Principio da Minima Açao Feynman

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Uma aula especial – transcrita praticamente palavra por palavra1
“Quando eu estava no colégio, o meu professor de física – cujo nome era Bader – 
chamou-me um dia depois da aula e disse: ‘Você parece entediado; quero lhe contar 
algo interessante’. Então ele me disse algo que eu achei absolutamente fascinante e 
continuo achando desde então. Toda vez que este assunto aparece, eu trabalho nele. 
De fato, quando eu comecei a preparar esta aula, percebi que estava fazendo mais 
análises sobre este assunto. Em vez de me preocupar com a aula, eu me envolvi com 
um novo problema. O assunto é este – o princípio da mínima ação.”
“O Sr. Bader me disse o seguinte: suponha que você tenha uma partícula (em um 
campo gravitacional, por exemplo) que está inicialmente em algum ponto e se move 
livremente até algum outro ponto – você a joga e ela vai para cima e para baixo.”
“Ela vai da posição inicial para a posição fi nal em um determinado intervalo de 
tempo. Agora, tente um movimento diferente. Suponha que para ir da posição inicial 
para a fi nal, ela fosse desta maneira
mas chegasse lá após o mesmo tempo. Então ele disse o seguinte: se você calcular a 
energia cinética em cada instante do caminho, subtrair a energia potencial, e integrar 
em relação ao tempo durante o caminho completo, você vai ver que o número obtido é 
maior do que o resultado para o movimento real.”
19
O Princípio da Mínima Ação
1
 Os próximos capítulos não dependem do material desta aula especial – que foi pensada como um 
“entretenimento”.
19–2 Lições de Física
“Em outras palavras, as leis de Newton poderiam, ao invés da forma F = ma, ser 
enunciadas da seguinte maneira: a energia cinética média menos a energia potencial mé-
dia é a menor possível para a trajetória de um objeto movendo-se de um ponto a outro.”
“Deixe-me ilustrar um pouco melhor o que isto signifi ca. Se você olhar para o 
caso de um campo gravitacional, seja x(t) a trajetória da partícula (vamos considerar 
no momento apenas uma dimensão; consideraremos uma trajetória que vai para cima e 
para baixo, e não para os lados), onde x é a altura acima do solo, 1–2 é a energia cinética, 
e mgx é a energia potencial, a todo instante. Agora vamos tomar a energia cinética me-
nos a energia potencial a cada instante ao longo da trajetória, e integrar esta quantidade 
em relação ao tempo, do instante inicial ao instante fi nal. Vamos supor que no instante 
inicial, t1, o movimento começa a uma certa altura e que no instante t2 o movimento 
termina em algum outro ponto.”
“Então, integral é”
“O movimento real é algum tipo de curva – será uma parábola se fi zermos um gráfi co 
de x × t – e dá um determinado valor para a integral. Mas poderíamos imaginar um 
outro movimento que subisse bem alto e fosse para cima e para baixo de alguma ma-
neira peculiar.”
“Podemos calcular a energia cinética menos a energia potencial e integrar nesta 
trajetória… ou em qualquer outra trajetória que quisermos. O milagre aqui é que a 
trajetória verdadeira é aquela para a qual a integral tem o menor valor.”
“Vamos verifi car isto. Primeiro suponha o caso de uma partícula livre, para a qual 
não há energia potencial. A regra diz que, ao ir de um ponto a outro, em um dado in-
tervalo de tempo, a integral da energia cinética é mínima, portanto ela deve se mover 
com uma velocidade constante (sabemos que esta é a resposta correta – um movimento 
uniforme.) Por que isto é assim? Porque se a partícula se movesse de qualquer outra 
maneira, as velocidades seriam às vezes maiores e às vezes menores do que a média. A 
velocidade média é a mesma para cada caso porque a partícula precisa ir de um ponto 
a outro sempre no mesmo intervalo de tempo dado.”
“Como exemplo, pense que você precisa sair de casa e chegar na escola em um 
dado intervalo de tempo com o carro. Você pode fazê-lo de diversas maneira: você 
pode acelerar feito um louco no começo e diminuir a velocidade perto do fi nal, ou você 
pode ir para trás por um tempo e depois ir para a frente, e assim por diante. O fato é que 
a velocidade média deve ser, obviamente, a distância total que você percorreu dividi-
da pelo tempo. Mas se você não for com uma velocidade constante, então em alguns 
momentos você estará indo muito rápido, e em outros muito devagar. Mas, como você 
sabe, a média do quadrado de uma quantidade que varia em torno de um valor médio é 
sempre maior do que o quadrado da média, e deste modo, a integral da energia cinética 
será sempre maior se você oscilar a sua velocidade do que se você for com uma veloci-
dade constante (quando não existem forças). A trajetória correta é desta forma.”
“Agora, um objeto atirado para cima em um campo gravitacional sobe mais rá-
pido a princípio e depois desacelera. Isto acontece porque também temos a energia 
potencial, e precisamos ter, em média, a menor diferença entre a energia cinética e 
a energia potencial. Como a energia potencial aumenta à medida que subimos no 
espaço, teremos a menor diferença se conseguirmos subir o mais rápido possível até 
onde temos uma alta energia potencial. Então podemos subtrair esta energia potencial 
da energia cinética e podemos obter uma média mais baixa. Assim sendo, é melhor 
tomar um caminho que sobe e recebe uma grande quantidade negativa da energia 
potencial.”
“Por outro lado, você não pode ir muito rápido, ou muito longe, porque então 
você teria muita energia cinética envolvida – você tem que ir muito rápido para ir bem 
alto e descer de novo na quantidade fi xa de tempo disponível. Então você não pode 
O Princípio da Mínima Ação 19–3
querer ir muito alto, mas você quer ir um pouco alto. Então acontece que a solução é 
dada por um tipo de equilíbrio entre tentar obter mais energia potencial com a menor 
quantidade de energia cinética extra – tentar obter a menor diferença possível entre a 
energia cinética e a potencial.”
“Foi isto que o meu professor me contou, porque ele era um professor muito bom 
e sabia quando parar de falar. Mas eu não sei quando parar de falar. Por isso em vez 
de deixar este assunto como uma observação interessante, agora eu vou horrorizá-los 
e repugná-los com as complexidades da vida, provando que isto realmente é verdade. 
