FS2120_P3_1s2016

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FS2120 P3 1º Sem./2016 
 
FS 2120 P3 – A 15 / 06 / 2016 
No Turma 
de Teoria: 
Os espaços abaixo são 
reservados para as notas 
NOME: 1) 
ASSINATURA: 2) 
 
Instruções Gerais: Prova sem consulta. Se usar alguma fórmula não dada, mostre de onde ela veio. 
Respostas desacompanhadas de suas resoluções ou resoluções confusas NÃO serão consideradas. 
Respostas SEM justificativas plausíveis, quando solicitadas, NÃO serão consideradas. 
Responda as questões nos locais indicados. NÃO serão consideradas respostas fora desses locais. 
NÃO é permitido o uso de calculadora alfanumérica e nem das que permitem o armazenamento de texto. 
Celulares devem ficar DESLIGADOS e GUARDADOS, na frente da sala. 
As unidades das grandezas DEVEM ser indicadas corretamente EM TODOS os valores calculados. 
Penalização de 0,2 ponto por unidade incorreta ou faltando em qualquer valor calculado. Duração: 80 min 
3) 
4) 
5) 
NOTA 
 
(1) Você está projetando uma máquina de Carnot com 
2,00 mols de CO2 como substância de trabalho; o gás 
pode ser considerado ideal. O gás precisa ter uma 
temperatura máxima de 527 oC. Fornecendo 4200 J de 
calor por ciclo para a máquina térmica, você quer que 
ela realize 2900 J de trabalho líquido por ciclo. Pedem-
se, no S.I.: 
(a) (1,5 ponto). Determine a maior variação da energia cinética de rotação das moléculas do gás durante 1 ciclo. 
 
|𝑄𝑄| = 4200 
𝐽
 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
; |𝑊| = 2900 
𝐽
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
; |𝑄𝐹| = |𝑄𝑄| − |𝑊| → |𝑸𝑭| = 𝟏𝟑𝟎𝟎 
𝑱
𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐
 
 
 
𝑇𝑇
𝑇𝑄
= 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
 → 𝑇𝐹 = 𝑇𝑄 ∙
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
 = (527 + 273) ∙
1300
4200
 → 𝑻𝑭 = 𝟐𝟒𝟕, 𝟔𝟐 𝒌 
 
 
∆𝐸𝐶
𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜
)
𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎
=
𝑓
2
∙ 𝑛 ∙ 𝑅 ∙ ∆𝑇)𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 =
𝟑
2
∙ 2 ∙ 8,314 ∙ (800 − 247,62) = 13.777,46 𝐽 
 
 
∆𝑬𝑪
𝒓𝒐𝒕𝒂çã𝒐
= 𝟏𝟑. 𝟕𝟕𝟕, 𝟓 𝑱 
 
(b) (1,0 ponto). Considere que o calor rejeitado pela máquina térmica é fornecido para a massa de 4,00 kg de gelo em temperatura 
inicial de – 5,00 oC. Quais as massas de água e gelo após a máquina térmica realizar 800 ciclos? 
 
𝐴𝑝ó𝑠 800 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠: |𝑄𝐹| = 1300 
𝐽
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
∙ 800 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 = 1.040.000,0 𝐽 
 
 
𝑄− 5,0℃ → 0,0℃
𝑔𝑒𝑙𝑜 = 𝑚 ∙ 𝑐𝑔𝑒𝑙𝑜 ∙ ∆𝑇𝑔𝑒𝑙𝑜 = 4,00 ∙ 2100 ∙ [0 − (−5,00)] = 42.000,0 𝐽 
 
 
|𝑄𝐹| = 𝑄− 5,0℃ → 0,0℃
𝑔𝑒𝑙𝑜 + 𝑄𝑔𝑒𝑙𝑜 → á𝑔𝑢𝑎
𝑓𝑢𝑠ã𝑜 → 𝑄𝑔𝑒𝑙𝑜 → á𝑔𝑢𝑎
𝑓𝑢𝑠ã𝑜 = |𝑄𝐹| − 𝑄− 5,0℃ → 0,0℃
𝑔𝑒𝑙𝑜 = 𝑚𝑔𝑒𝑙𝑜 → á𝑔𝑢𝑎 ∙ 𝐿𝐹 
 
 
𝑚𝑔𝑒𝑙𝑜 → á𝑔𝑢𝑎 = 
1.040.000,0 − 42.000,0 𝐽
3,34 𝑥 105 
𝐽
𝑘𝑔
= 2,988 𝑘𝑔 
 
 
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠: 𝒎𝒈𝒆𝒍𝒐 → á𝒈𝒖𝒂 = 𝟐, 𝟗𝟖𝟖 𝒌𝒈 𝑒 𝒎𝒈𝒆𝒍𝒐 = 𝟏, 𝟎𝟏𝟐 𝒌𝒈 
 
Nº 
 Nº sequencial 
𝑄 = ± 𝑚 ∙ 𝐿; 𝑄 = 𝑚 ∙ 𝑐 ∙ ∆𝑇; 𝑝 𝑉 = 𝑛 𝑅 𝑇; ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑛 𝐶𝑉 ∆𝑇; 𝐸𝑐 =
𝑓
2
𝑛 𝑅 𝑇; 
 
|𝑄𝑄| = |𝑄𝐹| + |𝑊|; 𝑄𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 𝑊𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜; 𝜀 = 
|𝑊|
|𝑄𝑄|
= 1 − 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
; 𝐾 = 
|𝑄𝐹|
|𝑊|
= 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|−|𝑄𝐹|
; 
 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
= 
𝑇𝐹
𝑇𝑄
; 𝐿𝑓𝑢𝑠ã𝑜 = 3,34 𝑥 10
5 𝐽
𝑘𝑔
 ; 1 𝑎𝑡𝑚 = 1,01 𝑥 105 𝑃𝑎 
 
