano x k= . Quanto 
maior o valor absoluto de k, mais a hipérbole se afasta do plano XZ.
O traço no plano y k b
x
a
z
c
k
b
= > ⇒ + = − > ⇒
2
2
2
2
2
2 1 0 elipse no plano y k= com 
eixos paralelos aos eixos X e Z.
Observação
O hiperboloide de duas folhas tem dois dos coeficientes negativos e um 
coeficiente positivo. 
38
39
Superfície cônica
Uma superfície cônica é gerada por uma reta que se move apoiada numa curva 
plana qualquer e passando sempre por um ponto dado não situado no plano desta 
curva. A reta é denominada geratriz; a curva plana é a diretriz e o ponto fixo dado 
é o vértice da superfície cônica.
Considere o caso particular da superfície cônica cuja diretriz é uma elipse com 
vértice na origem do sistema e com eixo sendo um dos eixos coordenados, digamos, 
que seja o eixo Z, conforme indica a figura.
x
y
z
0
Nessas condições, a equação da superfície cônica é: 
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2 0+ − = . 
Observe que os traços desta superfície são:
Plano XY: z x
a
y
b
x y V= ⇒ + = ⇒ = = ⇒ = ( )0 0 0 0 0 0
2
2
2
2 , , o vértice da superfície 
cônica.
Plano XZ: y x
a
z
c
z c
a
x= ⇒ − = ⇒ = ± ⇒0 0
2
2
2
2 par de retas no plano YZ passando 
pela origem.
Plano YZ: x y
b
z
c
z b
c
y= ⇒ − = ⇒ = ± ⇒0 0
2
2
2
2 par de retas no plano YZ passando 
pela origem.
O traço no plano z k x
a
y
b
k
c
= ⇒ + = ⇒
2
2
2
2
2
2 � elipse no plano z k= . e eixos 
paralelos aos eixos coordenados X e Y.
39
UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Observe que os traços no plano x k= ou no plano y k= geram hipérboles 
nesses respectivos planos, com eixo real paralelo ao eixo Z e eixo imaginário 
paralelo, respectivamente, ao eixo Y ou ao eixo X. 
Superfície cilíndrica
Seja C uma curva plana e s uma reta fixa não contida neste plano. Uma superfície 
cilíndrica é gerada pela reta r paralela à reta s se movendo ao longo da curva C. 
A reta r que se move é denominada geratriz e a curva C a diretriz da superfície 
cilíndrica. 
Confira na figura a seguir:
C
fr
Vamos considerar superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva que se encontra 
em um dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo coordenado 
não pertencente ao plano. 
Exemplo 12
Se a diretriz é a parábola x y z2 8 0= =, , a equação da superfície será x y2 8= , 
que é uma superfície cilíndrica parabólica, como na seguinte figura:
z
x
y
0
40
41
Observe os traços dessa superfície:
No plano XY: z x y== ⇒⇒ ==0 82 , que é a própria curva diretriz.
Já os traços em planos z k x y= ⇒ = ⇒2 8 parábola (cópia da curva original) no 
plano z k= .
No plano XZ: ⇒⇒ == ⇒⇒ == ⇒⇒ == == ⇒⇒y x x y0 0 02 eixo Z. 
O traço no plano y k x k x k= > ⇒ = ⇒ = ± ⇒0 8 82 � par de retas paralelas ao 
eixo Z que interceptam o plano XY nos pontos P k= ( )8 0, , e Q k k= −( )8 0, , .
No plano YZ: x y== ⇒⇒ == ⇒⇒0 0 eixo Z
Os traços em planos x k y k= ⇒ = ⇒
2
8
 retas verticais (paralelas ao eixo Z) que 
interceptam o plano XY no ponto R k k=





, ,
2
8
0 .
Conforme a diretrizseja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a 
superfície cilíndrica será circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica. 
Por exemplo, a equação 
y z2 2
2 4
1+ = representa uma superfície cilíndrica elíptica, 
cuja geratriz é paralela ao eixo X e a curva diretriz é uma elipse no plano YZ com 
centro na origem. 