O tipo de problema matemático que temos é muito difícil e de um tipo novo. Temos 
uma quantidade que é denominada ação, S. Ela é a energia cinética, menos a energia 
potencial, integrada no tempo.”
Lembrem-se de que EC e EP são ambas funções do tempo. Para cada trajetória possí-
vel diferente você obterá um valor diferente para esta ação. Nosso problema matemá-
tico é descobrir para qual curva este valor é mínimo.
“Você vai dizer – ah, mas isto é apenas o cálculo normal de máximos e de míni-
mos. Você só precisa calcular a ação e derivar para encontrar o mínimo.”
“Mas preste atenção. Normalmente temos uma função de uma variável, e temos 
que encontrar o valor desta variável para o qual a função possui um máximo ou um 
mínimo. Por exemplo, temos uma barra que foi aquecida no centro, e o calor se es-
palha. Em cada ponto da barra temos uma temperatura, e queremos encontrar o ponto 
no qual a temperatura é máxima. Mas agora para cada trajetória no espaço temos um 
valor – algo muito diferente – e temos que encontrar a trajetória no espaço para a qual 
aquele valor é mínimo. Este é um ramo completamente diferente da matemática. Não 
é o cálculo ordinário. De fato, trata-se do cálculo variacional.”
“Existem muitos problemas neste tipo de matemática. Por exemplo, o círculo é 
defi nido normalmente como o lugar geométrico dos pontos a uma distância constante 
de um dado ponto, mas podemos defi nir o círculo de uma outra maneira: um círculo é 
a curva de um comprimento dado que limita a maior área. Qualquer outra curva limita 
uma área menor para um dado perímetro do que o círculo. Portanto, se propusermos o 
problema: encontre a curva que limita a maior áreapara um dado perímetro, teremos 
um problema de cálculo variacional – um tipo de cálculo diferente daquele com o qual 
você está acostumado.”
“Então vamos fazer os cálculos para a trajetória de um objeto. Vamos fazer isto 
da seguinte maneira. A idéia é imaginar que existe uma trajetória verdadeira, e que 
qualquer outra curva que desenharmos será uma trajetória falsa, de modo que se calcu-
larmos a ação para a trajetória falsa obteremos um valor maior do que se calcularmos 
a ação para a trajetória verdadeira.”
“Problema: encontrar a trajetória verdadeira. Onde ela está? Uma maneira, é claro, 
é calcular a ação para milhões e milhões de trajetórias e ver em qual a ação é mínima. 
Quando você encontrar a ação mínima, terá encontrado a trajetória verdadeira.
“Esta é uma maneira possível. Mas podemos fazer melhor do que isto. Quando 
uma determinada quantidade possui um mínimo – por exemplo, uma função ordiná-
ria como a temperatura – uma das propriedades do mínimo é que se nos afastarmos 
do mínimo em primeira ordem, o desvio do valor da função em relação ao seu valor 
mínimo será somente de segunda ordem. Em qualquer outro ponto sobre a curva, se 
andarmos uma pequena distância o valor da função também mudará em primeira or-
dem. Mas em um ponto de mínimo, um pequeno movimento não faz diferença, em 
primeira ordem.”
“Vamos usar isto para calcular a trajetória verdadeira. Se tivermos a trajetória 
verdadeira, uma curva ligeiramente diferente não fará nenhuma diferença no cálculo 
da ação, pelo menos na primeira aproximação. Qualquer diferença será apenas na se-
gunda aproximação, se realmente tivermos um mínimo.”
19–4 Lições de Física
“Isto é fácil de provar. Se há uma mudança de primeira ordem, quando eu desvio 
a curva de uma certa maneira, então há uma mudança na ação que é proporcional ao 
desvio. Pode-se presumir que a mudança deixa a ação maior; de outra forma não terí-
amos um mínimo. Mas se esta mudança for proporcional ao desvio, se invertermos o 
sinal do desvio o valor da ação fi cará menor. O resultado seria que a ação iria aumentar 
em um sentido, e diminuir no outro. A única maneira de fazer com que este ponto seja 
realmente um mínimo é se, em primeira aproximação, não houver nenhuma mudança, 
e as mudanças forem então proporcionais ao quadrado dos desvios em relação à traje-
tória verdadeira.”
“Então vamos trabalhar da seguinte maneira: Seja x(t) (sublinhada) a trajetória 
verdadeira – aquela que estamos tentando encontrar. Tomemos uma trajetória teste x(t) 
que difere da trajetória verdadeira por uma pequena quantidade que denominaremos 
η(t) (eta de t).
“A idéia é que se calcularmos a ação S para a trajetória x(t), então a diferença entre 
este valor S e a ação calculada para a trajetória x(t) – vamos chamá-la de S para sim-
plifi car a notação – a diferença entre S e S deve ser zero na aproximação de primeira 
ordem para η pequeno. Pode haver uma diferença em segunda ordem, mas em primeira 
ordem a diferença deve ser igual a zero.”
“E isto deve ser verdade para qualquer η. Bem, não exatamente. O método não sig-
nifi ca nada a não ser que você considere somente trajetórias que começam e terminam 
nos mesmos dois pontos – cada trajetória começa em um certo ponto em t1 e termina em 
um outro ponto determinado em t2, e estes pontos e tempos são mantidos fi xos. Logo, 
os desvios em nosso η devem ser zero nas duas extremidades, η(t1) = 0 e η(t2) = 0. Com 
esta condição, terminamos de especifi car o nosso problema matemático.”
“Se você não conhecesse algum tipo de cálculo, você poderia tentar fazer o mes-
mo tipo de procedimento para encontrar os pontos de mínimo de uma função ordinária 
f(x). Você poderia analisar o que acontece se você tomar a f(x) e adicionar uma peque-
na quantidade h em x, e poderia argumentar que a correção de primeira ordem em h 
para f(x) deveria ser zero em um mínimo. Você substituiria x por x + h e expandiria até 
a primeira ordem em h… assim como estamos fazendo com η.”