 𝑅 = 0,0821 
𝑎𝑡𝑚 ∙ 𝐿
𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐾
; 𝑅 = 8,314 
𝐽
𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐾
; 𝑐á𝑔𝑢𝑎 = 4190
𝐽
𝑘𝑔. 𝐾
 ; 𝑐𝑔𝑒𝑙𝑜 = 2100
𝐽
𝑘𝑔. 𝐾
 
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2) Suponha que um fio fino, de um material que tem 
coeficiente de dilatação linear de 9,80∙ 10−5 𝐾−1, é suspenso 
na vertical e oscile formando a onda estacionária mostrada 
na figura ao lado. O fio é tracionado pela massa 𝑚 = 1,50 𝑘𝑔 
e tem comprimento 𝐿𝑜 = 1,80 𝑚 quando a temperatura é 
10,0 ℃. Nesta temperatura, o ponto 𝒂 mostrado ao lado, 
que se encontra na metade da distância entre um nó e um 
ventre (o ventre é o ponto 𝒃), oscila com amplitude de 
0,350 𝑐𝑚. A massa do fio é 0,192 𝑔. Considere que a 
extremidade superior do fio tem coordenada 𝑥 = 0 e que o sentido positivo do eixo 𝑥 é o indicado na figura. Pedem-se, no S.I.: 
 
(a) (1,0 ponto). Para a temperatura 10,0 ℃, determine a amplitude de oscilação do ponto 𝒃 (ventre) mostrado na figura acima. 
 
 
𝑦′(𝑥, 𝑡) = 2𝑦𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑘 ∙ 𝑥) cos(𝜔 ∙ 𝑡) → 𝑦
′
𝑚𝑎𝑥
= 2𝑦𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑘 ∙ 𝑥) 
 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝒂 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎: 𝑦′𝑚𝑎𝑥 = 0,35 𝑐𝑚 𝑒 𝑥 =

8
 
 
 
0,430 𝑐𝑚 = 2𝑦𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋

 ∙

8
) = 2𝑦𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ( 
𝜋
4
 ) 
 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝒃 (𝑣𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒): 2𝑦𝑚 =
0,350
𝑠𝑒𝑛 ( 
𝜋
4 )
 𝑐𝑚 → 𝟐𝒚𝒎 = 𝟎, 𝟒𝟗𝟓 𝒙 𝟏𝟎
−𝟐 𝒎 
 
 
(b) (1,5 ponto). Supondo que a temperatura aumente para 150,0 ℃, de quanto deve variar a frequência para que o fio continue a 
oscilar no harmônico mostrado na figura acima? ATENÇÃO: Faça as contas com 6 casas decimais e dê a resposta final com 2 casas 
decimais caso contrário, O ITEM SERÁ CONSIDERADO INCORRETO. 
 
 
𝜇 = 
𝑚𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎
𝐿
; 𝐹𝑡𝑟𝑎çã𝑜 = 𝑃 = 𝑚𝑠𝑢𝑠𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎 ∙ 𝑔 ⇒ 𝑓 = 
𝑛
2 ∙ 𝐿
√
𝑚𝑠𝑢𝑠𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎 ∙ 𝑔 ∙ 𝐿
𝑚𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎
 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐿 = 𝐿𝑜(1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) 
 
 
 
 𝟏𝟎 ℃ ∶ 𝑓10 ℃ = 
3
2∙1,80
 √
1,50∙10∙1,80
0,192 𝑥 10−3
= 312,500000 𝐻𝑧 
 
 
 
𝟏𝟓𝟎 ℃ ∶ 𝐿150 ℃ = 𝐿10 ℃ ∙ (1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) = 1,80 ∙ [1 + 9,80 𝑥 10
−5 ∙ (150,0 − 10,00)] = 1,824696 𝑚 
 
 
 
 𝑓150 ℃ = 
3
2∙1,824696
 √
1,50∙10∙1,824696
0,192 𝑥 10−3
= 310,378060 𝐻𝑧 
 
 
 
∆𝑓 = 𝑓150 ℃ − 𝑓10 ℃ = 310,378060 − 312,500000 → ∆𝒇 = − 𝟐, 𝟏𝟐 𝑯𝒛 
 
 
 
 
𝑘 = 
2∙𝜋

; 𝐿 = 𝑛 ∙

2
; 𝜔 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓 = 
2∙𝜋
𝑇
; 𝑓 = 
𝑛
2 𝐿
 √
𝐹𝑇
𝜇
 
 
𝑦′(𝑥, 𝑡) = 2 𝑦𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 ∙ 𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔 ∙ 𝑡) ; 𝑣𝑦 = 
𝜕𝑦
𝜕𝑡
; 𝑣 = 
∆𝑥
∆𝑡
 
 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 ∙ 𝑥 ± 𝜔 ∙ 𝑡) ; 𝑣 =  ∙ 𝑓 = 
𝜔
𝑘
= √ 
𝐹𝑇
𝜇
 
 
∆𝐿 = 𝐿𝑜 ∙ 𝛼 ∙ ∆𝑇; 𝛼 = 
𝛾
2
= 
𝛽
3
; 𝑔 = 10 𝑚 𝑠2⁄ 
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3) Em uma região onde existe um amortecimento caracterizado pela 
constante de amortecimento de 5,85 [𝑆. 𝐼. ], a massa 𝒎 oscila presa a uma 
mola ideal de constante elástica 54,5 [𝑆. 𝐼. ]. Sabe-se que, nessas 
condições, o período do movimento é igual a (2,5. 𝜋) s e que a amplitude 
em 𝑡 = 0 𝑠 é de 60,0 𝑐𝑚. Caso necessário, considere o ângulo inicial de 
fase como sendo igual a zero. Pedem-se, em unidades do S.I.: 
 
 
(a) (1,0 ponto). Determine os dois possíveis valores da massa 𝒎 
que está oscilando. 
 
