Aula 5 - Teorema de Bernoulli

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TEOREMA DE BERNOULLI
O CONCEITO DO TEOREMA
O teorema de Bernoulli, estabelecido, em 1738, por Daniel Bernoulli (1700-1782), matemático e físico suíço, em essência, estabelece que a energia, em um fluxo permanente, é constante ao longo do caminho descrito pelo fluido. 
O teorema de Bernoulli pode ser deduzido a partir do teorema da energia cinética: "O trabalho da resultante das forças agentes em um corpo entre dois instantes é igual à variação da energia cinética experimentada pelo corpo naquele intervalo de tempo." 
A figura a seguir mostra um fluido escoando no interior de uma tubulação que se eleva gradualmente desde uma altura h1 até uma altura h2, medidas em relação a um plano horizontal de referência. Na região mais baixa, o tubo tem área de secção transversal A1, e na mais alta, área A2. A pressão do fluido na região inferior do tubo é p1 e na superior, p2. 
Consideremos, então, o deslocamento da porção sombreada de fluido desde a região mais baixa do tubo até a região mais alta. O trabalho realizado pela força resultante sobre a porção sombreada de fluido é calculado considerando-se que: 
o trabalho realizado sobre a porção de fluido pela força de pressão p1·A1 é p1·A1 ·Δx1; 
o trabalho realizado sobre a porção de fluido pela força de pressão p2·S2 é – p2·S2·Δx2 (negativo, pois a força de pressão tem sentido oposto ao do deslocamento da porção fluida); 
o trabalho realizado pela força peso para elevar o fluido desde a altura h1 até a altura h2 é igual a – m·g·(h2 – h1) (negativo pois o deslocamento ocorre em sentido contrário ao da força peso). 
O trabalho resultante realizado sobre o sistema é dado pela soma dos três termos considerados. Assim, temos: 
Mas, observe que A1·Δx1 = A2·Δx2 corresponde ao volume da porção de fluido considerado e pode ser expresso como a relação entre a massa de fluido e a sua massa específica (m/ ρ), em que ρ, é suposta constante. 
Observe também que estamos considerando que o fluido seja incompressível, pois admitimos que A1·Δx1 = A2·Δx2 . 
Assim, o trabalho da força resultante sobre o sistema pode ser escrito como:
A variação da energia cinética do sistema é dada por:
O teorema da energia cinética estabelece que o trabalho resultante realizado sobre o sistema deve ser igual à variação de sua energia cinética. Temos, então: 
Multiplicando-se todos os termos da expressão por (ρ/m), e rearranjando-se as parcelas teremos, finalmente: 
Como os índices 1 e 2 referem-se a duas posições quaisquer do fluido no tubo podemos suprimi-los e escrever, para qualquer ponto do fluido, que: 
Essa relação nos mostra que, em uma canalização horizontal, um estrangulamento implica, pela equação da continuidade, em um aumento na velocidade do fluxo e, consequentemente, em uma diminuição de pressão. 
Nessa relação, a soma p + rgh é denominada pressão estática, já estudada anteriormente, enquanto o termo rv²/2 é a pressão dinâmica, exercida pelo fluido em movimento. 
É importante ressaltar que a correta utilização da equação de Bernoulli está baseada nas hipóteses usadas em sua obtenção: 
o fluido é incompressível; 
o escoamento ocorre em regime uniforme e permanente; 
o escoamento é invíscido, isto é, fluido sem viscosidade; 
não há trocas de calor, ou seja, o escoamento é adiabático; 
não existem máquinas –bombas ou turbinas- no trecho considerado. 
Observação: 
Se dividirmos a última equação de Bernoulli, obtida, pelo peso específico, g = ρ·g, do fluido, chegamos a: 
Nessa relação, a constante H, denominada carga total, é a energia total por unidade de peso do fluido. 
APLICAÇÕES DO TEOREMA DE BERNOULLI
O Tubo de Venturi é um medidor de vazão formado por 3 partes importantes: o cone de entrada, a garganta e o cone de saída. Ele deve ser inserido em uma canalização de secção transversal A para se medir a velocidade de escoamento v1 de um fluido incompressível, de massa específica ρ, através dela. Um manômetro tem uma de suas extremidades inserida num estrangulamento, com área de secção transversal a, e a outra extremidade na canalização de área A. Seja ρm a densidade do líquido manométrico (mercúrio, por exemplo). 	
Tubo de Venturi
Tubo de Pitot
O tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para medir a velocidade de escoamento de um gás –ar, por exemplo. Tal dispositivo está ilustrado na figura abaixo. As aberturas “a” são paralelas à direção de escoamento do ar e bastante afastadas da parte posterior para que a velocidade v do fluxo de ar e a pressão fora dela não sejam perturbadas pelo tubo. Seja pa a pressão estática do ar no ramo esquerdo do manômetro, que está ligado a essas aberturas. 