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Considere o paraboloide hiperbólico z y x= −
2 2
4 1
 representado na figura a seguir:
Fonte: Adaptado de Venturi (2000, p. 180)
Encontre as equações das curvas c c1 2, e c3 . 
41
UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Resolução
Curva c z
y x y x
1
2 2 2 21
2 4 1
1
2 2 1
2
1: = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ hipérbole no plano z = 1
2
 com 
eixo real paralelo ao eixo Y.
Curva c y z x2
22 1: = ⇒ = − ⇒ parábola no plano y = 2 com vértice V = ( )0 2 1, , 
e concavidade voltada para baixo.
Curva c y z x3
20: = ⇒ = − ⇒ parábola no plano XZ ( y = 0), com vértice na 
origem e concavidade voltada para baixo.
Exercício 2
Reduzir a equação 4 8 162 2 2x y z− + = à forma canônica e identificar a superfície.
Resolução
Dividindo toda a equação por 16, temos:
x y z2 2 2
4 16 2
1− + = 
Portanto, a superfície é um hiperboloide de uma folha com centro na origem, 
tendo o eixo como eixo Y. Os traços desse hiperboloide de uma folha são:
No plano XY: z
x y
= ⇒ − = ⇒0
4 16
1
2 2
 hipérbole no plano XY, com centro na 
origem e eixo real como eixo X, eixo imaginário como eixo Y.
No plano XZ: y
x z
= ⇒ + = ⇒0
4 2
1
2 2
� elipse no plano XZ, com centro na origem 
e eixo maior como eixo X, eixo menor como eixo Z.
No plano YZ: x
y z
= ⇒ − + = ⇒0
16 2
1
2 2
 hipérbole no plano YZ, com centro na 
origem e eixo real como eixo Z, eixo imaginário como eixo X.
42
43
Exercício 3
Algumas quádricas são obtidas por revolução de uma cônica. Seja a superfície 
gerada pela revolução da parábola 
z y
x
2 2
0
=
=



 em torno do eixo Y, conforme indica 
a figura a seguir: 
Fonte: Adaptado de Winterle (2000, p. 214)
Encontre a equação e identifique a superfície. 
Resolução
A superfície, por ser gerada pela revolução de uma parábola, será um paraboloide 
de revolução. A parábola geratriz está no plano YZ e será girada em torno do eixo Z. 
Seja um ponto genérico da superfície P x y z= ( ), , e C y= ( )0 0, , o centro da 
circunferência que é o traço da superfície no plano que passa por e é perpendicular 
o eixo Y (eixo de revolução). 
Seja Q y z= ( )0 1, , o ponto de interseção desta circunferência com a parábola. 
Seja ainda o ponto R o pé da perpendicular traçada de P ao plano XY. 
Temos que CP CQ r= = por serem raio da circunferência. Como o triângulo 
CRP . é retângulo em, temos:
CP CR RP x z CQ= + ( ) = + =( )2 2 2 2 
Mas CQ z y= =1 2 , pois pertence à parábola. 
Portanto:
x z y2 2 2+ =
Elevando ao quadrado ambos os membros dessa equação, obtemos a 
equação da superfície: x z y2 2 2+ = .
43
UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
Exercício 4
Considere a elipse no plano YZ de equações 
y
b
z
c
2
2
2
2 1+ = e x = 0 . Ao girarmos 
essa elipse em torno do eixo Y, obtemos o elipsoide de revolução.
Confira as imagens a seguir
 
Fonte: Adaptado de Winterle (2000, p. 215).
Encontre a equação desse elipsoide.
Resolução
Como o giro da elipse é em torno do eixo Y, vemos que o traço do elipsoide de 
revolução no plano XZ é uma circunferência nesse plano, de centro na origem e 
equação x z c2 2 2+ = , que podemos expressar da forma x
c
z
c
2
2
2
2 1+ = . 
Por outro lado, o traço do elipsoide com o plano YZ é a elipse original, 
y
b
z
c
2
2
2
2 1+ = 
e x = 0 , e o traço do elipsoide com o plano XY é a elipse y
b
x
c
2
2
2
2 1+ = e z = 0
Portanto, a equação do elipsoide de revolução é:
x
c
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2 1+ + = .