 
𝑘 = 54,5 
𝑁
𝑚
; 𝑏 = 5,85 
𝑘𝑔
𝑠
; 𝑇𝑎 = 2,5 𝜋 𝑠 
 
 
𝜔′ =
2 𝜋
𝑇𝑎
=
2 𝜋
2,50 𝜋
= 0,800 𝑠 
 
 
𝜔′2 = 𝜔2 − 𝛾2 
 
 
𝜔′2 =
𝑘
𝑚
− (
𝑏
2 𝑚
)
2
=
𝑘
𝑚
− 
𝑏2
4 𝑚2
= 
4 𝑘 𝑚 − 𝑏2
4 𝑚2
 
 
 
4 𝜔′2 ∙ 𝑚2 − 4 𝑘 ∙ 𝑚 + 𝑏2 = 0 
 
 
∆ = (4 𝑘)2 − 4 ∙ (4 𝜔′2) ∙ 𝑏2 
 
 
∆ = (4 ∙ 54,5)2 − 4 ∙ (4 ∙ 0,8002) ∙ 5,852 
 
 
∆ = 47.173,5616 (
𝑘𝑔
𝑠
)
2
 
 
 
 𝑚1 = 
− (−4 𝑘) + √ ∆ 
2∙(4 𝜔′
2
)
= 
(4 ∙ 54,5) + √ 47.173,5616 
2∙(4 ∙ 0,8002)
 
 
 
 𝑚1 = 
218,0 + 217,194755
5,12
 = 
435,194755
5,12
 
 
 
 𝑚1 = 84,998976 → 𝒎𝟏 = 𝟖𝟓, 𝟎 𝒌𝒈 
 
 
 
 𝑚2 = 
− (−4 𝑘) − √ ∆ 
2∙(4 𝜔′2)
= 
(4 ∙ 54,5) − √ 47.173,5616 
2∙(4 0,8002)
 
 
 
 𝑚2 = 
218,0 − 217,194755
5,12
 = 
435,194755
5,12
 
 
 
 𝑚2 = 
0,8052455,12
= 0,157274 → 𝒎𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟕 𝒌𝒈 
 
 
 
(b) (1,0 ponto). Considerando o menor valor da massa obtido no 
item anterior, determine a força restauradora exercida pela mola 
em t = 0,150 s. 
 
 𝛾 = 
𝑏
2 𝑚
=
5,85
2∙0,157
= 18,631 𝑠−1 
 
 
 
 𝑥𝑎(𝑡) = 𝑥𝑚 ∙ 𝑒
−𝛾∙𝑡 ∙ cos(𝜔′ ∙ 𝑡) 
 
 
𝑥𝑎(𝑡) = 0,600 ∙ 𝑒
−18,631∙𝑡 cos(0,800 ∙ 𝑡) [𝑆. 𝐼] 
 
 
 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0,150 𝑠: 
 
 
𝑥𝑎(0,150) = 0,600 ∙ 𝑒
−18,631∙0,150 cos(0,800 ∙ 0,150) 
 
𝑥𝑎(0,150) = 0,600 ∙ 𝑒
−2,7946 cos(0,120) 
 
𝑥𝑎(0,150) = 0,600 ∙ 0,061139 ∙ 0,99281 
 
𝑥𝑎(0,200) = 0,036419 → 𝒙𝒂(𝟎, 𝟐𝟎𝟎) = 𝟎, 𝟎𝟑𝟔𝟒 𝒎 
 
 
 
 𝐹 = − 𝑘 ∙ 𝑥 
 
𝐹 = − 54,5 ∙ 0,0364 = − 1,9838 𝑁 
 
 
𝑭 = − 𝟏, 𝟗𝟖 𝑵 
 
(c) (0,5 ponto). Considerando ainda a massa doo item anterior, 
suponha que a força 𝐹𝑒(𝑡) = 25,0 ∙ cos(4,00 ∙ 𝜋 ∙ 𝑡) [𝑆. 𝐼. ] 
comece a atuar sobre ela. Determine a amplitude de oscilação do 
sistema massa-mola após atingido o estado estacionário. 
 
𝑥𝑚
′ = 
𝐹𝑜
√𝑚2 ∙ (𝜔2 − 𝜔𝑒2)2 + 𝑏2 ∙ 𝜔𝑒2
 
 
𝑥𝑚
′ = 
25,0
√0,1572 ∙ [
54,5
0,157 −
(4,00 𝜋)2]
2
+ 5,852 ∙ (4,00 𝜋)2
 
 
𝑥𝑚
′ = 
25,0
√0,1572 ∙ [
54,5
0,157 −
(4,00 𝜋)2]
2
+ 5,852 ∙ (4,00 𝜋)2
 
 
 
𝑥𝑚
′ = 0,315302 𝑚 → 𝒙𝒎
′ = 𝟎, 𝟑𝟏𝟓 𝒎 
 
 
 
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑚 ∙ cos (𝜔 ∙ 𝑡 + ); 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑚 ∙ 𝑒
−γ∙𝑡 ∙ cos(𝜔′ ∙ 𝑡 + ) ; 
 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 = 2 𝜋 𝑓 = 
2 𝜋
𝑇
; 𝑥𝑚
′ =
𝐹𝑜
√𝑚2(𝜔2 − 𝜔𝑒2)
2
+ 𝑏2. 𝜔𝑒2
 
