Const Conc Arm_Lajes_A

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Ouro Preto, 2016/2 
 
Profa. Rovadávia Aline Jesus Ribas 
 
 
 
 
CAPÍTULO 5: LAJES 
Universidade Federal de Ouro Preto - Escola de Minas 
Departamento de Engenharia Civil 
CIV620-Construções de Concreto Armado 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
 
 
1. Introdução 
2. Tipologias de pavimentos 
3. Classificação das lajes 
4. Comportamento estrutural de lajes 
5. Dimensionamento (lajes maciças) e detalhamento 
6. Exercícios 
Plano da aula 
 LAJES: são elementos estruturais formados por placas de concreto armado de 
superfícies planas em que a dimensão perpendicular à superfície (espessura) é 
pequena em relação às demais (largura e comprimento), sujeitos principalmente a 
ações normais a seu plano. 
 
Introdução 
lx: menor vão 
ly: maior vão 
h: espessura (altura) 
h 
Tipologias de pavimentos 
Tipologias de pavimentos 
 As ações das lajes são transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje ou 
diretamente aos pilares e podem estar 
 
• distribuídas na área (peso próprio, revestimento de piso) 
• distribuídas linearmente (paredes) 
• forças concentradas (pilar apoiado sobre a laje) 
 Para efeito de cálculo, apesar da laje estar ligada monoliticamente às vigas, 
geralmente, admite-se que ela está simplesmente apoiada nas vigas de contorno, no 
caso de lajes isoladas. 
 
 Representação em planta de um pavimento 
 
Tipologias de pavimentos 
Simbologia 
 
V: viga; P: pilar; L: laje 
Corte A-A 
L 1 L 2 
 Quanto à disposição dos apoios 
 
(a) contínuas em uma ou duas direções 
(b) isoladas apoiadas no contorno 
(c) em balanço 
 
(a) (c) (b) 
Classificação das lajes 
 Quanto à fabricação as lajes podem ser 
 
a) Pré-moldadas 
b) Moldadas in loco (maciças e nervuradas) 
 
 
 Quanto ao tipo da seção 
 
a) Laje maciça (lisa ou cogumelo) 
b) Laje nervurada (pré-fabricada) 
c) Laje steel-deck (laje mista) 
d) Laje alveolar de concreto protendido 
 
Classificação das lajes 
Classificação das lajes 
a) LAJE MACIÇA 
 Toda a sua espessura é composta por concreto, 
contendo armaduras longitudinais e transversais 
 São apoiadas em vigas ou paredes ao longo das 
bordas e distribuem suas reações nas vigas de 
contorno aproveitando melhor o desempenho da 
laje 
 São moldadas in loco a partir do lançamento do 
concreto fresco sobre um sistema de formas planas 
 Oferecem facilidade de colocação de tubulações 
elétricas e outras instalações antes da concretagem 
 Sua desvantagem é o custo com formas e escoramentos, que pode ser compensado se o 
pavimento do edifício se repete e esses componentes podem ser aplicados várias vezes 
 Utilização: Edifícios de múltiplos pavimentos (residenciais e comerciais), escadas, 
reservatórios, pontes de grandes vãos, entre outros 
Classificação das lajes 
Lajes lisas apoiam-se nos pilares sem capitéis 
Lajes cogumelo são lajes maciças apoiadas diretamente em pilares com capitéis 
Laje lisa Laje cogumelo 
Classificação das lajes 
b) LAJE NERVURADA 
Usa-se um material de enchimento na região tracionada, 
criando-se nervuras e diminuindo-se a quantidade de 
concreto, acarretando redução do consumo de concreto e 
alívio do peso próprio 
Material de enchimento: leve, mas com resistência 
suficiente para suportar as operações de execução 
Importante: a resistência do material de enchimento não é 
considerada no cálculo da laje 
Tipos de materiais de enchimento: blocos cerâmicos, 
blocos vazados de concreto e blocos de EPS (poliestireno 
expandido) 
Vantagens do EPS (isopor): baixo peso em relação a outros 
elementos de enchimento, isolamento térmico e acústico 
As nervuras podem estar em uma direção (unidirecional) ou 
duas direções (bidirecional) 
Classificação das lajes 
b.1) LAJE NERVURADA PRÉ-FABRICADA 
Vigota treliçada Vigotas treliçadas e 
blocos cerâmicos 
base de concreto 
Classificação das lajes 
c) LAJE STEEL-DECK 
Laje mista, composta de chapa nervurada de aço, que serve de forma para uma laje 
de concreto armado com reforços de armadura se necessário 
As chapas de aço são colaborantes: na fase construtiva trabalham como forma e, na 
fase de utilização, trabalham conjuntamente com o concreto, atuando como armadura 
de tração resistindo a momentos fletores 
A interação aço-concreto é feita por meio de conectores de cisalhamento 
 