“Então, a idéia é substituir x(t) = x(t) + η(t) na fórmula da ação:”
onde V(x) é a energia potencial. A derivada dx/dt é, obviamente, a derivada de x(t) mais 
a derivada de η(t), de modo que eu obtenho a seguinte expressão para a ação:”
“Agora é necessário escrever este resultado mais detalhadamente. Obtenho para 
o termo ao quadrado”
“Mas espere um pouco. Como eu não estou preocupado com ordens superiores, além 
da primeira ordem, vou pegar todos os termos que envolvem η2 e potências mais altas 
de η, e vou colocá-los em uma caixinha chamada ‘segunda ordem e ordens superio-
res’. Neste termo eu só encontrei segunda ordem, mas teremos mais em outros termos. 
Desta maneira, a parte da energia cinética é dada por”
 + (segunda ordem e ordens superiores)
“Agora, precisamos obter o potencial V em x + η. Estou considerando η pequeno, 
então posso escrever V(x) como uma série de Taylor. O resultado é aproximadamente 
O Princípio da Mínima Ação 19–5
V(x); na próxima aproximação a correção é η vezes a taxa de variação de V em relação 
a x, e assim por diante:”
“Eu escrevi V' no lugar da derivada de V em relação a x para escrever menos. O termo 
com η2 e os termos seguintes caem todos na categoria de ‘segunda ordem e ordens 
superiores’ e não precisamos nos preocupar com eles. Juntando todos os termos,”
(segunda ordem e ordens superiores)
“Agora, se olharmos cuidadosamente para este resultado, veremos que os dois primei-
ros termos que escrevi correspondem à ação S que eu teria calculado com a trajetória 
verdadeira x(t). Mas quero me concentrar agora na variação de S – a diferença entre 
S e a ação S que obteríamos para a trajetória correta. Vamos escrever esta diferença 
como δS, a variação em S. Desconsiderando os termos de ‘segunda ordem e ordens 
superiores’, eu tenho que δS é dada por”
“Agora, o problema é o seguinte: Eis aqui uma integral. Eu ainda não sei quem é x, 
mas eu sei que não importa o que seja η, esta integral deve ser igual a zero. Bem, você 
vai pensar que a única maneira de isto acontecer é se o coefi ciente que multiplica η for 
zero. Mas e o primeiro termo com dη/dt? Bem, afi nal, se η pode ser qualquer função, 
a sua derivada também pode ser qualquer função, e você conclui que o coefi ciente de 
dη/dt também deve ser zero. Mas isto não está exatamente certo. Não está exatamente 
certo porque existe uma conexão entre η e sua derivada; elas não são totalmente inde-
pendentes, porque η(t) deve ser zero em t1 e t2.”
“O método para resolver todos os problemas no cálculo variacional usa sempre o 
mesmo princípio geral. Você faz o desvio na quantidade que você quer variar (como fi -
zemos, adicionando η); você procura os termos de primeira ordem; então você sempre 
rearranja os termos de modo a obter uma integral da forma ‘algum tipo de coisa vezes o 
desvio (η)’, mas sem outras derivadas (sem dη/dt). Tudo deve ser sempre rearranjado 
para que o resultado seja ‘alguma coisa’ vezes η. Você vai ver como isto é importante 
daqui a pouco (há algumas fórmulas que dizem como fazer isto em alguns casos sem 
fazer a conta, mas elas não são gerais o sufi ciente para valer a pena nos preocuparmos 
com elas; o melhor jeito é fazer a conta como vou mostrar).”
“Como posso rearranjar o termo em dη/dt para fazer um η aparecer? Posso 
fazer isto integrando por partes. Acontece que todo o truque do cálculo variacional 
consiste em escrever a variação de S e depois integrar por partes, para que as de-
rivadas de η desapareçam. É sempre assim em todos os problemas onde aparecem 
derivadas.”
“Você se lembra do princípio da integração por partes. Se você tem uma função 
qualquer f multiplicada por dη/dt e integrada em relação a t, você escreve a derivada 
de ηf:”
“Você quer calcular a integral do último termo, logo”
19–6 Lições de Física
“Em nossa fórmula para δS, a função f é m vezes dx/dt; portanto, eu obtenho a 
fórmula seguintepara δS.”
“O primeiro termo deve ser calculado nos dois limites t1 e t2. Depois temos a integral 
do resto da integração por partes. E o último termo simplesmente continua lá.”
“Agora vem uma passagem que sempre acontece – a parte integrada desaparece. 
(De fato, se a parte integrada não desaparecer, você muda o princípio, acrescentando 
condições para ter certeza de que ela vai desaparecer!) Já vimos que η deve ser zero 
nas duas extremidades do caminho, porque partimos do princípio de que a ação deve 
ser mínima desde que a curva variada comece e termine nos pontos escolhidos. A con-
dição é η(t1) = 0 e η(t2) = 0. Logo, o termo integrado é zero. Rearranjando os outros 
termos, obtemos:”
“A variação de S está agora na forma que queríamos – temos alguma coisa dentro dos 
colchetes, uma função F, e tudo está multiplicado por η(t) e integrado de t1 a t2.”
“Temos então que a integral de alguma coisa vezes η(t) é sempre zero:”
“Eu tenho uma função de t, multiplico esta função por η(t); e integro de uma extremi-
dade até a outra. E, não importa quem seja η, o resultado é sempre igual a zero. Isto 
signifi ca que a função F(t) é igual a zero. Isto é óbvio, mas eu vou mostrar um tipo de 
prova assim mesmo.”
“Suponha que eu escolhesse uma função η(t) igual a zero para todo t, exceto bem 
perto de um valor particular. Ela é zero até chegar a este t,”
“então ela sobe rapidamente por um momento e depois desce rapidamente de novo. 
Quando resolvemos a integral deste η vezes uma função F qualquer, o único lugar 
onde obtemos alguma coisa que não seja zero é onde η(t) estava variando, e o resultado 
é o valor de F naquele lugar, vezes a integral da variação de η. A integral desta varia-
ção não é zero, mas o resultado multiplicado por F deve ser; então a função F deve 
ser zero na posição desta variação. Mas, como η pode variar em qualquer lugar que eu 
quiser, F deve ser zero sempre.”