 
𝜔′ = √ω2 − γ2 ; γ = 
𝑏
2 ∙ 𝑚
 ; 𝑇𝑎 = 
2𝜋
𝜔′
=
1
𝑓𝑎
 
 
𝐹 = −𝑘 ∙ 𝑥; 𝐹𝑎 = − 𝑏 𝑣; 𝐹𝑒 = 𝐹𝑜 ∙ cos (𝜔𝑒 ∙ 𝑡 + ) 
FS2120 P3 1º Sem./2016 
 
 
 
(4) 2,00 mols de um gás ideal diatômico inicialmente a 300 K realizam 
o seguinte ciclo: o gás é (1) aquecido a volume constante até 900 K, 
(2) liberado para se expandir isotermicamente até a pressão inicial e 
(3) contraído à pressão constante até o estado inicial. Pedem-se, no 
S.I.: 
 
 
 
(a) (0,5 ponto). Faça um diagrama “p – V” representando esses 
processos. Identifique corretamente os eixos e indique 
claramente o sentido dos processos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑈𝑠𝑜𝑢 − 𝑠𝑒: 𝒑 ∙ 𝑽 = 𝒏 ∙ 𝑹 ∙ 𝑻 𝑒 𝑇𝑏 = 𝑇𝑐 = 3 ∙ 𝑇𝑎 
 
(b) (1,0 ponto). Calcule o calor absorvido pelo gás no ciclo. 
 
 
Ciclo horário  Máquina térmica 
 
 
𝑸𝑸 = 𝑸𝒂𝒃 + 𝑸𝒃𝒄: 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑟𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 
 
 
 
 𝑄𝑎𝑏 = 𝑛 ∙ 𝐶𝑉 ∙ ∆𝑇 
 
 𝑄𝑎𝑏 = 
5
2
 𝑛 ∙ 𝑅 ∙ ∆𝑇 
 
 𝑄𝑎𝑏 =
5
2
 ∙ 2,00 ∙ 8,314 ∙ (900 − 300) = 𝟐𝟒. 𝟗𝟒𝟐, 𝟎 𝑱 
 
 
 
 𝑄𝑏𝑐 = 𝑊𝑏𝑐 = 𝑛 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇 ∙ ln (
𝑉𝑐
𝑉𝑏
) 
 
 𝑄𝑏𝑐 = 2,00 ∙ 8,314 ∙ 900 ∙ ln(3) = 𝟏𝟔. 𝟒𝟒𝟏 𝑱 
 
 
 
 𝑄𝑄 = 24.942,0 + 16.441,0 
 
 
𝑸𝑸 = 𝟒𝟏. 𝟑𝟖𝟑, 𝟎 𝑱 
 
 
 
(c) (1,0 ponto). Se o ciclo representar uma máquina térmica, 
calcule sua eficiência térmica. Se o ciclo representar um 
refrigerador, calcule seu coeficiente de desempenho (é para 
calcular apenas 1 deles!). 
 
 
 
𝑸𝑭 = 𝑸𝒄𝒂: 𝑅𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 
 
 
 𝑄𝐹 = 𝑄𝑐𝑎 = 𝑛 ∙ 𝐶𝑃 ∙ ∆𝑇 
 
 𝑄𝐹 = 
7
2
 𝑛 ∙ 𝑅 ∙ ∆𝑇 
 
 𝑄𝐹 =
7
2
 ∙ 2,00 ∙ 8,314 ∙ (900 − 300) = 𝟑𝟒. 𝟗𝟏𝟖, 𝟖 𝑱 
 
 
 
 𝜀 = 1 − 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
= 1 −
34.918,8
41.383,0
= 0,1562 
 
 
𝜺 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟔 = 𝟏𝟓, 𝟔 % 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑝 𝑉 = 𝑛 𝑅 𝑇; 𝑄 = 𝑊 + ∆𝐸𝑖𝑛𝑡; ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑛 𝐶𝑉 ∆𝑇; 𝐸𝑐 =
𝑓
2
𝑛 𝑅 𝑇 
 
𝑄 = 𝑛 𝐶𝑃 ∆𝑇; 𝐶𝑉 =
𝑓
2
 𝑅; 𝐶𝑃 = 𝐶𝑉 + 𝑅; 𝛾 = 𝐶𝑃/𝐶𝑉 
 
𝑊 = − ∆𝐸𝑖𝑛𝑡; 𝑊 = 𝑛 𝑅 𝑇 ln (
𝑉𝑓
𝑉𝑖
) ; 𝑊 = 𝑝 ∙ ∆𝑉; 𝑊 = ∫ 𝑝 ∙ 𝑑𝑉
𝑉𝑓
𝑉𝑖
 
 
|𝑄𝑄| = |𝑄𝐹| + |𝑊|; 𝑄𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 𝑊𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜; 𝑃 = 
|𝑊|
∆𝑡
; 
 
𝜀 = 
|𝑊|
|𝑄𝑄|
= 1 − 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
; 𝐾 = 
|𝑄𝐹|
|𝑊|
= 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|−|𝑄𝐹|
; 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
= 
𝑇𝐹
𝑇𝑄
 
 
1 𝑎𝑡𝑚 = 1,01 𝑥 105 𝑃𝑎; 𝑅 = 8,314 
𝐽
𝑚𝑜𝑙∙𝐾
; 𝑅 = 0,0821 
𝑎𝑡𝑚∙𝐿
𝑚𝑜𝑙∙𝐾
 
FS2120 P3 1º Sem./2016 
 
FS 2120 P3 – B 15 / 06 / 2016 
No Turma 
de Teoria: 
Os espaços abaixo são 
reservados para as notas 
NOME: 1) 
ASSINATURA: 2) 
 
