Aula 9 - Lei de Ampère e Fluxo Magnético (1)

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Eletromagnetismo I
Lei de Ampère e Fluxo Magnético
Prof. Dr. Hugo Vasconcelos
Lei de AMPÈRE
A lei circuital de Ampère diz que a integração de 𝐻, ao redor de qualquer
caminho fechado, é igual à corrente líquida encerrada pelo caminho.
 𝐻 ∙ 𝑑𝐿 = 𝐼𝑒𝑛𝑐
A direção da circulação é escolhida de modo que a regra da mão direita seja
satisfeita.
Com o dedo polegar na direção da corrente, os dedos se envolverão na direção
da circulação.
Calcular a intensidade de campo magnético em toda parte, como
resultado de uma linha infinita de corrente situada no eixo 𝑧, como ilustrado.
Exemplo
A figura apresenta um par de
caminhos amperianos, 𝑎 e 𝑏.
A circulação de 𝐻 sobre ambos os caminhos
resulta na mesma corrente 𝐼.
Vamos trabalhar com o caminho 𝑏, que possui
um valor constante de 𝐻𝜙 ao redor do círculo
especificado pelo raio 𝜌.
 𝐻 ∙ 𝑑𝐿 = 𝐼𝑒𝑛𝑐
 
0
2𝜋
𝐻𝜙 𝑎𝜙 ∙ 𝜌𝑑𝜙 𝑎𝜙 = 2𝜋𝜌𝐻𝜙 = 𝐼𝑒𝑛𝑐
𝐻 =
𝐼
2𝜋𝜌
 𝑎𝜙
Determinar a intensidade de campo magnético resultante de uma
lâmina de corrente.
Exemplo
𝐾 = 𝐾𝑥 𝑎𝑥 no plano 𝑧 = 0
De acordo com a regra da mão direita, onde o
polegar da mão direita aponta na direção da
corrente e os outros dedos na direção do campo.
𝑎 → 𝑏 → 𝑐 → 𝑑 → 𝑎
 𝐻 ∙ 𝑑𝐿 = 𝐼𝑒𝑛𝑐 = 
𝑎
𝑏
𝐻 ∙ 𝑑𝐿 + 
𝑏
𝑐
𝐻 ∙ 𝑑𝐿 + 
𝑐
𝑑
𝐻 ∙ 𝑑𝐿 + 
𝑑
𝑎
𝐻 ∙ 𝑑𝐿
Determinar a intensidade de campo magnético resultante de uma
lâmina de corrente.
Exemplo
Sabendo que 𝐻 só possui apenas uma componente 𝐻𝑦 .
As integrais de 𝑏 → 𝑐 e 𝑑 → 𝑎 com 
𝑑𝐿 = 𝑑𝑧 𝑎𝑧 vão a zero.
Acima da lâmina: 𝐻 = 𝐻𝑦 − 𝑎𝑦
Abaixo da lâmina: 𝐻 = 𝐻𝑦 𝑎𝑦
 𝐻 ∙ 𝑑𝐿 = 
Δ𝑤
0
𝐻𝑦 − 𝑎𝑦 ∙ 𝑑𝑦 − 𝑎𝑦 + 
0
Δw
𝐻𝑦 𝑎𝑦 ∙ 𝑑𝑦 𝑎𝑦 = 2𝐻𝑦Δ𝑤
A corrente encerrada pelo caminho é apenas 𝐼 = 
0
Δw
𝐾𝑥𝑑𝑦 = 𝐾𝑥Δ𝑤
Determinar a intensidade de campo magnético resultante de uma
lâmina de corrente.
Exemplo
Igualando os dois termos
2𝐻𝑦Δ𝑤 = 𝐾𝑥Δ𝑤
𝐻𝑦 =
𝐾𝑥
2
De modo geral 𝐻 =
1
2
𝐾 × 𝑎𝑁
Onde 𝑎𝑁 é um vetor normal a partir da lâmina de corrente ao ponto de teste.