base de concreto 
Classificação das lajes 
d) LAJE ALVEOLAR DE CONCRETO PROTENDIDO 
base de concreto 
Seção transversal 
com álveolos 
longitudinais 
Painel de concreto 
protendido 
Classificação das lajes 
lx = menor vão 
ly = maior vão 
 
a) Laje armada em uma direção: 
 uma dimensão é maior que o dobro da outra 
 Classificação das lajes quanto à relação entre os vãos () 
x
y
l
l

2
Considera-se que a laje trabalha em apenas uma 
direção (a do menor vão). A armadura principal é 
calculada para resistir ao momento fletor nessa 
direção. Essa armadura é posicionada paralelamente 
à direção do vão menor. Na outra direção existe a 
obrigatoriedade de se fazer uma armadura 
transversal de distribuição (armadura mínima). 
lx 
ly 
b) Laje armada nas duas direções (lajes armadas em cruz): 
 as duas dimensões não diferem muito 
2
Considera-se, para efeito de cálculo, que essa laje 
trabalha em duas direções ou é armada em duas 
direções 
lx 
ly 
Classificação das lajes 
 VÃO EFETIVO 
210 aallef 
- l0: distância entre as faces internas 
de dois apoios consecutivos 
 
- a1: menor valor entre t1/2 e 0,3h 
 
- a2: menor valor entre t2/2 e 0,3h 
Comportamento estrutural de lajes 
 VINCULAÇÃO 
Para o cálculo dos esforços solicitantes e das deformações nas lajes torna-se necessário 
estabelecer os vínculos da laje com os apoios, sejam eles pontuais como os pilares, ou 
lineares como as vigas de borda. 
As bordas podem ser: 
 
a) livres: ausência de apoio (ex.: balanço). 
Símbolo: 
 
 
b) apoiadas: não existe ou não se admite a continuidade da laje com outras lajes vizinhas. 
Símbolo: 
 
 
c) engastada: admite-se a continuidade da laje com outras lajes vizinhas. 
Símbolo: 
 
Comportamento estrutural de lajes 
Ábacos de vinculação das lajes: 
1: quatro bordas simplesmente apoiadas 
2: uma borda menor engastada 
3: uma borda maior engastada 
4: duas bordas adjacentes engastadas 
5: duas bordas menores engastadas 
6: duas bordas maiores engastadas 
7: uma borda maior apoiadas 
8: uma borda menor apoiada 
9: quatro bordas engastadas 
Comportamento estrutural de lajes 
Normalmente, considera-se que as lajes menores e menos rígidas são engastadas nas 
maiores e mais rígidas. 
 Situação 1 de vinculação: Lajes adjacentes com espessuras diferentes 
Comportamento estrutural de lajes 
 Situação 2 de vinculação: Lajes parcialmente contínuas 
2
3
a L
Laje L1 engastada em L2 
2
3
a L
Laje L1 apoiada em L2 
Laje L2 engastada em L1 nos dois casos 
Importante: 
O lado adjacente a uma laje rebaixada é considerado apoiado 
Toda a laje rebaixada deve ser considerada apoiada (exceto se os outros três lados 
forem livres) 
Comportamento estrutural de lajes 
 Limites mínimos para espessura 
Comportamento estrutural de lajes 
5 cm: lajes de cobertura em balanço 
7 cm: lajes de piso ou de cobertura em balanço 
10 cm: lajes que suportam veículos de peso ≤ 30 kN 
12 cm: lajes que suportam veículos de peso > 30 kN 
 Pré-dimensionamento da altura útil (d) e da espessura (h) 
a) Para lajes retangulares com bordas apoiadas ou engastadas: 
100/)1,05,2( *lnd 
n : número de bordas engastadas 
l*: menor valor entre lx e 0,7 ly 
 Altura total da laje: 
cdh t
l  
2
b) Para lajes em balanço 
Comportamento estrutural de lajes 
32
xld 
 : coeficiente que depende das dimensões da laje e condições 
de vinculação 
 : coeficiente que depende do tipo de aço 
2
3
Valores de 
3
Comportamento estrutural de lajes 
Valores de 
2
lx = menor vão 
ly = maior vão 
 x
y
l
l