Instruções Gerais: Prova sem consulta. Se usar alguma fórmula não dada, mostre de onde ela veio. 
Respostas desacompanhadas de suas resoluções ou resoluções confusas NÃO serão consideradas. 
Respostas SEM justificativas plausíveis, quando solicitadas, NÃO serão consideradas. 
Responda as questões nos locais indicados. NÃO serão consideradas respostas fora desses locais. 
NÃO é permitido o uso de calculadora alfanumérica e nem das que permitem o armazenamento de texto. 
Celulares devem ficar DESLIGADOS e GUARDADOS, na frente da sala. 
As unidades das grandezas DEVEM ser indicadas corretamente EM TODOS os valores calculados. 
Penalização de 0,2 ponto por unidade incorreta ou faltando em qualquer valor calculado. Duração: 80 min 
3) 
4) 
5) 
NOTA 
 
(1) Você está projetando uma máquina de Carnot com 
3,00 mols de CO2 como substância de trabalho; o gás 
pode ser considerado ideal. O gás precisa ter uma 
temperatura máxima de 427 oC. Fornecendo 3500 J de 
calor por ciclo para a máquina térmica, você quer que 
ela realize 2400 J de trabalho líquido por ciclo. Pedem-
se, no S.I.: 
(a) (1,5 ponto). Determine a maior variação da energia cinética de rotação das moléculas do gás durante 1 ciclo. 
 
|𝑄𝑄| = 3500 
𝐽
 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
; |𝑊| = 2400 
𝐽
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
; |𝑄𝐹| = |𝑄𝑄| − |𝑊| → |𝑸𝑭| = 𝟏𝟏𝟎𝟎 
𝑱
𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐
 
 
 
𝑇𝑇
𝑇𝑄
= 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
 → 𝑇𝐹 = 𝑇𝑄 ∙
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
 = (427 + 273) ∙
1100
3500
 → 𝑻𝑭 = 𝟐𝟐𝟎, 𝟎𝟎 𝒌 
 
 
∆𝐸𝐶
𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜
)
𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎
=
𝑓
2
∙ 𝑛 ∙ 𝑅 ∙ ∆𝑇)𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 =
𝟑
2
∙ 3 ∙ 8,314 ∙ (700 − 220) = 17.958,24 𝐽 
 
 
∆𝑬𝑪
𝒓𝒐𝒕𝒂çã𝒐
= 𝟏𝟕. 𝟗𝟓𝟖, 𝟐 𝑱 
 
(b) (1,0 ponto). Considere que o calor rejeitado pela máquina térmica é fornecido para a massa de 6,00 kg de gelo em temperatura 
inicial de – 5,00 oC. Quais as massas de água e gelo após a máquina térmica realizar 900 ciclos? 
 
𝐴𝑝ó𝑠 900 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠: |𝑄𝐹| = 1100 
𝐽
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
∙ 900 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 = 990.000,0 𝐽 
 
 
𝑄− 5,0℃ → 0,0℃
𝑔𝑒𝑙𝑜 = 𝑚 ∙ 𝑐𝑔𝑒𝑙𝑜 ∙ ∆𝑇𝑔𝑒𝑙𝑜 = 6,00 ∙ 2100 ∙ [0 − (−5,00)] = 63.000,0 𝐽 
 
 
|𝑄𝐹| = 𝑄− 5,0℃ → 0,0℃
𝑔𝑒𝑙𝑜 + 𝑄𝑔𝑒𝑙𝑜 → á𝑔𝑢𝑎
𝑓𝑢𝑠ã𝑜 → 𝑄𝑔𝑒𝑙𝑜 → á𝑔𝑢𝑎
𝑓𝑢𝑠ã𝑜 = |𝑄𝐹| − 𝑄− 5,0℃ → 0,0℃
𝑔𝑒𝑙𝑜 = 𝑚𝑔𝑒𝑙𝑜 → á𝑔𝑢𝑎 ∙ 𝐿𝐹 
 
 
𝑚𝑔𝑒𝑙𝑜 → á𝑔𝑢𝑎 = 
990.000,0 − 63.000,0 𝐽
3,34 𝑥 105 
𝐽
𝑘𝑔
= 2,77545 𝑘𝑔 
 
 
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠: 𝒎𝒈𝒆𝒍𝒐 → á𝒈𝒖𝒂 = 𝟐, 𝟕𝟓𝟓 𝒌𝒈 𝑒 𝒎𝒈𝒆𝒍𝒐 = 𝟑, 𝟐𝟒𝟓 𝒌𝒈 
 
Nº 
 Nº sequencial 
𝑄 = ± 𝑚 ∙ 𝐿; 𝑄 = 𝑚 ∙ 𝑐 ∙ ∆𝑇; 𝑝 𝑉 = 𝑛 𝑅 𝑇; ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑛 𝐶𝑉 ∆𝑇; 𝐸𝑐 =
𝑓
2
𝑛 𝑅 𝑇; 
 
|𝑄𝑄| = |𝑄𝐹| + |𝑊|; 𝑄𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 𝑊𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜; 𝜀 = 
|𝑊|
|𝑄𝑄|
= 1 − 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
; 𝐾 = 
|𝑄𝐹|
|𝑊|
= 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|−|𝑄𝐹|
; 
 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
= 
𝑇𝐹
𝑇𝑄
; 𝐿𝑓𝑢𝑠ã𝑜 = 3,34 𝑥 10
5 𝐽
𝑘𝑔
 ; 1 𝑎𝑡𝑚 = 1,01 𝑥 105 𝑃𝑎 
 