“Vemos que se a nossa integral for zero para qualquer η, então o coefi ciente de η 
deve ser zero. A integral da ação será mínima para a trajetória que satisfaz esta equação 
diferencial complicada:”
“Mas ela não é realmente muito complicada; você já a viu antes. É simplesmente F = 
ma. O primeiro termo é a massa vezes a aceleração, e o segundo é a derivada da ener-
gia potencial, que é a força.”
“Então, para um sistema conservativo, mostramos que o princípio da mínima ação 
dá a resposta correta; ele diz que a trajetória que dá o valor mínimo da ação é aquela 
que satisfaz a lei de Newton.”
“Uma observação: eu não provei que era um mínimo – talvez seja um máximo. 
Na verdade, não precisa realmente ser um mínimo. A situação é bastante parecida com 
o ‘princípio do tempo mínimo’ que discutimos na óptica. No caso da óptica, também 
dissemos a princípio que se tratava do ‘menor’ tempo. Mas vimos situações nas quais 
não era o menor tempo que importava. O princípio fundamental era que para qualquer 
O Princípio da Mínima Ação 19–7
desvio de primeira ordem em relação ao caminho óptico, a variação no tempo era 
zero; agora temos a mesma coisa. O que realmente queremos dizer com ‘mínimo’ é 
que a variação de primeira ordem no valor de S, quando a trajetória é modifi cada, é 
zero. Não é necessariamente um ‘mínimo’.”
“A seguir, vou comentar a respeito de algumas generalizações. Em primeiro lugar, 
tudo pode ser feito em três dimensões. Em vez de trabalharmos apenas com x, teremos 
x, y e z como funções de t; a ação se torna mais complicada. Para o movimento tridi-
mensional, você precisa usar a energia cinética completa – (m/2) vezes a velocidade 
completa ao quadrado. Ou seja,”
“Além disso, a energia potencial é uma função de x, y e z. E quanto à trajetória? A tra-
jetória é uma curva geral no espaço, que não pode ser desenhada tão facilmente, mas a 
idéia é a mesma. E quanto a η? Bem, η pode ter três componentes. Você pode desviar 
as trajetórias em x, ou em y, ou em z – ou pode fazer o desvio nas três direções simulta-
neamente. De modo que η pode ser um vetor. Mas isto realmente não complica muito 
as coisas. Uma vez que apenas a variação de primeira ordem deve ser zero, podemos 
fazer os cálculos com três deslocamentos sucessivos. Podemos deslocar η apenas na 
direção x e dizer que o coefi ciente deve ser zero. Obtemos uma equação. Então faze-
mos o deslocamento na direção y e obtemos mais uma. E na direção z, e obtemos outra. 
Ou, é claro, em qualquer ordem que você quiser. De qualquer maneira, você obtém três 
equações. E, é claro, a lei de Newton é na realidade três equações quando estamos em 
três dimensões – uma para cada componente. Acho que você praticamente pode ver 
que deve funcionar, mas vamos deixar para você mostrar que tudo isto funciona em 
três dimensões. Inclusive, você pode usar qualquer sistema de coordenadas que qui-
ser, coordenadas polares ou outras quaisquer, e obterá as leis de Newton apropriadas 
para este sistema, analisando o que acontece se você tiver um desvio η no raio, ou no 
ângulo, etc.”
“De maneira análoga, o método pode ser generalizado para um número qualquer 
de partículas. Se você tiver, por exemplo, duas partículas com uma força entre elas, de 
modo que existe uma energia potencial mútua, então você simplesmente soma a energia 
cinética das duas partículas e tomam a energia potencial da interação mútua. E o que 
você varia? Você varia as trajetórias de ambas as partículas. Então, para duas partículas 
movendo-se em três dimensões, há seis equações. Você pode variar a posição da partícula 
1 na direção x, na direção y, e na direção z, e pode fazer a mesma coisa com a partícula 
2; então há seis equações. É assim que deveria ser. Há três equações que determinam a 
aceleração da partícula 1 em termos da força que age sobre ela, e outras três para a acele-
ração da partícula 2, resultando da força sobre ela. Basta seguir esta regra, e você obtém 
a lei de Newton em três dimensões para qualquer número de partículas.”
“Eu estive dizendo que obtemos a lei de Newton. Isto não é exatamente verdade, 
porque a lei de Newton inclui forças não conservativas, como o atrito. Newton disse 
que ma é igual a qualquer F. Mas o princípio da mínima ação só funciona para siste-
mas conservativos – onde todas as forças podem ser obtidas de uma função potencial. 
Entretanto, você sabe que em nível microscópico – no nível mais profundo da física – 
não há forças não conservativas. As forças não conservativas, como o atrito, aparecem 
apenas porque desprezamos complicações microscópicas – há simplesmente partículas 
demais para analisar. Mas as leis fundamentais podem ser colocadas na forma de um 
princípio de mínima ação.”
“Deixem-me levar a generalização ainda mais longe. Imagine o que acontece se 
a partícula move-se relativisticamente. Não obtivemos a equação de movimento rela-
tivística correta; F = ma está correta apenas nos casos não relativísticos. A questão é: 
existe um princípio da mínima ação correspondente para o caso relativístico? Existe. 
A fórmula para o caso da relatividade é a seguinte:
19–8 Lições de Física
A primeira parte da integral da ação é a massa de repouso vezes c2 vezes a integral de 
uma função da velocidade, . E no lugar da energia potencial, temos uma 
integral sobre o potencial escalar φ e sobre υ vezes o potencial vetor A. Obviamente, 
só estamos incluindo as forças eletromagnéticas. Todos os campos elétricos e magné-
ticos são dados em termos de φ e A. Esta função para a ação fornece a teoria comple-
ta do movimento relativístico de uma partícula em um campo eletromagnético.”