Uma lâmina de corrente com 𝐾 = 6 𝑎𝑧 A/m existe no plano 𝑥𝑧 em
𝑦 = 0. Determine 𝐻 3, 4, 5 .
Exemplo
𝐻 =
1
2
𝐾 × 𝑎𝑁
𝐻 =
1
2
6 𝑎𝑧 × 𝑎𝑦
𝐻 = −3 𝑎𝑥
Considere o condutor cilíndrico conduzindo uma corrente
radialmente dependente 𝐽 = 𝐽0𝜌 𝑎𝑧 𝐴/𝑚
2 , onde 𝐽0 é uma constante com
unidade de ampères por metro cúbico. Desejamos determinar 𝐻 em toda parte.
Exemplo
𝜌 ≤ 𝑎
 𝐻 ∙ 𝑑𝐿 = 𝐼𝑒𝑛𝑐
 𝐻 ∙ 𝑑𝐿 = 
0
2𝜋
𝐻𝜙 𝑎𝜙 ∙ 𝜌𝑑𝜙 𝑎𝜙 = 2𝜋𝜌𝐻𝜙
𝐼 = 𝐽 ∙ 𝑑 𝑆 = 𝐽0𝜌 𝑎𝑧 ∙ 𝜌𝑑𝜌𝜙 𝑎𝑧 = 𝐽0 
0
𝜌
𝜌2𝑑𝜌 
0
2𝜋
𝑑𝜙 =
2𝜋𝐽0𝜌
3
3
2𝜋𝜌𝐻𝜙 =
2𝜋𝐽0𝜌
3
3
𝐻𝜙 =
𝐽0𝜌
2
3
𝜌 > 𝑎 𝐼 = 𝐽 ∙ 𝑑 𝑆 = 𝐽0𝜌 𝑎𝑧 ∙ 𝜌𝑑𝜌𝜙 𝑎𝑧 = 𝐽0 
0
𝑎
𝜌2𝑑𝜌 
0
2𝜋
𝑑𝜙 =
2𝜋𝐽0𝑎
3
3
2𝜋𝜌𝐻𝜙 =
2𝜋𝐽0𝑎
3
3
𝐻𝜙 =
𝐽0𝑎
3
3𝜌
Vamos determinar a intensidade do campo magnético no interior
de um solenoide de comprimento infinito e fortemente enrolado.
Exemplo
A densidade de corrente para cada uma dessas lâminas é
𝐾 =
𝑁𝐼
ℎ
É fácil notar que os campos se cancelam fora do
solenoide e se adicionam em seu interior.
 𝐻 ∙ 𝑑𝐿 = 
0
ℎ
𝐻𝑧 𝑎𝑧 ∙ 𝑑𝑧 𝑎𝑧 = 𝑁𝐼
𝐻 =
𝑁𝐼
ℎ
 𝑎𝑧
Rotacional
O rotacional descreve a rotação ou “vorticidade” de um campo em um ponto
particular, dando a medida de quanto o campo gira em torno de um ponto
particular.