 𝑅 = 0,0821 
𝑎𝑡𝑚 ∙ 𝐿
𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐾
; 𝑅 = 8,314 
𝐽
𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐾
; 𝑐á𝑔𝑢𝑎 = 4190
𝐽
𝑘𝑔. 𝐾
 ; 𝑐𝑔𝑒𝑙𝑜 = 2100
𝐽
𝑘𝑔. 𝐾
 
FS2120 P3 1º Sem./2016 
 
2) Suponha que um fio fino, de um materialque tem coeficiente de dilatação linear de 9,20∙ 10−5 𝐾−1, é suspenso na vertical e oscile 
formando a onda estacionária mostrada na figura ao lado. O 
fio é tracionado pela massa 𝑚 = 1,50 𝑘𝑔 e tem 
comprimento 𝐿𝑜 = 1,50 𝑚 quando a temperatura é 10,0 ℃. 
Nesta temperatura, o ponto 𝒂 mostrado ao lado, que se 
encontra na metade da distância entre um nó e um ventre (o 
ventre é o ponto 𝒃), oscila com amplitude de 0,450 𝑐𝑚. A 
massa do fio é 0,182 𝑔. Considere que a extremidade 
superior do fio tem coordenada 𝑥 = 0 e que o sentido 
positivo do eixo 𝑥 é o indicado na figura. Pedem-se, no S.I.: 
 
(a) (1,0 ponto). Para a temperatura 10,0 ℃, determine a amplitude de oscilação do ponto 𝒃 (ventre) mostrado na figura acima. 
 
 
𝑦′(𝑥, 𝑡) = 2𝑦𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑘 ∙ 𝑥) cos(𝜔 ∙ 𝑡) → 𝑦
′
𝑚𝑎𝑥
= 2𝑦𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑘 ∙ 𝑥) 
 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝒂 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎: 𝑦′𝑚𝑎𝑥 = 0,45 𝑐𝑚 𝑒 𝑥 =

8
 
 
 
0,450 𝑐𝑚 = 2𝑦𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋

 ∙

8
) = 2𝑦𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ( 
𝜋
4
 ) 
 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝒃 (𝑣𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒): 2𝑦𝑚 =
0,450
𝑠𝑒𝑛 ( 
𝜋
4 )
 𝑐𝑚 → 𝟐𝒚𝒎 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟔 𝒙 𝟏𝟎
−𝟐 𝒎 
 
 
(b) (1,5 ponto). Supondo que a temperatura aumente para 160,0 ℃, de quanto deve variar a frequência para que o fio continue a 
oscilar no harmônico mostrado na figura acima? ATENÇÃO: Faça as contas com 6 casas decimais e dê a resposta final com 2 casas 
decimais caso contrário, O ITEM SERÁ CONSIDERADO INCORRETO. 
 
 
𝜇 = 
𝑚𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎
𝐿
; 𝐹𝑡𝑟𝑎çã𝑜 = 𝑃 = 𝑚𝑠𝑢𝑠𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎 ∙ 𝑔 ⇒ 𝑓 = 
𝑛
2 ∙ 𝐿
√
𝑚𝑠𝑢𝑠𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎 ∙ 𝑔 ∙ 𝐿
𝑚𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎
 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐿 = 𝐿𝑜(1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) 
 
 
 
 𝟏𝟎 ℃ ∶ 𝑓10 ℃ = 
3
2∙1,50
 √
1,50∙10∙1,50
0,182 𝑥 10−3
= 351,605423 𝐻𝑧 
 
 
 
𝟏𝟔𝟎 ℃ ∶ 𝐿160 ℃ = 𝐿10 ℃ ∙ (1 + 𝛼 ∙ ∆𝑇) = 1,50 ∙ [1 + 9,20 𝑥 10
−5 ∙ (160,0 − 10,00)] = 1,520700 𝑚 
 
 
 
 𝑓160 ℃ = 
3
2∙1,520700
 √
1,50∙10∙1,520700
0,182 𝑥 10−3
= 349,204170 𝐻𝑧 
 
 
 
∆𝑓 = 𝑓160 ℃ − 𝑓10 ℃ = 349,204170 − 351,605423 → ∆𝒇 = − 𝟐, 𝟒𝟎 𝑯𝒛 
 
 
 
𝑘 = 
2∙𝜋

; 𝐿 = 𝑛 ∙

2
; 𝜔 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓 = 
2∙𝜋
𝑇
; 𝑓 = 
𝑛
2 𝐿
 √
𝐹𝑇
𝜇
 
 
𝑦′(𝑥, 𝑡) = 2 𝑦𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 ∙ 𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔 ∙ 𝑡) ; 𝑣𝑦 = 
𝜕𝑦
𝜕𝑡
; 𝑣 = 
∆𝑥
∆𝑡
 
 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘 ∙ 𝑥 ± 𝜔 ∙ 𝑡) ; 𝑣 =  ∙ 𝑓 = 
𝜔
𝑘
= √ 
𝐹𝑇
𝜇
 
 
∆𝐿 = 𝐿𝑜 ∙ 𝛼 ∙ ∆𝑇; 𝛼 = 
𝛾
2
= 
𝛽
3
; 𝑔 = 10 𝑚 𝑠2⁄ 
FS2120 P3 1º Sem./2016 
 
3) Em uma região onde existe um amortecimento caracterizado pela 
constante de amortecimento de 5,85 [𝑆. 𝐼. ], a massa 𝒎 oscila presa a uma 
mola ideal de constante elástica 54,5 [𝑆. 𝐼. ]. Sabe-se que, nessas 
condições, o período do movimento é igual a (2,5. 𝜋) s e que a amplitude 
em 𝑡 = 0 𝑠 é de 80,0 𝑐𝑚. Caso necessário, considere o ângulo inicial de 
fase como sendo igual a zero. Pedem-se, em unidades do S.I.: 
 
 
(a) (1,0 ponto). Determine os dois possíveis valores da massa 𝒎 
que está oscilando. 
 