“É claro que, em todos os lugares onde eu escrevi υ, você sabe que antes de tentar 
qualquer coisa, é necessário substituir υx por dx/dt, e assim por diante para as outras 
componentes. Além disso, você deve descrever o ponto da trajetória no tempo t por 
x(t), y(t) e z(t), onde eu escrevi apenas x, y e z. Somente após fazer as substituições para 
os υ’s você teráa ação de uma partícula relativística, propriamente dita. Vou deixar 
para os mais habilidosos a tarefa de demonstrar que esta fórmula para a ação realmente 
dá as equações de movimento corretas da relatividade. Posso sugerir que você tente 
primeiro sem o A, ou seja, sem campo magnético? Então você deverá obter as com-
ponentes da equação de movimento, dp/dt = –q∇φ, onde, você deve se lembrar, –mυ. 
.”
“É muito mais difícil incluir também o caso com um potencial vetor. As va-
riações se tornam muito mais complicadas. Mas no fi nal o termo da força aparece 
igual a q(E + υ × B), como deveria. Mas eu vou deixar este problema para você se 
divertir.”
“Eu gostaria de enfatizar que, no caso geral (na fórmula relativística, por exem-
plo), o integrando da ação não tem mais a forma da energia cinética menos a energia 
potencial. Isto só é verdadeiro na aproximação não relativística. Por exemplo, o termo 
 não é o que chamamos de energia cinética. A questão da forma da 
ação para um caso particular deve ser determinada por algum tipo de método de tenta-
tiva e erro. É o mesmo problema de se determinar as leis de movimento. Você precisa 
brincar com as equações que você conhece, e ver se você consegue colocá-las na forma 
de um princípio de mínima ação.”
“Outro ponto é a nomenclatura. A função que é integrada no tempo para se obter 
a ação é denominada a Lagrangiana, , que é uma função apenas das velocidades e 
das posições das partículas. De modo que o princípio da mínima ação também pode 
ser escrito
onde xi e υi são todas as componentes das posições e velocidades. Então, se você ouvir 
alguém falando sobre a ‘Lagrangiana’, você já sabe que estão falando da função que é 
usada para se obter S. Para o movimento relativístico em um campo eletromagnético”
“Além disso, eu deveria dizer que S não é realmente chamada de ‘ação’ pelas 
pessoas mais precisas e pedantes. Ela é denominada ‘primeira função principal de Ha-
milton’. Mas eu odiaria dar uma aula sobre ‘o-princípio-minimal-da-primeira-função-
principal-de-Hamilton’. Então eu a chamei de ‘ação’. E cada vez mais pessoas estão 
usando este nome. Veja, historicamente, algo que não era assim tão útil foi chamado 
de ação, mas eu acho que é mais sensato mudar para uma nova defi nição, de modo que 
agora você também vai chamar a função nova de ação, e logo todos irão usar o nome 
mais simples.”
“Agora eu gostaria de dizer algumas coisas sobre este assunto, que são similares 
às discussões que eu fi z sobre o princípio do tempo mínimo. Existe uma grande dife-
rença entre as características de uma lei que diz que uma certa integral de um ponto 
a outro é mínima – o que diz alguma coisa a respeito do caminho inteiro – e uma lei 
que diz que à medida que você avança, existe uma força causando uma aceleração. A 
segunda diz como você avança ao longo do caminho, e a primeira é uma afi rmação 
grandiosa sobre o caminho completo. No caso da luz, discutimos a conexão entre as 
duas. Agora, eu gostaria de explicar por que é verdade que existem leis diferenciais 
O Princípio da Mínima Ação 19–9
quando temos um princípio da mínima ação deste tipo. A razão é a seguinte: Conside-
rem a trajetória real no espaço e no tempo. Como antes, vamos considerar apenas uma 
dimensão, assim podemos fazer o gráfi co de x como função de t. Ao longo da trajetória 
verdadeira, S é mínima. Vamos supor que nós conheçamos a trajetória verdadeira e que 
ela passa por um certo ponto a no espaço e no tempo, e também por um certo ponto a 
próximo de b.”
Mas se a integral completa de t1 a t2 é mínima, então é necessário que a integral 
ao longo da trajetória de a até b também seja mínima. Não podemos ter que a parte 
de a até b seja um pouco maior. Caso contrário, você poderia brincar com apenas este 
pedaço da trajetória, e abaixar um pouco o valor da integral completa.”
“Portanto, cada subseção da trajetória também deve ser um mínimo. E isto é ver-
dade, não importa quão pequena a subseção seja. Logo, o princípio que diz que a inte-
gral ao longo do caminho completo é mínima também pode ser enunciado afi rmando 
que uma seção infi nitesimal do caminho também possui uma curva tal que a sua ação 
é mínima. Se escolhermos uma seção da trajetória curta o sufi ciente – entre dois pon-
tos a e b muito próximos – a variação do potencial entre dois pontos distantes não é 
importante, porque você está praticamente sempre no mesmo lugar ao longo de todo o 
pequeno pedaço do caminho. A única coisa que você precisa analisar é a variação de 
primeira ordem no potencial. A resposta só pode depender da derivada do potencial, 
e não do valor do potencial em cada ponto. Então o enunciado sobre uma propriedade 
global do caminho completo se torna uma afi rmação sobre o que acontece numa seção 
curta do caminho – um enunciado diferencial. E este enunciado diferencial envolve 
somente as derivadas do potencial, ou seja, a força em um ponto. Esta é a explicação 
qualitativa da relação entre a lei global e a lei diferencial.”
“No caso da luz, também discutimos a seguinte questão: como a partícula encon-
tra o caminho correto? Do ponto de vista diferencial, isto é fácil de entender. Em cada 
momento ela tem uma aceleração e sabe o que fazer apenas naquele instante. Mas 
toda a sua intuição sobre causa e efeito fi ca de pernas para o ar quando você diz que 
a partícula decide tomar o caminho que vai dar a menor ação. Será que ela ‘cheira’ 
os outros caminhos próximos para descobrir se eles têm mais ação? No caso da luz, 
quando colocamos blocos no caminho de modo que os fótons não podiam testar todas 
as trajetórias, vimos que eles não podiam descobrir o caminho, e tínhamos como resul-
tado o fenômeno da difração.”
