Aula 23

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Integrais de linha
Queremos: integrar uma func¸a˜o ao longo de uma curva.
Como fazer: dividimos a curva em intervalos e calculamos f em
um ponto de cada intervalo.
Existem va´rios tipos de integrais de linhas, e aqui estudaremos
apenas um tipo, aquelas em que a integrac¸a˜o ocorre como respeito
a uma das varia´veis x , y , z , ao longo de uma curva C dada.
Escreveremos∫
C
f (x , y , z)dx = lim
max∆sk→0
n∑
k=1
f (x∗k , y
∗
k , z
∗
k )∆xk
∫
C
f (x , y , z)dy = lim
max∆sk→0
n∑
k=1
f (x∗k , y
∗
k , z
∗
k )∆yk
∫
C
f (x , y , z)dz = lim
max∆sk→0
n∑
k=1
f (x∗k , y
∗
k , z
∗
k )∆zk
Como e´ usual, assumimos que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua ao longo
de C , que e´ uma curva suave.
∫
C
f (x , y , z)dx = lim
max∆sk→0
n∑
k=1
f (x∗k , y
∗
k , z
∗
k )∆xk
Como calcular: encontre equac¸o˜es parame´tricas para C , digamos,
x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b
em que a orientac¸a˜o de C seja dada no sentido de percurso de t
crescente, e expresse o integrando em termos de t. Por exemplo,
como x ′(t) = dxdt , enta˜o dx = x
′(t)dt e da´ı∫
C
f (x , y , z)dx =
∫ b
a
f (x(t), y(t), z(t))x ′(t)dt
e analogamente para as outras integrais.
∫
C
f (x , y , z)dy =
∫ b
a
f (x(t), y(t), z(t))y ′(t)dt
Exemplo. Calcule ∫
C
3xy dy ,
onde C e´ o segmento de reta ligando P = (0, 0) a Q = (1, 2) em
que a) partimos de P e terminamos em Q, b) partimos de Q e
terminamos em P (fac¸a a figura). a) Temos a parametrizac¸a˜o
x = t, y = 2t, 0 ≤ t ≤ 1
=⇒
∫
C
3xy dy =
∫ 1
0
3(t)(2t)(2)dt =
∫ 1
0
12t2 dt = 4t3]10 = 4
∫
C
3xy dy =
∫ 1
0
3(t)(2t)(2)dt =
∫ 1
0
12t2 dt = 4t3]10 = 4
b) Temos a parametrizac¸a˜o
x = 1− t, y = 2− 2t, 0 ≤ t ≤ 1
=⇒
∫
C
3xy dy =
∫ 1
0
3(1− t)(2−2t)(−2)dt =
∫ 1
0
−12(1− t)2 dt
= 4(1− t)3]10 = −4
Note como a troca da orientac¸a˜o da parametrizac¸a˜o trocou o sinal
da resposta.
Mais geralmente, iremos escrever∫
−C
f (x , y)dx = −
∫
C
f (x , y)dx ,
∫
−C
f (x , y)dy = −
∫
C
f (x , y)dy
e analogamente para dimensa˜o 3.
Ainda, escreveremos∫
C
f (x , y)dx + g(x , y)dy =
∫
C
f (x , y)dx +
∫
C
g(x , y)dy
Exemplo. Calcule ∫
C
2xy dx + (x2 + y2) dy
ao longo do arco circular C dado por x = cos(t), y = sin(t),
0 ≤ t ≤ pi/2 (fac¸a a figura). Temos∫
C
2xy dx =
∫ pi/2
0
2(cos(t) sin(t))
[ d
dt
cos(t)
]
dt
= −2
∫ pi/2
0
sin2(t) cos(t)dt = −2
3
sin3(t)
]pi/2
0
= −2
3
x = cos(t), y = sin(t), 0 ≤ t ≤ pi/2∫
C
2xy dx = −2
3∫
C
x2 + y2 dy =
∫ pi/2
0
(cos2(t) + sin2(t))
[ d
dt
sin(t)
]
dt∫ pi/2
0
cos(t)dt = sin(t)]
pi/2
0 = 1
Logo,∫
C
2xy dx+(x2+y2) dy =
∫
C
2xy dx+
∫
C
x2+y2 dy = −2
3
+1 =
1
3
Exerc´ıcio. Calcule ∫
C
(3x2 + y2)dx + 2xy dy
ao longo do mesmo arco circular dado acima.