Cobrimento mínimo das armaduras (NBR 6118) 
Comportamento estrutural de lajes 
Comportamento estrutural de lajes 
Determinação da flecha elástica 
para lajes com carregamento 
uniforme 
 
 
 
 
p: carregamento 
lx: menor vão da laje 
E: módulo de deformação longitudinal 
do concreto 
h: espessura da laje 
α: coeficiente tabelado 
 
Tabela: Coeficientes α para o cálculo das 
flechas 
 
 ETAPAS DO PROJETO DE LAJES 
Dimensionamento 
■ Definição do tipo de laje 
■ Determinação dos carregamentos 
■ Dimensionamento (esforços solicitantes, dimensão da seção transversal, 
armaduras) 
■ Verificação dos estados limites de serviço: limitações de flechas, abertura 
de fissuras ou de vibrações 
■ Detalhamento 
O projeto de lajes de concreto armado envolve: 
 CARGAS ATUANTES NAS LAJES 
Dimensionamento 
O carregamento p nas lajes maciças, em geral, é considerado uniformemente 
distribuído (carga por metro quadrado de laje) 
p g q 
g: cargas permanentes que atuam sobre a laje (peso próprio, revestimento, reboco, etc.) 
q: cargas variáveis (peso das pessoas, móveis e equipamentos) 
Valores das cargas a serem considerados no cálculo de estruturas de edificações: NBR 
6120 (1980) 
Peso específico do concreto armado: 25 kN/m3 
Peso específico do concreto simples: 24 kN/m3 
Enchimento de lajes rebaixadas: 14 kN/m3 
Reboco (1 cm): 0,2 kN/m2 
Revestimento de tacos ou madeira: 0,7 kN/m2 
Revestimento de material cerâmico: 0,85 kN/m2 
Forro falso: 0,5 kN/m2 
Cargas permanentes 
Dimensionamento 
Cargas variáveis 
Valores de sobrecarga 
Local Carga (kN/m
2
) 
Corredores 
Com acesso ao público 
Sem acesso ao público 
3.0 
2.0 
Edifícios 
residenciais 
Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 
Despensa, área de serviço e lavanderia 
1.5 
2.0 
Escadas 
Com acesso ao público 
Sem acesso ao público 
3.0 
2.5 
Forros Sem acesso a pessoas 0.5 
Escritórios Salas de uso geral e banheiro 2.0 
 
Cargas lineares (paredes de alvenaria executadas sobre a laje): São obtidas a partir 
do peso específico da alvenaria, da espessura da parede e de sua altura 
tijolos furados: 13 kN/m3 
tijolos maciços: 18 kN/m3 
Exemplo: p = 13 x 0,15 x 2,60 = 5,1 kN/m 
Dimensionamento 
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS – LAGES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO 
Os esforços solicitantes de maior magnitude ocorrem segundo a direção do menor vão, 
chamada direção principal. As lajes são calculadas como vigas segundo a direção principal 
Na outra direção (direção secundária), os esforços solicitantes são menores e podem ser 
desprezados 
A armadura principal, na direção do menor vão, é calculada para resistir ao momento fletor 
nessa direção 
A laje é calculada (esforços solicitantes e flechas) como se fosse um conjunto de vigas de 
largura igual a 1m na direção principal 
Na direção do maior vão, coloca-se armadura de distribuição, com seção transversal mínima 
dada pela NBR 6118, para solidarizar as faixas de laje evitando a concentração de esforços 
Momentos fletores em laje 
armada em uma direção 
Dimensionamento 
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS – LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES 
 Processos de determinação dos esforços (momentos fletores e reações) 
a) Diferenças finitas 
b) Elementos finitos 
c) Grelha equivalente 
d) Determinação de esforços e deslocamentos por meio de series 
 
Grelha equivalente 
Consiste em substituir a laje por uma malha equivalente de vigas. O Método de Marcus trata 
a laje como uma grelha constituída de duas faixas de largura unitária e ortogonais entre si e 
aplica adequados coeficientes que levam em conta o aspecto de continuidade da laje 
solidarizando toda a malha. 
 