“Será que acontece a mesma coisa na mecânica? Será que é verdade que a partí-
cula não ‘pega’ simplesmente ‘o caminho certo’, mas olha todas as outras trajetórias 
possíveis? E se colocarmos coisas no caminho, impedindo-a de olhar, vamos obter um 
análogo da difração? E o milagre é que, obviamente, tudo acontece exatamente deste 
jeito. Isto é o que as leis da mecânica quântica dizem. Então o nosso princípio da mí-
nima ação está formulado de maneira incompleta. A partícula não toma o caminho de 
mínima ação, ela cheira todos caminhos próximos e escolhe aquele que tem a menor 
ação, por um método análogo àquele que a luz usa para escolher o menor tempo. Você 
se lembra do modo como a luz escolhia o menor tempo: se ela fosse por um caminho 
que levasse uma quantidade diferente de tempo, ela chegaria com uma fase diferente. 
A amplitude total em um ponto é a soma das amplitudes de todas as diferentes manei-
ras pelas quais a luz pode chegar. O caminho importante é aquele para o qual existem 
muitos caminhos próximos que dão a mesma fase.”
“É exatamente a mesma coisa na mecânica quântica. A mecânica quântica com-
pleta (para o caso não relativístico e desprezando o spin do elétron) funciona da se-
guinte maneira: a probabilidade de que uma partícula, saindo do ponto 1 no instante 
t1, chegue no ponto 2 no instante t2, é o quadrado de uma amplitude de probabilidade. 
A amplitude total pode ser escrita como a soma das amplitudes de cada caminho 
possível – de cada maneira de chegar. Para cada x(t) que poderíamos ter – para cada 
trajetória imaginária possível – temos que calcular uma amplitude. E então somamos 
todas. Mas o que é a amplitude de cada trajetória? Nossa integral da ação nos diz 
o que a amplitude de uma trajetória deve ser. A amplitude é proporcional a uma 
constante vezes eiS/ , onde S é a ação para cada trajetória. Ou seja, se representarmos 
a fase da amplitude por um número complexo, o ângulo da fase será S/ . A ação 
19–10 Lições de Física
S possui dimensão de energia vezes o tempo, e a constante de Planck possui as 
mesmas dimensões. Esta é a constante que determina quando a mecânica quântica é 
importante.”
“É assim que funciona: suponha que emtodos os caminhos S seja muito grande 
comparada com . Um caminho contribui com uma certa amplitude. Para um caminho 
próximo, a fase é muito diferente, porque com um S enorme até mesmo uma pequena va-
riação em S signifi ca uma fase completamente diferente – porque é tão minúsculo. Então 
caminhos próximos normalmente cancelam os seus efeitos quando efetuamos a soma – ex-
ceto em uma região, quando um caminho e um outro caminho próximo dão a mesma fase 
em primeira aproximação (mais precisamente, a mesma ação dentro de ). Apenas estes 
caminhos serão importantes. Então, no caso limite em que a constante de Planck ten-
de a zero, as leis da mecânica quântica corretas podem ser resumidas simplesmente 
por: ‘Esqueça todas aquelas amplitudes de probabilidade. A partícula segue por um 
caminho especial, exatamente aquele para o qual S não varia em primeira aproxi-
mação.’ Esta é a relação entre o princípio da mínima ação e a mecânica quântica. O 
fato de que a mecânica quântica pode ser formulada desta forma foi descoberto em 
1942 por um aluno daquele mesmo professor, Bader, que eu mencionei no começo 
desta aula. [A mecânica quântica foi formulada originalmente com uma equação 
diferencial para a amplitude (Schrödinger) e também com uma matemática matricial 
(Heisenberg).]”
“Agora eu gostaria de falar a respeito de outros princípios de mínimo na física. 
Existem muitos que são bastante interessantes. Eu não vou tentar listar todos agora, 
mas vou descrever apenas mais um. Mais adiante, quando chegarmos a um fenômeno 
físico que possui um belo princípio de mínimo, vou falar a respeito dele. Agora eu 
quero mostrar que podemos descrever a eletrostática, não através de uma equação 
diferencial para o campo, mas dizendo que uma certa integral é máxima ou mínima. 
Primeiro, vamos analisar o caso onde a densidade de carga é conhecida em todos os 
pontos, e o problema é encontrar o potencial φ em todo o espaço. Você sabe que a 
resposta deveria ser”
“Mas outra forma de enunciar a mesma coisa seria: calcule a integral U*, onde”
“que é uma integral de volume sobre o espaço todo. Esta função tem um mínimo para 
a distribuição de potencial correta φ(x, y, z).”
“Podemos mostrar que as duas afi rmações sobre a eletrostática são equivalentes. 
Seja uma função φ qualquer. Queremos mostrar que quando φ for o potencial correto 
φ, mais um pequeno desvio f, então a variação em U* será zero, em primeira ordem. 
Então escrevemos”
“Estamos procurando por φ, mas estamos fazendo uma variação nesta função para des-
cobrir qual a forma que ela deve ter para que a variação de U* seja zero em primeira 
ordem. Para a primeira parte de U*, precisamos de”
“O único termo de primeira ordem que será variado é”
“No segundo termo da quantidade U*, o integrando é”
O Princípio da Mínima Ação 19–11
“cuja parte variável é ρf. Então, conservando apenas os termos variáveis, precisamos 
da integral”
“Agora, seguindo a velha regra geral, vamos deixar esta coisa livre das derivadas 
de f. Vamos ver quais são as derivadas. O produto escalar é”
“que temos que integrar em relação a x, y e z. Agora aqui está o truque: para nos li-
vrarmos de ∂f/∂x integramos por partes em relação a x. Isto moverá a derivada para 
φ. É a mesma idéia geral que usamos para nos livrarmos das derivadas em relação a t. 
Usamos a igualdade”
“O termo integrado é zero, pois temos que fazer f igual a zero no infi nito (isto cor-
responde a fazer η igual a zero em t1 e t2. O nosso princípio poderia ser enunciado de 
maneira mais cuidadosa como: U* é menor para o verdadeiro φ do que para qualquer 
outro φ(x, y, z) que tenha os mesmos valores no infi nito). Então fazemos a mesma coisa 
para y e z, de modo que a nossa integral ΔU* é
“Para que esta variação seja zero para qualquer f, não importa qual seja, o coefi ciente 
de f deve ser zero e, portanto,”
“Recuperamos a nossa equação antiga. Então a nossa proposta de ‘mínimo’ está correta.”