 
𝑘 = 54,5 
𝑁
𝑚
; 𝑏 = 5,85 
𝑘𝑔
𝑠
; 𝑇𝑎 = 2,5 𝜋 𝑠 
 
 
𝜔′ =
2 𝜋
𝑇𝑎
=
2 𝜋
2,50 𝜋
= 0,800 𝑠 
 
 
𝜔′2 = 𝜔2 − 𝛾2 
 
 
𝜔′2 =
𝑘
𝑚
− (
𝑏
2 𝑚
)
2
=
𝑘
𝑚
− 
𝑏2
4 𝑚2
= 
4 𝑘 𝑚 − 𝑏2
4 𝑚2
 
 
 
4 𝜔′2 ∙ 𝑚2 − 4 𝑘 ∙ 𝑚 + 𝑏2 = 0 
 
 
∆ = (4 𝑘)2 − 4 ∙ (4 𝜔′2) ∙ 𝑏2 
 
 
∆ = (4 ∙ 54,5)2 − 4 ∙ (4 ∙ 0,8002) ∙ 5,852 
 
 
∆ = 47.173,5616 (
𝑘𝑔
𝑠
)
2
 
 
 
 𝑚1 = 
− (−4 𝑘) + √ ∆ 
2∙(4 𝜔′
2
)
= 
(4 ∙ 54,5) + √ 47.173,5616 
2∙(4 ∙ 0,8002)
 
 
 
 𝑚1 = 
218,0 + 217,194755
5,12
 = 
435,194755
5,12
 
 
 
 𝑚1 = 84,998976 → 𝒎𝟏 = 𝟖𝟓, 𝟎 𝒌𝒈 
 
 
 
 𝑚2 = 
− (−4 𝑘) − √ ∆ 
2∙(4 𝜔′2)
= 
(4 ∙ 54,5) − √ 47.173,5616 
2∙(4 0,8002)
 
 
 
 𝑚2 = 
218,0 − 217,194755
5,12
 = 
435,194755
5,12
 
 
 
 𝑚2 = 
0,805245
5,12
= 0,157274 → 𝒎𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟕 𝒌𝒈 
 
 
 
 
(b) (1,0 ponto). Considerando o menor valor da massa obtido no 
item anterior, determine a força restauradora exercida pela mola 
em t = 0,200 s. 
 
 𝛾 = 
𝑏
2 𝑚
=
5,85
2∙0,157
= 18,631 𝑠−1 
 
 
 
 𝑥𝑎(𝑡) = 𝑥𝑚 ∙ 𝑒
−𝛾∙𝑡 ∙ cos(𝜔′ ∙ 𝑡) 
 
 
𝑥𝑎(𝑡) = 0,800 ∙ 𝑒
−18,631∙𝑡 cos(0,800 ∙ 𝑡) [𝑆. 𝐼] 
 
 
 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0,200 𝑠: 
 
 
𝑥𝑎(0,200) = 0,800 ∙ 𝑒
−18,631∙0,200 cos(0,800 ∙ 0,200) 
 
𝑥𝑎(0,200) = 0,800 ∙ 𝑒
−3,7262 cos(0,160) 
 
𝑥𝑎(0,200) = 0,800 ∙ 0,024084 ∙ 0,98727 
 
𝑥𝑎(0,200) = 0,019021 → 𝒙𝒂(𝟎, 𝟐𝟎𝟎) = 𝟎, 𝟎𝟏𝟗𝟎 𝒎 
 
 
 
 𝐹 = − 𝑘 ∙ 𝑥 
 
𝐹 = − 54,5 ∙ 0,0190 = − 1,0355 𝑁 
 
 
𝑭 = −𝟏, 𝟎𝟒 𝑵 
 
(c) (0,5 ponto). Considerando ainda a massa doo item anterior, 
suponha que a força 𝐹𝑒(𝑡) = 45,0 ∙ cos(2,00 ∙ 𝜋 ∙ 𝑡) [𝑆. 𝐼. ] 
comece a atuar sobre ela. Determine a amplitude de oscilação do 
sistema massa-mola após atingido o estado estacionário. 
 
𝑥𝑚
′ = 
𝐹𝑜
√𝑚2 ∙ (𝜔2 − 𝜔𝑒2)2 + 𝑏2 ∙ 𝜔𝑒2
 
 
𝑥𝑚
′ = 
45,0
√0,1572 ∙ [
54,5
0,157 −
(2,00 𝜋)2]
2
+ 5,852 ∙ (2,00 𝜋)2
 
 
𝑥𝑚
′ = 
45,0
√0,1572 ∙ [
54,5
0,157 −
(2,00 𝜋)2]
2
+ 5,852 ∙ (2,00 𝜋)2
 
 
 
𝑥𝑚
′ = 0,74139 𝑚 → 𝒙𝒎
′ = 𝟎, 𝟕𝟒𝟏 𝒎 
 
 
 
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑚 ∙ cos (𝜔 ∙ 𝑡 + ); 𝑥(𝑡) = 𝑥𝑚 ∙ 𝑒
−γ∙𝑡 ∙ cos(𝜔′ ∙ 𝑡 + ) ; 
 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 = 2 𝜋 𝑓 = 
2 𝜋
𝑇
; 𝑥𝑚
′ =
𝐹𝑜
√𝑚2(𝜔2 − 𝜔𝑒2)
2
+ 𝑏2. 𝜔𝑒2
 