Integrando campos vetoriais
Queremos integrar campos ao longo de uma curva (veremos
aplicac¸o˜es a seguir). Notac¸o˜es:
dr = dx i + dy j, dr = dx i + dy j + dzk
em R2 e R3, respectivamente. Para uma curva C orientada no
plano e um capo vetorial
F(x , y) = f (x , y)i + g(x , y)j, f , g : R2 → R,
escreveremos∫
C
F·dr =
∫
C
(f (x , y)i+g(x , y)j)·(dx i+dy j) =
∫
C
f (x , y)dx+g(x , y)dy
∫
C
F · dr =
∫
C
f (x , y)dx + g(x , y)dy
Damos a definic¸a˜o ana´loga para R3.
Definic¸a˜o. Se F for um campo vetorial cont´ınuo e C uma curva
lisa orientada, enta˜o a integral de linha de F ao longo de C e´∫
C
F · dr
Portanto, se C e´ parametrizada por
r(t) = x(t)i + y(t)j, a ≤ t ≤ b
enta˜o ∫
C
F · dr =
∫ b
a
F(r(t)) · r′(t)dt
∫
C
F · dr =
∫ b
a
F(r(t)) · r′(t)dt
Exemplo. Calcule
∫
C F · dr, onde F(x , y) = cos(x)i + sin(x)j e
onde C e´ a curva orientada dada.
a) C : r(t) = −pi
2
i + tj, 1 ≤ t ≤ 2
b) C : r(t) = ti + t2j, −1 ≤ t ≤ 2
∫
C
F · dr =
∫ b
a
F(r(t)) · r′(t)dt
F(x , y) = cos(x)i + sin(x)j
a) C : r(t) = −pi
2
i + tj, 1 ≤ t ≤ 2
b) C : r(t) = ti + t2j, −1 ≤ t ≤ 2
a) Temos∫
C
F · dr =
∫ 2
1
F(r(t)) · r′(t)dt =
∫ 2
1
(−j) · jdt =
∫ 2
1
(−1)dt = −1
b) Exerc´ıcio. Resposta: ≈ 5, 83629.
∫
C
F · dr =
∫ b
a
F(r(t)) · r′(t)dt
Observac¸a˜o. Lembre que o trabalho efetuado por uma forc¸a
sobre um objeto ou part´ıcula e´ dado pelo produto da forc¸a pelo
desolcamento. Portanto a integral de linha acima pode ser
interpretada como sendo o trabalho realizado pelo campo sobre
uma part´ıcula que realiza uma trajeto´ria dada pela curva C .
Pergunta: o que acontece quando a curva C na˜o e´ suave?
Exemplo. Calcule ∫
C
x2y dx + x dy
no sentido antihora´rio ao longo do trajeto abaixo.
Ideia: obter uma parametrizac¸a˜o para cada lado, calcular as
integrais associadas, e depois somar.
Podemos parametrizar cada lado como
C1 : r(t) = (1− t)(0, 0) + t(1, 0) = (t, 0), 0 ≤ t ≤ 1
C2 : r(t) = (1− t)(1, 0) + t(1, 2) = (1, 2t), 0 ≤ t ≤ 1
C3 : r(t) = (1− t)(1, 2) + t(0, 0) = (1− t, 2− 2t), 0 ≤ t ≤ 1
∫
C
x2y dx + x dy
C1 : r(t) = (1− t)(0, 0) + t(1, 0) = (t, 0), 0 ≤ t ≤ 1
C2 : r(t) = (1− t)(1, 0) + t(1, 2) = (1, 2t), 0 ≤ t ≤ 1
C3 : r(t) = (1− t)(1, 2) + t(0, 0) = (1− t, 2− 2t), 0 ≤ t ≤ 1
Exerc´ıcio. Calcule a integral. Resposta: 1/2.