“Podemos generalizar a nossa proposição se fi zermos a álgebra de uma maneira 
um pouco diferente. Vamos voltar e resolver a nossa integração por partes sem separar 
as componentes. Comecemos com a seguinte igualdade:”
“Se eu diferenciar o lado esquerdo, posso mostrar que é exatamente igual ao lado 
direito. Podemos usar agora esta equação para integrar por partes. Em nossa inte-
gral ΔU*, substituímos –∇φ ⋅ ∇f por f∇2φ – ∇ ⋅ (f ∇φ), que é integrado no volume. 
O termo do divergente integrado no volume pode ser substituído pela integral de 
superfície:”
“Como estamos integrando no espaço todo, a superfície na qual estamos integrando 
está no infi nito. No infi nito f é zero, e obtemos a mesma resposta novamente.”
“Somente agora podemos ver como resolver um problema quando não sabemos 
onde todas as cargas estão. Imagine que temos condutores com cargas espalhadas 
de alguma maneira. Ainda podemos usar o princípio de mínimo se os potenciais 
de todos os condutores estiverem fi xos. Podemos resolver a integral para U* so-
mente no espaço exterior a todos os condutores. Então, como não podemos variar 
φ sobre o condutor, f é zero em todas as superfícies dos condutores, e a integral de 
superfície”
19–12 Lições de Física
“continua sendo igual a zero. A integral de volume remanescente”
“só pode ser resolvida nos espaços entre os condutores. Obviamente, obtemos a equa-
ção de Poisson novamente,”
“Mostramos então que nossa integral original U* também é mínima quando calculada 
no espaço exterior a condutores com potenciais fi xos (ou seja, tais que qualquer φ(x, y, 
z) de teste deve ser igual ao potencial dado dos condutores quando x, y, z for um ponto 
na superfície do condutor).”
“Há um caso interessante quando todas as cargas estão nos condutores. Então”
“Nosso princípio de mínimo diz que no caso em que temos condutores com determina-
dos potenciais fi xos, o potencial entre eles se ajusta de maneira a minimizar a integral 
U*. Mas o que é esta integral? O termo ∇φ é o campo elétrico, então a integral é a 
energia eletrostática. O campo verdadeiro é aquele, de todos os que são dados pelo 
gradiente de um potencial, que possui a menor energia total.”
“Eu gostaria de usar este resultado para calcular algo em particular e mostrar para 
você que todas estas coisas são realmente bastante práticas. Suponha que eu tenha dois 
condutores na forma de um capacitor cilíndrico.”
“O condutor interno possui potencial V, e o condutor externo está com potencial 
zero. Seja a o raio do condutor interno, e b o raio do condutor externo. Agora podemos 
supor qualquer distribuição de potencial entre os dois. Se usarmos o φ correto, e calcu-
larmos �0/2 ∫ (∇φ)2 dV, deveremos obter a energia do sistema, . Assim, também 
podemos calcular C pelo nosso princípio. Mas se usarmos uma distribuição de poten-
cial errada e tentarmos calcular C por este método, obteremos uma capacitância alta 
demais, uma vez que V está especifi cado. Qualquer que seja o potencial φ que supuser-
mos, que não seja exatamente o potencial correto, dará um valor de C falso, maior do 
que o valor correto. Mas se meu φ falso for uma aproximação razoável, C será uma boa 
aproximação, porque o erro em C é de segunda ordem no erro em φ.”
“Suponha que eu não conheça a capacitância de um capacitor cilíndrico. Eu posso 
usar este princípio para obtê-la. Eu só preciso testar (adivinhar) a função potencial φ 
até obter o valor mais baixo de C. Suponha, por exemplo, que eu escolha um potencial 
correspondente a um campo constante (você sabe, é claro, que o campo não é real-
mente constante aqui; ele varia como 1/r). Um campo constante signifi ca um potencial 
que varia linearmente com a distância. Para se ajustar às condições nos dois conduto-
res, o potencial deve ser”
“Esta função é V em r = a, zero em r = b, e entre estes dois valores possui uma deri-
vada constante e igual a –V/(b – a). Então para obter a integral U* basta multiplicaro quadrado deste gradiente por �0/2 e integrar em todo o volume. Vamos fazer este 
cálculo para um cilindro com uma unidade de comprimento. Um elemento de volume 
no raio r é 2πr dr. Resolvendo a integral, vejo que a minha primeira tentativa para a 
capacitância dá”
O Princípio da Mínima Ação 19–13
(primeira tentativa)
“A integral é fácil; o resultado é simplesmente”
“Tenho então uma fórmula para a capacitância que não é a verdadeira, mas é um re-
sultado aproximado:”
“Naturalmente, este resultado é diferente da resposta correta C = 2π�0/ln(b/a), mas não 
está muito mal. Vamos compará-lo com a resposta certa para diferentes valores de b/a. 
Eu calculei as respostas nesta tabela:”
verd (primeira aprox.)
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“Mesmo quando b/a é igual a 2 – o que dá uma variação bastante grande do campo 
quando comparado com o campo variando linearmente – eu obtenho uma aproxima-
ção bastante boa. É claro que a resposta é um pouco alta demais, como esperado. E 
fi ca muito pior se tivermos um fi o fi no dentro de um cilindro grande. Neste caso o fi o 
sofre variações enormes, e se você representá-lo por uma constante, não dará muito 
certo. Com b/a = 100, erramos a resposta por um fator de aproximadamente 2. Tudo 
funciona muito melhor para b/a pequeno. Se formos para o extremo oposto, quando 
os condutores não estão muito separados – por exemplo, b/a = 1,1 – então o campo 
constante é uma aproximação bastante boa, e obtemos o resultado correto dentro de 
um décimo de 1%.”