Dimensionamento 
Determinação de esforços e deslocamentos por meio de series 
Substitui-se o valor da carga atuante (px, py) por uma série de Fourier dupla (Navier), a partir da 
qual é possível obter-se a equação da linha elástica. Os momentos mx e my, por comprimento 
unitário, nas direções x e y, são obtidos a partir das derivadas da linha elástica w(x, y) 
Ao aplicar esse método podem ser utilizadas tabelas elaboradas para facilitar a determinação 
dos valores máximos dos momentos fletores e dos deslocamentos (flechas) a partir da 
geometria e das condições de vinculação da laje 
Cada laje é tratada individualmente de acordo com sua vinculação com as demais, de modo 
que, quando sua borda é suportada por vigas ou paredes, tem-se esse lado apoiado, e, quando 
nas bordas há continuidade entre duas lajes vizinhas, tem-se o lado engastado 
 
 
 
 
Dimensionamento 
Determinação dos momentos máximos nas 
direções x e y 
Momentos máximos positivos/unidade de 
comprimento 
 
 
 
Momentos máximos negativos/unidade de 
comprimento 
 
 
 
Tabela: Coeficientes para o 
cálculo dos momentos máximos (casos 
1, 2 e 3 de vinculação das lajes) 
100
. 2x
yy
lp
M 
100
. 2x
xx
lp
M 
100
. 2' x
xx
lp
X 
100
. 2' x
yy
lp
X 
'' ,,, yxyx 
Dimensionamento 
Tabela: Coeficientes para o 
cálculo dos momentos máximos (casos 
4, 5 e 6 de vinculação das lajes) 
'' ,,, yxyx 
Dimensionamento 
Tabela: Coeficientes para o 
cálculo dos momentos máximos (casos 
7, 8 e 9 de vinculação das lajes) 
'' ,,, yxyx 
Dimensionamento 
Para compatibilizar momentos 
fletores negativos de valores 
diferentes em duas lajes 
adjacentes adota-se: 
Dimensionamento 
DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 
O cálculo da armadura das lajes, nas direções x e y, é feito como no caso de vigas, 
tomando-se uma faixa unitária para a largura da seção (um metro), e, portanto, a armadura 
encontrada deve ser distribuída ao longo dessa largura. 
Conhecidos os momentos fletores característicos (Mk) compatibilizados, passa-se ao 
dimensionamento das armaduras. 
1. Determinar o momento fletor de cálculo: 
1.4d f k fM M   , 
2. Calcular o valor do coeficiente kc : 
3. Calcular a armadura As : 
cmb
M
db
k w
d
w
c 100
. 2

d
M
kA
M
dA
k dss
d
s
s 
.
4. Verificar o atendimento ao valor mínimo de As : 
hb
A
A
A
w
s
c
s
s
.

Dimensionamento 
Laje armada em uma direção 
a) Armadura positiva principal (dimensionamento por tabelas) 






kfd
w
d
w
c MM
cmmb
M
db
k 
10012
kc é função do tipo de concreto 
ks é função do tipo de aço d
M
kA dss
Dimensionamento 
Armadura 
mínima 
positiva 
principal 
Dimensionamento 
cmínmínscmínsmíns
wss
AAAA
hbA




,, /mas
/:anterior tabelaDa
mín depende do tipo de concreto 
e é dado em %. 
Dimensionamento 
b) Armadura positiva secundária (o cálculo é feito pela área mínima) 
As 3 condições da tabela abaixo têm que ser atendidas. 
Dimensionamento 
c) Armadura negativa (cálculo feito por tabelas) 
Cálculo igual ao das armaduras positivas principais e a armadura mínima conforme a tabela 
abaixo. 
Dimensionamento 
Laje armada nas duas direções 
a) Armadura positiva (dimensionamento por tabelas) 
Cálculo igual a letra a do item anterior,para as duas direções, com exceção da armadura 
mínima. 
 