𝑟𝑜𝑡 𝐻 = 𝛻 × 𝐻 = 𝐽
𝛻 × 𝐻 =
 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑧
𝐻𝑥 𝐻𝑦 𝐻𝑧
𝛻 × 𝐻 =
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑧
 𝑎𝑥 +
𝜕𝐻𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑥
 𝑎𝑦 +
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝐻𝑥
𝜕𝑦
 𝑎𝑧
Rotacional
𝛻 × 𝐻 =
1
𝜌
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜙
−
𝜕𝐻𝜙
𝜕𝑧
 𝑎𝜌 +
𝜕𝐻𝜌
𝜕𝑧
−
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝜌
 𝑎𝜙 +
1
𝜌
𝜕 𝜌𝐻𝜙
𝜕𝜌
−
1
𝜌
𝜕𝐻𝜌
𝜕𝜙
 𝑎𝑧
Coordenadas Cilíndricas
𝛻 × 𝐻 =
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕(𝐻𝜙𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝜃
−
𝜕𝐻𝜃
𝜕𝜙
 𝑎𝑟 +
+
1
𝑟
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝐻𝑟
𝜕𝜙
−
𝜕(𝑟𝐻𝜙)
𝜕𝑟
 𝑎𝜃 +
1
𝑟
𝜕 𝑟𝐻𝜃
𝜕𝑟
−
1
𝜌
𝜕𝐻𝑟
𝜕𝜃
 𝑎𝜙
Coordenadas Esféricas
Determine 𝐽 em (2, 1, 3) se 𝐻 = 2𝑥𝑦2 𝑎𝑧 𝐴/𝑚Exemplo
8 𝑎𝑥 − 2 𝑎𝑦 𝐴/𝑚
2
Teorema de Stokes
Podemos reescrever a lei circuital de Ampère em
termos de uma densidade de corrente como
 𝐻 ∙ 𝑑𝐿 = 𝐽 ∙ 𝑑 𝑆
Feito isto, aplicar a forma pontual da lei circuital
de Ampère para substituir 𝐽 por 𝛻 × 𝐻 se torna
uma tarefa simples, resultando
 𝐻 ∙ 𝑑𝐿 = (𝛻 × 𝐻) ∙ 𝑑 𝑆
Essa expressão, relaciona uma integral de linha fechada com uma integral de
superfície, é conhecida como teorema de Stokes.
Densidade de Fluxo Magnético
A densidade de fluxo magnético 𝐵, a qual está relacionada à intensidade de
campo magnético no espaço livre por
𝐵 = 𝜇𝑜𝐻
onde 𝜇𝑜 é a permeabilidade do espaço livre e vale 4𝜋 × 10
−7 𝐻/𝑚 (Henry por
metro).
As unidades de 𝐵 são
𝐻∙𝐴
𝑚2
=
𝑊𝑏
𝑚2
(Webers por metro quadrado)= 𝑇(Tesla)=
10.000 𝐺(Gauss).
Densidade de Fluxo Magnético
A quantidade de fluxo magnético 𝜙, em webers, de um campo magnético que
passa por uma superfície é determinado por
𝜙 = 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆
Considere uma corrente filamentar de 2,50 𝐴 ao longo do eixo 𝑧,
no sentido + 𝑎𝑧. Calcule o fluxo, devido a esta corrente, que atravessa a porção
do plano 𝜙 = 𝜋/4 definida por 0,01 < 𝑟 < 0,05 𝑚 e 0 < 𝑧 < 2 𝑚.
Exemplo
𝜙 = 𝐵 ∙ 𝑑 𝑆
𝐵 = 𝜇𝑜𝐻 = 𝜇0
𝐼
2𝜋𝜌
 𝑎𝜙
𝐻 =
𝐼
2𝜋𝜌
 𝑎𝜙
𝑑 𝑆 = 𝑑𝑟𝑑𝑧 𝑎𝜙
𝜙 = 
0
2
 
0,01
0,05 𝜇0𝐼
2𝜋𝑟
 𝑎𝜙 ∙ 𝑑𝑟𝑑𝑧 𝑎𝜙
𝜙 = 2
𝜇0𝐼
2𝜋𝑟
ln
0,05
0,01
= 1,61 × 10−6 𝑊𝑏
Uma corrente de 3,0 𝐴 se estende ao longo de 𝑎𝑧.Determine o
fluxo magnético que atravessa uma superfície definida por 1,0 𝑚 < 𝜌 < 4,0 𝑚,
0 < 𝑧 < 3,0 𝑚. 𝜙 = 90𝑜.
Exemplo
Bibliografia
HAYT JR, William H; BUCK, John A. Eletromagnetismo.
8.ed. Porto Alegre: AMGH, 2003.