“Agora eu gostaria de mostrar como melhorar este cálculo (é claro que você sabe 
a resposta certa para a o cilindro, mas o método é o mesmo para outras formas es-
tranhas, onde talvez você não saiba a resposta certa). O próximo passo é tentar uma 
aproximação melhor para o φ verdadeiro desconhecido. Por exemplo, podemos ten-
tar uma constante mais uma exponencial, etc. Mas como saber quando temos uma 
aproximação melhor, se não conhecemos o verdadeiro φ? Resposta: Calculando C; o 
menor C é o valor mais próximo do verdadeiro. Vamos tentar esta idéia. Suponha que 
o potencial não seja linear, mas seja quadrático em r, por exemplo – o campo elétrico 
não é constante, é linear. A forma quadrática mais geral que ajusta φ = 0 em r = b e φ 
= V em r = a é dada por ”
“onde α é um número constante qualquer. Esta fórmula é um pouco mais complicada. 
Ela envolve um termo quadrático assim como um termo linear no potencial. É muito 
fácil obter o campo desta fórmula. O campo é simplesmente”
19–14 Lições de Física
“Agora temos que elevar isto ao quadrado e integrar no volume. Mas, espere um mo-
mento. Que valor eu devo tomar para α? Eu posso escolher φ como uma parábola; mas 
qual parábola? Eis aqui o que vou fazer: calcular a capacitância com um α arbitrário. 
O resultado é”
“Parece um pouco complicado, mas é o resultado da integração do quadrado do cam-
po. Agora eu posso escolher o meu α. Eu sei que o valor verdadeiro é mais baixo do 
que qualquer resultado que eu vá obter, de modo que qualquer valor que eu escolher 
para α vai me dar uma resposta grande demais. Mas se eu fi car brincando com α até 
obter o valor mais baixo possível, este valor mais baixo estará mais próximo do valor 
verdadeiro do que qualquer outro. Então o que eu faço agora é escolher o α que dá o 
valor mínimo de C. Trabalhando com o cálculo ordinário, descubro que o mínimo de 
C ocorre para α = –2b/(b + a). Substituindo este valor na fórmula, eu obtenho para a 
capacitância mínima”
“Eu calculei os resultados desta fórmula para C para diferentes valores de b/a. Eu rotu-
lei estes números de C(quadrático). Aqui temos uma tabela que compara C(quadrático) 
com o verdadeiro C.”
“Por exemplo, quando a razão entre os raios é 2 para 1, eu obtive 1,444, que é uma 
aproximação muito boa para a resposta verdadeira, 1,4423. Mesmo para razões b/a 
maiores, a aproximação continua muito boa – muito, muito melhor do que a primeira 
aproximação. Ela ainda é razoavelmente boa – só erra por 10% – quando b/a é 10 para 
1. Mas quando chegamos a 100 para 1 – bem, as coisas começam a sair do controle. 
Eu obtive 0,346 ao invés de 0,267. Por outro lado, para uma razão entre os raios igual 
a 1,5, a resposta é excelente; e para b/a igual a 1,1, a resposta é 10,492065 em vez de 
10,492070. Onde a resposta deveria ser boa, ela é muito, muito boa.”
“Eu dei estes exemplos, primeiro, para mostrar o valor teórico do princípio da mí-
nima ação e dos princípios de mínimo em geral, e segundo, para mostrar a sua utilidade 
prática – não só para calcular a capacitância quando já conhecemos a resposta. Para 
qualquer outra forma, você pode adivinhar um campo aproximado com alguns parâ-
metros desconhecidos como α e ajustá-los para obter um mínimo. Você terá resultados 
numéricos excelentes para problemas intratáveis de outra maneira.”
verd (quadrático)
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O Princípio da Mínima Ação 19–15
Uma nota adicionada após a aula
“Eu gostaria de acrescentar algo que não tive tempo de falar durante a aula (parece 
que eu sempre preparo mais material do que eu tenho tempo para apresentar). Como 
mencionei anteriormente, eu me interessei por um problema enquanto preparava esta 
aula. Eu gostaria de contar que problema é este. Reparei que a maioria dos princípios 
de mínimo que eu poderia mencionar deriva de uma maneira ou de outra do princípio 
da mínima ação da mecânica e da eletrodinâmica. Mas existe uma classe que não é 
assim. Por exemplo, se fazemos correntes atravessarem um pedaço de material obe-
decendo à lei de Ohm, as correntes se distribuem dentro do material de forma que a 
taxa na qual o calor é gerado seja a menor possível. Também podemos dizer (se a 
situação se mantém isotérmica) que a taxa na qual a energia é gerada é mínima. Agora, 
este princípio também é válido, de acordo com a teoria clássica, para se determinar a 
distribuição de velocidades dos elétrons dentro de um metal conduzindo uma corrente. 
A distribuição de velocidades não é exatamente a distribuição de equilíbrio [Capítulo 
40, Vol. I; Eq.(40.6)] porque os elétrons estão se deslocando lateralmente. A nova 
distribuição pode ser encontrada a partir do princípio de que ela é a distribuição para 
uma dada corrente para a qual a entropia desenvolvida por segundo pelas colisões é 
a menor possível. No entanto, a verdadeira descrição do comportamento dos elétrons 
deveria ser dada pela mecânica quântica. A questão é: será que o mesmo princípio de 
mínima geração de entropia continua válido quando a situação é descrita pela mecâni-
ca quântica? Eu ainda não descobri.”
“A questão é de interesse acadêmico, é claro. Estes princípios são fascinantes, 
e sempre vale a pena tentar descobrir o quanto eles são gerais. Mas, também de um 
ponto de vista mais prático, eu quero saber. Publiquei com alguns colegas um artigo no 
qual calculamos aproximadamente com a mecânica quântica a resistência elétrica sen-
tida por um elétron movendo-se através de um cristal iônico como o NaCl. [Feynman, 
Hellworth, Iddings e Platzman, “Mobility of Slow Electrons in a Polar Crystal”, Phys. 
Rev. 127, 1004 (1962)]. Mas se um princípio de mínimo existir, poderemos usá-lo para 
obter resultados muito mais precisos, da mesma maneira que o princípio de mínimo 
para a capacitância do capacitor nos permitiu obter aquela precisão para a capacitância, 
apesar de termos apenas um conhecimento aproximado do campo elétrico.”