Exercício 5
Determinar a equação da hipérbole de focos F1 3 0= −( ), e F2 3 0= ( ), , cujo eixo 
real mede 4. Encontre os outros elementos da hipérbole.
Resolução
Vemos que os focos são simétricos em relação à origem do plano cartesiano. 
Portanto, o centro da hipérbole é a origem O=(0,0) e o valor de c = 3 . 
44
45
Como o eixo real mede 4, temos que 2 4 2a a= ⇒ = . Logo, os vértices do eixo 
real são A1 2 0= −( ), e A2 2 0= ( ), . Sabendo que, do retângulo fundamental da 
hipérbole, c a b2 2 2= + , podemos encontrar b c a= − = − =2 2 9 4 5 . 
Dessa forma, a equação dessa hipérbole, com eixo real sobre o eixo X e eixo 
imaginário como eixo Y é do tipo 
x
a
y
b
2
2
2
2 1− = . Portanto: 
x y2 2
4 5
1− = . 
Segue o gráfico dessa hipérbole:
c=3
a=2a=2
b
3 x-3
c=3
B2
B1
A1F1 A2 F2
y
0
Exercício 6
Identifique as seguintes quádricas:
a) x y z x y2 2 2 2 4 4 0+ + − + + = . 
b) x y y z2 2 2 1 0+ − − + = . 
c) 2 3 12 12 2 29 02 2 2x y z x y z+ − − + + + = . 
Resolução 
a) x y z x y2 2 2 2 4 4 0++ ++ −− ++ ++ ==
Vamos completar quadrados e simplificar a equação:
x y z−( ) −  + +( ) −  + + =1 1 2 4 4 0
2 2 2
x y z−( ) + +( ) + − − + =1 2 1 4 4 02 2 2
x y z−( ) + +( ) + =1 2 12 2 2
Que é a equação de uma esfera de centro C = −( )1 2 0, , e raio 1.
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UNIDADE A Hipérbole e as Quádricas
b) x y y z2 2 2 1 0++ −− −− ++ ==
Da mesma forma, vamos completar quadrados e simplificar esta equação:
x y z2 21 1 1 0+ −( ) −  − + =
x y z2 21 0+ −( ) − =
x y z2 21+ −( ) =
Essa quádrica é um paraboloide elíptico de vértice V = ( )0 1 0, , ,� tendo como 
eixo o eixo Z, com abertura para cima. 
O traço no plano XY é o vértice. O traço em qualquer plano z k= > 0 é uma 
circunferência nesse plano de centro C k= ( )0 1, , e raio k . O traço no plano XZ 
( y = 0) é a parábola x z2 1+ = e y = 0 . O traço no plano y =1 é a parábola x z2 = 
e y =1 . 
O traço no plano YZ ( x = 0) é a parábola y z−( ) =1 2 e x = 0 .
 c) 2 3 12 12 2 29 02 2 2x y z x y z++ −− −− ++ ++ ++ == 
Completando quadrados e simplificando a equação, temos:
2 6 3 4 2 29 02 2 2x x y y z z−( ) + +( ) − −( ) + =
2 3 9 3 2 4 1 1 29 02 2 2x y z−( ) −  + +( ) −  − −( ) −  + =
2 3 3 2 1 18 12 1 29 02 2 2x y z−( ) + +( ) − −( ) − − + + =
2 3 3 2 1 02 2 2x y z−( ) + +( ) − −( ) =
2 3 3 2 1 02 2 2x y z−( ) + +( ) − −( ) =
Dividindo tudo por 6, obtemos:
x y z−( )
+
+( )
−
−( )
=
3
3
2
2
1
6
0
2 2 2
 
Essa superfície é um cone de vértice V = −( )3 2 1, , , tendo o eixo paralelo ao 
eixo Z, na reta vertical que passa pelo ponto P = −( )3 2 0, , do plano XY.
Assim, chegamos ao fim desta Unidade, esperando que tenham aproveitado e 
compreendido os conceitos aqui abordados. 
Claramente, em relação às quádricas, demos uma noção geral das principais 
superfícies e exemplificamos bem como identificá-las. 
Esses conhecimentos são muito úteis na percepção de superfícies espaciais.
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