Dimensionamento 
b) Armadura negativa (cálculo feito por tabelas) 
Cálculo igual a letra a do item anterior e a armadura mínima conforme a tabela abaixo. 
Dimensionamento 
RESUMINDO: 
Dimensionamento 
REAÇÕES DE APOIO 
As ações atuantes nas lajes são transferidas para as vigas de apoio e um procedimento de 
cálculo dessas ações, chamado de processo das áreas, consiste em calcular as reações de 
apoio de lajes retangulares, sob carregamento uniformemente distribuído, considerando-se, 
para cada apoio, uma carga correspondente aos triângulos ou trapézios obtidos, traçando-
se, a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de: 
 
 45° entre dois apoios do mesmo tipo 
 60° a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado 
 90° a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando a borda vizinha for livre 
Dimensionamento 
As reações de apoio por unidade de largura são dadas por: 
Detalhamento 
NBR 6118: 
 
a) Diâmetro 
 
Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8. 
 
 
 
 
Adota-se: 
 
para armadura positiva: bitola mais fina com menor espaçamento, para um maior controle 
da fissuração ( 5 ,  6,3 mm) 
 
para armadura negativa: bitola mais grossa com maior espaçamento ( 8 ,  10 mm) 
 
8
h
b) Espaçamentos máximos Para armadura principal: 2h ou 20cm 
 
 Para armadura secundária: 33cm 
Detalhamento 
 
c) Altura útil mínima 
 limmin cw
d k
b
M
d 
  cdxx
c
f
kmas


lim,lim,
lim,
4,0168,0
1
, 
cckw
d
fb
M
d /)628,04,01(628,068,0min 
cckcdx ffe  /628,0lim, 
2/
1
mkNemf
mb
kNmemM
ck
w
d

Armadura principal, p 
Armadura secundária, s dmin 
p
scdh  
2
minmin
Detalhamento 
 Se a altura da laje adotada inicialmente for inferior a hmin, deve-se refazer os cálculos 
de momento para hmin 
 Por simplificação adota-se o mesmo valor de dmin 
 para o cálculo das armaduras 
positivas e das negativas 
 Também deve ser verificada a altura da laje em função da flecha limite (NBR 6118) 
 As barras correspondentes à direção de maior momento fletor, que em geral coincide 
com a direção do menor vão, devem ser colocadas ao fundo da laje, respeitando o 
cobrimento 
 
d) Posicionamento das barras positivas 
 Devem ser colocadas barras em todo o vão 
das lajes (armadura corrida) 
 
 as barras devem penetrar nos apoios 
(vigas) com o maior dos seguintes 
comprimentos: 6 cm ou 10  
 
Ay 
Ax 
vigas 
Detalhamento 
Exemplo: detalhamento da armadura positiva de uma laje 
L205 
N1 – 12  5.0 C/ 24 -406 
2
8
9
 
394 
N
3
 –
 2
8
 
 5
.0
 C
/ 
1
4
 -
3
0
1
 
Detalhamento 
A numeração das barras de aço pode ser feita da esquerda para a direita e de cima para 
baixo com o desenho em posição normal. Gira-se o desenho de 90º no sentido horário e 
continua-se a numeração. 
Detalhamento 
e) Posicionamento das barras negativas 
 Para armadura corrida: 
 
viga 
viga 
v
ig
a
 
v
ig
a
 
0,25 l +lb 0,25 l +lb 
l = maior valor entre os lx das lajes adjacentes 
lb = comprimento de ancoragem reta 
para concreto C20 e aço CA-50, lb =44  (por exemplo: lb =35cm ( 8); lb =44cm ( 10)) 
Detalhamento 
 Comprimento do gancho: 
 
Devem ser adotados, em todas as extremidades da armadura negativa, ganchos 
retos, calculados de forma simplificada, descontando-se da altura total da laje duas 
vezes o cobrimento. 
ch 2ganchodoocompriment 
Detalhamento 
Exemplo: detalhamento da armadura negativa das lajes 
Detalhamento 
Exemplo: detalhamento da armadura negativa das lajes 
Detalhamento 
 f) Flecha inicial (imediata): 
Cálculo da flecha inicial em lajes 
 Ou: 
1 2 9 8 7 6 5 4 3 
Detalhamento 
Limites para deslocamentos 
(ou flechas) 
l/250 para a totalidade das 
cargas 
l/350 para a carga acidental 
EXERCÍCIOS