 
𝜔′ = √ω2 − γ2 ; γ = 
𝑏
2 ∙ 𝑚
 ; 𝑇𝑎 = 
2𝜋
𝜔′
=
1
𝑓𝑎
 
 
𝐹 = −𝑘 ∙ 𝑥; 𝐹𝑎 = − 𝑏 𝑣; 𝐹𝑒 = 𝐹𝑜 ∙ cos (𝜔𝑒 ∙ 𝑡 + ) 
FS2120 P3 1º Sem./2016 
 
 
 
(4) 3,00 mols de um gás ideal diatômico inicialmente a 300 K realizam 
o seguinte ciclo: o gás é (1) aquecido a volume constante até 600 K, 
(2) liberado para se expandir isotermicamente até a pressão inicial e 
(3) contraído à pressão constante até o estado inicial. Pedem-se, no 
S.I.: 
 
 
 
(a) (0,5 ponto). Faça um diagrama “p – V” representando esses 
processos. Identifique corretamente os eixos e indique 
claramente o sentido dos processos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑈𝑠𝑜𝑢 − 𝑠𝑒: 𝒑 ∙ 𝑽 = 𝒏 ∙ 𝑹 ∙ 𝑻 𝑒 𝑇𝑏 = 𝑇𝑐 = 2 ∙ 𝑇𝑎 
 
(b) (1,0 ponto). Calcule o calor absorvido pelo gás no ciclo. 
 
 
Ciclo horário  Máquina térmica 
 
 
𝑸𝑸 = 𝑸𝒂𝒃 + 𝑸𝒃𝒄: 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑟𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 
 
 
 
 𝑄𝑎𝑏 = 𝑛 ∙ 𝐶𝑉 ∙ ∆𝑇 
 
 𝑄𝑎𝑏 = 
5
2
 𝑛 ∙ 𝑅 ∙ ∆𝑇 
 
 𝑄𝑎𝑏 =
5
2
 ∙ 3,00 ∙ 8,314 ∙ (600 − 300) = 𝟏𝟖. 𝟕𝟎𝟔, 𝟓 𝑱 
 
 
 
 𝑄𝑏𝑐 = 𝑊𝑏𝑐 = 𝑛 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇 ∙ ln (
𝑉𝑐
𝑉𝑏
) 
 
 𝑄𝑏𝑐 = 3,00 ∙ 8,314 ∙ 600 ∙ ln(2) = 𝟏𝟎. 𝟑𝟕𝟑, 𝟏 𝑱 
 
 
 
 𝑄𝑄 = 18.706,5 + 10.373,1 
 
𝑸𝑸 = 𝟐𝟗. 𝟎𝟕𝟗, 𝟔 𝑱 
 
 
 
 
 
(c) (1,0 ponto). Se o ciclo representar uma máquina térmica, 
calcule sua eficiência térmica. Se o ciclo representar um 
refrigerador, calcule seu coeficiente de desempenho (é para 
calcular apenas 1 deles!). 
 
 
𝑸𝑭 = 𝑸𝒄𝒂: 𝑅𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 
 
 
 𝑄𝐹 = 𝑄𝑐𝑎 = 𝑛 ∙ 𝐶𝑃 ∙ ∆𝑇 
 
 𝑄𝐹 = 
7
2
 𝑛 ∙ 𝑅 ∙ ∆𝑇 
 
 𝑄𝐹 =
7
2
 ∙ 3,00 ∙ 8,314 ∙ (600 − 300) = 𝟐𝟔. 𝟏𝟖𝟗, 𝟏 𝑱 
 
 
 𝜀 = 1 − 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
= 1 −
26.189,129.079,6
= 0,09940 
 
𝜺 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟗𝟒 = 𝟗, 𝟗𝟒 % 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑝 𝑉 = 𝑛 𝑅 𝑇; 𝑄 = 𝑊 + ∆𝐸𝑖𝑛𝑡; ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑛 𝐶𝑉 ∆𝑇; 𝐸𝑐 =
𝑓
2
𝑛 𝑅 𝑇 
 
𝑄 = 𝑛 𝐶𝑃 ∆𝑇; 𝐶𝑉 =
𝑓
2
 𝑅; 𝐶𝑃 = 𝐶𝑉 + 𝑅; 𝛾 = 𝐶𝑃/𝐶𝑉 
 
𝑊 = − ∆𝐸𝑖𝑛𝑡; 𝑊 = 𝑛 𝑅 𝑇 ln (
𝑉𝑓
𝑉𝑖
) ; 𝑊 = 𝑝 ∙ ∆𝑉; 𝑊 = ∫ 𝑝 ∙ 𝑑𝑉
𝑉𝑓
𝑉𝑖
 
 
|𝑄𝑄| = |𝑄𝐹| + |𝑊|; 𝑄𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 𝑊𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜; 𝑃 = 
|𝑊|
∆𝑡
; 
 
𝜀 = 
|𝑊|
|𝑄𝑄|
= 1 − 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
; 𝐾 = 
|𝑄𝐹|
|𝑊|
= 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|−|𝑄𝐹|
; 
|𝑄𝐹|
|𝑄𝑄|
= 
𝑇𝐹
𝑇𝑄
 
 
1 𝑎𝑡𝑚 = 1,01 𝑥 105 𝑃𝑎; 𝑅 = 8,314 
𝐽
𝑚𝑜𝑙∙𝐾
; 𝑅 = 0,0821 
𝑎𝑡𝑚∙𝐿
𝑚𝑜𝑙∙𝐾