A abertura do ramo direito do manômetro é perpendicular à corrente e, em b, a velocidade reduz-se a zero; logo, nessa região a pressão total do ar é pb (maior que pa, como nos mostra a figura). 	
EXERCÍCIOS
1. Água quente circula pela tubulação de um sistema de aquecimento em uma casa. Se a água é bombeada, no térreo, com velocidade de 0,50 m/s através de um cano com 4,0 cm de diâmetro sob pressão de 3,0 atm, determine a velocidade de escoamento e a pressão da água em um cano com 2,6 cm de diâmetro, localizado no andar superior, 5 m acima do térreo. 
Considere: g = 10 m/s², ρ = 1000 kg/m³ e 1 atm = 105 N/m². 
2. A figura ao lado mostra um jato de água saindo de um buraco localizado à h = 10 cm em um tanque. O nível de água no tanque está a uma altura H = 40 cm. A que distância “x” a água atingirá o solo?
3. A figura mostra um sifão que é um dispositivo para tirar líquido de um reservatório. O tubo ABC deve estar inicialmente cheio do líquido, e a partir daí, o líquido fluirá pelo tubo até que a superfície líquida no reservatório esteja no mesmo nível da abertura do tubo em A. Suponha que o líquido seja a água. Considere h1 = 25 cm, d = 12 cm e h2 = 40 cm.
a) Qual a velocidade de saída do líquido no ponto C?
b) Se a pressão atmosférica vale 105 Pa, qual a pressão da água no ponto mais alto B?
c) Teoricamente qual a maoir altura possível h1 que o sifão pode elevar a água?
4. Determine a velocidade v1 de escoamento do fluido através do tubo de Venturi. Dados: A1 = 20 cm², A2 = 10 cm², r = 1000 kg/m³, g = 10 m/s².
5. Um tubo de Pitot é inserido em uma tubulação por onde escoa um líquido de densidade 1,6.103 kg/m³. O líquido manométrico é o mercúrio, com densidade 13,6.10³ kg/m³. O desnível h é de 20 cm. Determine:
a) A diferença de pressão estática entre os pontos 1 e 2.
b) A velocidade de escoamento do fluido.
6. O ar escoa através de um tubo de vazão 200 l/s. o tubo consiste em duas seções com diâmetros de 20 cm e 10 cm. A diferença de pressão entre as duas seções do tubo é medida por um manômetro de água. Desprezando os efeitos do atrito, determine a altura diferencial de água entre as duas seções do tubo. Considere rar = 1,2 kg/m³.
8. Determinar a velocidade média e a pressão na seção (2) de uma tubulação circular e horizontal, pela qual escoa um fluido incompressível e ideal em regime permanente. 
Dados: 
D1 = 15 cm; D2 = 10 cm; p1 = 50.000 N/m²; V1 = 3 m/s; g fluido =10.000 N/m³ ; g = 10 m/s². 
9. Um tanque contém água até a altura H; faz-se um orifício na sua parede lateral, à profundidade h abaixo da superfície da água. Determine: 
a) a velocidade v com que a água emerge pelo orifício; 
b) o alcance horizontal x do jato d'água ao atingir o piso. 	
7. Determinar a velocidade do jato do fluido líquido no orifício do tanque de grandes dimensões da figura. Considere o fluido ideal.
11. A figura abaixo representa um grande reservatório de água de uma represa, com uma canalização nele acoplada, cujas áreas das secções são 900 cm² em 1 e 600 cm² em 2. 
a) a velocidade, em m/s, com que a água flui no ponto 2; 
b) a vazão, em m³/s, da água; 
c) a pressão, em N/m², no ponto 1. 
13. Em 5 minutos, um carro tanque descarrega 5.000 litros de gasolina, através de um mangote cuja seção transversal tem área igual a 0,00267 m²	
Pergunta-se:
a) Qual a vazão volumétrica média desse escoamento, em litros/segundo? 
b) Considerando os dados indicados na figura e g = 10 m/s² , qual a vazão volumétrica, em litros/segundo, no início do processo de descarga do combustível, quando o nível de líquido no tanque está no ponto A? 
c) O valor obtido no item b deve ser maior, menor ou igual ao do item a? 
14. Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades da água uniformes. A seção (1) tem uma área de 20 cm² enquanto a seção (2) é de 10 cm². Um manômetro, cujo fluido manométrico é mercúrio rHg = 136.000 N/m³), é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Considerando que rágua = 10.000 N/m³, pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi.